Littérature scientifique sur le sujet « Géométrie riemannienne et barycentrique »

Une image obtenue par IRM, c'est plus de 60 000 pixels. La plus grosse protéine connue chez l'être humain est constituée d'environ 30 000 acides aminés. On parle de données en grande dimension. En réalité, la plupart des données en grande dimension ne le sont qu'en apparence. Par exemple, de toutes les images que l'on pourrait générer aléatoirement en coloriant 256 x 256 pixels, seule une infime proportion ressemblerait à l'image IRM d'un cerveau humain. C'est ce qu'on appelle la dimension intrinsèque des données. En grande dimension, apprentissage rime donc souvent avec réduction de dimension. Il existe de nombreuses méthodes de réduction de dimension, les plus récentes pouvant être classées selon deux approches.Une première approche, connue sous le nom d'apprentissage de variétés (manifold learning) ou réduction de dimension non linéaire, part du constat que certaines lois physiques derrière les données que l'on observe ne sont pas linéaires. Ainsi, espérer expliquer la dimension intrinsèque des données par un modèle linéaire est donc parfois irréaliste. Au lieu de cela, les méthodes qui relèvent du manifold learning supposent un modèle localement linéaire.D'autre part, avec l'émergence du domaine de l'analyse statistique de formes, il y eu une prise de conscience que de nombreuses données sont naturellement invariantes à certaines symétries (rotations, permutations, reparamétrisations...), invariances qui se reflètent directement sur la dimension intrinsèque des données. Ces invariances, la géométrie euclidienne ne peut pas les retranscrire fidèlement. Ainsi, on observe un intérêt croissant pour la modélisation des données par des structures plus fines telles que les variétés riemanniennes. Une deuxième approche en réduction de dimension consiste donc à généraliser les méthodes existantes à des données à valeurs dans des espaces non-euclidiens. On parle alors d'apprentissage géométrique. Jusqu'à présent, la plupart des travaux en apprentissage géométrique se sont focalisés sur l'analyse en composantes principales.Dans la perspective de proposer une approche qui combine à la fois apprentissage géométrique et manifold learning, nous nous sommes intéressés à la méthode appelée locally linear embedding, qui a la particularité de reposer sur la notion de barycentre, notion a priori définie dans les espaces euclidiens mais qui se généralise aux variétés riemanniennes. C'est d'ailleurs sur cette même notion que repose une autre méthode appelée barycentric subspace analysis, et qui fait justement partie des méthodes qui généralisent l'analyse en composantes principales aux variétés riemanniennes. Ici, nous introduisons la notion nouvelle de plongement barycentrique, qui regroupe les deux méthodes. Essentiellement, cette notion englobe un ensemble de méthodes dont la structure rappelle celle des méthodes de réduction de dimension linéaires et non linéaires, mais où le modèle (localement) linéaire est remplacé par un modèle barycentrique -- affine.Le cœur de notre travail consiste en l'analyse de ces méthodes, tant sur le plan théorique que pratique. Du côté des applications, nous nous intéressons à deux exemples importants en apprentissage géométrique : les formes et les graphes. En particulier, on démontre que par rapport aux méthodes standard de réduction de dimension en analyse statistique des graphes, les plongements barycentriques se distinguent par leur meilleure interprétabilité. En plus des questions pratiques liées à l'implémentation, chacun de ces exemples soulève ses propres questions théoriques, principalement autour de la géométrie des espaces quotients. Parallèlement, nous nous attachons à caractériser géométriquement les plongements localement barycentriques, qui généralisent la projection calculée par locally linear embedding. Enfin, de nouveaux algorithmes d'apprentissage géométrique, novateurs dans leur approche, complètent ce travail
An MRI image has over 60,000 pixels. The largest known human protein consists of around 30,000 amino acids. We call such data high-dimensional. In practice, most high-dimensional data is high-dimensional only artificially. For example, of all the images that could be randomly generated by coloring 256 x 256 pixels, only a very small subset would resemble an MRI image of a human brain. This is known as the intrinsic dimension of such data. Therefore, learning high-dimensional data is often synonymous with dimensionality reduction. There are numerous methods for reducing the dimension of a dataset, the most recent of which can be classified according to two approaches.A first approach known as manifold learning or non-linear dimensionality reduction is based on the observation that some of the physical laws behind the data we observe are non-linear. In this case, trying to explain the intrinsic dimension of a dataset with a linear model is sometimes unrealistic. Instead, manifold learning methods assume a locally linear model.Moreover, with the emergence of statistical shape analysis, there has been a growing awareness that many types of data are naturally invariant to certain symmetries (rotations, reparametrizations, permutations...). Such properties are directly mirrored in the intrinsic dimension of such data. These invariances cannot be faithfully transcribed by Euclidean geometry. There is therefore a growing interest in modeling such data using finer structures such as Riemannian manifolds. A second recent approach to dimension reduction consists then in generalizing existing methods to non-Euclidean data. This is known as geometric learning.In order to combine both geometric learning and manifold learning, we investigated the method called locally linear embedding, which has the specificity of being based on the notion of barycenter, a notion a priori defined in Euclidean spaces but which generalizes to Riemannian manifolds. In fact, the method called barycentric subspace analysis, which is one of those generalizing principal component analysis to Riemannian manifolds, is based on this notion as well. Here we rephrase both methods under the new notion of barycentric embeddings. Essentially, barycentric embeddings inherit the structure of most linear and non-linear dimension reduction methods, but rely on a (locally) barycentric -- affine -- model rather than a linear one.The core of our work lies in the analysis of these methods, both on a theoretical and practical level. In particular, we address the application of barycentric embeddings to two important examples in geometric learning: shapes and graphs. In addition to practical implementation issues, each of these examples raises its own theoretical questions, mostly related to the geometry of quotient spaces. In particular, we highlight that compared to standard dimension reduction methods in graph analysis, barycentric embeddings stand out for their better interpretability. In parallel with these examples, we characterize the geometry of locally barycentric embeddings, which generalize the projection computed by locally linear embedding. Finally, algorithms for geometric manifold learning, novel in their approach, complete this work

Cette thèse a pour objet l'étude des sous-variétés "dégénérées" (ou "nulles") des variétés pseudo-riemanniennes, pour lesquelles la restriction de la structure pseudo-riemannienne de la variété ambiante dégénère sur la sous-variété. La première partie a pour but la construction d'un repère de Frénet généralisé pour les variétés pseudo-riemanniennes. Dans un second temps, nous généralisons cette construction à d'autres situations voisines, telles que les variétés symplectiques, ou encore les variétés pseudo-kählériennes. Enfin, la troisième partie est consacrée à l'étude des hypersurfaces dégénérées, totalement géodésiques, des variétés pseudo-riemanniennes. Nous dégageons des invariants relatifs de la structure induite sur l'hypersurface, et utilisons ces invariants pour batir des systèmes de coordonnées adaptés à la géométrie de l'hypersurface
In this thesis, we study "degenerate" (or "null") submanifolds of pseudo-riemannian manifolds, for which the restriction of the pseudo-riemannian structure of the ambiant manifold degenerate on the submanifold. In the first part, we build a generalized Frénet 's frame in pseudo-riemannian manifolds. In the second part, we generalize our construction to other situations, such as symplectic manifolds, or pseudo-kaehlerian manifolds. Finally, in the last part of this thesis, we study totally geodesic degenerate hypersurfaces in pseudo-riemannian manifolds. We find invariants relative to the induced structure on the hypersurface, and use them to build local coordinate systems adapted to the geometry of the hypersurface

L'objet principal de cette thèse est l'étude locale de structures sous-riemanniennes : étude des petites sphères, du front d'onde, du lieu conjugué et du lieu de coupure. La première partie de cette thèse concerne les structures sous-riemanniennes de quasi-contact. On construit tout d'abord, dans le cas de quasi-contact générique de dimension quelconque, des coordonnées normales, un champ de bases orthonormées canonique et une famille de champs de tenseurs qui sont les analogues d'objets riemanniens classiques. On étudie ensuite, dans le cas de la dimension quatre, l'application exponentielle et nous présentons sa singularité locale qui est un arrangement de singularités lagrangiennes classiques. La seconde partie, en collaboration avec A. Agrachev, J. -P. Gauthier et V. Zakalyukin, traite du cas de contact en dimension trois. La première partie de l'article consiste en la mise en évidence de modules à l'origine des caustiques génériques, dont le premier a une interprétation géométrique simple. La deuxième partie de l'article montre au contraire un résultat de stabilité. Si on considère le front d'onde étendu, où le temps est reparamétré d'une certaine façon, on obtient un objet de dimension trois qui a à nouveau une structure naturelle de front d'onde. La projection de ses singularités n'est autre que le lieu conjugué. On montre que ce grand front d'onde est Legendre-stable.

La principale motivation de cette thèse est de mettre en relation les aspects extrinsèque et intrinsèque des hypersurfaces d'espaces modèles au moyen de résultats de rigidité. Dans un premier temps, nous donnons des résultats de pincment pour des minorations du rayon extrinsèqueen fonction des r-courbures moyennes dans les trois espaces modèles. Nous obtenons ensuite des résultats de pincement comparables pour des majorations de la première valeur propre du laplacien dans l'espace euclidien, ce qui nous permet d'obtenir des résultats concernant les hypersurfaces presque Einstein. Dans un second temps, nous donnons une caractérisation spinorielle des surfaces dans les 3-variétés homogènes à groupe d'isométries de dimension 4.

Cette thèse porte sur l'application de techniques de contrôle optimal et de contrôle géométriques au problème de transfert d'orbite de satellite et à la géométrie presque-riemannienne. Dans ces cas, le principe du maximum de Pontryagin permet d'étudier le flot extrémal pour des systèmes de contrôle affines.Dans le cas d'un satellite à faible poussée, la technique de moyennation permet d'approcher les trajectoires du système réel. La moyennation est explicite dans le cas de la minimisation de l'énergie et fait apparaître dans certains cas des problèmes presque-riemanniens. L'étude géométrique de tels problèmes est généralisée par l'étude de métriques sur la deux-sphère de révolution. On peut ainsi classifier les situations selon la transcendance des solutions et discuter l'optimalité selon la nature des lieux de coupure et de conjugaison.L'étude du problème moyenné du transfert orbital et de situations génériques sur la sphère de révolution est motivée par l'approche homotopique de résolution numérique du problème de transfert pour d'autres fonctions de coût. La méthode de continuation couplée à celle de tir simple est utilisée pour résoudre un problème de transfert à forte poussée à consommation minimale de carburant.Les outils géométriques sont aussi utilisés afin d'étudier la situation locale dans un voisinage des points de tangence en géométrie presque-riemannienne en dimension deux. On calcule pour les approximations nilpotente et d'ordre zéro le front d'onde, les sphères de petits rayons et les lieux de coupure et de conjugaison.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Cette thèse est dédiée à l’étude de la géométrie sous-riemannienne en dimension infinie, et à ses applications à l’analyse des déformations par difféomorphismes. La première partie du manuscrit est un résumé détaillé des travaux effectués. La seconde compile les articles rédigés pendant ces trois dernières années. On étend d’abord à la dimension infinie le cadre de la géométrie sous-riemannienne classique, en établissant notamment des conditions assurant l’existence d’un flot géodésique. Puis, on applique ces résultats aux structures sous-riemanniennes fortes et invariantes à droite sur le groupe des difféomorphismes d’une variété. On définit ensuite rigoureusement les espaces de formes, notion jusqu’alors assez vague dans la littérature. Il s’agit de variétés de Banach sur lesquelles un groupe de difféomorphismes a une action satisfaisant certaines propriétés. On construit alors diverses structures sous-riemanniennes sur ces espaces de formes grâce à cette action. Enfin, on ajoute des contraintes aux déformations possibles et on formule les problèmes d’analyse de formes dans un cadre relevant de la théorie du contrôle optimal en dimension infinie. On démontre un principe du maximum de type Pontryagin adapté à ce contexte, permettant d’établir les équations géodésiques contraintes. Des algorithmes pour la recherche de déformations optimales sont ensuite développés et appuyés par des simulations numériques dans le chapitre 7. Ils unifient et étendent des méthodes précédemment établies pour l’analyse de formes dans le domaine de l’image
This manuscript is dedicated to the study of infinite dimensional sub-Riemannian geometry and its applications to shape analysis using dieomorphic deformations. The first part is a detailed summary of our work, while the second part combines the articles we wrote during the last three years. We first extend the framework of sub- Riemannian geometry to infinite dimensions, establishing conditions that ensure the existence of a Hamiltonian geodesic flow. We then apply these results to strong right- invariant sub-Riemannian structures on the group of diffeomorphisms of a manifold. We then define rigorously the abstract concept shape spaces. A shape space is a Banach manifold on which the group of diffeomorphisms of a manifold acts in a way that satisfy certain properties. We then define several sub-Riemannian structures on these shape spaces using this action, and study these. Finally, we add constraints to the possible deformations, and formulate shape analysis problems in an infinite dimensional control theoritic framework. We prove a Pontryagin maximum principle adapted to this context, establishing the constrained geodesic equations. Algorithms for fin- ding optimal deformations are then developped, supported by numerical simulations. These algorithms extend and unify previously established methods in shape analysis

Dans la première partie de cette thèse, nous prouvons une version faible de la conjecture suivante, formulée en 1983 par Hildebrandt : en dimension 2, les applications qui sont points critiques d'une fonctionnelle invariante par difféomorphisme conforme sont régulières. Nous montrons la régularité de telles applications, pourvu qu'elles soient a priori bornées. Ce résultat étend le théorème de F. Helein sur la régularité des applications harmoniques à valeurs dans une variété riemannienne compacte sans bord. Les problèmes variationnels étudiés dans la seconde partie sont motivés par des questions économiques. Ils consistent en la maximisation de certaines fonctionnelles sur le cône des fonctions convexes. Nous donnons une condition suffisante pour que la contrainte de convexité soit active. Cette condition, qui fait notamment intervenir la géométrie du domaine, est vérifiée dans des situations très courantes en économie. Typiquement en dimension 2, il existe une région où le rang de la hessienne de la solution est 1. Nous écrivons les équations d'Euler du problème en faisant intervenir des opérateurs dits de "balayage". Nous expliquons comment utiliser les conditions de balayage pour construire la solution du problème. Cette construction nécessite toutefois une certaine connaissance préalable de la forme de la solution. Ceci nous conduit à étudier le problème de l'approximation numérique de la solution : toute la difficulté consiste à déterminer les directions dans lesquelles la contrainte de convexité est saturée. Nous explorons diverses méthodes d'éléments finis et montrons que les plus simples d'entre elles se heurtent à une obstruction théorique sérieuse
In the first part of this thesis, we consider a critical point u of a conformally invariant functional on a two-dimensional domain. We show that if u is a priori assumed to be bounded, then u is smooth up to the boundary of the domain. As an application, we establish a regularity result for weak solutions to the equation of surfaces of prescribed mean curvature in a three dimensional compact Riemannian manifold. The variational problems studied in the second part are motivated by economic issues, namely non-linear pricing by a monopolist or a duopolist. The problem consists in maximizing a functional over the cone of convex functions. We give a sufficient condition for the convexity constraint to be active. This condition does hold in many common situations in economics. Typically, in a two-dimensional problem, there exists an area where the rank of the hessian of the solution is 1. We write the Euler equation of the problem and derive the + sweeping conditions. We explain how to use these conditions to compute the solution. This method, however, requires some prior knowledge of the solution. We therefore study the numerical approximation of the problem. We show how to apply some simple finite-elements methods to the problem. There is, however, a strong theoretical obstruction to the convergence of these methods (in dimension greater than 2). Finally we consider duopoly models that involve non-concave and non-coercive functionals. We study best reply maps and Nash equilibria in these models