Literatura científica selecionada sobre o tema "Grandes déviations dynamiques"

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

Cette thèse s'intéresse à un processus d'exclusion en contact faible avec des réservoirs. Plus précisément, on reprend le modèle étudié dans l'article "Hydrostatics and dynamical large deviations of boundary driven gradient symmetric exclusion processes" de J. Farfan, C. Landim, M. Mourragui mais dans le cas d'un contact faible (et non plus fort) avec les réservoirs. Par ce contact faible, des résultats sont modifiés comme le théorème de la limite hydrodynamique et le théorème des grandes déviations dynamiques. Ce sont les modifications de ses deux résultats qui sont étudiés dans cette thèse dans le cas de la dimension 1.La première partie de la thèse consistera à montrer le théorème de la limite hydrodynamique pour notre modèle, i.e. montrer la convergence de la mesure empirique. En se basant sur les étapes de la Section 5 du livre "Scaling limits of interacting particle systems" de C. Kipnis, C. Landim, il s'agira de montrer que cette suite est relativement compacte avant d'étudier les propriétés de ses points limites. Pour chacune des sous-suites convergentes, on montrera que celles-ci convergent vers des points limites qui se concentrent sur des trajectoires absolument continues et dont les densités sont solutions faibles d'une équation qu'on nommera l'équation hydrodynamique. En finissant par montrer qu’il y a unicité des solutions faibles de l’équation hydrodynamique, on aura alors un unique point limite et la convergence de la suite sera établie.Dans la deuxième partie de la thèse, on montrera le théorème des grandes déviations dynamiques, i.e. qu'il existe une fonction taux I_{[0,T]}( . |\gamma) vérifiant le principe des grandes déviations pour la suite étudiée dans la première partie. Après avoir définit la fonction taux, on montrera donc que celle-ci est semicontinue inférieurement, qu'elle a ses ensembles de niveaux compacts et qu'elle vérifie une propriété de borne inférieure et de borne supérieure. Une des principales difficulté sera de montrer qu’on a une propriété de densité pour un ensemble F pour notre fonction taux. Ceci représentera donc une part importante de cette section. De plus, pour montrer cette densité, on aura besoin de décomposer la fonction I_{[0,T]}( .|\gamma) qui admet des termes de bords et n’a pas de propriété de convexité comme l’ont les fonctions taux de plusieurs modèles déjà existants. En raison de ses deux contraintes, de nouvelles propriétés de régularités ainsi qu'un nouveau type de décomposition seront démontrés<br>This thesis focuses on a process of exclusion in weak contact with reservoirs. More precisely, we revisit the model studied in the article "Hydrostatics and dynamical large deviations of boundary driven gradient symmetric exclusion processes" by J. Farfan, C. Landim, M. Mourragui but in the case of weak (rather than strong) contact with the reservoirs. Through this weak contact, results are modified such as the hydrodynamic limit theorem and the theorem of large dynamical deviations. The modifications of these two results are studied in this thesis in the case of dimension 1. The first part of the thesis will consist of proving the hydrodynamic limit theorem for our model, i.e. showing the convergence of the empirical measure. Based on the steps in Section 5 of the book "Scaling limits of interacting particle systems" by C. Kipnis, C. Landim, we will show that this sequence is relatively compact before studying the properties of its limit points. For each convergent subsequence, we will show that they converge to limit points that concentrate on absolutely continuous trajectories and whose densities are weak solutions of an equation that we will call the hydrodynamic equation. By demonstrating the uniqueness of weak solutions of the hydrodynamic equation, we will then have a unique limit point and the convergence of the sequence will be established. In the second part of the thesis, we will demonstrate the theorem of large dynamical deviations, i.e. that there exists a rate function I_{[0,T]}(.|\gamma) satisfying the large deviations principle for the sequence studied in the first part. After defining the rate function, we will show that it is lower semicontinuous, has compact level sets, and satisfies a lower bound and an upper bound property. One of the main challenges will be to show a density property for a set F. This will represent a significant part of this section. Moreover, to prove this density property, we will need to decompose the function I_{[0,T]}(.|\gamma) which contains boundary terms and does not have a convexity property like the rate functions of several existing models. Due to these two constraints, new regularity properties as well as a new type of decomposition will be demonstrated

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension

Cette thèse explore certains problèmes liés aux grandes matrices aléatoires et aux statistiques en grande dimension, motivés par la nécessité d'améliorer notre compréhension de l'apprentissage profond. L'apprentissage des réseaux neuronaux profonds implique la résolution de problèmes d'optimisation non convexes, à grande échelle et en grande dimension, qui devraient être théoriquement intraitables mais sont étonnamment réalisables en pratique. Afin de comprendre ce paradoxe, nous étudions des modèles solvables qui concilient pertinence pratique et rigueur mathématique. Les matrices aléatoires et les statistiques en grande dimension jouent un rôle central dans ces travaux, en raison du grand volume de données et de la grande dimensionnalité inhérents à ces modèles. D'abord, nous considérons le modèle des "random features", un réseau neuronal à deux couches avec des poids fixes et aléatoires dans la première couche et des poids apprenables dans la deuxième. Notre étude se concentre sur le spectre asymptotique de la matrice du noyau conjuguée YY* avec Y= f(WX), où W et X sont des matrices aléatoires rectangulaires avec des entrées i.i.d., et f est une fonction d’activation non linéaire appliquée élément par élément. Nous étendons les résultats obtenus précédemment sur les distributions à queues légères pour W et X en considérant deux nouveaux contextes. Premièrement, nous étudions le cas du biais additif Y =f (WX + B), où B est une matrice aléatoire gaussienne indépendante de rang un, ce qui modélise de plus près les architectures de réseaux neuronaux rencontrées en pratique. Pour obtenir les asymptotiques de la densité spectrale empirique, nous utilisons la méthode du résolvant via l'expansion des cumulants. Deuxièmement, nous analysons le cas où W a des entrées à queues lourdes, X reste à queues légères, et f est une fonction lisse, bornée et impaire. Nous montrons que les poids à queues lourdes induisent des corrélations beaucoup plus fortes entre les entrées de Y, ce qui se traduit par un comportement spectral inédit. Cette analyse s’appuie sur la méthode des moments via la théorie des probabilités de trafic. Ensuite, nous abordons l’ACP tensorielle (analyse en composantes principales), un problème d’inférence en grande dimension qui étudie la difficulté computationnelle d’estimer un vecteur signal inconnu à partir d’observations tensorielles bruitées via le maximum de vraisemblance. L’ACP tensorielle sert de prototype pour comprendre l’optimisation non convexe en grande dimension via des méthodes basées sur le gradient. Cette compréhension peut être abordée sous deux angles : la complexité topologique du paysage d’optimisation et les dynamiques d’optimisation des méthodes du premier ordre. Concernant la complexité du paysage, nous étudions la "complexité annealed" des polynômes gaussiens aléatoires sur la sphère unitaire de dimensions N en présence de polynômes déterministes dépendant de vecteurs unitaires fixes et de paramètres externes. En utilisant la formule de Kac-Rice et les asymptotiques du déterminant pour une perturbation de rang fini des matrices de Wigner, nous dérivons des formules variationnelles pour les asymptotiques exponentielles du nombre moyen de points critiques et de maxima locaux. Concernant les dynamiques d’optimisation en grande dimension, nous analysons la descente de gradient stochastique (SGD) et le flux de gradient (GF) pour l’ACP tensorielle avec plusieurs directions cachées. Nous montrons que SGD atteint le même seuil computationnel que dans le cas r=1, mais GF nécessite plus d’échantillons pour récupérer toutes les directions. Les signaux sont récupérés via un processus d’"élimination séquentielle" où les corrélations croissent successivement selon un ordre déterminé par les conditions initiales et les rapports signal-bruit (SNR). Dans le cas matriciel (p=2), des SNR bien séparés permettent une récupération exacte, tandis que des SNR égaux mènent à la récupération du sous-espace engendré<br>This thesis explores some problems in random matrix theory and high-dimensional statistics motivated by the need to improve our understanding of deep learning. Training deep neural networks involves solving high-dimensional, large-scale, and nonconvex optimization problems that should, in theory, be intractable but are surprisingly feasible in practice. To understand this paradox, we study solvable models that balance practical relevance with rigorous mathematical analysis. Random matrices and high-dimensional statistics are central to these efforts due to the large datasets and high dimensionality inherent in such models. We first consider the random features model, a two-layer neural network with fixed random weights in the first layer and learnable weights in the second layer. Our focus is on the asymptotic spectrum of the conjugate kernel matrix YY* with Y = f(WX), where W and X are rectangular random matrices with i.i.d. entries and f is a nonlinear activation function applied entry-wise. We extend prior results on light-tailed distributions for W and X by considering two new settings. First, we study the case of additive bias Y = f(WX + B), where B is an independent rank-one Gaussian random matrix, closer modeling the neural network architectures encountered in practice. To obtain the asymptotics for the empirical spectral density we follow the resolvent method via the cumulant expansion. Second, we investigate the case where W has heavy-tailed entries, X remains light-tailed, and f is a smooth, bounded, and odd function. We show that heavy-tailed weights induce much stronger correlations among the entries of Y, resulting in a novel spectral behavior. This analysis relies on the moment method through traffic probability theory. Next, we address the tensor PCA (Principal Component Analysis) problem, a high-dimensional inference task that investigates the computational hardness of estimating an unknown signal vector from noisy tensor observations via maximum likelihood estimation. Tensor PCA serves as a prototypical framework for understanding high-dimensional nonconvex optimization through gradient-based methods. This understanding can be approached from two perspectives: the topological complexity of the optimization landscape and the training dynamics of first-order optimization methods. In the context of landscape complexity, we study the annealed complexity of random Gaussian homogeneous polynomials on the N-dimensional unit sphere in the presence of deterministic polynomials that depend on fixed unit vectors and external parameters. Using the Kac-Rice formula and determinant asymptotics for spiked Wigner matrices, we derive variational formulas for the exponential asymptotics of the average number critical points and local maxima. Concerning the optimization dynamics in high dimensions, we study stochastic gradient descent (SGD) and gradient flow (GF) for the multi-spiked tensor model, where the goal is to recover r orthogonal spikes from noisy tensor observations. We show that SGD achieves the same computational threshold than in the single-spike case. In contrast, GF requires more samples to recover all spikes, resulting in a suboptimal threshold compared to SGD. Our analysis shows that spikes are recovered through a "sequential elimination" process: once a correlation exceeds a critical threshold, competing correlations become sufficiently small, allowing the next correlation to grow and become macroscopic. The order of recovery depends on initial values of correlations and the corresponding signal-to-noise ratios (SNRs), leading to recovery of a permutation of the spikes. In the matrix case (p=2), sufficiently separated SNRs allow exact recovery of the spikes, while equal SNRs lead to recovery of the subspace spanned by the spikes