Dissertations / Theses on the topic 'Convergence des solutions'

Convergence acceleration techniques for the iterative solution of system of equations arising in the discretisations of compressible flow problems governed by the steady state Euler or Navier-Stokes equations is considered. The system of PDE is discretised using a finite difference or finite volume method yielding a large sparse system of equations. A solution is computed by integrating the corresponding time dependent problem in time until steady state is reached. A convergence acceleration technique based on semicirculant approximations is applied. For scalar model problems, it is proved that the preconditioned coefficient matrix has a bounded spectrum well separated from the origin. A very simple time marching scheme such as the forward Euler method can be used, and the time step is not limited by a CFL-type criterion. Instead, the time step can asymptotically be chosen as a constant, independent of the number of grid points and the Reynolds number. Numerical experiments show that grid and parameter independent convergence is achieved also in more complicated problem settings. A comparison with a multigrid method shows that the semicirculant convergence acceleration technique is more efficient in terms of arithmetic complexity. Another convergence acceleration technique based on fundamental solutions is proposed. An algorithm based on Fourier technique is provided for the fast application. Scalar model problems are considered and a theory, where the preconditioner is represented as an integral operator is derived. Theory and numerical experiments show that for first order partial differential equations, grid independent convergence is achieved.

In this thesis, I develop accurate and efficient pseudospectral methods to solve Fisher's, the Fitzhugh-Nagumo and the Beeler-Reuter equations. Based on these methods, I present a study of spiral waves and their interaction with a boundary. The solutions of Fisher's equation are characterized by propagating fronts with a, shock-like wave behavior when large values of the reaction rate coefficient is taken. The pseudospectral method employed for its solution is based on Chebyshev-Gauss-Lobatto quadrature points. I compare results for a single domain as well as for a subdivision of the main domain into subintervals. Instabilities that occur in the numerical solution for a single domain, analogous to those found by others, are attributed to round-off errors arising from numerical features of the discrete second derivative matrix operator. However, accurate stable solutions of Fisher's equation are obtained with a multidomain pseudospectral method. A detailed comparison of the present approach with the use of the sinc interpolation is also carried out. Also, I present a study of the convergence of different numerical schemes in the solution of the Fitzhugh-Nagumo equations. These equations, have spatial and temporal dynamics in two different scales and the solutions exhibit shock-like waves. The numerical schemes employed are Chebyshev multidomain, Fourier pseudospectral, finite difference methods and in particular a method developed by Barkley. I consider two different models of the local dynamics. I present results for plane wave propagation in one dimension and spiral waves for two dimensions. I use an operator splitting method with the Chebyshev multidomain approach in order to reduce the computational time. I conclude this thesis by presenting a study of the interaction of a meandering spiral wave with a boundary, where the Beeler-Reuter model is considered. The phenomenon of annihilation or reflection of a spiral at the boundaries of the domain is studied, when the trajectory of the tip of a spiral wave is essentially linear. This phenomenon is analyzed in terms of the variable j, which controls the reactivation of the sodium channel in the Beeler-Reuter model.
Science, Faculty of
Mathematics, Department of
Graduate

In this work we apply the Adomian decomposition method to an orientation aggregation problem modelling the time distribution of filaments. We find analytical solutions under certain specific criteria and programmatically implement the Adomian method to two variants of the orientation aggregation model. We extend the utility of the Adomian decomposition method beyond its original capability to enable it to converge to more than one solution of a nonlinear problem and further to be used as a corrector in path following bifurcation problems.

Burgers’ Equation ut + cuux = νuxx is a nonlinear partial differential equation which arises in models of traffic and fluid flow. It is perhaps the simplest equation describing waves under the influence of diffusion. We consider the large time behavior of solutions with exponentially localized initial conditions, analyzing the rate of convergence to a known self similar single-hump solution. We use the Cole-Hopf Transformation to convert the problem into a heat equation problem with exponentially localized initial conditions. The solution to this problem converges to a Gaussian. We then find an optimal Gaussian approximation which is accurate to order t−2. Transforming back to Burgers’ Equation yields a solution accurate to order t−2.

Deep Learning has achieved outstanding results in many fields and led to groundbreaking discoveries. With the steady increase in datasets and model sizes, there has been a recent surge in Machine Learning applications in High-Performance Computing (HPC) to speed up training. Deep Neural Network (DNN) frameworks use distributed training to enable faster time to convergence and alleviate memory capacity limitations when training large models or using high dimension inputs. However, training DNN in HPC infrastructures presents a unique set of challenges: scalability, IO contention, network congestion and fault tolerance. Solving these problems is particularly challenging and unique due to DL applications’ nature and the history of adaptation of DL in HPC. This thesis addresses scalability and resilience challenges by looking at different parts of the Machine Learning Workflow. We first address hyper-parameters optimisation (HPO), which is one of the most time consuming and resource-intensive parts of a Machine Learning Workflow. We present a HPO scheme built on top of PyCOMPSs, a programming model and runtime which aims to ease the development of parallel applications for distributed infrastructures. We show that PyCOMPSs is a robust framework that can accelerate the process of Hyperparameter Optimisation across multiple devices and computing units. We perform a detailed performance analysis showing different configurations to demonstrate the effectiveness of our approach. We then analyse the compute, communication, and memory requirements of DNNs to understand the trade-offs of different parallelism approaches on performance and scalability. We leverage our model-driven analysis to be the basis for an oracle utility that can help detect the limitations and bottlenecks of different parallelism approaches at scale. While significant effort has been put to facilitate distributed training by DL frameworks,fault tolerance has been largely ignored. We examine the checkpointing implementation of popular DL platforms. We evaluate the computational cost of checkpointing, file formats and file sizes, the impact of scale, and deterministic checkpointing. We provide discussion points that can aid users in selecting a fault-tolerant framework to use in HPC. We also provide take-away points that framework developers can use to facilitate better checkpointing of DL workloads in HPC.
El Deep Learning ha logrado resultados sobresalientes en muchas aplicaciones y ha dado lugar a descubrimientos revolucionarios. Con el aumento constante del tamaño de las colecciones de datos y de los modelos, ha habido un reciente desarrollo de aplicaciones de Machine Learning en computación de alto rendimiento (HPC) que se enfocan en reducir el tiempo de entrenamiento de los modelos diseñados. Las librerías de Deep Neural Networks (DNN) utilizan el entrenamiento distribuido para reducir el tiempo de convergencia y aliviar las limitaciones de capacidad de memoria al entrenar modelos grandes o al utilizar entradas de gran dimensión. Sin embargo, capacitar a DNN en infraestructuras de HPC presenta una serie única de desafíos: escalabilidad, contención de E/S, congestión de la red y tolerancia a fallas. Resolver estos problemas es particularmente desafiante y único debido a la naturaleza de las aplicaciones DL y la historia de adaptación de DL en HPC. Esta tesis aborda los desafíos de escalabilidad y resiliencia al analizar el flujo de trabajo completo del Machine Learning. Primero abordamos la optimización de hiper-parámetros (HPO), que es una de las partes del flujo de trabajo de Machine Learning que consume más tiempo y recursos. Presentamos un esquema HPO construido sobre PyCOMPSs, un modelo de programación que tiene como objetivo facilitar el desarrollo de aplicaciones paralelas para infraestructuras distribuidas. Demostramos que PyCOMPSs es un marco robusto que puede acelerar el proceso de optimización de hiper-parámetros en múltiples dispositivos y unidades informáticas. Realizamos un detallado análisis de rendimiento que muestra diferentes configuraciones para demostrar la efectividad de nuestro enfoque. Luego, analizamos los requisitos de computación, comunicación y memoria de las DNN para comprender las compensaciones de los diferentes enfoques de paralelismo en el rendimiento y la escalabilidad. Aprovechamos nuestro análisis basado en modelos como base de una utilidad de Oracle que puede ayudar a detectar las limitaciones y los cuellos de botella de diferentes enfoques de paralelismo a escala. Si bien se ha realizado un esfuerzo significativo para facilitar el entrenamiento distribuido por los marcos de DL, la tolerancia a fallas se ha ignorado en gran medida. Examinamos la implementación de puntos de control de plataformas DL populares. Evaluamos el costo computacional de los puntos de control, los formatos y tamaños de los archivos, el impacto de la escala y los puntos de control deterministas. Proporcionamos puntos de discusión que pueden ayudar a los usuarios a seleccionar un marco tolerante a fallas para usar en HPC. También proporcionamos puntos de referencia que los desarrolladores de marcos pueden utilizar para facilitar un mejor control de las cargas de trabajo de DL en HPC.
Arquitectura de computadors

Dans le cadre de ma thèse , on a étudié quelques types d'équations dispersives telles que le système de Boussinesq, l'équation de Benjamin et l'équation d'Ostrovsky. On démontre quelques résultats d'existence et de non existence du problème de Cauchy associé à un cas particulier du système de Boussinesq. Pour l'équation de Benjamin, on traite le caractère mal posé du problème de Cauchy ainsi que la contrainte de masse nulle. Un deuxième but est d'étudier les ondes solitaires: existence, non existence, régularité, symétrie, comportement à l'infini et convergence vers les ondes solitaires de l'équation de KPI. On considère le problème de Cauchy de l'équation d'Ostrovsky. On prouve un résultat d'existence locale et globale puis on démontre la convergence des solutions vers celles de l'équation de KdV lorsque le paramètre de rotation tend vers zéro, On étudie aussi le caractère mal posé de cette équation
In this thesis, we study some few type of dispersive equations. First, we establish the well and ill-posedness of the Cauchy problem associated to a particular case of the Boussinesq system, in dimension 1 and 2. We study also the Cauchy problem of the 2D Benjamin equation and we show that any solution satisfies the zero mass constraint without necessary satisfying by the initial data. The last part of this chapter is devoted to the study of the solitary waves associated to the 2D Benjamin equation: existence and non existence, regularity, symmetry, algebraic decay at infinity and their convergence to the solitary waves of the KPI equation. In the last chapter, we study the well and ill-posedness of the Cauchy problem associated to the Ostrovsky equation. We prove also the convergence of these solutions to that of the KdV equation as the rotation parameter goes to zero

Mobile business solutions are one of the most attractive market segments of mobile information services. The third generation of mobile communication systems (3G) will be a significant step forward in the convergence of telecommunications and datacommunications industries. More specifically, the convergence of mobile technologies and the Internet allows compelling possibilities for future applications and solutions. However, most current mobile businesses and mobile application and solution providers are rather contributing to the process of convergence; many current ideas and solutions are based on the restrictions of existing mobile networks combined with Internet-based services. In the future, when mobile networks and the Internet have merged, it will no longer be possible to create revenue with these types of solutions. One concrete solution is the mobile middleware concept, bridging the mobile technologies and Internet world. This Master’s thesis studies the middleware concept for providing business applications in the light of 3G, making strategic recommendations to a provider of these kinds of services. A comprehensive discussion about the developments after 3G is introduced. Alternative solutions are presented and some strategic implications are introduced. The implications are motivated by an industry survey, carried out within this project. The topic of over-the-air data synchronization is discussed as an example for interim middleware. Mobile computing file system issues are seen as an interesting opportunity for business applications. The possibility of remote desktop screen access is studied, and measurements proving its feasability for hosted wireless application service provision are made. Emerging mobile Java technologies are discussed as an efficient platform for providing ubiquitous, device independent end-to-end solutions. As one of the recommended strategies, this thesis introduces the concept of hybrid thickness client applications as a feasible solution for migrating from current middleware solutions to an (uncertain) future of native, thick terminal applications, within a scope of two years. Based on this concept, a prototype for a 3G smartphone application was developed as an example. A set of possible strategic scenarios is presented and discussed. This thesis also discusses operator differentiation and business solutions in an all-IP based world. 3G networks and handset devices will introduce a large number of new applications and business opportunities, but such a change will also introduce new challenges and risks. The migration challenge is being illustrated in the case of Smartner, a mobile middleware solution provider focusing on business applications. As shown by this case, compared to current enabling solutions, a major shift in technologies is seen as needed, in order to maintain long-term success.
Mobila affärssystem bildar ett av de mest attraktiva marknadssegment inom mobila informationstjänster. Den tredje generationens mobila kommunikationssytem (3G) kommer att bli ett viktigt steg fram mot konvergensen mellan telekommunikationsoch datakommunikationsindustrin. Särskilt konvergensen som äger rum mellan mobila teknologier och Internet erbjuder utmanande möjligheter för framtida applikationer och lösningar. De flesta nuvarande företag och tjänster inom mobilbranschen kan dock snarast betraktas som ett bidrag till denna konvergens. Många av de nuvarande idéerna och lösningarna är nämligen baserade på avgränsningar och problem som uppstår vid kombination av mobila system med Internet-baserade tjänster. I framtiden, när mobila nät har vuxit ihop med Internet till en symbios, kommer det inte längre att vara möjligt att förtjäna på detta slag av lösningar. En konkret lösning är det mobila middleware-konceptet, som bildar en logisk koppling mellan mobila teknologier och Internet-världen. Detta examensarbete studerar middleware-konceptet från en 3G-orienterad synvinkel och framför strategiska råd för företag som erbjuder detta slag av tjänster. En detaljerad diskussion om utvecklingen efter 3G presenteras. Arbetet lägger fram alternativa lösningar och strategiska implikationer deriveras. Implikationerna är motiverade bl.a. av en intervjuunders ökning som utfördes i samband med detta arbete. Temat trådlös datasynkronisering diskuteras som ett exempel för provisorisk middleware. Mobila filsystem införs som en intressant möjlighet för affärsapplikationer. Diverse möjligheter för fjärrkontroll av en arbetsplatsstation studeras och mätningar bevisar deras genomförbarhet för trådlösa applikationstjänster. Framträdande mobila Java-teknologier analyseras och presenteras som ett efficient underlag för plattformoberoende end-to-end-lösningaröver lag. En av de rekommenderade strategierna är baserad på det hybrida klientkonceptet, vilket presenteras som en realistisk lösning förövergången från nuvarande middleware-system till en (osäker) framtid av nativa, tjocka terminalapplikationer. Den strategiska horisonten för detta är två år. Utgående från detta koncept utvecklades en prototyp som exempel för en sådan applikation. Arbetet definerar och diskuterar dessutom diverse strategiska scenarier. Slutligen nämns problematiken om operatörernas framtida differentieringsmöjligheter och rollen av affärssystem i en fullständigt IP-baserad värld. 3G nät och terminaler kommer att skapa ett stort antal nya användningar och affärsmöjligheter, men ändringen kommer också att medföra nya utmaningar och risker. Detta illustreras med hjälp av företaget Smartner som exempel för en leverant ör av mobila middleware-lösningar för affärsanvändningar. Som demonstrerat i detta fall, anses i jämförelse med nuvarande applikationslösningar en signifikant teknologisk reorientering vara nödvändig, för att bevara ett långvarigt perspektiv.
Langattomat yrityssovellukset ovat nykyään yksi kiinnostavimmista mobiilimarkkinoiden segmenteistä. Kolmannen sukupolven (3G) mobiilit viestintäjärjestelmät tulevat olemaan merkittävä askel kohti telekommunikaatioja dataliikennealojen yhdistymist ä (ns. konvergenssia). Itse asiassa mobiiliteknologian ja Internetin lähentyminen mahdollistaa entistä hyödyllisempien mobiilisovellusten ja -ratkaisuiden rakentamisen tulevaisuudessa. Tällä hetkellä useat mobiiliyritykset ja mobiilisovellusten tuottajat ovat kuitenkin osana tätä yhdistymisprosessia. Monet nykyiset ideat ja ratkaisut ottavat nimittäin lähtökohdakseen rajoitukset, joita nykyiset tietoliikenneverkot asettavat yhdistyessään Internet-pohjaisiin palveluihin. Tulevaisuudessa, kun mobiiliverkot ja Internet ovat yhdistyneet, ei ole enää mahdollista ansaita rahaa tällaisten perinteisten ratkaisuiden avulla. Yksi konkreettinen ratkaisumalli perustuu mobile middleware -käsitteeseen, joka liittää yhteen mobiiliteknologian ja Internetin. Tässä diplomityössä tutkitaan middleware- käsitettä yrityssovellusten tarjoamisessa erityisesti 3G-verkoissa, ja työssä esitellään strategisia suosituksia näiden sovelluspalveluiden tarjoajille. Työssä käyd ään perusteellisesti läpi kolmannen sukupolven jälkeistä kehitystä. Vaihtoehtoisia ratkaisuja esitellään, ja joitakin strategisia vaikutuksia tuodaan myös esille. Vaikutuksia perustellaan tuloksilla, joita tämän projektin osana tehty kysely paljasti. Tiedon langatonta synkronisointia tarkastellaan esimerkkinä tilapäisestä middlewaresta. Mobiileihin tiedostojärjestelmiin liittyvät asiat nähdään mielenkiintoisena mahdollisuutena yrityssovelluksille. Toimistojärjestelmien etäkäyttömahdollisuuksia on tutkittu ja niiden sopivuutta langattomaan sovellustarjontaan on mitattu. Kehittyviä mobiileja Java-teknologioita pidetään tehokkaana alustana, jonka avulla voidaan tarjota kaikkialla saatavilla olevia, päätelaiteriippumattomia ratkaisuja loppuasiakkaille. Yhtenä suositelluista strategioista tämä diplomityö esittelee yksinkertaisen päätelaitesovellusmallin, jonka avulla nykyisistä middleware-ratkaisuista voidaan siirtyä tulevaisuuden kehittyneempiin päätelaiteratkaisuihin kahden vuoden sisällä. Tähän konseptiin perustuen työssä on kehitetty esimerkki 3G-älypuhelimen sovelluksesta. Lisäksi esitellään ja arvioidaan mahdollisia strategisia skenaariovaihtoehtoja. Tämä diplomityö käsittelee myös operaattoreiden differointimahdollisuuksia ja yrityssovelluksia täysin IP-pohjaisissa verkoissa. 3G-verkot ja -päätelaitteet tuovat mukanaan laajan valikoiman uusia sovelluksia ja liiketoimintamahdollisuuksia, mutta tämä muutos merkitsee myös uusia haasteita ja riskejä. Tätä haastetta kuvataan tutkimuksen esimerkkiyrityksen Smartnerin tapauksessa, joka on yrityssovelluksiin fokusoitunut mobiilien middleware-ratkaisuiden tarjoaja. Tutkimus tuo esille, miten Smartnerin nykyiset sovellukset huomioon ottaen tarvitaan valtava teknologinen suunnanmuutos pitkäaikaisen perspektiivin säilyttämiseksi.

Thesis: S.M., Massachusetts Institute of Technology, Department of Aeronautics and Astronautics, 2018.
Cataloged from PDF version of thesis.
Includes bibliographical references (pages 77-79).
The ability to handle discontinuities appropriately is essential when solving nonlinear hyperbolic partial differential equations (PDEs). Discrete solutions to the PDE must converge to weak solutions in order for the discontinuity propagation speed to be correct. As shown by the Lax-Wendroff theorem, one method to guarantee that convergence, if it occurs, will be to a weak solution is to use a discretely conservative scheme. However, discrete conservation is not a strict requirement for convergence to a weak solution. This suggests a hierarchy of discretizations, where discretely conservative schemes are a subset of the larger class of methods that converge to the weak solution. We show here that a range of finite element methods converge to the weak solution without using discrete conservation arguments. The effect of using quadrature rules to approximate integrals is also considered. In addition, we show that solutions using non-conservation working variables also converge to weak solutions.
by Benjamin Luke Streatfield Couchman.
S.M.

Le travail présenté dans cette thèse porte sur l'étude théorique de la convergence de schémas numériques utilisés pour la résolution d'équations hyperboliques linéaires et non linéaires. Les méthodes d'approximation sont de type volumes finis sur des maillages irréguliers en espace. On considère des schémas décentrés amont et de type Van Leer (quasi d'ordre 1 en espace). Pour chaque schéma, on établit une estimation en norme infinie sur la solution approchée. Dans le cas de rectangles, le schéma est à variation totale décroissante et à l'aide de théorèmes de compacité, on montre la convergence de la solution approchée vers la solution faible (entropique) du problème dans l'espace des fonctions localement intégrables. Cette propriété sur le schéma n'est plus vérifiée dans le cas de triangles. Il est cependant possible d'obtenir une estimation faible sur une variation totale pondérée, suffisante pour obtenir la convergence dans le cas linéaire. Dans le cas non linéaire, on utilise la théorie des solutions mesures introduites par Di Perna. On démontre un théorème général sur les solutions mesures qui permet d'établir la convergence de la solution approchée dans l'espace des fonctions de puissance Pieme localement intégrable, pour tout P supérieur ou égal à 1, vers la solution faible entropique

Nous étudions l'influence des perturbations géométriques des parois d'un domaine sur les solutions d'équations aux dérivées partielles à valeurs vectorielles, à travers un effet géométrique appelé l'effet de rugosité. Cet effet consiste à transformer des conditions de non pénétration imposées sur une suite de parois oscillantes convergeant vers une paroi lisse, en une condition qualifiée de glissement dirigé avec friction, ou friction-driven, dont une formulation générale a été obtenue en 2009 par Bucur, Feireisl et Necasova. Nous caractérisons l'effet de rugosité produit par des parois périodiques ou cristallines à l'aide des mesures de Young et de mesures capacitaires permettant de comprendre l'effet des oscillations des vecteurs normaux. D'autre part, nous démontrons la stabilité de la trajectoire d'un solide déformable à faible nombre de Reynolds, par rapport aux déformations qu'on lui impose, et proposons un schéma numérique de résolution du modèle. C'est une première étape vers la compréhension d'un effet de rugosité dynamique produit par une famille continue de micro-déformations du bord. Enfin, nous considérons le problème de la traînée d'un solide immergé dans un fluide visqueux, avec des conditions friction-driven sur la paroi solide. Après avoir montré que le problème est bien posé, nous décrivons le problème de minimisation de la traînée en termes de micro-structure de la paroi associée à la condition friction-driven. À l'aide d'outils de gamma-convergence, nous montrons que ce problème de micro-optimisation de forme possède une solution. Nous validons ces résultats par des exemples numériques et mettons en oeuvre une méthode numérique d'optimisation.

Le sujet de cette these est le calcul simultane des solutions d'un systeme d'equations algebriques dont on sait par ailleurs qu'il possede un nombre fini de solutions. On etudie tout d'abord le cas d'une equation. On dispose ainsi d'une fonction d'iteration qui permet d'approcher simultanement les seules racines reelles d'un polynome a coefficients reels. C'est un des resultats originaux de ce travail. Ensuite, le cas des systemes est approfondi, ce qui conduit a la construction de plusieurs classes de fonctions d'iteration: celles-ci sont nouvelles et l'ordre de convergence vers les solutions est quadratique. L'outil theorique pour les obtenir est l'interpolation polynomiale a plusieurs variables. Numeriquement, pour les systemes a coefficients reels, on observe une convergence vers toutes les solutions reelles quel que soit le point initial choisi. Cela permet d'etendre la conjecture de convergence globale sauf pour un ensemble de mesure nulle de points d'initialisation faite pour la fonction d'iteration de weierstrass pour les polynomes au cas de ces systemes

Nous nous intéressons à des résultats d'approximation et de régularité pour des solutions de viscosité d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. Dans le chapitre 1, nous proposons, pour une classe générale d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires munies de conditions de Neumann inhomogènes, une interprétation de contrôle déterministe par des jeux répétés à deux personnes qui consiste à représenter la solution comme la limite de la suite des scores associés aux jeux. La condition de Neumann intervient par une pénalisation adaptée près de la frontière. En s'inspirant d'une approche abstraite proposée par Barles et Souganidis, nous prouvons la convergence en établissant des propriétés de monotonie, stabilité et consistance. Le chapitre 2 est consacré à des résultats de régularité sur les solutions d'équations paraboliques non-linéaires associés à un opérateur uniformément elliptique. Nous donnons une estimation de la mesure de Lebesgue de l'ensemble des points possédant un développement de Taylor quadratique global avec un contrôle sur la taille du terme cubique. Sous une hypothèse supplémentaire sur la régularité de la non-linéarité, nous en déduisons un résultat de régularité partielle höldérienne des solutions. Dans les chapitres 3 et 4, nous proposons une méthode générale pour obtenir des taux algébriques de convergence de solutions de schémas d'approximation vers la solution de viscosité sous l'hypothèse d'uniforme ellipticité de l'opérateur. Nous donnons un taux de convergence pour des schémas elliptiques obtenus par principe de programmation dynamique et nous prouvons un taux pour des schémas paraboliques par différences finies et implicites en temps
In this thesis we study some approximation and regularity results for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic and parabolic equations. In the first chapter, we consider a broad class of fully nonlinear elliptic and parabolic equations with inhomogeneous Neumann boundary conditions. We provide a deterministic control interpretation through two-person repeated games which represents the solution as the limit of the sequence of the scores associated to the games. The Neumann condition is modeled by a suitable penalization near the boundary. Inspiring by an abstract method of Barles and Souganidis, we prove the convergence of the score to the solution of the equation by establishing monotonicity, stability and consistency. The second chapter presents some regularity results about viscosity solutions of parabolic equations associated to a uniformly elliptic operator. First we obtain a Lebesgue measure estimate on the points having a quadratic Taylor expansion with a controlled cubic term. Under an additional assumption on the regularity of the nonlinearity, we deduce a partial regularity result about the Hölder regularity of these solutions. In the third and fourth chapters, we propose a general approach to determine algebraic rates of convergence of solutions of approximation schemes to the viscosity solution of fully nonlinear elliptic or parabolic equations under the assumption of uniform ellipticity of the operator. We first give the rate associated to the elliptic schemes derived by dynamic programming principles and proposed by Kohn and Serfaty. We then prove a rate of convergence for finite-difference schemes implicit in time associated to fully nonlinear parabolic equations

In this thesis, we study the existence of random periodic solutions for both nonlinear dissipative stochastic functional differential equations (SFDEs) and semilinear nondissipative SFDEs in C([-r,0],R^d). Under some sufficient conditions for the existence of global semiflows for SFDEs, by using pullback-convergence technique to SFDE, we obtain a general theorem about the existence of random periodic solutions. By applying coupled forward-backward infinite horizon integral equations method, we perform the argument of the relative compactness of Wiener-Sobolev spaces in C([0,τ],C([-r,0]L²(Ω))) and the generalized Schauder's fixed point theorem to show the existence of random periodic solutions.

Ce mémoire est centré autour de l'analyse numérique de schémas volumes finis pour un modèle simplifié d'écoulement de deux fluides incompressibles en milieu poreux. Ces phénomènes sont souvent qualifiés de phénomènes de convection diffusion à convection dominante (``convection dominated problems'' en anglais). La première partie du mémoire est consacrée à l'approximation numérique d'équations paraboliques hyperboliques faiblement ou fortement dégénérées. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude de la convergence de schémas volumes finis. Le dernier chapitre est consacré à l'analyse des résultats numériques obtenus. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieu poreux par deux schémas différents. Le premier schéma dit ``des mathématiciens'' est basé sur la réécriture du système étudié sous la forme d'une équation parabolique hyperbolique sur la saturation et d'une équation elliptique sur la pression, ces deux équations étant couplées par le coefficient de diffusion. Le second schéma dit schéma ``des pétroliers'' est une méthode numérique utilisée en pratique dans l'industrie pétrolière. Les deux schémas sont analysés séparément et ils sont ensuite comparés numériquement.

Cette étude concerne le comportement asymptotique en temps des solutions d'équations paraboliques dégénérées. Plus précisément, les équations étudiées rentrent dans le cadre de l'analyse de certains phénomènes concernant la diffusion de substances en milieu poreux; elles rentrent également dans le cadre de l'étude de certains phénomènes en physique des plasmas ainsi que dans celui de certains phénomènes de migration en dynamique des populations, et jouent donc un rôle prépondérant. Dans nombre d'applications. Dans l'introduction nous expliquons quels sont les résultats déjà connus dans ce contexte, puis nous décrivons brièvement la stratégie et les méthodes que nous allons utiliser pour prouver certaines généralisations. Dans le chapitre 2, nous formulons très précisément et nous commentons tous nos résultats qui concernent aussi bien le comportement asymptotique des solutions de diffusion lente que celui de problèmes de diffusion rapide. Dans le chapitre 3, nous démontrons de façon détaillée tous ces résultats. Les techniques que nous développons combinent la théorie des semi-groupes non linéaires et certains arguments de la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie. Une caractéristique importante de tous nos résultats de stabilisation est que nous mettons en évidence des taux de convergence des solutions vers l'attracteur global correspondant, et que ces taux de convergence peuvent être soit exponentiels soit polynomiaux, ceci dépendant fortement des propriétés structurelles des non linéarités et des conditions initiales
The study set fort. H in this thes is concerns the long-time behavior of certain solutions to a class of nonlinear degenerate parabolic equations. The equations that we investigate play an important role in the analysis of certain phenomella related to the nonlinear diffusion of substances through porous media; they also play a role in plasma physics, in population dynamics and in many other applications. Ln the first chapter we explain briefly what is already known regarding the problem under consideration, and we explain the strategy and the methods we wish to use to prove some generalizations. In the second chapter we formulate precisely and we discuss all of our results which concern the long-time behavior of solutions to problems of fast and slow diffusion. In the third chapter, we give the complete proofs of all our results. The techniques that we use combine methods from the theory of nonlinear semigroups and from the theory of infinite-dimensional dynamical systems. An important feature of our work is t. Hat we are able to exhibit the rate of decay of the solutions in each case we consider. These rates of convergence can be either exponential or polynomial, and which one occurs depends on the structural properties of the nonlinearities and of the initial conditions involved

Les méthodes itératives sont explorées depuis longtemps en électromagnétisme pour inverser de façon numériquement efficace les opérateurs issus de la discrétisation des formulations intégrales des équations de Maxwell. Dans la première partie de cette étude nous proposons d'introduire un ensemble de formulations itératives de la CFIE en utilisant la méthode de Jacobi. Nous montrerons sur des exemples numériques à 2D que dans cet ensemble de formulations itératives possibles, certaines sont très efficaces et que la Méthode de Neumann avec paramètre de relaxation a apporté sur les différentes méthodes une amélioration de la convergence. Dans la deuxième partie de la thèse, il a été proposé une méthode itérative en combinant linéairement la formulation itérative de la MFIE avec l'EFIE, tout en traitant de nombreux objets de base, ce qui implique l'utilisation de différentes équations intégrales : CFIE pour les objets épais et l'EFIE pour les parties minces, et ceci en ayant un encombrement mémoire optimisé ainsi qu'une efficacité numérique satisfaisante, cette méthode permet la décomposition de la matrice initiale en une multitude de sous matrices élémentaires, elle est aussi généralisable et offre une bonne convergence.

Nous nous intéressons aux méthodes permettant d'approcher les solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles conservatives. Dans les cas où l'écoulement est très complexe - lorsqu'il y a plusieurs modèles physiques à calculer sur des zones difficiles à délimiter - on utilise des méthodes de couplage par recouvrement de domaines. Nous présentons ici un algorithme, nouveau et performant, calculé grâce à une superposition de deux maillages correspondant à deux schémas différents. On utilise des projections conservatives de la solution d'un maillage vers l'autre. Cette méthode de décomposition de domaine ne fait pas intervenir de conditions aux limites artificielles. Elle est basée sur une régularisation de la fonction de Heaviside sur la zone de couplage. Elle est parfaitement conservative et donc bien indiquée pour l'étude des lois de conservation. L'analyse mathématique est réalisée pour les problèmes hyperboliques, dans le cas scalaire multidimensionnel. Elle est basée sur le convergence des schémas volumes finis. Tout d'abord, on obtient la convergence de la solution mesure grâce aux travaux de Diperna, puis on estime l'erreur de convergence en hơ. Une nouvelle estimation de type H1 faible permet d'estimer les erreurs induites par le couplage. De nombreuses applications numériques en mécanique des fluides avec les tubes à chocs et de détente montrent que la méthode est très stable et conservative. Nous utilisons aussi la méthode sans grille appelée Smooth Particule Hydrodynamics - plus précisément sa nouvelle variante renormalisée - pour calculer la création d'un jet en couplant la méthode volumes finis à la méthode SPH. On montre ainsi la robustesse de l'algorithme de couplage et sa souplesse pour le calcul des écoulements complexes. Cette étude a fait l'objet d'une collaboration avec l'équipe du Pr. D. Kröner de l'Institut des Mathématiques Appliquées à l'Université de Frieburg (Allemagne)
This thesis deals with numerical methods for solving systems of conservative partial differential equations. When the flow is a complex one, we need many physical models without known boundaries. We can use different numerical schemes for different domains, with some overlap of the domains. We present here a new and efficient algorithm to compute the solution on these overlaps. It needs a conservative projection of the numerical solution from one scheme to the other one. There is no artificial condition on the boundary of the coupling domain. To do so we use a regularization of the Heaviside function on this domain. Thus the whole algorithm is conservative and is adapted for Conservative Laws. The mathematical analysis has been done for scalar hyperbolic equations in any dimension. It is based on the convergence of Finite Volume Methods. We prove the convergence of the measure solution with Diperna's theorem, and then we give an error estimation in order of hơ. We did so by using a new estimation of the type weak H1 to deal with the new coupling error terms. A lot of numerical applications in Fluid Mechanics such as shock tube show that the method is stable and conservative. We use also the meshless method called Smooth Particle Hydrodynamics, in its renormalized form, to compute the birth of a jet by coupling a Finite Volumes with a Particle Method. It shows the stiffness of the algorithm and its efficiency with complex flows. This study was done in collaboration with the team of Pr. D. Kröner from the Institute Applied Mathematics of Frieburg University of Germany

In dieser Arbeit präsentieren wir eine neue Art von Newton-Verfahren mit Liniensuche, basierend auf Interpolation im Bildbereich nach Wedin et al. [LW84]. Von dem resultierenden stabilisierten Newton-Algorithmus wird theoretisch und praktisch gezeigt, dass er effizient ist im Falle von nichtsingulären Lösungen. Darüber hinaus wird beobachtet, dass er eine superlineare Rate von Konvergenz bei einfachen Singularitäten erhält. Hingegen ist vom Newton-Verfahren ohne Liniensuche bekannt, dass es nur linear von fast allen Punkten in der Nähe einer singulären Lösung konvergiert. In Hinsicht auf Anwendungen auf Komplementaritätsprobleme betrachten wir auch Systeme, deren Jacobimatrix nicht differenzierbar sondern nur semismooth ist. Auch hier erreicht unser stabilisiertes und beschleunigtes Newton- Verfahren Superlinearität bei einfachen Singularitäten.
In this thesis we present a new type of line-search for Newton’s method, based on range space interpolation as suggested by Wedin et al. [LW84]. The resulting stabilized Newton algorithm is theoretically and practically shown to be efficient in the case of nonsingular roots. Moreover it is observed that it maintains a superlinear rate of convergence at simple singularities. Whereas Newton’s method without line-search is known to converge only linearly from almost all points near the singular root. In view of applications to complementarity problems we also consider systems, whose Jacobian is not differentiable but only semismooth. Again, our stabilized and accelerated Newton’s method achieves superlinearity at simple singularities.

Nous étudions dans cette thèse des problèmes d'optimisation de formes associés à des fonctionnelles spectrales et géométriques. L’étude porte à la fois sur des points de vue théoriques et numériques. L’idée générale est ici de proposer des résultats de Gamma-convergence qui permettent de construire des approximations numériques pour des quantités que l'on cherche à optimiser. En particulier, ces méthodes numériques sont appliquées à l’étude des minimiseurs des valeurs propres de l’opérateur Laplacien-Diriclet sous contrainte de périmètre en dimension deux et trois. Une autre classe de problèmes traités concerne les problèmes multiphasiques et les partitions optimales dans le plan et sur des surfaces tri-dimensionnelles.On présente aussi une analyse du spectre de l’opérateur Steklov en rapport avec différentes classes géométriques de domaines. Une partie de cette analyse concerne le problème de l'existence de domaines extrémaux et la stabilité spectrale sous perturbations géométriques. Une deuxième partie de l’étude est liée au développement des méthodes basées sur des solutions fondamentales qui permettent d’évaluer numériquement le spectre d'un opérateur. Une analyse détaillée de la méthode numérique montre qu'on obtient une précision de calcul importante et une économie en temps d’exécution significative par rapport aux méthodes utilisant des maillages. Cette approche est étendue au calcul du spectre des opérateurs de Wentzell et de Laplace-Beltrami
We study some shape optimization problems associated to spectral and geometric functionals from both theoretical and numerical points of view. One of the main ideas is to provide Gamma-convergence frameworks allowing the construction of numerical approximation methods for the quantities we wish to optimize. In particular, these numerical methods are applied to the study of the Dirichlet-Laplace eigenvalues under perimeter constraint in two and three dimensions and to optimization problems concerning multiphase configurations and partitions in the plane and on three dimensional surfaces.As well, we focus on the analysis of the Steklov spectrum in different geometric classes of domains. Together with the study of existence of extremal domains and the spectral stability under geometric perturbations, we develop methods based on fundamental solutions in order to compute numerically the spectrum. A detailed analysis of the numerical method shows that we get an important precision, while the computation time is significantly decreased compared to mesh-based methods. This approach is extended to the computation of Wentzell and Laplace-Beltrami eigenvalues

Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2013.
ENGLISH ABSTRACT: In this work the Method of Manufactured Solutions (MMS) is introduced for the code veri cation of full-wave frequency dependent electromagnetic computational software. At rst the method is sketched in the context of the veri cation and validation process and the need for proper code veri cation is highlighted. Subsequently, the MMS is investigated in its natural context: the Finite Element Method, speci cally for the E- eld Vector Wave Equation. The usefulness of the method to detect error in a computational code is demonstrated. The selection of Manufactured Solutions is discussed and it is demonstrated how it can be used to nd the probable cause of bugs. Mutation testing is introduced and used to show the ability to detect errors present in code. The MMS is nally applied in a novel manner to a Method of Moments (MoM) code. The challenges of numerical integration associated with the application of the operator is discussed and correct integration is successfully demonstrated. Subsequently the MMS is demonstrated to be successfully applied to the MoM and mutation testing is used to demonstrate the practical e cacy of the method. The application of the MMS to the MoM is the main contribution of this work.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Die Metode van Vervaardigde Oplossings (MVO) word hier bekend gestel vir die veri kasie van numeriese volgolf frekwensie-afhanklike elektromagnetise kode. Die metode word eerstens in die bre e konteks van algemene veri kasie en validasie geplaas en gevolglik word die noodsaaklikheid van kode veri kasie beklemtoon. Daarna, word die toets-metode in die konteks van die Eindige Element Metode vir die E-veld vektorgolf vergelyking bestudeer. Die MVO is oorspronklik ontwikkel in die di erentiaalvergelyking omgewing. Die bruikbaarheid van die metode vir elektromagnetiese simulasies word prakties gedemonstreer deur die opsporing van werklike foute. Die metode word ook verder ondersoek vir die oorsprong van foute. Mutasietoetsing word bekendgestel en word gebruik om die metode verder prakties te veri eer. Die MVO word laastens in 'n nuwe manier gebruik om 'n Moment Metode kode te veri eer. Die praktiese probleme betrokke by numeriese integrasie word ondersoek en die korrekte toepassing van die integraal operator word prakties gedemonstreer. Daarna, word die MVO in hierdie konteks gedemonstreer deur verskeie voorbeelde te ondersoek. Mutasietoetsing word weereens gebruik om na die e ektiewiteit van die MVO te kyk om 'n Moment Metode kode te toets. Die toepassing van die MVO op 'n Moment Metode kode is die hoof bydrae van hierdie werk.

Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes
The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one

My thesis deals with the study of elliptic PDE. It is divided into two parts, the first one concerning a nonlinear equation involving the p-Laplacian, and the second one focused on a nonlocal problem. In the first part, we study the regularity of stable solutions to a nonlinear equation involving the p-Laplacian in a bounded domain. This is the nonlinear version of the widely studied semilinear equation involving the classical Laplacian. Stable solutions to semilinear equations have been very recently proved to be bounded, and therefore smooth, up to dimension n=9 by Cabré, Figalli, Ros-Oton, and Serra. This result is known to be optimal by counterexamples in higher dimensions. In the case of the p-Laplacian, the boundedness of stable solutions is conjectured to hold up to a critical dimension depending on p. Examples of unbounded stable solutions are known if the dimension exceeds the critical one. Moreover, in the radial case or under strong assumptions on the nonlinearity, stable solutions are proved to be bounded in the optimal dimension range. We prove the boundedness of stable solutions under a new condition on n and p, which is optimal in the radial case, and more restrictive in the general one. It improves the known results in the field, and it is the first example, concerning the p-Laplacian, of a technique providing both a result in the nonradial case and the optimal result in the radial case. In the first part, we also investigate Hardy-Sobolev inequalities on hypersurfaces of Euclidean space, all containing a mean curvature term. Our motivation comes from several applications of these inequalities to the study of a priori estimates for stable solutions. Specifically, we give a simplified proof of the celebrated Michael-Simon and Allard inequality, we obtain two new forms of the Hardy inequality on hypersurfaces, and an improved Hardy inequality in the Poincaré sense. In the second part of this thesis, we deal with a Dirichlet to Neumann problem arising in a model for water waves. The system is described by a diffusion equation in a slab of fixed height, containing a weight that depends on a parameter a belonging to (-1,1). The top of the slab is endowed with a 0-Neumann condition, while on the bottom we have a Dirichlet datum and an equation involving a smooth nonlinearity. The system can also be reformulated as a nonlocal problem on the component endowed with the Dirichlet datum, by defining a suitable Dirichlet to Neumann operator. First, we prove a Liouville theorem that establishes the one dimensional symmetry of stable solutions, provided that a control on the growth of the energy associated with the problem is satisfied. As a consequence, we obtain the 1D symmetry of stable solutions to our problem in dimension 2. For n=3, we establish sharp energy estimates for both the energy minimizers and the monotone solutions, deducing the 1D symmetry of these classes of solutions, by an application of our Liouville theorem. Concerning this problem, we also investigate the nature of the associated Dirichlet to Neumann operator. First, we deduce its expression as a Fourier operator, which was known only in the case a=0. This result highlights the mixed nature of the operator, which is nonlocal, but not purely fractional. To better understand the dual behaviour of the operator, we provide a G-convergence result for an energy functional associated with the operator. Specifically, as a G-limit of our energy functional we find a mere interaction energy when a is greater than 0, and the classical perimeter when a is smaller or equal than 0. We point out that the threshold a=0 that we obtain here, as well as the G-limit behaviour for nonpositive values of a, is common to other nonlocal problems treated in the literature. On the contrary, the limit functional that we obtain in the other case appears to be new and structurally different from other nonlocal energy functionals that have been investigated in the literature.
Mi tesis se encaja en el estudio de las EDPs elípticas. Está dividida en dos partes: la primera trata una ecuación no-lineal con el p-Laplaciano, la segunda de un problema no-local. En la primera parte, estudiamos la regularidad de las soluciones estables de una ecuación no lineal con el p-Laplaciano en un dominio acotado. Esta ecuacion es la versión no-lineal de la ámpliamente estudiada ecuacion semilineal con el Laplaciano. Cabré, Figalli, Ros-Oton, y Serra han demostrado recientemente que las soluciones estables de las ecuaciones semilineales son acotadas, y por tanto regulares, hasta la dimensión 9. Este resultado es optimal. En el caso del p-Laplaciano, la regularidad de las soluciones estables se conjetura de ser cierta hasta una dimension critica y, de hecho, se conocen ejemplos de soluciones no acotadas cuando la dimension llega al valor critico. Además, se ha demostrado que en el caso radial o assumiendo hipótesis fuertes sobre la no-linealidad las soluciones estables son acotadas hasta la dimension critica. En el primer capítulo, demostramos que las soluciones estables son acotadas, bajo una nueva condición en n y p, que es optimal en el caso radial, y más restrictiva en el caso general. Esta investigación mejora conocidos resultados del tema y es el primer ejemplo, para el p-Laplaciano, de un método que produce un resultado para el caso general y un resultado optimal en el caso radial. En la primera parte, nos ocupamos también de las desigualdades funcionales del tipo Hardy y Sobolev sobre hipersuperfícies del espacio Euclideo, todas conteniendo un término de curvatura media. Nuestra motivación proviene de varias apliaciones que tienen estas desigualdades en el estudio de estimaciones para las soluciones estables. En detalle, damos una demostración simple de la conocida desigualdad de Michael-Simon y Allard, obtenemos dos formas nuevas de la desigualdad de Hardy sobre hipersuperfícies, y otra desigualdad de Hardy-Poincaré. En la segunda parte, nos ocupamos de un problema de Dirichlet-Neumann que emerge de un modelo para las ondas en el agua. El sistema se describe con una ecuación de difusión en una tira de altura fija, que contiene un parámetro a en (-1,1). La parte superior de la tira es dotada de una condicion 0 de Neumann, mientras en la parte inferior tenemos un dato de Dirichlet y una ecuación con una nonlinearidad regular. Este problema puede ser reformulado como una ecuación no-local sobre la componente dotada del dato de Dirichlet, definiendo un operador de Dirichlet-Neumann apropiado. Primero, demostramos un teorema del tipo Liouville, que garantiza la simetría unidimensional de las soluciones monótonas, asumiendo un control sobre el crecimiento de la energía asociada. Como consecuencia, obtenemos la simetría 1D de las soluciones estables en dimension 2. Para n=3, obtenemos estimaciónes optimales de la energía para las soluciones que minimizan la energía y para las soluciones monótonas. Estas estimaciones nos conducen a la simetría 1D de estas clases de soluciones, aplicando nuestro teorema del tipo Liouville. Relativo a este problema, estudiamos también la naturaleza del operador de Dirichlet-Neumann. Primero, deducimos su expresión como operador de Fourier, que anteriormente solo se conocía para a=0. Este resultado evidencia la naturaleza del operador, que es no-local pero no puramente fraccionaria. Estudiamos en profundidad este comportamiento mixto del operador a través del estudio de la G-convergencia de un funcional energía asociado al operador. Demostramos la G-convergencia de nuestro funcional a un límite que corresponde a una energía de interacción pura cuando a en (0,1) y al perímetro clásico cuando a en (-1,0]. El límite a=0, así como el G-límite para el régimen a en (-1,0], es común a otros problemas no-locales tratados en la literatura. Al contrario, el funcional límite en el régimen puramente no-local es nuevo y diferente a otros funciona
Questa tesi si occupa di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico. È divisa in due parti: la prima riguarda un’equazione nonlineare per il p-Laplaciano, mentre la seconda è incentrata su un problema nonlocale, che può essere formulato per mezzo di un operatore di Dirichlet-Neumann collegato con il Laplaciano frazionario. Nella prima parte, studiamo la regolarità delle soluzioni stabili dell’equazione nonlineare per il p-Laplaciano dove W è un dominio limitato, p 2 (1,+¥) e f è una nonlinearità C1. Questa equazione è la versione nonlineare dell’equazione semilineare 􀀀������������Du = f (u) in un dominio limitato W Rn, che è stata ampiamente studiata in letteratura. Molto recentemente, Cabré, Figalli, Ros-Oton, e Serra [38] hanno dimostrato che le soluzioni stabili delle equazioni semilineari sono limitate, e quindi regolari, in dimensione n 9. Questo risultato è ottimale, dato che esempi di soluzioni illimitate e stabili sono noti in dimensione n 10. Inoltre, i risultati in [38] forniscono una risposta completa ad un annoso problema aperto, proposto da Brezis e Vázquez [25], sulla regolarità delle soluzioni estremali dell’equazione 􀀀������������Du = l f (u). Queste ultime sono infatti esempi non banali di soluzioni stabili di equazioni semilineari, che possono essere limitate o illimitate in dipendenza della dimensione n, del dominio W, e della nonlinearità f . In questa tesi studiamo la limitatezza delle soluzioni stabili di (0.4), che si congettura essere vera fino alla dimensione n < p + 4p/(p 􀀀������������ 1). Sono infatti noti esempi di soluzioni stabili e illimitate quando n p + 4p/(p 􀀀������������ 1), anche quando il dominio è la palla unitaria. Inoltre, nel caso radiale o assumendo ipotesi forti sulla nonlinearità, è stato dimostrato che le soluzioni stabili di (0.4) sono limitate quando n < p + 4p/(p 􀀀������������ 1). Nel Capitolo 1 della tesi dimostriamo una nuova stima L¥ a priori per le soluzioni stabili di (0.4), assumendo una nuova condizione su n e p, che è ottimale nel caso radiale e più restrittiva nel caso generale. Il nostro risultato migliora ciò che è noto in letteratura e ed è il primo esempio di tecnica che produce sia un risultato nel caso non radiale sia il risultato ottimale nel caso radiale. Per ottenere questo risultato estendiamo al caso del p-Laplaciano una tecnica sviluppata da Cabré [30] per il caso classico del problema, con p = 2. La strategia si basa su una disuguaglianza di Hardy sugli insiemi di livello della soluzione, combinata con una disuguaglianza di tipo geometrico per le soluzioni stabili di (0.4). Nella prima parte della tesi ci occupiamo anche di disuguaglianze funzionali di tipo Hardy e Sobolev, su ipersuperfici dello spazio euclideo. Nel fare ciò siamo motivati dalle varie applicazioni di questo tipo di risultati allo studio di stime a priori per le soluzioni stabili, sia nel caso semilineare che nel caso nonlineare ...

On étudie la convergence d'un schéma anti-dissipatif, l'UltraBee, pour les équations Hamilton Jacobi Bellman en dimension 1. Deux méthodes de résolution utilisant ce schéma sont proposées. La première combine l'UltraBee à une adaptation de grille, la deuxième utilise un stockage creux. Cette dernière est appliquée au problème de la rentrée atmosphérique. Enfin, quelques extensions théoriques sont données.

Nous étudions l'approximation cinétique discrète de lois de conservation scalaires quasi-linéaires dans le quart d'espace positif. Cette approximation est obtenue par l'introduction de systèmes de type BGK relaxant la loi scalaire. Nous démontrons la convergence des systèmes semi-linéaires vers la loi scalaire. Nous discrétisons ces modèles pour obtenir une gamme de schémas numériques adaptés au problème avec bord. Dans une troisième partie, nous appliquons ces schémas à un certain nombre de cas test numériques.

Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable. Dans une deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet. Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand. Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet. Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants
This thesis deals with the study of friction type differential equations, in other words, attractive equations, with a unique stable point 0, describing the speed of an object submitted to a frictional force. This object's speed is disturbed by Lévy type random perturbations. In a first part, one is interested in fondamental properties of these SDE: existence and unicity of a solution, Markov and ergodic properties, and more particularly the case of stable Lévy processes.In a second part, one study the stability of the solution of these SDE when the perturbation is an stable Lévy process that tends to 0. In fact, one proves the existence of a Taylor expansion of order one around the deterministic solution for the object's speed and position. In a third part, one study the asymptotic behaviour of the solutions when the initial speed is 0 and the perturbation is a symmetric stable Lévy process. One proves that the amount of perturbations, if the stability's index of the Lévy process and the increasing of the potential are big enough, leads to a gaussian asymptotic behaviour for the object's position.In a forth part, one relaxes the assumption of symmetry of the perturbation by proving the same result as in the third part but with a drift. To do so, one first studies the tail of the invariant measure of the object's speed.Finally, in a last part, one is interested in the same result as in the third part when the perturbation is the sum of the Brownian motion and a pure jump stable Lévy process. Then, one begins the study of the dimension two by considering the case where the equations are separated but where the driving Brownian motions are dependent

Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes itératives pour la résolution de l’équation algébrique de Riccati largement utilisée dans la théorie de transport. Pour ce type d’applications, l’extrapolation polynômiales réussit à accélérer la convergence même quand la convergence devient extrêmement lente. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettre une convergence quadratique. De plus, le développement de méthodes redémarrées (ou cycliques) permet de limiter le coût de calculs et de stockage. Une tâche importante relative à l’analyse du cas critique a été réalisée. une technique de décalage "shift technique" afin d’éliminer le problème lié à la singularité du la matrice Jacobienne ce qui rend la convergence linéaire plutôt que quadratique. En résumé, cette technique de "shift" transforme l’équation NARE à une autre dont la matrice Jacobienne est non singulier au voisinage de la solution. L’avantage de cette transformation est que la nouvelle équation a la même solution que l’équation d’origine. L’efficacité de l’approche proposée est illustrée à travers plusieurs comparaisons et résultats numériques
In this thesis, we are interested in the study of polynomial extrapolation methods and their application as convergence accelerators on iterative methods to solve Algebraic Riccati equations arising in transport theory . In such applications, polynomial extrapolation methods succeed to accelerate the convergence of these iterative methods, even when the convergence turns to be extremely slow.The advantage of these methods of extrapolation is that they use a sequence of vectors which is not necessarily convergent, or which converges very slowly to create a new sequence which can admit a quadratic convergence. Furthermore, the development of restarted (or cyclic) methods allows to limit the cost of computations and storage. An interpretation of the critical case where the Jacobian matrix at the required solution is singular and quadratic convergence turns to linear is made. This problem can be overcome by applying a suitable shift technique. The original equation is transformed into an equivalent Riccati equation where the singularity is removed while the matrix coefficients maintain the same structure as in the original equation. The nice feature of this transformation is that the new equation has the same solution as the original one although the new Jacobian matrix at the solution is nonsingular. Numerical experiments and comparisons which confirm the effectiveness of the new approaches are reported

Ce travail de thèse est consacré à l'étude d'un modèle viscoélastique avec des contraintes unilatérales, modélisé comme un matériau de Kelvin-Voigt. Le chapitre un est consacré au cas monodimensionnel: on approche la solution du problème par pénalisation, ce qui conduit à un théorème d'existence d'une solution faible. Un résultat de régularité des traces permet de montrer que la solution est forte. Le chapitre deux comporte un schéma numérique dont on montre la convergence vers une solution faible. Les chapitres trois et quatre permettent de construire une solution forte dans un milieu monodimensionnel semi-infini, pour laquelle on sait établir un bilan d'énergie: les pertes sont purement visqueuses. Le problème est réduit à une inégalité variationnelle au bord faisant intervenir un opérateur pseudodifférentiel dont le terme principal est une dérivation d'ordre 3/2. Les chapitres cinq et six comportent des théorèmes de trace pour une équation des ondes amorties et pour un opérateur de viscoélasticité dans un demi-espace, avec application aux solutions fortes.

It is well known that a classical solution of the initial value problem for a scalar conservation law may fail to exist on the whole domain of definition of the problem. For this reason, suitable generalized solutions of such problems, known as weak solutions, have been considered and studied extensively. However, weak solutions are not unique. In order to obtain a unique solution that is physically relevant, the vanishing viscosity method, amongst others, has been employed to single out a unique solution known as the entropy solution. In this thesis we present an alternative approach to the study of the entropy solution of conservation laws. The main novelty of our approach is that the theory of entropy solution of conservation law is presented in an operator theoretic setting. In this regard, the Order Completion Method for nonlinear PDEs, in the context of convergence vector spaces, is modified to obtain an operator equation which generalizes the initial value problem. This equation admits at most one solution, which may be represented as a Hausdorff continuous function. As a particular case, we apply our method to obtain the entropy solution of the Burger's equation. Copyright
Dissertation (MSc)--University of Pretoria, 2011.
Mathematics and Applied Mathematics
Unrestricted

Dans cette thèse, nous avons étudié les méthodes de régularisation pour la résolution numérique de problèmes avec équilibres. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés aux problèmes de complémentarité au travers de deux applications : les équations en valeur absolue et les problèmes de parcimonie. Dans une seconde partie, nous avons étudié les problèmes d'optimisation sous contraintes de .complémentarité. Après avoir définies des conditions d'optimalité pour ces problèmes nous avons proposé une nouvelle méthode de régularisation appelée méthode des papillons. A partir d'une étude de la résolution des sous-problèmes de la régularisation nous avons défini un algorithme avec des propriétés de convergence forte. Tout au long de ce manuscrit nous nous sommes concentrés sur les propriétés théoriques des algorithmes ainsi que sur leurs applications numériques. La dernière partie de ce document est consacrée aux résultats numériques des méthodes de régularisation
In this thesis, we studied the regularization methods for the numerical resolution of problems with equilibria. In the first part, we focused on the complementarity problems through two applications that are the absolute value equation and the sparse optimization problem. In the second part, we concentrated on optimization problems with complementarity constraints. After studying the optimality conditions of this problem, we proposed a new regularization method, so-called butterfly relaxation. Then, based on an analysis of the regularized sub-problems we defined an algorithm with strong convergence property. Throughout the manuscript, we concentrated on the theoretical properties of the algorithms as well as their numerical applications. In the last part of this document, we presented numerical results using the regularization methods for the mathematical programs with complementarity constraints

De nombreux problemes de calcul scientifique reclament la resolution de systemes lineaires. Des algorithmes recents et performants pour resoudre ces systemes sont bases sur les methodes de krylov. L'espace des solutions de celles-ci est un espace de krylov et la solution est alors definie par une condition d'orthogonalite dite de galerkin. Dans une premiere partie, on modifie la definition de la solution pour la resolution de systemes mal-conditionnes, en introduisant une nouvelle technique de regularisation basee sur des filtres polynomiaux. Le point fort de cette methode est que la forme des filtres n'est pas fixee par la methode mais peut etre quelconque, et donc dictee par les specificites du probleme. Dans la seconde partie, on modifie l'espace des solutions pour accelerer la convergence. Deux techniques sont explorees. La premiere permet de recycler un espace de krylov utilise pour resoudre une premiere equation. La seconde, basee sur des techniques de deflation, cherche a attenuer l'effet nefaste des plus petites valeurs propres. Cette derniere peut, de plus, s'affiner lors de la resolution de plusieurs systemes, jusqu'a eliminer completement l'impact de ces petites valeurs propres. Tous ces algorithmes sont simplementes et testes sur des problemes issus de l'analyse d'images et de la mecanique. Cette validation numerique confirme les resultats theoriques.

L'objet de cette these concerne le developpement de algorithmes nouveaux dans le code de resolution des equations de navier-stokes mathilda, dans le but d'ameliorer les taux de convergence vers la solution stationnaire dans les configurations de circuits internes de turbomachines. Pour se faire, ont ete analysees dans un premier temps les raisons pour lesquelles il est parfois difficile d'obtenir une solution stationnaire dans les geometries complexes de turbomachines. Une liste de methodes efficaces pouvant pallier ces difficultes a ete dressee. Les techniques de lissage des residus et de diagonalisation ont alors ete etudiees afin de reduire le nombre d'operations dans l'etape implicite du code. Une methode plus simple a ensuite ete mise au point : le pas de temps local. Son originalite reside dans l'utilisation de non seulement les contributions convectives et diffusives du fluide, mais aussi des frequences d'energie turbulente calculees grace au modele k - l. Des tests numeriques bi- et tridimensionnels montrent son efficacite. Afin de reduire les effets de la presence du pas de temps limite optimum de convergence du a la mauvaise dissipation des basses frequences, des methodes iteratives ont ete egalement etudiees. Finalement, c'est la technique multigrille qui a ete implantee afin d'evacuer rapidement les erreurs hors du domaine de calcul. Elle utilise la methode classique de jameson avec cycle en v ou w. Mais une nouvelle procedure peut supprimer les grilles grossieres si les basses frequences ne sont plus correctement dissipees ou ramenees vers les grilles fines. Cette operation peut s'effectuer grace a une fonction qui calcule le niveau de convergence de la solution grace a la conservativite des flux. De plus, cet algorithme multigrille adaptatif est parfaitement relie a une nouvelle strategie multidomaine qui prend en compte les recouvrements. Ainsi, les termes sources multidomaines sont annules sur les grilles grossieres afin que seule la grille fine dirige la solution pendant les calculs. Des tests numeriques bi- et tridimensionnels confirment l'efficacite de cette methode duale. Ainsi, grace aux methodes multigrilles et au pas de temps local, 75% de temps cpu peuvent etre economises lors du calcul des ecoulements dans des geometries complexes.

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude
The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves

Les résultats présentés dans ce mémoire sont dédiés à l'étude théorique et numérique de modèles en chimiotaxie-fluide motivés par un large éventail de phénomènes biologiques comme la chimiotaxie de populations cellulaires dans un fluide. Les deux premiers chapitres de cette thèse portent sur la chimiotaxie dans un fluide au repos. Au début, on généralise un schéma de volumes finis au cas de modèles isotropes de Keller-Segel avec des coefficients diffusifs scalaires généraux sur des maillages admissibles. Ensuite, on propose et on étudie un schéma monotone combinant les méthodes de volumes finis et d'éléments finis non conformes et permettant une discrétisation efficace et robuste de modèles de Keller-Segel avec des tenseurs diffusifs anisotropes hétérogènes sans imposer des conditions restrictives sur le maillage du domaine en espace. Les deux derniers chapitres sont dédiés à l'étude théorique (existence globale, unicité) et l'étude numérique (extension de la méthode combinée) du système chimiotactisme-fluide complet constitué d'équations chimiotaxiques anisotropes couplées aux équations de Navier-Stokes modélisant un fluide incompressible. Ce couplage s'effectue à travers les termes décrivant d'un part le transport des cellules vivantes et du chimio-attractant par le fluide et d'autre part la force gravitationnelle exercée par ces organismes vivants sur le fluide. Les travaux de cette thèse ont donné lieu à l'écriture d'un code de calcul très développé en Fortran 95 afin de valider nos résultats par des simulations numériques.

Abstract: Considering the Schrödinger equation $\Delta_x u = i\partial{u}/\partial{t}$, we have a solution $u$ on the form $$u(x, t)= (2\pi)^{-n} \int_{\RR} {e^{i x\cdot \xi}e^{it|\xi|^2}\widehat{f}(\xi)}\, d \xi, x \in \RR, t \in \mathbf{R}$$ where $f$ belongs to the Sobolev space. It was shown by Sjögren and Sjölin, that assuming $\gamma : \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ $ being a strictly increasing function, with $\gamma(0) = 0$ and $u$ and $f$ as above, there exists an $f \in H^{n/2} (\RR)$ such that $u$ is continuous in $\{ (x, t); t>0 \}$ and $$\limsup_{(y,t)\rightarrow (x,0),|y-x|<\gamma (t), t>0} |u(y,t)|= + \infty$$ for all $x \in \RR$. This theorem was proved by choosing $$\widehat{f}(\xi )=\widehat{f_a}(\xi )= | \xi | ^{-n} (\log | \xi |)^{-3/4} \sum_{j=1}^{\infty} \chi _j(\xi)e^{- i( x_{n_j} \cdot \xi + t_j | \xi | ^a)}, \, a=2,$$ where $\chi_j$ is the characteristic function of shells $S_j$ with the inner radius rapidly increasing with respect to $j$. The purpose of this essay is to explain the proof given by Sjögren and Sjölin, by first showing that the theorem is true for $\gamma (t)=t$, and to investigate the result when we use $$S^a f_a (x, t)= (2 \pi)^{-n}\int_{\RR} {e^{i x\cdot \xi}e^{it |\xi|^a}\widehat{f_a}(\xi)}\, d \xi$$ instead of $u$.

Confrontes a une crise demographique et sociale sans precedent, la majorite des regimes de retraites public bases en repartition ne sera plus en mesure d'assurer l'integralite du financement des retraites. Anticipant ces difficultes, la plupart des gouvernements europeens ont opte pour un reamenagement de leur retraite de base et la creation ou le developpement de leur retraite complementaire (ou supplementaire) en capitalisation. Autrefois enjeu national, la question des retraites requiere desormais un traitement europeen. En effet, la necessite d'une retraite decente et equivalente pour tous, en europe, participe a la libre circulation des personnes et des capitaux. Pour les salaries, si un accord est intervenu en matiere de retraite de base, la construction d'une europe de la retraite complementaire pietine. Il appartient des aujourd'hui de reprendre cette reflexion dans l'optique d'une reprise future des negociations. Dans cette hypothese, le fond de pension semble etre le plus a meme de concilier souverainete des etats membres et defense des libertes du traite de rome. Il convient des lors de preciser les contours de cette notion dont seule la france ignore, bien qu'en apparence, l' existence. Le fonds de pension a la fois structure juridique et instrument doit s'envisager sous deux angles distincts bien que complementaires: la definition theorique d'une part et la definition fonctionnelle d'autre part. La definition theorique conduit principalement a determiner le futur champ d'application du droit communautaire. La definition fonctionnelle quant a elle consiste en la determination des regles appliquees et applicables au mecanismes financier que constitue le fonds de pension. Ce droit des fonds de pension ainsi defini pourra servir de base dans l'immediat a une retraite complementaire en europe et a terme a une retraite communautaire unifiee
In front of an unprecedented demographic and social crisis, most of the public pension scheme based on repartition will not be able to insure the all pension financement. Anticipating those difficulties, most of european governements have chosen to plan their basic pension and tho create or to develop their supplementary (additionnal) fundeed pension. Using to be a national priority in the pasts, pension needs now an european treatment. Indeed, the need of egual pensions in europe takes part in european construction. Tough an agreement has been concluded for salaried employees, the construction of an europeen supplementary pension is not done yet. We have to think of it in order to go throught negociations. However pension fund seems to be the solution to conciliate member's state supremancy and rome treaty freedom defence. That's why it is necessary to identifiy this structure. Pension fund, at once juridical and financial structure must be look into two different but complementary vew: theoretical definition on one side and operational on the other side. Theoretical definition drive to determinate the future legal framework of community law. Operational definition lead to determinate rules to put to pension fund. The pension fund law as so defined could serve as a ready made bases for supplementary pension in europe and one day, for an standardized one

Extremum seeking control (ESC) is a classical adaptive control method aimed at locating and tracking optimal operating conditions in complex non-linear plants. Early results on ESC were restricted to plants that could bedescribed by Wiener or Hammerstein models. However, recent results haveshown that ESC will possess a stationary solution close to the optimum also for more general dynamical systems, provided the gradient estimation and feedback is sufficiently slow relative to the process dynamics. This thesis addresses the uniqueness of this solution and the achievable rate of convergence.The motivation for the work stems from the need to optimize a complex biofilm reactor, the CANON process, which if operated near a narrow optimum may significantly lower the cost of ammonium removal in wastewater treatment. Simulations of ESC applied to the CANON process reveal that, depending on initial conditions and tuning parameters, the ESC loop may converge to stationary solutions far removed from the optimum and that multiple stationary solutions may exist. Analysis of a general model for the ESC loop shows that the stationary solutions are characterized either by a gain condition or a phase lag condition on the locally linearized system, the latter indicating that the ESC loop can act as a phase-lock loop. The phase lag condition is shown to be satisfied close to the optimum, but can be fulfilled also at operating points with no relation to the optimality criterion whatsoever and this serves to explain the observed solution multiplicity. Bifurcation theory is employed to further analyze the stationary solutions of the ESC loop and conditions for existence of saddle-node bifurcations are derived. A saddle node bifurcation implies a hard loss of stability and the existence of multiple stationary solutions. It is also demonstrated, using examples, that the ESC loop may undergo other types of bifurcations, including period doubling bifurcations into chaos. For the considered example, the resulting chaotic solution is significantly closer to optimum than the underlying nominal limit cycle. Previous results on ESC applied to general dynamic systems have relied on the use of asymptotic methods, such as singular perturbations and averaging. This has resulted in a three time-scale separation of the problem, in which the gradient estimation and control have been forced to be significantly slower than the open-loop process dynamics. For most processes, including the CANON process studied in this thesis, this renders ESC of little practical use and we therefore consider relaxing some of the restrictive assumptions. Inparticular, we allow for any gradient estimation rate and significantly faster gradient feedback as compared to previous studies. Using a linear parameter varying (LPV) description of the plant, quantitative expressions for the convergence rate in terms of the ESC tuning parameters and plant properties are derived.

QC 20141106

Les Processus Markoviens Déterministes par Morceaux (PDMP) ont été introduits dans la littérature par M.H.A Davis comme une classe générale de modèles stochastiques. Les PDMP forment une famille de processus markoviens qui décrivent une trajectoire déterministe ponctuée par des sauts aléatoires. Dans une première partie, les PDMP sont utilisés pour calculer des probabilités d'événements redoutés pour un cas-test de la fiabilité dynamique (le réservoir chauffé) par deux méthodes numériques différentes : la première est basée sur la résolution du système différentieldécrivant l'évolution physique du réservoir et la seconde utilise le calcul de l'espérancede la fonctionnelle d'un PDMP par un système d'équations intégro-différentielles.Dans la seconde partie, nous proposons une méthode numérique pour approcher lafonction valeur du problème d'arrêt optimal pour un PDMP. Notre approche estbasée sur la quantification de la position après saut et le temps inter-sauts de lachaîne de Markov sous-jacente au PDMP, et la discréetisation en temps adaptée à latrajectoire du processus. Ceci nous permet d'obtenir une vitesse de convergence denotre schéma numérique et de calculer un temps d'arrêt ε-optimal
Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP's) have been introduced inthe literature by M.H.A. Davis as a general class of stochastics models. PDMP's area family of Markov processes involving deterministic motion punctuated by randomjumps. In a first part, PDMP's are used to compute probabilities of top eventsfor a case-study of dynamic reliability (the heated tank system) with two di#erentmethods : the first one is based on the resolution of the differential system giving thephysical evolution of the tank and the second uses the computation of the functionalof a PDMP by a system of integro-differential equations. In the second part, wepropose a numerical method to approximate the value function for the optimalstopping problem of a PDMP. Our approach is based on quantization of the post-jump location and inter-arrival time of the Markov chain naturally embedded in thePDMP, and path-adapted time discretization grids. It allows us to derive boundsfor the convergence rate of the algorithm and to provide a computable ε-optimalstopping time

In this dissertation we first derive a new unified upper solution bound for the continuous coupled algebraic Riccati equation, which arises from the optimal control of a Markovian jump linear system. In particular, we address the issue of rank deficiency with the control matrices. In the case of rank deficiency the existing matrix upper bounds are inapplicable. Moreover, our new result is not restricted to rank deficiency cases only. It now contains the existing results as special cases. Next, an iterative refinement is presented to improve our new unified matrix upper solution bounds. In particular, this iterative refinement determines a monotonically decreasing sequence of upper bounds for the solution of the continuous coupled algebraic Riccati equation. We formulate a new iterative algorithm by modifying this iterative refinement. We also prove that this new algorithm generates a monotonically decreasing sequence of matrix upper solution bounds that converges to the maximal solution of the continuous coupled algebraic Riccati equation. Furthermore, we prove the convergence of an accelerated Riccati iteration which computes a positive semidefinite solution of the continuous coupled algebraic Riccati equation. In particular, we establish sufficient conditions for the convergence of this algorithm. We also prove that for particular initial values this algorithm determines a monotonically increasing sequence of positive semidefinite matrices that converge to the minimal solution of the continuous coupled algebraic Riccati equation. Additionally, we show that for specific initial values this algorithm generates a monotonically decreasing sequence that converges to the maximal solution of the continuous coupled algebraic Riccati equation. In addition, we prove that this accelerated Riccati iteration converges faster than the Riccati iteration. Finally, we formulate a weighted modified accelerated Riccati iteration which is a more generalized Riccati type iteration. All of the existing Riccati iterations are now the special cases of this algorithm. Furthermore, we establish sufficient conditions for the convergence of this algorithm and we prove the monotonic convergence of the sequence generated by this algorithm. We also discuss how the weight and other quantities affect the rate of convergence of this algorithm. Illustrative numerical examples are also presented.