Letteratura scientifica selezionata sul tema "Funzioni olomorfe"

Questo elaborato si propone di analizzare il collegamento tra olomorfia e armonicità. La prima parte della tesi tratta le funzioni olomorfe, mentre la seconda parte tratta le funzioni armoniche. Per quanto riguarda la seconda parte, inizialmente ci limiteremo a studiare le funzioni armoniche in R^2, sottolineando il legame tra queste e le funzioni olomorfe. Considereremo poi il caso generale, ovvero estenderemo la nozione di funzione armonica ad R^N e osserveremo che molte delle proprietà viste per le funzioni olomorfe valgono anche per le funzioni armoniche. In particolare, vedremo che le formule di media per le funzioni armoniche svolgono un ruolo analogo alla formula integrale di Cauchy per le funzioni olomorfe. Vedremo anche che il Teorema di Liouville per le funzioni armoniche è l’analogo del Teorema di Liouville per le funzioni intere (funzioni olomorfe su tutto C) e, infine, osserveremo che il Principio del massimo forte non è altro che il trasferimento alle funzioni armoniche del Principio del massimo modulo visto nella teoria delle funzioni olomorfe.

Questa tesi ha come argomento principale le funzioni olomorfe e le funzioni armoniche. Obbiettivo: quello di mostrare i collegamenti tra queste due classi di funzioni e le loro principali proprietà. Grande importanza verrà data al Problema di Dirichlet per il Laplaciano, e alla ricerca di una soluzione su un disco qualsiasi del piano reale. In questo modo potremo arrivare ad alcuni dei risultati più importanti sulle funzioni armoniche: formule di media, disuguaglianza di Harnack, teorema di massimo e minimo forte; che hanno un equivalente per le funzioni olomorfe.

La tesi si articola in quattro capitoli. Nel primo capitolo vengono esposti i concetti di base su cui è basata la teoria principale. Inizieremo ricordando le definizioni e i teoremi più rilevanti sugli spazi di Hilbert, sui sistemi ortonormali e sulle funzioni olomorfe per poi arrivare al prodotto Wedge, agli operatori bilineari e al prodotto tensoriale. Il secondo capitolo è destinato ai nuclei riproducenti. Vedremo dapprima la definizione e il Teorema di Aronszajn-Bergman che determina una condizione necessaria e sufficiente sugli spazi affinchè abbiano nucleo riproducente. Studieremo poi le proprietà degli spazi dotati di tale nucleo. Nel terzo capitolo viene illustrato il nucleo di Bergman. Partiremo cercando una stima dell'integrale sui polidischi di C^n di funzioni a quadrato integrabile per poi analizzare il sottospazio generato dalle funzioni olomorfe a quadrato integrabile. Vedremo poi che i risultati ottenuti integrando con la misura di Lebesgue su C^n valgono anche integrando con una misura con peso. Nel quarto ed ultimo capitolo arriveremo al punto saliente della trattazione. Determineremo il proiettore ortogonale dallo spazio delle funzioni a quadrato integrabile allo spazio delle funioni olomorfe a quadrato integrabile e, sotto certe condizioni, prenderemo una determinazione di logaritmo di queste ultime. Grazie alla determinazione di logaritmo costruiremo una forma differenziale hermitiana invariante rispetto agli automorfismi olomorfi dei domini di C^n . Infine, daremo delle ipotesi sotto le quali la forma hermitiana è definita positiva: arriveremo così a definire la metrica che ne deriva. Essa sarà la metrica di Bergman.

Il teorema della mappa di Riemann afferma che gli insiemi aperti semplicemente connessi contenuti strettamente nel piano complesso sono biolomorfi al disco unitario. Quando l'aperto semplicemente connesso di cui si parla è un poligono, è possibile trovare una formula esplicita del biolomorfismo. Questo elaborato si propone di studiare alcuni aspetti di tale formula. Viene quindi definita la formula di Schwarz-Christoffel e si mostra che essa si estende con continuità sul bordo del disco unitario. Successivamente, si utilizza la caratterizzazione delle rette quali curve a curvatura nulla per dimostrare che la formula in questione mappa tratti del bordo del disco in segmenti rettilinei. Infine, ci si avvale della definizione di indice di una curva rispetto ad un punto e del principio dell'argomento come strumenti fondamentali per la dimostrazione del fatto che la restrizione della formula di Schwarz-Christoffel al disco unitario è un biolomorfismo.