Academic literature on the topic 'Équations d'Euler-Lagrange'

On s'intéresse à la résolution numérique des équations de la mécanique des fluides pour un écoulement, incompressible, visqueux, isotherme, bidimensionnel. La discrétisation temporelle est effectuée en utilisant une formulation d'Euler-Lagrange est une discrétisation de type différences finies: méthode à deux demi-pas fractionnaires principaux. La discrétisation spatiale est de type éléments finis. Afin de pouvoir mailler aisément des configurations géométriques diverses, le domaine de calcul est subdivisé en éléments triangulaires à trois nœuds où la vitesse est linéaire et la pression constante, élément pouvant se raccorder avec des éléments quadrilatères où la vitesse est bilinéaire. Le maillage engendré est non structuré. Le système linéaire fournissant le «champ de pression, obtenu en écrivant que l'équation de continuité est satisfaite pour tout élément est, avec ce type de discrétisation spaciale, singulier. Deux principales méthodes permettant d'éviter cette singularité sont présentées: la méthode de pseudo-compressibilité et la méthode de pénalité. L'équation de continuité n'est plus exactement satisfaite. Le code de calcul réalisé, utilisant la méthode de pénalité, est opérationnel et a permis d'effectuer de nombreux essais fixant les limites d'utilisation de cette méthode

Le présent manuscrit est dédié à la modélisation analytique et numérique des systèmes dispersifs non-linéaires, notamment les équations de Serre-Green-Naghdi (SGN) et le modèle du liquide à bulles de Iordanskii-Kogarko-Wijngaarden (IKW). Ces modèles partagent une structure commune. Tout d'abord, les pressions des deux modèles dépendent des dérivées matérielles de leurs variables macroscopiques. Ensuite, les équations de SGN et IKW sont les équations d'Euler-Lagrange qui viennent du principe d'Hamilton de l'action stationnaire, chacun avec son lagrangien naturel. Enfin, les équations sont invariantes par rapport à la transformation de Galilée, ce qui est nécessaire pour les modèles mathématiques physiquement pertinents. Dans une première partie nous dérivons les équations de modulation de Whitham pour le modèle de SGN et nous montrons qu'elles sont strictement hyperboliques quelque soit l'amplitude d'onde, i.e. que les paquets d'ondes périodiques sont modulationnellement stables. Les tests numériques pour le système complet SGN sont présentés, ils confirment les résultats théoriques. Dans une seconde partie, nous dérivons et étudions un modèle multidimensionnel qui se rapproche des deux modèles SGN et IKW, en utilisant l'approche du lagrangien étendu. Le nouveau modèle est hyperbolique et décrit précisément les phénomènes dispersifs, et de plus il possède les propriétés des équations d'Euler, ce qui permet d'imposer les conditions initiales discontinues et d'étudier les ondes de choc dispersifs. Les tests numériques pour les chocs dispersifs 1-D et 2-D sont présentés. Les résultats sont en bon accord avec ceux obtenus par des modèles numériques du système SGN exacte<br>The present thesis is devoted to analytical and numerical modeling of nonlinear dispersive systems, notably Serre-Green-Naghdi equations (SGN equations) and Iordanskii-Kogarko-Wijngaarden bubbly fluids model (IKW model). These models share the common structure. First, pressures of both models depend on the material derivatives of their macroscopic variables. Second, SGN and IKW equations are the Euler-Lagrange equations coming from Hamilton's principle of stationary action, each one with its natural Lagrangian. Finally, the equations are Galilean invariant which is necessary for physically relevant mathematical models. In the first part we derive the Whitham modulation equations for the SGN model and prove that these equations are strictly hyperbolic for any wave amplitude, i. e. that the periodic wave solutions of the SGN equations are modulationally stable. Numerical simulations of the full SGN equations are also shown, and these results confirm the theoretical stability results found by using the Whitham modulation theory. In the second part, we derive and study a multi-dimensional model which approximates both the SGN and IKW systems using the extended Lagrangian approach. The new model is hyperbolic and accurately describes dispersive phenomena while possessing the properties of classic Euler equations, which allows to impose discontinuous initial data and study dispersive shock waves. We take the approximate SGN system as an example for numerical simulations. Numerical tests for 1-D and 2-D dispersive shock waves are presented. The results are in a good agreement with those obtained via existing numerical models of the exact SGN system

Ce travail est consacré à l’étude numérique de l’interaction entre un fluide compressible et une structure indéformable, en adaptant une famille récente de schémas d’ordre très élevé à la prise en compte de conditions aux bords particulières entre le fluide et la structure. Plus précisément,on évalue l’apport de schémas d’ordre strictement supérieur à 3 par rapport à des stratégies plus classiques dans la littérature restreintes aux ordres 1 et 2. Un résultat important est qu’il est possible de réaliser le couplage à tout ordre et qu’il existe des configurations pour lesquelles on observe un gain important pour les ordres élevés. Une revue bibliographique est faite rappelant les résultats théoriques concernant les systèmes hyperboliques et décrivant les méthodes utilisées dans la littérature pour la simulation de la dynamique des gaz et la prise en compte des conditions aux bords. Un schéma sur grilles cartésiennes décalées et d’ordre très élevé est proposé pour la résolution des équations d’Euler en 1D/2D. Ce schéma est basé sur le formalisme Lagrange-projection et bien que formulé en énergie interne assure conservation et consistance faible grâce à un correctif en énergie interne. Parallèlement, l’étude pour les systèmes hyperboliques linéaires de discrétisation à l’ordre très élevé des conditions aux bords est faite. Elle met en évidence la nécessité pour l’ordre élevé de s’intéresser à la stabilité des schémas ainsi obtenus. À partir de ces travaux, la prise en compte de conditions aux bords en vitesse normale imposée est réalisée pour les équations d’Euler en 1D et 2D. Enfin, une procédure de couplage entre fluide compressible et structure indéformable est proposée<br>This work is devoted to the construction of stable and high-order numerical methods in order to simulate fluid - rigid body interactions. In this manuscript, a bibliographic overview is done, which highlights theoretical results about hyperbolic system of conservation laws, as well as the methods available in the literature for the hydrodynamics simulation and the numericalboundary treatment. A high-order accurate scheme is proposed on staggered Cartesian grids to approximate the solution of Euler equations in 1D and 2D. The scheme relies on Lagrange-remap formalism, and although formulated in internal energy, ensures both conservation and weak consistency thanks to an internal energy corrector. In the same time, the study of high-order numerical boundary treatment for linear hyperbolic system is done. It highlights the necessity to focus especially on the linear stability of the effective scheme. Starting from the linear results, the numerical boundary treatment with imposed normal velocity is done for Euler equations in 1D and 2D. Last, the coupling between a compressible fluid and a rigid body is realized, using the designed procedure for numerical boudary treatment

On présente un modèle hyperbolique quasi-linéaire de premier ordre approximant les équations d'Euler-Korteweg (E-K), qui décrivent des écoulements de fluides compressibles dont l'énergie dépend du gradient de la densité. Le système E-K peut être vu comme les équations d'Euler-Lagrange d'un Lagrangien soumis à la conservation de la masse. Vu la présence du gradient de la densité dans le Lagrangien, des dérivées d'ordre élevé de la densité apparaissent dans les équations du mouvement. L'approche présentée ici permet d'obtenir un système d'équations hyperboliques qui approxime le système E-K. L'idée est d'introduire un nouveau paramètre d'ordre qui approxime la densité via une méthode de pénalisation classique. Le gradient de cette nouvelle variable remplace alors le gradient de la densité dans le Lagrangien, ce qui permet de construire le Lagrangien augmenté. Les équations d'Euler-Lagrange associées à celui-ci, sont des équations hyperboliques avec des termes sources raides et des vitesses de caractéristiques rapides. Ce système est analysé puis résolu numériquement en utilisant des schémas de type IMEX. En particulier, cette approche a été appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire défocalisante (qui peut être réduite au système E-K via la transformée de Madelung), pour laquelle des comparaisons avec des solutions exactes et asymptotiques ont été faites, notamment pour des solitons gris et des ondes de choc dispersives. La même approche a été également appliquée aux équations de filmes minces avec capillarité, pour lesquelles une comparaison avec des résultats numériques de référence et des résultats expérimentaux a été faite. Il a été démontré que le modèle augmenté peut aussi bien s'appliquer pour des modèles dont le terme de capillarité est non-linéaire. Dans ce même cadre, une étude de gouttes stationnaires sur un substrat solide horizontal a été établie afin de classifier les profils possibles de gouttes selon leur énergie. Ceci a permis également de faire des comparaisons du modèle augmenté sur des solutions stationnaires. Enfin, une partie indépendante de ce travail est consacrée à l'étude des équations équivalentes associées aux schémas numériques, où l'on démontre que les conditions de stabilité qui dérivent d'une troncature de l'équation équivalente, n'a du sens que si la série correspondante dans l'espace de Fourier est convergente, sur les longueurs d'onde admissibles dans la pratique<br>An approximate first order quasilinear hyperbolic model for Euler-Korteweg (E-K) equations, describing compressible fluid flows whose energy depend on the gradient of density, is derived. E-K system can be seen as the Euler-Lagrange equations to a Lagrangian submitted to the mass conservation constraint. Due to the presence of the density gradient in the Lagrangian, one recovers high-order derivatives of density in the motion equations. The approach presented here permits us to obtain a system of hyperbolic equations that approximate E-K system. The idea is to introduce a new order parameter which approximates the density via a carefully chosen penalty method. The gradient of this new independent variable will then replace the original gradient of density in the Lagrangian, resulting in the so-called augmented Lagrangian. The Euler-Lagrange equations of the augmented Lagrangian result in a first order hyperbolic system with stiff source terms and fast characteristic speeds. Such a system is then analyzed and solved numerically by using IMEX schemes. In particular, this approach was applied to the defocusing nonlinear Schrödinger equation (which can be reduced to the E-K equations via the Madelung transform), for which a comparison with exact and asymptotic solutions, namely gray solitons and dispersive shock waves was performed. Then, the same approach was extended to thin film flows with capillarity, for which comparison of the numerical results with both reference numerical solutions and experimental results was performed. It was shown that the augmented model is also extendable to models with full nonlinear surface tension. In the same setting, a study of stationary droplets on a horizontal solid substrate was conducted in an attempt to classify droplet profiles depending on their energy forms. This also allowed to compare the augmented Lagrangian approach in the case of stationary solutions, and which showed excellent agreement with the reference solutions. Lastly, an independent part of this work is devoted to the study of modified equations associated to numerical schemes for stability purposes. It is shown that for a linear scheme, stability conditions which are obtained from a truncation of the associated modified equation, are only relevant if the corresponding series in Fourier space is convergent for the admissible wavenumbers

En mathématiques, le calcul des variations est un ensemble de méthodes permettant la détermination de solutions à des problèmes d'optimisation des quantités traduites en termes de fonctionnelle. De nombreuses applications existent, notamment dans la recherche de courbes ou de surfaces minimales. Les systèmes dynamiques considérés sont de natures diverses (équations différentielles, intégrales ou stochastiques) et modélisent des problèmes d'origines multiples : aérospatiale, automobile, biologie, économie, médecine, etc. Le théorème de Noether présente un fort intérêt puisqu'il propose une loi de conservation explicite (traduisant souvent une quantité physique comme l'énergie totale ou le moment angulaire en mécanique classique) qui permet de réduire ou d'intégrer l'équation différentielle associée par quadrature. L'objectif de ma thèse contient de nombreux thèmes, dans le premier but nous allons : *) donner le théorème de Noether discret dans le cadre ”time scale” (Le formalisme lagrangien et hamiltonien). Le passage de la nature discrète à la nature continue de la structure la morphologie est d'un intérêt primordial en physique pour comprendre comment la microstructure peut influencer les propriétés macroscopiques du matériau à plus grande échelle. Ce passage peut être modélisé par un système discret appelé 'Hencky's chain' et l'équation du mouvement est donnée par des équations aux différences non linéaires et cette équation ne possède pas de Lagrangien. Le deuxième but nous allons : *) donner les structures lagrangienne, hamiltonienne via le facteur intégrant et trouver la solution analytique de l'équation non locale au sens d'Eringen (nonlocalité différentielle d'Eringen, 1983). Le troisième but nous allons : *) étudier l'existence des formulations variationnelles via le principe de Brezis Ekeland-Nayroles (Gery de Saxce) - application sur la formulation 4D développée par E. Rouhaud pour l'étude des déformations des matériaux *) développer des schémas numériques qui respectent certaines particularités. En particulier, un schéma permettent de mettre en œuvre la théorie 4D développée par E. Rouhaud. *) applications numériques et théoriques sur le problème des déformations des matériaux<br>The aim of this thesis is to deal with the connection between continuous and discrete versions of a given object. This connection can be studied in two different directions: one going from a continuous setting to a discrete analogue, and in a symmetric way, from a discrete setting to a continuous one. The first procedure is typically used in numerical analysis in order to construct numerical integrators and the second one is typical of continuous modeling for the study of micro-structured materials.In this manuscript, we focus our attention on three distinct problems. In the first part, we propose a general framework precising different ways to derive a discrete version of a differential equation called discrete embedding formalism.More precisely, we exhibit three main discrete associate: the differential, integral or variational structure in both classical and high-order approximations.The second part focuses on the preservation of symmetries for discrete versions of Lagrangian and Hamiltonian systems, i.e., the discrete analogue of Noether's theorem.Finally, the third part applies these results in mechanics, i.e., the problem studied by N. Challamel, Kocsis and Wang called Eringen's nonlocal elastica equation which can beobtained by the continualization method. Precisely, we construct a discrete version of Eringen's nonlocal elastica then we study the difference with Challamel's proposal

L'objectif de cette thèse est de contribuer à l'optimisation de problèmes dynamiques en présence de retard. Le point de vue qui nous intéressera est celui de Pontryagin qui dans son ouvrage publié en 1962 a donné les conditions nécessaires d'existence de solutions pour ce type de problème. Warga dans son ouvrage publié en 1972 a fait un catalogue des solutions possible, Li et al. ont étudié le cas de contrôle périodique. Notre méthode de démonstration est directement inspirée de la démonstration de P. Michel du cas des systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires. La principale difficulté pour cette approche est l'utilisation de la résolvante de l'équation différentielle fonctionnelle linéarisée de l'équation différentielle fonctionnelle d'évolution qui gouverne le système. Nous traitons aussi de condition d'Euler-Lagrange dans le cadre d'un problème de calcul variationnel avec retard<br>In this thesis, we have attempted to contribute to the optimization of dynamical problems with delay in state space. We are specifically interested in the viewpoint of Pontryagin who outlined in his book published in 1962 the necessary conditions required for solving such problems. In his work published in 1972, Warga catalogued the possible solutions. Li and al. analyzed the case of periodic control. We will treat an optimal control problem governed by a Delay Functional Differential Equation. Our method is close to the one of P. Michel on dynamical system governed by Ordinary Differential Equations. The main problem ariving out in this approach is the use of the resolvent of the Delay Functional Differential Equation. We also consider with Euler-Lagrange condition in the framework of variational problems with delay

Les UAVs suscitent un intérêt croissant de la part de l’industrie et des universités en raison de leur large application dans la recherche et le sauvetage, l’inspection des infrastructures, la surveillance, entre autres. Cette thèse se concentre sur la recherche dans le domaine des systèmes de téléopération pour véhicules quadrirotor. Tout au long de cette thèse, un système de téléopération pour un véhicule quadrirotor a été développé. Dans ce système, l’interface utilisateur est basée sur une approche de téléprésence virtuelle. Des algorithmes de contrôle ont été développés et mis en œuvre dans les systèmes maître et esclave. La première partie de cette thèse consiste à développer des modèles mathématiques de la dynamique d’un avion quadrotor. La plupart des travaux actuellement trouvés dans la littérature pour les quadrotors sont basés sur des approches classiques telles que les angles d’Euler. Ces représentations peuvent conduire à des problèmes tels que des discontinuités, des singularités, des verrous à cardan et des équations hautement non linéaires. Une alternative à ces représentations classiques sont les quaternions unitaires. Ceux-ci présentent les avantages du manque de singularités et d’effets de verrouillage de la nacelle. La deuxième partie de ce travail a été consacrée au développement d’un système de téléopération à quatre rotors. Ce système se compose d’une interface utilisateur virtuelle dans un environnement local et d’un quadrotor dans un environnement distant. Une communication UDP a été utilisée pour communiquer les deux environnements. L’utilisateur manipule un drone virtuel dans l’environnement local et un vrai drone suit les références de position et d’orientation dans un environnement distant. L’utilisateur reçoit un retour virtuel sur les états du véhicule réel dans l’environnement virtuel. Les résultats de la mise en œuvre du système de téléopération proposé en temps réel sont présentés. La dernière partie de cette thèse aborde le problème des retards dans le système de téléopération. Les retards dus à la latence du système et à la distance entre les environnements ont été modélisés comme une entrée de commande retardée. Ensuite, un contrôleur basé sur des prédicteurs a été développé afin de maintenir la stabilité du vol d’un drone. Cette approche a été appliquée au modèle classique d’Euler-Lagrange et au modèle basé sur les quaternions afin d’analyser les performances. Des simulations des deux modèles avec des entrées retardées sont présentées<br>Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) are receiving increasing interest from industry and academia due to their wide application in search and rescue, infrastructure inspection, surveillance, among others. This thesis focuses on research in the area of teleoperation systems for quadrotor vehicles. Throughout this thesis, a teleoperation system for a quadrotor vehicle was developed. In this system, the user interface is based on a virtual telepresence approach. Control algorithms were developed and implemented within the master and slave systems. The first part of this thesis consists of developing mathematical models of the dynamics of a quadrotor aircraft. Most works currently found in the literature for quadrotors are based on classical approaches such as Euler angles. These representations can lead to problems such as discontinuities, singularities, gimbal-locks, and highly non-linear equations. An alternative to these classical representations are unit quaternions. These have the advantages of the lack of singularities and gimbal lock effects. The second part of this work was dedicated to the development of a quadrotor teleoperation system. This system consists of a virtual user interface in a local environment and a quadrotor in a remote environment. A User Datagram Protocol (UDP) communication was used to communicate both environments. The user manipulates a virtual drone in the local environment and a real drone follows the position and orientation references in a remote environment. The user receives virtual feedback on the states of the real vehicle in the virtual environment. Results of the implementation of the proposed teleoperation system in real time are presented. The last part of this thesis addresses the delay problem in the teleoperation system. Delays due to system latency and the distance between environments were modeled as a delayed control input. Then, a predictor-based controller was developed in order to maintain the stability of a drone’s flight. This approach was applied to the classical Euler- Lagrange model and to the quaternion-based model in order to analyze performance. Simulations of both models with delayed inputs are presented

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des problèmes de segmentation d'images sous contraintes géométriques. Cette problématique a émergé suite à l'analyse de plusieurs méthodes classiques de détection de contours qui a été faite. En effet, ces méthodes classiques (Modèles déformables, contours actifs géodésiques, 'fast marching', etc...) se révèlent caduques quand des données de l'image sont manquantes ou de mauvaise qualité. En imagerie médicale par exemple, des phénomènes d'occlusion peuvent se produire : des organes peuvent se masquer en partie l'un l'autre (ex du foie). Par ailleurs, deux objets qui se jouxtent peuvent posséder des textures intrinsèques homogènes si bien qu'il est difficile d'identifier clairement l'interface entre ces deux objets. La définition classique d'un contour qui est caractérisé comme étant le lieu des points connexes présentant une forte transition de luminosité ne s'applique donc plus. Enfin, dans certains contextes d'étude, comme en géophysique, on peut disposer en plus des doneées d'imagerie, de données géométriques à intégrer au processus de segmentation.<br /><br />Pour pallier ces difficultés, nous proposons ici des modèles de segmentation intégrant des contraintes géométriques et satisfaisant les critères classiques de détection avec en particulier la régularité sur le contour que cela implique.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à des problèmes de segmentation d'images sous contraintes géométriques. Cette problématique a émergé suite à l'analyse de plusieurs méthodes classiques de détection de contours qui a été faite. En effet, ces méthodes classiques (Modèles déformables, contours actifs géodésiques, "fast marching", etc. . . ) se révèlent caduques quand des données de l'image sont manquantes ou de mauvaise qualité. En imagerie médicale par exemple, des phénomènes d'occlusion peuvent se produire : des organes peuvent se masquer en partie l'un l'autre (ex. Du foie). Par ailleurs, deux objets qui se jouxtent peuvent posséder des textures intrinsèques homogènes si bien qu'il est difficile d'identifier clairement l'interface entre ces deux objets. La définition classique d'un contour qui est caractérisé comme étant le lieu des points connexes présentant une forte transition de luminosité ne s'applique donc plus. Enfin, dans certains contextes d'étude, comme en géophysique, on peut disposer en plus des données d'imagerie, de données géométriques à intégrer au processus de segmentation. Pour pallier ces difficultés, nous avons développé des modèles de segmentation intégrant des contraintes géométriques et satisfaisant les critères classiques de détection avec en particulier la régularité sur le contour que cela implique. Deux méthodes ont été développées. Dans la première (qui permet d'établir un problème d'interpolation), on s'attache à définir un problème de minimisation de fonctionnelle sur un espace de Hilbert. L'introduction des contraintes géométriques conduit à résoudre ce problème sur un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert. L'utilisation des multiplicateurs de Lagrange nous permet d'établir la formulation variationnelle du problème qui est ensuite discrétisé à l'aide d'une méthode différences finies pour la discrétisation temporelle et via une méthode e��léments finis pour la discrétisation spatiale. Des applications numériques viennent se greffer sur cette première partie. Un second modèle a été élaboré et s'appuie sur la recherche d'une courbe géodésique dans un espace de Riemann dont la métrique est liée à la fois au contenu de l'image et aux contraintes géométriques. Il s'agit ici d'un problème d'approximation et non plus d'interpolation. Un problème parabolique avec conditions au bord de type Neumann homogènes est établi. L'existence et l'unicité de la solution au sens de la viscosité est démontrée. La discrétisation est réalisée via un schéma AOS qui présente l'intérêt d'être inconditionnellement stable. Des applications sur des données réelles attestent de la bonne efficacité de l'algorithme.