Tesis sobre el tema "Peso de códigos cíclicos"

Neste trabalho, usamos uma abordagem de anéis de grupo para caracterizar códigos cíclicos sobre anéis de cadeia, seus duais e algumas condições sobre códigos auto-duais. Caracterizamos também os códigos cíclicos livres sobre anéis de cadeia e por fim exibimos uma fórmula para o peso de qualquer código cíclico sobre anéis de cadeia de comprimento e p^n 2p^n.
In this thesis, we use an approach of group rings to characterize cyclic codes over chain rings, their duals and some conditions on self-dual codes. It also features free cyclic codes over chain rings and finally we show a formula for the weight of any cyclic code over chain rings of length p^n and 2p^n.

Sejam F_q um corpo finito com q elementos, e C_n um grupo cíclico de n elementos com mdc(q,n) = 1. Iniciamos nosso trabalho inspirados nos resultados de Vega, estabelecendo condições para que um código de F_qC_n tenha peso constante. Com tal resultado concluímos que um código de peso constante em F_qC_n é da forma {rg^ie | r em F_q, i variando de 0 a n}. A partir disto, determinamos a quantidade de códigos de peso constante de F_qC_n, e construímos exemplos de códigos de dois pesos em F_q(C_n X C_n). Em seguida, estabelecemos sob quais condições um código em F_qA, para A um grupo abeliano finito, tem peso constante. Analisamos também os códigos de peso constante em RG, quando R um anel de cadeia finito e C_n é um grupo cíclico de n elementos com mdc(n,q) = 1. Além disso, analisamos o caso em que os elementos de um ideal de RA, para R um domínio de integridade infinito e A um grupo abeliano finito têm peso constante.
Let F_q be a field with q elements, C_n be a cyclic group of order n and suppose that gcd(q,n) = 1. In this work conditions are given to ensure that a code in F_qC_n is a one weight code, inspired in the work of Vega. As a consequence of this result we showed that a one weight code in F_qC_n is of the form {rg^ie | r in F_q, i between 0 and n}. With this, we determined the number of one weight codes in F_qC_n, and constructed examples of two weight codes in F_q(C_n X C_n). After this, we gave conditions to ensure that a code had constant weight in F_qA, for A a finite abelian group. We also analyzed the one weight codes in RG, R a chain ring and C_n a cyclic group with n elements with gcd(n,q) = 1. Moreover, we analyzed the case when the elements of an ideal in RA, for R an infinite integral domain and A a finite abelian group, have constant weight.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
A cyclic code is a speci c type of linear code. Its relevance consists in the fact that all its main information is intrinsic to the structure of the ideals in the quotient ring K[x]=(xn - 1) via an isomorphism. In this work, we characterize the cyclic codes in biunivocal correspondence with the ideals of this quotient ring. We will also present its generating matrix, the parity matrix and we will discuss its codi cation and decoding.
Um código cíclico é um tipo específico de código linear. Sua relevância consiste no fato de que todas suas principais informações são intrinsecas à estrutura dos ideais no anel quociente K[x]=(xn 1) via um isomorfismo. Neste trabalho, caracterizamos os códigos cíclicos em correspondência biunívoca com os ideais deste anel quociente. Apresentaremos também sua matriz geradora, a matriz de paridade e abordaremos sua codificação e decodificação.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 1986.
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Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SILVANA DA SILVA RODRIGUES.pdf: 983315 bytes, checksum: 17ccfa7762b3ec7758b0c81b7ca259bf (MD5) Previous issue date: 2011-01-28
The main purpose of this dissertation was to construct lower and upper bounds for the cardinality of the error correcting codes for constant-weight, contained in the vector space Fn 3 , where F3 is a field with three elements, knowing parameters such as length and minimum distance code. We present the main results of linear algebra necessary to develop the theory of codes and then the fundamental concepts of more practical class of codes, the linear error correcting codes. We state the Totobola problem and the Football problem, relating them to the theory of codes and present some bounds for the "covering radius problem"for r = 1 , some values of n. In the last chapter, we conclude the work with some examples that illustrate bounds of coverings for Fn 3 , with r = 2 and 3, and the generalization of the problem, where we present the binary covering radius problem, the case of multiple coverages and the extension of the idea, citing bounds for the cardinality of the codes contained in the vector space over a finite field with any arbitrary number of elements.
O principal objetivo desta dissertação foi construir limitantes inferiores e superiores para o número de elementos de um código corretor de erros de peso constante, contido no espaço vetorial Fn 3 , onde F3 é um corpo contendo três elementos, a partir de parâmetros como comprimento e distância mínima do código. Apresentamos os principais resultados da álgebra linear necessários ao desenvolvimento da teoria de códigos e em seguida, os conceitos fundamentais da classe de códigos mais conhecida na prática: os códigos lineares. Definimos os problemas do totobola e da piscina de futebol e a relação de ambos, com a teoria de códigos e com o problema do raio de cobertura. Construímos limitantes para o problema do raio de cobertura para r = 1, a partir da variação de n, e no último capítulo o trabalho é finalizado com a apresentação de exemplos que ilustram limitantes de cobertura para Fn 3 , com r = 2 e 3 e a generalização do assunto, onde apresentamos o problema binário do raio de cobertura, o caso das múltiplas coberturas e a extensão da idéia, citando limitantes para o número de elementos de códigos contidos em espaços vetoriais sobre um corpo finito contendo uma quantidade qualquer de elementos.

Submitted by Isaac Francisco de Souza Dias (isaac.souzadias@ufpe.br) on 2016-02-16T17:18:55Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) PPGEE_Tese_52_Jose_Sampaio_de_Lemos_Neto.pdf: 1571594 bytes, checksum: dd2d6975cfe8298526b68cb91a703bf1 (MD5)
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FACEPE
Um código ciclicamente permutável (código CP) é um código de bloco binário cujas palavrasc ódigo são ciclicamente distintas e possuem ordem cíclica plena, isto é, ordem cíclica igual ao comprimento do bloco. Um código CP pode ser construído por meio de um código cíclico. Para isto, selecionam-se as palavras do código cíclico que são ciclicamente distintas e possuem ordem cíclica plena. Um procedimento que seleciona diretamente, por meio de uma condição matemática, as palavras de um código CP a partir de um código cíclico é denominado de construção. SendoM e n, respectivamente, o número de palavras e o comprimento do bloco de um código cíclico, se o número de palavras do código CP for igual ao limitante superiorM/n, então a construção é ótima neste sentido. Além do mais, a distância mínima do código cíclico deve ser a maior possível para os valores deM e n. Nesta tese, é proposto um método para construir códigos CP por meio de códigos lineares cíclicos q-ários, sendo q uma potência de um número primo, assim como também por meio de códigos lineares constacíclicosp-ários, sendo p um número primo. Para ambos os casos, mostra-se que o procedimento proposto para gerar códigos CP é direto, logo pode ser quali cado como construção. Além do mais, em ambos os casos, a construção é ótima pois atinge o limitante superior. Por m, uma construção proposta nesta tese é usada na aplicação de códigos CP como sequências de protocolo para o canal de colisão sem realimentação.
A cyclically permutable code (CPC) is a binary code the codewords of which are cyclically distinct and have full cyclic order, i.e., cyclic order equal to the block length. A CPC can be constructed by means of a cyclic code. In this way, the codewords of the cyclic code which are cyclically distinct and have full cyclic order should be selected. A procedure that selects codewords of a CPC from a cyclic code in a straightforward manner, by means of a mathematical condition, is called a construction. Let M and n be, respectively, the number of codewords and the block length of a cyclic code. If the number of codewords of a CPC reaches the upper bound M/n, then this construction is optimum in this sense. Furthermore, the minimum distance of the cyclic code should be the highest possible for the values of M and n. In this thesis we propose a method to construct CPC's using q-ary linear cyclic codes, where q is a power of a prime, as well as using p-ary linear constacyclic codes, where p is a prime number. In both cases, it is shown that the proposed procedure to generate CPC's is straightforward, so can be quali ed as a construction. Moreover, in both cases, the construction is optimal in the sense that the number of codewords selected for the CPC reaches the upper bound. Finally, a construction proposed in this thesis is used in the application of CPC's as protocol sequences for the collision channel without feedback.

Submitted by Eduarda Figueiredo (eduarda.ffigueiredo@ufpe.br) on 2015-03-06T15:28:53Z No. of bitstreams: 2 Dissertacao_PauloMartins.pdf: 1439428 bytes, checksum: 51e9ed6f710dffe00e680b075a624ffc (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5)
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CAPES
A correção de manchas de erros em arranjos bidimensionais é analisada por meio de simulação computacional de um sistema de comunicação digital simplificado. Nesse sistema é feito o uso de códigos cíclicos lineares binários em apenas uma das dimensões do arranjo. Por escolha adequada dos parâmetros do código e do arranjo bidimensional, manchas de erros com moldura na forma de quadrado, retângulo ou cruz, quando desentrelaçadas, aparecem como surtos de erros corrigíveis nas linhas do arranjo. Utilizando a capacidade de correção de surtos de erros de códigos cíclicos lineares binários, tais manchas de erros são então tratadas como surtos de erros em uma dimensão e corrigidas com a técnica de decodificação de surtos por armadilha. É considerado nas simulações também o decodificador adaptativo de surtos por armadilha proposto por Gallager, que produz melhores resultados.

Els codis cíclics són una família important en la teoria de la codificació i han estat una àrea principal d'estudi des de la seva aparició. Fins a la dècada dels 90, els alfabets habitualment utilitzats en teoria de codis eren cossos finits. A partir d'aleshores, es va iniciar l'estudi de codis definits sobre anells. Des de l'aparició dels codis Z2Z4-additius, la investigació de codis sobre alfabets d'anells mixtes s'ha incrementat. L'any 2014, Abualrub et al. van presentar els codis cíclics Z2Z4-additius i aquest fet va marcar l'inici de l'estudi de les propietats cícliques en codis sobre alfabets mixtes. La present tesi té com a objectiu examinar l'estructura algebraica dels codis cíclics com a submòduls de productes directes d'anells finits. Partint del fet que aquests codis poden ser interpretats com a submòduls del producte directe d'anells de polinomis, es determina l'estructura d'aquests codis cíclics tot donant els seus polinomis generadors. A més, s'estudia el concepte de dualitat definint l'operació polinòmica corresponent al producte intern de vectors. Aquesta operació permet entendre la dualitat en l'anell de polinomis corresponent.  Així mateix, es proporcionen tècniques per donar una descripció polinòmica dels codis duals en termes dels polinomis generadors dels codis cíclics i es calculen explícitament en alguns casos particulars. També es consideren diferents mètriques en el producte directe d'anells finits i s'estudien les seves imatges binàries a través de diferents aplicacions que preserven les distàncies, anomenades aplicacions de Gray. Finalment, es dóna una estructura algebraica per a una gran família de codis quasi-cíclics binaris tot construint una família d'anells commutatius i una aplicació de Gray canònica. De tal manera que els codis cíclics sobre aquesta família d'anells produeixen codis quasi-cíclics d'índex arbitrari en l'espai d'Hamming a través de l'aplicació de Gray.
Cyclic codes are an important family in coding theory and have been a primary area of study since its inception. Until the 1990s the usual alphabet chosen by coding theorist was a finite field. Thereafter, it began the study of codes over rings. Since the emergence of Z2Z4-additive codes, the research on codes over mixed ring alphabets has increased. In 2014, Abualrub et al. presented Z2Z4-additive cyclic codes and it marked the beginning of the study of cyclic properties on codes over mixed alphabets. This thesis aims to explore the algebraic structure of cyclic codes as submodules of direct product of finite rings. As these codes can be seen as submodules of the direct product of polynomial rings, we determine the structure of these codes giving their generator polynomials. Further, we study the concept of duality defining the corresponding polynomial operation to the inner product of vectors. This operation allows us to understand the duality in the corresponding polynomial ring. Moreover, we provide techniques to give a polynomial description for dual codes in terms of the generator polynomials of the cyclic codes and we compute them in some particular cases. Also, we consider different metrics in the direct product of finite rings and we study their binary images under distinct distance preserving maps, called Gray maps. Finally, we give an algebraic structure for a large family of binary quasi-cyclic codes constructing a family of commutative rings and a canonical Gray map, such that cyclic codes over this family of rings produce quasi-cyclic codes of arbitrary index in the Hamming space via the Gray map.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
In this work we present the determination of the second Hamming weight of generalized Reed- Muller codes in most cases (see Teorema 4.6). Our main reference is [13], although we have also used results from [3] and [5]. In the first chapter we describe finite fields e we show how they can be constructed. In chapter 2 we present the basics of coding theory. We define what are error correcting codes, the Hamming metric, the parameters of a code, the equivalence of codes through the concept of isometry, and we briefly present generalized Reed-Muller codes and their parameters. In chapter 3 we present some results from Grobner bases theory and the definition of Affine Cartesian codes, which generalize the generalized Reed-Muller codes. we use tools from Grobner bases theory to determine the dimension and the minimum distance of Affine Cartesian codes. We finish our work in chapter 4, with the determination of the second Hamming weight for generalized Reed-Muller codes in most cases.
Nesse trabalho apresentamos o cálculo do segundo peso de Hamming de códigos de Reed-Muller generalizados na maioria dos casos (v. Teorema 4.6). Nossa referência principal sera [13], embora tenhamos utilizado também resultados de [3] e [5]. No primeiro capítulo descrevemos os corpos finitos e mostramos como podem ser construídos. No capítulo 2 apresentamos os conceitos básicos da teoria de códigos. Nele, definimos o que são os códigos corretores de erros, a métrica de Hamming, os parâmetros de um código, a equivalência de códigos através da noção de isometria, bem como uma breve apresentação dos códigos de Reed-Muller generalizados e seus parâmetros. No capítulo 3 sao apresentados alguns resultados da teoria de Bases de Grobner e a definição dos Códigos Cartesianos Afins, que são uma generalização dos códigos de Reed-Muller generalizados. Usamos ferramentas da teoria de bases de Grobner para determinar a dimensão e distância mínima de Códigos Cartesianos Afins. Para finalizar nosso trabalho, no capítulo 4 determinamos o segundo peso de Hamming do Código de Reed-Muller generalizado na maioria dos casos.
Mestre em Matemática

Orientador: Paulo Roberto Brumatti
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Made available in DSpace on 2018-08-18T19:35:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Negreiros_DiogoBrunoFernandes_M.pdf: 5674415 bytes, checksum: bdd28225d3cc5505f91fd61e797f2794 (MD5) Previous issue date: 2011
Resumo: Este texto tem como objetivo o estudo de um tipo de código que possui relações com as teorias de curvas algébricas e de formas quadráticas. Começaremos introduzindo as definições e resultados sobre as três teorias que serão necessárias a este estudo. Depois apresentaremos os códigos a serem estudados bem como as relações entre seus sub-códigos e curvas algébricas e entre suas palavras e formas quadráticas. Observando que sub-códigos de peso mais baixo correspondem a curvas com mais pontos, nos dedicaremos a obter um processo para a descoberta de sub-códigos de peso mínimo dentro deste tipo de código. Tal processo será possível através de investigações sobre as formas quadráticas associadas a palavras. Finalizaremos com exemplos de aplicações do processo em alguns códigos, o que permite também calcular seus pesos de Hamming generalizados de ordem mais baixa
Abstract: This text's objective is the study of a kind of code wich has relations with the theories of algebraic curves and quadratic forms. We start by introducing definitions and results about the three theories we will need in such study. Later, we present the codes wich will be studied along with relations between its subcodes and algebraic curves and between its words and quadratic forms. Noting that lower weight subcodes correspond to curves with more points, we research a process to find minimum weight subcodes in this kind of code. This process will be possible through investigations on the quadratic forms related to words. Finally we set examples of applications of the process on some codes, and that gives us their lower order generalized Hamming weights
Mestrado
Matematica
Mestre em Matemática

Orientador: Marcelo Firer
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica
Made available in DSpace on 2018-08-23T13:47:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lemes_LeandroCruvinel_D.pdf: 1250342 bytes, checksum: e1a6a639b2a96ae11f0c70d7507040aa (MD5) Previous issue date: 2013
Resumo: Considerando canais discretos, sem memória e com apagamento, obtemos limitantes superiores e inferiores para as probabilidades de erro de decodificação e de ocorrências de ambiguidade de códigos corretores de erro lineares. Os limitantes dependem da hierarquia de pesos e dos espectros generalizados e melhoram os limitantes conhecidos. Encontramos expressões exatas para essas probabilidades nos casos em que o código é AMDS ou MDS
Abstract: Considering an erasure channel, we improve upper and lower bounds for error decoding and ambiguity probabilities of linear error-correcting codes. The given bounds depend on the generalized weight hierarchy and spectrum of a code. We find explicit formulae in the case of AMDS and MDS codes
Doutorado
Matematica
Doutor em Matemática

Tesis (Lic. en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2020.
Este trabajo trata sobre el espectro o distribución de pesos de códigos lineales y cíclicos. Esto es en general una tarea ardua y sólo se conoce el espectro de algunas familias de códigos. Estudiaremos distintas formas de encontrar dichas distribuciones de pesos a través de diferentes caminos. Primero veremos resultados generales para códigos lineales, que en particular dan una respuesta general al caso de los códigos MDS. Luego, nos enfocaremos en códigos cíclicos generales viéndolos como códigos traza (combinando los teoremas de Delsarte y las identidades de MacWilliams). A partir de aquí haremos uso de dos estrategias generales, una que involucra ciertas sumas exponenciales (Gauss, Weil y/o Kloosterman) y otra basada en el conteo de puntos racionales de curvas algebraicas asociadas a los códigos (típicamente de Artin-Schreier). Usaremos estas técnicas para obtener los espectros de familias de códigos muy conocidas como Hamming, BCH y Reed-Muller. Finalmente, aplicaremos estos métodos a dos familias de códigos menos conocidos como los códigos de Melas y de Zetterberg. En los casos binario y ternario, el cálculo de dichos espectros se puede realizar usando curvas elípticas y la traza de operadores de Hecke de ciertas formas modulares asociadas a ellas. El trabajo contiene numerosos ejemplos, muchos de ellos nuevos.
This work deals with the spectrum or weight distribution of linear and cyclic codes. This is in general a difficult task and the spectrum is only known for some families of codes. We will study different ways to find these distributions through different ways. We will first see general results for linear codes, which in particular give a general answer to the case of MDS codes. Then, we will focus on general cyclic codes by viewing them as trace codes (combining Delsarte's theorems and MacWilliams identities). From this point on we will use two general strategies, one that involves certain exponential sums (Gauss, Weil or Kloosterman) and another one based on counting the number of rational points of algebraic curves (typically Artin-Schreier) associated with the codes. We will use these techniques to obtain the spectra of well-known families of codes such as Hamming, BCH, and Reed-Muller codes. Finally, we will apply these methods to two lesser known code families, the Melas codes and the Zetterberg codes. In the binary and ternary cases, the computation of the mentioned spectra can be performed by using elliptic curves and the trace of Hecke operators of certain modular forms associated to them. The work contains several examples, many of them new.
Fil: Chiapparoli, Paula Mercedes. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.

Una de las clases más importantes e implementadas de códigos, es la clase de los códigos cíclicos, debido a su eficiente codificación, y por la existencia de buenos algoritmos para decodificarlos. Por otro lado, entender la distribución de pesos de códigos permite en algunos casos, calcular el error de probabilidad a la hora de decodificar. Por ello, es importante conocer la distribución de pesos de códigos cíclicos. En general, el problema de calcular distribuciones de pesos es computacionalmente complejo, inclusive en el caso de códigos cíclicos. Sin embargo, es posible atacar este problema si pedimos ciertas condiciones al código cíclico. Esta tesis se centra en el estudio del espectro o distribución de pesos de códigos cíclicos, y de las distintas relaciones que tienen estos espectros con otros objetos que aparecen en el estudio de cuerpos finitos tales como sumas exponenciales, caracteres, curvas algebraicas y grafos de Cayley.