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Leichtnam, Éric. "Le problème de Cauchy ramifié linéaire pour des données à singularités algébriques." Mémoires de la Société mathématique de France 1 (1993): 1–130. http://dx.doi.org/10.24033/msmf.367.
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Touraille, Alain. "Théories d'algèbres de Boole munies d'idéaux distingués. I: Théories élémentaires." Journal of Symbolic Logic 52, no. 4 (December 1987): 1027–43. http://dx.doi.org/10.2307/2273836.
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Une conséquence de la classification des théories complètes d'algèbres de Boole par Tarski [5] est que la théorie élémentaire d'une algèbre de Boole A est déterminée par le type d'isomorphisme du treillis de ses idéaux définissables et, pour chacun de ces idéaux, par le nombre d'atomes du quotient de A par cet idéal lorsque ce nombre est fini. Une remarque analogue peut être faite à propos des cas particuliers d'algèbres de Boole munies d'un idéal distingué étudiés par Ershov [1] et par Jurie et Touraille [3]; dans to us ces cas, c'est la simplicité des treillis possibles qui permet la classification des théories complètes. Le résultat principal de cet article est que, dans le cas général d'une algèbre de Boole munie d'une famille quelconque d'idéaux distingués, la théorie d'un modèle peut encore être caractérisée grâce à une structure algébrique sur l'ensemble de ses idéaux définissables. Il s'agit d'une structure d'algèbre de Heyting munie d'une opération unaire sa définie par sa(K) = {a: a/K est sans atome}, et cette structure s'avère être engendrée par les idéaux distingués du modèle. La méthode utilisée est l'élimination directe des quantificateurs, par réductions successives des formules. Elle nécessite des propriétés algébriques et topologiques qui sont données aux §§1 et 2: on introduit au §1 la notion d'algèbre de Heyting étoilée, c'est-à-dire d'algèbre de Heyting munie d'une opération unaire * vérifiant des égalités qui permettent de rendre compte, d'une certaine façon, de la dérivation de Cantor-Bendixon; le §2 est consacré à des propriétés topologiques qui, dans le cas de l'espace de Stone d'une algèbre de Boole A, permettent d'éclaircir les relations possibles entre les atomes des quotients de A par des idéaux différents.
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Leloup, G. "Élimination des quantificateurs dans des paires de corps." Journal of Symbolic Logic 60, no. 2 (June 1995): 548–62. http://dx.doi.org/10.2307/2275850.
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On sait que par le choix d’ un langage suffisamment complexe, toute structure peut admettre une élimination des quantificateurs, malheureusement cette extension du langage peut nous éloigner des phénomènes algébriques. Nous allons nous intéresser à l’ élimination des quantificateurs pour des paires de corps. Dans le cas des paires de corps algébriquement clos et des paires denses de corps réel clos, on obtient une élimination en ajoutant au langage des prédicats ayant une signification algébrique: on peut les exprimer en disant que pour deux ensembles algébriques et donnés, il existe des points du sous-corps rationnels pour et pas pour , ou qu’ un ensemble semi-algébrique donné a des points rationnels sur le sous-corps. Robinson avait déjà abordé de façon informelle le cas des paires denses de corps réel-clos (cf. [Ro 2, p. 198]). Partant du langage des paires de corps ordonnés, enrichi de symboles de relations correspondant à l’ indépendance algébrique, il proposait d’ ajouter pas à pas des fonctions de Skolem Herbrand pour faire disparaitre les quantificateurs existentiels des formules, mais sans préciser le langage obtenu. Ici nous approchons le problème différemment en explicitant dès le départ le langage utilisé.Grâce à ces résultats nous pourrons étudier le cas des paires séparées de corps réels clos ainsi que des paires de corps valués henseliens. En élargissant la définition d’ ensemble algébrique à tous les symboles du langage, les prédicats relationnels ajoutés ont la même signification que dans le cas des paires de corps algébriquement clos.En comparant les techniques employées ici avec celles déjà utilisées dans [K], [B], [D 1] et [L], on remarque qu’il est possible de traîter une grande partie de l’ étude (complétude, modèle complétude, élimination des quantificateurs) des paires de corps algébriquement clos, réel-clos ou henseliens en se basant sur des prolongements d’ isomorphismes entre sous-structures dénombrables où l’ une des deux est contenue dans une structure ω1-saturée.
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Rashed, Marwan. "ABŪ HĀŠIM AL-ǦUBBĀʾĪ, ALGÈBRE ET INFÉRENCE". Arabic Sciences and Philosophy 30, № 2 (14 серпня 2020): 191–228. http://dx.doi.org/10.1017/s0957423920000028.
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RésuméCet article vise à restituer la doctrine du « signe du manifeste au caché » d'Abū Hāšim al-Ğubbāʾī (888-933). Il montre qu'Abū Hāšim a tendu à interpréter ce signe comme une inférence, dont il a reconnu deux types principaux : le type-1 (la « communauté de preuve », al-ištirāk fī al-dalāla) procède par déduction analytique de concepts en neutralisant les conditions de réalisation de ces derniers, c'est-à-dire leur soubassement ontologique. C'est, typiquement, la procédure la plus directement consonante avec l'ontologie modale d'Abū Hāšim. Le type-2 (la « communauté de cause », al-ištirāk fī al-ʿilla) exhibe un même rapport de causalité au plan du connu et au plan de l'inconnu et considère que la causalité au plan du connu est elle-même la cause de la causalité au plan de l'inconnu. Cette partition parfaitement inédite dans la philosophie et le kalām est en revanche préfigurée dans la doctrine de la preuve exposée par al-Ḫwārizmī dans son Algèbre. Al-Ḫwārizmī distingue en effet entre la preuve « par la cause » (bi-al-ʿilla), qui consiste à transférer une certaine déduction géométrique au plan de l'algèbre et la preuve « par l'expression » (bi-al-lafẓ) qui opère directement sur les expressions algébriques, qu'elle réduit analytiquement. En se fondant sur un texte d'Abū Hāšim consacré à la connaissance humaine qui paraît se référer à l’œuvre d'al-Ḫwārizmī, l'article suggère pour finir que le parallèle conceptuel étroit entre la doctrine de la preuve d'al-Ḫwārizmī et la doctrine du signe d'Abū Hāšim pourrait ne pas être une simple coïncidence. Deux appendices ont été ajoutés. Le premier traite de la lecture par al-Fārābī de la théorie de l'inférence d'Abū Hāšim. Le second, en s'appuyant sur toutes les données disponibles, établit pour la première fois les dates correctes et précises de la vie d'Abū Hāšim.
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Benhissi, Ali. "Éléments Algébriques sur le Corps des Séries Formelles Généralisées en Caractéristique Finie." MATHEMATICA SCANDINAVICA 85, no. 2 (December 1, 1999): 161. http://dx.doi.org/10.7146/math.scand.a-18269.
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Soient $K$ un corps commutatif et $G$ un groupe abélien totalement ordonné. Nous donnons des moyens de construction d'éléments algébriques sur le corps $K((G))$ des séries fomelles généralissées à supports bien ordonnés.
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Poizat, Bruno. "MM. Borel, Tits, Zil′ber et le Général Nonsense." Journal of Symbolic Logic 53, no. 1 (March 1988): 124–31. http://dx.doi.org/10.1017/s0022481200028978.
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Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles.Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie.Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.
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Mendes Nacarato, Adair, Daniela Dias dos Anjos, Carla Cristiane Silva Santos, and Kátia Grabriela Moreira. "Le rôle de l’interaction verbale pour l’acquisition de la pensée algébrique dans l’enseignement primaire." Articles 20, no. 3 (January 24, 2019): 56–78. http://dx.doi.org/10.7202/1055728ar.
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L’objectif de ce travail a été d’analyser les interactions verbales élèves-enseignantes mettant en évidence le rôle du langage dans le développement de la pensée algébrique dans une perspective historico-culturelle. Les interactions ont eu lieu grâce à des tâches dont la construction se basait sur la perception des régularités dans des suites non numériques. Cette recherche a été réalisée dans le cadre d’un partenariat entre des enseignantes de l’école primaire et des chercheurs associés à un master académique. Elle a été développée en contexte réel avec 29 élèves (8-9 ans) de 3e année de l’école primaire. Les données recueillies montrent que les interactions verbales élèves-enseignantes favorisent le développement de la pensée algébrique sans l’introduction du langage mathématique (Mason, 2007; Radford, 2013, 2014).
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Aczél, J. "Remarques algébriques sur la solution donnée par M. Fréchet à l'équation de Kolmogoroff." Publicationes Mathematicae Debrecen 4, no. 1-2 (July 1, 2022): 33–42. http://dx.doi.org/10.5486/pmd.1955.4.1-2.04.
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LE SAEC, BERTRAND, JEAN-ERIC PIN, and PASCAL WEIL. "SEMIGROUPS WITH IDEMPOTENT STABILIZERS AND APPLICATIONS TO AUTOMATA THEORY." International Journal of Algebra and Computation 01, no. 03 (September 1991): 291–314. http://dx.doi.org/10.1142/s0218196791000195.
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Nous prouvons que tout semigroupe fini est quotient d'un semigroupe fini dans lequel les stabilisateurs droits satisfont les identités x = x2 et xy = xyx. Ce resultat a plusieurs consé-quences. Tout d'abord, nous l'utilisons, en même temps qu'un résultat de I. Simon sur les congruences de chemins, pour obtenir une preuve purement algébrique d'un théorème profond de McNaughton sur les mots infinis. Puis, nous donnons une preuve algébrique d'un théorème de Brown sur des conditions de finitude pour les semigroupes. We show that every finite semigroup is a quotient of a finite semigroup in which every right stabilizer satisfies the identities x = x2 and xy = xyx. This result has several consequences. We first use it together with a result of I. Simon on congruences on paths to obtain a purely algebraic proof of a deep theorem of McNaughton on infinite words. Next, we give an algebraic proof of a theorem of Brown on a finiteness condition for semigroups.
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Aczél, J., and E. Egerváry. "Remarques algébriques sur la solution donnée par M. Fréchet à l'équation de Kolmogoroff. II." Publicationes Mathematicae Debrecen 5, no. 1-2 (July 1, 2022): 60–71. http://dx.doi.org/10.5486/pmd.1957.5.1-2.07.
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Borne, Niels. "Une formule de Riemann-Roch équivariante pour les courbes." Canadian Journal of Mathematics 55, no. 4 (August 1, 2003): 693–710. http://dx.doi.org/10.4153/cjm-2003-029-2.
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AbstractSoitGun groupe fini agissant sur une courbe algébrique projective et lisseXsur un corps algébriquement closk. Dans cet article, on donne une formule de Riemann-Roch pour la caractéristique d'Euler équivariante d'unG-faisceau inversible ℒ, à valeurs dans l'anneauRk(G) des caractères du groupeG. La formule donnée a un bon comportement fonctoriel en ce sens qu'elle relève la formule classique le long du morphisme dim:Rk(G) → ℤ, et est valable même pour une action sauvage. En guise d'application, on montre comment calculer explicitement le caractère de l'espace des sections globales d'une large classe deG-faisceaux inversibles, en s'attardant sur le cas particulier délicat du faisceau des différentielles sur la courbe.
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Bugeaud, Yann, and Olivier Teulié. "Approximation d'un nombre réel par des nombres algébriques de degré donné." Acta Arithmetica 93, no. 1 (2000): 77–86. http://dx.doi.org/10.4064/aa-93-1-77-86.
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Racine, Jean-Bernard, and Marc Cavalier. "Écologie factorielle et attributs géographiques." Cahiers de géographie du Québec 16, no. 38 (April 12, 2005): 213–41. http://dx.doi.org/10.7202/021054ar.
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Les auteurs analysent tour à tour les contraintes algébriques et théoriques liées à l'utilisation par les géographes des algorithmes aujourd'hui traditionnels de l'écologie factorielle. Devant l'ambiguité fondamentale de la majorité des résultats, ils en viennent à la conclusion que la règle géographique doit constamment dominer et contrôler la règle mathématique, l'outil mathématique venant pourtant féconder le contrôle critique et donner alors de meilleurs résultats géographiques. La question de leur « optimalité » est alors discutée en se référant plus particulièrement à la méthode des itérations discriminatoires. Troisième thème de réflexion enfin : celui qui conduit les auteurs à introduire la notion d'indicateurs géographiques progressivement découverts par les itérations factorielles et discriminatoires, indicateurs simples mais assortis d'un véritable arbre généalogique factoriel.
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Bélanger, Mathieu. "La vision unificatrice de Grothendieck : au-delà de l’unité (méthodologique ?) des mathématiques de Lautman." Articles 37, no. 1 (May 14, 2010): 169–87. http://dx.doi.org/10.7202/039718ar.
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Résumé Dans sa thèse complémentaire intitulée « Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel » Albert Lautman analysa la question de l’unité des mathématiques en considérant différentes paires antithétiques de concepts mathématiques, notamment le continu et le discret. Dans le cadre de sa refonte de la géométrie algébrique abstraite, le mathématicien français Alexandre Grothendieck considéra également l’opposition traditionnelle du continu et du discret selon un cadre conceptuel fort similaire à celui de Lautman. En comparaison, l’introduction du concept de topos lui permit de donner une réponse strictement mathématique et parfaitement claire à cette question.
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Sall, Oumar, Thiéyacine Top, and Moussa Fall. "Paramétrisation des points algébriques de degré donné sur la courbe d'équation affine." Comptes Rendus Mathematique 348, no. 21-22 (November 2010): 1147–50. http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2010.10.023.
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LEVALLOIS, PHILIPPE. "Calcul d'une fonction de Melnikov et de ses zeros pour une perturbation algebrique du billard elliptique." Ergodic Theory and Dynamical Systems 17, no. 2 (April 1997): 435–44. http://dx.doi.org/10.1017/s0143385797069836.
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Nous développons dans cet article des résultats de M. B. Tabanov et moi-même annoncés dans la note [6]. M. B. Tabanov a donné un exposé de ses méthodes dans [7]. Notre approche, différente, est le sujet principal de notre thèse [5], soutenue à l'université de Paris VII sous la direction de A. Chenciner. Nous étudions la séparation des séparatrices d'un billard elliptique pour une déformation algébrique et donc globale de l'ellipse. Nous mesurons cette séparation par une fonction de Melnikov (dont le calcul est peu fréquent dans le cadre des systèmes dynamiques discrets), et nous observons que cette fonction est en général (lorsqu'elle admet une extension méromorphe) elliptique. Nous donnons ensuite sa décomposition en éléments simples avec les fonctions thêta. Nous obtenons ainsi sur un exemple tous les zéros d'une fonction de Melnikov, et donc toutes les orbites héterocliniques primaires.
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Colliot-Thélène, Jean-Louis, and Alexei N. Skorobogatov. "Descente galoisienne sur le groupe de Brauer." crll 2013, no. 682 (September 6, 2012): 141–65. http://dx.doi.org/10.1515/crelle-2012-0039.
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Abstract. Soit X une variété projective et lisse sur un corps k de caractéristique zéro. Le groupe de Brauer de X s'envoie dans les invariants, sous le groupe de Galois absolu de k, du groupe de Brauer de la même variété considérée sur une clôture algébrique de k. Nous montrons que le quotient est fini. Sous des hypothèses supplémentaires, par exemple sur un corps de nombres, nous donnons des estimations sur l'ordre de ce quotient. L'accouplement d'intersection entre les groupes de diviseurs et de 1-cycles modulo équivalence numérique joue ici un rôle important. For a smooth and projective variety X over a field k of characteristic zero we prove the finiteness of the cokernel of the natural map from the Brauer group of X to the Galois-invariant subgroup of the Brauer group of the same variety over an algebraic closure of k. Under further conditions, e.g., over a number field, we give estimates for the order of this cokernel. We emphasise the rôle played by the exponent of the discriminant groups of the intersection pairing between the groups of divisors and curves modulo numerical equivalence.
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Campana, Frédéric. "Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes." Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 10, no. 4 (May 28, 2010): 809–934. http://dx.doi.org/10.1017/s1474748010000101.
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RésuméLe présent texte, suite de l'article paru en 2004 aux Annales de l'Institut Fourier, définit et établit les propriétés de base des orbifoldes géométriques, essentielles pour la compréhension de la structure birationnelle des variétés projectives ou Kählériennes compactes, et qui permettent d'en donner une vue synthétique globale très simple. Les démonstrations données reposent cependant sur les techniques usuelles de la géométrie algébrique/analytique. De nombreuses questions ou conjectures sont également formulées à leur sujet.Bien que les orbifoldes géométriques ne soient autres que les paires (X|Δ) du LMMP (avec éX compacte et Kähler), leur origine et leurs motivations initiales sont entièrement différentes : le diviseur orbifolde Δ, analogue à un diviseur de ramification, encode les fibres multiples d'une fibration de base X, et (X|Δ) apparait comme un revêtement de X qui ramifie exactement (multiplicités comprises) au-dessus de Δ, et élimine les fibres multiples en codimension 1, par changement de base virtuel. Cette origine géométrique permet de munir naturellement les orbifoldes géométriques des invariants usuels des variétés : morphismes et applications biméromorphes, formes différentielles, groupe fondamental et revêtement universel, pseudométrique de Kobayashi, corps de définition et points rationnels. On s'attend à ce que leur géométrie qualitative soit la même que celle des variétés ayant des invariants similaires. Les plus élémentaires de ces propriétés géométriques sont établies ici, par adaptation directe des arguments utilisés pour les variétésLes fibrations possédent, dans la catégorie biméromorphe des orbifoldes géométriques, des propriétés d'extension (ou « d'additivité ») non satisfaites dans la catégorie des variétés sans structure orbifolde, ce qui permet d'exprimer certains invariants de l'espace total comme extension (ou « somme ») de ceux de la fibre générale orbifolde, et de la base orbifolde. Par exemple, la suite des groupes fondamentaux est toujours exacte dans la catégorie orbifolde. De même, l'espace total d'une fibration est spéciale (voir ci-dessous) si la fibre orbifolde générique et la base orbifode le sont. En fait, les orbifoldes géométriques ont été initialement introduites précisément pour remédier à ce défaut d'additivité.Une conséquence naturelle de ces constructions est l'introduction d'une classe nouvelle : les orbifoldes géométriques spéciales, qui sont celles qui ne dominent méromorphiquement aucune orbifolde géométrique de type général et de dimension positive. Ces orbifoldes spéciales sont exactement celles qui sont (canoniquement) décomposées (conditionnellement en une variante orbifolde de la conjecture Cn,m) en tours de fibrations ayant des fibres telles que, ou bien κ = 0, ou bien κ+ = −∞. Ces dernières sont celles ne dominant pas d'orbifolde de dimension strictement positive et telle que κ ≥ 0. Conjecturalement, ce sont celles qui sont rationnellement connexes dans la catégorie orbifolde. La connexité rationnelle est définie de la façon habituelle, une fois les courbes rationnelles orbifoldes définies.Cette décomposition permet de relever aux orbifoldes spéciales certaines propriétés connues ou conjecturées pour les orbifoldes telles que κ+ = −∞ ou κ = 0, et elle conduit à conjecturer, entre autres, que le fait d'être spéciale est la caractérisation exacte de certaines propriétés importantes (telles que la densité potentielle ou l'annulation de la pseudométrique de Kobayashi). Elles jouent conjecturalement un rôle central dans d'autres problèmes, tels que les espaces de paramètre des familles de variétés canoniquement polarisées.Enfin, nous construisons, sur toute orbifolde géométrique (X|Δ), une unique fibration caractérisée par le fait que ses fibres orbifoldes sont spéciales, et sa base orbifolde de type général. Cette fibration scinde donc l'orbifolde en ses parties antithétiques: spéciale (les fibres) et de type général (la base) au niveau géométrique, mais aussi conjecturalement aux niveaux arithmétique et hyperbolique.De nombreux problèmes essentiels relatifs à l'équivalence biméromorphe dans cette catégorie orbifolde restent néammoins ouverts (en particulier, leur extension aux orbifoldes Log-terminales ou Log-canoniques).On trouvera dans l'article à paraitre dans les proceedings de la conférence de Schiermonnikoog une version abrégée en anglais du présent texte, ainsi que des compléments sur les relations avec le LMMP.
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Gaudron, Éric, and Gaël Rémond. "Corps de Siegel." Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 2017, no. 726 (January 1, 2017). http://dx.doi.org/10.1515/crelle-2014-0096.
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AbstractNous appelons corps de Siegel une extension algébrique du corps des nombres rationnels sur laquelle un lemme de Siegel vaut. C’est classiquement le cas pour les corps de nombres mais aussi pour le corps des nombres algébriques d’après Roy–Thunder et Zhang. Nous donnons de nouveaux exemples. Nous montrons aussi qu’il existe des corps qui ne sont pas de Siegel, à savoir les corps de degré infini qui satisfont la propriété de Northcott, introduite par Bombieri–Zannier. Notre démarche repose sur l’étude de plusieurs séries de minima successifs associés à un espace adélique. Les différentes propriétés du corps se lisent sur des quantités généralisant la constante d’Hermite. Dans le cas des nombres algébriques, nous calculons leurs valeurs exactes.We define a Siegel field to be a subfield
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Bastin, Georges. "Quantitative analysis of metabolic networks and design of minimal bioreaction models." Revue Africaine de la Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées Volume 9, 2007 Conference in... (August 15, 2008). http://dx.doi.org/10.46298/arima.1891.
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International audience This tutorial paper is concerned with the design of macroscopic bioreaction models on the basis a quantitative analysis of the underlying cell metabolism. The paper starts with a review of two fundamental algebraic techniques for the quantitative analysis of metabolic networks : (i) the decomposition of complex metabolic networks into elementary pathways (or elementary modes), (ii) the metabolic flux analysis which aims at computing the entire intracellular flux distribution from a limited number of flux meaurements. Then it is discussed how these two fundamental techniques can be exploited to design minimal bioreaction models by using a systematic model reduction approach that automatically produces a family of equivalent minimal models which are fully compatible with the underlying metabolism and consistent with the available experimental data. The theory is illustrated with an experimental case-study on CHO cells. Cet article tutoriel traite de la conception de modèles de bioréactions macroscopiques sur la base d’une analyse quantitative du métabolisme cellulaire sous-jacent. L’article commence par un rappel de deux techniques algébriques fondamentales pour l’analyse quantitative des réseaux métaboliques : (i) la décomposition des réseaux métaboliques complexes en chemins élémentaires (ou modes élémentaires), (ii) l’analyse des flux métaboliques qui vise à calculer la totalité des flux métaboliques intracellulaires à partir d’un ensemble limité de mesures. On montre ensuite comment ces deux techniques peuvent être exploitées pour concevoir des modèles minimaux de bioréactions en utilisant une approche systématique de réduction de modèle qui produit automatiquement une famille de modèles minimaux équivalents compatibles non seulement avec les données expérimentales mais aussi avec le métabolisme sous-jacent. La théorie est illustrée avec une étude de cas expérimentale sur des cellules CHO.
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Desainte-Catherine, Myriam, Jean Haury, Bernard P. Serpette, and Sylviane R. Schwer. "Étude comparative au moyen des s-langages du Metapiano et du MidifilePerformer sur le début d’un Scherzo de Beethoven." Revue Francophone Informatique et Musique 10, no. 1 (2024). http://dx.doi.org/10.56698/rfim.849.
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Dans cet article, nous modélisons de façon algébrique le fonctionnement du Metapiano et du MidifilePerformer pour comparer leurs propriétés respectives en termes d’expressivité et de difficulté en faisant référence à celle du piano. Pour ce faire, nous utilisons une même partition pour donner concrètement tous les détails des articulations musicales permises par ces deux systèmes et nous quantifions un certain nombre de propriétés. Cette formalisation permet de montrer notamment que la principale différence entre les deux modèles réside dans le traitement des suspensions qui nécessite un peu d’informations spatiales pour le MidifilePerformer.
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Archer, Kassie. "Descents of $\lambda$-unimodal cyclic permutations." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AT,..., Proceedings (January 1, 2014). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2411.
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International audience We prove an identity conjectured by Adin and Roichman involving the descent set of $\lambda$-unimodal cyclic permutations. These permutations appear in the character formulas for certain representations of the symmetric group and these formulas are usually proven algebraically. Here, we give a combinatorial proof for one such formula and discuss the consequences for the distribution of the descent set on cyclic permutations. Nous prouvons une identité conjecturée par Adin et Roichman impliquant les ensembles des descentes des permutations cycliques $\lambda$-unimodales. Ces permutations apparaissent dans les formules des caractères pour certaines représentations du groupe symétrique, et ces formules sont généralement prouvées dans une manière algébrique. Ici, nous donnons une preuve combinatoire pour une telle formule et discutons les conséquences pour la distribution de l’ensemble des descentes sur des permutations cycliques.
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Gleitz, Anne-Sophie. "$\ell$-restricted $Q$-systems and quantum affine algebras." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AT,..., Proceedings (January 1, 2014). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2375.
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International audience Kuniba, Nakanishi, and Suzuki (1994) have formulated a general conjecture expressing the positive solution of an $\ell$-restricted $Q$-system in terms of quantum dimensions of Kirillov-Reshetikhin modules. After presenting this conjecture, we sketch a proof for the exceptional type $E_6$ following our preprint (2013). In types $E_7$ and $E_8$, we prove positivity for a subset of the nodes of the Dynkin diagram, and we reduce the positivity for the remaining nodes to the conjectural iterated log-concavity of certain explicit sequences of real algebraic numbers. Kuniba, Nakanishi et Suzuki (1994) ont formulé une conjecture générale qui exprime la solution positive d’un $Q$-system $\ell$-restreint en fonction des dimensions quantiques de certains modules de Kirillov-Reshetikhin. Après avoir présenté cette conjecture, nous donnons une idée de la preuve pour le type exceptionnel $E_6$, selon notre preprint (arXiv, 2013). En types $E_7$ et $E_8$, nous démontrons la positivité pour certains sommets du diagramme de Dynkin, et nous réduisons la positivité, pour les sommets restants, à une conjecture de log-concavité itérée concernant certaines suites explicites de nombres algébriques.
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Teufl, Elmar, and Stephan Wagner. "Spanning forests, electrical networks, and a determinant identity." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AK,..., Proceedings (January 1, 2009). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2699.
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International audience We aim to generalize a theorem on the number of rooted spanning forests of a highly symmetric graph to the case of asymmetric graphs. We show that this can be achieved by means of an identity between the minor determinants of a Laplace matrix, for which we provide two different (combinatorial as well as algebraic) proofs in the simplest case. Furthermore, we discuss the connections to electrical networks and the enumeration of spanning trees in sequences of self-similar graphs. Nous visons à généraliser un théorème sur le nombre de forêts couvrantes d'un graphe fortement symétrique au cas des graphes asymétriques. Nous montrons que cela peut être obtenu au moyen d'une identité sur les déterminants mineurs d'une matrice Laplacienne, pour laquelle nous donnons deux preuves différentes (combinatoire ou bien algébrique) dans le cas le plus simple. De plus, nous discutons les relations avec des réseaux électriques et l'énumération d'arbres couvrants dans de suites de graphes autosimilaires.
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Bassino, Frédérique, Mathilde Bouvel, Adeline Pierrot, Carine Pivoteau, and Dominique Rossin. "Combinatorial specification of permutation classes." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (January 1, 2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3082.
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International audience This article presents a methodology that automatically derives a combinatorial specification for the permutation class $\mathcal{C} = Av(B)$, given its basis $B$ of excluded patterns and the set of simple permutations in $\mathcal{C}$, when these sets are both finite. This is achieved considering both pattern avoidance and pattern containment constraints in permutations.The obtained specification yields a system of equations satisfied by the generating function of $\mathcal{C}$, this system being always positive and algebraic. It also yields a uniform random sampler of permutations in $\mathcal{C}$. The method presented is fully algorithmic. Cet article présente une méthodologie qui calcule automatiquement une spécification combinatoire pour la classe de permutations $\mathcal{C} = Av(B)$, étant donnés une base $B$ de motifs interdits et l’ensemble des permutations simples de $\mathcal{C}$, lorsque ces deux ensembles sont finis. Ce résultat est obtenu en considérant à la fois des contraintes de motifs interdits et de motifs obligatoires dans les permutations. La spécification obtenue donne un système d’équations satisfait par la série génératrice de la classe $\mathcal{C}$, système qui est toujours positif et algébrique. Elle fournit aussi un générateur aléatoire uniforme de permutations dans $\mathcal{C}$. La méthode présentée est complètement algorithmique.
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Berget, Andrew, and Brendon Rhoades. "Extending the parking space." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AS,..., Proceedings (January 1, 2013). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2325.
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International audience The action of the symmetric group $S_n$ on the set $\mathrm{Park}_n$ of parking functions of size $n$ has received a great deal of attention in algebraic combinatorics. We prove that the action of $S_n$ on $\mathrm{Park}_n$ extends to an action of $S_{n+1}$. More precisely, we construct a graded $S_{n+1}$-module $V_n$ such that the restriction of $V_n$ to $S_n$ is isomorphic to $\mathrm{Park}_n$. We describe the $S_n$-Frobenius characters of the module $V_n$ in all degrees and describe the $S_{n+1}$-Frobenius characters of $V_n$ in extreme degrees. We give a bivariate generalization $V_n^{(\ell, m)}$ of our module $V_n$ whose representation theory is governed by a bivariate generalization of Dyck paths. A Fuss generalization of our results is a special case of this bivariate generalization. L’action du groupe symétrique $S_n$ sur l’ensemble $\mathrm{Park}_n$ des fonctions de stationnement de longueur $n$ a reçu beaucoup d’attention dans la combinatoire algébrique. Nous démontrons que l’action de $S_n$ sur $\mathrm{Park}_n$ s’étend à une action de $S_{n+1}$. Plus précisément, nous construisons un gradué $S_{n+1}$-module $V_n$ telles que la restriction de $S_n$ est isomorphe à $\mathrm{Park}_n$. Nous décrivons la $S_n$-Frobenius caractères des modules $V_n$ à tous les degrés et décrivent le $S_{n+1}$-Frobenius caractères de $V_n$ en degrés extrêmes. Nous donnons une généralisation bivariée $V_n^{(\ell, m)}$ de notre module $V_n$ dont la représentation théorie est régie par une généralisation bivariée des chemins de Dyck. Une généralisation Fuss de nos résultats est un cas particulier de cette généralisation bivariée.
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Fischer, Ilse, and Lukas Riegler. "Combinatorial Reciprocity for Monotone Triangles." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (January 1, 2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3042.
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International audience The number of Monotone Triangles with bottom row $k_1 < k_2 < ⋯< k_n$ is given by a polynomial $\alpha (n; k_1,\ldots,k_n)$ in $n$ variables. The evaluation of this polynomial at weakly decreasing sequences $k_1 ≥k_2 ≥⋯≥k_n $turns out to be interpretable as signed enumeration of new combinatorial objects called Decreasing Monotone Triangles. There exist surprising connections between the two classes of objects – in particular it is shown that $\alpha (n;1,2,\ldots,n) = \alpha (2n; n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$. In perfect analogy to the correspondence between Monotone Triangles and Alternating Sign Matrices, the set of Decreasing Monotone Triangles with bottom row $(n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$ is in one-to-one correspondence with a certain set of ASM-like matrices, which also play an important role in proving the claimed identity algebraically. Finding a bijective proof remains an open problem. Le nombre de Triangles Monotones ayant pour dernière ligne $k_1 < k_2 < ⋯< k_n$ est donné par un polynôme $\alpha (n; k_1,\ldots,k_n)$ en $n$ variables. Il se trouve que les valeurs de ce polynôme en les suites décroissantes $k_1 ≥k_2 ≥⋯≥k_n$ peuvent s'interpréter comme l'énumération signée de nouveaux objets appelés Triangles Monotones Décroissants. Il existe des liens surprenants entre ces deux classes d'objets – en particulier on prouvera l'identité $\alpha (n;1,2,\ldots,n) = \alpha (2n; n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$. En parfaite analogie avec la correspondance entre Triangles Monotones et Matrices à Signe Alternant, l'ensemble des Triangles Monotones Décroissants ayant pour dernière ligne $(n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$ est en correspondance biunivoque avec un certain ensemble de matrices similaires aux MSAs, ce qui joue un rôle important dans la preuve algébrique de l'identité précédente. C'est un problème ouvert que d'en donner une preuve bijective.
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Karp, Steven N. "Sign variation, the Grassmannian, and total positivity." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (January 1, 2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2518.
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International audience The <i>totally nonnegative Grassmannian</i> is the set of $k$-dimensional subspaces $V$ of ℝ<sup>$n$</sup> whose nonzero Plücker coordinates (i.e. $k × k$ minors of a $k × n$ matrix whose rows span $V$) all have the same sign. Total positivity has been much studied in the past two decades from an algebraic, combinatorial, and topological perspective, but first arose in the theory of oscillations in analysis. It was in the latter context that Gantmakher and Krein (1950) and Schoenberg and Whitney (1951) independently showed that a subspace $V$ is totally nonnegative iff every vector in $V$, when viewed as a sequence of $n$ numbers and ignoring any zeros, changes sign fewer than $k$ times. We generalize this result, showing that the vectors in $V$ change sign fewer than $l$ times iff certain sequences of the Plücker coordinates of some <i>generic perturbation</i> of $V$ change sign fewer than $l − k + 1$ times. We give an algorithm which constructs such a generic perturbation. Also, we determine the <i>positroid cell</i> of each totally nonnegative $V$ from sign patterns of vectors in $V$. These results generalize to oriented matroids. La <i>grassmannienne totalement non négative</i> est l’ensemble des sous-espaces $V$ de ℝ<sup>$n$</sup> de dimension $k$ dont coordonnées plückeriennes non nulles (mineurs de l’ordre $k$ d’une matrice $k × n$ dont les lignes engendrent $V$) ont toutes le même signe. La positivité totale a beaucoup été étudiée durant les deux dernières décennies d’une perspective algébrique, combinatoire, et topologique, mais a pris naissance dans la théorie analytique des oscillations. C’est dans ce contexte que Gantmakher et Krein (1950) et Schoenberg et Whitney (1951) ont indépendamment démontré qu’un sous-espace $V$ est totalement non négatif ssi chaque vecteur dans $V$, lorsque considéré comme une séquence de $n$ nombres et dont on ignore les zéros, change de signe moins de $k$ fois. Nous généralisons ce résultat, démontrant que les vecteurs dans $V$ changent de signe moins de $l$ fois ssi certaines séquences des coordonnées plückeriennes d’une <i>perturbation générique</i> de $V$ changent de signe moins de $l − k + 1$ fois. Un algorithme construisant une telle perturbation générique est obtenu. De plus, nous déterminons la <i>cellule positroïde</i> de chaque $V$ totalement non négatif à partir des données de signe des vecteurs dans $V$. Ces résultats sont valides pour les matroïdes orientés.