Academic literature on the topic 'Calcul pseudodifférentiel'

Dans cette thèse nous avons étudié certaines questions mathématiques associées au calcul de l'action spectrale de Chamseddine--Connes sur des exemples fondamentaux de triplets spectraux non commutatifs, tels que le tore non commutatif et la 3-sphère quantique SUq(2). Nous avons montré en particulier qu'une condition diophantienne sur la matrice de déformation du tore est cruciale pour obtenir l'action spectrale en tenant compte de la structure réelle. <br />Nous avons aussi étudié la question de l'existence de tadpoles (termes linéaires par rapport au potentiel de jauge de la fluctuation de la métrique dans l'action spectrale) dans le cas de géométries riemanniennes commutatives, et la construction d'un calcul pseudodifférentiel global permettant une généralisation du produit de Weyl--Moyal sur un espace de Schwartz de sections rapidement décroissantes sur un fibré cotangent d'une variété avec linéarisation.

Dans cette thèse, nous avons étudié certaines questions mathématiques associées au calcul de l’action spectrale de Chamseddine--Connes sur des exemples fondamentaux de triplets spectraux non commutatifs, tels que le tore non commutatif et la 3-sphère quantique SUq(2). Nous avons montré en particulier qu’une condition diophantienne sur la matrice de déformation du tore est cruciale pour obtenir l’action spectrale en tenant compte de la structure réelle. Nous avons aussi étudié la question de l’existence de tadpoles (termes linéaires par rapport au potentiel de jauge de la fluctuation de la métrique dans l’action spectrale) dans le cas de géométries riemanniennes commutatives, et la construction d’un calcul pseudodifférentiel global permettant une généralisation du produit de Weyl--Moyal sur un espace de Schwartz de sections rapidement décroissantes sur un fibré cotangent d’une variété avec linéarisation.

On utilise les outils de la géométrie non-commutative pour étudier la théorie de l'indice de certaines variétés singulières. On associe à toute variété à bord feuilleté, puis à toute variété à coins fibrés un groupoïde d'éclatement longitudinalement lisse. On montre ensuite dans le cas fibré que le calcul pseudodifférentiel à support compact associé coïncide avec le phi-calcul de Melrose et l'on introduit une algèbre étendue d'opérateurs régularisants dont on montre la stabilité par calcul fonctionnel holomorphe. On définit sur ce calcul étendu certains éléments de cohomologie cyclique relative intervenant dans la formulation de problèmes d'indice supérieurs. Enfin on montre que le groupoïde d'éclatement construit dans ce travail possède une signification géométrique naturelle en tant que groupoïde d'holonomie de feuilletage singulier, il s'agit d'un exemple explicite d'espace de feuilles singulier au sens de Androulidakis et Skandalis. Ce résultat nous permet d'obtenir une interprétation conceptuelle du phi-calcul comme calcul pseudodifférentiel associé au groupoïde d'holonomie du feuilletage singulier défini par la variété à bord fibré<br>Tools from noncommutative geometry are used to study the index theory of some singular manifolds. We associate to every manifold with foliated boundary, then to every manifold with fibred corners a longitudinally smooth groupoid. We then show in the fibred case that the associated compactly supported pseudodifferential calculus coincides with Melrose's phi-calculus and we introduce an extended algebra of smoothing operators that is shown to be stable under holomorphic functional calculus. Some elements of relative cyclic cohomology arising in higher index problems are defined over this extended algebra. Finally we show that the groupoid we built has a natural geometric meaning as a holonomy groupoid of singular foliation, it is an explicit example of a singular leaf space in the sense of Androulidakis and Skandalis. This result allows the conceptual interpretation of phi-calculus as the pseudodifferential calculus associated with the holonomy groupoid of the singular foliation defined by the manifold with fibred boundary

Nous construisons dans ce travail des conditions aux limites absorbantes pour des équations aux dérivées partielles non linéaires. Il s'agit d'une méthode permettant d'approcher les solutions de telles équations posées sur des domaines non bornés. La pertinence de ce travail est justifiée en particulier par l'intérêt pratique de telles méthodes et par l'absence de résultat pour les problèmes non linéaires dans la littérature scientifique jusqu'à présent. Dans un premier temps, nous construisons des conditions aux limites absorbantes pour l'équation de Schrödinger. Puis nous abordons les problèmes non linéaires et nous proposons deux méthodes: la première stratégie repose sur la linéarisation et l'emploi du calcul pseudodifférentiel, et la seconde stratégie est purement non linéaire et utilise le calcul paradifférentiel. L'atout de ces deux méthodes est qu'elles donnent lieu à des problèmes bien posés, faciles à mettre en oeuvre pour un faible coût numérique<br>In this work, we design absorbing boundary conditions for nonlinear partial differential equations. The aim consists in approximating the solutions of such equations set on unbounded domains. The relevance of this work is justified by the practical interest of such methods and by the lack of results for nonlinear problems in the literature until now. First, we design absorbing boundary conditions for the Schrödinger equation. Then, we deal with nonlinear problems using two methods. The first strategy relies on linearization and on the use of the pseudodifferential calculus. The second strategy is purely nonlinear and relies on the use of the paradifferential calculus. The strength of these methods is to yield well-posed problems which are easy to implement for a low numerical cost

Cette these est constituee de quatre articles et d'une note consacres a la sous-ellipticite ; au calcul s(m,g), aux distances sous-elliptiques et a l'interpolation reelle. Le but de cette these est double: en premier lieu introduire et etudier une notion de sous-ellipticite adaptee au cadre du calcul de weyl-hormander. Les techniques utilisees sont basees sur l'interpolation reelle et les techniques de semi-groupe et conduisent a une bonne generalisation des resultats classiques. Le second objectif de cette these est l'investigation de la conjecture suivante: soient deux operateurs differentiels, sous-elliptiques du second ordre a,b et soient d et les distances qui leurs correspondent, alors il est naturel de conjecturer l'equivalence des estimations d# #b et b#b a#. Les methodes developpees dans cette these permettent d'obtenir de nouveaux resultats concernant cette conjecture

Dans cette thèse, nous introduisons des espaces de Besov Bs,ap,q (ℝⁿ) dont les propriétés généralisent les espaces de Besov classiques. Pour cela, nous allons substituer à la résolution classique de ℝⁿ ( liée au symbole du laplacien ), une partition de l’unité discrète et microlocale liée à un symbole elliptique fixé dans une certaine classe S(m,g,g₀). Nous établissons aussi des résultats d'injection de ces espaces Bs,ap,q (ℝⁿ) dans les espaces de Sobolev à poids Lp(m), p&gt;1, introduits par Beals. D’autre part, nous allons caractériser les espaces de Besov Bs,ap,q (ℝⁿ) comme étant l’interpolé réel des espaces de Sobolev dont les poids sont des puissances d'un même poids m vérifiant certaines conditions. Enfin nous considérons une métrique générale de Hörmander et nous utilisons de manière essentielle le concept de confinement introduit par J. -M. Bony et J. -Y. Chemin pour étudier l'interpolé réel des familles des espaces H(m,g). Ce qui nous permet de mettre en évidence une nouvelle famille des espaces de Besov Λα2,q (m, g)<br>In this thesis, we introduce Besov spaces Bs,ap,q (ℝⁿ) whose properties generalize the classical Besov spaces. For this, we consider resolution of ℝⁿ x ℝⁿ connected with an appropriate symbol belonging to a certain class S(m,g,g₀) instead of the classical dyadic resolution of ℝⁿ connected with the laplacian symbol. We also establish results of injection of the spaces Bs,ap,q (ℝⁿ) in the Sobolev spaces with weight Lp(m), p&gt; 1, introduced by Beals. On the other hand, we characterize the Besov spaces Bs,ap,q (ℝⁿ) by the real interpolation of the weighted Sobolev spaces. Finally we consider a general Hörmander metric and use the confinement concept introduced by J. -M. Bony and J. -Y. Chemin to study the real interpolated of H (m, g) spaces. Therefore, we define a new family of Besov spaces Λα2,q (m, g)