Дисертації з теми "Bruit fractionnaire"

Les processus à densité spectrale du type L/F sont largement utilisés pour représenter des phénomènes dits à longue mémoire. Mandelbrot et Van Ness ont propose une définition de ces processus, appelés bruits gaussiens fractionnaires, à partir des taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire. Cependant, leur approche reste peu satisfaisante. Dans cette thèse, nous montrons que le bruit gaussien fractionnaire peut être rigoureusement défini comme la dérivée du mouvement brownien fractionnaire au sens des distributions vectorielles de Schwartz. De plus, notre approche permet notamment de mettre en évidence l'équivalence entre le concept de bruit gaussien fractionnaire et l'intégrale stochastique relative au mouvement brownien fractionnaire. La seconde partie de ce travail est consacrée à l'estimation de densité spectrale non nécessairement bornée à l'origine (ce qui est le cas pour les taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire). Auparavant, de nombreux auteurs (Parzen, Anderson,. . . ) avaient montré que, sous certaines conditions dont l'absolue sommabilité de la fonction d'autocorrélation, certains estimateurs de la densité spectrale, obtenus par lissage de périodogramme, étaient consistants. Dans un but de généralisation, nous montrons que parmi ces estimateurs certains d'entre eux restent consistants lorsque la densité spectrale à estimer n'est pas bornée à l'origine

L'intégration des circuits est au centre de l'enjeu lié à la réduction de l'encombrement et des coûts de fabrication des systèmes de télécommunication. Dans les systèmes d'émission et de réception, la génération de fréquence issue de l'oscillateur local va permettre la transposition du signal modulé autour de la porteuse vers une fréquence intermédiaire ou vers le signal en bande de base (et inversement pour l'émetteur). La synthèse de fréquence est généralement assurée par une boucle à verrouillage de phase (PLL). L'objectif de ce travail de thèse consiste à réaliser une PLL fractionnaire intégrée en bande X (8 GHz-12 GHz) en technologie BiCMOS. Dans un premier temps, un démonstrateur de PLL à division entière intégrée est présenté, pour lequel nous décrirons les spécifications et les méthodes. Les différents éléments constitutifs de la PLL numérique sont présentés pour lesquels nous évaluerons les spécifications en bruit. Cette étude permet d'établir un bilan de performances mettant en avant l'enjeu des caractéristiques dynamiques et en bruit lors de la conception d'un oscillateur contrôlé en tension. L'étude et la conception de l'oscillateur contrôlé en tension constituent l'objet du second chapitre. Les principes fondamentaux de la conception d'un oscillateur en technologie monolithique sont présentés. La nécessité de simuler correctement les performances du circuit, et tout particulièrement le bruit de phase, est mise en avant. La conception de deux oscillateurs contrôlés en tension est présentée (une topologie parallèle et une topologie série). La méthodologie de conception met en avant la prépondérance du phénomène de conversion de la source de bruit en courant sur la jonction base-émetteur du transistor : l'optimisation du bruit de phase est basée sur la minimisation de cette conversion. Sur la base de l'identification et de la localisation de la source de bruit prépondérante responsable du bruit de phase, nous proposons une solution de polarisation hybride afin de diminuer le bruit de phase en court-circuitant la source de bruit en courant. Une conception d'oscillateur contrôlé en tension à 20 GHz est aussi entreprise sur un concept de topologie push-push permettant d'atteindre un niveau de bruit de phase définissant l'état de l'art pour cette technologie et cette fréquence d'oscillation. Enfin, dans le dernier chapitre, nous étudions la division fractionnaire et décrivons la mise en oeuvre de la PLL toute intégrée : les différents types de circuits de la division fractionnaire sont exposés, et une étude spécifique de la topologie mise en place est présentée. Le bruit de phase de l'ensemble est estimé, mettant en avant la contribution en bruit du filtre qui est particulièrement problématique en solution toute intégrée

Cette thèse porte sur l’analyse statistique de quelques modèles de processus stochastiques gouvernés par des bruits de type fractionnaire, en temps discret ou continu.Dans le Chapitre 1, nous étudions le problème d’estimation par maximum de vraisemblance (EMV) des paramètres d’un processus autorégressif d’ordre p (AR(p)) dirigé par un bruit gaussien stationnaire, qui peut être à longue mémoire commele bruit gaussien fractionnaire. Nous donnons une formule explicite pour l’EMV et nous analysons ses propriétés asymptotiques. En fait, dans notre modèle la fonction de covariance du bruit est supposée connue, mais le comportement asymptotique de l’estimateur (vitesse de convergence, information de Fisher) n’en dépend pas.Le Chapitre 2 est consacré à la détermination de l’entrée optimale (d’un point de vue asymptotique) pour l’estimation du paramètre de dérive dans un processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire partiellement observé mais contrôlé. Nous exposons un principe de séparation qui nous permet d’atteindre cet objectif. Les propriétés asymptotiques de l’EMV sont démontrées en utilisant le programme d’Ibragimov-Khasminskii et le calcul de transformées de Laplace d’une fonctionnellequadratique du processus.Dans le Chapitre 3, nous présentons une nouvelle approche pour étudier les propriétés du mouvement brownien fractionnaire mélangé et de modèles connexes, basée sur la théorie du filtrage des processus gaussiens. Les résultats mettent en lumière la structure de semimartingale et mènent à un certain nombre de propriétés d’absolue continuité utiles. Nous établissons l’équivalence des mesures induites par le mouvement brownien fractionnaire mélangé avec une dérive stochastique, et en déduisons l’expression correspondante de la dérivée de Radon-Nikodym. Pour un indice de Hurst H > 3=4, nous obtenons une représentation du mouvement brownien fractionnaire mélangé comme processus de type diffusion dans sa filtration naturelle et en déduisons une formule de la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à la mesurede Wiener. Pour H < 1=4, nous montrons l’équivalence de la mesure avec celle la composante fractionnaire et obtenons une formule pour la densité correspondante. Un domaine d’application potentielle est l’analyse statistique des modèles gouvernés par des bruits fractionnaires mélangés. A titre d’exemple, nous considérons le modèle de régression linéaire de base et montrons comment définir l’EMV et étudié son comportement asymptotique
This thesis focuses on the statistical analysis of some models of stochastic processes generated by fractional noise in discrete or continuous time.In Chapter 1, we study the problem of parameter estimation by maximum likelihood (MLE) for an autoregressive process of order p (AR (p)) generated by a stationary Gaussian noise, which can have long memory as the fractional Gaussiannoise. We exhibit an explicit formula for the MLE and we analyze its asymptotic properties. Actually in our model the covariance function of the noise is assumed to be known but the asymptotic behavior of the estimator ( rate of convergence, Fisher information) does not depend on it.Chapter 2 is devoted to the determination of the asymptotical optimal input for the estimation of the drift parameter in a partially observed but controlled fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We expose a separation principle that allows us toreach this goal. Large sample asymptotical properties of the MLE are deduced using the Ibragimov-Khasminskii program and Laplace transform computations for quadratic functionals of the process.In Chapter 3, we present a new approach to study the properties of mixed fractional Brownian motion (fBm) and related models, based on the filtering theory of Gaussian processes. The results shed light on the semimartingale structure andproperties lead to a number of useful absolute continuity relations. We establish equivalence of the measures, induced by the mixed fBm with stochastic drifts, and derive the corresponding expression for the Radon-Nikodym derivative. For theHurst index H > 3=4 we obtain a representation of the mixed fBm as a diffusion type process in its own filtration and derive a formula for the Radon-Nikodym derivative with respect to the Wiener measure. For H < 1=4, we prove equivalenceto the fractional component and obtain a formula for the corresponding derivative. An area of potential applications is statistical analysis of models, driven by mixed fractional noises. As an example we consider only the basic linear regression setting and show how the MLE can be defined and studied in the large sample asymptotic regime

Le point central de cette thèse est la physique du bruit: la transformée de Fourier de la function de correlation temporelle courant-courant. Nous examinons des situations dans lesquelles le bruit généré par un circuit mésoscopique donné affecte le comportement d'un autre circuit mésoscopique. Dans une première partie, la source de bruit est inconnue, et le circuit mésoscopique qui lui est couplé de manière capacitive se comporte comme un détecteur de bruit à haute fréquence. Dans notre cas, le détecteur est constitué d'une jonction métal normal-supraconducteur, où le transport électronique est du au transfert de
quasiparticules, ou, de manière plus intéressante, est du à la réflexion d'Andreev. La théorie du blocage de Coulomb dynamique est utilisée pour calculer le courant continu qui passe dans le circuit de détection, procurant ainsi une information sur le bruit à haute fréquence. Dans la deuxième partie de cette thèse, la source de bruit est connue : elle provient d'une barre de Hall avec un contact ponctuel, dont les caractéristiques de courant-tension et de bruit sont bien établies dans le régime de l'effet Hall
quantique fractionnaire. Un point quantique connecté à des bornes source et drain, qui est placé au voisinage du
contact ponctuel, acquière une largeur de raie finie lorsque le courant fluctue, et se comporte comme un
détecteur de bruit de charge. Nous calculons le taux de déphasage du point quantique dans le régime de
faible et de fort rétrodiffusion, tout en décrivant l'effet de l'écrantage faible ou fort de l'interaction
Coulombienne entre la barre de Hall et le point quantique.

Dans certains états quantique de la matière, le courant peut être transporté par des porteurs de charges ayant une fraction e* de la charge élementaire. C'est notamment le cas de l'Effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) qui se produit pour des systèmes électroniques bidimensionels à basse température et soumis à un fort champ magnetique perpendiculaire. Quand le nombre de quantum de flux en unité h/e est une fraction du nombre d'électrons, le courant se propage le long des bords de l'échantillon sans dissipation. Les porteurs de charges impliqués dans le transport portent une charge fractionnaire. La mise en évidence de ces charges peut être faite via les faibles fluctuations de courant dûes à la granularité de la charge. Nous présentons ici une méthode fiable de mesure de la charge fractionnaire basée sur des correlations croisées de fluctuations de courant. La dynamique de ces charges fractionnaires lorsque l'échantillon est irradié avec des photons GHz est étudiée, permettant la mesure de la fréquence Josephson des charges fractionnaires. Ces mesures valident les processus photo-assisté en régime d'EHQF et permettent une manipulation résolue en temps des charges fractionnaires, dans le but de réaliser une source d'anyon sur le principe du léviton afin de réaliser des tests de la statistique anyonique de ces charges fractionnaires
In some quantum matter states, the current may remarkably be transported by carriers that bear a fraction e* of the elementary electron charge. This is the case for the Fractional quantum Hall effect (FQHE) that happens in two-dimensional systems at low temperature under a high perpendicular magnetic field. When the number of magnetic flux in units of h/e is a fraction of the number of electron, a dissipationless current flows along the edges of the sample and is carried by anyons with fractional charge. The observation of the fractional charge is realized through small current fluctuations produced by the granularity of the charge. Here is presented a reliable method to measure the fractional charge by the mean of cross-correlation of current fluctuations. Moreover, the dynamical properties of those charges is probed when the sample is irradiated with photos at GHz frequency. The long predicted Josephson frequency of the fractional charge is measured. Those measurements validate Photoassisted processes in the FQHE and enable timedomain manipulation of fractional charges in order to realize a single anyon source based on levitons to perform tests of the anyonic statistics of fractional charge

Cette thèse traite le problème de l'estimation aveugle des paramètres du bruit de capteur, inévitablement présent dans les images multi/hyperspectrales. Un modèle bidimensionnel de mouvement brownien fractionnaire (fBm) est choisi pour décrire localement la texture. L’estimation des paramètres du modèle fBm et de l’écart-type (STD) d’un bruit additif, dépendant, ou indépendant du signal, est obtenue au sens du maximum de vraisemblance, ceci pour des images multicomposantes et hyperspectrales. Les bornes inférieures de Cramer-Rao (CRLB) pour chaque paramètre estimé (fBm, STD) sont calculées et utilisées afin de comprendre l’influence relative de chaque paramètre estimé sur la précision finale de l’estimation de l’écart-type du bruit. Tout d'abord, les zones informatives sur le bruit, sont définies comme celles satisfaisant une Information de Fisher prédéfinie sur l’écart-type du bruit. Nous montrons comment déterminer ces zones à partir des images bruitées. Ensuite, il est démontré que les zones informatives sur le bruit, et celles informatives sur la texture sont conjointement nécessaires pour améliorer la précision de l’estimation de l’écart-type du bruit. Enfin, la précision potentielle des estimations locales de l’écart-type du bruit sont prédites pour une image donnée et fournissent l'intervalle de confiance de ces estimations. Finalement, il est démontré qu’une version multidimensionnelle de l'estimateur proposé peut être avantageusement appliquée pour l'estimation de l’écart-type du bruit (dépendant du signal) des bandes spectrales pour le capteur AVIRIS et, aussi pour les capteurs hyper-spectraux de nouvelle génération. Dans la partie expérimentale de la thèse, les estimateurs de l’état de l’art existants et ceux proposés sont comparés sur une large base d’images à l'aide du critère de l'efficacité statistique, fonction des bornes inférieures de Cramer-Rao.

Le sujet de cette thèse porte sur l'étude de certaines équations aux dérivées partielles non linéaires et dirigées par une perturbation aléatoire. Au Chapitre 1, on définit la notion de bruit blanc et de bruit fractionnaire. On décrit ensuite la procédure générale permettant de prouver le caractère bien posé des modèles considérés. Après avoir présenté un état de l'art, on détaille et commente les différents résultats obtenus en insistant sur les nouveautés et en précisant les éventuelles perspectives. Au Chapitre 2, on présente les outils probabilistes dont on aura besoin tout au long de notre étude. On commence par définir le mouvement brownien fractionnaire. On rappelle ensuite les notions essentielles concernant l'intégrale de Wiener et l'intégration contre la transformée de Fourier d'un bruit blanc. On établit alors la formule de la représentation harmonisable du champ brownien fractionnaire qui sera un outil de calcul précieux. On énonce également les deux résultats phares relatifs à la régularité des termes aléatoires, à savoir le critère de Kolmogorov et l'inégalité de Garsia-Rodemich-Rumsey. Pour terminer, on définit les polynômes d'Hermite qui nous permettront de renormaliser nos équations et on développe la notion de Chaos de Wiener afin de bénéficier de la traditionnelle inégalité de contrôle des moments d'ordre "p". Au Chapitre 3, on étudie une équation de la chaleur stochastique (SNLH) avec une non-linéarité quadratique, perturbée par un bruit fractionnaire en temps et en espace. On distingue deux types de régimes, dépendant des valeurs prises par l'indice de Hurst "H=(H_0,...,H_d) in (0,1)^{d+1}". En particulier, on montre que le caractère localement bien posé de (SNLH), résultant de l'astuce de Da Prato et Debussche, est obtenu facilement quand "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d". Au contraire, (SNLH) est plus difficile à traiter quand "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d". Dans ce cas, le modèle doit être interprété au sens de Wick, grâce à une renormalisation dépendant du temps. Aidé par l'effet régularisant du semi-groupe de la chaleur, on établit le caractère localement bien posé de (SNLH) en toute dimension "d geq 1". Au Chapitre 4, on étudie une équation de Schrödinger stochastique avec une non-linéarité quadratique et une perturbation fractionnaire en temps et en espace. Quand l'indice de Hurst est suffisamment grand, ce qui se traduit par l'inégalité "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d+1", on prouve le caractère localement bien posé du modèle en utilisant des arguments classiques. Cependant, quand l'indice de Hurst est petit, c'est-à-dire quand "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d+1", même l'interprétation de l'équation a besoin d'un intérêt particulier. Dans ce cas, une procédure de renormalisation doit être mise en place, conduisant à une interprétation du modèle au sens de Wick. Notre argument de point fixe met alors en jeu des propriétés spécifiques de régularisation du groupe de Schrödinger qui nous permettent de traiter la forte irrégularité de la solution. Au Chapitre 5, on étudie une équation de Schrödinger stochastique (SNLS), avec une non-linéarité quadratique, perturbée par une dérivée fractionnaire en espace (d'ordre "-alpha<0") d'un bruit blanc espace-temps. Quand "alpha
The subject of this thesis is the study of some nonlinear partial differential equations driven by a stochastic perturbation. In Chapter 1, we define the notion of white noise and fractional noise. We then describe the general procedure to prove the local well-posedness of the models under consideration. After having presented a state of the art, we detail and comment the different results obtained, we insist on the novelties and we precise the possible perspectives. In Chapter 2, we present the stochastic tools we will need throughout our study. We start by defining the fractional Brownian motion. We then recall the essential notions concerning Wiener integral and the integration against the Fourier transform of a white noise. We also establish the harmonizable representation formula of the fractional Brownian motion that will be a precious tool when doing computations. We state the main results related to the regularity of stochastic terms, namely Kolmogorov's criterion and the Garsia-Rodemich-Rumsey inequality. To end with, we define Hermite polynomials that will allow us to renormalize our equations and we develop the notion of Wiener Chaoses in order to benefit from the classical inequality of control of moments of order "p". In Chapter 3, we study a stochastic nonlinear heat equation (SNLH) with a quadratic nonlinearity, forced by a fractional space-time white noise. Two types of regimes are exhibited, depending on the ranges of the Hurst index "H=(H_0,...,H_d) in (0,1)^{d+1}". In particular, we show that the local well-posedness of (SNLH) resulting from the Da Prato-Debussche trick, is easily obtained when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d". On the contrary, (SNLH) is much more difficult to handle when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d". In this case, the model has to be interpreted in the Wick sense, thanks to a time-dependent renormalization. Helped with the regularising effect of the heat semigroup, we establish local well-posedness results for (SNLH) for all dimension "d geq 1". In Chapter 4, we study a stochastic Schr"{o}dinger equation with a quadratic nonlinearity and a space-time fractional perturbation. When the Hurst index is large enough, precisely when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d+1", we prove local well-posedness of the problem using classical arguments. However, for a small Hurst index, that is when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d", even the interpretation of the equation needs some care. In this case, a renormalization procedure must come into the picture, leading to a Wick-type interpretation of the model. Our fixed-point argument then involves some specific regularization properties of the Schr"{o}dinger group, which allows us to cope with the strong irregularity of the solution. In Chapter 5, we study a stochastic quadratic nonlinear Schr"{o}dinger equation (SNLS), driven by a fractional derivative (of order "-alpha<0") of a space-time white noise. When "alpha < frac{d}{2}", the stochastic convolution is a function of time with values in a negative-order Sobolev space and the model has to be interpreted in the Wick sense by means of a time-dependent renormalization. When "1 leq d leq 3", combining both the Strichartz estimates and a deterministic local smoothing, we establish the local well-posedness of (SNLS) for a small range of "alpha". Then, we revisit our arguments and establish multilinear smoothing on the second order stochastic term. This allows us to improve our local well-posedness result for some "alpha"

L’objectif de cette thèse est d’analyser le comportement de la décomposition modale empirique (EMD) et sa version multivariée (MEMD) dans le cas de processus stochastiques : bruit Gaussien fractionnaire (fGn) et processus symétrique alpha stable (SαS). Le fGn est un bruit large bande généralisant le cas du bruit blanc Gaussien et qui trouve des applications dans de nombreux domaines tels que le trafic internet, l’économie ou le climat. Par ailleurs, la nature «impulsive» d’un certain nombre de signaux (craquement des glaces, bruit des crevettes claqueuses, potentiel de champ local en neurosciences,…) est indéniable et le modèle Gaussien ne convient pas pour leur modélisation. La distribution SαS est une solution pour modéliser cette classe de signaux non-Gaussiens. L’EMD est un outil bien adapté au traitement et à l’analyse de ces signaux réels qui sont, en général, de nature complexe (non stationnaire,non linéaire). En effet, cette technique, pilotée par les données, permet la décomposition d’un signal en une somme réduite de composantes oscillantes, extraites de manière itérative, appelées modes empiriques ou IMFs (Intrinsic Mode Functions). Ainsi, nous avons montré que le MEMD s’organise spontanément en une structure de banc de filtres presque dyadiques. L'auto-similarité en termes de représentation spectrale des modes a aussi été établie. En outre, un estimateur de l’exposant de Hurst, caractérisant le fGn, a été construit et ses performances ont été comparées, en particulier à celles de l’approche ondelettes. Cette propriété de banc de filtres du MEMD a été vérifiée sur des données d'hydrodynamique navale (écoulement turbulent) et leur auto-similarité a été mise en évidence. De plus, l’estimation du coefficient de Hurst a mis en avant l’aspect longue dépendance (corrélation positive) des données. Enfin, l’aspect banc de filtres de l’EMD a été exploité à des fins de filtrage dans le domaine temporel en utilisant une mesure de similarité entre les densités de probabilités des modes extraits et celle du signal d’entrée. Pour éviter le problème du mode mixing de l'EMD standard, une approche de débruitage dans le domaine fréquentiel par une reconstruction complète des IMFs préalablement seuillées a été menée. L’ensemble des résultats a été validé par des simulations intensives (Monte Carlo) et sur des signaux réels
The main contribution of this thesis is aimed towards understanding the behaviour of the empirical modes decomposition (EMD) and its extended versions in stochastic situations

Un conducteur est bien caractérisé par sa conductance donnée par la formule de Landauer. Mais le bruit contient davantage d'informations que la conductance. Il mesure les fluctuations temporelles du courant autour de sa valeur moyenne. De plus, le signe des corrélations croisées est lié à la statistique des porteurs de charges.

Nous considérons l'injection controllée d'une charge d'un métal normal sur un état de bord de l'effet Hall quantique fractionnaire, à l'aide d'une tension dépendant du temps V(t). Nous montrons que les corrélations électroniques préviennent les divergences des fluctuations de charge pour un pulse de tension générique. La formule de la charge moyenne et des fluctuations de charges sont obtenue en utilisant l'approximation adiabatique et les résultats non perturbatifs pour un bord de l'effet Hall quantique Fractionnaire de facteur de remplissage 1/3. Nous faisons également une généralisation aux systèmes décrits par les autres modèles des liquides de Luttinger.

Nous considérons la mesure à haute fréquence des corrélations de courant à l'aide d'un circuit résonnant, qui est couplé inductivement au circuit mésoscopique dans le régime cohérent. Les informations sur les corrélations apparaissent dans les histogrammes de la charge aux bornes de la capacité du circuit résonnant. La dissipation est essentiel afin de conserver des fluctuations de charge finis. Nous identifions quelle combinaison du courant de corrélation entre dans la mesure du troisième moment. Ce dernier reste stable pour une dissipation nulle. Nous proposons alors une généralisation du circuit LC résonant afin de sonder directement les corrélations croisées. Les corrélations croisées dépendent de quatre corrélateurs non-symétrisés. Les résultats sont illustrés pour un point contact.

Ce travail de thèse porte sur la modélisation et l'estimation de paramètres pertinents pour les signaux de fréquences cardiaques (FC) instantanées. Nous nous intéressons à un paramètre (appelé grossièrement "fractal"), qui témoigne de la régularité locale de la trajectoire et de la dépendance entre les données. Les propriétés asymptotiques de la fonction DFA (Detrended Fluctuation Analysis) et de l'estimateur de H sont étudiées pour le bruit gaussien fractionnaire (FGN) et plus généralement pour une classe semi-paramétrique de processus stationnaires à longue mémoire avec ou sans tendance. On montre que cette méthode n'est pas robuste. On propose la modélisation des séries de FC par une généralisation du FGN, appelée bruit gaussien localement fractionnaire. Un tel processus stationnaire est construit à partir du paramètre dit de fractalité locale (une sorte de paramètre de Hurst avec des valeurs dans IR) sur une bande de fréquences. L'estimation du paramètre est faite par une analyse par ondelettes, tout comme le test d'adéquation. On montre la pertinence du modèle et une évolution du paramètre pendant la course. Une détection des changements de ce paramètre pourrait être extrêmement appropriée. On propose alors une méthode de détection de multiples ruptures du paramètre de longue mémoire (respectivement d'autosimilarité, de fractalité locale). Un estimateur des points de changements est construit, il vérifie un théorème limite. Un théorème de la limite centrale est établi pour l'estimateur des paramètres et un test d'ajustement est mis en place dans chaque zone où le paramètre est inchangé. Enfin, on montre la même évolution du paramètre de fractalité locale sur les FC.

Cette thèse est dévolue à la statistique inférentielle asymptotique de différents modèles chronologiques dirigés par un bruit comportant de la mémoire. Dans ces modèles, l'estimateur des moindres carrés n'est pas consistant et nous considérons d'autres estimateurs. Nous commençons par étudier les propriétés asymptotiques presquesûres de l'estimateur du maximum de vraisemblance du coefficient d'autorégression dans un processus autorégressif dirigé par un bruit gaussien stationnaire. Nous présentons ensuite une procédure statistique afin de détecter un changement de régime au sein de ce modèle en s'inspirant du cas classique dirigé par un bruit blanc fort. Nous abordons ensuite un modèle autorégressif où les coefficients sont aléatoires et possèdent une courte mémoire. Là encore l'estimateur des moindres carrés n'est pas consistant et nouscorrigeons l'estimation afin d'estimer correctement les paramètres du modèle. Pour finir nous étudions un nouvel estimateur joint de l'exposant de Hurst et de la variance dans un bruit gaussien fractionnaire observé à haute fréquence dont les qualités sont comparables au maximum de vraisemblance
This thesis is devoted to asymptotic inferenre of differents chronological models driven by a noise with memory. In these models, the least squares estimator is not consistent and we consider other estimators. We begin by studying the almost-sureasymptotic properties of the maximum likelihood estimator of the autoregressive coefficient in an autoregressive process drivenby a stationary Gaussian noise. We then present a statistical procedure in order to detect a change of regime within this model,taking inspiration from the classic case driven by a strong white noise. Then we consider an autoregressive model where the coefficients are random and have a short memory. Here again, the least squares estimator is not consistent and we correct the previous statistic in order to correctly estimate the parameters of the model. Finally we study a new joint estimator of the Hurst exponent and the variance in a fractional Gaussian noise observed at high frequency whose qualities are comparable to the maximum likelihood estimator

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines classes d'équations aux dérivées partielles stochastiques de type fractionnaire dirigées par un bruit gaussien additif. Le caractère fractionnaire de ces équations est donné soit par l'opérateur différentiel qui intervient (le laplacien fractionnaire) ou bien par le bruit aléatoire. La perturbation aléatoire qui dirige ces équations peut avoir une corrélation en temps ou en espace. Dans un premier temps, on analyse l'équation de la chaleur stochastique avec un opérateur différentiel donné par le laplacien fractionnaire d'ordre alpha dans ]1, 2]. Le bruit aléatoire qui intervient dans cette équation est additif et il se comporte comme un processus de Wiener par rapport à la variable temporelle et comme un bruit blanc ou colorié par rapport à la variable spatiale. Nous obtenons des résultats concernant l'existence de la solution, la régularité de ses trajectoires ainsi que sa loi de probabilité. Nous remarquons un lien étroit entre la solution de l'équation fractionnaire de la chaleur et certains processus stochastiques fractionnaires (mouvement brownien fractionnaire ou bifractionnaire). En utilisant ce lien, nous étudions le comportement asymptotique des variations généralisées de la solution, en temps et en espace. Nous proposons également, dans la situation où l'équation initiale dépend d'un paramètre de dérive (ou de drift), des estimateurs pour ce paramètre. Les estimateurs s'expriment en fonction des variations généralisées de la solution et nous utilisons les comportements de celles-ci pour obtenir les propriétés asymptotiques (consistance, normalité asymptotique) de nos estimateurs.Dans un deuxième temps, on analyse l'équation stochastique des ondes sur un intervalle fini en espace. Ici le caractère fractionnaire est donné par le bruit gaussien qui se comporte comme un mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst H dans ]1/2,1[par rapport à la variable temporelle et comme un mouvement brownien standard en espace. Notre analyse est basé sur l'écriture sous la forme d'une série trigonométrique du noyau associé à l'équation des ondes. Des différentes propriétés de la solution sont ainsi obtenues, parmi lesquelles l'existence, la continuité holdérienne de ses trajectoires, la propriété dite de scaling et le comportement par rapport à l'indice de Hurst
This doctoral thesis is devoted to the study of the fractional stochastic heat equation driven by additive Gaussian noises.The world "fractional" concerns the appearance of the fractional Laplacian operator or it refers to the driven fractional noise. The Guassian random may have a non tivial correlation in time and/or in space.First, we analyze the stochastic differential heat equation with a fractional Laplacian operator with exponent alpha in (1, 2). The random noise is considered to be white in time and white or colored with respect to the space variable. We obtain several results concerning the existence of the solution, the regularity of its paths and its law. We noticed a link between the solution of fractional heat equation and some fractional stochastic processes (Fractional Brownian motion or bi-Fractional Brownian motion). Using this link, we study the asymptotic behavior of the generalized variations of the solution, in time and in space. We also propose, in the situation where the initial equation depends on a drift parameter, estimators for this parameter. The estimators are expressed as a function of the generalized variations of the mild solution. We use the behavior of these variations to prove some asymptotic properties (the consistency, asymptotic normality) of our estimators.In a second time, we analyze the wave stochastic equation on a finite interval in space. In this case, the character “fractional” is given by the Gaussian noise which behaves in time as a Fractional Brownian motion with Hurst parameter H in (½,1) with respect to the variable of time and as a standard Brownian motion in space. Our analysis is based on the expression of the Green kernel associated to the wave equation, which can be written as a trigonometric series. We establish various properties for the solution, including the scaling property, the pathwise regularity or the asymptotic behavior with respect to the Hurst parameter

Dans cette thèse nous considérons, dans un premier temps, le problème de l'analyse statistique des modèles FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) induits par un bruit blanc non corrélé mais qui peut contenir des dépendances non linéaires très générales. Ces modèles sont appelés FARIMA faibles et permettent de modéliser des processus à mémoire longue présentant des dynamiques non linéaires, de structures souvent non-identifiées, très générales. Relâcher l'hypothèse d'indépendance sur le terme d'erreur, une hypothèse habituellement imposée dans la littérature, permet aux modèles FARIMA faibles d'élargir considérablement leurs champs d'application en couvrant une large classe de processus à mémoire longue non linéaires. Les modèles FARIMA faibles sont denses dans l'ensemble des processus stationnaires purement non déterministes, la classe formée par ces modèles englobe donc celle des processus FARIMA avec un bruit indépendant et identiquement distribué (iid). Nous appelons par la suite FARIMA forts les modèles dans lesquels le terme d'erreur est supposé être un bruit iid.Nous établissons les procédures d'estimation et de validation des modèles FARIMA faibles. Nous montrons, sous des hypothèses faibles de régularités sur le bruit, que l'estimateur des moindres carrés des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est fortement convergent et asymptotiquement normal. La matrice de variance asymptotique de l'estimateur des moindres carrés des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est de la forme "sandwich". Cette matrice peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort (i.e. dans le cas où le bruit est supposé iid). Nous proposons, par deux méthodes différentes, un estimateur convergent de cette matrice. Une méthode alternative basée sur une approche d'auto-normalisation est également proposée pour construire des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette technique nous permet de contourner le problème de l'estimation de la matrice de variance asymptotique de l'estimateur des moindres carrés.Nous accordons ensuite une attention particulière au problème de la validation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Nous montrons que les autocorrélations résiduelles ont une distribution asymptotique normale de matrice de covariance différente de celle obtenue dans le cadre des FARIMA forts. Cela nous permet de déduire la loi asymptotique exacte des statistiques portmanteau et de proposer ainsi des versions modifiées des tests portmanteau standards de Box-Pierce et Ljung-Box. Il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un khi-deux lorsque le terme d'erreur est supposé iid. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d'une somme pondérée de khi-deux. Elle peut être très différente de l'approximation khi-deux usuelle du cas fort. Nous adoptons la même approche d'auto-normalisation utilisée pour la construction des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA faibles pour tester l'adéquation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette méthode a l'avantage de contourner le problème de l'estimation de la matrice de variance asymptotique du vecteur joint de l'estimateur des moindres carrés et des autocovariances empiriques du bruit.Dans un second temps, nous traitons dans cette thèse le problème de l'estimation des modèles autorégressifs d'ordre 1 induits par un bruit gaussien fractionnaire d'indice de Hurst H supposé connu. Nous étudions, plus précisément, la convergence et la normalité asymptotique de l'estimateur des moindres carrés généralisés du paramètre autorégressif de ces modèles
We first consider, in this thesis, the problem of statistical analysis of FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) models endowed with uncorrelated but non-independent error terms. These models are called weak FARIMA and can be used to fit long-memory processes with general nonlinear dynamics. Relaxing the independence assumption on the noise, which is a standard assumption usually imposed in the literature, allows weak FARIMA models to cover a large class of nonlinear long-memory processes. The weak FARIMA models are dense in the set of purely non-deterministic stationary processes, the class of these models encompasses that of FARIMA processes with an independent and identically distributed noise (iid). We call thereafter strong FARIMA models the models in which the error term is assumed to be an iid innovations.We establish procedures for estimating and validating weak FARIMA models. We show, under weak assumptions on the noise, that the least squares estimator of the parameters of weak FARIMA(p,d,q) models is strongly consistent and asymptotically normal. The asymptotic variance matrix of the least squares estimator of weak FARIMA(p,d,q) models has the "sandwich" form. This matrix can be very different from the asymptotic variance obtained in the strong case (i.e. in the case where the noise is assumed to be iid). We propose, by two different methods, a convergent estimator of this matrix. An alternative method based on a self-normalization approach is also proposed to construct confidence intervals for the parameters of weak FARIMA(p,d,q) models.We then pay particular attention to the problem of validation of weak FARIMA(p,d,q) models. We show that the residual autocorrelations have a normal asymptotic distribution with a covariance matrix different from that one obtained in the strong FARIMA case. This allows us to deduce the exact asymptotic distribution of portmanteau statistics and thus to propose modified versions of portmanteau tests. It is well known that the asymptotic distribution of portmanteau tests is correctly approximated by a chi-squared distribution when the error term is assumed to be iid. In the general case, we show that this asymptotic distribution is a mixture of chi-squared distributions. It can be very different from the usual chi-squared approximation of the strong case. We adopt the same self-normalization approach used for constructing the confidence intervals of weak FARIMA model parameters to test the adequacy of weak FARIMA(p,d,q) models. This method has the advantage of avoiding the problem of estimating the asymptotic variance matrix of the joint vector of the least squares estimator and the empirical autocovariances of the noise.Secondly, we deal in this thesis with the problem of estimating autoregressive models of order 1 endowed with fractional Gaussian noise when the Hurst parameter H is assumed to be known. We study, more precisely, the convergence and the asymptotic normality of the generalized least squares estimator of the autoregressive parameter of these models

Cette thèse est consacrée à l'étude des solutions d'équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits fractionnaires gaussiens et non gaussiens. Les bruits fractionnaires considérés sont modélisés par les processus d'Hermite qui forment une famille de processus stochastiques autosimilaires, à accroissements stationnaires et qui sont représentés par des intégrales stochastiques multiples de Wiener-Itô. Dans un premier travail, nous étudions la solution de l'équation stochastique de la chaleur linéaire dirigée par un champ d'Hermite. Nous établissons les différentes propriétés de la solution mild et analysons en particulier sa distribution en probabilité dans le cas non gaussien. La deuxième partie de cette thèse concerne le comportement asymptotique des solutions d'équations stochastiques lorsque l'exposant de Hurst H qui caractérise le bruit fractionnaire converge vers ses valeurs limites. Nous étudions en particulier le comportement en loi de la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un champ d'Hermite et le processus d'Ornstein-Uhlenbeck type Hermite qui est la solution de l'équation de Langevin dirigée par un processus d'Hermite. Dans la dernière partie de ce travail, nous analysons le comportement asymptotique en loi des variations généralisées de la solution de l'équation stochastique des ondes dirigée par un bruit gaussien fractionnaire. Ces résultats ont permis de construire des estimateurs consistants pour l'indice d’autosimilarite H
This doctoral thesis is devoted to the study of the solutions of stochastic differential equations driven by additive Gaussian and non-Gaussian noises. As a non-Gaussian driving noise, we use the Hermite processes. These processes form a family of self-similar stochastic processes with stationary increments and long memory and they can be expressed as multiple Wiener-Itô integrals. The class of Hermite processes includes the well-known fractional Brownian motion which is the only Gaussian Hermite process, and the Rosenblatt process. In a first chapter, we consider the solution to the linear stochastic heat equation driven by a multiparameter Hermite process of any order and with Hurst multi-index H. We study the existence and establish various properties of its mild solution. We discuss also its probability distribution in the non-Gaussian case. The second part deals with the asymptotic behavior in distribution of solutions to stochastic equations when the Hurst parameter converges to the boundary of its interval of definition. We focus on the case of the Hermite Ornstein-Uhlenbeck process, which is the solution of the Langevin equation driven by the Hermite process, and on the case of the solution to the stochastic heat equation with additive Hermite noise. These results show that the obtained limits cover a large class of probability distributions, from Gaussian laws to distribution of random variables in a Wiener chaos of higher order. In the last chapter, we consider the stochastic wave equation driven by an additive Gaussian noise which behaves as a fractional Brownian motion in time and as a Wiener process in space. We show that the sequence of generalized variations satisfies a Central Limit Theorem and we estimate the rate of convergence via the Stein-Malliavin calculus. The results are applied to construct several consistent estimators of the Hurst index

Dans notre thèse nous nous sommes intéressés à l'étude des fluctuations de courant, de l'admittance quantique ainsi que la densité d'états pour un nano système en interaction. Notre travail se divise en deux parties. Dans la première partie, nous avons étudié les fluctuations de courant et l'admittance pour un conducteur unidimensionnel, en décrivant le système par un liquide de Tomonaga-Luttinger. Nous avons utilisé les techniques de bosonisation et de refermionisation afin d'aboutir à des résultats exacts pour tous les régimes de température, toutes les valeurs de la tension appliquée et toute la gamme des fréquences. Les résultats obtenus sont appliqués à un conducteur cohérent couplé à un quantum de résistance, et aux états de bord dans le régime de l'effet Hall quantique fractionnaire. Dans le cas d'un conducteur cohérent, le bruit non symétrisé à fréquence finie exhibe un profil différent de celui de la théorie de la diffusion, et la conductance à fréquence finie est directement liée au courant. Dans le cas du régime de l'effet Hall quantique fractionnaire, nous avons pu établir que dans certaines limites, il existe une relation entre les corrélations de courant à l'admittance quantique. En particulier, les singularités qui apparaissent dans les corrélations de courant sont celles de l'admittance. Dans la deuxième partie, nous avons étudié un fil quantique connecté à deux réservoirs qui sont représentés par deux impuretés. Le système est décrit par un liquide de Tomonaga-Luttinger. Nous avons établi et résolu l'équation de Dyson pour la fonction de Green retardée. Ce qui permet de calculer la densité d'états pour un fil quantique homogène puis inhomogène. Dans le cas d'un paramètre d'interaction homogène, l'effet des impuretés modifie le profil de la densité d'états. Dans le cas d'un paramètre d'interaction inhomogène, le calcul de la densité d'états est plus difficile et une approche numérique est indispensable.

La nécessaire représentation en échelle du monde nous amène à expliquer pourquoi la théorie des ondelettes en constitue le formalisme le mieux adapté. Ses performances sont comparées à d'autres outils : la méthode des étendues normalisées (R/S) et la méthode par décomposition empirique modale (EMD).La grande diversité des bases analysantes de la théorie des ondelettes nous conduit à proposer une approche à caractère morphologique de l'analyse. L'exposé est organisé en trois parties.Le premier chapitre est dédié aux éléments constitutifs de la théorie des ondelettes. Un lien surprenant est établi entre la notion de récurrence et l'analyse en échelle (polynômes de Daubechies) via le triangle de Pascal. Une expression analytique générale des coefficients des filtres de Daubechies à partir des racines des polynômes est ensuite proposée.Le deuxième chapitre constitue le premier domaine d'application. Il concerne les plasmas de bord des réacteurs de fusion de type tokamak. Nous exposons comment, pour la première fois sur des signaux expérimentaux, le coefficient de Hurst a pu être mesuré à partir d'un estimateur des moindres carrés à ondelettes. Nous détaillons ensuite, à partir de processus de type mouvement brownien fractionnaire (fBm), la manière dont nous avons établi un modèle (de synthèse) original reproduisant parfaitement la statistique mixte fBm et fGn qui caractérise un plasma de bord. Enfin, nous explicitons les raisons nous ayant amené à constater l'absence de lien existant entre des valeurs élevées du coefficient d'Hurst et de supposées longues corrélations.Le troisième chapitre est relatif au second domaine d'application. Il a été l'occasion de mettre en évidence comment le bien-fondé d'une approche morphologique couplée à une analyse en échelle nous ont permis d'extraire l'information relative à la taille, dans un écho rétrodiffusé d'une cible immergée et insonifiée par une onde ultrasonore
The necessary scale-based representation of the world leads us to explain why the wavelet theory is the best suited formalism. Its performances are compared to other tools: R/S analysis and empirical modal decomposition method (EMD). The great diversity of analyzing bases of wavelet theory leads us to propose a morphological approach of the analysis. The study is organized into three parts. The first chapter is dedicated to the constituent elements of wavelet theory. Then we will show the surprising link existing between recurrence concept and scale analysis (Daubechies polynomials) by using Pascal's triangle. A general analytical expression of Daubechies' filter coefficients is then proposed from the polynomial roots. The second chapter is the first application domain. It involves edge plasmas of tokamak fusion reactors. We will describe how, for the first time on experimental signals, the Hurst coefficient has been measured by a wavelet-based estimator. We will detail from fbm-like processes (fractional Brownian motion), how we have established an original model perfectly reproducing fBm and fGn joint statistics that characterizes magnetized plasmas. Finally, we will point out the reasons that show the lack of link between high values of the Hurst coefficient and possible long correlations. The third chapter is dedicated to the second application domain which is relative to the backscattered echo analysis of an immersed target insonified by an ultrasonic plane wave. We will explain how a morphological approach associated to a scale analysis can extract the diameter information

Le sujet de la thèse porte sur l'étude des approches d'estimation des Signaux à Phase Polynomiale (SPP) noyés par un bruit non gaussien. Nous considérons deux modèles pour le bruit: le premier modèle est défini par une Somme Pondérée de Gaussiennes et le second par des distributions alpha-stables. Dans un premier temps, nous abordons les méthodes classiques d'analyse des SPP. L'utilisation des statistiques d'ordre fractionnaire permet d'obtenir des algorithmes robustes en présence de bruit impulsif; nous exploitons cette propriété pour proposer une Distribution de Wigner-Ville Polynomiale pour l'analyse des SPP. Cette nouvelle distribution, permet de mieux estimer la fréquence instantanée du SPP bruité. La deuxième partie est consacrée aux méthodes récentes d'analyse spectrale adaptées aux SPP. Nous proposons un algorithme MUSIC robuste obtenu par SVD de la matrice de covariation. Cet algorithme nous permet d'estimer les coefficients de la phase dans un plan temps-coefficient. Dans la troisième partie, une approche pour l'estimation des SPP par filtrage de Kalman est présentée. Cette approche repose sur un modèle d'état non linéaire avec un bruit d'observation non gaussien. Nous présentons trois types de filtres de Kalman robustes au bruit impulsif. Le premier, appelé filtre de Kalman étendu robuste utilise un gain de Kalman dépendant de la fonction de Huber. Aussi, nous proposons d'utiliser deux filtres de Kalman étendus (EKF) opérant en parallèle couplés via le terme d'apparition du bruit impulsif. Enfin, il est possible d'améliorer les performances d'estimation en utilisant un filtre UKF ‘unscented Kalman filter' à la place du filtre EKF.