Tesis sobre el tema "Équations différentielles partielles"

Cette thèse est composée de trois parties. Dans la première nous montrons l'existence et l'unicité de la solution continue et à croissance polynomiale, au sensviscosité, du système non linéaire de m équations variationnelles de type intégro-différentiel à obstacles unilatéraux interconnectés. Ce système est lié au problème du switching optimal stochastique lorsque le bruit est dirigé par un processus de Lévy. Un cas particulier du système correspond en effet à l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman associé au problème du switching et la solution de ce système n’est rien d’autre que la fonction valeur du problème. Ensuite, nous étudions un système d’équations intégro-différentielles à obstacles bilatéraux interconnectés. Nous montrons l’existence et l’unicité des solutions continus à croissance polynomiale, au sens viscosité, des systèmes min-max et max-min. La démarche conjugue les systèmes d’EDSR réfléchies ainsi que la méthode de Perron. Dans la dernière partie nous montrons l’égalité des solutions des systèmes max-min et min-max d’EDP lorsque le bruit est uniquement de type diffusion. Nous montrons que si les coûts de switching sont assez réguliers alors ces solutions coïncident. De plus elles sont caractérisées comme fonction valeur du jeu de switching de somme nulle
There are three main results in this thesis. The first is existence and uniqueness of the solution in viscosity sense for a system of nonlinear m variational integral-partial differential equations with interconnected obstacles. From the probabilistic point of view, this system is related to optimal stochastic switching problem when the noise is driven by a Lévy process. As a by-product we obtain that the value function of the switching problem is continuous and unique solution of its associated Hamilton-Jacobi-Bellman system of equations. Next, we study a general class of min-max and max-min nonlinear second-order integral-partial variational inequalities with interconnected bilateralobstacles, related to a multiple modes zero-sum switching game with jumps. Using Perron’s method and by the help of systems of penalized unilateral reflected backward SDEs with jumps, we construct a continuous with polynomial growth viscosity solution, and a comparison result yields the uniqueness of the solution. At last, we deal with the solutions of systems of PDEs with bilateral inter-connected obstacles of min-max and max-min types in the Brownian framework. These systems arise naturally in stochastic switching zero-sum game problems. We show that when the switching costs of one side are smooth, the solutions of the min-max and max-min systems coincide. Furthermore, this solution is identified as the value function of the zero-sum switching game

Cette thèse est composée de deux parties. La première est consacrée à l'identification de paramètres à partir de mesures bruitées. On propose une formulation originale du problème qui contraint l'écart quadratique de la solution à la mesure à demeurer inférieur à un niveau de bruit toléré. La minimisation porte alors, sous cette contrainte et sous celle d'équilibre, sur un terme régularisant dont on discute le choix. D'une part, on introduit une norme classique pour reconstruire des paramètres réguliers. On obtient alors un résultat d'existence et des conditions d'optimalité à partir de l'expression du Lagrangien. Une discrétisation de type éléments finis est proposée et des tests numériques ainsi qu'une étude de l'erreur sont présentés. D'autre part, on utilise la variation totale pour identifier des coefficients discontinus. Au cours de l'étude théorique de l'approximation numérique, on souligne l'importance de la décomposition du domaine lorsque l'on approche des fonctions à variation bornée par des fonctions constantes par morceaux. Des tests numériques montrent une bonne localisation des discontinuités par la solution estimée. Dans la seconde partie, on s'intéresse à la résolution d'équations elliptiques comprenant des coefficients hétérogènes, sur des maillages raisonnables, non gouvernés par les variations géométriques des paramètres. En 1D, les problèmes d'homogénéisation de ce type peuvent être considérés comme des problèmes d'identification. Malheureusement en 2D ou 3D les résultats dépendent des conditions expérimentales. On présente ici une nouvelle méthode basée sur une formulation mixte primale-duale et qui consiste à imposer la continuité des flux le long des lignes de discontinuité du paramètre.

Les travaux exposés dans cette thèse entrent d'une manière générale dans l'étude des équations aux dérivées partielles aux moyens d'outils stochastiques. Dans une première partie, nous résolvons un système d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades couplé avec un processus de Poisson puis nous en déduisons une résolution d'un système d'EDP parabolique quasilinéaires non dégénéré avec un opérateur du second ordre différent d'une ligne à l'autre du système. Ce travail utilise des estimations analytiques de la norme du gradient de solution d'EDP et nécessite l'uniforme ellipticité comme hypothèse principale. Dans une seconde partie, nous établissons des résultats d'homogénéisation d'EDP semilinéaires en milieu périodique. Nous montrons essentiellement que les résultats précédemment établis avec condition d'uniforme ellipticité de la diffusion demeurent si celle-ci est substituée par une condition plus faible dite de Doeblin. A cette fin nous utilisons les solutions de l'équation de Poisson en un sens généralisé, celles-ci nous permettant au moyen d'une régularisation adéquate d'user de la formule classique d'Ito pour identifier les coefficients de l'EDP limite. Nous exploitons essentiellement des techniques de convergence faible et de théorie ergodique

Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier
This thesis deals with the forward backward stochastic differential equations, in particular those with a coefficient of progressive diffusion which depends on all unknowns of the problem. We propose an original way to get onto this subject, letting us to reobtain some classical results of existence and uniqueness in the spirit of Pardoux-Tang and Yong's results, and to find a probabilistic representation of a new class of parabolic PDE, in which derivation coefficient of order 2 depends on the gradient of the solution. We also propose an iterative discretization scheme. We prove its convergence and give an evaluation of the error on a particular example

Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier.

Dans un premier chapitre, nous avons considéré les équation différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs) réfléchies avec une ou deux barrières continues à droite et limitées à gauche (càdlàg). En utilisant une méthode d'itération de Picard nous avons obtenu l'existence et l'unicité de lasolution de l'EDSR à deux barrières. Nous avons ensuite utilisé une méthode de pénalisation dans le cas d'une barrière. En considérant les solutions (Y n,Zn,Kn) des équations pénalisées comme solutions d'EDSRs réfléchies, on montre que la limite (Y,Z,K) est la solution du problème, parles propriétés de l'enveloppe de Snell et le théorème ”limit monotonic” de Peng (Peng, S. , 1999). Dans le cas de l'équation avec deux barrières càdlàgs, de manière analogue, une généralisation du”limit monotonic” théorème permet de passer à la limite dans les équations pénalisées. Ensuite, la représentation des solutions via les Jeux de Dynkin nous permet d'obtenir que la limite (Y,Z,K)est alors la solution du problème. Dans un second travail, nous avons généralisé ce type de résultat au cas o`u les barrières sont seulement L2, en utilisant toujours une méthode de pénalisation avec la théorie des g-sur-solutions. Dans un second chapitre, nous considérons les EDSRs réfléchies avec une barrière continue,associées à (_, f,L), lorsque _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) est continue, satisfait des conditions de mono-tonie, de croissance générale en y, et la condition lipschitzienne en z, et lorsque la barrière (Lt)0_t_Test un processus continu progressivement mesurable, qui vérifie certaines conditions d'intégrabilité. Nous avons notamment montré l'existence et l'unicité de la solution dans L2, pour cette équation réfléchie avec temps terminal déterministe. La preuve de l'existence s'effectue en quatre étapes. La première étape consiste à montrer le résultat sous des hypothèses de bornitude pour _, f(t, 0) etL+. La seconde étape (la plus délicate) consiste à relaxer l'hypothèse de bornitude sur L+ ; enfin les deux dernières étapes nous permettent d'obtenir le résultat général, en relaxant les hypothèses de bornitude sur _ et f(t, 0). Les théorèmes de comparaison jouent un rôle important, en nous permettant de passer à la limite dans les équations. Nous avons ensuite étudié le cas o`u le temps terminal est aléatoire. L'existence et l'unicité de la solution sont montrées. Dans un troisième chapitre, nous étudions les EDSRs réfléchies à une barrière dont le générateur satisfait des conditions de monotonie, de croissance générale en y, et une condition de croissance quadratique ou linéaire en z, et lorsque la barrière L est uniformément bornée. Nous montrons l'existence d'une solution par approximation, sous ces conditions. Nous trouvons également une condition nécessaire et suffisante pour le cas f(t, !, y, z) = |z|2 , et construisons sa solution expli-citement. Pour le cas f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), nous montrons une condition suffisante. Dans un quatrième chapitre, nous traitons des EDSRs réfléchies avec deux barrières, lorsque satisfait des conditions de monotonie, continuité, croissance générale en y, et de Lipschiz en z,comme dans le second chapitre. Pour les barrières, nous exigeons que L et U soient continues, L < Usur [0, T], et l'hypothèse de Mokobodski. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution pour cette équation. Dans un cinquième chapitre, nous étudions les applications des ESDRs. Une application importante des EDSRs consiste à donner une interprétation probabiliste (Formule de Feynman-Kacnonlinéaire) pour les solutions des équations aux dérivées partielles (EDPs) semi linéaires parabo-liques. Nous appliquons la méthode d'approximation et les résultats de l'EDSR dans (Pardoux,1999), pour l'EDP semi linéaire, dans le sens Sobolev, par la solution de l'EDSR correspondante. Ensuite, nous utilisons la notion de l'EDP avec obstacle (Bally et al. , 2004). Par la même approximation que dans le second chapitre, nous montrons l'interprétation probabiliste de la solution(u, _) de l'EDP par la solution (Y,Z,K) de l'EDSR réfléchie. Ici, nous supposons que l'obstacle hest à croissance polynômiale. Nous prouvons un théorème qui permet de remplacer la fonction test régulière par la fonction test aléatoire sous les conditions de monotonie et de croissance générale,et par ce théorème nous obtenons l'unicité de la solution de l'EDP via l'unicité de la solution del'EDSR ou l'EDSR réfléchie. Enfin dans un dernier chapitre, nous étudions les solutions numériques des EDSRs et présentons des résultats de simulation, et nous appliquons notamment cette technique au calcul des options américaines
In the first chapter, we consider the reflected backward stochastic differential equation (BSDEsin short) with one or two right continuous and left limited (RCLL in short) barriers. Using the Picarditeration method, we obtained the existence and uniqueness of the solution of the reflected BSDEwith two RCLL barriers. Then we use the penalization method to the case of one RCLL barrier. Considering the solutions (Y n,Zn,Kn) of penalized equations as solutions of reflected BSDEs,we prove that the limit (Y,Z,K) is the solution of equation, by properties of Snell envelope andmonotonic limit theorem (Peng S. , 1999). In the case of equation with two RCLL barriers, by theanalogue method, we prove the limit (Y,Z,K) of penalized equation is the solution of problem,by the representation of solutions via Dynkin game. Here we need a generalized monotonic limittheorem, which permit us to pass the limit for penalized equations. In a second work, we have generalized this type of result to the case where barriers are just inL2, by the method of penalization and the theory of g-supersolution. In the second chapter, we consider the reflected BSDEs with one continuous barrier, associatedto (_, f,L), when _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) is continuous, satisfies monotonic and general increasingconditions on y, and Lipschitz condition on z, and when the barrier (Lt)0_t_T is a progressivelymeasurable continuous process, which verifies certain integrability condition. We have also notable prove the existence and uniqueness of solution in L2, for this reflectedequation with determinist terminal time. The proof of existence is effected by four steps. The firststep consists to prove the result under the boundness condition of _, f(t, 0) et L+. The second step(the most delicate) consists to relax the boundness condition of L+ ; the following two step permitus to obtain the general result, relaxing the boundness condition on _ and f(t, 0). The comparisontheorems play important roles, which help us to pass the limit in the equations. Then we study thecase when the terminal time is a stopping time. The existence and uniqueness of the solution arealso proved. In the third chapter, we have studied the reflected BSDEs with one barrier, whose generator fsatisfies the monotonic and general increasing condition on y, and quadratic and linear condition onz, when the barrier L is uniformly bounded. We prove the existence of a solution by approximation,under these conditions. We also find a necessary and sufficient condition for the case f(t, !, y, z) =|z|2, and construct its solution explicitly. For the case f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), we prove asufficient condition. In the forth chapter, we treat the reflected BSDE with two barrier, when f satisfies the mono-tonic, continuous and general increasing conditions on y, and Lipschitz condition on z, like in thesecond chapter. For the barriers, we suppose that L and U are continuous, L < U on [0, T], andMokoboski condition. We prove the existence and uniqueness of the solution for this equation. In the fifth chapter, we study the applications of BSDE. A important application of BSDEconsists to give a probabilistic interpretation (nonlinear Feynman-Kac formula) pour solutions ofsemilinear parabolic partial differential equations. We apply the approximation method and resultsof BSDE in (Pardoux, 1999) for semiliear PDE in Sobolev sense, by the solution of correspondingBSDEs. In following, we use the notion of PDE with obstacle (Bally et al. , 2004). By the sameapproximation in second chapter, we prove the probabilistic interpretation of the solution (u, _) ofPDE by the solution (Y,Z,K) of reflected BSDE. Here, we suppose that the obstacle h is polynomialincreasing. We prove a theorem which permits us to replace the regular test function by the randomtest function under monotonic and general increasing conditions, and by this theorem we obtainthe uniqueness of the solution of PDE from the solution of BSDE or reflected BSDE. Finally, in the last chapter, we study the numerical solutions of BSDEs and present somesimulation results, and we apply this technique to the calculation of American option

Introduites par E. Pardoux et S. Peng, les Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades ont fait l'objet de nombreux travaux. On peut les étudier suivant plusieurs points de vue. Dans une première partie, on améliore des résultats d'existence et d'unicité pour les solutions d'EDSR à horizon aléatoire lorsque le générateur est strictement monotone, puis monotone. Le fort lien qui existe entre les EDSR et les Equations aux Dérivées Partielles permet de donner une approche probabiliste pour des EDP elliptiques. Dans une seconde partie, on s'intéresse à la notion d'espérance non linéaire, qui est une généralisation de l'espérance classique dans la mesure où elle en vérifie les propriétés essentielles, hormis la linéarité. On se place dans le cadre où les trajectoires ne sont pas continues en considérant une filtration engendrée par un mouvement brownien et un processus de Poisson. On établit un théorème de décomposition de Doob-Meyer pour les surmartingales non linéaires.

Nous nous intéressons dans cette thèse à divers problèmes d'équations aux dérivées partielles elliptiques non-linéaires dans la première partie, nous construisons un contre-exemple pour montrer un résultat de non-existence de solutions d'ondes progressives pour un modèle intervenant en combustion dans un domaine cylindrique infini en dimension trois. L'objet de la deuxième partie est l'existence de solutions d'une équation semi-linéaire dans un cylindre fini, faisant intervenir le gradient dans le terme non-linéaire. Les conditions aux bords sont mixtes de type Dirichlet et Newmann. Nous utilisons la méthode de sous- et sur-solutions. La difficulté ici est le fait que le domaine possède des coins. Dans la troisième partie, nous étudions comme dans la première partie l'existence d'ondes progressives dans un domaine cylindrique infini dans le cas où le terme source change plusieurs fois de signe. Nous établissons une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une onde. Enfin la quatrième partie a pour objet l'étude de la symétrie de solutions positives d'une équation aux dérivées partielles elliptique semi-linéaire dans des domaines sectoriels avec des conditions aux bords mixtes de Dirichlet et Newmann et utilise des développements récents sur la méthode de déplacement d'hyperplans

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion. L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction, de l'opérateur de dispersion, et de la donnée initiale sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est le laplacien et les équations intégro-différentielles pour lesquelles l'opérateur de dispersion est de type convolution. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion $J$ modifie totalement la vitesse de propagation. Plus précisément, la présence de noyaux de dispersion à queue lourde ou à décroissance sous-exponentielle entraîne l'accélération des lignes de niveaux de la solution.

L'objectif de cette thèse est l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et progressives-rétrogrades (EDSPR), dont les résultats principaux sont : Le premier porte sur la solvabilité des EDSR à croissance logarithmique de type (lylllnlyll lzlJllnlzll) et application aux équations aux dérivées partielles (EDP). Le deuxième concerne l'existence d'un contrôle optimal stricte pour un système dirigé par une EDSPR fortement couplée. Des multiples applications sont établies. Un résultat d'existence et d'unicité de la solution de l'équation de Hamilton-Jacobi-Belmann (HJB) est également établi
The objective of this thesis is to study backward stochastic differential equations (BSDE) and forward-backward stochastic differential equations (FBSDE), the main results are:The first is about the solvability of logarithmic BSDE of type (lylllnlyll lzlJllnlzll) and application to partial differential equations (PDE). The second concems the existence of strict optimal control for a system driven by a strongly coupled FBSDE. Multiple applications are established. A result of existence and uniqueness of the solution of the Hamilton-Jacobi-Belmann equation (HJB) is also established

Cette thèse est scindée en deux. Elle a pour objet, d'une part, l'étude des solutions de viscosité d'inéquations variationnelles ou quasi-variationnelles issues du contrôle stochastique optimal de processus sous observations partielles. Plus précisément, on s'intéresse à la caractérisation de fonctions valeur associées à des problèmes de contrôle continu optimal jumélé avec arrêt ou impulsion. D'autre part, on traite le lien entre les solutions d'Equations Différentielles Partielles semi-linéaires et celles d'Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR). On étudie d'abord des EDSR à sauts réfléchies sur deux barrières. On montre alors comment la solution de l'EDS progressive rétrograde génére la solution de viscosité d'une équation intégro-différentielle partielle avec deux obstacles. On établit ensuite le lien entre les solutions de Sobolev d'EDPs et celles d'EDSR comme application directe d'un résultat d'équivalence de normes
The thesis is divided in two parts. It deals with viscosity solutions of variational inequalities or quasi-variational inequalities in the first section. More precisely, we are interested in the caracterization of value functions associated to optimal stochastic control problems of a partially observed diffusion. These problems consisting of continuously acting controls combined with impulse controls or stopping times. The second part is devoted to the link between solutions of semilinear PDEs and the solutions of BSDEs. We first study double barrier BSDEs with jumps. We then prove that the solution of the FBSDE provides a viscosity solution of a parabolic integral-differential partial equation with two obstacles. Next we state the connection between Sobolev solutions of PDEs and the ones of BSDE as an application of a norm equivalence result

Dans les deux premières parties, nous nous intéressons à un problème de Switching à plusieurs régimes de fonctionnement, les fonctions de profits sont à croissance polynomiale arbitraire et les fonctions de switching d’un régime à un autre (coût de Switching) non constantes dépendant de l’état et du temps. Dans la première partie, nous étudions essentiellement le cadre Markovien en horizon fini et dans la seconde nous étudions le cadre général en horizon infini. En horizon fini nous montrons que le théorème de vérification associé à notre problème qui s’exprime par l’intermédiaire d’un système d’EDP paraboliques avec obstacles inter-connectés à une solution unique au sens de viscosité. Cette solution est construite à partir du système d’EDSR réfléchies et le principe de la programmation dynamique associés au problème du switching optimal. Puis en horizon infini, nous établissons le théorème de vérification pour lequel nous montrons l’existence d’une solution en utilisant la théorie de l’enveloppe de Snell et des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous étudions ensuite le cadre markovien et nous montrons que le théorème de vérification associé à notre problème qui s’exprime par l’intermédiaire d’un système d’EDP elliptiques avec obstacles inter-connectés à une solution unique au sens de viscosité. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions les EDSRs réfléchies à deux barrières continues où les coefficients sont supposés simplement p-intégrables avec р Є (1; 2). En utilisant la notion de solution locale, nous démontrons que cette équation admet une solution unique. Comme applications, nous abordons un problème de jeu de Dynkin puis la solution au sens de viscosité d’un problème d’équation aux dérivées partielles avec deux obstacles
We study optimal switching and Lр-solution for doubly reflected backward stochastic differential equations. In the first part, we show existence and uniqueness of a solution for a system of m variational partial differential inequalities with inter-connected obstacles. This system is the deterministic version of the Verification Theorem of the Markovian optimal m-states switching problem. The switching cost functions are arbitrary. In the second part we study the problem of the deterministic version of the Verification Theorem for the optimal m-states switching in infinite horizon under Markovian framework with arbitrary switching cost functions. The problem is formulated as an extended impulse control problem and solved by means of probabilistic tools such as the Snell envelop of processes and reflected backward stochastic differential equations. A viscosity solutions approach is employed to carry out a fine analysis on the associated system of m variational inequalities with inter-connected obstacles. We show that the vector of value functions of the optimal problem is the unique viscosity solution to the system. Finally in the third part, we deal the problem of existence and uniqueness of a solution for à backward stochastic differential equation (BSDE for short) with two strictly separated continuous reflecting barriers in the case when the terminal value, the generator and the obstacle process are Lр-integrable with р Є (1, 2). The main idea is to use the concept of local solution to construct the global one. As applications, we obtain new results in zerosum Dynkin games and in double obstacle variational inequalities theories

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section
This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options

This thesis is devoted to the existence, uniqueness and homogenization results for a quasilinear elliptic problem with oscillating coefficients and with nonlinear Robin boundary condition in a periodically perforated domain. A suitable frowth conditions are assumed on the nonlinear boundary term and on the quasilinear term, some assumptions on the modulus of continuity introduced in Chipot [17] and weaker than a Lipschitz condition, are prescribed. For the existence and uniqueness of a solution, we consider a more general framework which, in particular, will imply the existence and uniqueness of the solution of the problem. To deal with the existence of a solution, we prove first the weak continuity of the boundary nonlinear operator which is a difficult part. Together with this property, we use the Schauder's Fixed Point Theorem to show the existence. For the uniqueness, we adapt to our situation some arguments introduced in André-Chipot [5] (see also chapter 11 of [17] for Dirichlet conditions) and partially extended to linear Robin conditions in Bendib-Tcheugoué Tébou [11] and Bendib [10]. For the homogenization of the problem, we study the convergence to a limit problem using the Periodic Unfolding Method in perforated domains. Here, we proved related properties of the onfolding operators which are needed in the process. We also show the well-posedness of the limit system by proving that the homogenized operator inherits the modulus of continuity of the initial problem. As a consequence, the uniqueness of a solution of the homogenized quasilinear problem follows. A corrector result is also obtained using this method.

L'objet de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solutions des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies puis de lier cette notion à des problèmes tels que l'investissement réversible ou bien le problème d'arrête et de reprise, le jeu stochastique différentiel de somme nulle (mixte type ou Dynkin type), ou alors l'interprétation probabiliste de solutions faibles des équations intégrales aux dérivées partielles, au sens de viscosité ou au sens Sobolev dans les cadres différents
The main objective of the thesis is to study the existence and uniqueness of solutions of reflected backward stochastic differential equations and to relate this notion to the study of the problems such as the reversible investment or so-called optimal switching problem, the mixed zero-sum stochastic differential games and the probabilistic interpretation of the weak solution of partial differential equations, either in viscosity sense or in Sobolev space under different framework

Dans la première partie de cette thèse, nous montrons que tout semi-groupe défini sur un espace de fonctions continues sur IRn est , sous des hymothèses de régularité et de localité, un semi-groupe associé à une équation aux dérivées partielles du second ordre parabolique (dégénérée). Dans la deuxième partie, nous étudions les propriétés d'existence et d'unicité pour les solutions de l'équation d'évolution des graphes par courbure moyenne ainsi que d'équations quasilinéaires plus générale. Dans un premier article, nous utilisons l'approche par ensembles de niveau pour obtenir des bornes L[infini] locales et des conditions d'unicité pour les solutions d'équations quasilinéaires. L'application majeure de cette méthode étant un résultat complet d'existence et d'unicité sans condition de croissance à l'infini dans le cas où la donnée initiale est convexe. Dans un second article, nous montrons, dans le cas particulier de la dimension un, le résultat d'unicité sans restriction sur le comportement à l'infini de la donnée initiale ni sur les solutions. Enfin, dans un troisième article, nous prouvons un résultat de comparaison dans la classe des fonctions à croisssance polynômiale. Celui-ci est obtenu sous condition de croissance de type polynômial sur les grandiants de la données initiale et pour une large classe d'équations quasilinéaires incluant celle d'évolution des graphes par courbure moyenne indépendemment de la dimension
In the first part of this thesis we show that any monotone semi-group defined on continuous functions and satisfying suitable assumptions of regularity and locality is a semi-group associated to a second order parabolic pde. In a second part, we study uniqueness and existence properties of the solutions of the mean curvature equation for graphs and also for sme related class àf quasilinear parabolic equations. In a first article, we use the "level set approach" which provides a L[infini] local bound and a formulation of the uniqueness problem in term of fattening of the 0-level set of an auxiliary function. The major application of the method is a complete result of existence and uniqueness for a class of quasilinear equations without restriction on the behavior at infinity when the initial graphs is convex. In a second article, we prove the uniqueness result for the mean curvature flow of graphs in the one dimensional case without growth condition at infinity for the solution or the initial graph. Finally, in the third paper, we prove a comparison result in dimension N in the class of functions with polynomial growth. This result is obtained under growth conditions of polynomial type on the grandients of the initial data

L’objectif de ce travail est l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d’autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d’une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i. E. Au sens des distributions), car en général on n’a pas l’unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d’existence et d’unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l’existence et l’unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l’existence et l’unicité de la solution entropique d’un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d’espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d’existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l’existence

Ce travail est une contribution à l’étude théorique de quelques problèmes de contrôla-bilité issus pour la plupart de la mécanique des fluides. L’accent est mis plus particuliè-rement sur la contrôlabilité de systèmes du type Navier-Stokes avec un nombre réduit decomposantes et des équations dégénérées en une dimension d’espace. Dans le Chapitre 2, on s’intéresse à l’existence de contrôles insensibilisants pour le sys-tème de Navier-Stokes. On prouve la contrôlabilité à zéro d’un système linéaire, utilisantdes inégalités de Carleman connues. On travail alors dans des espaces à poids appropriéspour appliquer un théorème d’inversion locale. Dans le Chapitre 3, on complète les résul-tats du Chapitre 2 en prouvant l’existence de contrôles insensibilisant ayant au plus deuxcomposantes non nulles. A cet effet on démontre une nouvelle inégalité de Carleman adap-tée. Dans le Chapitre 4, on étend ces résultats au système plus complexe de Boussinesq. Deux composantes sont maintenant absentes dans la variable de contrôle des équations dufluide. Le Chapitre 5 est consacré à des problèmes de contrôlabilité pour des équations li-néaires paraboliques et hyperboliques, qui dégénèrent sur le bord de l’intervalle sur lequelelles sont posées. Dans un premier temps on s’intéresse aux équations hyperboliques pourlesquelles on démontre des inégalités d’observabilité optimales en utilisant la méthode desmoments. Puis nous obtenons la contrôlabilité des équations paraboliques via une méthodede transmutation
Our work is a contribution to the theoretical study of some controllability problemsarising in fluid mechanics and various applied mathematics fields. We mainly focus on thecontrollability of Navier-Stokes type systems with fewer scalar controls. In Chapter 2, weinvestigate the existence of insensitizing controls for the Navier-Stokes system. We firstprove the null controllability for a linearized problem, using known Carleman estimates. Then, we work in special weighted functional classes to apply an inverse mapping theorem. In Chapter 3, we have managed to prove the same insensitivity results with a controlhaving at most two non zero components. We proved new Carleman estimates withparticular observation terms for this purpose. In Chapter 4, the results are extended tothe Boussinesq system with two vanishing components. The idea is to transpose the resultsof Chapter 3 to a more complex example. In Chapter 5, we investigate the exact controllability of linear parabolic and hyperbolicequations which degenerate at one end of the interval on which they are posed. First, weconsider the corresponding class of degenerate hyperbolic equations. Then, we prove sharpobservability estimates for these equations using non-harmonic Fourier series. We get thecontrollability of the degenerate parabolic equations using a transmutation method

Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles, qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité des systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc.
Dans la première partie, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé et on introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrique d'ordre élevé pour les équations du mouvement d'un corps rigide. On obtient également une méthode numérique précise pour le calcul de points conjugués pour les géodésiques du corps rigide.
Dans la seconde partie, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques, pour l'intégration à long terme en astronomie et en dynamique moléculaire, persistent pour les problèmes de contrôle optimal. On discute également l'extension de la théorie des équations modifiées aux problèmes de contrôle optimal.
Dans le même esprit que les équations modifiées, on considère dans la dernière partie des méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les systèmes hamiltoniens perturbés, utilisant des potentiels modifiés. On termine par la construction de méthodes de splitting d'ordre élevé avec temps complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques, notamment les problèmes de réaction-diffusion en chimie.

Nous montrons des principes de grandes déviations pour des solutions d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades à horizon déterministe, et nous donnons une application de ces résultats à la théorie de la gestion du risque de crédit. Nous étudions également l'existence, l'unicité et la stabilité des solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades à horizon aléatoire sous de nouvelles hypothèses. Nous établissons des principes de grandes déviations pour les solutions de telles équations, construites à partir d'une famille de processus de Markov dont le coefficient de diffusion tend vers zéro. Nous en déduisons des résultats de convergence de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires, elliptiques et paraboliques, qui étendent ceux de Freidlin et Wentzell
We prove large deviations principles for solutions of forward-backward stochastic differential equations with determinist terminal time, and we give an application of these results to the theory of credit risk management. We also study the existence, uniqueness and stability of solutions of backward stochastic differential equations with random terminal time under new assumptions. We establish large deviations principles for the solutions of such equations, related to a family of Markov processes, the diffusion coefficient of which tends to zero. We deduce from these results some theorems of convergence of solutions of non linear partial differential equations, elliptic and parabolic, which extend Freidlin and Wentzell's

L'ensemble des événements permettant la fabrication et le renouvellement continu des cellules du sang représente une série de processus complexes, appelée hématopoïèse, ayant lieu dans la moelle osseuse. L'hématopoïèse repose sur une réserve de cellules souches, dites hématopoïétiques, possédant des capacités uniques de différenciation (capacité à générer l'ensemble des cellules du sang) et d'auto-renouvellement (capacité à générer une cellule fille identique à la cellule mère). Nous avons réalisé une étude mathématique de l'hématopoïèse à l'aide de modèles non-linéaires structurés en âge et maturité. Elle a permis de mettre en évidence l'influence des cellules souches hématopoïétiques sur la population totale de cellules du sang, ces cellules agissant activement sur la stabilité de la population. Par l'étude de modèles non structurés en maturité, réduits par intégration à un système d'équations différentielles avec retard distribué, nous avons mis en évidence l'existence de solutions oscillantes et, à travers l'étude d'une bifurcation de Hopf, de solutions périodiques, avec de très longues périodes en comparaison de la durée du cycle cellulaire. Ces oscillations sont caractéristiques de maladies du sang dites cycliques, dont la leucémie myéloïde chronique, une forme très répandue de leucémie. Notre travail représente une contribution à l'étude de cette maladie. Enfin, nous nous sommes intéressés à un modèle d'hématopoïèse prenant en compte l'action de facteurs extérieurs à la moelle osseuse qui agissent sur la différenciation des cellules souches. Nous avons établi l'existence de solutions oscillantes pouvant décrire certaines maladies hématologiques cycliques
The events allowing production and continuous renewal of blood cells represent a series of complex processes, called haematopoiesis, taking place in the bone marrow. Haematopoiesis is based on a pool of haematopoietic stem cells, having unique capacities of differentiation (capacity to generate all blood cells types) and self renewal (capacity to generate a daugther cell identical to the mother cell). We performed a mathematical study of haematopoiesis based on nonlinear age and maturity structured models. It allowed to highlight the influence of hematopoietic stem cells on the entire blood cell population, these cells actively acting on the population stability. Through the study of models without maturity structure, reduced by integration to a system of differential equations with distributed delay, we obtained the existence of oscillating solutions and, throughout the study of a Hopf bifurcation, of periodic solutions with very long periods compared to the cell cycle duration. These oscillations are characteristic of some blood diseases, called periodic, such as chronic myelogenous leukaemia, one of the most widespread forms of leukaemia. Our work represents a contribution to the study of this disease. Lastly, we considered a haematopoiesis model taking into account the action of some factors, external to the bone marrow, acting on stem cells differentiation. We proved the existence of oscillating solutions which may describe some periodic hematological diseases

Dans un premier temps, nous étudions une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (notées EDSRs) qui sont reliées à des conditions de Neumann semi-linéaires relatives à des phénomènes ergodiques. La particularité de ces problèmes est que la constante ergodique apparaît dans la condition au bord. Nous étudions l'existence et l'unicité de solutions pour de telles EDSRs ergodiques ainsi que le lien avec les équations aux dérivées partielles et nous appliquons ces résultats à des problèmes de contrôle ergodique optimal. Dans une deuxième partie nous généralisons des travaux de P. Briand et Y. Hu publiés en 2008. Ces derniers ont prouvé un résultat d'unicité pour les solutions d'EDSRs quadratiques de générateur convexe et de condition terminale non bornée ayant tous leurs moments exponentiels finis. Nous prouvons que ce résultat d'unicité reste vrai pour des solutions qui admettent uniquement certains moments exponentiels finis, ces moments étant reliés de manière naturelle à ceux présents dans le théorème d'existence. Nous améliorons aussi la formule de Feynman-Kac non linéaire prouvée par P. Briand et Y. Hu. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique d'EDSRs quadratiques markoviennes dont la condition terminale est bornée. Nous estimons dans un premier temps des bornes déterministes sur le processus Z. Nous donnons ensuite un nouveau schéma de discrétisation en temps dont la particularité est que la grille de discrétisation est non uniforme. Enfin nous obtenons une vitesse de convergence pour ce schéma. Par ailleurs, quelques simulations numériques permettent d'étudier l'efficacité de notre nouveau schéma dans un cadre pratique.

Cette thèse porte sur les équations d'évolution et s'articule autour de trois parties. Dans la première partie, on se propose de se concentrer sur le critère oscillatoire de certaines équations différentielles. Des résultats classiques sur les fonctions presque-périodiques sont rassemblés dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre de cette thèse a pour objectif de prouver l'existence d'une solution presque-périodique de Besicovitch d'une équation différentielle de second ordre sur un espace de Hilbert. L'approche utilisée se base sur un formalisme variationnel. La deuxième partie de cette thèse traite le comportement asymptotique des problèmes de Cauchy dans le cas non autonome. Les semi-groupes et les familles d'évolution étant les outils principaux utilisés dans cette partie, le troisième chapitre introduit des résultats importants de cette théorie, notamment ceux permettant de caractériser la stabilité des semi-groupes et des familles d'évolution périodiques. Dans le quatrième chapitre de cette contribution, on prouve, en utilisant une approche basée sur les semi-groupes, un résultat liant la bornitude de solutions de problèmes de Cauchy périodiques et la stabilité exponentielle uniforme des familles d'évolution issues de ces problèmes. Dans une troisième partie, on focalise l'attention sur quelques résultats sur la dichotomie exponentielle comme une propriété liée au comportement asymptotique des systèmes différentiels. Quelques résultats connus sont, par suite, réunis au cinquième chapitre qui introduit brièvement la notion de dichotomie exponentielle. Dans un dernier chapitre, une caractérisation de la dichotomie exponentielle d'une famille d'évolution en termes de bornitude des solutions de problèmes de Cauchy opératoriels correspondants sera démontrée.

Nous déterminons la structure de l'ensemble de solutions U de - (|U::(X)|**(P-2)U::(X))::(X)+F(U)=Lambda |U|**(P-2)U dans (0, 1) telle que U(1)=U(0)=0, ou P>1 et Lambda appartient à R. Nous montrons l'unicité des solutions avec K Zéros lorsque 1

2. Nous étudions l'existence de fonctions dans W::(O)**(1,P)(Omega ) qui satisfait - DIV(|DU|**(P-2)DU)=U**(P-1)+U**(P*-1) dans G inclus dans R**(N) et U>0 dans G ou G est un domaine borne. Lorsque 1