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Thèses sur le sujet « Dérive singulière »
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Haress, El Mehdi. « Numerical approximation and long-time behaviour of some singular stochastic (partial) differential equations ». Electronic Thesis or Diss., université Paris-Saclay, 2024. http://www.theses.fr/2024UPASM038.
Texte intégralRésumé :
On explore l'approximation numérique et le comportement en temps long de certaines équations stochastiques dirigées par des termes de dérive dissipatifs et/ou distributionnels.Premièrement, les équations différentielles stochastiques (EDS) avec un mouvement brownien fractionnaire (mBf) et une dérive distributionnelle sont étudiées. La convergence d'un schéma d'Euler modéré est quantifiée. Des techniques similaires sont appliquées à l'équation de la chaleur stochastique (SHE) avec un bruit blanc spatio-temporel et un terme de réaction distributionnel, et les mêmes résultats sont obtenus pour un schéma d'Euler modéré avec des différences finies.Deuxièmement, l'attention se porte sur les EDS avec un mBf et une dérive dissipative, établissant, dans le régime en temps long, la régularité presque-sûre des solutions et leurs moyennes ergodiques par rapport au temps et au paramètre de Hurst. Ces résultats sont appliqués dans un contexte statistique pour estimer les paramètres des équations à travers une approximation de leurs mesures invariantes.Enfin, on considère des termes de réaction dissipatifs et distributionnels dans SHE, présentant des résultats préliminaires dans le régime en temps long, le caractère bien-posé de l'équation est prouvé et les moments de la solution sont uniformément bornés dans le tempsIn this thesis, we explore the numerical approximation and long-term behavior of certain stochastic equations driven by dissipative and/or distributional drift terms.Firstly, stochastic differential equations (SDEs) with fractional Brownian motion (fBm) and distributional drift are studied. The convergence of a tamed-Euler scheme is quantified. Similar techniques are applied to the stochastic heat equation (SHE) with space-time white noise and a distributional reaction term, and the same results are obtained for a tamed-Euler scheme with finite differences.Secondly, the focus shifts to SDEs with fBm and dissipative drift, establishing, in the long-term regime, the almost-sure regularity of solutions and their ergodic means with respect to time and the Hurst parameter. These results are applied in a statistical context to estimate the parameters of the equations through an approximation of their invariant measures.Finally, we combine dissipative and distributional reaction terms in SHE, presenting preliminary results in the long-term regime, the well-posedness of the equation is proven and the moments of the solution are uniformly bounded over time
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Popier, Alexandre François Roland. « Equations différentielles stochastiques rétrogrades avec condition finale singulière ». Aix-Marseille 1, 2004. http://www.theses.fr/2004AIX11037.
Texte intégral
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Wang, Zhengfang. « Equivalence singulière à la Morita et la cohomologie de Hochschild singulière ». Thesis, Sorbonne Paris Cité, 2016. http://www.theses.fr/2016USPCC203/document.
Texte intégralRésumé :
L’objet de cette thèse est l’étude des catégories singulières des k-algèbres associatives surun anneau commutatif k. On développe la théorie de Morita pour les catégories singulières. Plus précisément, on propose une définition d’équivalence singulière à la Morita avec niveau, qui généralise la notion d’équivalence stable à la Morita introduite par Michel Broué. On montre qu’une équivalence dérivée de type standard induit une équivalence singulière à la Morita avec niveau. La deuxième partie de cette thèse est l’étude de la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) c’est-à-dire, l’espace des morphismes de A vers A[i] dans la catégorie singulière Dsg(A Aop) pour tous les nombres entiers i. Similaire à la cohomologie de Hochschild HH_(A,A), on montre que la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) est une algèbre de Gerstenhaber et donne une interprétation pour le crochet de Lie sur HH_sg(A,A) du point de vue de la théorie de PROP. On peut associer un complexe de cochaînes, qu’on appelle complexe de cochaînes de Hochschild singulières, C_sg(A,A) qui calcule la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A). Alors on étudie une structure algébrique supérieure (e.g. l’algèbre de B1) sur C_sg(A,A) et propose une version singulière d’une conjecture de Deligne. L’objet de la troisième partie de cette thèse est de montrer que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild singulière est invariante par équivalences dérivées et équivalences singulières à la Morita avec niveau. L’idée de cette démonstration est analogue à l’approche développée par Keller lorsqu’il démontre que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild est invariante par équivalences dérivées. Similaire à la démonstration par Keller, on réalise HH_sg(A,A) avec le crochet de Lie comme une algèbre de Lie graduée du groupe algébrique gradué associé au groupe de Picard singulière sgDPic(A)In this thesis, we are concerned with some aspects of singular categories of unitalassociative k-algebras over a commutative ring k. First, we develop a Morita theory for singular categories. Analogous to the classical Morita theory, we propose a definition of singular equivalence of Morita type with level. This follows and generalizes a definition of stable equivalence of Morita type introduced by Michel Broué. A derived equivalence of standard type induces a singular equivalence of Morita type with level. Second, we study the Hom-space from A to A[i] in the singular category Dsg(AkAop) of the enveloping algebra AkAop, where A is an associative k-projective k-algebra and i is any integer. Recall that the i-th Hochschild cohomology group HHi(A,A) can be realized as the Hom-space from A to A[i] in the bounded derived category Db(A k Aop). From this motivation, we call HomDsg(AkAop)(A,A[i]) the i-th singular Hochschild cohomology group and denote this group by HHi sg(A,A). Analogous to the Hochschild cohomology ring HH_(A,A), we prove that there is a Gerstenhaber algebra structure on the singular Hochschild ring HH_sg(A,A) and provide an interpretation of the Lie bracket from the point of view of PROP theory. We also associate a cochain complex, which we call singular Hochschild cochain complex, C_sg(A,A) to the singular Hochschild cohomology. Thenwe study the higher algebraic structures (e.g. B1-algebra) on C_sg(A,A) and propose asingular version of the Deligne conjecture. Following Keller’s approach which was developed for derived equivalences, we establish the invariance of the Gerstenhaber algebra structure which we defined on the singular Hochschild cohomology under singular equivalence of Morita type with level. In this proof, we define the singular derived Picard group sgDPic(A) of an associative algebra A and develop what we call a singular infinitesimal deformation theory. Then we realize HH_sg(A,A) as the graded Lie algebra of the ‘graded algebraic group’ associated to sgDPic(A)
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Ben-Kiran, Taoufiq. « Étude d'un problème de perturbation singulière elliptique non classique ». Nancy 1, 1989. http://www.theses.fr/1989NAN10040.
Texte intégralRésumé :
On construit des exemples de problèmes de perturbation singulière elliptique non classique (dans le problème limite, l'opérateur différentiel, et l'opérateur frontière sont d'ordre 2) dans lesquels les données du problème perturbé convergent vers les données du problème limité, tandis que le problème limité n'a pas de solution. On montre que la solution du problème perturbé, bien posé, diverge dans des espaces convenables et on donne des estimations de l'ordre de divergence
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Bounebache, Said Karim. « Équations aux dérivées partielles stochastiques avec un potentiel singulier ». Phd thesis, Paris 6, 2012. http://www.theses.fr/2012PA066149.
Texte intégralRésumé :
Nous nous intéressons dans cette thèse a l’étude de trois dynamiques en dimension infinie, liées à des problèmes d'interface aléatoire. Il s'agira de résoudre uneéquation aux dérivées partielles stochastiques paraboliques avec différents potentiels singuliers. Trois types de potentiel sont étudiés, dans un premier temps nousconsidérons l'équation de la chaleur stochastique avec un potentiel convexe sur R^d, correspondant à l'évolution d'une corde aléatoire dans un ensemble convexeO inclus dans R^d et se réfléchissant sur le bord de O. La mesure de réflexion , vue comme la fonctionnelle additive d'un processus de Hunt, est étudiée au travers de sa mesure de Revuz. L'unicité trajectorielle et l'existence d'une solution forte continue sont prouvées. Pour cela nous utilisons des résultats récents sur la convergence #étroite de processus de Markov avec une mesure invariante log-concave. Nous étudions ensuite l'équation de la chaleur avec un bruit blanc espace-temps,avec un potentiel singulier faisant apparaître un temps local en espace. Cette fois le processus de Markov étudié possède une mesure invariante de type mesure de Gibbs mais avec un potentiel non convexe. L'existence d'une solution faible est prouvée,ainsi que la convergence, vers une solution stationnaire ,d'une suite d'approximation, construite par projections sur des espaces de dimension infinie. Une étude du semi-groupe permet d'obtenir des solutions non-stationnaires. Nous combinons enfin les deux précédents modèles. L'existence d'une solutionstationnaire est prouvée ainsi que la convergence d'un schéma d'approximation comme précédemmentThis thesis deals with some topics linked with interface model, ours aim is to find solution of some SPDE of parabolic type with singular potential. Firstly We study the motion of a random string in a convex domain O in R^d, namely the solution of a vector-valued stochastic heat equation, confined in the closure of O and reflected at the boundary of O. We study the structure of the reflection measure by computing its Revuz measure in terms of an infinite dimensional integration by parts formula. We prove extistence and uniqueness of a continuous strong solution. Our method exploits recent results on weak convergence of Markov processes with log-concave invariantmeasures. Secondly We consider a stochastic heat equation driven by a space-time white noise and with a singular drift, where a local-time in space appears. The process we study has an explicit invariant measure of Gibbs type, with a non-convex potential. We obtain existence of a Markov solution, which is associated with an explicit Dirichlet form. Moreover we study approximations of the stationary solution by means of a regularization of the singular drift or by a finite-dimensional projection. Finaly, we extend the previous methods for a SPDE in which the two types of singularity appear
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Martin, Ludovic. « Conception aérodynamique robuste ». Toulouse 3, 2010. http://thesesups.ups-tlse.fr/1608/.
Texte intégralRésumé :
Les études aérodynamiques s'appuient en grande partie sur quelques grandeurs d'intérêt comme la traînée ou la portance. Il est donc primordial d'avoir divers outils et stratégies adaptés au calcul efficace de telles observations scalaires. Cette thèse est dédiée au développement de méthodologies efficaces et innovantes destinées à renforcer la maîtrise d'une grandeur d'intérêt. Trois types de stratégie ont été étudiés. L'évaluation consiste à estimer à faible coût de calcul l'évolution de la fonction lorsqu'un paramètre d'entrée varie. En ce sens, les dérivées premières et surtout secondes, obtenues par différentiation automatique des codes industriels, renseignent sur le comportement local de l'observation (tangentes et courbures). La méthode des perturbations singulières est une alternative innovante pour estimer une évolution non linéaire sans faire appel aux dérivées secondes. La fiabilité est destinée à renforcer le niveau de confiance qu'il est possible d'accorder à la valeur d'observation calculée. La prise en compte des incertitudes affectant certains paramètres d'entrée va rendre le calcul d'observation robuste et donc plus fiable. Enfin, l'optimisation permet de trouver des valeurs particulières de l'observation répondant à un certain nombre de contraintes. L'optimisation sous incertitude permet de déterminer les solutions robustes à l'aléa impactant notre fonctionnelle, en s'appuyant pour cela sur des grandeurs statistiques (moment ou probabilité de défaillance)Aerodynamic studies are often based on some numerical observations like the drag or lift coefficients. Consequently, it is fundamental to define tools and methodologies devoted to the reliable evaluation of these scalar observations. This master thesis will describe some strategies and methods in order to better control the computation of a scalar aerodynamic observation. Three classes of strategies have been considered. The evaluation strategy consists in determining the kind of evolution of the observation depending on parameters. In this context, the estimation of the first and especially second order sensibilities, obtained by automatic differentiation of industrial codes, allows us to know the local evolution (tangents and curvatures). The singular perturbation method is another and innovant method to determine the non-linear evolution of an aerodynamic observation without using the second order derivatives. The fiability strategy will try to increase the level of confidence in the numerical evaluation of the scalar aerodynamic observation. The uncertainty affecting some parameters that influence the scalar observation is taken into account in order to make the numerical evaluation more robust and reliable. Finally, the optimisation strategy consists in finding particular values of the aerodynamic observation which respects some constraints. The optimisation under uncertainty means that optimisation parameters are uncertain, that is to say constraints are statistical variables, like statistical moments or failure probabilities
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Gürer, Serap. « Topologie algébrique des espaces difféologiques ». Thesis, Lille 1, 2014. http://www.theses.fr/2014LIL10033/document.
Texte intégralRésumé :
Une difféologie sur un ensemble arbitraire X, déclare, pour tout entier n,quelles applications de R[exposant n] vers X sont lisses. Cette idée est structurée par trois axiomes naturels : recouvrements, localité et compatibilité lisse. L’un des objectifs de cette thèse est de développer et d’étudier des outils classiques de la topologie algébrique dans le cadre difféologique. Parmi ces outils on se penche particulièrement sur les théories homologiques et cohomologiques généralisées. Un autre objectif est de montrer que les espaces difféologiques offrent un cadre assez naturel afin d’étudier les espaces singuliers : pseudo-variétés contrôlées à la Thom-Mather. On met en place les définitions de théories (co)homologiques généralisées dans la catégorie Diff . On définit une nouvelle notion "CW-difféologie" liée à la notion de CW-complexes. P. Iglesias Zemmour a introduit l’homologie cubique et cohomologie de De Rham dans la cadre difféologique. On développe en outre l’homologie singulière, l’homologie cellulaire et la cohomologie de Rham difféologique. On étudie les pseudo-variétés contrôlées qui sont des espaces singuliers en difféologieA diffeology on an arbitrary set X declares, for any integer n, which applications in R[exponent n] to X are smooth. This idea is structured by three natural axioms covering, locality and smooth compatibility. One objective of this thesis is to develop and study classical tools of algebraic topology in the diffeological framework. These tools are particularly looking at the generalized homology and cohomology theories. Another objective is to show that diffeological spaces offer a fairly natural frame to study the singular spaces : Thom-Mather stratified space. We set up the definitions of generalized (co)homology theories in the category Diff. We define a new notion of " CW- diffeology " linked to the notion of CW- complexes. P.Iglesias Zemmour introduced cubic homology and De Rham cohomology in the diffeological framework. We develop in addition the singular homology, cellular homology and diffeological de Rham cohomology. We study Thom-Mather stratified spaces which are singular spaces, with diffeology
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Rebai, Yomna. « Construction de solutions singulières pour certaines équations aux dérivées partielles elliptiques semi-linéaires ». Cachan, Ecole normale supérieure, 1997. http://www.theses.fr/1997DENS0014.
Texte intégralRésumé :
Les travaux presentes dans cette these portent sur la construction de solutions ayant un lieu singulier prescrit pour certaines equations aux derivees partielles elliptiques semi-lineaires. La methode qu'on utilise consiste a definir une famille de solutions approchees au probleme a partir de solutions particulieres radiales, puis a etudier le linearise de l'operateur considere en ces solutions approchees dans des espaces fonctionnels bien choisis en l'occurence les espaces de holder a poids. Enfin, la conclusion est obtenue en utilisant le theoreme des fonctions implicites ou le theoreme du point fixe. Dans le premier article, on construit une solution du probleme avec non-linearite sous-critique de lieu singulier egal a une sous-variete compacte sans bord. Dans le deuxieme article, on s'interesse au cas sur-critique et on montre l'existence de solution faible positive du probleme considere dans la boule unite, ayant une singularite non eliminable en un point fixe proche de l'origine. On donne en particulier une demonstration a un resultat concernant l'equation d'emden enonce par h. Matano. Dans le troisieme article, on generalise le resultat precedent au cas d'un nombre fini de singularites isolees, plus precisement, on montre l'existence d'un ouvert regulier connexe contenant un nombre fini de points fixes et l'existence d'une solution faible positive du probleme qui est singuliere en chacun de ces points. Le quatrieme article de la these est consacre a l'etude du probleme de yamabe singulier. On y montre un resultat de non existence de solution du probleme defini sur un ouvert etoile par rapport a un point qui a une singularite non emilinable en ce point. On y etend aussi les resultats de r. Mazzeo et f. Pacard au cas du probleme de yamabe defini sur un ouvert borne contenant deux points fixes. On donne une condition suffisante portant sur ces deux points pour qu'il existe une solution faible positive du probleme qui est singuliere en chacun de ces points.
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Fradon, Myriam. « Diffusions dégénerées, réfléchies ou a dérives singulières : Etude des lois et des formes de Dirichlet associées ». Paris 11, 1995. http://www.theses.fr/1995PA112204.
Texte intégralRésumé :
On etudie, en dimension finie, des processus reversibles de matrice de diffusion eventuellement degeneree, et leurs formes de dirichlet associees. On s'interesse d'abord au cas d'un processus reflechi reversible, de densite a chaque instant reguliere et de matrice de diffusion a autorisee a degenerer, dans une compactification d'un domaine a bord peu lisse. On construit la forme de dirichlet e associee a ce processus, et on montre grace a une suite d'approximations que le processus reflechi est une semi-martingale (cf pardoux et r. Williams). Puis, si e et la forme associee au brownien reflechi sont regulieres sur une meme compactification, on montre que la reflexion au bord se fait dans la direction conormale an, ou n est la direction de reflexion du brownien (cf chen). Dans la seconde partie, on etudie un processus similaire, mais sur l'espace tout entier, avec pour matrice de diffusion l'identite et pour densite a chaque instant le carre d'une fonction de h#1 (i. E. Un brownien plus un drift singulier). On presente deux nouvelles demonstrations, l'une analytique et l'autre probabiliste, de l'unicite markovienne pour la forme associee a ce processus (cf rockner et zhang). Comme application, on demontre que toute mesure stationaire d'energie finie pour ce processus est reversible. Dans la troisieme partie, on utilise les outils developpes dans la premiere pour etendre les resultats de la seconde au cas d'une matrice de diffusion generale (autorisee a degenerer). On demontre la regularite de la forme de dirichlet etudiee (mais pas l'unicite markovienne, faute de resultat de maximalite analogue a ceux du cas elliptique). On prouve egalement que, sous certaines hypotheses de bornitude des densites, les mesures stationnaires d'energie finie sont reversibles
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Duyckaerts, Thomas. « Etude haute fréquence de quelques problèmes d'évolution singuliers ». Paris 11, 2004. http://www.theses.fr/2004PA112321.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse est consacrée à l’éude haute fréquence de problèmes d'évolution linéaires, par des techniques d'analyse micro-locale. On y étudie deux types d'équations. Dans le premier chapitre, on s'intéresse à la décroissance des solutions d'énergie finie de l'équation linéaire de la magnéto-élasticité, qui modélise le comportement d’un solide élastique tri-dimensionnel (simplement connexe et borné) dans un champ magnétique. On montre d’abord une condition nécessaire et suffisante de stabilisation uniforme, portant sur la géométrie du domaine et l'orientation du champ magnétique. Lorsque cette condition n'est pas vérifiée, on prouve que l'énergie des solutions de données initiales suffisamment régulières décroît polynomialement. La démonstration de ces résultats repose sur l'étude d'inégalités d'observabilité sur le système de Lamé, réalisée par des arguments de propagation de mesures de défaut microlocales pour des solutions de ce système. Les deux chapitres suivants sont consacrés à un opérateur de Laplace P avec potentiel, sur l'espace euclidien, et aux équations de Schrödinger et des ondes associées. On s’intéresse à un potentiel V réel, petit à l’infini, et borné en dehors d’un ensemble fini de pôles, où il prend une valeur infinie. La singularité critique est en inverse quadratique de la distance à un pôle donné. Dans le but d'étendre à plusieurs singularités les travaux réalisés dans le cas unipolaire (qui peut se traiter à l'aide de calculs explicites), on établit dans le deuxième chapitre une inégalité haute fréquence sur la résolvante de P , qui implique notamment l’effet régularisant standard sur l'équation de Schrödinger correspondante. La démonstration repose encore sur l'introduction d'une mesure de défaut, mais dans un cadre semi-classique. Dans le troisième chapitre, on souligne le caractère critique des pôles en inverse quadratique en construisant un exemple de potentiel unipolaire, de l'ordre de l'inverse du carré de la distance au pôle, à un logarithme près, qui nie les inégalités usuelles sur la norme de l'opérateur et les estimations dispersives standard sur les équations d'évolutions correspondantesIn this work we study linear partial differential evolution equations from a micro-local point of view. Two types of equations appear. The first chapter is devoted to the decay of solutions of the linear equation of magneto-elasticity, which describes the displacement of a tridimensional, bounded, simply-connected solid in a constant exterior magnetic field. We first give a necessary and sufficient condition of uniform stability for finite energy solutions of the system. The condition involves the geometry of the domain and the direction of the magnetic field. When this condition is not satisfied, we show that solutions with smooth initial data decay at least polynomially. The proofs of the two results are based on the study of observability inequalities on the Lamé system, using propagation arguments on micro-local defect measures for high frequency solutions of the Lamé system. In chapter 2 and 3, we consider a Laplace operator P with a potential in the euclidian space and the related wave and Schrödinger equations. The real potential V, small at infinity, is bounded outside a finite number of poles, where it takes infinite values. The critical singularities are in inverse square of the distance to a given pole. In order to extend previous results on evolution equations for the one-pole operator (easier because some explicit calculations are possible), we show the usual non-trapping high frequency inequality on the resolvent of P. This inequality implies the well known local smoothing effect with gain of one half derivative on the Schrödinger equation. The proof is also based on the use of a micro-local defect measure, but in a semi-classical context. The third chapter emphasizes the critical nature of inverse square singularities. An example of an unipolar potential is given, of the order of an inverse square up to a logarithm correction, for which high frequency inequalities on the resolvent of P fail. Furthermore, some solutions of the corresponding wave and Schrödinger equations are shown to contradict all the standard dispersive estimates that hold for the free equations
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Léautaud, Matthieu. « Quelques problèmes de contrôle d'équations aux dérivées partielles : inégalités spectrales, systèmes couplés et limites singulières ». Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00607240.
Texte intégralRésumé :
Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité de différentes équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à la méthode de Lebeau-Robbiano pour le contrôle des équations paraboliques linéaires. On étend tout d'abord cette méthode à des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, montrant une inégalité spectrale ainsi que la contrôlabilité de l'équation parabolique associée. On prouve ensuite ces deux propriétés pour un modèle de transmission à travers une interface, pour lequel la condition de transmission implique une diffusion tangentielle. La preuve repose sur une inégalité de Carleman, uniforme par rapport au petit paramètre représentant l'épaisseur de l'interface. Dans la deuxième partie, on analyse les propriétés de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires couplées par des termes d'ordre zéro. Après avoir étudié la stabilisation de deux équations d'ondes, dont une seulement est amortie, on montre la contrôlabilité en temps grand d'un système similaire au moyen d'un seul contrôle, sous des conditions géométriques optimales sur les zones de contrôle et de couplage. Par des méthodes d'analyse microlocale, on obtient de plus la contrôlabilité de systèmes d'ondes en cascade, ainsi que l'expression exacte du temps minimal de contrôle. On déduit de ces résultats la contrôlabilité des systèmes paraboliques associés, dans des situations où les zones de contrôle et de couplage sont disjointes. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la contrôlabilité uniforme de perturbations visqueuses de lois de conservation scalaires, dans la limite de viscosité évanescente. On montre la contrôlabilité exacte globale aux états constants au moyen de contrôles uniformément bornés lorsque la viscosité tend vers zéro.
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Grillot-Mousny, Michèle. « Sur la construction de solutions d'équations elliptiques non linéaires singulières sur une sous-variété ». Tours, 1996. http://www.theses.fr/1996TOUR4003.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse se divise en trois parties. Dans la première partie, nous étudions l'existence, l'unicité et le comportement asymptotique des solutions d'équations elliptiques non linéaires dans un ouvert régulier, qui explosent sur le bord. La deuxième partie est consacrée à la classification des comportements asymptotiques à l'origine des solutions radiales de perturbations d'équations de type emden-fowler. La troisième partie est la plus importante. Nous construisons des solutions de différents types d'équations elliptiques non linéaires, singulières sur une sous-variété, en prescrivant leurs comportements asymptotiques au voisinage de cette sous-variété. Nous montrons aussi l'unicité de la solution dans une classe donnée
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Motron, Mélissa. « Extrémales pour certaines inégalités de Sobolev singulières et critiques : Approximation numérique d'ensembles propres pour le 1-Laplacien ». Cergy-Pontoise, 2002. http://www.theses.fr/2002CERG0176.
Texte intégralRésumé :
Ce travail de thèse se divise en trois parties distinctes. La première partie concerne des problèmes variationnels associés au 1-Laplacien : un article est consacré à la recherche des meilleures constantes et des extrémales dans l'inégalité de trace de W1,1(?) dans L1(??), et un deuxième travail porte sur l'étude de la première valeur propre du 1-Laplacien. La seconde partie donne des résultats d'existence de solutions non triviales pour des EDP non linéaires du quatrième ordre. La troisième partie présente une méthode pour prouver l'existence d'une solution à des problèmes faisant intervenir le p-Laplacien avec condition de Neuman non linéaire au bordThis thesis is divided in three distinct parts. The first one is concerned with variational problems involving the 1-Laplacian : an article is devoted to the best constants and extremals for the Sobolev trace map from W1,1(?) into L1(??), and a second work is about the first eigenvalue for the 1-Laplacian. The second part gives existence results for nonlinear PDEs of fourth order. The third part presents a method to prove the existence of a solution to problems involving the p-Laplacian with a Neuman condition on the boundary
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Smoch, Laurent. « Application des méthodes de Krylov à la résolution de systèmes singuliers ». Littoral, 1999. http://www.theses.fr/1999DUNK0029.
Texte intégralRésumé :
Nous étudions dans cette thèse les méthodes de sous-espaces de Krylov appliquées à la résolution des systèmes singuliers consistants. Les méthodes utilisées, qu'elles soient de Galerkin ou de semi-minimisation du résidu, construites à partir du processus de Hessenberg généralisé, font intervenir de nouveaux résultats quant à la détermination d'une solution de Krylov. Dans un premier temps, on montre dans le cadre de l'arithmétique exacte et de la précision finie que la détermination d'une solution de Krylov dépend du vecteur initial utilisé dans la méthode et, plus précisément, de sa décomposition sur les sous-espaces caractéristiques associés à la matrice du système étudié. Des précisions sont également apportées au niveau des dégénérescences rencontrées par la méthode GMRES ainsi que de nouveaux résultats sur sa version redémarrée. De nouvelles considérations sont introduites quant au traitement numérique de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires dépendant d'un paramètre. Dans certains cas, elles font intervenir des systèmes singuliers dont la matrice admet une multiplicité géométrique égale à 1, condition suffisante à l'obtention d'une solution de Krylov. Tous ces exemples pratiques et leur traitement numérique montrent par conséquent qu'il existe des alternatives aux dégénérescences rencontrées par les algorithmes utilisésIn this thesis we study the Krylov subspace methods applied to the solution of consistent singular systems. The methods in use today which are Galerkin methods or minimal residual seminorm methods, built help to the Hessenberg generalized process, call in some new results about the determination of a Krylov solution. We show first, that in exact arithmetic or in finite precision, the determination of a Krylov solution depends on the initial vector used in the method and more precisely, on its decomposition on the characteristics subspaces associated to the matrix of the studied system. Some precision are also given about the breakdowns occurring in the GMRES method and on its restarted version. Some new considerations are brought about the numerical treatment of some nonlinear partial differential equations depending on a parameter. In some cases, they call in singular systems whose matrix admits some Jordan blocks associated to the zero eigenvalue of maximal size 1, which is a sufficient condition to obtain a Krylov solution. All these practical examples and their numerical treatment prove therefore that there exists alternatives to the breakdowns occurring in the algorithms
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Saoudi, Kamel. « Etude de quelques problèmes quasilinéaires elliptiques singuliers ». Toulouse 1, 2009. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00412365v2.
Texte intégralRésumé :
L'objet de cette thèse concerne l'étude de quelques problèmes elliptiques singuliers. Précisément, dans le chapitre 2, nous abordons la question de la multiplicité de solutions pour un problème elliptique critique singulier en dimension N = 3. Dans le chapitre 3, Nous discutons la validité de la proprieté C1 versus W0 1;p minimiseurs de l'energie pour un problème quasilinéaire elliptique singulier. Enfin, dans le chapitre 4, nous présentons des résultats de bifurcation globale pour un problème semilinéaire elliptique singulier et critique en dimension 2 avec croissance sur-exponentielleThis thesis concerns the study od some singular elliptic problems. Precisely, in Chapter 2, we investigate the question of multiplicity of solutions for a singular problem with critical growth in dimension N = 3. In Chapter 3, we investigate the validity of C1 versus W0 1;p energy minimisers for a quasilinear elliptic singular problem. In Chapter 4, we present global bifurcation results for a semilinear elliptic singular problem with critical growth in dimension 2 with exponentiel growth
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Diop, Awa. « Sur la discrétisation et le comportement à petit bruit d'EDS unidimensionnelles dont les coefficients sont à dérivées singulières ». Nice, 2003. http://www.theses.fr/2003NICE4069.
Texte intégralRésumé :
La première partie de cette thèse traite de l’approximation de solutions d’équations différentielles stochastiques unidimensionnelles à coefficients non Lipschitziens. Notre attention s’est focalisée sur deux classes d’équations très utilisées en finance. Nous considérons d’abord une généralisation des modèles de Cox-Ingersoll-Ross et de Hull & White ; le coefficient de dérive est à dérivées bornées, alors que le coefficient de diffusion est du type σ (x) = xα, avec ½ ≤ α < 1. Nous considérons ensuite l’EDS vérifiée par un processus de Bessel ; le coefficient de dérive est du type C sur x, avec C > 0 et présente donc une singularité en zéro. Nous nous plaçons sous des hypothèses qui assurent l’existence et l’unicité de solutions à trajectoires strictement positives presque sûrement et proposons des schémas de discrétisation qui préservent la positivité des processus approchés. Nous obtenons d’une part la vitesse de convergence faible des schémas pour une classe de fonctions tests régulières et, d’autre part, nous analysons par une méthode de changement de temps la vitesse de convergence forte du schéma dans le cas où le coefficient de diffusion est du type σ (x) = xα. La deuxième partie de la thèse aborde le problème du comportement asymptotique de la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP) parabolique à coefficient du premier ordre discontinu lorsque la viscosité tend vers zéro. Nous montrons que sous une hypothèse de monotonie sur le coefficient du premier ordre, la solution converge faiblement vers la « solution mesure » de l’équation de transport associéeThe first part of this thesis is devoted to the approximation of one-dimensional stochastic differential equations (SDE) with non Lipschitz coefficients. More precisely, we consider two classes of equations which are often used in finance. We first consider a generalization of Cox-Ingersoll-Ross and Hull & White models ; the drift coefficient has bounded derivatives whereas the diffusion coefficient is of type σ (x) = xα, with ½ ≤ α < 1. We then consider a SDE solved by a Bessel process ; the drift coefficient is of type C on α, with C > 0 and thus presents a singularity at zero. Under our assumptions, one has existence and uniqueness of solution with almost surely strictly positive trajectories. For these two SDE’s we propose a discretization schemes which preserve the positivity of the approximated processes. On one hand we obtain the convergence rate in the weak sense when the test functions are smooth. On the other hand, we analyze the convergence rate in the strong sense in the case where the diffusion coefficient is of type σ (x) = xα. In the second part of this thesis, we consider the problem of the asymptotic behaviour of the solution of a parabolic partial differential equation (PDE) with discontinuous first order coefficient when the viscosity goes to zero. Under a monotonicity assumption on the first order coefficient, we show that the solution converges weakly towards the “measure solution” of the corresponding transport equation
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Morancey, Morgan. « Contrôle d'équations de Schrödinger et d'équations paraboliques dégénérées singulières ». Phd thesis, Ecole Polytechnique X, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00910985.
Texte intégralRésumé :
Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse sur le contrôle d'équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles autour de deux axes : la non contrôlabilité en temps petit avec des contrôles petits et la contrôlabilité simultanée. On établit un cadre pour lequel, bien que la vitesse de propagation du système soit infinie, la contrôlabilité exacte locale avec des contrôles petits est vérifiée si et seulement si le temps est suffisamment grand. Ces résultats, basés sur la coercivité d'une forme quadratique associée au développement de l'état à l'ordre deux, sont étendus dans le contexte de la contrôlabilité simultanée. On montre alors, en utilisant la méthode du retour de J.-M.~Coron, des résultats de contrôle exact local simultané pour deux ou trois équations, à phase globale et/ou à retard global près. La trajectoire de référence utilisée est construite via des résultats de contrôle partiel. En utilisant un argument de perturbation, on étend cette idée pour montrer la contrôlabilité exacte globale d'un nombre quelconque d'équations sans hypothèse sur le potentiel. Dans la deuxième partie, on prend en compte dans le modèle un terme supplémentaire quadratique en le contrôle. Ce terme, dit de polarisabilité, généralement négligé, présente un intérêt physique dans la modélisation, mais aussi mathématique dans le cas où le terme bilinéaire est insuffisant pour conclure à la contrôlabilité. En dimension quelconque, on construit des contrôles explicites réalisant la contrôlabilité approchée de l'état fondamental. En adaptant conjointement l'argument de perturbation précédent et certains résultats du contrôle bilinéaire, on prouve la contrôlabilité globale exacte de l'équation de Schrödinger avec polarisabilité 1D. La dernière partie de ce mémoire est consacrée à l'étude de la continuation unique pour un opérateur de type Grushin sur un rectangle 2D. Cet opérateur présente une singularité et une dégénérescence sur un segment séparant le domaine en deux composantes. On donne une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient du potentiel singulier pour obtenir la continuation unique.
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Barles, Guy. « Contribution à la théorie des solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre et applications à des problèmes de contrôle optimal et de perturbations singulières ». Paris 9, 1988. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=1988PA090004.
Texte intégralRésumé :
Nous présentons dans ce travail divers résultats concernant les équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre ainsi que leurs applications à certains problèmes de contrôle optimal déterministe et de perturbations singulières. La première partie est consacrée à l'étude des solutions continues: nous donnons divers résultats d'existence, d'unicité et de régularité à la fois locale et globale). La deuxième partie décrit une étude systématique des solutions discontinues: elle fournit une approche générale très simple des problèmes de temps de sortie, de contrôle non-borne et de perturbations singulières, avec, en particulier, des applications dans le cadre des grandes déviations
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Bougherara, Brahim. « Problèmes non-linéaires singuliers et bifurcation ». Thesis, Pau, 2014. http://www.theses.fr/2014PAUU3012/document.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires. Précisément, nous nous sommes intéressés à une classe de problèmes elliptiques et paraboliques avec coefficients singuliers. Ce manque de régularité pose un certain nombre de difficultés qui ne permettent pas d’utiliser directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire fondées entre autres sur des résultats de compacité. Dans les démonstrations des principaux résultats, nous montrons comment pallier ces difficultés. Ceci suppose d’adapter certaines techniques bien connues mais aussi d’introduire de nouvelles méthodes. Dans ce contexte, une étape importante est l’estimation fine du comportement des solutions qui permet d’adapter le principe de comparaison faible, d’utiliser la régularité elliptique et parabolique et d’appliquer dans un nouveau contexte la théorie globale de la bifurcation analytique. La thèse se présente sous forme de deux parties indépendantes. 1- Dans la première partie (chapitre I de la thèse), nous avons étudié un problème quasi-linéaire parabolique fortement singulier faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien. On a démontré l’existence locale et la régularité de solutions faibles. Ce résultat repose sur des estimations a priori obtenues via l’utilisation d’inégalités de type log-Sobolev combinées à des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. On démontre l’unicité de la solution pour un intervalle de valeurs du paramètre de la singularité en utilisant un principe de comparaison faible fondé sur la monotonie d’un opérateur non linéaire adéquat. 2- Dans la deuxième partie (correspondant aux Chapitres II, III et IV de la thèse), nous sommes intéressés à l’étude de problèmes de bifurcation globale. On a établi pour ces problèmes l’existence de continuas non bornés de solutions qui admettent localement une paramétrisation analytique. Pour établir ces résultats, nous faisons appel à différents outils d’analyse non linéaire. Un outil important est la théorie analytique de la bifurcation globale qui a été introduite par Dancer (voir Chapitre II de la thèse). Pour un problème semi linéaire elliptique avec croissance critique en dimension 2, on montre que les solutions le long de la branche convergent vers une solution singulière (solution non bornée) lorsque la norme des solutions converge vers l’infini. Par ailleurs nous montrons que la branche admet une infinité dénombrable de "points de retournement" correspondant à un changement de l’indice de Morse des solutions qui tend vers l’infini le long de la brancheThis thesis is concerned with the mathematical study of nonlinear partial differential equations. Precisely, we have investigated a class of nonlinear elliptic and parabolic problems with singular coefficients. This lack of regularity involves some difficulties which prevent the straight-orward application of classical methods of nonlinear analysis based on compactness results. In the proofs of the main results, we show how to overcome these difficulties. Precisely we adapt some well-known techniques together with the use of new methods. In this framework, an important step is to estimate accurately the solutions in order to apply the weak comparison principle, to use the regularity theory of parabolic and elliptic equations and to develop in a new context the analytic theory of global bifurcation. The thesis presents two independent parts. 1- In the first part (corresponding to Chapter I), we are interested by a nonlinear and singular parabolic equation involving the p-Laplacian operator. We established for this problem that for any non-negative initial datum chosen in a certain Lebeque space, there exists a local positive weak solution. For that we use some a priori bounds based on logarithmic Sobolev inequalities to get ultracontractivity of the associated semi-group. Additionaly, for a range of values of the singular coefficient, we prove the uniqueness of the solution and further regularity results. 2- In the second part (corresponding to Chapters II, III and IV of the thesis), we are concerned with the study of global bifurcation problems involving singular nonlinearities. We establish the existence of a piecewise analytic global path of solutions to these problems. For that we use crucially the analytic bifurcation theory introduced by Dancer (described in Chapter II of the thesis). In the frame of a class of semilinear elliptic problems involving a critical nonlinearity in two dimensions, we further prove that the piecewise analytic path of solutions admits asymptotically a singular solution (i.e. an unbounded solution), whose Morse index is infinite. As a consequence, this path admits a countable infinitely many “turning points” where the Morse index is increasing
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Aibeche, Aïssa. « Quelques problèmes non linéaires dans des domaines à frontière polygonale, comportement singulier de la solution ». Nice, 1985. http://www.theses.fr/1985NICE4052.
Texte intégral
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Buffe, Rémi. « Inégalités de Carleman près du bord, d’une interface et pour des problèmes singuliers ». Thesis, Orléans, 2017. http://www.theses.fr/2017ORLE2059/document.
Texte intégralRésumé :
Dans la première partie de ce mémoire, on s’attache à l’obtention d’Inégalités de Carleman elliptiques pour des opérateurs d’ordre deux au bord pour des conditions dites de Ventcel. Dans une seconde partie, on démontre une Inégalité adaptée aux multi-interfaces, pour des opérateurs elliptiques d’ordre quelconque, sous la condition classique de sous-ellipticité de Hörmander, ainsi que sous une condition de compatibilité entre les opérateurs sur la multi-interface et l’intérieur, dite de recouvrement. Cette condition généralise la condition de Lopatinskii. Enfin, dans une troisième partie, on s’intéresse à la contrôlabilté de l’équation de la chaleur et la stabilisation faible de l’équation des ondes dans des domaines polygonauxIn the first part of this thesis, we derive elliptic Carleman estimates for second-order operators with Ventcel boundary conditions. In the second part, we prove a proper estimate near multi-interfaces for elliptic operatorsof any order, under the classical sub-ellipticity condition of Hörmander and under a compatibility condition between the operators in the interior and at the multi-interface, called the covering condition. This condition is a generalization of the well-known Lopatinskii condition. Finally, in the third part, we focus on controllability properties of the heat equation, and stabilization properties of the wave equation for polygonal domains, with mixed boundary conditions
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Merlet, Benoît. « Sur quelques équations aux dérivées partielles et leur analyse numérique ». Paris 11, 2004. http://www.theses.fr/2004PA112162.
Texte intégralRésumé :
Les travaux présentés dans cette thèse concernent l'étude théorique ou/et numérique de quatre Equation aux Dérivées Partielles de nature différente. Le premier chapitre traite de systèmes hyperboliques non conservatifs en dimension un d'espace. Contrairement au cas conservatif, la théorie des distributions ne donne pas de sens naturel à la notion de choc pour ces systèmes. Nous proposons et étudions ici une définition pour les courbes de chocs associées à de tels systèmes. Cette définition est très simple et implantable dans un solveur de Riemann. Le second chapitre concerne la simulation numérique du flot des applications harmoniques axisymétriques de D^2 à valeur dans S^2. Nous utilisons la notion d'énergie relaxée pour construire des solutions non standard de ce flot qui tiennent compte de l'énergie perdue par concentration. Pour simuler ces solutions, nous utilisons une méthode d'Eléments Finis Mobiles qui permet de capter efficacement les singularités. Au troisième chapitre, nous abordons le problème de Cauchy avec condition initiale et donnée au bord pour l'équation de Kadomtsev-Petviashvili II posée sur une bande. De plus nous traitons le cas du demi-plan et nous montrons un résultat de convergence. Le dernier chapitre concerne la vérification numérique d'une conjecture de Guy David liée à la fonctionnelle de Mumford-Shah. Nous ramenons l'étude à un problème spectral pour l'opérateur Laplacien avec conditions de Neumann sur un sous-domaine de S^2 possédant des angles rentrants. Nous utilisons la méthode du complément singulier pour calculer des approximations précises des coefficients singuliers du premier vecteur propre de l'opérateurIn this thesis, four Partial Differential Equations of different nature are studied, numerically or/and theoretically. The first part deals with non-conservative hyperbolic systems in one space dimension. In the case of non-conservative hyperbolic systems, several definitions of shock waves exist in the literature, in this paper, we propose and study a new, very simple one in the case of genuinely non-linear fields. The second part is concerned with the Harmonic Map flow. We build solutions to the harmonic map flow from the unit disk into the unit sphere which have constant degree, in a co-rotational symmetric frame. First we prove the existence of such solutions, using a time semi-discrete scheme then we compute numerically these solutions by a moving-mesh method which allows us to deal with the singularities. The third part deals with the initial-and-boundary value problem for the Kadomtse-Petviashvili II equation posed on a strip with a Dirichlet left boundary condition and two kinds of conditions on the right boundary. Moreover we treat the case of the half plane and we show a result of convergence. In the last part, we investigate by numerical means a conjecture proposed by Guy David about the existence of a new Global Minimizer for the Mumford-Shah Functional in R^3. We are led to study a spectral problem for the Laplace operator with Neumann boundary conditions on a two dimensional subdomain of the sphere S^2 with reentrant corners. In particular, we have to compute the first eigenvector of this operator and accurate approximations of the singular coefficients of this eigenvector at each corner. For that we use the Singular Complement Method
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Prandi, Dario. « Géométrie et analyse des systèmes de commande avec dérive : planification des mouvements, évolution de la chaleur et de Schrödinger ». Phd thesis, Ecole Polytechnique X, 2013. http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00878567.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse traite de deux problèmes qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique, et qui concernent les systèmes de contrôle avec dérive, c'est-à-dire de la forme $\dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q)$. Dans la première partie de la thèse, on généralise le concept de complexité de courbes non-admissibles, déjà bien compris pour les systèmes sous-riemanniens, au cas des systèmes de contrôle avec dérive, et on donne des estimations asymptotiques de ces quantités. Ensuite, dans la deuxième partie, on considère une famille de systèmes de contrôle sans dérive en dimension 2 et on s'intéresse à l'operateur de Laplace-Beltrami associé et à l'évolution de la chaleur et des particules quantiques qu'il définit. On étudie plus particulièrement l'effet qu'a l'ensemble où les champs de vecteurs contrôlés deviennent colinéaires sur ces évolutions.
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Rainero, Sophie. « Sur les propriétés des solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades à horizon aléatoire ou déterministe. Principes de grandes déviations et applications à des problèmes de perturbations singulières pour des équations aux dérivées partielles non linéaires ». Paris 9, 2006. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=2006PA090008.
Texte intégralRésumé :
Nous montrons des principes de grandes déviations pour des solutions d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades à horizon déterministe, et nous donnons une application de ces résultats à la théorie de la gestion du risque de crédit. Nous étudions également l'existence, l'unicité et la stabilité des solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades à horizon aléatoire sous de nouvelles hypothèses. Nous établissons des principes de grandes déviations pour les solutions de telles équations, construites à partir d'une famille de processus de Markov dont le coefficient de diffusion tend vers zéro. Nous en déduisons des résultats de convergence de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires, elliptiques et paraboliques, qui étendent ceux de Freidlin et WentzellWe prove large deviations principles for solutions of forward-backward stochastic differential equations with determinist terminal time, and we give an application of these results to the theory of credit risk management. We also study the existence, uniqueness and stability of solutions of backward stochastic differential equations with random terminal time under new assumptions. We establish large deviations principles for the solutions of such equations, related to a family of Markov processes, the diffusion coefficient of which tends to zero. We deduce from these results some theorems of convergence of solutions of non linear partial differential equations, elliptic and parabolic, which extend Freidlin and Wentzell's
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Prandi, Dario. « Geometry and analysis of control-affine systems : motion planning, heat and Schrödinger evolution ». Palaiseau, Ecole polytechnique, 2013. http://pastel.archives-ouvertes.fr/docs/00/87/85/67/PDF/main.pdf.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse traite de deux problèmes qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique, et qui concernent les systèmes de contrôle avec dérive, c'est-à-dire de la forme \dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q). Dans la première partie de la thèse, on généralise le concept de complexité de courbes non-admissibles, déjà bien compris pour les systèmes sous-riemanniens, au cas des systèmes de contrôle avec dérive, et on donne des estimations asymptotiques de ces quantités. Ensuite, dans la deuxième partie, on considère une famille de systèmes de contrôle sans dérive en dimension 2 et on s'intéresse à l'operateur de Laplace-Beltrami associé et à l'évolution de la chaleur et des particules quantiques qu'il définit. On étudie plus particulièrement l'effet qu'a l'ensemble où les champs de vecteurs contrôlés deviennent colinéaires sur ces évolutionsThis thesis is dedicated to two problems arising from geometric control theory, regarding control-affine systems \dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q), where f_0 is called the drift. In the first part we extend the concept of complexity of non-admissible trajectories, well understood for sub-Riemannian systems, to this more general case, and find asymptotic estimates. Then, in the second part of the thesis, we consider a family of 2-dimensional driftless control systems. For these, we study how the set where the control vector fields become collinear affects the evolution of the heat and of a quantum particle with respect to the associated Laplace-Beltrami operator
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Neji, Ali. « Existence unicité et régularité de solutions de problèmes non linéaires et complètement non linéaires elliptiques singuliers ». Thesis, Cergy-Pontoise, 2019. http://www.theses.fr/2019CERG1017.
Texte intégralRésumé :
Dans cette thèse on s'intéresse à l'existence, et la régularité pour des équations aux dérivées partielles non linéaires relatives au p-Laplacien , avec des termes d'ordre critiques ou sous critique, utilisant dans un cas le lemme du col d'Ambrozetti Rabinowitz, dans l'autre la concentration compacité de P L Lions. On considère ensuite un problème qui présente un terme d'ordre zéro qui "explose " près du bord, sur le modèle d'un article de Lazer mackenna, la différence essentielle étant ici que l'on a aussi un terme d'ordre 0 linéaire, qui demande donc l'utilisation de certaines fonctions propres. Une généralisation de ce problème à des cas complètement non linéaires et donc à des solutions de viscosité est étudiée dans la dernière partie de la thèseWe studied in this thesis the properties of existence and regularity for various nonlinear partial differential equations of elliptic type. We proved the existence of weak solutions to certain problems involving the p-Laplacian operator using critical point theory and the mountain pass theorem . We have also showed the existence of viscosity solutions for singular equations involving fully nonlinear operators
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El, Amri Hassan. « Analyse numérique et résultats d'existence pour quelques modèles de problèmes physiques : vibrations d'une barre mince sous contraintes, écoulements quasi-newtoniens, écoulements en milieux poreux ». Lyon 1, 1990. http://www.theses.fr/1990LYO10006.
Texte intégralRésumé :
Les travaux presentes concernent l'etude des modeles d'equations aux derives partielles. Ils peuvent etre classes en deux parties. 1ere partie: analyse numerique de certaines methodes d'elements finis. Elle comprend trois articles: le premier etudie les vibrations d'une barre mince encastree sous tension. Le probleme qui gouverne le phenomene est un probleme spectral en perturbations singulieres elliptique-elliptique. On presente une methode couplant un developpement asymptotique avec des termes correcteurs et une methode d'elements finis. Le deuxieme et le troisieme article concernent les estimateurs a posteriori d'erreur pour le calcul d'ecoulements de fluides quasi-newtoniens. Ils sont utilises dans une methode d'elements finis avec maillage auto-adaptatif. 2eme partie: etude de modeles d'ecoulements de fluides en milieux poreux. Elle comprend deux articles: le premier concerne la largeur critique d'une fissure dans un milieu poreux periodique. Dans le cadre d'ecoulement d'un fluide suivant la loi de stokes dans un milieu poreux fissure on etudie le comportement limite de l'ecoulement. On determine la largeur critique de fissure correspondant a un reel echange entre les deux milieux. Dans le deuxieme article on montre l'existence de solutions pour le probleme d'ecoulements diphasiques incompressibles immiscibles dans un gisement a deux types de roches. Le probleme est constitue d'un systeme d'equations elliptiques couple avec une equation parabolique non lineaire degeneree de type diffusion-convection avec des conditions de transmission non lineaires
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Gérard, Christian. « Propagation de la polarisation pour des problèmes aux limites ». Paris 11, 1986. http://www.theses.fr/1986PA112261.
Texte intégralRésumé :
Opérateurs pseudo-différentiels et Fourier intégraux totalement caractéristiques. Front d'onde polarise d'une distribution vectorielle et propagation à l'intérieur. Systèmes de type principal réel et propagation de la polarisation le long des caractéristiques transversales et tangentes du bord. Propagation de la polarisation pour des problèmes aux limites. Propagation de la polarisation pour des problèmes aux limites. Propagation de la polarisation dans des domaines convexes pour les bicaracteristiques
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Mokrani, Houda. « Étude d'une classe d'équations aux dérivées partielles semi-linéaires sur le groupe de Heisenberg ». Phd thesis, Université de Rouen, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00461835.
Texte intégralRésumé :
L'objectif de cette thèse est l'étude d'une classe d'équations aux dérivées partielles sous-elliptiques semi-linéaires avec un potentiel singulier sur le groupe de Heisenberg. Le terme non linéaire de cette équation est contrôlée par les inégalités de Sobolev et la singularité est contrôlé par l'inégalité de Hardy. Ce problème est une généralisation du problème classique de l'espace euclidien. Le premier résultat de cette thèse est une généralisation de l'inégalité classique Hardy avec un potentiel singulier dont la croissance est exactement l'analogue de celle du cas classique. Le second résultat est d'établir l'existence de solution du problème de Dirichlet semi-linéaire avec un potentiel singulier sur le groupe de Heisenberg en utilisant la théorie de points critiques, comme le théorème de Rabinowitz et de Palais-Smale.
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Laurain, Antoine. « Domaines singulierements perturbes en optimisation de formes ». Phd thesis, Université Henri Poincaré - Nancy I, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00139595.
Texte intégralRésumé :
En optimisation de formes, de nombreux résultats ont déjà été obtenus dans le cas de domaines à frontière régulière et pour des perturbations régulières de ces domaines.
Par contre, l'étude de domaines non-réguliers, tels que des domaines fissurés par exemple,
et l'étude de perturbations singulières telles que la création d'un trou dans un domaine est
plus récente et plus complexe. Ce nouveau domaine de recherche est motivé par de multiples
applications, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées. Les
outils tels que la dérivée topologique permettent d'appréhender ces perturbations singulières
de domaines et leur utilisation est maintenant fréquente.
Dans la première partie, nous étudions la structure de la dérivée de forme pour des domaines fissurés. Dans le cas d'un ouvert régulier, de classe C1 ou lipschitzien par exemple,
la dérivée dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de
la normale. Ce théorème de structure n'est plus valable pour des domaines contenant des
fissures. On généralise ici ce théorème de structure aux domaines fissurés en dimension quelconque pour les dérivées premières et secondes. En dimension deux, on retrouve le résultat
usuel, à savoir qu'en plus du terme classique, deux nouvelles contributions apparaissent dûes
aux extrémités de la fissure. En dimension supérieure, un nouveau terme apparaît en plus du
terme classique, dû à la frontière de la variété à bord représentant la fissure.
Dans la deuxième partie, nous étudions la perturbation singulière d'un domaine et nous
modélisons cette perturbation à l'aide d'extensions auto-adjointes d'opérateurs. Nous décrivons cette modélisation, puis nous montrons comment elle peut être utilisée pour un problème
d'optimisation de forme. En définissant une fonctionnelle d'énergie approchée pour ce problème modèle, on retrouve notamment la formule de la dérivée topologique usuelle.
Dans la troisième partie, on propose une application numérique de la dérivée topologique
et de la dérivée de forme pour un problème non-linéaire. On cherche à maximiser l'énergie
associée à la solution d'un problème de Signorini dans un domaine . L'évolution du domaine
est représentée à l'aide d'une méthode levelset.
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Mellet, Antoine. « Etude asymptotique des équations cinétiques : applications à la modélisation des phénomènes de transport ». Toulouse 3, 2002. http://www.theses.fr/2002TOU30192.
Texte intégral
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Bonnaillie-Noël, Virginie. « Analyse asymptotique, spectrale et numérique pour quelques problèmes elliptiques issus de la physique ou de la mécanique ». Habilitation à diriger des recherches, Université Rennes 1, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00650033.
Texte intégralRésumé :
Mes travaux de recherche sont liés à l'analyse asymptotique, l'approximation numérique et la théorie spectrale de problèmes elliptiques. J'allie les résultats théoriques et les simulations numériques pour préciser le comportement des solutions : la théorie permettant de proposer des méthodes numériques plus performantes et de prévoir certaines difficultés numériques, les simulations illustrant parfois des comportements plus fins que ceux démontrés jusque-là ou suggérant de nouvelles conjectures. Ce document se découpe en quatre chapitres, chacun correspondant à un thème de recherche. Le premier thème de recherche que je vais aborder concerne l'analyse mathématique de la supraconductivité qui était le sujet de ma thèse. Cette thématique a fait l'objet de collaborations avec F. Alouges, M. Dauge, S. Fournais, B. Helffer, D.~Martin, N. Popoff, N. Raymond et G. Vial. Notre objectif est de comprendre l'influence de la géométrie du matériau sur l'apparition de la supraconductivité. La première étape consiste à étudier le spectre de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique dans les domaines à coins. Nous avons établi un développement asymptotique des modes propres et montré que les vecteurs propres avaient une structure double échelle, ce qui rend les simulations numériques très délicates. Nous avons proposé une approche basée sur la méthode d'éléments finis nodaux de haut degré et mis en évidence l'effet tunnel pour des domaines symétriques. Ces résultats ont ensuite permis d'étudier les minimiseurs de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau et d'établir la localisation du paramètre d'ordre qui rend compte de la densité des électrons supraconducteurs, lorsqu'on abaisse progressivement le champ magnétique appliqué. Très peu d'études avaient été réalisées pour les domaines à coins. Nous en avons maintenant une compréhension assez précise en dimension 2. Récemment, nous avons commencé l'étude en dimension 3 dans le cadre de la thèse de N. Popoff, avec M. Dauge. La deuxième partie de ce document présente un modèle simplifié pour le transport quantique dans des diodes à effet tunnel résonant. Elle résulte de collaborations avec A. Faraj, F. Nier et Y. Patel. Ce dernier a réalisé une analyse asymptotique fine de systèmes de Schrödinger-Poisson stationnaires, non linéaires uni-dimensionnels dans un régime hors-équilibre. Nous avons proposé une adaptation numérique de cette analyse afin de déterminer rapidement des diagrammes courant-tension et de bifurcation et montré la pertinence de ce modèle réduit en le comparant à un modèle 1D de Schrödinger-Poisson avec traitement numérique complet des états résonnants. Dans le cadre du projet ANR jeunes chercheurs n° JCJC06-139561 Macadam, je me suis intéressée à l'analyse multi-échelle et numérique de problèmes elliptiques perturbés, en collaboration avec D. Brancherie, M. Dambrine, S. Tordeux, F. Hérau et G. Vial. Ce projet consiste à étudier l'influence de petites perturbations géométriques sur la solution de problèmes elliptiques. Les cas d'une inclusion isolée ou de plusieurs bien séparées ont été largement étudiés. Nous considérons plus précisément le cas où la distance entre deux inclusions tend vers zéro mais reste grande par rapport à leur taille caractéristique. Nous donnons un développement asymptotique multi-échelle complet de la solution de l'équation de Laplace dans la situation de deux inclusions. Nous présentons également quelques simulations numériques basées sur une méthode de superposition multi-échelle de la solution non perturbée et d'un profil (solution normalisée de l'équation de Laplace dans le domaine extérieur obtenu par blow-up de la perturbation). Nous étendons ces techniques aux équations de l'élasticité linéaire afin de prédire le comportement à rupture de certains matériaux présentant des micro-défauts. Nous avons également proposé des méthodes pour calculer effectivement les profils intervenant dans le développement asymptotique. Ceci a soulevé des questions mathématiques liées à la perte de coercivité provenant de conditions de Ventcel dégénérées. Le dernier chapitre propose quelques résultats sur les partitions minimales, en collaboration avec B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, C. Léna et G. Vial. Nous souhaitons comprendre le lien entre la $k$-partition minimale, pour laquelle la plus grande première valeur propre du Laplacien-Dirichlet sur les $k$ sous-domaines est minimale parmi les $k$-partitions, et les ensembles nodaux des vecteurs propres du Laplacien avec condition de Dirichlet. Nous nous sommes focalisés sur le cas $k=3$ pour lequel on ne connaît pas, en général, de partition optimale même pour des géométries très simples telles que le carré ou le disque. En se restreignant aux configurations symétriques, nous utilisons la méthode d'éléments finis pour exhiber des candidats aux 3-partitions minimales symétriques du disque, du carré ou d'autres géométries. Cette étude numérique nous a conduits à des problèmes d'isospectralité que nous avons résolus en utilisant le Hamiltonien de Aharonov-Bohm. L'introduction de cet opérateur pour résoudre une question théorique a ouvert une nouvelle piste numérique qui consiste à calculer les modes propres par une méthode d'éléments finis sur un revêtement à deux feuillets et d'étudier le comportement des lignes nodales en fonction du point singulier. Cela nous a permis de dégager de nouveaux candidats aux partitions minimales.
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Baudouin, Lucie. « Contributions à l'étude de l'équation de Schrödinger : problème inverse en domaine borné et contrôle optimal bilinéaire d'une équation de Hartree-Fock ». Phd thesis, Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007684.
Texte intégralRésumé :
L'objet de cette thèse est l'étude de quelques propriétés de l'équation d'évolution de Schrödinger. Dans un premier temps, on s'intéresse à un problème inverse concernant cette équation posée en domaine borné, avec potentiel, lequel dépend uniquement de la variable d'espace, et donnée de Dirichlet sur le bord. On démontre, à l'aide d'une inégalité de Carleman, que le problème inverse de la détermination du potentiel à partir de la mesure du flux de la solution à travers une partie du bord est un problème bien posé. Dans un deuxième temps, il est question de l'équation de Schrödinger considérée dans $\mathbb R^3$ avec un potentiel coulombien, localement singulier, et un potentiel électrique non borné, tous deux dépendant des variables d'espace et de temps. On montre successivement l'existence d'une unique solution régulière pour l'équation linéaire et pour l'équation avec non-linéarité de Hartree. Ce sont des étapes préliminaires à l'étude d'un système couplant à travers le potentiel coulombien, cette équation de Hartree-Fock et une équation issue de la dynamique newtonienne. Les résultats obtenus ici sont indispensables à l'étude finale des problèmes de contrôle optimal bilinéaire posés à partir de ces différentes équation, le contrôle de la solution étant effectué par le potentiel électrique. On démontre l'existence d'un contrôle optimal et on donne la condition d'optimalité correspondante dans les cas appropriés\vspace(0,5cm)
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Yang, Jie. « Solving Partial Differential Equations by Taylor Meshless Method ». Thesis, Université de Lorraine, 2018. http://www.theses.fr/2018LORR0032/document.
Texte intégralRésumé :
Le but de cette thèse est de développer une méthode numérique simple, robuste, efficace et précise pour résoudre des problèmes d'ingénierie de grande taille à partir de la méthode Taylor Meshless (TMM) et fournir de nouvelles idées principales de TMM est d'utiliser comme fonctions de forme des polynômes d'ordre élevé qui sont des solutions approchées de l'EDP. Ainsi la discrétisation ne concerne que la frontière. Les coefficients de ces fonctions de forme sont obtenus en discrétisant les conditions aux limites par des procédures de collocation associées à la méthode des moindres carrés. TMM est alors une véritable méthode sans maillage sans processus d'intégration, les conditions aux limites étant obtenues par collocation. Les principales contributions de cette thèse sont les suivantes: 1) Basé sur TMM, un algorithme général et efficace a été développé pour résoudre des EDP elliptiques tridimensionnelles; 2) Trois techniques de couplage pour des résolutions par morceaux ont été discutées dans des cas de problèmes à grande échelle: la méthode de collocation par les moindres carrés et deux méthodes de couplage basées sur les multiplicateurs de Lagrange; 3) Une méthode numérique générale pour résoudre les EDP non-linéaires a été proposée en combinant la méthode de Newton, la TMM et la technique de différentiation automatique. 4) Pour résoudre des problèmes avec un bord non régulier, des solutions singulières satisfaisant l'équation de contrôle sont introduites comme des fonctions de forme complémentaires, ce qui fournit une base théorique pour la résolution de problèmes singuliersBased on Taylor Meshless Method (TMM), the aim of this thesis is to develop a simple, robust, efficient and accurate numerical method which is capable of solving large scale engineering problems and to provide a new idea for the follow-up study on meshless methods. To this end, the influence of the key factors in TMM has been studied by solving three-dimensional and non-linear Partial Differential Equations (PDEs). The main idea of TMM is to use high order polynomials as shape functions which are approximated solutions of the PDE and the discretization concerns only the boundary. To solve the unknown coefficients, boundary conditions are accounted by collocation procedures associated with least-square method. TMM that needs only boundary collocation without integration process, is a true meshless method. The main contributions of this thesis are as following: 1) Based on TMM, a general and efficient algorithm has been developed for solving three-dimensional PDEs; 2) Three coupling techniques in piecewise resolutions have been discussed and tested in cases of large-scale problems, including least-square collocation method and two coupling methods based on Lagrange multipliers; 3) A general numerical method for solving non-linear PDEs has been proposed by combining Newton Method, TMM and Automatic Differentiation technique; 4) To apply TMM for solving problems with singularities, the singular solutions satisfying the control equation are introduced as complementary shape functions, which provides a theoretical basis for solving singular problems
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Cambon, Sebastien. « Méthode d'éléments finis d'ordre élevé et d'équations intégrales pour la résolution de problème de furtivité radar d'objets à symétrie de révolution ». Thesis, Toulouse, INSA, 2012. http://www.theses.fr/2012ISAT0047/document.
Texte intégralRésumé :
Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la modélisation des phénomènes de diffraction d’ondes électromagnétiques par des objets à symétrie de révolution complexes et fortement hétérogènes. La méthode que nous développons ici consiste en un couplage entre équations aux dérivées partielles (EDP) et équations intégrales (EI). Cette idée est essentiellement connue pour avoir deux avantages. Le premier est que les hétérogénéités de l’objet sont prises en compte naturellement dans la formulation du problème. Le deuxième est dû à l’utilisation des équations intégrales qui donnent une représentation exacte des solutions dans le milieu extérieur en fonction des courants surfaciques. Le domaine de simulation peut ainsi être ramené à l’objet lui-même. L’utilisation de développements en séries de Fourier combinés à la propriété d’invariance par rotation de l’objet permet alors la réduction du problème global 3D à un ensemble dénombrable de problème 2D.L’étude de ces problèmes nous a conduit à décomposer notre analyse en plusieurs parties,chacune ayant à traiter une partie du problème complet ou les méthodes d’intégrations numériques. Ces dernières étant difficiles à réaliser dans le cas des équations intégrales.Nous avons tout d’abord étudié un problème de Maxwell intérieur pour lequel nous avons développé une nouvelle méthode d’éléments finis d’ordre élevé dont nous avons montré l’efficacité et la précision sur de multiples exemples. Puis, nous avons étudié le problème de diffraction d’ondes planes pour des objets parfaitement conducteurs. La méthode d’éléments finis de frontière employée est alors construite par extension de la méthode précédente via l’opérateur de trace tangentielle. En combinant ces deux études, nous avons résolu le problème couplé en introduisant la propriété de symétrie de révolution dans une formulation variationnelle bien choisie. Par construction, les éléments finis qui y sont utilisés sont alors naturellement adaptées. L’algorithme de parallélisation de la méthode de couplage est finalement présentée et des comparaisons entre notre code AxiMax et un code 3D sont illustrées. Dans tous les cas, nous montrons que la méthode d’éléments finis d’ordre élevé permet d’obtenir des résultats d’une grande précision en fonction de la qualité des paramètres de simulationIn this thesis, we are interested in modeling diffraction of electromagnetic waves by axisymmetric and highly heterogeneous objects. Our method consists in a coupling between partial differential equations and integral equations. This idea is mainly interesting for two reasons : heterogeneities are handled naturally in the formulation and integral equations give an analytical representation of solutions outside the object based on surface currents.These advantages allow us to limit the domain of simulation to the object itself. In addition,using Fourier series combined with the rotational invariance property of the object, the 3D problem is reduced to a countable set of 2D problems. The study of these problems is split into several parts. Each part has to deal with aspecific problem as for example the numerical integration of singular integrals which is difficult to achieve. As a first step, we study time-harmonic Maxwell’s equations in a bounded domain for which we develop a new high-order finite element method and present its efficiency and accuracy on many examples. Secondly, we consider the diffraction of plane waves by perfect electric conductors to analyse integral equations for these kind of object.The boundary finite element method applied is defined by extension of the previous one via tangential trace operator. Then, we solve the coupled problem using a well chosen formulation based on the previous studies for which our finite element method is naturally adapted by construction. In order to evaluate its efficiency, a comparison is performed between our program « AxiMax » and one based on a purely 3D model. To conclude, in the last two chapters, we present the numerical integration method and the multi-processing algorithm developed in AxiMax. In all cases, we put forward the fact that our finite element method provides accurate results depending on the quality of the simulation parameters
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Hsu, Yueh-Sheng. « On the random Schrödinger operators in the continuous setting ». Electronic Thesis or Diss., Université Paris sciences et lettres, 2024. http://www.theses.fr/2024UPSLD009.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse porte sur les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans un cadre continu, en particulier ceux avec un potentiel de bruit blanc gaussien. La définition de ces opérateurs différentiels est généralement non triviale et nécessite la renormalisation dans les dimensions d ≥ 2. Nous présentons d’abord un cadre général pour traduire le problème de construction de l’opérateur en EDP stochastiques. Cette approche nous permet de définir l’opérateur en question, d’établir son auto-adjonction et d’étudier son spectre.Par la suite, nous passons à l’étude de l’Hamiltonien d’Anderson continu dans deux configurations spatiales distinctes :d’abord dans une boîte bornée de longueur latérale L avec une condition de bord de Dirichlet nulle pour les dimensionsd ≤ 3, et ensuite dans l’espace Euclidien Rd, pour d ∈ {2, 3}. Dans le premier cas, l’opérateur admet des valeurs propres λn,L, pour lesquelles nous identifions l’asymptotique presque sûre lorsque L → ∞. Cet asymptotique est conforme aux résultats antérieurs dans la littérature pour les dimensions 1 et 2, tandis que notre résultat en dimension 3 est nouveau. Dans le second cas, nous proposons une nouvelle technique de construction en utilisant la théorie des solutions de l’équation parabolique associée, ce qui permet de prouver l’auto-adjonction et de montrer que le spectre est presque sûrement égal à R. Cette approche confirme le résultat récemment établi en dimension 2 dans la littérature, cependant notre construction semble plus élémentaire ; pour la dimension 3, notre résultat est nouveau.Enfin, nous présentons un projet en cours qui aborde le cas où un champ magnétique uniforme est appliqué au système : cela conduit à l’étude de l’Hamiltonien de Landau perturbé par le potentiel de bruit blanc. Notre objectif est de définir l’opérateur dans l’espace R² sans recourir à une théorie de renormalisation sophistiquée. Cependant, la non-bornitude du bruit blanc sur R²pose des défis techniques supplémentaires. Pour surmonter cela, l’utilisation du théorème de Faris-Lavine est discutéeThis thesis studies the random Schrödinger operators in continuous setting, particularly those with Gaussian white noise potential. The definition of such differential operators is generally non-trivial and necessitates renormalization in dimensions d ≥ 2. We first present a general framework to translate the problem of operator construction into stochastic PDEs. This approach enables us to define the operator at stake and establishes its self-adjointness, as well as to investigate its spectrum.Subsequently, we proceed to study the continuous Anderson Hamiltonian under two distinct spatial settings: first on a bounded box with side length L with zero Dirichlet boundary condition for dimensions d ≤ 3, and second on the full Euclidean space Rd, for d ∈ {2, 3}. In the former case, the operator admits eigenvalues λn,L, for which we identify the almost sure asymptotic as L → ∞. This asymptotic aligns with previous findings in the literature for dimension 1 and 2, while our result in dimension 3 is new. In the latter case, we propose a new construction technique employing the solution theory to the associated parabolic equation which allows to prove self-adjointness and show that the spectrum equals to R almost surely. This approach reconfirms the recently established result in dimension 2, but our construction seems to be more elementary; for dimension 3, our result is new.Lastly, we present an ongoing project addressing the case where a uniform magnetic field is applied to the system : this leads to the study of Landau Hamiltonian perturbed by the white noise potential. Our objective is to define the operator on full space R² without resorting to sophisticated renormalization theory. However, the unboundedness of white noise on R² poses additional technical challenges. To overcome this, the usage of Faris-Lavine theorem is discussed
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Peillon, Etienne. « Simulation and analysis of sign-changing Maxwell’s equations in cold plasma ». Electronic Thesis or Diss., Institut polytechnique de Paris, 2024. http://www.theses.fr/2024IPPAE004.
Texte intégralRésumé :
De nos jours, les plasmas sont principalement utilisés à des fins industrielles. L'un des exemples les plus fréquemment cités d'utilisation industrielle est la production d'énergie électrique via des réacteurs nucléaires à fusion. Pour contenir le plasma correctement à l'intérieur du réacteur, un champ magnétique est imposé en arrière-plan, et la densité et la température du plasma doivent être précisément contrôlées. Cela est effectué en envoyant des ondes électromagnétiques à des fréquences et dans des directions spécifiques en fonction des caractéristiques du plasma.La première partie de cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude du modèle du plasma avec un fort champ magnétique en arrière-plan, ce qui correspond à un métamatériau hyperbolique. L'objectif est d'étendre les résultats existant en 2D au cas 3D et de dériver une condition de radiation. Nous introduisons une séparation des champs électriques et magnétiques ressemblant à la décomposition TE et TM habituelle, puis nous présentons quelques résultats sur les deux problèmes résultants. Les résultats sont dans un état très partiel et constituent un brouillon approximatif sur le sujet.La deuxième partie étudie l'EDP dégénérée associée aux ondes résonantes « lower-hybrid » dans le plasma. Le problème aux limites associé est bien posé dans un cadre variationnel « naturel ». Cependant, ce cadre n'inclut pas le comportement singulier présenté par les solutions physiques obtenues via le principe d'absorption limite. Ce comportement singulier est important du point de vue physique car il induit le chauffage du plasma mentionné précédemment. Un des résultats clés de cette deuxième partie est la définition d'une notion de saut à travers l'interface à l'intérieur du domaine, ce qui permet de caractériser la décomposition de la solution d'absorption limite en parties régulière et singulièreNowadays, plasmas are mainly used for industrial purpose. One of the most frequently cited examples of industrial use is electric energy production via fusion nuclear reactors. Then, in order to contain plasma properly inside the reactor, a background magnetic field is imposed, and the density and temperature of the plasma must be precisely controlled. This is done by sending electromagnetic waves at specific frequencies and directions depending on the characteristics of the plasma.The first part of this PhD thesis consists in the study of the model of plasma in a strong background magnetic field, which corresponds to a hyperbolic metamaterial. The objective is to extend the existing results in 2D to the 3D-case and to derive a radiation condition. We introduce a splitting of the electric and magnetic fields resembling the usual TE and TM decomposition, then, it gives some results on the two resulting problems. The results are in a very partial state, and constitute a rough draft on the subject.The second part consists in the study of the degenerate PDE associated to the lower-hybrid resonant waves in plasma. The associated boundary-value problem is well-posed within a ``natural'' variational framework. However, this framework does not include the singular behavior presented by the physical solutions obtained via the limiting absorption principle. Notice that this singular behavior is important from the physical point of view since it induces the plasma heating mentioned before. One of the key results of this second part is the definition of a notion of weak jump through the interface inside the domain, which allows to characterize the decomposition of the limiting absorption solution into a regular and a singular parts
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Sauvy, Paul. « Étude de quelques problèmes elliptiques et paraboliques quasi-linéaires avec singularités ». Thesis, Pau, 2012. http://www.theses.fr/2012PAUU3020/document.
Texte intégralRésumé :
Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l’étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l’intervention d’une non-linéarité qui explose au bord du domaine où ’équation est posée. La présence d’une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire pour démontrer l’existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l’étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d’absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d’existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d’un système d’équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d’existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d’unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l’étude d’un problème d’absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d’existence de solutions. Grâce à des inégalités d’énergie, nous démontrons également l’extinction en temps fini de ces solutionsThis thesis deals with the mathematical field of nonlinear partial differential equations analysis. More precisely, we focus on quasilinear and singular problems. By singularity, we mean that the problems that we have considered involve a nonlinearity in the equation which blows-up near the boundary. This singular pattern gives rise to a lack of regularity and compactness that prevent the straightforward applications of classical methods in nonlinear analysis used for proving existence of solutions and for establishing the regularity properties and the asymptotic behavior of the solutions. To overcome this difficulty, we establish estimations on the precise behavior of the solutions near the boundary combining several techniques : monotonicity method (related to the maximum principle), variational method, convexity arguments, fixed point methods and semi-discretization in time. Throughout the study of three problems involving the p-Laplacian operator, we show how to apply this different methods. The three chapters of this dissertation the describes results we get :– In Chapter I, we study a singular elliptic absorption problem. By using sub- and super-solutions and variational methods, we prove the existence of the solutions. In the case of a strong singularity, by using local comparison techniques, we also prove that the compact support of the solution. In Chapter II, we study a singular elliptic system. By using fixed point and monotonicity arguments, we establish two general theorems on the existence of solution. In a second time, we more precisely analyse the Gierer-Meinhardt systems which model some biological phenomena. We prove some results about the uniqueness and the precise behavior of the solutions. In Chapter III, we study a singular parabolic absorption problem. By using a semi-discretization in time method, we establish the existence of a solution. Moreover, by using differential energy inequalities, we prove that the solution vanishes in finite time. This phenomenon is called "quenching"
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Wehbe, Charbel. « Étude asymptotique de modèles en transition de phase ». Thesis, Poitiers, 2014. http://www.theses.fr/2014POIT2311/document.
Texte intégralRésumé :
Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux parties : la première étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur la loi de Maxwell-Cattaneo et la seconde traite le même modèle dans sa version conservative. L'étude dans les deux parties est faite dans un domaine borné. De plus, dans la première partie on distingue les cas de conditions aux bords de type Dirichlet ainsi que Neumann, tandis que dans la deuxième partie le modèle est étudié uniquement avec les conditions Dirichlet (avec un potentiel régulier puis un potentiel singulier). Tout d'abord, l'existence, l'unicité, et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants est établie. Enfin, dans certains cas, l'existence de l'attracteur global et d'attracteurs exponentiels sont analysésThis thesis report is devoted to the study of Caginalp type phase-field Models. Here, we consider two parts : the first is a generalization of the Caginalp type phase-field model based on a generalization of the Maxwell-Cattaneo law and the second with the same model in its conservative version. The study in the two parts is made in a bounded domain. In addition, in the first part we distinguish cases of boundary conditions of Dirichlet and Neumann, while in the second part the model is studied only with Dirichlet conditions (with a regular potential and a singular potential). First, the existence, uniqueness, and regularity of solutions are analyzed by means of classical arguments. Then, the existence of bounded absorbing sets is established. Finally, in some cases, the existence of the global attractor and exponential attractors are analyzed