Dissertations / Theses: 'Géométrie hyperbolique'

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Guéritaud, François. "Géométrie hyperbolique effective et triangulations idéales canoniques en dimension trois." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00119465.

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Abstract:

Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.

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Guéritaud, François. "Géométrie hyperbolique effective et triangulations idéales canoniques en dimension 3." Paris 11, 2006. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00119465.

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Abstract:

Nous etudions certaines decompositions de m en polyedres ideaux, ou m est une variete hyperbolique a pointe(s), de dimension 3. Par un theoreme d’epstein et penner, il existe une telle decomposition, dite ``de delaunay’’, canonique en un sens geometrique. Au chapitre 1 nous trouvons la decomposition de delaunay quand m fibre sur le cercle avec pour fibre un tore perce. La methode consiste a ``deviner’’ la combinatoire de la decomposition, puis a trouver des angles diedres positifs pour ses polyedres combinatoires : un theoreme de rivin dit que tout point critique de la fonctionnelle volume dans l’espace de deformation des angles diedres fournit la metrique hyperbolique. Les inegalites etablies pour montrer l’existence d’un tel point critique permettent alors de verifier que la decomposition est bien de delaunay. Au chapitre 2 nous etendons la methode a certains complementaires d’entrelcas (entrelacs a 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l’etendons aux cŒurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore perce (la decomposition est alors infinie, et certaines pieces ne sont pas des polyedres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du theoreme des laminations de plissage pour le tore perce. Au chapitre 4, nous etendons partiellement la methode aux complementaires d’entrelacs arborescents : sans trouver de point critique, nous caracterisons les entrelacs arborescents hyperboliques. Au chapitre 5, qui eclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynomes de laurent, qui generalisent les nombres de markoff, n’ont que des coefficients positifs We study certain decompositions of m into ideal polyhedra, where m is a cusped hyperbolic 3-manifold. A result of epstein and penner states that such a decomposition exists : in particular, the so-called delaunay decomposition, which is canonical in a geometric sense. In chapter 1, we find the delaunay decomposition for m a punctured-torus bundle over the circle. The method is to ``guess’’ the combinatorics of the decomposition, then find positive dihedral angles for its combinatorial polyhedra : by a theorem of rivin, any critical point of the volume functional in the deformation space of dihedral angles gives the hyperbolic metric. The inequalities involved in showing that such a critical point exists also imply that the decomposition is indeed delaunay. In chapter 2, we extend the method to certain link complements (notably, 2-bridge links). In chapter 3 we extend it to convex cores of quasifuchsian punctured-torus groups (here the decomposition is infinite, and has some non-polyhedral pieces). As a corollary, we re-prove the pleating lamination theorem for punctured-torus groups. In chapter 4, we partially extend the method to arborescent link complements : without finding critical points, we characterize hyperbolic arborescent links. In chapter 5, extending a proposition of chapter 3, we show that certain laurent polynomials, which generalize the markoff numbers, have only positive coefficients

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Frenkel, Elena. "Sur l'aire et le volume en géométrie sphérique et hyperbolique." Thesis, Strasbourg, 2018. http://www.theses.fr/2018STRAD028/document.

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Abstract:

L'objet de ce travail est de prouver des théorèmes de géométrie hyperbolique en utilisant des méthodes développées par Euler, Schubert et Steiner en géométrie sphérique. On donne des analogues hyperboliques de certaines formules trigonométriques en utilisant la méthode des variations et une formule pour l'aire d'un triangle. Euler utilisa cette idée en géométrie sphérique.On résout ensuite le problème de Lexell en géométrie hyperbolique. Cette partie est basée sur un travail en collaboration avec Weixu Su. En utilisant l'analogue hyperbolique des identités de Cagnoli, on prouve deux résultats classiques en géométrie hyperbolique. Ensuite, on donne les solutions aux problèmes de Schubert (en collaboration avec Vincent Alberge) et de Steiner. En suivant les idées de Norbert A'Campo, on donne l'ébauche de la preuve de la formule de Schlafli en utilisant la géométrie intégrale. Cette recherche peut être généralisée partiellement au cas de la dimension 3 Our aim is to prove sorne theorems in hyperbolic geometry based on the methods of Euler, Schubert and Steiner in spherical geometry. We give the hyperbolic analogues of sorne trigonometrie formulae by method of variations and an a rea formula in terms of sides of triangles, both due to Euler in spherical case. We solve Lexell's problem. This is a joint work with Weixu Su. We give a shorter formula than Euler's a rea formula. Using hyperbolic analogues of Cagnoli's identities, we prove two classical results in hyperbolic geometry. Further, we give solutions of Schubert's and Steiner's problems. The study of Schubert's problem is a joint work with Vincent Alberge. Finally, following ideas of Norbert A' Campo, we give the sketch of the proof of Schlafli formula using integral geometry. The mentioned theorems can be generalized to the case of dimension 3 partially by means of the techniques used developed in this the sis

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Roeder, Roland K. W. "Le Théorème d'Andreev sur polyèdres hyperboliques." Aix-Marseille 1, 2004. http://www.theses.fr/2004AIX1A014.

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Abstract:

E. M. Andreev a publié en 1970 une classification des polyèdres hyperboliques compacts de dimension trois dont les angles dièdres sont non-obtus. Etant donné une description combinatoire d'un polyèdre C, le Théorème d'Andreev dit que les angles dièdres possibles sont exactement d'ecrits par cinq classes d'inégalités linéaires. Le Théorème d'Andreev démontre également que le polyèdre résultant est alors unique à isométrie hyperbolique près. D'une part, le Théorème de Andreev est évidemment un énoncé intéressant de la géométrie de l'espace hyperbolique en dimension 3; d'autre part c'est un outil essentiel dans la preuve du Théorème d'Hyperbolization de Thurston pour les variétés Haken de dimension 3. Il est d'ailleurs remarquable à quel point la démonstration d'Andreev rappelle (en plus simple) la démonstration de Thurston. La démonstration d'Andreev contient une erreur importante. Nous corrigeons ici cette erreur et nous fournissons aussi une nouvelle preuve lisible des autres parties de la preuve, car le papier d'Andreev a la réputation d'être ``illisible''. Nous fournissons aussi une classification des tétraèdres hyperboliques; c'est un cas particulier qui n'est pas couvert par le Théorème d'Andreev, et effectivement le résultat est assez différent, car dans ce cas l'ensemble des angles dièdres possibles n'est pas convexe, même dans le cas où ces angles sont non-obtus In 1970, E. M. Andreev published a classification of all three dimensional compact hyperbolic polyhedra having non-obtuse dihedral angles. Given a combinatorial description of a polyhedron, C, Andreev's Theorem provides five classes of linear inequalities, depending on C, for the dihedral angles, which are necessary and sufficient conditions for the existence of a hyperbolic polyhedron realizing C with the assigned dihedral angles. Andreev's Theorem also shows that the resulting polyhedron is unique, up to hyperbolic isometry. Andreev's Theorem is both an interesting statement about the geometry of hyperbolic 3 dimensional space, as well as a fundamental tool used in the proof for Thurston's Hyperbolization Theorem for 3 dimensional Haken manifolds. It is also remarkable to what level the proof of Andreev's Theorem resembles (in a simpler way) the proof of Thurston. We correct a fundamental error in Andreev's proof of existence and also provide a readable new proof of the other parts of the proof of Andreev's Theorem, because Andreev's paper has the reputation of being ``unreadable''. We also provide a classification of hyperbolic tetrahedra which is a special case that is not covered by Andreev's Theorem, and effectively a different manner of result, because in this case the set of possible dihedral angles is non-convex, even in the case where these angles are non-obtuse

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Al, Ghabra Mouhammed Anwar. "Géométrie des espaces riemanniens." Mémoire, Université de Sherbrooke, 2017. http://hdl.handle.net/11143/10516.

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Abstract:

Dans ce travail, nous présentons une méthode de résolution de l'équation de la courbe géodésique en utilisant le symbole de Christoffel. En effet, l'équation de la courbe géodésique contient une dérivée covariante.

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Benoit, Antoine. "Problèmes aux limites, optique géométrique et singularités." Nantes, 2015. https://archive.bu.univ-nantes.fr/pollux/show/show?id=22a463d1-3a4e-4cf3-8e1f-afc0ffef6c4e.

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Abstract:

On s’intéresse aux problèmes aux limites hyperboliques posés dans le demi-espace ou dans le quart d’espace. Ce mémoire se compose de deux parties indépendantes, la première qui a trait aux problèmes dans le demi-espace concerne les problèmes faiblement bien posés au sens ou la solution est moins régulière que les données du problème. On montre alors l’optimalité des estimations d’énergie démontrées dans la littérature et un résultat de propagation à vitesse finie de l’information. Dans la seconde partie, à propos des problèmes dans le quart d’espace, on montre que le problème est fortement bien posé, au sens ou la solution est aussi régulière que les données du problème dans un cadre particulier, le cas symétrique à conditions de bord strictement dissipatives. Puis on apporte des contributions dans le cas général par rapport à la littérature. Enfin, on construit de façon rigoureuse le développement d’optique géométrique de la solution d’un problème dans le quart d’espace. Ce développement permet en particulier de mettre en évidence de nouveaux phénomènes comme par exemple, le phénomène d’autointeraction entre les phases, la génération d’un nombre infini de phases ou encore de concentration au coin We are interested in hyperbolic boundary value problems in the half space or in the quarter space. This manuscript is composed of two independant parts, the first one deals with weakly well-posed problems in the half space. By weakly well-posed we mean that the solution is not as regular as the source terms of the problem. In this framework, we show the optimality of energy estimates established in the existing literature and a finite speed of propagation result. In the second part of the manuscript, about hyperbolic boundary value problems in the quarter space, we show that the problem is strongly well-posed (in the sense that the solution is as regular as the source terms) in the particular framework of symetric with stricly dissipative boundary conditions problems. Then we give some new contributions about the strong well-posedness in the general framework. Finally, we construct rigorous geometric optics expansion of the solution of the problem in the quarter space. This expansion permits, in particular, to show that some new phenomenons such that selfinteraction phenomenons beetwen the phases, the generation of an infinite number of phases or the concentration at the corner

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Genzmer, Juliette. "Sur les triangulations des structures CR-sphériques." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00502363.

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Abstract:

Thurston montre comment munir le complémentaire du noeud de huit dans S³ d'une structure hyperbolique réelle complète en identifiant cet espace au recollement de deux tétraèdres. Falbel prolonge cette méthode dans le cadre CR-sphérique. Il obtient ainsi une géométrisation CR branchée pour le complémentaire du noeud. Cette approche passe par la résolution d'équations polynomiales dont les inconnues sont des invariants caractérisant les tétraèdres. La résolution de ces équations nous a permis de construire des représentations de groupes fondamentaux à valeur dans PU(2,1) pour des variétés non compactes. Dans le cas réel, la rigidité des structures hyperboliques complètes est assurée par le théorème de Mostow, tandis qu'il existe des représentations de variétés CR-sphériques compactes admettant des déformations. Le calcul du rang des équations précédemment évoquées permet de conclure à la rigidité d'une structure CR-sphérique triangulée dès qu'elle existe. Pour les représentations que nous avons construites, le rang des équations est systématiquement maximal. Dans le cas général, nous donnons des minorations du rang. Dans une partie indépendante, nous étudions le corps de trace de sous-groupes de SU(n,1). Nous établissons que pour un groupe G dans SU(2,1) Zariski dense qui contient une transformation parabolique, quitte à conjuguer G, son corps de trace est exactement le corps engendré par les coefficients de ses matrices.

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Mohsen, Olivier. "Familles de mesures au bord et bas du spectre." Palaiseau, École polytechnique, 2007. http://www.theses.fr/2007EPXX0013.

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Martin, Yves. "Conception et mise en oeuvre de micromondes de géométries non euclidiennes dans le cadre de la géométrie dynamique illustrées avec Cabri-géomètre : expérimentation en formation des maîtres." Université Joseph Fourier (Grenoble), 2003. http://www.theses.fr/2003GRE10123.

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Abstract:

Il s'agit dans ce travail, tout d'abord d'implémenter des outils d'explorations des géométries non euclidiennes dans un environnement dynamique, puis ensuite de proposer un large champ d'exploration et d'observer leurs effets sur les représentations géométriques de jeunes enseignants de mathématiques en fin de formation initiale. Dans une première partie, nous implémentons les modèles historiques (hyperboliques et elliptiques) , en particulier celui sur la pseudosphère de Beltrami (qui ne servira pas en formation), puis nous présentons les possibilités, avec la géométrie dynamique, d'utiliser la richesse de l'axiomatique de Bachmann, et en particuliers certains résultats qui ont une importance constructive indéniable. Cette base théorique sert de référence dans la formation initiale qui propose une construction des géométries sur la base des symétries orthogonales. Dans une seconde partie, nous rendons compte d'une formation répartie en 4 séances dans lesquelles les stagiaires IUFM "PLC2 Maths" d'abord se familiarisent puis rapidement maîtrisent les nouveaux concept par l'apport de la géométrie dynamique, de ses outils, et des représentations fortes qu'elle installe. En conclusion nous discutons de l'intérêt d'une telle formation pour les enseignants et tirons les conséquences, en terme d'évolution du cahier des charges, de l'utilisation massive de la géométrie dynamique construite pour l'euclidien, dans des contextes non euclidiens This study con cern s, first of ail, the implementation of the exploration tools of non euclidean geometries in a dynamic environment, and then to propose a wide range of exploration and to observe their effects on young mathematics teachers who are terminating their initial training. Ln the first part, we implement the historical models (hyperbolic & elliptic), particularly those on the Beltrami pseudosphere (which will not be used during the training period),and then we shall introduce different possibilities, with the dynamic geometry, by using the Bachmann axiomatic richness, and in particular, certain results which have an importance for Cabri constructions. This theoretical principle is used as a reference during the initial training, proposing a construction of geometries under the bases of orthogonal symetries. Ln the second part, we are aware of a training course divided up into four sessions, in which the IUFM "PLC2 Maths" trainees first familiarize, then rapidely master new concepts through dynamic geometry, with its tools, and finally get a clear representation of its understanding settle by the dynamic approach. Ln conclusion, we discuss the interest of such a training course for teachers and draw a conclusion on the consequences, in terms of the evolution of schedule conditions, extensively using dynamic geometry - made for euclidean - in non euclidean contexts

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Tapie, Samuel. "Bas du spectre et géométrie des variétés de volume infini." Grenoble 1, 2009. http://www.theses.fr/2009GRE10151.

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Abstract:

Cette thèse étudie les variétés non compactes dont le bas du spectre du Laplacien est une valeur propre isolée. L'objectif général est de relier la géométrie de ces variétés à certaines propriétés spectrales. Au Chapitre 2, nous étudions les variétés G-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe G sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable. Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions lambda-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements. Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes This thesis studies non compact manifolds whose bottom of the spectrum of the Laplacian is an isolated eigenvalue. The general purpose is to link the geometry of these manifolds to some spectral properties. In Chapter 2, we study G-periodic manifolds, which generalize periodic manifolds and coverings. We link the bottom of the spectrum of such a manifold with the one of its fundamental cell and the combinatorics of the underlying graph G. We show that these bottom of the spectrum are equal if and only if the graph is amenable. In Chapter 3, we give a characterization of the bottom of the spectrum of a manifold with boundary through positive lambda-harmonic functions. Then we show that for a generic metric, when the bottom of the spectrum is an isolated eigenvalue the first eigenfunction is Morse. Eventually, we show that for a generic covering, there is a fundamental domain for the action of the deck group on which the lift of the first eigenfunction satisfies Neumann conditions on the boundary. This allows us to apply the results of Chapter 2 to coverings. In Chapter 4, we present a conjecture due to R. Canary, stating that when deforming a 3D hyperbolic acylindrical and geometrically finite manifold, the bottom of the spectrum is maximal when the boundary of the convex core is smooth. In Chapter 5, a study of the entropy of convex cocompact manifolds with negative pinched curvature allows us to get a variation formula for the bottom of the spectrum in the case of deformations of hyperbolic convex cocompact manifolds

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Raujouan, Thomas. "Surfaces à courbure moyenne constante dans les espaces euclidien et hyperbolique." Thesis, Tours, 2019. http://www.theses.fr/2019TOUR4011.

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Abstract:

Les surfaces à courbure moyenne constante non-nulle apparaissent en physique comme solutions à certains problèmes d'interface entre deux milieux de pressions différentes. Elles sont décrites mathématiquement par des équations aux dérivées partielles et sont constructibles à partir de données holomorphes via une représentation similaire à celle de Weierstrass pour les surfaces minimales. On présente dans cette thèse deux résultats s'appuyantsur cette représentation, dite <>.Le premier indique que les données donnant naissance à un bout Delaunay de type onduloïde induisent encore un anneau plongé après perturbation.Cette propriété sert notamment à démontrer que certaines surfaces construites par la méthode DPW sont plongées. Le second résultat est la construction, dans l'espace hyperbolique, de n-noïdes : surfaces plongées, de genre zéro, à courbure moyenne constante et munies de n bouts de type Delaunay Non-zero constant mean curvature surfaces are mathematical models for physical interface problems with non-zero pressure difference. They are described by partial differential equations and can be constructed from holomorphic data via a Weierstrass-type representation, called "the DPW method". In this thesis, we use the DPW method and prove two main results. The first one states that perturbations of the DPW data for Delaunay unduloidal ends generate embedded annuli. This can be used to prove the embeddedness of surfaces constructed via the DPW method. The second result is the construction of n-noids in Hyperbolic space: genus 0, embedded, constant mean curvature surfaces with n Delaunay ends

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De, Oliveira Filho Geraldo. "Compactification des variétés minimales dans l'espace hyperbolique H [exposant] n." Paris 7, 1990. http://www.theses.fr/1990PA077158.

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Abstract:

Une variété minimale complète immergée dans l'espace hyperbolique, dont la courbure totale est finie, peut être étendue de façon continue jusqu'a la sphère à l'infini. Des hypothèses supplémentaires sur la décroissance de la seconde forme fondamentale, impliquent une plus grande régularité à l'infini de la variété. Aussi, des surfaces minimales complètes, plongées et stables dans l'espace hyperbolique h3, sont construites dont le bord à l'infini est lisse

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Bellis, Alexandre. "Étude topologique du flot horocyclique : le cas des surfaces géométriquement infinies." Thesis, Rennes 1, 2018. http://www.theses.fr/2018REN1S017/document.

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Abstract:

On étudie le comportement topologique du flot horocyclique sur des surfaces hyperboliques géométriquement infinies. Cette étude est intimement liée à celle du flot géodésique sur ces surfaces. Le premier chapitre commence par introduire les objets de géométrie hyperbolique que nous utiliserons. Il présente ensuite une classe de surfaces, les flûtes hyperboliques, qui couvrent une grande partie de la complexité des surfaces géométriquement infinies. Enfin, il aborde la notion de finesse asymptotique d'une demi-géodésique, qui donne la limite inférieure du rayon d'injectivité de la surface le long de la demi-géodésique. Le deuxième chapitre est consacré aux propriétés classiques du flot horocyclique sur lesquelles nous baserons nos preuves. Le troisième chapitre concerne l'étude de l'intersection entre l'adhérence de l'orbite horocyclique issue d'un vecteur u d'une surface hyperbolique et la demi orbite géodésique issue de ce même vecteur. Nous montrons que si la finesse asymptotique de la demi-orbite géodésique issue de u est finie et si u n'est pas périodique pour le flot horocyclique, cette intersection contient une infinité divergente de points. Par ailleurs, si la finesse asymptotique est nulle, alors cette intersection est égale à toute la demi-orbite géodésique positive. Nous montrons cependant que même si la finesse asymptotique n'est pas nulle, la demi-orbite géodésique peut tout de même être contenue dans cette intersection. Le quatrième chapitre étudie les liens entre une orbite horocyclique issue d'un vecteur u et la feuille fortement stable associée. Nous commençons par montrer que les adhérences de ces deux ensembles coïncident toujours. Cependant, cette propriété ne s'étend pas aux ensembles eux-mêmes et nous donnons ensuite une condition suffisante pour que qu'ils ne coïncident pas. Nous montrons qu'alors la feuille fortement stable est une union d'une quantité non dénombrable d'orbites horocycliques We study the topological behavior of the horocycle flow on geometrically infinite hyperbolic surfaces. This study and that of the geodesic flow are deeply interwoven. The first chapter introduces the basic objects of hyperbolic geometry that we will use. Next, it presents a class of surfaces, the hyperbolic flutes, which carries most of the complexity of geometrically infinite surfaces. Then, it details the notion of asymptotic thinness for a half-geodesic, which determines the size of the most thin parts that this half-geodesic crosses. The second chapter focuses on the classical properties of the horocycle flow on which we will base our proofs. The third chapter presents the study of the intersection between the closure of a horocyclic orbit stemming from a vector u on a hyperbolic surface and the positive half-geodesic stemming from the same vector. We show that if the asymptotic thinness of the half-orbit stemming from u is finite and if u is not periodic for the horocycle flow, then this intersection contains an unbounded sequence of points. Moreover, if the asymptotic thinness is zero, then all the halfgeodesic orbit is included in the intersection. However, we also prove that the half-geodesic orbit can be included in the intersection and even if the asymptotic thinness is not zero. The fourth chapter studies the links between a horocyclic orbit starting from a vector u and the strong stable manifold associated to u. We first show that the closure of these two sets are always the same. However, we then give a sufficient condition for these two sets to be different and we prove that in this case, the strong stable manifold is a reunion of an uncountable number of horocyclic orbits

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Renard, Claire. "Revêtements finis d'une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles." Phd thesis, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00680760.

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Dans le cadre des variétés hyperboliques, Thurston a conjecturé que toute variété hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, complète et de volume fini possède un revêtement fini qui est fibré sur le cercle. En lien avec cette conjecture, le résultat principal de cette thèse donne des conditions suffisantes pour qu'un revêtement fini d'une variété hyperbolique M de dimension trois fibre sur le cercle, ou du moins contienne une fibre virtuelle. Soit F une surface close, orientable, plongée et proche d'une surface minimale, dans un revêtement fini M' de M et séparant M' en corps en anses. La condition pour qu'il existe une fibre virtuelle dans le complémentaire de F est donnée par une inégalité faisant intervenir le degré d du revêtement, le genre g de la surface, le nombre q de corps en anses et une constante k ne dépendant que du volume et du rayon d'injectivité de M. En appliquant ce théorème à un scindement de Heegaard de genre minimal du revêtement M', on obtient une version sous-logarithmique des conjectures de Lackenby sur le gradient de Heegaard et le gradient de Heegaard fort. Le théorème principal s'applique également dans le cadre d'une décomposition circulaire associée à une classe d'homologie non triviale. Nous obtenons par exemple des conditions suffisantes pour qu'une classe d'homologie non triviale de M corresponde à une fibration sur le cercle. Des méthodes analogues permettent aussi de donner une condition suffisante pour qu'une surface incompressible plongée dans M soit une fibre virtuelle. Enfin, nous donnons un critère pour que dans une tour de revêtements finis le premier nombre de Betti tende vers l'infini.

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Voituriez, Raphaël. "Différents aspects de la physique statistique de systèmes avec contraintes topologiques." Paris 11, 2002. http://www.theses.fr/2002PA112121.

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Abstract:

Ce travail présente différentes méthodes permettant une étude statistique de systèmes avec contraintes topologiques. Des exemples de telles contraintes issus de domaines variés sont exposés. Dans le cas de systèmes à géométrie linéaire comme les polymères, la modélisation proposée mène à l'étude de processus stochastiques sur le groupe fondamentale de l'espace des configu- rations. Deux modèles, décrivant différents cas d'emmêlements de tels objets linéaires sont exposés en détails. Le premier, RWAO, décrit un polymère évoluant dans un espace avec obstacles. Le second traite d'objets dirigés et se ramène à l'étude de marches aléatoires sur le groupe de tresses B3. La résolution du problème de marche aléatoire sur groupe associé à chacun de ces modèles donne accès à différentes quantités physiquement pertinentes. La géométrie hyperbolique sous-jacente à ces groupes d'homotopie est étudiée, et permet en particulier la définition et le calcul de la distribution d'un inva- riant topologique d'origine géométrique. L'étude des espaces de recouvrement est menée pour différents modèles, et permet de définir analytiquement des surfaces aux propriétés multifractales intéressantes This work presents different methods allowing a statistical study of sys- tems with topological constraints. Exemples of such constraints coming from different fields of science are exposed. Ln the case of linear abjects such as polymers, the model proposed here leads to the study of stochastic pro cesses on the fundamental group of the configuration space. Two models describing different types of entanglements of such linear abjects are exposed in details. The first one, RWAO, describes a polymer living in a space with obstacles. The second one deals with directed abjects, and is modelized by random walks on braid groups En. Resolution of the random walk on group problem associated with each of these models gives access to different quantities of physical interest. The hyperbolic geometry underlying these homotopy groups is studied, and allows in particular definition and computation of a new "geo- metrical" topological invariant. The study of covering spaces is tackeled, and leads to surfaces with interesting multifractal properties

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Debin, Clément. "Géométrie des surfaces singulières." Thesis, Université Grenoble Alpes (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016GREAM078/document.

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Abstract:

La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des "surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov". Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces "raisonnables" que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the "surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense". It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any "reasonable" surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties

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Mondal, Sugata. "Small eigenvalues of hyperbolic surfaces." Toulouse 3, 2013. http://thesesups.ups-tlse.fr/2233/.

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Abstract:

Une surface hyperbolique est une variete complete S de dimension 2 de courbure Sectionnelle egale a -1. Dans cette these on considere l'action du Laplacien de cette metrique. On appelle petite valeur propre toute valeur propre inferieure ou egale a 1/4. Notre theme general de recherche est de borner le nombre de valeurs propres en fonction de la topologie de S lorsque S est d'aire finie. Un theoreme d'Otal-Rosas qui dit que le nombre de petites valeurs propres d'une surface hyperbolique de genre g est au plus 2g-2, confirmant une conjecture de Buser. Nous donnons une version quantitative de ce resultat en donnant la minoration {\lambda_{2g-2}}(S)> 1/4 +{\epsilon_0}(S) pour une fonction {\epsilon_0}(S) > 0 explicite qui ne depend que de la geometrie de S. Notre demonstration utilise des inegalites geometriques comme celle de Faber-Krahn ou celle de Cheeger. Il est conjecture d'autre part que pour une surface hyperbolique non compacte de type (g, n), le nombre de petites valeurs propres paraboliques est ><=2g- 3. Nous montrons que sur un ouvert non-vide de l'espace modulaire Mg;n, ce nombre de valeurs propres est <= 2g- 2. Notre demonstration est basee sur un theoreme decrivant le comportement d'une suite de petites fonctions propres paraboliques sur des surfaces Sm qui tendent vers le bord de l'espace modulaire, et qui est motive par des des resultats de Lizhen Ji et de Scott Wolpert. Nous utilisons aussi ce theoreme pour donner une demonstration nouvelle et elementaire d'un resultat de D. Hejhal. Dans le dernier chapitre, nous etudions le maximum de {\lambda_1} vue comme fonction sur Mg, plus precisement nous nous demandons si ce maximum est superieur a 1/4. En utilisant des arguments topologiques, nous montrons que c'est bien le cas en genre 2 : il y a des surfaces dans M2 pour lesquelles {\lambda_1} > 1/4 A hyperbolic surface S is a complete two dimensional manifold of sectional curvature -1. In this thesis we consider the Laplace operator associated to this metric (acting on functions). Any eigenvalue below 1/4 is called a small eigenvalue. The general theme of our research is to bound the number of small eigenvalues of S in terms of the topology of S when S has finite area. A theorem of Otal-Rosas says that the number of small eigenvalues of a closed hyperbolic surface of genus g is not more than 2g -2, confirming a conjecture of P. Buser. We prove a quantitative version of this result by giving the lower bound for the (2g- 2)-th eigenvalue : {\lambda_{2g-2}}(S) > 1/4 +{\epsilon_0}(S) where {\epsilon_0}(S) > 0 is an explicit function that depends only on the geometry of S. Our proof uses geometric inequalities of Faber-Krahn and of Cheeger. For a hyperbolic surface of finite area and type (g, n) it is a conjecture that the number of small cuspidal eigenvalues is <= 2g- 3. We show that on a non-empty open unbounded subset of the moduli space Mg;n, this number of eigenvalues is <= 2g -2. The proof is based on a theorem, motivated by results of Lizhen Ji and Scott Wolpert, that describes the behavior of small cuspidal eigenfunctions of surfaces Sm when the sequence (Sm) tends to the boundary of the moduli space. We use this theorem to give a new and elementary proof of a result of D. Hejhal also. In the last chapter, we study the maximum of {\lambda_1} viewed as a function on Mg. More precisely, we ask if the maximum is more than 1/4. Using topological arguments, we prove that in the case for genus two : there exist surfaces in Mg for which {\lambda_1} > 1/4

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Acosta, Miguel. "Chirurgies de Dehn sur des variétés CR-sphériques et variétés de caractères pour les formes réelles de SL(n,C)." Thesis, Paris 6, 2017. http://www.theses.fr/2017PA066368/document.

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Abstract:

Dans cette thèse, on s'intéresse à la construction et à la déformation de structures CR-sphériques sur des variétés de dimension 3. Pour le faire, on étudie en détail l'espace hyperbolique complexe, son groupe d'isométries et des objets géométriques liés à cet espace. On montre un théorème de chirurgie qui permet de construire des structures CR-sphériques sur des chirurgies de Dehn d'une variété à pointe portant une structure CR-sphérique : il s'applique aux structures de Deraux-Falbel sur le complémentaire du noeud de huit et à celles de Schwartz et de Parker-Will sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. On définit aussi les variétés de caractères de groupes de type fini pour les formes réelles de SL(n,C) comme des sous-ensembles de la variété des caractères SL(n,C) fixes par des involutions anti-holomorphes. Ces variétés de caractères, dont on étudie en détail l'exemple du groupe Z/3Z*Z/3Z, fournissent des espaces de déformation pour des représentations d'holonomie de structures CR-sphériques. À l'aide de ces espaces de déformations, et des outils liés aux sphères visuelles dans CP^2, on construit une déformation explicite du domaine de Ford construit par Parker et Will et qui donne une uniformisation CR-sphérique sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. Cette déformation fournit une infinité d'uniformisations CR-sphériques sur une chirurgie de Dehn particulière de cette variété, et des uniformisations CR-sphériques sur une infinité de chirurgies de Dehn sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead In this thesis, we study the construction and deformation of spherical-CR structures on three dimensional manifolds. In order to do it, we give a detailed description of the complex hyperbolic plane, its group of isometries and some geometric objects attached to this space such as bisectors and extors. We show a surgery theorem which allows to construct spherical-CR on Dehn surgeries of a cusped spherical-CR manifold : this theorem can be applied for the Deraux-Falbel structure on the figure eight knot complement and for Schwartz's and Parker-Will structures on the Whitehead link complement. We also define the character varieties for a real form of SL(n,C) for finitely generated groups as some subsets of the SL(n,C)-character variety invariant under an anti-holomorphic involution. We study in detail the example of the group Z/3Z*Z/3Z. These character varieties give deformation spaces for the holonomy representations of spherical-CR structures. With these deformation spaces and tools related to the visual spheres of a point in CP^2, we construct an explicit deformation of the Ford domain constructed by Parker and Will, which gives a spherical-CR uniformisation of the Whitehead link complement. This deformation provides infinitely many spherical-CR uniformisations of a particular Dehn surgery of the manifold, and spherical-CR unifomisations for infinitely many Dehn surgeries of the Whitehead link complement

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Paupert, Julien. "Configurations de lagrangiens, domaines fondamentaux et sous-groupes discrets de PU (2,1)." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2005. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011502.

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Abstract:

L'objet de cette thèse est l'étude de sous-groupes discrets de $PU(2,1)$, groupe des isométries holomorphes de l'espace hyperbolique complexe de dimension (complexe) 2. On s'intéresse en particulier aux groupes engendrés par des transformations elliptiques, i.e. ayant un point fixe dans cet espace. Les deux fils conducteurs de ce travail sont d'une part l'utilisation des sous-espaces lagrangiens (ou plans réels) ainsi que des réflexions associées (des involutions antiholomorphes), et de l'autre l'étude et la compréhension des exemples de réseaux de $PU(2,1)$ construits par Mostow en 1980.

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Will, Pierre. "Groupes libres, groupes triangulaires et tore épointé dans PU (2,1)." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00130785.

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Abstract:

ette thèse se situe dans le domaine de l'étude des représentations de groupes de surfaces dans le groupe de Lie réel non-compact PU(2,1), groupe des isométries du plan hyperbolique complexe. Nous nous intéressons plus particulièrement aux \-représentations du groupe fondamental du tore épointé dans PU(2,1). Notre principal résultat est l'existence d'une famille à trois paramètres de représentations discrètes, fidèles et préservant le type du groupe fondamental du tore épointé dans PU(2,1). Pour le démontrer, nous sommes amenés à définir un nouveau type d'hypersurfaces du plan hyperbolique complexe, que nous utilisons pour construire des domaines fondamentaux. Nous étudions également la propriété de décomposabilité des représentations, et donnons des critères de décomposabilité, exprimés en termes de traces et de birapports.

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Faye, Grégory. "Symmetry breaking and pattern formation in some neural field equations." Nice, 2012. http://www.theses.fr/2012NICE4017.

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Abstract:

Cette thèse se propose de comprendre la formation de structures dans les équations de champs neuronaux en présence de symétrie ainsi que la conséquence pour la modélisation du cortex visuel. Les équations de champs neuronaux sont des modèles mésoscopiques qui décrivent l'activité spatio-temporelle de populations de neurones. Elles ont été introduites dans les années 1970 et sont souvent appelées les équations de Wilson-Cowan-Amari en référence à leurs auteurs. D'un point de vue mathématique, les équations de champs neuronaux sont des équations intégro-différentielles posées sur des domaines qui dépendent des propriétés anatomiques et/ou fonctionnelles modélisées. Dans la première partie, nous rappelons quelques éléments de biologie du cortex visuel, dérivons les équations de champs neuronaux de manière générale et introduisons ensuite une nouvelle classe de champs neuronaux pour le problème de modélisation de la perception des textures. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude de formation de structures en géométrie non-euclidienne et s'appuie principalement sur la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie en présence de symétrie. Cette seconde partie est relativement indépendante des autres et est écrite de manière suffisamment générale pour pouvoir être appliquée de façon systématique à tout problème de formation de structures en géométrie non-euclidienne satisfaisant certaines conditions de généricité. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions l'existence de solutions localisées pour une certaine classe de champs neuronaux définis sur des domaines non bornés The aim of this Thesis is to give a deeper understanding of pattern formation in neural field equations with symmetry, and to understand the significance of these symmetries in modelling the visual cortex. Neural fields equations are mesoscopic models that describe the spatio-temporal activity of populations of neurons. They were introduced in the 1970s and are often called the Wilson-Cowan-Amari equations in reference to their authors. From a mathematical point of view, neural fields equations are integro-differential equations set on domains particular to the modelled anatomical / functional properties. The first part of the Thesis is an introduction to mesoscopic modelling of the visual cortex and presents a model of the processing of image edges and textures. The second part is dedicated to the study of spatially periodic solutions of neural field equations, in different geometries, with applications to visual hallucination patterns. The results developed are general enough to be applied to other pattern formation problems. Finally, the last part is centred on the study of localized solutions of neural field equations set on unbounded domains

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Iordanov, Iordan. "Delaunay triangulations of a family of symmetric hyperbolic surfaces in practice." Thesis, Université de Lorraine, 2019. http://www.theses.fr/2019LORR0010/document.

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Abstract:

La surface de Bolza est la surface hyperbolique orientable compacte la plus symétrique de genre 2. Pour tout genre supérieur à 2, il existe une surface orientable compacte construite de manière similaire à la surface de Bolza et ayant le même type de symétries. Nous appelons ces surfaces des surfaces hyperboliques symétriques. Cette thèse porte sur le calcul des triangulations de Delaunay (TD) de surfaces hyperboliques symétriques. Les TD de surfaces compactes peuvent être considérées comme des TD périodiques de leur revêtement universel (dans notre cas, le plan hyperbolique). Une TD est pour nous un complexe simplicial. Cependant, les ensembles de points ne définissent pas tous une décomposition simpliciale d'une surface hyperbolique symétrique. Dans la littérature, un algorithme a été proposé pour traiter ce problème avec l'utilisation de points factices : initialement une TD de la surface est construite avec un ensemble de points connu, puis des points d'entrée sont insérés avec le célèbre algorithme incrémental de Bowyer, et enfin les points factices sont supprimés, si la triangulation reste toujours un complexe simplicial. Pour la surface de Bolza, les points factices sont spécifiés. L'algorithme existant calcule une DT de la surface de Bolza comme une DT périodique du plan hyperbolique, ce qui nécessite de travailler dans un sous-ensemble approprié du plan hyperbolique. Nous étudions les propriétés des TD de la surface de Bolza définies par des ensembles de points contenants l'ensemble proposé de points factices, et nous décrivons en détail une implémentation de l'algorithme incrémentiel pour cette surface. Nous commençons par définir un représentant canonique unique qui est contenu dans un sous-ensemble borné du plan hyperbolique pour chaque face d'une TD de la surface. Nous donnons une structure de données pour représenter une TD de la surface de Bolza via les représentants canoniques de ses faces. Nous détaillons les étapes de la construction d'une telle triangulation et les opérations supplémentaires qui permettent de localiser les points et de retirer des sommets. Nous présentons également les résultats sur le degré algébrique des prédicats nécessaires pour toutes les opérations. Nous fournissons une implémentation entièrement dynamique pour la surface de Bolza, en offrant l'insertion de nouveaux points, la suppression des sommets existants, la localisation des points, et la construction d'objets duaux. Notre implémentation est basée sur la bibliothèque CGAL (Computational Geometry Algorithms Library), et est actuellement en cours de révision pour être intégrée dans la bibliothèque. L'intégration de notre code dans CGAL nécessite que tous les objets que nous introduisons soient compatibles avec le cadre existant et conformes aux standards adoptés par la bibliothèque. Nous donnons une description détaillée des classes utilisées pour représenter et traiter les triangulations hyperboliques périodiques et les objets associés. Des analyses comparatives et des tests sont effectués pour évaluer notre implémentation, et une application simple est donnée sous la forme d'une démonstration CGAL. Nous discutons une extension de notre implémentation à des surfaces hyperboliques symétriques de genre supérieur à 2. Nous proposons trois méthodes pour engendrer des ensembles de points factices pour chaque surface et présentons les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Nous définissons un représentant canonique contenu dans un sous-ensemble borné du plan hyperbolique pour chaque face d'une TD de la surface. Nous décrivons une structure de données pour représenter une telle triangulation via les représentants canoniques de ses faces, et donnons des algorithmes pour l'initialisation de la triangulation. Enfin, nous discutons une implémentation préliminaire dans laquelle nous examinons les difficultés d'avoir des prédicats exacts efficaces pour la construction de TD de surfaces hyperboliques symétriques The Bolza surface is the most symmetric compact orientable hyperbolic surface of genus 2. For any genus higher than 2, there exists one compact orientable surface constructed in a similar way as the Bolza surface having the same kind of symmetry. We refer to this family of surfaces as symmetric hyperbolic surfaces. This thesis deals with the computation of Delaunay triangulations of symmetric hyperbolic surfaces. Delaunay triangulations of compact surfaces can be seen as periodic Delaunay triangulations of their universal cover (in our case, the hyperbolic plane). A Delaunay triangulation is for us a simplicial complex. However, not all sets of points define a simplicial decomposition of a symmetric hyperbolic surface. In the literature, an algorithm has been proposed to deal with this issue by using so-called dummy points: initially a triangulation of the surface is constructed with a set of dummy points that defines a Delaunay triangulation of the surface, then input points are inserted with the well-known incremental algorithm by Bowyer, and finally the dummy points are removed, if the triangulation remains a simplicial complex after their removal. For the Bolza surface, the set of dummy points to initialize the triangulation is given. The existing algorithm computes a triangulation of the Bolza surface as a periodic triangulation of the hyperbolic plane and requires to identify a suitable subset of the hyperbolic plane in which to work. We study the properties of Delaunay triangulations of the Bolza surface defined by sets of points containing the proposed set of dummy points, and we describe in detail an implementation of the incremental algorithm for it. We begin by identifying a subset of the hyperbolic plane that contains at least one representative for each face of a Delaunay triangulation of the surface, which enables us to define a unique canonical representative in the hyperbolic plane for each face on the surface. We give a data structure to represent a Delaunay triangulation of the Bolza surface via the canonical representatives of its faces in the hyperbolic plane. We detail the construction of such a triangulation and additional operations that enable the location of points and the removal of vertices. We also report results on the algebraic degree of predicates needed for all operations. We provide a fully dynamic implementation for the Bolza surface, supporting insertion of new points, removal of existing vertices, point location, and construction of dual objects. Our implementation is based on CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library, and is currently under revision for integration in the library. To incorporate our code into CGAL, all the objects that we introduce must be compatible with the existing framework and comply with the standards adopted by the library. We give a detailed description of the classes used to represent and handle periodic hyperbolic triangulations and related objects. Benchmarks and tests are performed to evaluate our implementation, and a simple application is given in the form of a CGAL demo. We discuss an extension of our implementation to symmetric hyperbolic surfaces of genus higher than 2. We propose three methods to generate sets of dummy points for each surface and present the advantages and shortcomings of each method. We identify a suitable subset of the hyperbolic plane that contains at least one representative for each face of a Delaunay triangulation of the surface, and we define a canonical representative in the hyperbolic plane for each face on the surface. We describe a data structure to represent such a triangulation via the canonical representatives of its faces, and give algorithms for the initialization of the triangulation with dummy points. Finally, we discuss a preliminary implementation in which we examine the difficulties of having efficient exact predicates for the construction of Delaunay triangulations of symmetric hyperbolic surfaces

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Koseleff, Pierre-Vincent. "Contributions au calcul dans les algèbres de Lie libres et à la déformation des groupes triangulaires en géométrie hyperbolique complexe." Habilitation à diriger des recherches, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00134412.

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Abstract:

Ce mémoire aborde plusieurs domaines : - le calcul de Lie et en particulier les séries de Lie et leurs applications en théorie du contrôle (avec F. JEAN), en mécanique hamiltonienne et dans l'étude de relations dans des groupes ; - l'étude des déformations de groupes triangulaires discrets dans l'espace PU(2,1) des automorphismes de la boule unité complexe de dimension 2 (avec E. FALBEL). - ainsi qu'un travail en collaboration avec Serge GALAM sur l'étude d'un modèle particulier du problème d'Ising triangulaire antiferromagnétique.

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Renard, Claire. "Revêtements finis d'une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles." Phd thesis, Toulouse 3, 2011. http://thesesups.ups-tlse.fr/1528/.

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Abstract:

Dans le cadre des variétés hyperboliques, Thurston a conjecturé que toute variété hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, complète et de volume fini possède un revêtement fini qui est fibré sur le cercle. En lien avec cette conjecture, le résultat principal de cette thèse donne des conditions suffisantes pour qu'un revêtement fini d'une variété hyperbolique M de dimension trois fibre sur le cercle, ou du moins contienne une fibre virtuelle. Soit F une surface close, orientable, plongée et proche d'une surface minimale, dans un revêtement fini M' de M et séparant M' en corps en anses. La condition pour qu'il existe une fibre virtuelle dans le complémentaire de F est donnée par une inégalité faisant intervenir le degré d du revêtement, le genre g de la surface, le nombre q de corps en anses et une constante k ne dépendant que du volume et du rayon d'injectivité de M. En appliquant ce théorème à un scindement de Heegaard de genre minimal du revêtement M', on obtient une version sous-logarithmique des conjectures de Lackenby sur le gradient de Heegaard et le gradient de Heegaard fort. Le théorème principal s'applique également dans le cadre d'une décomposition circulaire associée à une classe d'homologie non triviale. Nous obtenons par exemple des conditions suffisantes pour qu'une classe d'homologie non triviale de M corresponde à une fibration sur le cercle. Des méthodes analogues permettent aussi de donner une condition suffisante pour qu'une surface incompressible plongée dans M soit une fibre virtuelle. Enfin, nous donnons un critère pour que dans une tour de revêtements finis le premier nombre de Betti tende vers l'infini In the setting of hyperbolic 3-manifolds, Thurston conjectured that every connected, orientable, complete hyperbolic 3-manifold of finite volume has a finite cover fibered over the circle. Having this conjecture in mind, the main result of this thesis provides sufficient conditions for a finite cover of a hyperbolic 3-manifold M to fiber over the circle, or at least to contain a virtual fiber. Let F be an embedded, closed and orientable surface close to a minimal surface, in a finite cover M' of M, such that M' cut along F is a disjoint union of handlebodies and compression bodies. The condition to show that there exists a virtual fiber in the complement of F is given by an inequality involving the degree d of the cover, the genus g of the surface, the number q of compression bodies and a constant k depending only on the volume and the injectivity radius of M. Applying this theorem to a minimal genus Heegaard splitting of the finite cover M' leads to a sub-logarithmic version of Lackenby's conjectures of the Heegaard gradient and the strong Heegaard gradient. The main theorem also applies to the setting of a circular decomposition associated to a non trivial homology class. For example, we obtain sufficient conditions for a non trivial homology class of M to correspond to a fibration over the circle. Similar methods lead also to a sufficient condition for an incompressible embedded surface in M to be a virtual fiber. Eventually, we give a criterion to show that the first Betti number in a tower of finite covers tends to infinity

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El, Sabbagh Lara. "Étude semi-locale des variétés normalement hyperboliques et applications à la diffusion." Paris 6, 2012. http://www.theses.fr/2012PA066638.

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Abstract:

Un λ-lemme pour une variété normalement hyperbolique dit que, étant donnés une variété lisse M, un difféomorphisme f de M et une sous-variété N de M normalement hyperbolique pour f, si Γ est une sous-variété qui coupe transversalement la variété stable de N, alors les images de Γ par les itérées de f approchent le feuilletage instable de N dans une topologie convenable. Dans le cas symplectique, et quand N est compacte et ayant ses fibrés stables et instables triviaux et de même dimension, on prouve deux λ-lemmes. Le premier s’applique quand la dimension de Γ est égale à celle des feuilles instables, et le deuxième quand elle varie entre celle des feuilles instables et celle de la variété instable. De plus, on utilise ces λ-lemmes pour prouver des résultats de diffusion: on prouve l’existence d’orbites dérivant le long d’une chaîne de tores invariants minimaux dans une variété normalement hyperbolique. Comme cas particulier, on retrouve l’exemple d’Arnold. On démontre aussi la transitivité des connexions hétéroclines transverses pour les systèmes satisfaisant la propriété de torsion forte et d’autres hypothèses. Puis, sous ces conditions, on construit des fenêtres correctement alignées le long d’une chaîne de transition dans une variété normalement hyperbolique et on déduit l’existence d’orbites de diffusion. De plus, on montre que le temps de diffusion dépend de trois phénomènes: l’ergodisation, la torsion et le redressement. Enfin, on construit une classe de systèmes presque intégrables qui admettent des orbites à énergie fixée dont la projection sur le niveau d’énergie passe arbitrairement près de tout point du niveau d’énergie projeté quand la perturbation tend vers 0 A λ-lemma for normally hyperbolic manifolds asserts that, given a smooth manifold M and a diffeomorphism f of M and a normally hyperbolic submanifold N of M, if Γ is a submanifold that transversely intersects the stable manifold of N, then, under iteration by f, Γ approaches the foliation of the unstable manifold of N in a suitable topology. When M and f are symplectic, and when N is compact and has trivial stable and unstable bundles of the same dimension d, we prove two λ-lemmas. The first one is the case when dim Γ=d, and for the second one dim Γ can take any value between d and d+dim N. Moreover, we deduce diffusion results: we prove the existence of drifting orbits along a transition chain of invariant minimal sets in a normally hyperbolic manifold. As a particular case, we recover Arnold’s example. In addition, we prove the transitivity of transversal heteroclinic connections for systems having the strong torsion property and some additional assumptions. Under the same assumptions, we derive an explicit construction of correctly aligned windows for proving the existence of shadowing orbits along a chain in a normally hyperbolic manifold. Moreover, we prove that the diffusion time splits into three characteristic parameters: the ergodization time, the straightening time, and the torsion time. Finally, we construct a class of nearly integrable systems on A3 for which we prove the existence of orbits at fixed energy whose projection on the energy level passes within an arbitrarily small distance from each point of the projected energy level, when the size of the perturbation tends to 0

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Marquis, Ludovic. "Les pavages en géométrie projective de dimension 2 et 3." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00428902.

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Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $\G$ de $\s$ (resp. de $ßs^{\pm}_{4}(\R)$) qui préservent un ouvert proprement convexe $\O$ de l'espace projectif réel $\P(\R)$ (resp. $\PP^3(\R)$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $\Quo$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $S$, ou de l'ensemble limite du groupe $\G$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $\Quo$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $\O$ est strictement convexe et son bord $\partial \O$ est $C^1$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $g$ et à $p$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $16g-16+6p$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $n$ boules de dimension $d$, où les entiers $n$ et $d$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.

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Diallo, Boubacar. "Métriques prescrites sur le bord du coeur convexe d'une variété anti-de Sitter globalement hyperbolique maximale compacte de dimension trois." Toulouse 3, 2014. http://thesesups.ups-tlse.fr/2468/.

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Abstract:

Le but de cette thèse est d'apporter une réponse partielle positive à l'une des conjectures de Geoffrey Mess, datant des années 90, sur la géométrie du bord du coeur convexe d'une variété anti-de Sitter globalement hyperbolique maximale compacte de dimension trois. Plus précisément, nous montrons que chaque couple de métriques hyperboliques sur une surface fermée S de genre au moins deux s'obtient (d'au moins une façon) comme couple de métriques du bord supérieur (respectivement inférieur) du coeur convexe d'(au moins) une variété anti-de Sitter M globalement hyperbolique maximale compacte admettant une surface de Cauchy homéomorphe à S. Nous relions ce théorème aux divers résultats déjà obtenus dans les contextes hyperbolique et anti-de Sitter, respectivement, en dimension trois concernant les problèmes de prescription de métriques et de laminations de plissage (du bord du coeur convexe). Nous évoquons le problème d'unicité de la prescription, notamment au voisinage du lieu Fuchsien de l'espace des structures hyperbolique et anti-de Sitter, respectivement. Notre travail nous permet d'aborder diverses questions intéressantes en géométrie: problème des immersions isométriques, études des actions de groupes discrets sur des espaces symétriques lorentziens, géométrie lorentzienne globale en dimension 2+1 et ses applications à la physique. Notons que la géométrie anti-de Sitter en dimension trois fournit un cadre idéal à l'étude des tremblements de terre en théorie de Teichmüller hyperbolique, de même que les variétés hyperboliques quasifuchsiennes sont utiles à la compréhension de la version quasiconforme de cette théorie, ainsi qu'à l'étude des structures projectives complexes sur une surface de genre au moins deux. Ainsi notre résultat s'exprime purement en terme de géométrie hyperbolique des surfaces. Par ailleurs la thèse met en lumière les analogies qui existent entre la théorie anti-de Sitter globalement hyperbolique d'une part et la théorie hyperbolique quasifuchsienne d'autre part, tout en développant de nouvelles techniques d'approche de notre question principale, les méthodes connues dans le cadre hyperbolique ne s'appliquant pas du côté lorentzien The aim of this thesis is to give a partial positive answer to a conjecture of G. Mess, from the '90s, about the geometry of the boundary of the convex core of a globally hyperbolic maximal compact three dimensional anti-de Sitter manifold. More precisely, we prove that each pair of hyperbolic metrics on a closed surface S of genus at least 2 can be obtained as the pair of metrics of the upper (resp. Lower) boundary component of the convex core of a (possibly non unique) globally hyperbolic maximal compact anti-de Sitter manifold whose Cauchy surfaces are homeomorphic to S. We relate our theorem to various results readily achieved in the hyperbolic and the anti-de Sitter settings, respectively, in dimension 3, regarding the issues of prescribing the metrics and the pleating laminations (of the boundary of the convex core). We tackle the uniqueness issue, mainly near the Fuchsian locus of the space of hyperbolic (resp. Anti-de Sitter) structures. Our work allows us to approach different interesting topics in geometry: isometric immersions, discrete group actions on lorentzian symmetric spaces, global lorentzian geometry in dimension 2+1 with applications to physics. Note that anti-de Sitter geometry in dimension 3 is a natural framework to study earthquakes in hyperbolic Teichmuller theory, the same way quasifuchsian hyperbolic manifolds help us understand the conformal aspect of the theory as well as complex projective structures on surfaces of genus at least 2. Thus we can formulate our result purely in terms of hyperbolic geometry on surfaces. Moreover our thesis highlights existing analogies between the theory of anti-de Sitter globally hyperbolic manifolds on the one hand, and on the theory of quasifuchsian hyperbolic manifolds on the other hand, involving new methods for our main achievement, since those already known in the hyperbolic case do not apply to the lorentzian one

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Otal, Jean-Pierre. "Courants géodésiques et surfaces." Paris 11, 1989. http://www.theses.fr/1989PA112051.

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Abstract:

La première partie de ce travail porte sur des questions géométriques concernatn les variétés compactes de dimension trois (les bretzels creux) obtenues en recollant des tores solides D²xS¹ et des surfaces épaissies ΣxI à une boule B³ le long de disques contenus dans le bord. Dans le premier article, on définit un espace associé à un bretzel creux N : c'est le quotient d'un ouvert de l'espace des laminations mesurées sur la composante compressible S du bord de N par l'action d'un certain sous-groupe du groupe modulaire de S. Cet espace est muni d'une application naturelle dans l'espace des courants géodésiques C(N) du groupe π1(N). Le résultat principal est que cette application est un homéomorphisme sur son image L(N). Le second article introduit quelques techniques dans le but de comprendre la frontière de L(N) dans C(N). On y considère le problème de caractériser les classes de conjugaison du groupe libre G à g générateurs qui peuvent être représentées par des courbes simples sur le bord d'un bretzel (i. E. La somme connexe le long du bord de g tores solides S¹xD²). On étudie pour cela certaines relations d'équivalence sur l'espace des bouts du groupe libre G. La seconde partie porte sur le problème de reconstruire une métrique riemannienne sur une surface à partir de données spectrales. On montre dans le troisième article que deux métriques de courbure négative sur une surface fermée S qui donnent chacune la même longueur à toute classe d'homotopie de π1(S) sont isotopes. Dans le quatrième article, on montre que deux métriques de courbure négative sur un disque compact D² qui induisent la même fonction distance sur le bord ∂D², sont isotopes The first part of this work is concerned with some geometric questions about the 3-dimensional manifolds called "compression bodies". In the first chapter, one defines a space associated to a compression body N : it is the quotient of an open subset of the space of measured laminations on the compressible component S of ∂N by the action of a certain subgroup of the modular group of S. This space carries a natural map to the space of geodesic currents C(N) of the group π1(N). The main result is that this map is an homeomorphism on its image L(N). The second chapter introduces some technics to understand the frontier of L(N) in C(N). One considers there the problem oh characterizing the conjugacy classes of the free group G on g generators which can be represented by an embedded loop on the boundary of an handlebody with fundamental group G. One studies therefore some equivalence relations on the space of ends of the free group G. The second part is concerned with the problem of reconstructing Riemannian metric on a surface from some spectral data. One shows in the third chapter that two negatively curved metrics on a closed surface S which give the same length to each homotopy class π1(S) are isotopic. In the fourth chapter, one shows that two negatively curved metrics on a compact disc D² which induce the same distance function on ∂D² are isotopic

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Leleu, Xavier. "Géométries de courbure constante des 3-variétés et variétés de caractères de représentations dans SL2(C)." Aix-Marseille 1, 2000. http://www.theses.fr/2000AIX11052.

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Abstract:

On considère les structures géométriques sur les variétés irréductibles de dimension 3 et on caractérise les représentations de holonomie des structures hyperboliques dans le complémentaire d'une boule. Comme corollaire on obtient une solution positive à la question de Cooper et Long : est-ce que la trace de la longitude est toujours -2 dans une représentation discrète et fidèle d'un groupe de nœud ? On considère également la variété de caractères de représentations du groupe d'un nœud.

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Rodríguez, Migueles José Andrés. "Géodésiques sur les surfaces hyperboliques et extérieurs des noeuds." Thesis, Rennes 1, 2018. http://www.theses.fr/2018REN1S021.

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Abstract:

Grâce au théorème d'hyperbolisation, nous savons précisément quand une variété de dimension trois compacte admet une métrique hyperbolique. Par ailleurs, d'après le théorème de rigidité de Mostow, cette structure géométrique est unique. Cependant, trouver des liens pratiques entre la géométrie et la topologie est un problème difficile. La plupart des résultats décrits dans cette thèse visent à concrétiser ces liens. Toute géodésique fermée orientée dans une surface hyperbolique admet un relèvement canonique dans le fibré tangent unitaire de la surface, et on peut donc le voir comme un nœud dans une variété de dimension trois. Les extérieurs des nœuds ainsi construits admettent une structure hyperbolique. Cette thèse a pour objet d'estimer le volume des extérieurs des relèvements canoniques. Pour toute surface hyperbolique on construit une suite de géodésique sur la surface, tel que les extérieurs associées ne sont pas homéomorphes entre elles et dont la suite des volumes respectifs est bornée. Aussi on minore le volume de l'extérieur à l'aide d'un réel explicite qui décrit une relation entre la géodésique et une décomposition en pantalons de la surface. Ceci donne une méthode pour construire une suite de géodésiques dont les volumes des extérieurs associées sont minorées en termes de la longueur de la géodésique correspondant. Dans le cas particulier de la surface modulaire, on obtient des estimations du volume de l'extérieur en termes de la période de la fraction continue associée à la géodésique Due to the Hyperbolization Theorem, we know precisely when does a given compact three dimensional manifold admits a hyperbolic metric. Moreover, by the Mostow's Rigidity Theorem this geometric structure is unique. However, finding effective and computable connections between the geometry and topology is a challenging problem. Most of the results on this thesis fit into the theme of making the connections more concrete. To every oriented closed geodesic on a hyperbolic surface has a canonical lift on the unit tangent bundle of the surface, and we can see it as a knot in a three dimensional manifold. The knot complement given in this way has a hyperbolic structure. The objective of this thesis is to estimate the volume of the canonical lift complement. For every hyperbolic surface we give a sequence of geodesics on the surface, such that the knot complements associated are not homeomorphic with each other and the sequence of the corresponding volumes is bounded. We also give a lower bound of the volume of the canonical lift complement by an explicit real number which describes a relation between the geodesic and a pants decomposition of the surface. This give us a method to construct a sequence of geodesics where the volume of the associated knot complements is bounded from below in terms of the length of the corresponding geodesic. For the particular case of the modular surface, we obtain estimations for the volume of the canonical lift complement in terms of the period of the continuous fraction expansion of the corresponding geodesic

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Loustau, Brice. "La géométrie symplectique de l'espace des structures projectives complexes sur une surface." Toulouse 3, 2011. http://thesesups.ups-tlse.fr/2071/.

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Abstract:

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie symplectique complexe de l'espace de déformations des structures projectives complexes sur une surface. En explorant les connexions entre les différentes approches possibles de cette géométrie symplectique, l'auteur essaie d'en donner une description globale et unificatrice. La structure symplectique cotangente provenant de la paramétrisation schwarzienne est étudiée en détail et comparée à la structure symplectique canonique de la variété des caractères, clarifiant et généralisant un théorème de S. Kawai. Il s'en ensuit une généralisation de résultats dûs à C. McMullen, notamment de la réciprocité quasifuchsienne. La structure symplectique cotangente est également abordée à travers la notion de surfaces minimales dans les variétés hyperboliques de dimension 3. Enfin, cette géométrie symplectique est décrite dans un cadre hamiltonien en relation avec les coordonnées de Fenchel-Nielsen complexes sur l'espace quasifuchsien, précisant les résultats obtenus par I. Platis This thesis investigates the complex symplectic geometry of the deformation space of complex projective structures on a surface. The author attempts to give a global and unifying picture of this symplectic geometry by exploring the connections between different possible approaches. The cotangent symplectic structure given by the Schwarzian parametrization is studied in detail and compared to the canonical symplectic structure on the character variety, clarifying and generalizing a theorem of S. Kawai. Generalizations of results of C. McMullen are derived, notably quasifuchsian reciprocity. The cotangent symplectic structure is also addressed through the notion of minimal surfaces in hyperbolic 3-manifolds. Finally, the symplectic geometry is described in a Hamiltonian setting with the complex Fenchel-Nielsen coordinates on the quasifuchsian space, recovering results of I. Platis

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Glorieux, Olivier. "Exposant critique des groupes de surfaces agissant sur H2 x H2 et H3." Thesis, Paris 6, 2015. http://www.theses.fr/2015PA066127/document.

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Abstract:

Cette thèse concerne l'étude de l'exposant critique associé à un groupe de surface dans deux cas. Le premier fait l'étude de l'action diagonale par deux représentations de l'espace de Teichmüller sur le produit de plans hyperboliques. Le second correspond à l'action quasi-Fuchsienne sur l'espace hyperbolique de dimension 3. Elle contient un chapitre de préliminaires détaillées introduisant les différents outils mathématiques nécessaires à la compréhension générale des énoncés et des preuves. L'étude de l'exposant critique sur H2*H2 correspond aux chapitre 2 et 3. Dans le second on y fait l'étude approfondie de la courbe de Manhattan, telle que définie par M. Burger, et des invariants qui lui sont associés (exposant critique, exposant critique directionnel, coefficient de corrélation). Dans le troisième, on y prouve le résultat principal de la première partie, un théorème d'isolation, précisant un résultat de rigidité de Bishop-Steger. Le dernier chapitre correspond à l'étude de l'exposant critique des groupes quasi-Fuchsiens. On y prouve deux inégalités entre l'entropie volumiques des surfaces plongées et l'exposant critique. On précise les cas d'égalités ce qui permet d'obtenir deux théorèmes de rigidité de l'exposant critique This aim of this thesis is the study of the critical exponent associated to a surface group acting on two different spaces. First we study the diagonal action of two teichmuller representations on the product of hyperbolic planes. Then we study quasi-Fuchsian action on the hyperbolic 3-space. The first chapter is dedicated to introduce the basic notions we need to understand the different theorems and proofs in the thesis. The study of critical exponent on H2*H2 is made in chapters 2 and 3. In chapter 2 we study the Manhattan curve, as defined by M. Burger, and more or less classical invariants as critical exponent, critical exponent with given slope, correlation coefficient. In chapter 3, we survey some results on geometric Teichmüller theory, as geodesic currents and earthquakes. We conclude this Chapter by the principal theorem of this first part, that is to say, an isolation result, improving a rigidity result of Bishop-Steger. In the last chapter, we study quasi-Fuchsian representations. The main result is an inequality between critical exponent and volume entropy of embedded surfaces. Moreover we precise the equality case, which gives a theorem of rigidity for the critical exponent

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Rivard, Patrice. "Un lemme de Schwartz-Pick à points multiples." Master's thesis, Université Laval, 2007. http://hdl.handle.net/20.500.11794/19410.

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Long, Yusen. "Diverse aspects of hyperbolic geometry and group dynamics." Electronic Thesis or Diss., université Paris-Saclay, 2024. http://www.theses.fr/2024UPASM016.

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Abstract:

Cette thèse explore divers sujets liés à la géométrie hyperbolique et à la dynamique de groupes, dans le but d'étudier l'interaction entre la géométrie et la théorie de groupes. Elle couvre un large éventail de disciplines mathématiques, telles que la géométrie convexe, l'analyse stochastique, la théorie ergodiques et géométriques de groupes, et la topologie en basses dimensions, et cætera. Comme résultats de recherche, la géométrie hyperbolique des corps convexes en dimension infinie est examinée en profondeur, et des tentatives sont faites pour développer la géométrie intégrale en dimension infinie d'un point de vue de l'analyse stochastique. L'étude des gros groupes de difféotopies, un sujet d'actualité en topologie en basses dimensions et en théorie géométrique de groupes, est entreprise avec une détermination complète de leur propriété de point fixe sur les compacts. La thèse étudie la connexité du bord de Gromov des graphes de courbes fins, un outil combinatoire utilisé dans l'étude des groupes d'homéomorphismes des surfaces de type fini. Enfin, la thèse clarifie également certains théorèmes folkloriques concernant les espaces hyperboliques au sens de Gromov et la dynamique des groupes moyennables sur ces espaces This thesis explores diverse topics related to hyperbolic geometry and group dynamics, aiming to investigate the interplay between geometry and group theory. It covers a wide range of mathematical disciplines, such as convex geometry, stochastic analysis, ergodic and geometric group theory, and low-dimensional topology, etc. As research outcomes, the hyperbolic geometry of infinite-dimensional convex bodies is thoroughly examined, and attempts are made to develop integral geometry in infinite dimensions from a perspective of stochastic analysis. The study of big mapping class groups, a current focus in low-dimensional topology and geometric group theory, is undertaken with a complete determination of their fixed-point on compacta property. The thesis also clarifies certain folklore theorems regarding the Gromov hyperbolic spaces and the dynamics of amenable groups on them. Last but not the least, the thesis studies the connectivity of the Gromov boundary of fine curve graphs, a combinatorial tool employed in the study of the homeomorphism groups of surfaces of finite type

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Ben, Ahmed Ali. "Géométrie et dynamique des structures Hermite-Lorentz." Thesis, Lyon, École normale supérieure, 2013. http://www.theses.fr/2013ENSL0824.

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Abstract:

Dans la veine du programme d'Erlangen de Klein, travaux d'E. Cartan, M. Gromov, et d'autres, ce travail se trouve à cheval, entre la géométrie et les actions de groupes. Le thème global serait de comprendre les groupes d'isométries des variétés pseudo-riemanniennes. Plus précisément, suivant une "conjecture vague" de Gromov, classifier les variétés pseudo-riemanniennes dont le groupe d'isométries agit non-proprement, i.e. que son action ne préserve pas de métrique riemannienne auxiliaire?Plusieurs travaux ont été accomplis dans le cas des métriques lorentziennes (i.e. de signature (- +...+)). En revanche, le cas pseudo-riemannien général semble hors de portée.Les structures Hermite-Lorentz se trouvent entre le cas lorentzien et le premier cas pseudo-riemannien général, i.e. de signature (- - +…+). De plus, elle se définit sur des variétés complexes, et promet une extra-rigidité. Plus précisément, une structure Hermite-Lorentz sur une variété complexe consiste en une métrique pseudo-riemannienne de signature (- - +…+) qui est hermitienne au sens qu'elle est invariante par la structure presque complexe. Par analogie au cas hermitien classique, on définit naturellement une notion de métrique Kähler-Lorentz.Comme exemple, on a l'espace de Minkowski complexe ; dans un certain sens, on a un temps de dimension 1 complexe (du point de vue réel, le temps est 2-dimensionnel). On a également l'espace de Sitter et anti de Sitter complexes. Ils ont une courbure holomorphe constante, et généralisent dans ce sens les espaces projectifs et hyperboliques complexes.Cette thèse porte sur les variétés Hermite-Lorentz homogènes. En plus des exemples cités, il y a deux autres espaces symétriques, qui peuvent naturellement jouer le rôle de complexification des espaces de Sitter et anti de Sitter réels.Le résultat principal de la thèse est un théorème de rigidité de ces espaces symétriques : tout espace Hermite-Lorentz homogène à isotropie irréductible est l'un des cinq espaces symétriques précédents. D'autres résultats concernent le cas où l'on remplace l'hypothèse d'irréductibilité par le fait que le groupe d'isométries soit semi-simple In the vein of Klein's Erlangen program, the research works of E. Cartan, M.Gromov and others, this work straddles between geometry and group actions. The overall theme is to understand the isometry groups of pseudo-Riemannian manifolds. Precisely, following a "vague conjecture" of Gromov, our aim is to classify Pseudo-Riemannian manifolds whose isometry group act’s not properly, i.e that it’s action does not preserve any auxiliary Riemannian metric. Several studies have been made in the case of the Lorentzian metrics (i.e of signature (- + .. +)). However, general pseudo-Riemannian case seems out of reach. The Hermite-Lorentz structures are between the Lorentzian case and the former general pseudo-Riemannian, i.e of signature (- -+ ... +). In addition, it’s defined on complex manifolds, and promises an extra-rigidity. More specifically, a Hermite-Lorentz structure on a complex manifold is a pseudo-Riemannian metric of signature (- -+ ... +), which is Hermitian in the sense that it’s invariant under the almost complex structure. By analogy with the classical Hermitian case, we naturally define a notion of Kähler-Lorentz metric. We cite as example the complex Minkowski space in where, in a sense, we have a one-dimensional complex time (the real point of view, the time is two-dimensional). We cite also the de Sitter and Anti de Sitter complex spaces. They have a constant holomorphic curvature, and generalize in this direction the projective and complex hyperbolic spaces.This thesis focuses on the Hermite-Lorentz homogeneous spaces. In addition with given examples, two other symmetric spaces can naturally play the role of complexification of the de Sitter and anti de Sitter real spaces.The main result of the thesis is a rigidity theorem of these symmetric spaces: any space Hermite-Lorentz isotropy irreducible homogeneous is one of the five previous symmetric spaces. Other results concern the case where we replace the irreducible hypothesis by the fact that the isometry group is semisimple

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Charles, Christoph. "Renormalization and Coarse-graining of Loop Quantum Gravity." Thesis, Lyon, 2016. http://www.theses.fr/2016LYSEN053/document.

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Abstract:

Le problème de la limite continue de la gravitation quantique à boucle est encore ouvert. En effet, la dynamique précise n’est pas connue et nous ne disposons pas des outils nécessaires à l’étude de cette limite le cas échéant. Dans cette thèse, nous étudions quelques méthodes de coarse-graining (étude à gros grains) qui devraient contribuer à cette entreprise. Nous nous concentrons sur deux aspects du flot: la détermination d’observables naturelles à grandes échelles d’un côté et la manière de s’abstraire du problème de la dynamique à graphe variable en la projetant sur des graphes fixes de l'autre.Pour déterminer les observables aux grandes distances, nous étudions le cas des tétraèdres hyperboliques et leur description naturelle dans un langage proche de celui de la gravitation quantique à boucle. Les holonomies de surface en particulier jouent un rôle important. Cela dégage la structure des double spin networks constitués d'un graphe et de son dual, structure qui semble aussi apparaître dans les travaux de Freidel et al. Pour résoudre le problème des graphes variables, nous considérons et définissons les loopy spin networks. Ils encodent par des boucles la courbure locale d'un vertex effectif et permettent ainsi de décrire différents graphes en les masquant via le processus de coarse-graining. De plus, leur définition donne un procédé naturel systématique de coarse-graining pour passer d'une échelle à une autre.Ensemble, ces deux principaux résultats posent le fondement d'un programme de coarse-graining pour les théories invariantes sous difféomorphismes The continuum limit of loop quantum gravity is still an open problem. Indeed, no proper dynamics in known to start with and we still lack the mathematical tools to study its would-be continuum limit. In the present PhD dissertation, we will investigate some coarse-graining methods that should become helpful in this enterprise. We concentrate on two aspects of the theory's coarse-graining: finding natural large scale observables on one hand and studying how the dynamics of varying graphs could be cast onto fixed graphs on the other hand.To determine large scale observables, we study the case of hyperbolic tetrahedra and their natural description in a language close to loop quantum gravity. The surface holonomies in particular play an important role. This highlights the structure of double spin networks, which consist in a graph and its dual, which seems to also appear in works from Freidel et al. To solve the problem of varying graphs, we consider and define loopy spin networks. They encode the local curvature with loops around an effective vertex and allow to describe different graphs by hidding them in a coarse-graining process. Moreover, their definition gives a natural procedure for coarse-graining allowing to relate different scales.Together, these two results constitute the foundation of a coarse-graining programme for diffeomorphism invariant theories

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Cuneo, Rémi. "Généralisation d'une méthode de petites simplifications due à Mikhaïl Gromov et Yann Ollivier en géométrie des groupes." Thesis, Aix-Marseille 1, 2011. http://www.theses.fr/2011AIX10026/document.

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Abstract:

Dans un article publié en 2003, M.Gromov propose une reformulation de la théorie des petites simplifications en géométrie des groupes. Dans cette version, un graphe fini définit une présentation finie de groupe; les générateurs du groupe sont les étiquettes du graphe; les relateurs sont les mots associés aux cycles; les morceaux, mots "courts " qui permettent les petites simplifications dans un groupe, sont des mots qui étiquettent deux chemins distincts du graphe. Cette thèse prend pour point de départ une brève description de cette théorie publiée par Y. Ollivier en 2006. Le concept de groupe de présentation finie à "petites simplifications", développé par R. Lyndon, M. Greendlinger et autres dans les années 60 et 70, est précurseur des groupes hyperboliques de M.Gromov à la fin des années 80, pour lesquels les propriétés combinatoires de la présentation entraînent des propriétés algébriques du groupe. Dans notre travail, nous fondons de manière rigoureuse la théorie des petites simplifications du point de vue des graphes, et développons le concept de base de "mégatuiles", utilisé implicitement par Y. Ollivier dans son article. Nous étendons ses résultats aux cas non-hyperboliques et non-métriques (par exemple$C(4)-T(4)$). Ce point de vue permet une nouvelle preuve, plus naturelle, de la résolubilité des problèmes du mot et de conjugaison pour les présentations des groupes des entrelacs alternés premiers. Nous prolongeons également les résultats d'un théorème de M. Greendlinger au cas non-métrique, répondant ainsi à une question d'I. Kapovich In a paper published in 2003, M.Gromov proposes a rewording of the small cancellation theory in geometric group theory. In this version, a finite graph defines a finitely presented group; generators of the group are the labels of the graph; relators are the words associated with cycles; pieces, "short" words which allow small cancellations in a group, are words which label two distinct paths in the graph.Our thesis relies on a brief description of this theory published in2006 by Y.Ollivier. The concept of finitely presented "small cancellation" group, developed by R.Lyndon, M.Greendlinger and others in the 60's and 70's, is a precursor of Gromovword-hyperbolic groups in the late of the 80's, for which combinatorial properties of the presentation imply algebraic properties of the group. In our work, we build a rigorous small cancellation theory in terms of graphs, and develop the basic concept of "megatiles", implicitly used by Y. Ollivier in his article. We extend his results to non-hyperbolic and non-metric cases (eg. $C(4)-T(4)$). This point of view allows a new proof, more natural, of thesolvability of word and conjugacy problems for presentations of prime alternating link groups. We also extend the results of a M.Greendlinger theorem to thenon-metric case, in response to a question of I. Kapovich

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Bonahon, Francis. "Structures géométriques sur les variétés de dimension 3 et applications." Paris 11, 1985. http://www.theses.fr/1985PA112365.

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Abstract:

Cette thèse est formée de trois parties distinctes. Dans la première partir, on calcule le groupe de cobordisme des difféomorphismes de surfaces. On utilise pour cela des méthodes géométriques, et notamment divers scindements caractéristiques de variétés de dimension 3 en morceaux munis de structures géométriques. Puis on applique ce calcul et d’autres techniques géométriques à un problème de cobordisme de nœuds. La deuxième partie est consacrée aux structures elliptiques, c’est-à-dire aux métriques riemanniennes de courbure constante +1, sur les espaces lenticulaires de dimension 3. On montre que celles-ci sont toutes équivalentes par isotopie. Ceci revient à calculer le groupe de classes d’isotopie de difféomorphismes pour chaque espace lenticulaire. Dans la troisième partie, on étudie le comportement à l’infini des variétés hyperboliques de dimension 3 dont le groupe fondamental est de type fini et, disons, indécomposable en produit libre. On démontre en particulier que celles-ci sont « géométriquement sages » dans le sens défini par Thurston. Un corollaire est que ces variétés satisfont la conjecture d’Ahlfors sur la mesure de leur ensemble limite This thesis consists of three distinct parts. In the first part, the cobordism group of surface diffeomorphisms is computed. We use for these purpose geometric methods, in particular various characteristic splitting of 3-manifolds into pieces equipped with geometric structures. This computation, together with other geometric methods, is also applied to a problem of knot cobordism. The second part is devoted to elliptic structures, i. E. Riemannian metrics of constant curvature +1, on 3-dimensional lens spaces. We show that these elliptic structures are all isotopic. This amounts to computing the group of isotopy classes of diffeomorphisms of any given lens space. In the third part, we study the behaviour at infinity of hyperbolic a manifold whose fundamental group are finitely generated and, say, does not split as a free product. In particular, we show that these manifolds are “geometrically tame” in the sense introduced by Thurston. A corollary is that these hyperbolic manifolds satisfy the Ahlfors conjecture on the measure of their limit set

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Iordanov, Iordan. "Delaunay triangulations of a family of symmetric hyperbolic surfaces in practice." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2019. http://www.theses.fr/2019LORR0010.

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Abstract:

La surface de Bolza est la surface hyperbolique orientable compacte la plus symétrique de genre 2. Pour tout genre supérieur à 2, il existe une surface orientable compacte construite de manière similaire à la surface de Bolza et ayant le même type de symétries. Nous appelons ces surfaces des surfaces hyperboliques symétriques. Cette thèse porte sur le calcul des triangulations de Delaunay (TD) de surfaces hyperboliques symétriques. Les TD de surfaces compactes peuvent être considérées comme des TD périodiques de leur revêtement universel (dans notre cas, le plan hyperbolique). Une TD est pour nous un complexe simplicial. Cependant, les ensembles de points ne définissent pas tous une décomposition simpliciale d'une surface hyperbolique symétrique. Dans la littérature, un algorithme a été proposé pour traiter ce problème avec l'utilisation de points factices : initialement une TD de la surface est construite avec un ensemble de points connu, puis des points d'entrée sont insérés avec le célèbre algorithme incrémental de Bowyer, et enfin les points factices sont supprimés, si la triangulation reste toujours un complexe simplicial. Pour la surface de Bolza, les points factices sont spécifiés. L'algorithme existant calcule une DT de la surface de Bolza comme une DT périodique du plan hyperbolique, ce qui nécessite de travailler dans un sous-ensemble approprié du plan hyperbolique. Nous étudions les propriétés des TD de la surface de Bolza définies par des ensembles de points contenants l'ensemble proposé de points factices, et nous décrivons en détail une implémentation de l'algorithme incrémentiel pour cette surface. Nous commençons par définir un représentant canonique unique qui est contenu dans un sous-ensemble borné du plan hyperbolique pour chaque face d'une TD de la surface. Nous donnons une structure de données pour représenter une TD de la surface de Bolza via les représentants canoniques de ses faces. Nous détaillons les étapes de la construction d'une telle triangulation et les opérations supplémentaires qui permettent de localiser les points et de retirer des sommets. Nous présentons également les résultats sur le degré algébrique des prédicats nécessaires pour toutes les opérations. Nous fournissons une implémentation entièrement dynamique pour la surface de Bolza, en offrant l'insertion de nouveaux points, la suppression des sommets existants, la localisation des points, et la construction d'objets duaux. Notre implémentation est basée sur la bibliothèque CGAL (Computational Geometry Algorithms Library), et est actuellement en cours de révision pour être intégrée dans la bibliothèque. L'intégration de notre code dans CGAL nécessite que tous les objets que nous introduisons soient compatibles avec le cadre existant et conformes aux standards adoptés par la bibliothèque. Nous donnons une description détaillée des classes utilisées pour représenter et traiter les triangulations hyperboliques périodiques et les objets associés. Des analyses comparatives et des tests sont effectués pour évaluer notre implémentation, et une application simple est donnée sous la forme d'une démonstration CGAL. Nous discutons une extension de notre implémentation à des surfaces hyperboliques symétriques de genre supérieur à 2. Nous proposons trois méthodes pour engendrer des ensembles de points factices pour chaque surface et présentons les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Nous définissons un représentant canonique contenu dans un sous-ensemble borné du plan hyperbolique pour chaque face d'une TD de la surface. Nous décrivons une structure de données pour représenter une telle triangulation via les représentants canoniques de ses faces, et donnons des algorithmes pour l'initialisation de la triangulation. Enfin, nous discutons une implémentation préliminaire dans laquelle nous examinons les difficultés d'avoir des prédicats exacts efficaces pour la construction de TD de surfaces hyperboliques symétriques The Bolza surface is the most symmetric compact orientable hyperbolic surface of genus 2. For any genus higher than 2, there exists one compact orientable surface constructed in a similar way as the Bolza surface having the same kind of symmetry. We refer to this family of surfaces as symmetric hyperbolic surfaces. This thesis deals with the computation of Delaunay triangulations of symmetric hyperbolic surfaces. Delaunay triangulations of compact surfaces can be seen as periodic Delaunay triangulations of their universal cover (in our case, the hyperbolic plane). A Delaunay triangulation is for us a simplicial complex. However, not all sets of points define a simplicial decomposition of a symmetric hyperbolic surface. In the literature, an algorithm has been proposed to deal with this issue by using so-called dummy points: initially a triangulation of the surface is constructed with a set of dummy points that defines a Delaunay triangulation of the surface, then input points are inserted with the well-known incremental algorithm by Bowyer, and finally the dummy points are removed, if the triangulation remains a simplicial complex after their removal. For the Bolza surface, the set of dummy points to initialize the triangulation is given. The existing algorithm computes a triangulation of the Bolza surface as a periodic triangulation of the hyperbolic plane and requires to identify a suitable subset of the hyperbolic plane in which to work. We study the properties of Delaunay triangulations of the Bolza surface defined by sets of points containing the proposed set of dummy points, and we describe in detail an implementation of the incremental algorithm for it. We begin by identifying a subset of the hyperbolic plane that contains at least one representative for each face of a Delaunay triangulation of the surface, which enables us to define a unique canonical representative in the hyperbolic plane for each face on the surface. We give a data structure to represent a Delaunay triangulation of the Bolza surface via the canonical representatives of its faces in the hyperbolic plane. We detail the construction of such a triangulation and additional operations that enable the location of points and the removal of vertices. We also report results on the algebraic degree of predicates needed for all operations. We provide a fully dynamic implementation for the Bolza surface, supporting insertion of new points, removal of existing vertices, point location, and construction of dual objects. Our implementation is based on CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library, and is currently under revision for integration in the library. To incorporate our code into CGAL, all the objects that we introduce must be compatible with the existing framework and comply with the standards adopted by the library. We give a detailed description of the classes used to represent and handle periodic hyperbolic triangulations and related objects. Benchmarks and tests are performed to evaluate our implementation, and a simple application is given in the form of a CGAL demo. We discuss an extension of our implementation to symmetric hyperbolic surfaces of genus higher than 2. We propose three methods to generate sets of dummy points for each surface and present the advantages and shortcomings of each method. We identify a suitable subset of the hyperbolic plane that contains at least one representative for each face of a Delaunay triangulation of the surface, and we define a canonical representative in the hyperbolic plane for each face on the surface. We describe a data structure to represent such a triangulation via the canonical representatives of its faces, and give algorithms for the initialization of the triangulation with dummy points. Finally, we discuss a preliminary implementation in which we examine the difficulties of having efficient exact predicates for the construction of Delaunay triangulations of symmetric hyperbolic surfaces

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Carrasco, Piaggio Matias. "Jauge conforme des espaces métriques compacts." Phd thesis, Université de Provence - Aix-Marseille I, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00645284.

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Abstract:

L'objet principal de cette thèse est l'étude de la dimension conforme Ahlfors régulière ($\dim_{AR}X$) d'un espace métrique $X$. C'est un invariant numérique par quasisymétrie, introduit par P.\,Pansu, permettant la classification à quasi-isométrie près des espaces homogénes de courbure négative. Elle joue actuellement un rôle important en théorie géométrique des groupes et en dynamique conforme. A partir d'une suite de recouvrements d'un espace métrique compact $\left(X,d\right)$, on construit des distances de dimension contrôlée appartenant à la jauge conforme (Ahlfors régulière). On peut ainsi caractériser toutes les métriques de la jauge á homéomorphismes bi-Lipschitz prés. On montre comment calculer $\dim_{AR}X$ á partir de modules combinatoires en considérant un exposant critique $Q_N$. Comme conséquence de l'égalité $\dim_{AR}X=Q_N$, on obtient un critère général de dimension $1$. Les conditions sont données en termes de points de coupure locale de $X$. On donne par ailleurs des applications de ces résultats aux bords des groupes hyperboliques et aux ensembles de Julia des fractions rationnelles semihyperboliques.

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Crampon, Mickaël. "Dynamics and entropies of Hilbert metrics." Phd thesis, Université de Strasbourg, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00570002.

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Abstract:

On étudie le flot géodésique d'une géométrie de Hilbert définie par un ouvert strictement convexe à bord de classe $C^1$. On s'intéresse à la fois à son comportement local autour d'une orbite, et à ses propriétés globales sur une variété quotient. On explique en quoi ce flot a des propriétés locales de type hyperbolique, en étudiant notamment ses exposants de Lyapunov, qu'on relie précisément à la forme du bord du convexe. On prouve un résultat de rigidité entropique pour les quotients compacts. Dans le reste de la thèse, on développe des outils généraux permettant d'aborder le cas des quotients non compacts, en s'inspirant de qu'on sait faire en courbure négative. Le cas des surfaces géométriquement finies est traitée plus spécifiquement, et le théorème de rigidité est étendu au cas des surfaces de volume fini.

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Philippe, Emmanuel. "Géométrie des surfaces hyperboliques." Toulouse 3, 2008. http://thesesups.ups-tlse.fr/270/.

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Abstract:

Dans ce mémoire, on décrit le début du spectre des longueurs de tous les groupes de triangles associés à un triangle hyperbolique (r,p,q) avec r,p,q entiers ordonnés dans l'ordre croissant. On montre alors que la donnée du spectre des longueurs caractérise, sauf si r=3 , la classe d'isométrie d'un tel groupe parmi tous les groupes de triangles In this report, we describe the beginning of the length spectra of the triangles groups associated with a hyperbolic triangle (r, p, q) with r, p, q integers were ordered in the increasing order. We show while the datum of the length spectra characterizes, except when r=3, the class of isometry of such a group among all the triangles groups

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Papadopoulos, Athanase. "Trois études sur les feuilletages mesurés." Paris 11, 1989. http://www.theses.fr/1989PA112187.

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Abstract:

Cette thèse comporte trois parties. Dans la première partie, on étudie la dynamique de l'action d'un sous-groupe quelconque du groupe modulaire d'une surface sur l'espace des classes projectives de feuilletages mesurés (le bord de Thurston de l'espace de Teichmüller de cette surface). On introduit en particulier une notion d'ensemble limite, et on montre que (sauf dans des cas "élémentaires"), si l'ensemble limite n'est pas tout, il existe un ensemble ouvert non vide sur lequel le groupe en question agit de manière proprement discontinue. Cet ouvert non vide coïncide modulo un ensemble de mesure nulle avec le complémentaire de l'ensemble limite. La seconde partie est une étude de la structure symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface. En particulier, on étudie certains flots naturels sur cet espace et on montre qu'ils sont hamiltoniens. Dans la troisième partie, on établit un critère de convergence vers un point du bord de l'espace de Teichmüller, et on l'utilise pour étudier l'extension du flot de "tremblement de terre" (défini sur l'espace de Teichmüller) au bord de cet espace. On montre en particulier qu'il existe une extension continue dans le cas du tremblement de terre le long d'une courbe simple fermée (flot de Fenchel-Nielsen) et dans le cas d'un tremblement de terre le long d'une lamination géodésique maximale. L'extension au bord est égale au flot étudié dans la seconde partie de la thèse.

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Pit, Vincent. "Codage du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques de volume fini." Phd thesis, Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00553138.

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Abstract:

Cette thèse traite de l'étude des objets reliés au codage de Bowen-Series du flot géodésique pour des surfaces hyperboliques de volume fini. On démontre d'abord que le billard géodésique associé à domaine fondamental "even corners" d'un groupe fuchsien cofini est conjugué à une bijection du tore, appelée codage étendu, dont l'un des facteurs est la transformation de Bowen-Series. L'intérêt principal de cette conjugaison est qu'elle ne fait toujours intervenir qu'un nombre fini d'objets. On retrouve ensuite des résultats classiques sur le codage de Bowen-Series : il est orbite-équivalent au groupe, ses points périodiques sont denses, et ses orbites périodiques sont en bijection avec les classes d'équivalence d'hyperboliques primitifs du groupe ; ce qui permet finalement de relier sa fonction zeta de Ruelle à la fonction zeta de Selberg. Les preuves de ces résultats s'appuient sur un lemme combinatoire qui abstrait la propriété d'orbite-équivalence à des familles de relations qui peuvent être définies sur tout ensemble sur lequel agit le groupe. Il est aussi possible de conjuguer le codage étendu à un sous-shift de type fini, sauf pour un ensemble dénombrable de points. Enfin, on prouve que les distributions propres pour la valeur propre 1 de l'opérateur de transfert sont les distributions de Helgason de fonctions propres du laplacien sur la surface, puis que l'on peut associer à toute telle distribution propre une fonction propre non triviale de l'opérateur de transfert et que ce procédé admet un inverse dans certains cas

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Dissertations / Theses on the topic 'Géométrie hyperbolique'

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