Tesis sobre el tema "Multiplikation"

Multiplikation är ett av de fyra räknesätten inom matematik som elever ska utveckla kunskap och förståelse inom. Utifrån lärarens undervisning ska eleverna ges möjlighet att i slutet av årskurs 6 kunna behärska olika metoder inom multiplikation. Syftet med studien är att urskilja vilka metoder inom multiplikation som är vanligast förekommande i två stycken årskurs 5-klasser samt vilka metoder som matematikläraren för dessa klasser använder mest i genomgången av multiplikation. Syftet är även att försöka tolka olika elevers uppfattningar inom dessa metoder. Studien genomfördes med hjälp av en kvalitativ analys utifrån en fenomenografisk ansats.

Multiplikation ingår i många delar av matematiken, vilket gör att goda kunskaper och förståelse för multiplikation ses vara av betydelse för eleverna. Samtidigt ses det inte helt oproblematiskt att lära in dessa kunskaper. Syftet med denna studie är att undersöka vad matematiklärare i årskurs 4–6 anser är svårt för elever att lära in vid undervisning av multiplikation samt vilka metoder och resurser dessa lärare använder för att utveckla elevernas multiplikativa tänkande. Undersökningen genomfördes genom kvalitativa intervjuer med matematiklärare, där insamlad data sedan analyserades utifrån Lithners (2008) ramverk. Resultatet visar att det finns flera svårigheter som kan uppstå vid lärande av multiplikation, men där den främsta svårigheten för eleverna är att lära sig multiplikationstabellens utantill. Vidare visar resultatet att lärarna aktivt arbetar med att eleverna ska förstå och kunna omsätta sina kunskaper i olika sammanhang, där samtidigt vissa metoder och resurser ses vara mindre gynnsamma för utveckling av det multiplikativa tänkandet. Denna studie visar att multiplikation innefattar olika typ av kunskap, vilka är viktiga för att eleverna ska kunna utvecklas inom skolans matematik. Studien ses även bidra till kunskaper om hur undervisningen i multiplikation kan utvecklas vidare.<br>Multiplication is included in many parts of mathematics, which means that good knowledge and understanding of multiplication is important for students. At the same time, learning multiplication is not unproblematic. The purpose of this study is to investigate what mathematics teachers in grade 4–6 consider difficult for students to learn in the teaching of multiplication, and what methods and resources these teachers use to develop students` multiplicative thinking. The survey was conducted through qualitative interviews with mathematics teachers, where collected data was analyzed based on Lithner’s (2008) framework. The results show several difficulties that can arise when learning multiplication, but where the main difficulty for the students consists of learning the multiplication tables by rote. The results also show that the teachers actively work with the students to understand and be able to transform their knowledge into different contexts. At the same time, certain methods and resources considered to be less favorable for the development of multiplicative thinking. This study shows that multiplication involves different types of knowledge, which are important for students to be able to develop within school mathematics. The study also contributes with knowledge about how teaching in multiplication can be further developed.

Studien fokuserar på multiplikativt tänkande hos elever i årskurs 3. Multiplikativt tänkande är abstrakt (Clark &amp; Kamii, 1996) och innebär användning av strategier för lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter. Syftet med studien är att undersöka hur elever använder sig av olika strategier inom multiplikativt tänkande vid multiplikation och division. Studien har inspirerats av Grounded Theory. Utifrån teorierna gjordes en semistrukturerad intervju, observationer samt en analys av data. I studien deltog åtta elever i intervjuerna och en pilotstudie inledde undersökningen. Materialet som samlades in bestod av elevernas lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter, anteckningar från observationer av elevernas lösningar samt ljudinspelade intervjuer. Resultatet visar att nästan alla elever använde sig av en additiv strategi i lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter. Det visade även att det endast var fyra av åtta elever som kunde uppvisa förståelse av ett samband mellan de två räknesätten. Resultatet visar att eleverna har olika strategier och lösningar inom multiplikativt tänkande även om de har haft samma matematikundervisning.<br>This study focuses on multiplicative thinking among pupils in grade 3. Multiplicative thinking is abstract (Clark &amp; Kamii, 1996), involving applying strategies to solve multiplication and division tasks. The purpose of this study is to examine how pupils use different strategies within multiplicative thinking for multiplication and division. This study was inspired by Grounded Theory. From this theory, a number of semi-structured interviews, observations and analysis of data were made. Eight pupils participated in the interviews, after an initial pilot study. The collected material was based on the pupils' solutions of tasks in multiplication and division, notes from observations of the pupils' solutions and audiotaped interviews. The results show that almost every pupil uses an additive strategy in their solutions of multiplication and division tasks. It also show that only four out of eight pupils could show understanding 0f the connection between the two basic arithmetic operations. From the results, the pupils showed different strategies and solutions within multiplicative thinking, even though they have had the same mathematic education.

<p>Det är, enligt Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritids-hemmet, den professionella lärarens plikt att utvecklas kvalitativt genom att pröva och utvärdera undervisningsmålen och att granska och utveckla nya metoder (Skolverket 2006). För att vi skall kunna efterleva dessa krav analyserade vi elevernas kunskaper i multiplikation och multiplikationstabellerna. Vi undersökte även om lärarnas inställning till och undervisning i multiplikation påverkade elevernas kunskaper.</p><p>Med utgångspunkt från gällande kursplaner i matematik och skolans styrdokument visade den kvalitativa analysen att flertalet av eleverna hade goda färdigheter i, och förståelse och förtrogenhet för multiplikation och tabellerna.</p><p>Vi granskade några viktiga aspekter i lärandeprocessen; grundläggande arbete i multiplikation, automatisering av tabellerna genom utantillinlärning, strategier, algoritmer, abstraktion och matematikspråk samt motivation. Vi fann att lärarna arbetade på ett traditionellt sätt och att de hade ambitioner till förändring, men saknade verktyg och fortbildning för detta. </p><p>Några bevisbara samband mellan elevernas kunskaper och lärarnas inställning till och undervisning i multiplikation var svåra att finna. Utifrån undersökningens resultat, insåg vi vikten av en kvalitativ grundutbildning i matematik för lärarna. Återkommande reflektioner och utvärderingar av undervisningen är viktiga för att kunna bemöta elevers olika lärande, liksom att kunna inspirera, motivera och engagera eleverna i sin lärandeprocess.</p>

This study examines how illustrations are used to introduce the concept of multiplication in Swedish mathematics textbooks intended for use with 2nd grade students. The aim is to find out how instructions and tasks are supported by illustrations by using a sociocultural perspective on learning with focus of mediating artifacts. The findings are compared to research in the field of mathematics didactics, where the importance of teaching multiplicative structures to primary school students is emphasized. With a method that categorize illustrations, insight is gained into how well they connect to the subject content, and in addition if they show additive or multiplicative multiplication. This study also looks into the extent that students are being instructed and encouraged to illustrate their answers to the textbook assignments. Results from the analyses of four 2nd grade mathematics textbook series, show that illustrations are used to a large extent to support text and numbers in introducing multiplication, but that all books contain pictures that contradict the subject content. The results also show that the majority of the illustrations demonstrate multiplication as repeated addition. Furthermore, this study suggests that when students are encouraged to draw pictures themselves, they are in most cases not given support and instructions to draw multiplicative multiplication. Based on earlier research within this field, as well as the findings of this study, it is argued that the dominant focus on repeated addition in illustrations can trap students in patterns of additive reasoning. This can interfere with their perception and comprehension of multiplication structure, and lead to limitations of students’ further development and understanding of mathematic concepts.

Studiens syfte är att undersöka vilka semiotiska modaliteter, såsom bilder, text eller symboler, som finns i ett läromedel i matematik med fokus på multiplikation. Genom ett multimodalt perspektiv analyseras vilka meningsskapande aktiviteter som läromedlet erbjuder. Meningsskapande aktiviteter innebär att ett matematiskt innehåll som representeras genom en semiotisk modalitet förändras, antingen inom samma semiotiska modalitet eller från en semiotisk modalitet till en annan. Dessa meningsskapande aktiviteter är kopplade till elevernas lärande. När en elev löser en uppgift i ett matematikläromedel inom endast en semiotisk modalitet, så räknas detta som en meningsskapande aktivitet. Dock visar forskning att det är nödvändigt att elever får omvandla ett matematiskt innehåll mellan olika semiotiska modaliteter för att få en djupare förståelse för innehållet. Resultatet visar att elevernas grundbok i läromedlet som granskats erbjuder viss variation på semiotiska modaliteter i introduktionen av multiplikation. När elevernas grundbok kompletteras med lärarhandledningen förklarades däremot det matematiska innehållet med fler semiotiska modaliteter. Analysen visade att lärarhandledningen även spelade en stor roll för variationen av meningsskapande aktiviteter. Detta innebär att när undervisningen utgår från de meningsskapande aktiviteter som grundboken och lärarhandledningen erbjuder tillsammans gynnas elevernas lärande i multiplikation.

En kvantitativ studie har genomförts om hur elevers motivationen påverkas vid multiplikationsberäkning av läromedelstypiska multiplikationsuppgifter  i årskurs fyra respektive espektive årskurs sex. I studien lyfts även skillnader och likheter mellan årskurserna.  För att samla in data har enkätundersökning genomförts på totalt 29 elever, varav 13 elever i årskurs fyra och  16 elever i årskurs sex. Eleverna fick besvara på 16 frågor, där data samlades in för att ta reda på hur elever skattar sitt intresse &amp; glädje, upplevda kompetens, värde &amp; användbarhet, press &amp; spändhet vid beräkning av två multiplikationsuppgifter som hämtades ur ett vanligt förekommande matematikläromedel. .  Resultatet visar att det inte finns några storaörre skillnader mellan årskurserna. Elever i årskurs fyra och sex uppleverer måttligt intresse &amp;och glädje, upplevd kompetens samt värde &amp;och användbarhet vid beräkning av multiplikationsuppgifterna. Elever i årskurs fyra upplevde vid er lågsvag press &amp;och spändhet medan elever i årskurs sex upplever överlag inte upplevdelåg  press &amp;och spändhet vid utförandet. .Således synliggjordes en måttlig inre motivation.

Den här kvalitativa läromedelsanalys syftar till att undersöka vilka möjligheter till förståelse av multiplikation som erbjuds för elever i årskurs 4–6 i läroboksserien Matematik Alfa Beta Gamma. Tidigare forskning visar olika gynnsamma metoder som främjar elevers lärande i multiplikation. Vidare framgår det i tidigare forskning att lärare, till största del, använder matematikläroböcker i sin undervisning samtidigt som det inte bedrivs någon aktiv granskning av dem i Sverige. I studien undersöks om elevers lärande i multiplikation kan främjas om undervisningen endast präglas och utformas utifrån läroböcker. Variationsteorin avser studiens teoretiska utgångpunkt där begrepp som kritiska drag, kritiska aspekter, kontrast, separation, generalisering och fusion utgör analysverktyget. Resultatet visar att de variationsteoretiska begreppen kan avläsas i lärobokserien och att det enligt variationsteorin då kan ske ett lärande eftersom dimensionen av variation och urskiljning yttrar sig. Avslutningsvis blir det bland annat tydligt att upprepad addition är en av de metoder som främjar elevers lärande när multiplikation ska introduceras, men den framgår frekvent i läroboksserien även när multiplikation inte längre är på en introducerande nivå.

Litteraturstudien grundar sig i det faktum att vägen till förståelse för innebörden och funktionen av operationer med multiplikation och division är besvärligt för en del elever och lärare. De svenska elevernas låga resultat inom matematik från undersökningarna PISA och TIMSS är även oroande och därför är det av yttersta vikt att forska inom vilka strategier och metoder som faktiskt används i undervisningen om multiplikation, division och dess samband. Syftet med denna studie är att undersöka vad forskning beskriver om multiplikation, division och dess samband, och mer specifikt, att besvara frågeställningarna: vilka strategier och metoder beskriver forskning används i undervisning om multiplikation och division? Samt vilka strategier och metoder beskriver forskning används i undervisning om sambandet mellan multiplikation och division? För att besvara frågeställningarna och uppnå studiens syfte har vi systematiskt tagit fram, analyserat och sammanställt vetenskapliga studier som berör det valda området. Resultatet visar att den strategi som används och upphöjs mest är arrays, dock visar de olika studierna att det finns många olika metoder som lärare kan använda när de arbetar med strategin. Inom vilka strategier och metoder som används för att förklara sambandet mellan räknesätten nämns även arrays som en effektiv metod. Resultatet visar även att forskarna helst ser att man undervisar multiplikation och division tillsammans istället för isär och på så sätt visar sambandet mellan dem. Problematiseringen av resultatet i denna studie är att majoriteten av studier som använts är internationella och därför kan inte resultaten representera hur lärare i Sverige arbetar med det valda området. Vidare forskning inom området kan vara att titta på hur ett fåtal svenska lärare undervisar om sambandet. Slutsatsen för studien är att lärare är i behov av djupare kunskap inom sambandet mellan multiplikation och division och för att få det måste fler strategier och metoder inom ämnet synliggöras.

Flera undersökningar har visat att svenska elevers kunskaper inom områdena taluppfattning och aritmetik har blivit sämre. I denna uppsats står därför taluppfattning, med multiplikation som utgångspunkt, i fokus. Syftet med det här arbetet har varit att analysera hur olika läromedels framställning av räknesättet multiplikation samt strukturering av inlärningen av de grundläggande multiplikationskombinationerna kan påverka elevers möjlighet att utveckla god taluppfattning. För att svara på vårt syfte har vi gjort en läromedelsanalys av fem olika läromedel i matematik, avsedda för åk 1-3. Resultatet pekar på att några av de analyserade läromedlen framställer multiplikation på ett begränsat sätt vilket kan antas ha negativ inverkan på elevers möjlighet att utveckla förståelse för räknesättet multiplikation och därmed också på taluppfattningen. Resultatet pekar också på att flera av läromedlen, genom sitt sätt att lyfta fram tankeformer och samband, strukturerar inlärningen av multiplikationskombinationerna så att elevers möjlighet att utveckla taluppfattning gynnas.<br>Several studies have shown that Swedish students' knowledge of number sense and arithmetic have been deteriorating. In view of this number sense, with multiplication as a basis, is the focus in this composition. The purpose of this work has been to analyze how different textbooks description of multiplication and structure of learning the basic multiplication combinations can influence students' ability to develop number sense. To answer our purpose we made a textbook analysis of five textbooks in mathematics, for grade 1-3. The results indicate that some of the analyzed textbooks describe multiplication in a limited way which one can assume have negative impact on students' ability to develop understanding of multiplication and so developing number sense. The results also indicate that several of the textbooks, by the way they emphasize mental strategies and connections between numbers, structure the learning of the basic multiplication combinations in a way that support students' opportunity to develop number sense.

Studiens syfte är framtaget med bakgrund av att de fyra räknesätten och deras samband har visat sig viktiga för elevernas djupare förståelse inom matematik. Svenska elever i årskurs 4 visar att taluppfattning är det svåraste matematiska området i TIMSS 2015 trots att eleverna redan i årskurs 3 enligt den nuvarande läroplanen (Skolverket, 2011) ska ha arbetat med de fyra räknesätten och deras samband. Fokus i den här studien är multiplikations och divisions samband. Utifrån detta fanns ett behov att bidra med kunskap om elevernas uppfattningar om sambandet mellan räknesätten samt de missuppfattningar och svårigheter som kan uppstå när elevernas räknar med tal som fokuserar sambandet mellan multiplikation och division. Den här studiens syfte är att bidra med förståelse om elevernas uppfattningar och de kritiska aspekter för lärande som kan finnas i elevers förståelse av sambandet mellan division och multiplikation. Studien genomfördes med 8 elevintervjuer som metod, eleverna gick i årskurs 4. Studiens resultat visar att elevernas uppfattning om sambandet mellan multiplikation och division är tydliga när de berättar om sambandet men att det blir mer komplext när de ska lösa uppgifter. Resultatet visa även att 4 kritiska aspekter inom fenomenet sambandet mellan multiplikation och division har identifierats. De fyra kritiska aspekterna är skutträkning, att illustrera multiplikation och division med andra representationsformer än siffror, att skilja multiplikation från addition samt att dividera med 0,5.

Syftet med den här studien är att undersöka och kritiskt granska de illustrativa representa­tionerna i Favorit Matematik 2A och Eldorado 2A, inom momentet multi­plikation. Genom begrepp från variationsteorin analyseras illustrationer och hur dessa samspelar för att synliggöra vanliga svårigheter inom multiplikation. Med utgångs­punkt i variationsteorin har illustrationerna analyserats utifrån de fyra variations­mönstrena; kontrast, separation, generalisering och fusion. Resultatet av studien visar att det förekommer flest informativa illustrationer i de två analyserade läroböckerna. Det framkommer också att de vanligaste variationsmönstren i informativa och mixade illustrationer är separation och generalisering. Utifrån studiens analys och diskussion framkommer det att båda läroböckerna använder illustrationer som främjar ett additivt tänkande, men endast en av läroböckerna använder sig av någon slags multiplikativ illustration som uppmanar till ett multiplikativt tänkande. Slutsatsen av studien är att läroböckerna använder sig av olika illustrationer, trots att de ska för­medla samma lärandeobjekt. Det bidrar till att olika variationsmönster kan uppstå och därigenom sker lärandet på olika sätt. Likaså kan en slutsats dras utifrån att inte alla illustrationer innehåller ett variationsmönster, illustrationen kan dock ändå bidra till lärande.

Huvudsyftet med vårt arbete är att ta reda på hur elevers förståelse för multiplikation kan stärkas av lämpliga aktiviteter. I vår undersökning har vi använt oss av prov, enkäter, observationer och intervjuer i årskurs fyra. Det visar sig, av de resultat vi har fått fram att aktiviteterna, som vi har genomfört har hjälpt eleverna att utveckla sin kreativitet, uttrycka olika tankesätt och även olika möjligheter att uppfatta och granska uppgifter.<br>The main purpose of our thesis is to find out how proper activities can promote the understanding of multiplication. In our research we have used written tests, questionnaires, observations and interviews with pupils in the fourth grade. The results show that the activities have helped the pupils to develop their creativity, manifest different way of thinking and even different possibilities to apprehend and to study tasks closely.

Huvudsyftet med vårt arbete är att ta reda på hur elevers förståelse för multiplikation kan stärkas av lämpliga aktiviteter. I vår undersökning har vi använt oss av prov, enkäter, observationer och intervjuer i årskurs fyra. Det visar sig, av de resultat vi har fått fram att aktiviteterna, som vi har genomfört har hjälpt eleverna att utveckla sin kreativitet, utrycka olika tankesätt och även olika möjligheter att uppfatta och granska uppgifter.<br>The main purpose of our thesis is to find out how proper activities can promote the understanding of multiplication. In our research we have used written tests, questionnaires, observations and interviews with pupils in the fourth grade. The results show that the activities have helped the pupils to develop their creativity, manifest different way of thinking and even different possibilities to apprehend and to study tasks closely.

Illustrated pictures play an important role as mediators of mathematical concepts and relations in mathematical textbooks used in Swedish primary school classrooms. Theories of the meaning of semiotics for teaching and learning, as well as the Variation theory of learning, are used as a framework to investigate the critical aspects for developing multiplicative reasoning through visual presentations. In this study143 students in 3rd grade (age 9-10) participated in a test where multiplication is represented with illustrations, using both additive and multiplicative groupings. The students were also instructed to draw multiplication expressions with various visual supports. Students’ responses were analyzed by quantifying groupings based on the multiplication expressions students identify, as well as the extend of which they use additive and multiplicative visual representations and support in their own drawings. Results show indications of different properties of multiplication that can be presented in illustrations. How teacher knowledge can be used to identify the critical aspects for learning multiplication is here discussed, leading to suggestions regarding ways is which textbook pictures can be useful tools in teaching and learning.

Syftet med mitt examensarbete var att få mer kunskap om konkreta material som behandlar multiplikation och division. För att få veta vilka konkreta material som finns att tillgå gjorde jag intervjuer med två lärare som fick beskriva vilka material de använder sig av. Jag valde att observera två elever enskilt då de löste de multiplikations- och divisionsproblem som jag hade designat för studien. Det jag fick ut av undersökning var att det finns många olika material som elever kan arbeta med samt att det är viktigt att de får möjligheten att arbeta med dessa material. Jag kom fram till att lärare bör vara medveten om i vilket område som materialet är bäst tillämpad och att elever behöver använda sig av konkreta material för att lättare förstå uppgiften. De behöver få övningarna i konkreta situationer för att i slutändan kunna lära sig tänka abstrakt.

Svenska elevers prestationer inom matematik rapporteras bli allt sämre. Om man tränat exempelvis multiplikationstabellerna till den grad att de automatiserats belastas arbetsminnet mindre och man kan således fokusera på mer krävande uppgifter. I föreliggande studie har kvalitativa metoder i form av elevobservationer och elevintervjuer använts. Vi undersökte hur det ser ut då elever i en årskurs tre tabelltränar multiplikation intensivt, hur deras resultat utvecklades av tabellträningen med hjälp av Diamantdiagnoser samt vad eleverna tyckte om detta. Resultatet av observationerna var att eleverna satt enskilt och tränade tyst med hjälp av olika material. Ingen interaktion ägde rum varken mellan läraren och eleverna eller eleverna sinsemellan. Majoriteten av eleverna förbättrade sina resultat efter tabellträningen. Det framkom vid intervjuerna att både det eleverna tyckte var roligast att tabellträna med och som de ansåg lära sig bäst med var datorn.

Denna systematiska litteraturstudie inriktar sig på användandet av semiotiska resurser, som i detta arbete uttrycks i form av konkret material, vid beräkning av multiplikation i skolans lägre åldrar. Studiens syfte är att ta reda på de semiotiska resursers roll och funktion i förhållande till undervisning kring multiplikation. Studien grundar sig i flertalet vetenskapliga publikationer och dessa har tolkats utifrån ett diskursteoretiskt perspektiv som ligger till grund för att besvara studiens syfte och frågeställningar. Detta har mynnat ut i ett resultat som visar att det finns både för- och nackdelar med användandet av semiotiska resurser. Främst visar resultatet att semiotiska resurser har en positiv och betydande roll för elevers lärande. För att detta ska uppnås krävs det dock att den undervisande läraren introducerar de semiotiska resurserna på rätt sätt för eleverna. Detta i sin tur leder till att eleverna förstår syftet med användningen och kan dra nytta av dess fördelar i matematikundervisningen.

Tidigare forskning visar att bråk är ett område där många elever har problem. Syftet med den här studien är att studera gymnasieelevers matematiska kunskaper i multiplikation och division av bråk. Elevernas kunskaper studerades utifrån en konstruktivistisk syn på kunskap och med procedurell och konceptuell kunskap som analysverktyg. 61 elever från kursen Matematik A har löst totalt 10 uppgifter med multiplikation och division av bråk. 7 av eleverna intervjuades dessutom för att få en bättre uppfattning om deras kunskaper. Elevernas kunskaper kategoriserades sedan utifrån procedurella- och konceptuella kvaliteter. Resultatet visar att eleverna främst använder algoritmer för att lösa uppgifterna men även andra strategier som till exempel att skriva bråken som decimaler förekommer. Elevernas kunskap i multiplikation och division av bråk är av procedurell karaktär med fokus på att komma ihåg algoritmer för att lösa uppgifterna. Elevernas konceptuella kunskaper i bråkräkning är överlag inte lika utvecklade. Det framkommer genom att eleverna visar på svårigheter att lösa uppgifter i vissa sammanhang, bristande förståelse för betydelsen av beräkningarna och för varför de olika algoritmerna fungerar.<br>Earlier researches show that fraction is an area where many students have problems. The aim with this essay is to study upper secondary school students’ mathematical knowledge in multiplication and division of fraction. The students’ knowledge will be studied from a constructivistic perspective of knowledge and with procedural and conceptual knowledge as an instrument for the analysis. 61 students from the course Matematik A have solved totally 10 mathematical problems with multiplication and division of fraction. 7 of the students were furthermore interviewed to get a better understanding of their knowledge. The students’ knowledge were then categorized from procedurally and conceptually qualities. The result shows that the students primarily use algorithms to solve the problems but also other strategies as example to write the fraction as decimals occur. The students’ knowledge in multiplication and division of fraction is of procedural character with focus on remembering the algorithms for the different types of problems. The students conceptually knowledge in fraction arithmetic is overall not fully developed. It comes out by the students difficulties to solve problems in certain context, deficient understanding of the meaning of the calculations and why the different algorithms work.

Vårt syfte med denna uppsats är att undersöka var i den tidiga multiplikationsinlärningen hos elever som problem kan uppstå och hur några pedagoger undervisar om multiplikation. I litteraturbakgrunden ger vi en samlad bild av teorier om hur barn lär sig matematik, lärarens roll för inlärning och vad som är känt som problem. I kapitlet om olika räknemetoder visar vi dig som läsare variationer på hur du kan lära ut multiplikation. Som metod för att göra vår undersökning valde vi att göra intervjuer med elever och pedagoger. I resultatet av våra elevintervjuer kunde vi se att uppgiftens utseende, stora tal och elevernas strategier kan vålla problem. Det som framkom var att pedagogerna använder sig av ett laborativt arbetssätt i den tidiga inlärningen, men vi anser att med av bilder skulle multiplikationen kunna göras tydligare för eleverna.

Syftet med denna studie är att undersöka vilka svårigheter som finns för lärande inom multiplikation i årskurs 3. För att besvara studiens syfte tillämpades en diagnos samt semistrukturerade intervjuer som metod. Diagnosen genomfördes i två klasser i årskurs 3 och två pedagoger intervjuades för vidare undersökning. För att tydliggöra hur olika räkneuppgifter samt svårigheter hänger samman med olika fenomen tillämpades variationsteorin. Med utgångspunkt i variationsteorin samt begreppen kontrast, separation, generalisering och fusion kategoriseras det insamlade materialet utifrån analysverktyget meningskoncentrering. Resultatet visar att eleverna har svårigheter med följande: upptäcka likheter kring ett lärandeobjekt, skapa förståelse för de enskilda kritiska aspekterna av lärandeobjektet, se skillnad mellan två värden samt att välja en lämplig strategi. Vad gäller pedagogernas uppfattningar och beskrivningar av elevernas lösningsstrategier lyfts följande aspekter fram: stress och slarvfel, bristande förmåga att hitta ett samband mellan multiplikation och addition, bristfällig läs- och begreppsförståelse samt svårigheter att tillämpa en fungerande strategi. För att främja elevernas utveckling inom multiplikation påvisar resultatet vikten av att pedagoger i sin framtida undervisning arbetar med konkret material, didaktiska verktyg såsom areaformen och tallinje, visualisering av multiplikation genom addition, begreppsförståelse och samtal i grupp för att utöka matematikspråket.<br>The purpose of this study is to investigate the difficulties that exist for learning in multiplication in year 3. To answer the purpose of the study, a diagnosis and semi-structured interviews were used as a method. The diagnosis was performed in two classes in year 3 and two educators were interviewed for further investigation. In order to clarify how different arithmetic tasks and difficulties are related to different phenomena, the theory of variation was applied. Based on the theory of variation and the concepts of contrast, separation, generalization and fusion, the collected material is categorized on the basis of the analysis tool meaning concentration. The results show that the students have difficulties with the following: discover similarities around a learning object, create an understanding of the individual critical aspects of the learning object, see the difference between two values and choose an appropriate strategy. Regarding the educators 'perceptions and descriptions of the students' solution strategies, the following aspects are highlighted: stress and carelessness, lack of ability to find a connection between multiplication and addition, inadequate reading and comprehension and difficulties in applying a working strategy. To promote students' development in multiplication, the results show the importance of educators in their future teaching working with concrete material, didactic tools such as area form and number line, visualization of multiplication through addition,concept understanding and group discussions to expand the language of mathematics.

Syftet med denna studie är att undersöka hur och varför olika uttrycksformer kan användas inom matematikundervisningen i lågstadiet för att skapa förståelse och motivera alla elever. Studien genomfördes med ett lärarperspektiv och fokuserar på multiplikation och division. För att undersöka valt område användes lärarintervjuer samt observation.   Resultatet visar på att olika uttrycksformer med fördel kan användas för att öka elevers motivation samt förståelse i de fall där undervisningen individanpassats. För optimalt användande utav olika uttrycksformer framkommer även att kommunikation har en stor betydelse.

Undersökningar har visat att många elever har bristfälliga kunskaper i bråkräkning när de lämnar grundskolan. Eleverna har särskilt stora problem med att kunna utföra korrekta multiplikationer och divisioner med bråk inblandat. Med bakgrund av detta har jag intresserat mig för hur läroböckerna hanterar dessa frågor. Jag har därför genomfört en läromedelsanalys av två olika läroboksserier som är aktuella i undervisningen på två högstadieskolor i Karlstad. Dessa två läroboksserier är Matte Direkt år 7-9 och Matematikboken XYZ. Jag har beskrivit och analyserat de relevanta avsnitten ur instrumentella och relationella aspekter, samt även gjort en jämförelse med Margareta Löwings förslag på metod att arbeta med bråk. Löwings metodförslag syftar till att inte arbeta med bråk procedurellt, utan att arbeta på ett sätt med mål att eleverna ska förstå de matematiska operationernas verkliga innebörd. Vad jag har upptäckt är att båda läroboksserierna gör en väldigt kortfattad behandling av Multiplikation och division av bråk, och det finns dessutom indikationer på att dessa avsnitt räknas som överkurs. Upplägget av förklaringsmodellerna skiljer sig en hel del åt i de två läroboksserierna. Matematikboken Y röd har en inledande ”diskussion” med ett bra innehåll, men då det är mycket text missgynnar det troligen lässvaga elever. Matte Direkt går mer rakt på sak och visar i de numeriska exemplen hur man ska skriva och ställa upp, vilket kan ge mig en känsla av lotsning, men har i gengäld goda konkretiserande illustrationer. Beträffande division av bråk tycker jag att Matematikboken Y röd får fram den bakomliggande idén med ”att multiplicera med inverterade värdet”, något som jag inte tycker att Matte Direkt lyckas med. Vad jag saknar hos båda läroboksserierna är en presentation av alternativa sätt att räkna och tänka, som t ex enligt Löwings modell. Den kortfattade presentationen av avsnitten, frånvaron av alternativa lösningsmetoder, den vaga kopplingen mellan de olika uppgiftstyperna och övningsuppgifternas karaktär ger mig ett intryck av att proceduren går före förståelsen. Detta intryck växer sig starkare hos presentationen av Division av bråk där inte en enda konkretiserande illustration finns i någon av läroböckerna. Här tycker jag definitivt att läroböckerna arbetar ur en mer instrumentell - än ur en relationell synvinkel. Nyckelord: division av bråk, multiplikation av bråk, högstadiet, läromedelsanalys.<br>Investigations have shown that many students have a deficiency in their knowledge of fractions, when they leave secondary school. Students do in particular have problems to perform correct multiplications and divisions of fractions. In the light of those earlier studies, I am interested in finding out how textbooks deal with those questions. I have carried out an analysis of textbooks. The textbooks are used in two secondary schools in Karlstad. The analysis is compared with a method of working with fractions, suggested by Margareta Löwing. The aim of her method is to make the students understand the real meaning of the mathematical operations. The result of my investigation shows that booth textbooks gives only a short introduction of multiplication and division of fractions. The disposition of the explanations differs in the two textbooks. The first book has an introducing discussion with a relevant content. But, because of the great amount of text, it will probably be unfavourable to students with problems in reading. The second book shows more directly how to solve the numerical examples, in a way that might conduct the students too much. Though, the book has nice and concrete illustrations. The first book explains well the underlying idea of “multiplication of inverse number”, which the second book does not manage to do. What I miss in booth textbooks, is a presentation of alternative ways of calculating and thinking when solving problems, like for example the method suggested by Löwing. The short introduction of the chapters, the lack of alternative ways of solving problems and the undefined connection between the exercises, gives me the impression that procedure is given priority to understanding. Keywords: division of fractions, multiplication of fractions, secondary school, analysis of textbooks.

Students are often introduced to multiplication in grade 2. Multiplication has proven difficult for students to master. Textbooks are used in large parts of mathematics teaching, and the choice of books have significance for students' understanding of multiplication. The purpose of this study was to do a textbook analysis to investigate how multiplication is presented in textbooks for grade 2, and what opportunities students have to develop an understanding of multiplication. This was done by examining variation patterns and representations in three textbooks. The result shows that all variation patterns exist in the textbooks, but to varying degrees. All representations occur in two of the three textbooks, but also to varying degrees. The variation of variation patterns and representations can have an impact on students' understanding of multiplication.<br>Elever introduceras ofta för multiplikation i årskurs 2. Multiplikation har visat sig vara svårt för elever att bemästra. Läroböcker används i stora delar av matematikundervisningen, och valet av böcker har betydelse för elevers förståelse för multiplikation. Syftet med studien var att göra en läroboksanalys för att undersöka hur multiplikation framställs i läroböcker för årskurs 2, och vilka möjligheter elever har att utveckla förståelse för multiplikation. Detta gjordes genom att undersöka variationsmönster och uttrycksformer i tre läroböcker. Resultatet visar att alla variationsmönster förekommer i läroböckerna, men i olika utsträckning. Alla uttrycksformer förekommer i två av de tre läroböckerna, men även här i olika utsträckning. Variationen av variationsmönster och uttrycksformer kan ha inverkan på elevers förståelse för multiplikation.

Syftet med denna studie är att undersöka sambandet mellan elevers motivation och prestationer gällande räknesättet multiplikation. Motivationen graderas utifrån elevernas egna skattningar i form av hur de upplever ämnesområdet samt deras upplevelser om hur svårt eller lätt det är. Studien genomfördes i en klass bestående av 21 st elever i årskurs 2. Varje elev fick muntligt ange utifrån en enkät hur motiverade de var med hjälp av skalor gällande multiplikation överlag samt olika uppgiftstyper inom multiplikation. Därefter fick eleverna genomföra ett enskilt multiplikationstest skriftligt. Den insamlade datan från elevernas enkätsvar och testresultat sammanställdes och jämfördes. Resultatet visade ett samband mellan låg motivation och låga resultat och högre motivation och högre resultat gällande multiplikation. Slutsatsen är att det finns ett samband mellan elevers motivation och prestation gällande räknesättet multiplikation, men att andra aspekter, som exempelvis uppgiftstyp, påverkar upplevelsen av hur roligt eller tråkigt och/eller lätt eller svårt räknesättet multiplikation upplevs.

Många elever saknar goda kunskaper och strategier för att lösa multiplikationer och en större pedagogisk variation i matematisk undervisning behövs för att stödja matematisk inlärning. Ett sätt att stimulera inlärning kan vara att använda lek för att göra arbetet mer lustfyllt och motiverande. Forskning visar att motorisk aktivitet har samband med framgångar inom både svenska och matematik. Föreliggande studie syftar till att undersöka om det pedagogiska materialet SmartDart - en magnetisk piltavla - är ett likvärdigt alternativ till en mer traditionell undervisning. I arbetet med SmartDart tränar eleverna multiplikation i grupper om tre och spelet involverar även motorik då de kastar pilar mot målet (tavlan). Föreliggande studie genomfördes i två olika skolor i en förort till Stockholm. Av de 89 elever i årskurs 4 som tillfrågades valde 67 att medverka i studien. I experimentgruppen, som arbetade med SmartDart deltog 36 elever och i kontrollgruppen, som arbetade med konventionell datorträning deltog 31 elever. Träningen pågick i tre veckor. Före och efter träning testades samtliga deltagares kunskaper i multiplikation genom AG6 testet. Eleverna fick även besvara ett antal frågor i en enkät som rörde deras upplevelser av matematik generellt samt hur de upplevde SmartDart och datorträningen. Resultaten visade att både träning i SmartDart och konventionell datorträning förbättrade resultaten i multiplikationstestet i samma utsträckning. Vidare analyser visade även att ett fåtal elever förbättrade sina kunskaper markant med SmartDart, vilket inte påvisades i datorgruppen. Vad gäller elevernas upplevelse av träningen så ansåg många att det var roligt att arbeta med SmartDart; att arbeta tillsammans och röra på sig var två positiva faktorer, medan en negativ faktor var att det blev rörigt i samband med träningen. Datorgruppen upplevde det positivt att arbeta enskilt och att det fanns en stor frihetsgrad kring hur och vad man tränade inom multiplikation. Sammantaget visar denna studie att eleverna som arbetade med SmartDart lärde sig multiplikation i samma utsträckning som de elever som arbetade med dator.

Syftet med denna studie är att belysa hur lärare beskriver sin undervisning av multiplikation i årskurs 1−3 och årskurs 4−6 när det kommer till introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning. Kvalitativa intervjuer med sex lärare har genomförts för att undersöka vilka mål de intervjuade lärarna har med sin multiplikationsundervisning samt hur lärarna beskriver innehållet i sin multiplikationsundervisning. Bakgrunden är att lärares uppfattning om vad multiplikation är samt vad multiplikationsundervisningen ska innehålla påverkar vilka lärandemöjligheter eleverna får. Detta innefattar val av förklaringsmodeller, arbetssätt samt lektionsinnehåll, vilket i högsta grad påverkar elevers förståelseutveckling av multiplikationsbegreppet. Att svenska lärare typiskt sett baserar sin undervisning på läromedel lyfts av forskning som en orsak till att svenska elevers taluppfattning och kunskap om aritmetik är svag. Lärare behöver därför komplettera läromedlens framställning av multiplikation i undervisningen. Studiens resultat visar att lärarnas mål med undervisningen berör områden som enligt läroplan och forskning är viktiga för elevers begreppsförståelse och procedurkunskap, men att viktiga bitar i undervisning verkar saknas. Detta berör undervisning om multiplikativa förklaringsmodeller, räknelagar och begrepp kopplade till multiplikation. Lärarnas undervisning om de grundläggande multiplikationstabellerna, där både strategier för att härleda tabellfakta samt drillövningar av dessa uppges ingå, verkar ligga i fas med vad forskning lyfter fram som viktigt för att uppnå automatisering av tabellerna.<br>The purpose of this study is to illustrate how teachers describe their multiplication teaching in grades 1−3 and 4−6 when it comes to the introduction, continuous teaching and table training. Qualitative interviews with six teachers have been conducted to examine what objectives the interviewed teachers have with their multiplication teaching and how they describe the contents of their multiplication teaching. The reason behind is that teachers’ perception of what multiplication means and their thoughts on what multiplication teaching should cover affects the learning opportunities pupils receive. This includes teachers’ choice of explanatory models, methods and lesson content which highly affects the pupils’ development of understanding regarding the concept of multiplication. The fact that Swedish teachers typically base their teaching on textbooks is indicated by research to be a contributing factor why Swedish pupils’ number sense and understanding of arithmetic is weak. Teachers therefore need to complement the presentations that textbooks contain regarding multiplication in teaching. The result of this study shows that teachers’ teaching objectives affects areas that the curriculum and research highlights as important for pupils’ conceptual understanding and procedural knowledge, but that important pieces seems to be missing in their teaching. These concerns the teaching about the multiplicative models of explanation, mathematical properties and concepts related to multiplication. However, teachers’ teaching about the basic multiplication facts, where both strategies to derive facts and drill exercises of facts is said to be included, seems to correspond largely with what research highlights as important in achieving automaticity in multiplication facts.

Syftet med denna studie är att undersöka hur två semiotiska resurser, det vill säga läromedlen Prima Matematik 3B samt Pixel Matematik 3B, presenterar olika multiplikationsuppgifter och vilka dess tillhörande teckenvärldar är. Vidare ämnar studien undersöka om dessa teckenvärldar, såsom exempelvis text och bild, anses samspela med varandra och således om intersemiotiska relationer kan påträffas i uppgifterna. För att få fram resultatet tillämpas ett analysverktyg som grundas i studiens teoretiska utgångspunkt: Van Leeuwens socialsemiotiska teori. Analysverktyget används som ett tillvägagångssätt för att undersöka vilka teckenvärldar, i form av text och bild, som uttrycks i uppgifterna samt hur dessa samspelar.  Studiens resultat visar att båda läromedlen förmedlar flertalet teckenvärldar i samband med multiplikationsuppgifterna, dock anses dessa inte alltid samspela med varandra. Generellt visar resultatet att teckenvärldarna som presenteras i Prima Matematik samspelar med varandra och att intersemiotiska relationer därmed går att påvisas. Granskningen av Pixel Matematiks multiplikationsuppgifter visar däremot att dess teckenvärldar, av olika anledningar, inte alltid samspelar med varandra och att intersemiotiska relationer därmed inte går att fastställas. Studiens analys pekar på att tydliga, samverkande och relevanta teckenvärldar i semiotiska resurser behövs för att bidra till elevers förståelse inom matematik. Läromedlet Pixel Matematik 3B stödjer därför inte elevers utveckling inom multiplikation tillräckligt och undervisningen bör därmed kompletteras med andra arbetsmetoder om detta läromedel ska vara lämpligt som ensam semiotisk resurs. Läromedlet Prima Matematik 3B påvisar däremot att multiplikationsuppgifternas olika teckenvärldar samspelar och att intersemiotiska relationer kan påträffas. Det i sin tur bidrar till att elevers förståelse för multiplikation stödjs tillräckligt.

Syftet med studien är att analysera hur två utvalda läromedel för årskurs 2 ger elever möjlighet att utveckla sin förståelse för multiplikation samt hur läromedlen framhåller olika representationsformer och räknestrategier för multiplikation.   Vårt material består av Lyckotal 2A samt Mera Favorit matematik 2B. Studiens analysverktyg utgörs av de representationsformer och strategier vi valt att lägga fokus på i studien, men också utifrån egenformulerade frågor som användes vid innehållsanalysen av läromedlen. Analysverktyget grundas i variationsteorin, som är studiens teoretiska utgångspunkt. Studien utgår från en kvalitativ metod eftersom vi utför en innehållsanalys av material inom ett begränsat område, multiplikation.  Resultatet av studien är att läromedlen framställer multiplikation med samtliga representationsformer utom den fysiska i Lyckotal 2A. Den förekommer även sällan i Mera Favorit Matematik 2B, endast vid 2 uppgifter. Numerisk och verbal representation är vanligast förekommande i båda läromedlen i hög utsträckning. De räknestrategier som förekommer mest är upprepad addition och gruppering, vilket gäller båda läromedlen. Strategin tallinje återfinns inte i Lyckotal 2A medan strategin rektangel/areaformation inte finns med i Mera Favorit Matematik 2B. En del representationsformer och räknestrategier lyser alltså med sin frånvaro i båda läromedlen. Efter att denna studie genomförts kan konstateras att läromedlen inte har ett innehåll som bidrar till en fullgod förståelse för multiplikation. Lärare bör använda sig av fler komplement utöver dessa läromedel i undervisning om multiplikation för att eleverna ska utveckla god förståelse för multiplikation.

I uppsatsen redovisas en studie som gjorts om ett multiplikationsprojekt, som går under namnet Multiplikationsklubben, vilket genomförs av lärare på två skolor i Mellansverige. Projektet syftar till en större måluppfyllelse i matematik genom en bättre automatiserad multiplikationstabell hos eleverna i grundskolans tidiga år. I studien granskas bakgrund, motiv och mål med Multiplikationsklubben. Elevers och lärares olika uppfattningar om multiplikation och tabellkunskaper samt syn på vad multiplikation innebär jämförs med de uppfattningar som olika forskare uttrycker i litteraturen. Genom intervjuer med två lärare och tolv elever på en av skolorna som deltar i Multiplikationsklubben analyseras projektet mot bakgrund av forskning i ämnet. Många av de uppfattningar och idéer som elever och lärare uttrycker återfinns i tidigare studier samt i populärvetenskaplig litteratur inom ämnet, t.ex. att en automatiserad multiplikationstabell hos eleven är grunden inom mycket av matematiken. En annan uppfattning är den att en automatiserad multiplikationstabell kan nås genom förståelse för tabellen och en variation i multiplikationsträningen vilket generar en motivation hos eleven i träningen. Studiens resultat visar att förståelsen för tabellen kan uppnås via en praktisk multiplikationsträning genom multiplikationsspel och ett klossbyggande som strävar mot en konkretisering av multiplikations-tabellen. Multiplikationsprojektet syftar till att lyfta matematiken och nå en högre måluppfyllelse hos eleverna genom en mer motiverande undervisning.

Det är viktigt att redan i unga år skapa sig en förståelse för hur de fyra räknesätten hänger samman, men även vilka kognitiva utmaningar sambandet mellan räknesätten multiplikation och division framställs i matematikböcker för yngre åldrar. Idag finns det ingen statlig granskning av läromedel, utan vem som helst kan skriva ett läromedel. För att kunna skapa förutsättningar för att elever i de yngre åldrarna ska kunna tillskansa sig förståelse och kunskap om sambandet mellan multiplikation och division, behövs ett läromedel där elever får möta uppgifter som är kognitivt utmanande. Syftet med studien är således att bidra med kunskap om hur sambandet mellan multiplikation och division framställs i två matematikböcker för årskurs 3 och specifikt svara på frågeställningen. Vilka kognitiva utmaningar möter elever vid arbete med sambandet mellan multiplikation och division i två matematikböcker för årskurs 3? För att besvara frågeställningen har två läroböcker inom matematematik analyserats utifrån två aspekter och fyra kategorier. Resultatet som framkom var att majoriteten av de analyserade uppgifterna som berör sambandet mellan multiplikation och division i de valda läroböckerna avser en låg kognitiv utmaning för elever. Detta innebär att uppgifterna inte gynnar eller hjälper elever att skapa en förståelse för sambandet mellan multiplikation och division. Viljan att inspirera yrkesgruppen och att forska vidare inom området är stort. För den skull, kan yrkesgruppen utvecklas genom att exempelvis föra diskussioner gällande vikten av vilka matematikböcker som väljs och vilka kognitiva utmaningar som elever får möta. Det skulle även vara intressant att följa upp om hur lärare arbetar/kompletterar redan befintliga uppgifter som innehåller sambandet mellan multiplikation och division för att elever ska beröras av högre kognitiva utmaningar.

<p>Vi har undersökt vilka räknefärdigheter en grupp elever i årskurs 9 på en skola i Växjö har i addition, subtraktion, multiplikation och division. Vi har avgränsat studien till att behandla de naturliga talen och decimaltalen. De metoder, kunskaper och de svårigheter som åskådliggjorts har vi redovisat. Vi har även tagit reda på elevernas begreppsförståelse kring de fyra räknesätten. Vårt resultat bygger på en kvalitativ metod som består av ett test och två kompletterande intervjuer. Vi kan av vår undersökning se att den metod som gav flest</p><p>korrekta lösningar var traditionella algoritmuppställningar medan skriftlig huvudräkning oftare gav fel svar. Eftersom vi valde ut två elever från testet med varierande kunskaper och svårigheter, fann vi en intressant koppling till deras olika begreppsförståelse och ållning till ämnet matematik.</p>

Att automatisera innebär att kunskap lagras och lätt kan plockas fram ur långtidsminnet. Detta är viktigt när elever ska lösa komplexa matematiska uppgifter. Om eleven automatiserat t.ex. multiplikationstabellerna kan eleven ägna tid åt problemlösning istället för beräkningar. Denna studie är tänkt att genomföras som steg 3 för elever i år 3. Eleverna bör innan interventionen genomgått undervisning i steg 1 och steg 2 enligt RTI. Interventionen är utformad för att träna automatisering av multiplikationstabellerna. Tabellerna är i studien indelad i två nivåer, lättare nivå och svårare nivå. 3 elever deltog i studien. Resultatet visar positiv effekt för två av eleverna i studien vad gäller automatisering av den lättare nivån. Resultatet visar också att effekten av interventionen är bevarad även tre veckor efter interventionen för de två eleverna som visade positiv effekt av interventionen. För den tredje eleven i studien syns inte samma positiva effekt som för de andra eleverna. Denna elev har övat på den svårare nivån. Det finns flera möjliga orsaker till att interventionen inte gav samma effekt för denna elev. Testerna som användes för att mäta effekten passade inte lika bra för den svårare nivån som för den lättare nivån. Då en metod i interventionen bygger på dubblering hade det innan interventionen startade behövts kontrolleras att eleverna var säkra på positionssystemet samt begreppet dubbelt.

Den här empiriska forskningsrapporten riktar in sig på vilka metoder samt vilka inre och yttre faktorer som motiverar elever till att träna multiplikation. Undersökningen har genomförts på två skolor i årskurs 5. Forskningsmetoden som tillämpats för att besvara frågeställningarna är av kvantitativ karaktär och utgörs av en enkät. Syftet med enkäten var att lyfta fram vilka metoder som är mest motiverande för eleverna när de räknar multiplikation samt vilka faktorer som bidrar till motivationen. Resultatet visade att metoderna digitala verktyg och algoritm motiverade eleverna i en större utsträckning än övriga metoder som efterfrågades. I resultatet framgår det av eleverna att de inre motivationsfaktorerna är av större betydelse än de yttre när de räknar multiplikation. Det visar sig också finnas ett visst samband mellan metoderna och den inre motivationen.

Syftet med denna undersökning är att studera utlärning av vissa strategier för multiplikation med hjälp av modellen Learning Study. Syftet är även att undersöka vilken strategi som är mest effektiv för elever att använda då flersiffriga tal ska multipliceras. Det gjordes en Learning Study i fyra klasser på en mellanstadieskola i Dalarna, två klasser från årskurs fem var med samt två klasser från årskurs sex. Resultatet visar att uppställning är den strategi elever föredrar att använda för att lösa uppgifter med två- eller tresiffriga multiplikationstal. Resultatet visar också att många elever får fler rätt när de väljer att inte använda någon strategi. Majoriteten av eleverna förstår själva algoritmen uppställning, men misslyckas att få rätt svar med den på grund av bristande kunskaper i multiplikationstabellerna 1-10.

Matematik ses vara ett av skolans viktigaste ämnen och därmed krävs goda kunskaper för att människan ska förstå och ges möjligheter att förstå samhället vi lever i. Elever behöver se samband mellan begrepp och matematiska symboler för att utveckla en djupare förståelse för matematik. Litteraturstudien kommer att fokusera på hur elevers användning av representationsformer i multiplikationsundervisningen. Studien kommer även lyfta hur växling mellan representationsformer gynnar elevers förståelse för multiplikation. Syftet ska besvaras genom frågeställningarna: Vilka representationsformer används av elever enligt forskning i multiplikationsundervisningen? Hur kan förmågan att växla mellan olika representationsformer gynna elevers förståelse för multiplikation? Litteraturen samlades in i databasen ERIC. De artiklar som användes var internationella. Resultatet visar att det är viktigt att använda flera representationer i multiplikationsundervisning och att växla mellan dem för att elever ska ges möjlighet att utveckla förståelse för multiplikation. Flera studiers resultat menar på att den rektangulära representationsformen är att föredra för att elever ska utveckla kunskap för att multiplikation är två dimensionellt. Vidare visar resultatet att konkreta modeller hjälper elever att se kopplingar mellan det konkreta och matematiska symboler. Användning av modeller som är kopplat till elevens vardag skapar mer engagemang hos eleverna. Studien visar att användning av flera representationsformer parallellt hjälper elever att utveckla en djupare förståelse för multiplikation.

<p>This thesis investigates how systolic architectures can be used in the implementation of an arithmetic unit for small finite fields of characteristic two with polynomial basis representation. </p><p>Systolic architectures provide very high performance but also consume a lot of chip area. A number of design methods for tailoring the systolic arrays for a specified requirement are presented, making it possible to trade throughput, chip area and propagation delays for oneanother. </p><p>A study is also made on how these systolic arrays can be combined to form an arithmetic logic unit, ALU, that canperform operations in many different fields. A number of design alternatives are presented, and an example ALU is presented to give an idea of the performance of such a circuit.</p>

<p>I detta examensarbete har olika sätt att implementera färgrymdskonverterare i multipel konstant multiplikationsteknik beskrivits med VHDL, syntetiserats och jämförts med avseende på effektförbrukning.</p>

Syftet för detta examensarbete är att beskriva hur matematikkunskap i termer avpraxeologier utvecklas och får liv hos eleverna in en undervisningssituation. Studien ärinspirerad av aktionsforskning och beskriver ett försök att introducera en lösningsteknik,kallad proportionsmetoden, i samband med undervisning inom området procent i kurs 1apå gymnasiet. Proportionsmetoden grundar sig på proportionalitetsbegreppet ochproportionella ekvationer. Huvudfrågan i denna fallstudie är vilka typer avlösningstekniker grundade på proportionalitet bland de som var tillgängliga för elever ärrepresenterade i elevlösningar av uppgifter som handlar om procent. Resultatenanalyseras med utgångspunkt i teorin om den didaktiska transpositionen av kunskap därden kunskap som undervisas sammanställs mot den kunskap som faktisk lärs av eleverna.Under denna studie har det visat sig att proportionsmetod är inte oftast förekommande ielevlösningar och att undervisningen av metoden kräver längre tid för att kunna integrerasi olika områden i matematik.

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Repräsentation und Verarbeitung arithmetischer Fakten. Dieser Bereich semantischen Wissens eignet sich unter anderem deshalb besonders gut als Forschungsgegenstand, weil nicht nur seine einzelne Bestandteile, sondern auch die Beziehungen dieser Bestandteile untereinander außergewöhnlich gut definierbar sind. Kognitive Modelle können also mit einem Grad an Präzision entwickelt werden, der in anderen Bereichen kaum je zu erreichen sein wird. Die meisten aktuellen Modelle stimmen darin überein, die Repräsentation arithmetischer Fakten als eine assoziative, netzwerkartig organisierte Struktur im deklarativen Gedächtnis zu beschreiben. Trotz dieser grundsätzlichen Übereinstimmung bleibt eine Reihe von Fragen offen. In den hier vorgestellten Untersuchungen werden solche offene Fragen in Hinsicht auf drei verschiedene Themenbereiche angegangen: 1) die neuroanatomischen Korrelate 2) Nachbarschaftskonsistenzeffekte bei der verbalen Produktion sowie 3) die automatische Aktivierung arithmetischer Fakten. In einer kombinierten fMRT- und Verhaltensstudie wurde beispielsweise der Frage nachgegangen, welche neurofunktionalen Entsprechungen es für den Erwerb arithmetischer Fakten bei Erwachsenen gibt. Den Ausgangspunkt für diese Untersuchung bildete das Triple-Code-Modell von Dehaene und Cohen, da es als einziges auch Aussagen über neuroanatomische Korrelate numerischer Leistungen macht. Das Triple-Code-Modell geht davon aus, dass zum Abruf arithmetischer Fakten eine „perisylvische“ Region der linken Hemisphäre unter Einbeziehung der Stammganglien sowie des Gyrus angularis nötig ist (Dehaene & Cohen, 1995; Dehaene & Cohen, 1997; Dehaene, Piazza, Pinel, & Cohen, 2003). In der aktuellen Studie sollten gesunde Erwachsene komplexe Multiplikationsaufgaben etwa eine Woche lang intensiv üben, so dass ihre Beantwortung immer mehr automatisiert erfolgt. Die Lösung dieser geübten Aufgaben sollte somit – im Gegensatz zu vergleichbaren ungeübten Aufgaben – immer stärker auf Faktenabruf als auf der Anwendung von Prozeduren und Strategien beruhen. Hingegen sollten ungeübte Aufgaben im Vergleich zu geübten höhere Anforderungen an exekutive Funktionen einschließlich des Arbeitsgedächtnisses stellen. Nach dem Training konnten die Teilnehmer – wie erwartet – geübte Aufgaben deutlich schneller und sicherer beantworten als ungeübte. Zusätzlich wurden sie auch im Magnetresonanztomografen untersucht. Dabei konnte zunächst bestätigt werden, dass das Lösen von Multiplikationsaufgaben allgemein von einem vorwiegend linkshemisphärischen Netzwerk frontaler und parietaler Areale unterstützt wird. Das wohl wichtigste Ergebnis ist jedoch eine Verschiebung der Hirnaktivierungen von eher frontalen Aktivierungsmustern zu einer eher parietalen Aktivierung und innerhalb des Parietallappens vom Sulcus intraparietalis zum Gyrus angularis bei den geübten im Vergleich zu den ungeübten Aufgaben. So wurde die zentrale Bedeutung von Arbeitsgedächtnis- und Planungsleistungen für komplexe ungeübte Rechenaufgaben erneut herausgestellt. Im Sinne des Triple-Code-Modells könnte die Verschiebung innerhalb des Parietallappens auf einen Wechsel von quantitätsbasierten Rechenleistungen (Sulcus intraparietalis) zu automatisiertem Faktenabruf (linker Gyrus angularis) hindeuten. Gibt es bei der verbalen Produktion arithmetischer Fakten Nachbarschaftskonsistenzeffekte ähnlich zu denen, wie sie auch in der Sprachverarbeitung beschrieben werden? Solche Effekte sind nach dem aktuellen „Dreiecksmodell“ von Verguts & Fias (2004) zur Repräsentation von Multiplikationsfakten erwartbar. Demzufolge sollten richtige Antworten leichter gegeben werden können, wenn sie Ziffern mit möglichst vielen semantisch nahen falschen Antworten gemeinsam haben. Möglicherweise sollten demnach aber auch falsche Antworten dann mit größerer Wahrscheinlichkeit produziert werden, wenn sie eine Ziffer mit der richtigen Antwort teilen. Nach dem Dreiecksmodell wäre darüber hinaus sogar der klassische Aufgabengrößeneffekt bei einfachen Multiplikationsaufgaben (Zbrodoff & Logan, 2004) auf die Konsistenzverhältnisse der richtigen Antwort mit semantisch benachbarten falschen Antworten zurückzuführen. In einer Reanalyse der Fehlerdaten von gesunden Probanden (Campbell, 1997) und einem Patienten (Domahs, Bartha, & Delazer, 2003) wurden tatsächlich Belege für das Vorhandensein von Zehnerkonsistenzeffekten beim Lösen einfacher Multiplikationsaufgaben gefunden. Die Versuchspersonen bzw. der Patient hatten solche falschen Antworten signifikant häufiger produziert, welche die gleiche Zehnerziffer wie das richtigen Ergebnisses aufwiesen, als ansonsten vergleichbare andere Fehler. Damit wird die Annahme unterstützt, dass die Zehner- und die Einerziffern zweistelliger Zahlen separate Repräsentationen aufweisen – bei der Multiplikation (Verguts & Fias, 2004) wie auch allgemein bei numerischer Verarbeitung (Nuerk, Weger, & Willmes, 2001; Nuerk & Willmes, 2005). Zusätzlich dazu wurde in einer Regressionsanalyse über die Fehlerzahlen auch erstmalig empirische Evidenz für die Hypothese vorgelegt, dass der klassische Aufgabengrößeneffekt beim Abruf von Multiplikationsfakten auf Zehnerkonsistenzeffekte zurückführbar ist: Obwohl die Aufgabengröße als erster Prädiktor in das Modell einging, wurde diese Variable wieder verworfen, sobald ein Maß für die Nachbarschaftskonsistenz der richtigen Antwort in das Modell aufgenommen wurde. Schließlich wurde in einer weiteren Studie die automatische Aktivierung von Multiplikationsfakten bei gesunden Probanden mit einer Zahlenidentifikationsaufgabe (Galfano, Rusconi, & Umilta, 2003; Lefevre, Bisanz, & Mrkonjic, 1988; Thibodeau, Lefevre, & Bisanz, 1996) untersucht. Dabei sollte erstmals die Frage beantwortet werden, wie sich die automatische Aktivierung der eigentlichen Multiplikationsergebnisse (Thibodeau et al., 1996) zur Aktivierung benachbarter falscher Antworten (Galfano et al., 2003) verhält. Ferner sollte durch die Präsentation mit verschiedenen SOAs der zeitliche Verlauf dieser Aktivierungen aufgeklärt werden. Die Ergebnisse dieser Studie können insgesamt als Evidenz für das Vorhandensein und die automatische, obligatorische Aktivierung eines Netzwerkes arithmetischer Fakten bei gesunden, gebildeten Erwachsenen gewertet werden, in dem die richtigen Produkte stärker mit den Faktoren assoziiert sind als benachbarte Produkte (Operandenfehler). Dabei führen Produkte kleiner Aufgaben zu einer stärkeren Interferenz als Produkte großer Aufgaben und Operandenfehler großer Aufgaben zu einer stärkeren Interferenz als Operandenfehler kleiner Aufgaben. Ein solches Aktivierungsmuster passt gut zu den Vorhersagen des Assoziationsverteilungsmodells von Siegler (Lemaire & Siegler, 1995; Siegler, 1988), bei dem kleine Aufgaben eine schmalgipflige Verteilung der Assoziationen um das richtige Ergebnis herum aufweisen, große Aufgaben jedoch eine breitgipflige Verteilung. Somit sollte die vorliegende Arbeit etwas mehr Licht in bislang weitgehend vernachlässigte Aspekte der Repräsentation und des Abrufs arithmetischer Fakten gebracht haben: Die neuronalen Korrelate ihres Erwerbs, die Konsequenzen ihrer Einbindung in das Stellenwertsystem mit der Basis 10 sowie die spezifischen Auswirkungen ihrer assoziativen semantischen Repräsentation auf ihre automatische Aktivierbarkeit. Literatur Campbell, J. I. (1997). On the relation between skilled performance of simple division and multiplication. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 23, 1140-1159. Dehaene, S. & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1, 83-120. Dehaene, S. & Cohen, L. (1997). Cerebral pathways for calculation: double dissociation between rote verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, 219-250. Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P., & Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506. Domahs, F., Bartha, L., & Delazer, M. (2003). Rehabilitation of arithmetic abilities: Different intervention strategies for multiplication. Brain and Language, 87, 165-166. Galfano, G., Rusconi, E., & Umilta, C. (2003). Automatic activation of multiplication facts: evidence from the nodes adjacent to the product. Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 56, 31-61. Lefevre, J. A., Bisanz, J., & Mrkonjic, L. (1988). Cognitive arithmetic: evidence for obligatory activation of arithmetic facts. Memory and Cognition, 16, 45-53. Lemaire, P. & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: contributions to children's learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 83-97. Nuerk, H. C., Weger, U., & Willmes, K. (2001). Decade breaks in the mental number line? Putting the tens and units back in different bins. Cognition, 82, B25-B33. Nuerk, H. C. & Willmes, K. (2005). On the magnitude representations of two-digit numbers. Psychology Science, 47, 52-72. Siegler, R. S. (1988). Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258-275. Thibodeau, M. H., Lefevre, J. A., & Bisanz, J. (1996). The extension of the interference effect to multiplication. Canadian Journal of Experimental Psychology, 50, 393-396. Verguts, T. & Fias, W. (2004). Neighborhood Effects in Mental Arithmetic. Psychology Science. Zbrodoff, N. J. & Logan, G. D. (2004). What everyone finds: The problem-size effect. In J. I. D. Campbell (Hrsg.), Handbook of Mathematical Cognition (pp.331-345). New York, NY: Psychology Press.<br>The present thesis deals with the representation and processing of arithmetic facts. This domain of semantic knowledge has gained a substantial amount of interest as its components as well as their interrelations are well specified. Thus, cognitive models can be developed with a degree of precision, which cannot be reached in many other domains. Most recent models agree that arithmetic facts are represented in an associative, network-like structure in declarative memory. Despite this general agreement a lot of issues still remain unresolved. The open questions tackled in the present work address three different aspects of arithmetic facts: 1) their neuro-anatomical correlates, 2) neighbourhood consistency effects in their verbal production and 3) their automatic activation. In a combined behavioural and fMRI study the neurofunctional correlates of the acquisition of arithmetic facts in adults were examined. This research was based on the Triple-Code-Model of Dehaene and Cohen, the only recent model which makes explicit assumptions on neuroanatomical correlates of numerical abilities. The Triple-Code-Model assumes that a “perisylvian” region in the left hemisphere including the basal ganglia and the Angular Gyrus is involved in the retrieval of arithmetic facts (Dehaene & Cohen, 1995; Dehaene & Cohen, 1997; Dehaene, Piazza, Pinel, & Cohen, 2003). In the present study healthy adults were asked to train complex multiplication problems extensively during one week. Thus, these problems could be solved more and more automatically. It was reasoned that answering these trained problems should more and more rely on the retrieval of facts from declarative memory, whereas answering untrained problems should rely on the application of strategies and procedures, which impose high demands on executive functions including working memory. After the training was finished, participants – as expected – could solve trained problems faster and more accurately than non-trained problems. Participants were also submitted to a functional magnetic resonance imaging examination. In general, this examination added to the evidence for a mainly left hemispheric fronto-parietal network being involved in mental multiplication. Crucially, comparing trained with non-trained problems a shift of activation from frontal to more parietal regions was observed. Thus, the central role of central executive and working memory for complex calculation was highlighted. Moreover, a shift of activation from the Intraparietal Sulcus to the Angular Gyrus took place within the parietal lobe. According to the Triple-Code-Model, this shift may be interpreted to indicate a strategy change from quantity based calculation, relying on the Intraparietal Sulcus, to fact retrieval, relying on the left Angular Gyrus. Are there neighbourhood consistency effects in the verbal production of arithmetic facts similar to what has been described for language production? According to the “Triangle Model” of simple multiplication, proposed by Verguts & Fias (2004), such effects can be expected. According to this model corrects answers can be given more easily if they share digits with many semantically close wrong answers. Moreover, it can be assumed that wrong answers, too, are more likely to be produced if they share a digit with the correct result. In addition to this, the Triangle Model also states that the classical problem size effect in simple multiplication (Zbrodoff & Logan, 2004) can be drawn back to neighbourhood consistency between the correct result and semantically close wrong answers. In fact, a re-analysis of error data from a sample of healthy young adults (Campbell, 1997) and a patient with acalculia (Domahs, Bartha, & Delazer, 2003) provided evidence for the existence of decade consistency effects in the verbal production of multiplication results. Healthy participants and the patient produced significantly more wrong answers which shared the decade digit with the correct result than otherwise comparable wrong answers. This result supports the assumption of separate representations of decade and unit digits in two-digit numbers in multiplication (Verguts & Fias, 2004) and in number processing in general (Nuerk, Weger, & Willmes, 2001; Nuerk & Willmes, 2005). Moreover, an additional regression analysis on the error rates provided first empirical evidence for the hypothesis that the classical problem size effect in the retrieval of multiplication facts may be an artefact of neighbourhood consistency: Although problem size was the first variable to enter the model, it was excluded from the model once a measure for neighbourhood consistency was included. Finally, in a further study the automatic activation of multiplication facts was examined in a number matching task (Galfano, Rusconi, & Umilta, 2003; Lefevre, Bisanz, & Mrkonjic, 1988; Thibodeau, Lefevre, & Bisanz, 1996). This experiment addressed the question how the automatic activation of actual multiplication results (Thibodeau et al., 1996) relates to the activation of semantically close wrong answers (Galfano et al., 2003). Furthermore, using different SOAs the temporal properties of these activations should be disclosed. In general, the results of this study provide evidence for an obligatory and automatic activation of a network of arithmetic facts in healthy educated adults in which correct results are stronger associated with the operands than semantically related wrong answers. Crucially, products of small problems lead to stronger interference effects than products of larger problems while operand errors of large problems lead to stronger interference effects than operand errors of small problems. Such a pattern of activation is in line with predictions of Siegler’s Distribution of Associations Model (Lemaire & Siegler, 1995; Siegler, 1988) which assumes a more peaked distribution of associations between operands and potential results for small compared to large multiplication problems. In sum, the present thesis should shed some light into largely ignored aspects of arithmetic fact retrieval: The neural correlates of its acquisition, the consequences of its implementation in the base 10 place value system, as well as the specific effects of its semantic representation for automatic activation of correct multiplication facts and related results. References Campbell, J. I. (1997). On the relation between skilled performance of simple division and multiplication. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 23, 1140-1159. Dehaene, S. & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1, 83-120. Dehaene, S. & Cohen, L. (1997). Cerebral pathways for calculation: double dissociation between rote verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, 219-250. Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P., & Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506. Domahs, F., Bartha, L., & Delazer, M. (2003). Rehabilitation of arithmetic abilities: Different intervention strategies for multiplication. Brain and Language, 87, 165-166. Galfano, G., Rusconi, E., & Umilta, C. (2003). Automatic activation of multiplication facts: evidence from the nodes adjacent to the product. Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 56, 31-61. Lefevre, J. A., Bisanz, J., & Mrkonjic, L. (1988). Cognitive arithmetic: evidence for obligatory activation of arithmetic facts. Memory and Cognition, 16, 45-53. Lemaire, P. & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: contributions to children's learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 83-97. Nuerk, H. C., Weger, U., & Willmes, K. (2001). Decade breaks in the mental number line? Putting the tens and units back in different bins. Cognition, 82, B25-B33. Nuerk, H. C. & Willmes, K. (2005). On the magnitude representations of two-digit numbers. Psychology Science, 47, 52-72. Siegler, R. S. (1988). Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258-275. Thibodeau, M. H., Lefevre, J. A., & Bisanz, J. (1996). The extension of the interference effect to multiplication. Canadian Journal of Experimental Psychology, 50, 393-396. Verguts, T. & Fias, W. (2004). Neighborhood Effects in Mental Arithmetic. Psychology Science. Zbrodoff, N. J. & Logan, G. D. (2004). What everyone finds: The problem-size effect. In J. I. D. Campbell (Ed.), Handbook of Mathematical Cognition (pp.331-345). New York, NY: Psychology Press.

Syftet med studien är att undersöka hur verksamma lärare arbetar med division och vilka räknemetoder de väljer att använda i undervisningen. Syftet är även att få kunskap om vilka räknemetoder elever väljer att tillämpa. Studiens resultat har framkommit genom observationer, intervjuer med lärare och elever samt elevers lösningar av divisionsuppgifter.   Studiens resultat visar att lärare väljer att tillämpa laborativt material i undervisningen för att konkretisera matematikundervisningen om division. De påpekar vikten av att arbeta praktiskt för att elever ska få bättre förståelse för räknesättet. Lärarna anser att diskussion och samtal, både enskilt, i grupp och i helklass, gynnar elevers förståelse för division. De räknemetoder lärare väljer att tillämpa i sin undervisning är upprepad addition, sambandet mellan division och multiplikation samt kort division.   Studien visar att elever väljer att använda de metoder som de får ta del av i undervisningen. Detta syns tydligt då varken upprepad subtraktion, trappan eller liggande stolen tillämpas av lärare eller elever i årskurs 3. Elever tänker för det mesta division som delningsdivision, vilket även lärare väljer att lägga fokus på i sin undervisning. Lärare anser att både innehållsdivision och delningsdivision ska finnas i undervisningen, dock namnger de inte de olika tankesätten av den orsaken att det kan förvirra eleverna och försvåra förståelsen.

Walter Hofmann, Leiter der Bücherhallen in Leipzig, gründete am 3. Juni 1914 in Leipzig die staatliche Zentralstelle für volkstümliches Büchereiwesen im Königreich Sachsen. Mit dieser Einrichtung wurde erstmals in Deutschland ein Bindeglied zwischen einzelnen Büchereien geschaffen ohne dabei die Rechte der kommunalen Selbstverwaltung zu berühren. Sie war für deutsche und ausländische öffentliche Bibliotheken tätig und unterhielt die am 15. Oktober 1914 gegründete Fachschule für Bibliotheksverwaltung und -technik.