Добірка наукової літератури з теми "Critères d'arrêts"

Objectif: L'utilisation d'une approche pharmacocomportementale, ayant recours aux techniques modifiées d'exposition et prévention de la réponse et d'arrêt des pensées, dans le traitement d'un trouble obsessionnel-compulsif chez une fillette de 9 ans. Méthode: Le diagnostic du trouble obsessionnel-compulsif (TOC) a été posé selon les critères du DSM-IV. La patiente a été rencontrée pendant 15 séances durant lesquelles la clomipramine a été introduite et les techniques modifiées d'exposition et prévention de la réponse et d'arrêt des pensées ont été utilisées successivement. Le suivi s'est prolongé sur plus d'un an et demi après la fin de la thérapie. Résultats: L'apprentissage et l'utilisation des techniques comportementales ont été faciles pour la patiente et nous avons observé une disparition rapide, complète et soutenue de la symptomatologie obsessionnelle-compulsive. Conclusion: L'utilisation de l'approche pharmacocomportementale dans le traitement du TOC chez les jeunes enfants demeure limitée. Des techniques utilisées chez l'adulte légèrement modifiées pour les adapter à l'enfant représentent à notre avis une avenue thérapeutique à explorer.

La Loi sur l'assurance automobile constitue l'exemple par excellence d'une loi remédiatrice. Elle fut adoptée en 1977 pour répondre à une insatisfaction généralisée à l'égard du système de droit commun de la responsabilité civile. La règle de l'interprétation large et libérale, explicitement édictée à l'article 41 de la Loi d'interprétation, devrait donc être appliquée sans discussion. Cependant, l'auteur expose dans les pages qui suivent que la situation est loin d'être aussi claire. Les exemples d'interprétation manifestement restrictive côtoient des décisions plus conformes au voeu du législateur. Celui-ci a d'ailleurs restreint le champ d'application de la loi, dans une réforme entrée en vigueur le 1er janvier 1990. Si la situation est préoccupante, elle n'est cependant pas désespérée. L'auteur souligne l'existence d'arrêts plus récents de la Cour d'appel où la règle de l'interprétation large et libérale semble mieux respectée. Cette tendance devra, selon lui, s'accompagner d'une révision en profondeur du critère de la causalité, tel qu'il est présentement appliqué par les tribunaux.

La thèse s’intéresse aux modèle de rendu réaliste en synthèse d’images, en particulier aux algorithmes non-biaisés d’illumination globale. Leur intérêt est de calculer précisément une solution d’illumination qui permet notamment de produire des images réalistes. Cependant ces modèles sont soumis à la présence de bruit visuel, du fait de la nature stochastique des méthodes sur lesquelles elles reposent. Ce bruit s’atténue avec l’augmentation du nombre d’échantillons utilisés, ce qui conduit généralement à des temps de calculs très importants. Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes intéressés à la recherche d’un critère d’arrêt automatique de ces algorithmes, sur la base de critères perceptifs permettant de déterminer la présence ou non de bruit visible. Après un tour d’horizon des différentes méthodes employées pour le rendu d’image, le problème de l’intégration des modèles perceptifs est envisagé. Il s’agit d’utiliser les connaissances établies sur le système visuel humain afin de guider des algorithmes de rendu d’images. Dans un second temps, deux méthodologies sont proposées, reposant respectivement sur l’utilisation d’un modèle de perception et d’un modèle d’apprentissage supervisé. Ces deux approches sont calibrées à partir de données expérimentales obtenues auprès d’observateurs humains. Une comparaison entre ces deux méthodes montre que celle reposant sur l’apprentissage est plus avantageuse en terme de coût (calcul, mémoire) et permet une répartition différenciée des efforts de calcul au travers des images, en se focalisant sur les zones qui laissent apparaître du bruit
The thesis focused on modelsnof realistic images rendering, especially unbiased algorithms of global illumination. Their interest is to calculate precisely illumination solution which allows to produce realistic images. However, these methods are prone to visual noise du to the stochastic nature of the underlying methods. This noise can be reduced by increasing the number of computed samples but simultaneously increasing the computation times. In this thesis we have been interested in searching for automatic stopping criteria for these algorithms. More specifically we focused of perceptual criteria allowing visible noise to be detected through any image. After an overview of the different methods used to render images, the problem of the integration of the perceptual models is considered. We use knowledge of the human visual system to guide image rendering algorithms. In a second step, two methodologies are proposed. They are based respectively on a human visual model and a supervised learning approach. We calibrate these two methods through experimental data obtained from human observers. By comparing our two methods we show that one based on supervised learning has more advantages : it requires less additional memory and computation can be distributed heterogeneously across the image, focusing on noisy areas

L'objectif de cette thèse est de comprendre les micro-mécanismes physiques de propagation et d'arrêt de fissure de clivage dans l'acier de cuve 16MND5 et de proposer un modèle de prédiction robuste et physiquement fondé, en s'appuyant sur une campagne d'essais de rupture fragile sur éprouvettes de laboratoire finement instrumentées, associée à la modélisation numérique de ces essais. Dans un premier temps, des expériences ont été menées sur des éprouvettes CT25 de différentes épaisseurs à cinq températures (-150°C, -125°C, -100°C, -75°C, -50°C). Des trajets de fissures rectilignes et branchées (deux fissures se développant de manière quasi-symétrique) ont été observés. Pour estimer la vitesse de propagation, une caméra ultra-rapide a été utilisée, associée à la mise au point d'un protocole expérimental permettant d'observer la face de l'éprouvette dans l'enceinte thermique, sans givrage. Des observations à 500 000 images.s-1 ont permis de caractériser finement la vitesse instantanée de la fissure sur le ligament complet de la CT (~25 mm). En parallèle, pour pouvoir analyser les essais et l'impact de la viscosité sur la réponse mécanique autour de la fissure, le comportement élasto-viscoplastique du matériau a été étudié jusqu'à une vitesse de déformation de 104 s-1 pour les températures étudiées. La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) a été utilisée dans le code de calcul CAST3M pour modéliser la propagation de fissure. Les simulations numériques associent l'approche locale de la rupture en dynamique non linéaire et un critère de propagation en contrainte critique de type RKR à une distance caractéristique. Les travaux réalisés ont permis de confirmer la forme du critère proposé par Prabel à -125°C, et d'identifier les dépendances de ce critère à la température et à la vitesse de déformation. A partir d'analyses numériques en 2D et 3D, un critère multi-température fonction croissante de la vitesse de déformation est proposé. Des modélisations prédictives ont permis de valider le critère sur deux géométries d'éprouvettes (CT et anneau) en mode I à différentes températures. Des observations MEB et des analyses 3D au microscope optique montrent que le mécanisme de rupture est le clivage associé à des zones de cisaillement ductile entre les différents plans de fissuration. L'étude de la fraction surfacique des marches de cisaillement et des contraintes de fermeture associées tend à justifier le critère mis en place. Un modèle analytique est proposé permettant de justifier le critère déduit des modélisations numériques. Ce modèle considère que les ligaments retiennent la lèvre de la fissure et induisent donc des contraintes de fermeture au niveau de la pointe de fissure qu'il faut compenser pour atteindre la contrainte de clivage effective en pointe de fissure. Cette résistance des ligaments est directement reliée à la loi de comportement du matériau et justifie la dépendance du critère de rupture identifié à la vitesse de déformation. Enfin, les branchements de fissure ont été analysés via le dépouillement des vidéos obtenues avec la caméra rapide qui mettent en évidence un amorçage initial rectiligne, puis un amorçage de fissures multiples de part et d'autre du plan de fissure qui conduisent à l'arrêt de la fissure initiale, l'une de ces fissures 'secondaires' conduisant ensuite à la rupture de l'éprouvette. Les rôles essentiels de l'épaisseur et du chargement dans ce mécanisme de branchement sont soulignés. L'augmentation de l'épaisseur réduit la fréquence d'apparition de ce mécanisme et finit même par l'annuler. Logiquement l'intensité du chargement doit être suffisamment importante pour créer cette zone plastique étendue : les essais qui présentent une propagation rectiligne sont les essais pour lesquels les chargements à l'amorçage sont les plus faibles.

Cette thèse développe des estimations d’erreur a posteriori et critères d’arrêt pour les méthodes de décomposition de domaine avec des conditions de transmission de Robin optimisées entre les interfaces. Différents problèmes sont considérés: l’équation de Darcy stationnaire puis l’équation de la chaleur, discrétisées par les éléments finis mixtes avec un schéma de Galerkin discontinu de plus bas degré en temps pour le second cas. Pour l’équation de la chaleur, une méthode de décomposition de domaine globale en temps, avec mêmes ou différents pas de temps entre les différents sous domaines, est utilisée. Ce travail est finalement étendu à un modèle diphasique en utilisant une méthode de volumes finis centrés par maille en espace. Pour chaque modèle, un problème d’interface est résolu itérativement, où chaque itération nécessite la résolution d’un problème local dans chaque sous-domaine, et les informations sont ensuite transmises aux sous-domaines voisins. Pour les modèles instationnaires, les problèmes locaux dans les sous-domaines sont instationnaires et les données sont transmises par l’interface espace-temps. L’objectif de ce travail est, pour chaque modèle, de borner l’erreur entre la solution exacte et la solution approchée à chaque itération de l’algorithme de décomposition de domaine. Différentes composantes d’erreur en jeu de la méthode sont identifiées, dont celle de l’algorithme de décomposition de domaine, de façon à définir un critère d’arrêt efficace pour cette méthode. En particulier, pour l’équation de Darcy stationnaire, on bornera l’erreur par un estimateur de décomposition de domaine ainsi qu’un estimateur de discrétisation en espace. On ajoutera à la borne de l’erreur un estimateur de discrétisation en temps pour l’équation de la chaleur et pour le modèle diphasique. L’estimation a posteriori répose sur des techniques de reconstructions de pressions et de flux conformes respectivement dans les espaces H1 et H(div) et sur la résolution de problèmes locaux de Neumann dans des bandes autour des interfaces de chaque sous-domaine pour les flux. Ainsi, des critères pour arrêter les itérations de l’algorithme itératif de décomposition de domaine sont développés. Des simulations numériques pour des problèmes académiques ainsi qu’un problème plus réaliste basé sur des données industrielles sont présentées pour illustrer l’efficacité de ces techniques. En particulier, différents pas de temps entre les sous-domaines sont considérés pour cet exemple
This work contributes to the developpement of a posteriori error estimates and stopping criteria for domain decomposition methods with optimized Robin transmission conditions on the interface between subdomains. We study several problems. First, we tackle the steady diffusion equation using the mixed finite element subdomain discretization. Then the heat equation using the mixed finite element method in space and the discontinuous Galerkin scheme of lowest order in time is investigated. For the heat equation, a global-in-time domain decomposition method is used for both conforming and nonconforming time grids allowing for different time steps in different subdomains. This work is then extended to a two-phase flow model using a finite volume scheme in space. For each model, the multidomain formulation can be rewritten as an interface problem which is solved iteratively. Here at each iteration, local subdomain problems are solved, and information is then transferred to the neighboring subdomains. For unsteady problems, the subdomain problems are time-dependent and information is transferred via a space-time interface. The aim of this work is to bound the error between the exact solution and the approximate solution at each iteration of the domain decomposition algorithm. Different error components, such as the domain decomposition error, are identified in order to define efficient stopping criteria for the domain decomposition algorithm. More precisely, for the steady diffusion problem, the error of the domain decomposition method and that of the discretization in space are estimated separately. In addition, the time error for the unsteady problems is identified. Our a posteriori estimates are based on the reconstruction techniques for pressures and fluxes respectively in the spaces H1 and H(div). For the fluxes, local Neumann problems in bands arround the interfaces extracted from the subdomains are solved. Consequently, an effective criterion to stop the domain decomposition iterations is developed. Numerical experiments, both academic and more realistic with industrial data, are shown to illustrate the efficiency of these techniques. In particular, different time steps in different subdomains for the industrial example are used

L'imagerie par résonance magnétique de diffusion permet de mesurer l'intensité de la diffusion de l'eau dans plusieurs directions et révèle l'orientation locale des structures biologiques sous-jacentes, notamment l'orientation locale du réseau d'axones du cerveau. Une procédure appelée tractographie a pour objectif d'estimer la structure 3D de ce réseau d'axones à partir de l'information de diffusion. Les algorithmes de tractographie sont généralement contraints dans un sous-ensemble de l'image de diffusion où l'information mesurée est cohérente, par exemple par un masque de la matière blanche. L'algorithme de tractographie termine lorsqu'il atteint la frontière du masque. Quel effet le masque a-t-il sur les résultats produits par l'algorithme de tractographie ? Comment produire des résultats anatomiquement cohérents ? Dans ce mémoire, nous présentons des méthodes utilisant l'information des cartes probabilistes des tissus cérébraux provenant d'une image par résonance magnétique de type anatomique afin de produire une estimation la structure du réseau d'axones. L'objectif est d'estimer la structure 3D de la matière blanche en utilisant des connaissances a priori pour produire des résultats plus précis et cohérents. Notamment, nous proposons une approche reposant sur un filtre à particules pour modéliser la vraisemblance des structures estimées. Les résultats des méthodes développées sont comparés à d'autres méthodes sur des données synthétiques, sur des données cérébrales saines et sur des données cérébrales cliniques avec tumeurs cérébrales.

Nous considérons des inégalités variationnelles écrites sous forme d'équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité non linéaires. La discrétisation de tels problèmes conduit à des systèmes discrets non linéaires et non différentiables qui peuvent être résolus en employant une méthode de linéarisation itérative de type semi-lisse. Notre objectif est de concevoir une approche de régularisation qui approxime le problème par un système d'équations non linéaires différentiables. Une application directe des méthodes classiques de type Newton est ainsi possible. Nous construisons des estimations d'erreur a posteriori qui sont à la base d'un algorithme de Newton régularisé, inexact et adaptatif, pour une solution des problèmes considérés. Dans le chapitre 1, dans un cadre discret, nous nous intéressons aux systèmes algébriques non linéaires avec des contraintes de complémentarité provenant de discrétisations numériques d'EDP avec problèmes de complémentarité. Nous produisons une approximation différentiable d'une fonction non différentiable, en reformulant les conditions de complémentarité. Le système non linéaire qui en résulte est résolu par la méthode de Newton, ainsi qu'un solveur algébrique linéaire itératif. Nous établissons une borne supérieure sur le résidu du système considéré et concevons des estimateurs d'erreur a posteriori identifiant les composantes d'erreur de régularisation, de linéarisation et algébrique. Ces ingrédients sont utilisés pour formuler des critères d'arrêt efficaces pour les solveurs non linéaires et algébriques. Avec la même méthodologie, une méthode adaptative de points intérieurs est proposée. Nous appliquons notre algorithme au système algébrique d'inégalités variationnelles décrivant le contact entre deux membranes et à un problème d'écoulement diphasique. Nous fournissons une comparaison numérique de notre approche avec une méthode de Newton semi-lisse, éventuellement combinée avec une stratégie de path-following, et une méthode non-paramétrique de points intérieurs. Dans le chapitre 2, en dimension infinie, nous considérons le problème de contact entre deux membranes. Nous utilisons une discrétisation par la méthode des volumes finis et appliquons l'approche de régularisation proposée dans le chapitre 1 pour lisser la non-différentiabilité dans les contraintes de complémentarité. La résolution du système régularisé non linéaire qui en résulte est réalisée grâce à la méthode de Newton, en combinaison avec un solveur algébrique itératif. Nous concevons des reconstructions de potentiel H1-conformes et des reconstructions de flux équilibrés discrets H(div)-conformes. Nous prouvons une borne supérieure pour l'erreur totale par la norme d'énergie et concevons des estimateurs reflétant les erreurs provenant de la discrétisation en volumes finis, du lissage de la non-différentiabilité, de la linéarisation par la méthode de Newton et du solveur algébrique, respectivement. Cela nous permet d'établir des critères d'arrêt adaptatifs pour arrêter les différents solveurs dans l'algorithme proposé et de concevoir un algorithme adaptatif pilotant ces quatre composantes. Dans le chapitre 3, nous introduisons une application à un modèle industriel d’écoulement multiphasique compositionnel avec transitions de phase en milieu poreux. Une discrétisation par la méthode des volumes finis produit un système algébrique non linéaire et non différentiable que nous résolvons en utilisant notre technique de Newton régularisé et inexacte. En suivant le processus du chapitre 1, nous construisons des estimateurs a posteriori en majorant la norme du résidu du système discret, ce qui résulte des critères adaptatifs que nous incorporons dans l'algorithme employé. Des expériences numériques confirment l'efficacité de nos estimations. En particulier, nous montrons que les algorithmes adaptatifs développés réduisent significativement le nombre global d'itérations par rapport aux méthodes existantes
We consider variational inequalities written in the form of partial differential equations with nonlinear complementarity constraints. The discretization of such problems leads to nonlinear non-differentiable discrete systems that can be solved employing an iterative linearization method of semismooth type like, e.g., the Newton-min algorithm. Our goal in this thesis is to conceive a simple smoothing approach that involves approximating the problem as a system of nonlinear smooth (differentiable) equations. In this setting, a direct application of classical Newton-type methods is possible. We construct a posteriori error estimates that lie at the foundation of an adaptive inexact smoothing Newton algorithm for a solution of the considered problems. We first present the strategy in a discrete framework. Then, we develop the method for the model problem of contact between two membranes. Last, an application to a compositional multiphase flow industrial model is introduced. In Chapter 1, we are concerned about nonlinear algebraic systems with complementarity constraints arising from numerical discretizations of PDEs with nonlinear complementarity problems. We produce a smooth approximation of a nonsmooth function, reformulating the complementarity conditions. The ensuing nonlinear system is solved employing the Newton method, together with an iterative linear algebraic solver to approximately solve the linear system. We establish an upper bound on the considered system’s residual and design a posteriori error estimators identifying the smoothing, linearization, and algebraic error components. These ingredients are used to formulate efficient stopping criteria for the nonlinear and algebraic solvers. With the same methodology, an adaptive interior-point method is proposed. We apply our algorithm to the algebraic system of variational inequalities describing the contact between two membranes and a two-phase flow problem. We provide numerical comparison of our approach with a semismooth Newton method, possibly combined with a path-following strategy, and a nonparametric interior-point method. In Chapter 2, in an infinite-dimensional framework, we consider as a model problem the contact problem between two membranes. We employ a finite volume discretization and apply the smoothing approach proposed in Chapter 1 to smooth the non-differentiability in the complementarity constraints. The resolution of the arising nonlinear smooth system is again realized thanks to the Newton method, in combination with an iterative algebraic solver for the solution of the resulting linear system. We design H1-conforming potential reconstructions as well as H(div)-conforming discrete equilibrated flux reconstructions. We prove an upper bound for the total error in the energy norm and conceive discretization, smoothing, linearization, and algebraic estimators reflecting the errors stemming from the finite volume discretization, the smoothing of the non-differentiability, the linearization by the Newton method, and the algebraic solver, respectively. This enables us to establish adaptive stopping criteria to stop the different solvers in the proposed algorithm and design adaptive algorithm steering all these four components. In Chapter 3, we consider a compositional multiphase flow (oil, gas, and water) with phase transitions in a porous media. A finite volume discretization yields a nonlinear non-differentiable algebraic system which we solve employing our inexact smoothing Newton technique. Following the process of Chapter 1, we build a posteriori estimators by bounding the norm of the discrete system’s residual, resulting in adaptive criteria that we incorporate in the employed algorithm. Throughout this thesis, numerical experiments confirm the efficiency of our estimates. In particular, we show that the developed adaptive algorithms considerably reduce the overall number of iterations in comparison with the existing methods

L'objectif de cette thèse est l'analyse d'erreur a posteriori et la proposition de stratégies d'adaptivité basées sur des critères d'arrêt et de raffinement local de maillage. Nous traitons une classe d'équations paraboliques dégénér ées multidimensionnelles modélisant des problèmes importants pour l'industrie. Au chapitre 1 nous considérons le problème de Stefan instationaire a deux phases qui modélise un processus de changement de phase régi par la loi de Fourier. Nous régularisons la relation entre l'enthalpie et la température et nous discrétisons le problème par la méthode d'Euler implicite en temps et un schéma numérique conforme en espace tel que les élément finis conformes, ou les volumes finis centrés aux sommets du maillage. Nous démontrons une borne supérieure de la norme duale du résidu, de l'erreur sur l'enthalpie dans L2(0; T;H-1) et de l'erreur sur la température dans L2(0; T;L2), par des estimateurs d'erreur entièrement calculables. Ces estimateurs comprennent : un estimateur associé à l'erreur de régularisation, un estimateur associé à l'erreur d'une méthode de linéarisation (par exemple, la méthode de Newton), un estimateur associé à l'erreur en temps et un estimateur associé à l'erreur du schéma en espace. Par conséquent, ces estimateurs permettent de formuler un algorithme adaptatif de résolution où les erreurs associées peuvent être équilibrées. Nous proposons également une stratégie de raffinement local de maillages. En fin, nous prouvons l'efficacité de nos estimations d'erreur a posteriori. Un test numérique illustre l'efficacité de nos estimateurs et la performance de l'algorithme adaptatif. En particulier, des indices d'efficacité proches de la valeur optimale de 1 sont obtenus. Au chapitre 2 nous développons des estimations d'erreur a posteriori pour l'écoulement de Darcy polyphasique et isothermique, décrit par un système couplé d'équations aux dérivées partielles non linéaires et d'équations algébriques non linéaires. Ce système est discrétisé en espace par une méthode de volume finis centrés par maille et la méthode d'Euler implicite en temps. Nous etablissons une borne supérieure d'une norme duale du résidu augmentée d'un terme qui tiens compte de la non-conformité des volumes finis par des estimateurs d'erreur a posteriori entièrement calculables. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur la formulation d'un critère d'arrêt de l'algorithme de linéarisation du problème discrète (tel que la méthode de Newton) avec un critère d'arrêt du solveur algébrique de résolution du système linéarité (par exemple la méthode GMRes), de sort que les contributions des estimateurs d'erreur correspondant n'affectent plus la somme globale des estimateurs d'erreur de manière significative. Nous appliquons notre analyse sur des exemples réalistes d'ingénierie de réservoir pour confirmer qu'en général notre ajustement des critères d'arrêt apporte une économie significative (jusqu'au un ordre de magnitude en termes du nombre total des itérations du solveur algébrique), déjà sur des maillages fixes, et ceci sans perte notable de précision. Au chapitre 3 nous complétons le modèle décrit au chapitre 2 en considérant une condition non-isothermique pour l'écoulement a fin de traiter le modèle général d'écoulement polyphasique thermique dans les milieux poreux. Pour ce problème, nous développons des estimateurs d'erreur analogues a ceux du chapitre 2 pour lesquels nous établissons une borne supérieure d'erreur entièrement calculable, pour une norme duale du résidu complétée par un terme d'évaluation de la non-conformité. Nous montrons ensuite comment estimer séparément chaque composante d'erreur, ce qui nous permet d'ajuster les critères d'arrêt et d'équilibrer les contributions des différents estimateurs d'erreur : erreur d'approximation en temps, erreur d'approximation en espace, erreur de linéarisation et erreur du solveur algébrique. Ce chapitre se termine par une application des estimateurs au modèle d'huile morte. La preuve de l'efficacité de notre estimation a postiriori est egalement fournie. Finalement, au chapitre 4 nous considérons les procédés de récupération assistée d'huile. Plus précisément, nous étudions une technique de récupération thermique d'huile de type huile morte par injection de vapeur destinée a augmenter la mobilité des hydrocarbures. Dans ce chapitre, nous appliquons l'analyse a posteriori des chapitres 2 et 3, nous proposons une formule de quadrature pour simplifier l'évaluation des estimateurs, nous proposons un algorithme adaptatif de raffinement de maillages en espace et en temps basé sur les estimateurs et nous illustrons pas des essais numériques sur des exemples réalistes la performance de cette stratégie de raffinement. Notamment, des gains significatifs sont réalisés en terme du nombre de mailles nécessaires pour la simulation sur des exemples en dimension trois.

La résolution numérique de n’importe quelle discrétisation d’équations aux dérivées partielles non linéaires requiert le plus souvent un algorithme itératif. En général, la discrétisation des équations aux dérivées partielles donne lieu à des systèmes de grandes dimensions. Comme la résolution des grands systèmes est très coûteuse en terme de temps de calcul, une question importante se pose: afin d’obtenir une solution approchée de bonne qualité, quand est-ce qu’il faut arrêter l’itération afin d’éviter les itérations inutiles ? L’objectif de cette thèse est alors d’appliquer, à différentes équations, une méthode qui nous permet de diminuer le nombre d’itérations de la résolution des systèmes en gardant toujours une bonne précision de la méthode numérique. En d’autres termes, notre but est d’appliquer une nouvelle méthode qui fournira un gain remarquable en terme de temps de calcul. Tout d’abord, nous appliquons cette méthode pour un problème non linéaire modèle. Nous effectuons l’analyse a priori et a posteriori de la discrétisation par éléments finis de ce problème et nous proposons par la suite deux algorithmes de résolution itérative correspondants. Nous calculons les estimations d’erreur a posteriori de nos algorithmes itératifs proposés et nous présentons ensuite quelques résultats d’expérience numériques afin de comparer ces deux algorithmes. Nous appliquerons de même cette approche pour les équations de Navier-Stokes. Nous proposons un schéma itératif et nous étudions la convergence et l’analyse a priori et a posteriori correspondantes. Finalement, nous présentons des simulations numériques montrant l’efficacité de notre méthode
The numerical resolution of any discretization of nonlinear PDEs most often requires an iterative algorithm. In general, the discretization of partial differential equations leads to large systems. As the resolution of large systems is very costly in terms of computation time, an important question arises. To obtain an approximate solution of good quality, when is it necessary to stop the iteration in order to avoid unnecessary iterations? A posteriori error indicators have been studied in recent years owing to their remarkable capacity to enhance both speed and accuracy in computing. This thesis deals with a posteriori error estimation for the finite element discretization of nonlinear problems. Our purpose is to apply a new method that allows us to reduce the number of iterations of the resolution system while keeping a good accuracy of the numerical method. In other words, our goal is to apply a new method that provides a remarkable gain in computation time. For a given nonlinear equation we propose a finite element discretization relying on the Galerkin method. We solve the discrete problem using two iterative methods involving some kind of linearization. For each of them, there are actually two sources of error, namely discretization and linearization. Balancing these two errors can be very important, since it avoids performing an excessive number of iterations. Our results lead to the construction of computable upper indicators for the full error. Similarly, we apply this approach to the Navier-Stokes equations. Several numerical tests are provided to evaluate the efficiency of our indicators

L’imagerie par résonance magnétique pondérée en diffusion est une modalité unique sensible aux mouvements microscopiques des molécules d’eau dans les tissus biologiques. Il est possible d’utiliser les caractéristiques de ce mouvement pour inférer la structure macroscopique des faisceaux de la matière blanche du cerveau. La technique, appelée tractographie, est devenue l’outil de choix pour étudier cette structure de façon non invasive. Par exemple, la tractographie est utilisée en planification neurochirurgicale et pour le suivi du développement de maladies neurodégénératives.Dans cette thèse, nous exposons certains des biais introduits lors de reconstructions par tractographie, et des méthodes sont proposées pour les réduire. D’abord, nous utilisons des connaissances anatomiques a priori pour orienter la reconstruction. Ainsi, nous montrons que l’information anatomique sur la nature des tissus permet d'estimer des faisceaux anatomiquement plausibles et de réduire les biais dans l’estimation de structures complexes de la matière blanche. Ensuite, nous utilisons des connnaissances microstructurelles a priori dans la reconstruction, afin de permettre à la tractographie de suivre le mouvement des molécules d’eau non seulement le long des faisceaux, mais aussi dans des milieux microstructurels spécifiques. La tractographie peut ainsi distinguer différents faisceaux, réduire les erreurs de reconstruction et permettre l’étude de la microstructure le long de la matière blanche. Somme toute, nous montrons que l’utilisation de connaissances anatomiques et microstructurelles a priori, en tractographie, augmente l’exactitude des reconstructions de la matière blanche du cerveau
Diffusion-weighted magnetic resonance imaging is a unique imaging modality sensitive to the microscopic movement of water molecules in biological tissues. By characterizing the movement of water molecules, it is possible to infer the macroscopic neuronal pathways of the brain. The technique, so-called tractography, had become the tool of choice to study non-invasively the human brain's white matter in vivo. For instance, it has been used in neurosurgical intervention planning and in neurodegenerative diseases monitoring. In this thesis, we report biases from current tractography reconstruction and suggest methods to reduce them. We first use anatomical priors, derived from a high resolution T1-weighted image, to guide tractography. We show that knowledge of the nature of biological tissue helps tractography to reconstruct anatomically valid neuronal pathways, and reduces biases in the estimation of complex white matter regions. We then use microstructural priors, derived from the state-of-the-art diffusionweighted magnetic resonance imaging protocol, in the tractography reconstruction process. This allows tractography to follow the movement of water molecules not only along neuronal pathways, but also in a microstructurally specific environment. Thus, the tractography distinguishes more accurately neuronal pathways and reduces reconstruction errors. Moreover, it provides the mean to study white matter microstructure characteristics along neuronal pathways. Altogether, we show that anatomical and microstructural priors used during the tractography process improve brain’s white matter reconstruction

Dans cette thèse, nous considérons des inégalités variationnelles qui s'interprètent comme des équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité. Nous construisons des estimateurs d'erreur a posteriori pour des discrétisations utilisant la méthode des éléments finis et volumes finis, et des linéarisations inexactes faisant appel aux méthodes de Newton semi-lisse et à des solveurs algébriques quelconques. Nous considérons tout d'abord un problème modèle de contact entre deux membranes, puis une inégalité variationnelle parabolique et enfin un écoulement diphasique compositionnel avec changement de phases comme application industrielle. Dans le premier chapitre, nous considérons un problème stationnaire de contact entre deux membranes. Ce problème s'inscrit dans la large gamme des inégalités variationnelles de première espèce. Nous discrétisons notre modèle par la méthode des éléments finis conformes d'ordre p ≥ 1 et nous proposons deux formulations discrètes équivalentes~: la première sous la forme d'une inégalité variationnelle et la seconde sous la forme d'un problème de type point-selle. Nous introduisons la différentiabilité au sens de Clarke pour traiter les non linéarités non différentiables. Cela permet d'utiliser des algorithmes de linéarisation de type Newton semi-lisse. Ensuite, un solveur itératif algébrique quelconque est utilisé pour le système linéaire obtenu. En utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l'espace H(div,Ω), nous obtenons une borne supérieure de l'erreur totale dans la semi-norme d'énergie sur l'espace H01(Ω). Cette borne est entièrement calculable à chaque pas du solveur de linéarisation semi-lisse et à chaque pas du solveur d'algèbre linéaire. Notre estimation d'erreur distingue en particulier les trois composantes de l'erreur, à savoir l'erreur de discrétisation (éléments finis), l'erreur de linéarisation (algorithme de Newton semi-lisse) et l'erreur d'algèbre linéaire (algorithme GMRES). Nous formulons ensuite des critères d'arrêts adaptatifs pour chaque solveur utilisé dans le but de réduire le nombre d'itérations. Nous prouvons également l'efficacité locale de nos estimateurs dans le contexte semi-lisse inexact modulo un terme de contact qui s'avère négligeable. Nos essais numériques illustrent la précision de nos estimations et le gain en terme de nombre d'itérations et témoignent de la performance de notre méthode adaptative semi-lisse inexacte. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à construire des estimations d'erreur a posteriori pour une inégalité variationnelle parabolique comme extension du premier chapitre au cas instationnaire. Nous discrétisons notre modèle en utilisant la méthode des éléments finis conformes d'ordre p ≥ 1 en espace et le schéma d'Euler rétrograde en temps. Pour traiter les non linéarités, nous utilisons à nouveau des algorithmes de linéarisation de type Newton semi-lisse et nous employons également un solveur itératif algébrique quelconque pour le système linéaire obtenu. En utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l'espace H(div,Ω), nous obtenons, quand p=1, et à convergence du solveur de linéarisation semi-lisse et d'algèbre linéaire, une borne supérieure de l'erreur totale dans la norme d'énergie sur l'espace L²(0,T;H01(Ω)). De plus, nous estimons dans ce cas du mieux possible l'erreur en dérivée temporelle dans la norme d'énergie L²(0,T;H^{-1}(Ω)). Dans le cas p ≥ 1, et à un pas quelconque des solveurs linéaires et non linéaires, nous présentons une estimation d'erreur a posteriori dans la norme d'énergie L²(0,T;H01(Ω))). Nous distinguons dans ce cas les composantes de l'erreur totale, à savoir l'erreur de discrétisation, l'erreur de linéarisation et l'erreur d'algèbre linéaire. Cela permet en particulier de formuler des critères d'arrêts adaptatifs dans le but de réduire le nombre d'itérations. Dans le troisième chapitre, [...]
In this thesis, we consider variational inequalities in the form of partial differential equations with complementarity constraints. We construct a posteriori error estimates for discretizations using the finite element method and the finite volume method, for inexact linearizations employing any semismooth Newton solver and any iterative linear algebraic solver. First, we consider the model problem of contact between two membranes, next we consider its extension into a parabolic variational inequality, and to finish we treat a two-phase compositional flow with phase transition as an industrial application. In the first chapter, we consider the stationnary problem of contact between two membranes. This problem belongs to the wide range of variational inequalities of the first kind. Our discretization is based on the finite element method with polynomials of order p ≥ 1, and we propose two discrete equivalent formulations: the first one as a variational inequality, and the second one as a saddle-point-type problem. We employ the Clarke differential so as to treat the nondifferentiable nonlinearities. It enables us to use semismooth Newton algorithms. Next, any iterative linear algebraic solver is used for the linear system stemming from the discretization. Employing the methodology of equilibrated flux reconstructions in the space H(div,Ω), we get an upper bound on the total error in the energy norm H01(Ω). This bound is fully computable at each semismooth Newton step and at each linear algebraic step. Our estimation distinguishes in particular the three components of the error, namely the discretization error (finite elements), the linearization error (semismooth Newton method), and the algebraic error (GMRES algorithm). We then formulate adaptive stopping criteria for our solvers to ultimately reduce the number of iterations. We also prove, in the inexact semismooth context, the local efficiency property of our estimators, up to a contact term that appears negligeable in numerics. Our numerical experiments illustrate the accuracy of our estimates and the reduction of the number of necessary iterations. They also show the performance of our adaptive inexacte semismooth Newton method. In the second chapter, we are interested in deriving a posteriori error estimates for a parabolic variational inequality and we consider the extension of the model of the first chapter to the unsteady case. We discretize our model using the finite element method of order p ≥ 1 in space and the backward Euler scheme in time. To treat the nonlinearities, we use again semismooth Newton algorithms, and we also employ an iterative algebraic solver for the linear system stemming from the discretization. Using the methodology of equilibrated flux reconstructions in the space H(div,Ω), we obtain, when p=1 and at convergence of the semismooth solver and the algebraic solver, an upper bound for the total error in the energy norm L²(0,T; H01(Ω)). Furthermore, we estimate in this case the time derivative error in a norm close to the energy norm L^2(0,T;H^{-1}(Ω)). In the case p ≥ 1, we present an a posteriori error estimate valid at each semismooth Newton step and at each linear algebraic step in the norm L²(0,T;H01(Ω)). We distinguish in this case the components of the total error, namely the discretization error, the linearization error, and the algebraic error. In particular, it enables us to devise adaptive stopping criteria for our solvers which reduces the number of iterations. In the third chapter, [...]