Дисертації з теми "Méthode du multiplicateur"

L'objectif de ce travail est de développer une méthode de sous-domaines acoustiques avec la perspective de l'appliquer à un problème vibro-acoustique. Ce travail trouve une application naturelle dans le domaine des transports à cause de la configuration de ses espaces : de grands domaines et une certaine répétition des cellules. L'utilisation d'une méthode modale permet de réduire la taille des systèmes et d'étendre la méthode à des maillages incompatibles aux interfaces. Un multiplicateur de Lagrange assure la continuité entre les sous-domaines. Il est projeté sur une base spécifique calculée sur l'interface ; cela permet d'imposer une condition de type Neuman sur l'interface pour le calcul des modes locaux des sous-domaines. Une méthode de discrétisation par éléments finis classiques est utilisée pour la résolution numérique des équations. Les programmes ont été développés dans l'environnement ideas-vibroacoustic utilisant le solveur rayon. Les principales étapes de résolution sont : - préparation de la base de données : les différents maillages et connectivités, - calcul des opérateurs pour le calcul des modes locaux et des modes d'interface, - projection des opérateurs sur les bases locales et d'interface, - calcul des modes du domaine global, - projection des opérateurs sur la base globale, - calcul de la réponse dynamique du système, - restitution de la solution physique. Les résultats numériques obtenus montrent une bonne convergence de la méthode. Ils sont comparés par rapport à l'analytique et par rapport à un calcul numérique direct effectué sur le domaine global. Pour finir une méthode pour les sous-domaines vibro-acoustiques est présentée. Pour les structures sèches, l'introduction de deux multiplicateurs de Lagrange assure les continuités à l'interface. La stratégie de résolution adoptée pour le problème vibro-acoustique consiste à résoudre le problème de couplage fluide/structure local dans chacun des sous-domaines, avant de procéder à l'assemblage des cellules.

Les radars à sondage de sol aussi appelés GPR (Ground Penetrating Radar) jouent un rôle important pour la prospection non destructive dans des domaines très variés. Ce travail propose une étude théorique de ce type de radar dans une configuration multicapteur. Dans un première partie, les lois fondamentales de l’électromagnétisme ainsi que le principe de fonctionnement d’un radar GPR sont présentés. Une méthode numérique permettant la modélisation rapide d’une scène réaliste et le calcul de B-scan est décrite. Cette méthode basée sur la FDTD (Finite Difference Time Domain) a permis de tester différentes configurations de radars multicapteurs et d’en montrer leur apport. La dernière partie propose deux méthodes inverses dans le domaine temporel. La méthode de retournement temporel et la méthode de focalisation de phase s'avèrent bien adaptées à la localisation d’objets à partir d’enregistrements provenant de radars multicapteurs
Ground Penetrating Radars (G. P. R. ) contribute in non-destructive survey in various domains. This work deals with a study of GPR in multisensor configuration. In a first part, the fundamental laws of electromagnetism and the radar principle are presented. A numerical method for fast modeling of realistic scenes and B-scan calculation is described. This method based on the FDTD (Finite Difference Time Domain) allowed to test various configurations of multisensor radar and to show their contribution. The final section proposes two inverse methods in time domain. The reverse time method and the phase shift method are well suited to the location of objects from multisensor radar records

Dans ce travail, nous développons une méthode numérique adaptée aux problèmes acoustiques de grandes dimensions et à fréquences élevées : la méthode de décomposition de domaine, avant discrétisation, le domaine interne de propagation est divisé en sous-domaines séparés par des surfaces fictives. La méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre le problème interne. Le calcul du rayonnement externe est effectué par l'utilisation d'éléments finis de frontière sur l'ouverture de la cavité, supposée bafflée. La continuité de la pression aux niveaux des interfaces de séparation des sous-domaines est assurée par l'introduction d'un multiplicateur de Lagrange et l'écriture d'une formulation variationnelle faible sur les interfaces. La fonction de transfert et la directivité acoustique d'une entrée d'air de moteur d'hélicoptère de forme quelconque excitée par une onde plane est mesurée, Nous modélisons l'expérience en utilisant la méthode de décomposition de domaine. Les comparaisons des cartographies des fonctions de transfert en bande fine ont été uniquement qualitatives. Les résultats numériques sont en accord avec l'expérience lorsque la variation spatiale du champ de pression s'effectue suivant la plus grande dimension. Les comparaisons sans recalage ont été faites sur les spectres en 1/3 d'octave obtenus au centre de l'ouverture. Les niveaux de pression mesurés et calculés coïncident jusqu'à 5000 Hz avec un écart minimal de 3. 5 dB.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité et de la contrôlabilité de quelques systèmes localement couplés.D'abord, nous avons ètudié la stabilisation d’un système de deux équations d'ondes couplées par les termes des vitesses avec un seul amortissement localisé et sous des conditions géométriques appropriées. Pour le cas où les ondes se propageant à la même vitesse, nous avons établi un taux de décroissance exponentielle de l'énergie. Cependant, dans le cas physique naturel où les ondes ne se propagent pas à la même vitesse, nous avons montré que notre système n'est pas uniformément stable et nous avons établi le taux de décroissance polynomial optimal de l'énergie.Après, nous avons traité la contrôlabilité exacte d'un système des équations d’ondes localement couplées. L'outil principal est un résultat de A. Haraux par lequel l'inégalité d'observabilité est équivalente à la stabilité exponentielle. Plus précisément, nous avons fourni une analyse complète de la stabilité exponentielle du système dans deux espaces d'Hilbert différents et sous des conditions géométriques convenables. Ensuite, en utilisant la mèthode HUM, nous avons prouvé que le système est exactement contrôlable. Plus tard, nous avons effectué des études numériques pour valider nos résultats théoriques obtenus.Finalement, nous avons analysé la stabilité d’un système de Bresse avec un amortissement local de type Kelvin-Voight avec des conditions aux bords Dirichlet ou Dirichlet-Neumann-Neumann.Dans le cas de trois amortissements locaux, sous leurs propriétés, nous avons établi un taux de décroissance exponentielle ou polynomiale de l’énergie. Cependant, lorsque les ondes ne sont soumises qu’à un ou deux amortissements et que, dans les conditions aux bords sont de type Dirichlet-Neumann-Neumann, nous avons démontré que le système n’est pas uniformément stable. Dans ce cas, nous avons établi un taux de décroissance polynomiale de l'énergie.Dans cette thèse, la méthode de domaine fréquentielle et la technique du multiplicateur ont été utilisées
This thesis is devoted to study the stabilization and exact controllability of some locally coupled systems. First, we studied the stabilization of a system of two wave equations coupled by velocities with only one localized damping and under appropriate geometric conditions. For the case involved waves propagating at the same speed, we established the exponential energy decay rate. However, the natural physical case also entails waves that do not propagate with equal speed, in such a case, we showed that our system is not uniformly stable and we established an optimal polynomial energy decay rate.Second, we investigated the exact controllability of locally coupled wave equations. The main tool is a result of A. Haraux by which the observability inequality is equivalent to the exponential stability of the system. More precisely, we provided a complete stability analysis of the system in two different Hilbert spaces and under appropriate geometric conditions. Then, using the HUM method, we proved that the system is exactly controllable. Later, we performed numerical experiments to valid our obtained theoretical results.Last, we analyzed the stability of a Bresse system with local Kelvin-Voight damping with fully Dirichlet or Dirichlet- Neumann-Neumann boundary conditions. Here we trait several cases.In the case of three local damping, according to their properties (smoothness), we established an exponential or a polynomial energy decay rate. However, when the waves are only subjected to one or two damping and under Dirichlet-Neumann-Neumann boundary conditions, we demonstrated that the Bresse system is not uniformly stable. In this case, we established a polynomial energy decay rate.In this thesis, the frequency domain approach and the multiplier technique were used

Le travail présenté ici traite de l'interaction évolutive en temps entre un fluide incompressible et une structure élastique et s'attache à construire une modélisation mathématique rigoureuse qui conduit à une mise en oeuvre numérique efficace même dans le cas tridimensionnel. Le fluide est modélisé par l'équation évolutive de Stokes et la structure est supposée linéairement élastique. Deux modèles mathématiques pour la résolution découplée du problème fluide structure sont présentés. Ces modèles sont bien posés et par l'intermédiaire des éléments finis mixtes pour la discrétisation en espace et des différences finies pour la discrétisation en temps permettent l'écriture d'un algorithme de résolution d'implémentation relativement aisée fournissant le déplacement et la vitesse de la structure, la vitesse d'écoulement, la pression du fluide et les forces d'interface. Les résultats numériques sont très satisfaisants.

Dans ce travail, nous proposons une méthode mixte en fonction de courant-tourbillon pour résoudre le problème de Stokes dans des domaines bornes réguliers de r. Nous établissons par la suite des estimations d'erreur dans le cadre des formulations mixtes classiques. Du point de vue numérique, nous mettons en oeuvre une méthode basée sur l'approximation d'une base harmonique pour résoudre le problème de Stokes. Par ailleurs nous étendons cette méthode au cas du problème de Navier-Stokes et afin de combattre la convection dominante nous faisons appel à la technique de Petrov-Galerkin

Ce mémoire de thèse à été réalisée dans le cadre d'une collaboration scientifique avec "La Manufacture Française des Pneumatiques Michelin". Il porte sur l'analyse mathématique et numérique de la convergence et de la stabilité de formulations mixtes ou hybrides de problèmes d'optimisation sous contrainte avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange et dans le cadre de la méthode éléments finis étendus (XFEM). Tout d'abord, nous essayons de démontrer la stabilité de la discrétisation X-FEM pour le problème d'élasticité linéaire incompressible en statique. Le deuxième axe, qui représente le contenu principal de la thèse est dédié à l'étude de certaines méthodes de multiplicateur de Lagrange stabilisées. La particularité de ces méthodes est que la stabilité du multiplicateur est assurée par l'ajout de termes supplémentaires dans la formulation faible. Dans ce contexte, nous commençons par l'étude de la méthode de stabilisation de Barbosa-Hughes appliquée au problème de contact unilatéral sans frottement avec XFEM cut-off. Ensuite, nous construisons une nouvelle méthode basée sur des techniques de projections locales pour stabiliser un problème de Dirichlet dans le cadre de X-FEM et une approche de type domaine fictif. Nous faisons aussi une étude comparative entre la stabilisation avec la technique de projection locale et la stabilisation de Barbosa-Hughes. Enfin, nous appliquons cette nouvelle méthode de stabilisation aux problèmes de contact unilatéral en élastostatique avec frottement de Tresca dans le cadre de X-FEM
This Ph.D. thesis was done in collaboration with "La Manufacture Française des Pneumatiques Michelin". It concerns the mathematical and numerical analysis of convergence and stability of mixed or hybrid formulation of constrained optimization problem with Lagrange multiplier method in the framework of the eXtended Finite Element Method (XFEM). First we try to prove the stability of the X-FEM discretization for incompressible elastostatic problem by ensured a LBB condition. The second axis, which present the main content of the thesis, is dedicated to the use of some stabilized Lagrange multiplier methods. The particularity of these stabilized methods is that the stability of the multiplier is provided by adding supplementary terms in the weak formulation. In this context, we study the Barbosa-Hughes stabilization technique applied to the frictionless unilateral contact problem with XFEM-cut-off. Then we present a new consistent method based on local projections for the stabilization of a Dirichlet condition in the framework of extended finite element method with a fictitious domain approach. Moreover we make comparative study between the local projection stabilization and the Barbosa-Hughes stabilization. Finally we use the local projection stabilization to approximate the two-dimensional linear elastostatics unilateral contact problem with Tresca frictional in the framework of the eXtended Finite Element Method X-FEM

Ce travail porte sur quelques méthodes numériques d'approximation de solution d'équations aux dérivées partielles. Il s'articule en deux parties principales : d'une part, l'analyse numérique d'une classe de méthodes de décomposition de domaines, d'autre part, l'étude de la méthode des domaines fictifs avec multiplicateur de Lagrange.

Dans cette thèse, une formulation stable mixte de déplacement–multiplicateur de Lagrange est développée pour modéliser la fissuration dans les matériaux cohésifs à grains dans le cadre de la méthode des éléments finis etendus (CutFEM). Le champ de déplacement est discrétisé sur chaque grain individuellement, et la continuité des champs de déplacement et de traction aux interfaces entre grains est assurée par des multiplicateurs de Lagrange. La construction de l'espace discret des multiplicateurs de Lagrange est détaillée pour les éléments quadrangulaires bilinéaires avec la présence d’interfaces multiples dans un élément. Des preuves numériques sont données que cet espace de multiplicateurs de Lagrange est stable, et des exemples démontrant la robustesse de la méthode sont fournis. Avec cette discrétisation stable, une formulation de zone cohésive permet de modéliser la propagation de fissures multiples aux interfaces entre grains. Pour éviter des interpénétrations aux faces des fissures pendant le déchargement, une condition de contact est imposée. Les solutions pour les champs mécaniques et le champ d’endommagement sont obtenues séparément et un algorithme explicite permet d'utiliser une approche non itérative. La formulation de l’endommagement associe les modes de rupture normal et tangentiel, tient compte de différents comportements de tension et de compression et prend en compte une énergie de rupture dépendante de la compression en mode mixte. La méthode est appliquée à des problèmes 2D complexes inspirés par des tests de tension indirecte et des tests de compression sur des matériaux hétérogènes ressemblant à de la roche
In this thesis a flexible and general stable displacement–Lagrange multiplier mixed formulation is developed to model distributed cracking in cohesive grain-based materials in the framework of the cut finite element method. The displacement field is discretized on each grain separately, and the continuity of the displacement and traction fields across the interfaces between grains is enforced by Lagrange multipliers. The design of the discrete Lagrange multiplier space is detailed for bilinear quadrangular elements with the potential presence of multiple interfaces/discontinuities within an element. We give numerical evidence that the designed Lagrange multiplier space is stable and provide examples demonstrating the robustness of the method. Relying on the stable discretization, a cohesive zone formulation equipped with a damage constitutive model expressed in terms of the traction is used to model the propagation of multiple cracks at the interfaces between grains. To prevent the crack faces from self-penetrating during unloading, a contact condition is enforced. The solutions for the mechanical fields and the damage field are separately obtained and an explicit damage update algorithm allows using a non-iterative approach. The damage formulation couples the normal and tangential failure modes, accounts for different tension and compression behaviours and takes into account a compression-dependent fracture energy in mixed mode. The framework is applied to complex 2D problems inspired by indirect tension tests and compression tests on heterogeneous rock-like materials

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation de certains systèmes localement couplés. Tout d'abord, nous étudions la stabilité d'équations d'onde couplées unidimensionnelles avec deux amortissements visqueux intérieurs non lisses où nous établissons une stabilité exponentielle. Dans un second temps, nous étudions la stabilisation d'équations d'onde localement couplées avec un seul amortissement viscoélastique interne de type Kelvin-Voigt. L'amortissement et les coefficients de couplage ne sont pas lisses. En utilisant une approche spectrale, nous démontrons la stabilité non uniforme du système. Ensuite, en utilisant une approche dans le domaine fréquentiel, combinée à une technique de multiplicateur par morceaux et à la construction d'un nouveau multiplicateur satisfaisant quelques équations différentielles ordinaires, nous montrons que l'énergie de la solution lisse du système décroît polynomiale. Troisièmement, nous étudions la décroissance énergétique de systèmes hyperboliques de type onde-onde, onde-Euler Bernoulli et faisceau-faisceau. En effet, les deux équations sont couplées par liaison limite avec un seul amortissement fractionnaire Kelvin Voigt localisé non lisse. Nous établissons un taux de décroissance d'énergie polynomial. Enfin, nous étudions la stabilité d'un système multidimensionnel de deux équations d'onde couplées par des vitesses avec un seul amortissement Kelvin-Voigt localisé non lisse. En utilisant une analyse spectrale, nous prouvons la stabilité non uniforme du système. Nous établissons des résultats de stabilité polynomiale en considérant différentes conditions géométriques sur les domaines de couplage et d'amortissement
This thesis is devoted to study the stabilization of some locally coupled systems. First, we study the stability of a one-dimensional coupled wave equations with two interior non smooth viscous dampings where we establish exponential stability. Second, we study the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type. Both the damping and the coupling coefficients are non smooth. Using a spectrum approach, we prove the non-uniform stability of the system. Next, using a frequency domain approach, combined with a piecewise multiplier technique and the construction of a new multiplier satisfying some ordinary differential equations, we show that the energy of the smooth solution of the system decays polynomially. Third, we investigate the energy decay of hyperbolic systems of wave-wave, wave-Euler Bernoulli beam and beam-beam types. Indeed, the two equations are coupled through boundary connection with only one localized non smooth fractional Kelvin Voigt damping. We establish a polynomial energy decay rate. Finally, we study the stability of a multidimensional system of two wave equations coupled by velocities with only one localized non-smooth Kelvin-Voigt damping. By using a spectral analysis, we prove the non uniform stability of the system. Further, using a frequency domain approach combined with a multiplier technique, we establish some polynomial stability results by considering different geometric conditions on the coupling and the damping domains. In addition, in the absence of any geometric condition, we establish two polynomial energy decay rates of the system on a square domain

Dans cette these, on resout les equations de maxwell issues de problemes de diffraction d'une onde harmonique par un obstacle. Pour des raisons de simplicite de mise en uvre, on veut utiliser des elements finis conformes (de type p#1). Pour ce faire, il faut pouvoir prendre en compte la condition aux limites de type conducteur parfait qui intervient dans ces equations, ce qui n'est pas immediat avec ce type d'elements. On traitera donc cette condition grace a l'introduction d'un multiplicateur de lagrange. On resout ensuite le systeme lineaire (complexe, creux, indefini, symetrique mais non hermitien) issu de ce probleme de point-selle, apres l'avoir preconditionne, par une methode iterative performante (gmres ou bicgstab). On presente plusieurs preconditionnements et une comparaison des deux methodes iteratives, utilisees pour resoudre un tel systeme. Afin de ne pas s'attaquer immediatement un probleme repute difficile, on teste les differents algorithmes mis au point sur un probleme elliptique modele simple, puis sur un probleme plus complique (mais plus proche de celui que l'on veut resoudre puisqu'il s'agit de l'equation de helmholtz), pour enfin s'interesser aux equations de maxwell. On presente les formulations variationnelles des differents problemes ainsi que l'ensemble des experiences numeriques effectuees validant la methode

Nous avons étudié une nouvelle méthode de décomposition de domaine qui consiste a introduire les multiplicateurs de Lagrange des conditions de continuité aux interfaces entre les sous-structures, et qui conduit a une formulation hybride par sous-domaines des équations. Par ailleurs, nous avons envisage différents préconditionneurs adaptes a cette méthode, et nous l'avons comparée a celle, plus classique, du complément de Schur, aussi bien du point de vue de l'analyse numérique que de celui de l'implémentation sur machines parallèles. Enfin, des tests ont été réalisés pour la résolution de problèmes d'élasticité linéaire tridimensionnels. Ces tests ont démontre la capacité de l'algorithme a résoudre, a moindre cout, des problèmes de grande taille, mal conditionnes, ainsi que l'efficacité de son implémentation sur des supercalculateurs parallèles

De nombreux modèles de réseaux constitués d'un nombre fini d'éléments flexibles, comme des cordes, des poutres, des plaques ou des coques, ont été récemment étudiés. Dans ce travail, nous considérons des réseaux de poutres d'Euler-Bernoulli, modélisées par un operateur d'ordre 4 avec différentes conditions de bord et de transmission. Nous étudions dans un premier temps le problème spectral en utilisant une représentation matricielle du problème initial. Celui-ci s'en trouve alors réduit à l'étude des zéros d'une équation transcendante ne dépendant que de la structure du réseau. Cette équation peut elle-même être réduite en une équation algébrique dans certains cas. Dans la deuxième partie de ce travail, nous étudions la contrôlabilité exacte par contrôle externe de l'un de ces modèles, avec des conditions de Dirichlet sur les sommets extérieurs. Nous montrons comment contrôler cette structure a l'aide de la méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method). Cependant la méthode classique des multiplicateurs n'offre ici de résultat vraiment probant que pour des réseaux en étoile (dont toutes les branches ont un seul sommet en commun). Nous avons donc décidé de donner des conditions suffisantes assurant la contrôlabilité exacte pour tout temps t>0 à l'aide des propriétés asymptotiques des valeurs propres et des propriétés des vecteurs propres sur les sommets extérieurs. Ce travail se termine par l'étude de différents exemples significatifs.

Les ameliorations developpees dans ce travail resident en deux methodes permettant la prise en compte d'heterogeneites locales et d'effets transport localises directement dans un calcul complet de cur. Elles sont developpees a partir de la methode nodale variationnelle basee sur la formulation paire de l'equation du transport. La premiere technique consiste a prendre en compte les heterogeneites par un raffinement localise des regions heterogenes. La seconde, methode mixte transport-diffusion, conduit a choisir, suivant la region, une modelisation suffisante: soit la theorie du transport, soit l'approximation de la diffusion. Ces deux methodes ont ete testees sur differents cas tests. Des resultats theoriques concernant la methode nodale variationnelle sont etablis

La méthode des éléments finis est une méthode de modélisation des systèmes, utilisée dans l’ensemble des domaines de la physique ainsi que dans l’ingénierie. Elle permet d’obtenir des résultats précis. Cependant la nécessité de modéliser des systèmes de plus en plus complexes, avec une précision de plus en plus grande, demande une puissance de calcul qui n’est pas toujours disponible. Il est ainsi nécessaire, afin de résoudre ces problèmes, de trouver des méthodes de calcul permettant de conserver cette précision, mais de réduire le temps de calcul.Une solution pour tenter de palier à ce défaut est de décomposer le problème complexe initial en plusieurs sous-problèmes, maillés indépendamment, et entre lesquels il est nécessaire de coupler les solutions. Quelques méthodes permettant de recoller ces maillages sont étudiées dans ce présent mémoire. Elles sont présentées ainsi que quelques outils liés, tels que des méthodes de résolution, et des fonctions de formes plus adaptées à leur utilisation. Il est montré, à travers ces travaux, qu’il est tout à fait possible de recoller les maillages en électrotechnique, et par là d’obtenir des résultats intéressants en terme de précision, et de qualité de solution. Cependant, les méthodes de résolution utilisées ici n’ont pas permis d’obtenir des temps de calculs satisfaisants pour les cas étudiés
The finite element method is used to model complex systems in all the physics and engineering. This method has a good accuracy. Because of the complexity of the systems, and the require precision, this method need a very large computing capacity, which is not always available. Consequently it is necessary to find calculation methods which allow preserving the accuracy, and reducing the computation time.One way to solve this situation is to decompose the complex problem in several sub-problems, with non-connecting meshes, and reconnect them. Some methods used to reconnect are developed in this work, with some tools, like resolution methods, and new shape functions necessary for this configuration of non-connecting meshes. This work shows the possibility of those methods: they reconnect the different meshes, conserve the accuracy and the quality of the solution. But the solving methods used here do not reduce consequently the computation time

Les travaux présentés dans cette thèse sont divisés en quatre parties. La première est consacrée à la présentation du modèle de reconstruction tomographique. Dans la deuxième partie, nous traitons une approche variationnelle qui consiste en un problème de minimisation non-différentiable avec une contrainte non convexe, d'intérieur vide pour les topologies usuelles. L'étude numérique de l'approche précédente est faite dans la troisième partie. Elle est basée sur le système d'optimalité, la méthode d'Uzawa et une méthode de gradient à pas optimal pour écrire un schéma numérique. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons à l'approche par lignes de niveaux pour résoudre des problèmes de propagation de fronts. Cette méthode fait apparaître des équations de type Hamilton-Jacobi du second ordre avec un terme non-local. Nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité pour ces équations dans deux cas: celui des fronts compacts et celui des fronts non compacts
The thesis at hand is composed of four parts. The first of which is devoted to present our model of tomographic reconstruction. The second part treats a non-differentiable variational problem with a non-convex constraint the interior of which is empty for usual topologies. A numerical study of the above approach is elaborated in the third part. A numerical scheme is derived based upon our optimal system, the method of Uzawa and a gradient descent method. In the last part, we use a level-set approach to solve the front propagation problem. A second order Hamilton-Jacobi type equation with a non-local term comes into play. We prove the existence and uniqueness of a viscosity solution in both compact and non-compact fronts cases

La FWI (Full Waveform Inversion) est un problème d'optimisation sous contraintes dédié à l'estimation des paramètres constitutifs du sous-sol à partir de mesures parcimonieuses des champs d'ondes sismiques. La FWI est fondée sur des approches locales d'optimisation et sur un espace de recherche réduit obtenu par projection de variables. La non linéarité et le caractère mal posé de la FWI sont deux difficultés majeures. Une source de non linéarité est liée au repliement de la phase, qui conduit à un minimum local dès que le modèle initial n'est pas suffisamment précis. Le caractère mal posé résulte de l'éclairage incomplet du sous-sol depuis la surface, le bruit et les couplages inter-paramètres. L'objectif de cette thèse est de réduire ces deux pathologies par de nouvelles approches d'optimisation et de régularisation. J'améliore tout d'abord la méthode d'inversion par reconstruction des champs d'onde (WRI : Wavefield Reconstruction Inversion). WRI étend l'espace de recherche en calculant les champs d'onde avec une relaxation de l'équation d'onde afin d'ajuster les données avec des modèles imprécis avant d'estimer les paramètres en minimisant les erreurs générées par cette relaxation. Quand ces deux estimations sont effectuées de manière alternée, WRI décompose l'inversion non linéaire en deux sous-problèmes linéaires en vertu de la bilinéarité de l'équation d'onde. WRI a été implémentée avec une méthode de pénalité, nécessitant une adaptation du paramètre de pénalité lors des itérations. Je remédie à cela avec ADMM (Alternating-Direction Method of Multipliers), qui concilie l'extension de l'espace de recherche et la précision de la solution au point de convergence avec un paramètre de pénalité fixe grâce à la mise à jour itérative des multiplicateurs de Lagrange. Une seconde contribution est l'implémentation de contraintes de bornes et de régularisation par variation totale (TV) dans WRI. Suivant la méthode de Split Bregman, des variables auxiliaires permettent de découpler les termes impliquant des normes ℓ2 et ℓ1 et de traiter les seconds efficacement avec des opérateurs de proximité. Ensuite, j'ai combiné une régularisation de Tikhonov et de TV par convolution infimale pour prendre en compte les différentes propriétés statistiques du milieu (constantes par morceau et lisses). Ma thèse aborde ensuite des reconstructions multi-paramètres. Je montre dans un premier temps que la bilinéarité de l'équation d'onde est vérifiée pour les équations de l'elastodynamique. Ensuite, je traite le cas de milieux acoustique VTI où je reconstruis conjointement la vitesse verticale et epsilon pour un modèle synthétique représentatif d'un champ pétrolier en mer du Nord. Je m'intéresse ensuite à l'imagerie de l'atténuation qui est introduite en domaine harmonique sous forme d'une vitesse complexe. J'étends WRI à la reconstruction de paramètres complexes tout en développant une régularisation adaptable à la vitesse réelle et au facteur de qualité. Durant les premières itérations, les champs d'onde reconstruits sont précis uniquement au voisinage des récepteurs. Les imprécisions de la phase pourraient avoir un rôle préjudiciable sur la solution de l'inversion. Afin de réduire cette empreinte, j'estime les paramètres par "phase retrieval", un processus qui vise la reconstruction d'un signal complexe à partir de l'amplitude de sa mesure linéaire. Une fois un premier modèle obtenu, je réinjecte l'information de la phase pour converger vers la solution finale. Je montre la pertinence de cette stratégie lorsque le modèle initial est homogène. WRI a été initialement développée dans le domaine fréquentiel car la reconstruction des champs d'onde y est raisonnablement aisée avec des méthodes d'algèbre linéaire. En domaine temporel, une approche fondée sur un schéma explicite d'intégration temporelle a été proposée mais repose sur une linéarisation autour des sources supposées connues
Full Waveform Inversion (FWI) is a PDE-constrained optimization which reconstructs subsurface parameters from sparse measurements of seismic wavefields. FWI generally relies on local optimization techniques and a reduced-space approach where the wavefields are eliminated from the variables. In this setting, two bottlenecks of FWI are nonlinearity and ill-posedness. One source of nonlinearity is cycle skipping, which drives the inversion to spurious minima when the starting subsurface model is not kinematically accurate enough. Ill-posedness can result from incomplete subsurface illumination, noise and parameter cross-talks. This thesis aims to mitigate these pathologies with new optimization and regularization strategies. I first improve the wavefield reconstruction method (WRI). WRI extends the FWI search space by computing wavefields with a relaxation of the wave equation to match the data from inaccurate parameters. Then, the parameters are updated by minimizing wave equation errors with either alternating optimization or variable projection. In the former case, WRI breaks down FWI into to linear subproblems thanks to wave equation bilinearity. WRI was initially implemented with a penalty method, which requires a tedious adaptation of the penalty parameter in iterations. Here, I replace the penalty method by the alternating-direction method of multipliers (ADMM). I show with numerical examples how ADMM conciliates the search space extension and the accuracy of the solution at the convergence point with fixed penalty parameters thanks to the dual ascent update of the Lagrange multipliers. The second contribution is the implementation of bound constraints and non smooth Total Variation (TV) regularization in ADMM-based WRI. Following the Split Bregman method, suitable auxiliary variables allow for the de-coupling of the ℓ1 and ℓ2 subproblems, the former being solved efficiently with proximity operators. Then, I combine Tikhonov and TV regularizations by infimal convolution to account for the different statistical properties of the subsurface (smoothness and blockiness). At the next step, I show the ability of sparse promoting regularization in reconstruction the model when ultralong offset sparse fixed-spread acquisition such as those carried out with OBN are used. This thesis continues with the extension of the ADMM-based WRI to multiparameter reconstruction in vertical transversely isotropic (VTI) acoustic media. I first show that the bilinearity of the wave equation is satisfied for the elastodynamic equations. I discuss the joint reconstruction of the vertical wavespeed and epsilon in VTI media. Second, I develop ADMM-based WRI for attenuation imaging, where I update wavefield, squared-slowness, and attenuation in an alternating mode since viscoacoustic wave equation can be approximated, with a high degree of accuracy, as a multilinear equation. This alternating solving provides the necessary flexibility to taylor the regularization to each parameter class and invert large data sets. Then, I overcome some limitations of ADMM-based WRI when a crude initial model is used. In this case, the reconstructed wavefields are accurate only near the receivers. The inaccuracy of phase of the wavefields may be the leading factor which drives the inversion towards spurious minimizers. To mitigate the role of the phase during the early iterations, I update the parameters with phase retrieval, a process which reconstructs a signal from magnitude of linear mesurements. This approach combined with efficient regularizations leads to more accurate reconstruction of the shallow structure, which is decisive to drive ADMM-based WRI toward good solutions at higher frequencies. The last part of this PhD is devoted to time-domain WRI, where a challenge is to perform accurate wavefield reconstruction with acceptable computational cost

Une fonction cle des nouveaux systemes de communication est la multiplication de frequence. Cette fonction incontournable utilise la generation d'harmoniques crees par la non linearite d'un composant. Le multiplicateur de frequence est integre dans la plupart des sources millimetriques des modules et associe a un oscillateur faible bruit fonctionnant a une frequence plus basse dans le but de generer un signal stable presentant une haute purete spectrale a la frequence de sortie desiree. L'objectif de ce travail consiste a elaborer une methode de conception de multiplicateurs de frequence d'ordre n. Cette methodologie resulte de la transposition de la technique des generateurs de substitution aux cas des multiplicateurs de frequence. Cette methode rapide et rigoureuse comprend au total 4 etapes : - les generateurs de substitution ideaux - la sensibilite sur les impedances presentees aux frequences parasites - la synthese des courts-circuits - les generateurs de substitution extrinseques cette approche permet d'une part de selectionner le composant adequat pour la multiplication de frequence selon le cahier des charges fixe et d'autre part de determiner l'ensemble des conditions reelles de fonctionnement du multiplicateur. Cette approche peut etre facilement implementee dans tous les logiciels commerciaux disponibles. La methode de conception a ete validee par la realisation en technologie d'un tripleur millimetrique en technologie mmic en collaboration avec la societe ums. Les resultats de mesure de ce premier run technologique sont prometteurs. Soulignons que ce circuit mmic est destine a la branche ol d'un module millimetrique de transmission/reception.

Les méthodes barrières proposent de résoudre le problème non linéaire en résolvant une suite de problèmes pénalisés. Le lien entre la suite, dite externe, des solutions des fonctions pénalisées et la solution du problème initial a été établie dans les années soixante.

Dans cette thèse, nous avons utilisé une fonction barrière logarithmique. A chaque itération externe, la technique SQP se charge de produire une série de sous-problèmes quadratiques dont les solutions forment une suite, dite interne, de directions de descente pour résoudre le problème non linéaire pénalisé.

Nous avons introduit un changement de variable sur le pas de déplacement ce qui a permis d'obtenir des conditions d'optimalité plus stable numériquement.

Nous avons réalisé des simulations numériques pour comparer les performances de la méthode des gradients conjugués à celle de la méthode D.C., appliquées pour résoudre des problèmes quadratiques de région de confiance.

Nous avons adapté la méthode D.C. pour résoudre les sous-problèmes verticaux, ce qui nous a permis de ramener leurs dimensions de $n+m$ à $m+p$ ($ p < n $).

L'évolution de l'algorithme est contrôlée par la fonction de mérite. Des tests numériques permettent de comparer les avantages de différentes formes de la fonction de mérite. Nous avons introduit de nouvelles règles pour améliorer cette évolution.

Les expériences numériques montrent un gain concernant le nombre de problèmes résolus. L'étude de la convergence de notre méthode SDC, clôt ce travail.

Cette thèse est motivée par la modélisation et la simulation numérique des phénomènes d'interaction fluide-structure autour de valves cardiaques. L'interaction avec la paroi des vaisseaux est traitée avec une formulation Arbitraire Lagrange Euler (ALE), tandis que l'interaction avec les valves est traitée à l'aide de multiplicateurs de Lagrange, dans une formulation de type Domaines Fictifs (FD). Après une présentation de synthèse des diverses méthodes utilisées en interaction fluide-structure dans les écoulements sanguins, nous décrivons une méthode permettant de simuler la dynamique d'une valve immergée dans un écoulement visqueux incompressible. L'algorithme de couplage est partionné, ce qui permet de conserver des solveurs fluides et structures indépendants. Le maillage du fluide est mobile pour suivre la paroi des vaisseaux, mais indépendant du maillage des valves. Ceci autorise des très grands déplacements sans nécessiter de remaillage. Nous proposons une stratégie pour gérer le contact entre plusieurs valves. L'algorithme est totalement indépendant des solveurs de structures et est bien adapté au couplage fluide-structure partionné. Enfin, nous proposons un schéma de couplage semi-implicite permettant de mêler efficacement les formulations ALE et FD. Toutes les méthodes considérées sont accompagnées de nombreux tests numériques en 2D et 3D.

Nous proposons dans cette thèse de développer une méthode de restauration aveugle d'images flouées et bruitées où aucune connaissance a priori n'est exigée. Ce manuscrit est composé de trois chapitres : le 1er chapitre est consacré aux travaux de l'état de l'art. Les approches d'optimisation pour la résolution du problème de restauration y sont d'abord discutées. Ensuite les principales méthodes de restauration, dites semi-aveugles car nécessitant un minimum de connaissance a priori sont analysées. Parmi ces méthodes, cinq sont retenues pour évaluation. Le 2ème chapitre est dédié à la comparaison des performances des méthodes retenues dans le chapitre précédent. Les principaux critères objectifs d'évaluation de la qualité des images restaurées sont présentés. Parmi ces critères, la norme L1 de l'erreur d'estimation est sélectionnée. L'étude comparative menée sur une banque d'images monochromes, dégradées artificiellement par deux fonctions floues de supports différents et trois niveaux de bruit a permis de mettre en évidence les deux méthodes les plus pertinentes. La première repose sur une approche alternée mono-échelle où la PSF et l'image sont estimées dans une seule étape. La seconde utilise une approche hybride multi-échelle qui consiste tout d'abord à estimer de manière alternée la PSF et une image latente, puis dans une étape suivante séquentielle, à restaurer l'image. Dans l'étude comparative conduite, l'avantage revient à cette dernière. Les performances de ces méthodes serviront de référence pour comparer ensuite la méthode développée. Le 3ème chapitre porte sur la méthode développée. Nous avons cherché à rendre aveugle l'approche hybride retenue dans le chapitre précédent tout en améliorant la qualité d'estimation de la PSF et de l'image restaurée. Les contributions ont porté sur plusieurs points. Une première série d'améliorations concerne la redéfinition des échelles, celle de l'initialisation de l'image latente à chaque niveau d'échelle, l'évolution des paramètres pour la sélection des contours pertinents servant de support à l'estimation de la PSF et enfin, la définition d'un critère d'arrêt aveugle. Une seconde série de contributions a porté sur l'estimation aveugle des deux paramètres de régularisation impliqués pour éviter d'avoir à les fixer empiriquement. Chaque paramètre est associé à une fonction coût distincte l'une pour l'estimation de la PSF et la seconde pour l'estimation d'une image latente. Dans l'étape séquentielle qui suit, nous avons cherché à affiner le support de la PSF estimée dans l'étape alternée, avant de l'exploiter dans le processus de restauration de l'image. A ce niveau, la seule connaissance a priori nécessaire est une borne supérieure du support de la PSF. Les différentes évaluations conduites sur des images monochromes et hyperspectrales dégradées artificiellement par plusieurs flous de type mouvement, de supports différents, montrent une nette amélioration de la qualité de restauration obtenue par l'approche développée par rapport aux deux meilleures approches de l'état de l'art retenues
We propose in this thesis manuscript to develop a blind restoration method of single component blurred and noisy images where no prior knowledge is required. This manuscript is composed of three chapters: the first chapter focuses on state-of-art works. The optimization approaches for resolving the restoration problem are discussed first. Then, the main methods of restoration, so-called semi-blind ones because requiring a minimum of a priori knowledge are analysed. Five of these methods are selected for evaluation. The second chapter is devoted to comparing the performance of the methods selected in the previous chapter. The main objective criteria for evaluating the quality of the restored images are presented. Of these criteria, the l1 norm for the estimation error is selected. The comparative study conducted on a database of monochromatic images, artificially degraded by two blurred functions with different support size and three levels of noise, revealed the most two relevant methods. The first one is based on a single-scale alternating approach where both the PSF and the image are estimated alternatively. The second one uses a multi-scale hybrid approach, which consists first of alternatingly estimating the PSF and a latent image, then in a sequential next step, restoring the image. In the comparative study performed, the benefit goes to the latter. The performance of both these methods will be used as references to then compare the newly designed method. The third chapter deals with the developed method. We have sought to make the hybrid approach retained in the previous chapter as blind as possible while improving the quality of estimation of both the PSF and the restored image. The contributions covers a number of points. A first series concerns the redefinition of the scales that of the initialization of the latent image at each scale level, the evolution of the parameters for the selection of the relevant contours supporting the estimation of the PSF and finally the definition of a blind stop criterion. A second series of contributions concentrates on the blind estimation of the two regularization parameters involved in order to avoid having to fix them empirically. Each parameter is associated with a separate cost function either for the PSF estimation or for the estimation of a latent image. In the sequential step that follows, we refine the estimation of the support of the PSF estimated in the previous alternated step, before exploiting it in the process of restoring the image. At this level, the only a priori knowledge necessary is a higher bound of the support of the PSF. The different evaluations performed on monochromatic and hyperspectral images artificially degraded by several motion-type blurs with different support sizes, show a clear improvement in the quality of restoration obtained by the newly designed method in comparison to the best two state-of-the-art methods retained

Notre travail est consacré à la définition, l'analyse et l'implémentation de nouveaux algorithmes numériques pour l'approximation de la solution de problèmes à 2 dimensions du type problème de Stefan. Dans ce type de problèmes une équation aux dérivée partielle parabolique posée sur un ouvert omega quelconque est couplée avec une autre équation qui contrôle la frontière gamma du domaine lui même. Les difficultés classiquement associés à ce type de problèmes sont: la formulation en particulier de l'équation pour le bord du domaine, l'approximation de la solution liées à la forme quelconque du domaine, les difficultés associées à l'implication des opérateurs de trace (approximation, conditionnement), les difficultés liées aux de régularité fonds du domaine.De plus, de nombreuse situations d'intérêt physique par exemple demandent des approximations de haut degré. Notre travail s'appuie sur une formulation de type espaces de niveaux (level set) pour l'équation du domaine, et une formulation de type domaine fictif (Omega) pour l'équation initiale.Le contrôle des conditions aux limites est effectué à partir de multiplicateurs de Lagrange agissant sur une frontière (Gamma) dite de contrôle différente de frontière(gamma) du domaine (omega). L'approximation est faite à partir d'un schéma aux différences finies pour les dérivées temporelle et une discrétisation à l'aide d'ondelettes bi-dimensionelles pour l'équation initiale et une dimensionnelle pour les multiplicateurs de Lagrange. Des opérateurs de prolongement de omega à Omega sont également construits à partir d'analyse multiéchelle sur l'intervalle. Nous obtenons aussi: une formulation pour laquelle existence de la solution est démontrées, un algorithme convergent pour laquelle une estimation globale d'erreur (sur Omega) est établie, une estimation intérieure prouvant sur l'erreur à un domaine omega, overline omega subset Xi, des estimations sur les conditionnement associés a l'opérateur de trace, des algorithmes de prolongement régulier. Différentes expériences numériques en 1D ou 2D sont effectuées. Le manuscrit est organisé comme suit: Le premier chapitre rappelle la construction des analyses multirésolutions, les propriétés importantes des ondelettes et des algorithmes numériques liées à l'application d'opérateurs aux dérivées partielles. Le second chapitre donne un aperçu des méthodes de domaine fictif classiques, approchées par la méthode de Galerkin ou de Petrov-Galerkin. Nous y découvrons les limites de ces méthodes ce qui donne la direction de notre travail. Le chapitre trois présente notre nouvelle méthode de domaine fictif que l'on appelle méthode de domaine fictif lisse.L'approximation est grâce à une méthode d'ondelettes de type Petrov-Galerkin. Cette section contient l'analyse théorique et décrit la mise en œuvre numérique. Différents avantages de cette méthode sont démontrés. Le chapitre quatre introduit une technique de prolongement régulier. Nous l'appliquons à des problèmes elliptiques en 1D ou 2D.\par Le cinquième chapitre décrit quelques simulations numériques de problème de Stefan. Nous testons l'efficacité de notre méthode sur différents exemples dont le problème de Stefan à 2 phases avec conditions aux limites de Gibbs-Thomson
Our work is devoted to the definition, analysis and implementation of a new algorithms for numerical approximation of the solution of 2 dimensional Stefan problem. In this type of problem a parabolic partial differential equation defined on an openset Omega is coupled with another equation which controls the boundary gamma of the domain itself. The difficulties traditionally associated with this type of problems are: the particular formulation of equation on the boundary of domain, the approximation of the solution defined on general domain, the difficulties associated with the involvement of trace operation (approximation, conditioning), the difficulties associated with the regularity of domain. Addition, many situations of physical interest, for example,require approximations of high degree. Our work is based on aformulation of type level set for the equation on the domain, and aformulation of type fictitious domain (Omega) for the initialequation. The control of boundary conditions is carried out throughLagrange multipliers on boundary (Gamma), called control boundary, which is different with boundary (gamma) of the domain (omega). The approximation is done by a finite difference scheme for time derivative and the discretization by bi-dimensional wave letfor the initial equation and one-dimensional wave let for the Lagrange multipliers. The extension operators from omega to Omega are also constructed from multiresolution analysis on theinterval. We also obtain: a formulation for which the existence of solution is demonstrated, a convergent algorithm for which a global estimate error (on Omega) is established, interior error estimate on domain omega, overline omega subset estimates on the conditioning related to the trace operator, algorithms of smooth extension. Different numerical experiments in 1D or 2D are implemented. The work is organized as follows:The first chapter recalls theconstruction of multiresolution analysis, important properties of wavelet and numerical algorithms. The second chapter gives an outline of classical fictitious domain method, using Galerkin or Petrov-Galerkin method. We also describe the limitation of this method and point out the direction of our work.\par The third chapter presents a smooth fictitious domain method. It is coupled with Petrov-Galerkin wavelet method for elliptic equations. This section contains the theoretical analysis and numerical implementation to embody the advantages of this new method. The fourth chapter introduces a smooth extension technique. We apply it to elliptic problem with smooth fictitious domain method in 1D and 2D. The fifth chapter is the numerical simulation of the Stefan problem. The property of B-spline render us to exactly calculate the curvature on the moving boundary. We use two examples to test the efficiency of our new method. Then it is used to resolve the two-phase Stefan problem with Gibbs-Thomson boundary condition as an experimental case

Le but de ce travail est de développer des outils par éléments finis permettant de calculer des structures sandwich sans ajouter aucune autre hypothèse que celle, très générale, de l'élasticité linéaire. Deux voies ont été suivies dans ce travail. Tout d'abord, nous exposons comment développer des éléments finis hybrides, dans lesquels les contraintes aux interfaces entre les différentes couches sont obtenues par l'intermédiaire de multiplicateurs de Lagrange. Des éléments 2D et 3D, basés sur le principe du travail virtuel et sur la fonctionnelle de Pian et Tong sont développés et validés. Ensuite, après avoir examiné les possibilités offertes par le code de calcul Ansys 5.3, nous proposons une méthode de post-traitement, basée sur la fonctionnelle de Reissner, permettant de recouvrer les contraintes d'interfaces à partir des déplacements nodaux obtenus à partir des éléments en déplacements. Finalement ces deux approches sont confrontées entre elles, tant sur le plan de la qualité des résultats numériques que sur la facilité d'utilisation, de programmation et d'implémentation dans des codes de calculs existants.

Dans ce travail, nous étudions le raffinement de maillage pour des méthodes d'éléments finis mixtes duales pour deux types de problèmes : le premier concerne le problème de l'élasticité linéaire et le second problème celui de l'élastodynamique.

Pour ces deux types de problèmes et dans des domaines non réguliers, les méthodes d'éléments finis mixtes analysées jusqu'à présent, sont celles qui concernent des méthodes mixtes "classiques". Ici, nous analysons la formulation mixte duale pour les deux problèmes de l'élasticité linéaire et de l'élastodynamique.
Pour le problème d'élasticité, nous sommes concernés premièrement par une analyse a priori d'erreur en utilisant l'approximation par l'élément fini $BDM_1$ stabilisé. Afin de dériver une estimation a priori optimales d'erreur, nous établissons des règles de raffinement de maillage.
Ensuite, nous faisons une analyse d'erreur à posteriori sur un domaine simplement ou multiplement connexe. En fait nous établissons un estimateur résiduel fiable et efficace. Cet estimateur est alors utilisé dans un algorithme adaptatif pour le raffinement automatique de maillage. Pour le problème de l'élastodynamique, nous faisons une analyse a priori d'erreur en utilisant le même élément fini que pour le problème d'élasticité, en utilisant une formulation mixte duale pour la discrétisation des variables spatiales.
Pour la discrétisation en temps nous étudions les deux schémas de Newmark explicite et implicite. Par des règles de raffinement de maillage appropriées, nous dérivons des estimées d'erreur optimales pour les deux schémas numérique.

Cette thèse est constituée de deux parties principales. Dans la première partie on traite l'observabilité et la contrôlabilité exacte internes indirectes des systèmes hyperboliques faiblement couplés et du système de Timoshenko. La deuxième partie est consacrée à l'étude de problèmes concernant la stabilisation directe du système de Bresse par des feedbacks non linéaires en utilisant la méthode des multiplicateurs et des techniques d'inégalités intégrales, et sa stabilisation indirecte seulement par deux feedbacks localement distribués au voisinage du bord en utilisant l'approche de fréquence de domaine. On traite dans cette partie aussi la stabilisation indirecte du système de Timoshenko dans le cas d'un seul feedback localement distribué au voisinage du bord
This thesis consists of two main parts. In the fi#rst part, it treats the indirect internal observability and exact controllability of a weakly coupled hyperbolic system and of the Timoshenko system. The second part is devoted to the study of problems concerning the direct stabilization of the Bresse system by non-linear feedbacks using multiplier method and integral inequality techniques, and its indirect stabilization only by two locally distributed feedbacks at the neighborhood of the boundary using the frequency domain method. Is treated in this part also the indirect stabilization of the Timoshenko system subject to a single feedback locally distributed at the neighborhood of the boundary

La thèse est portée essentiellement sur la stabilisation et la contrôlabilité de deux équations des ondes moyennant un seul contrôle agissant sur le bord du domaine. Dans le cas du contrôle dynamique, le contrôle est introduit dans le système par une équation différentielle agissant sur le bord. C'est en effet un système hybride. Le contrôle peut être aussi applique directement sur le bord d'une équation, c'est le cas du contrôle indirecte mais non borne. La nature du système ainsi coupledépend du couplage des équations, et ceci donne divers résultats par la stabilisation (exponentielle et polynomiale) et la contrôlabilité exacte (espace contrôlable). Des nouvelles inégalités d'énergie permettent de mettre en oeuvre la Méthode fréquentielle et la Méthode d'Unicité de Hilbert.

Nous considérons le cas d'un corps faiblement élastique dont une partie de la frontière est encastrée. Notre problème est de déterminer un contrôle sur la partie de la frontière laissée libre (non-encastrée), de telle sorte que le système, quelque soit son état d'origine, s'amortisse le plus rapidement possible.

En d'autres termes, nous considérons un système élastodynamique, amorti au moyen d'une rétroaction définie par une condition de type Neumann sur une partie de la frontière, l'autre partie de la frontière étant munie des conditions de Dirichlet homogène. Nous obtenons des résultats de stabilisation frontière linéaire et non-linéaire, ainsi qu'un résultat de contrôlabilité. Nous démontrons pour cela des relations ad-hoc, dites de Rellich, puis nous utilisons la méthode des multiplicateurs.

L'originalité de ce travail réside dans la présence d'une interface entre la partie Dirichlet et la partie Neumann, qui génère des singularités.

Le problème de satisfaisabilité booléenne 3-SAT est connu pour présenter un phénomène de seuil en fonction du quotient entre le nombre de clauses et le nombre de variables. Nous donnons des estimations de la valeur de ce seuil au moyen de méthodes combinatoires et probabilistes: la méthode du premier moment et la méthode du second moment. Ces méthodes mettent en jeu des problèmes d'optimisation sous contraintes et nous amènent à employer de façon intensive la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Nous mettons en œuvre une forme pondérée de la méthode du premier moment sur les affectations partielles valides de Maneva ainsi que des variantes. Cela nous conduit à élaborer une pondération générale pour les problèmes de satisfaction de contraintes qui soit compatible avec la méthode du premier moment. Cette pondération est constituée d'une graine et d'un répartiteur, et nous permet d'obtenir une pondération des affectations partielles valides meilleure que celle de Maneva. Nous comparons aussi dans certains cas les performances de la pondération et de l'orientation de l'espace des solutions des problèmes de satisfaction de contraintes relativement à la méthode du premier moment. Nous développons la première sélection non uniforme de solutions pour majorer le seuil de 3-SAT et nous montrons sa supériorité sur ses prédécesseurs. Nous construisons un cadre général pour appliquer la méthode du second moment à k-SAT et nous discutons des conditions qui la font fonctionner. Nous faisons notamment fonctionner la méthode du second moment sur les solutions booléennes et sur les impliquants. Nous étendons cela au modèle distributionnel de k-SAT.

Cette thèse explore l’utilisation des modèles de contours déformables pour la segmentation basée sur la forme des images médicales. Nous apportons des contributions sur deux fronts: dans le problème de l’apprentissage statistique, où le modèle est formé à partir d’un ensemble d’images annotées, et le problème de l’inférence, dont le but est de segmenter une image étant donnée un modèle. Nous démontrons le mérite de nos techniques sur une grande base d’images à rayons X, où nous obtenons des améliorations systématiques et des accélérations par rapport à la méthode de l’état de l’art. Concernant l’apprentissage, nous formulons la formation de la fonction de score des modèles de contours déformables en un problème de prédiction structurée à grande marge et construisons une fonction d’apprentissage qui vise à donner le plus haut score à la configuration vérité-terrain. Nous intégrons une fonction de perte adaptée à la prédiction structurée pour les modèles de contours déformables. En particulier, nous considérons l’apprentissage avec la mesure de performance consistant en la distance moyenne entre contours, comme une fonction de perte. L’utilisation de cette fonction de perte au cours de l’apprentissage revient à classer chaque contour candidat selon sa distance moyenne du contour vérité-terrain. Notre apprentissage des modèles de contours déformables en utilisant la prédiction structurée avec la fonction zéro-un de perte surpasse la méthode [Seghers et al. 2007] de référence sur la base d’images médicales considérée [Shiraishi et al. 2000, van Ginneken et al. 2006]. Nous démontrons que l’apprentissage avec la fonction de perte de distance moyenne entre contours améliore encore plus les résultats produits avec l’apprentissage utilisant la fonction zéro-un de perte et ce d’une quantité statistiquement significative.Concernant l’inférence, nous proposons des solveurs efficaces et adaptés aux problèmes combinatoires à variables spatiales discrétisées. Nos contributions sont triples: d’abord, nous considérons le problème d’inférence pour des modèles graphiques qui contiennent des boucles, ne faisant aucune hypothèse sur la topologie du graphe sous-jacent. Nous utilisons un algorithme de décomposition-coordination efficace pour résoudre le problème d’optimisation résultant: nous décomposons le graphe du modèle en un ensemble de sous-graphes en forme de chaines ouvertes. Nous employons la Méthode de direction alternée des multiplicateurs (ADMM) pour réparer les incohérences des solutions individuelles. Même si ADMM est une méthode d’inférence approximative, nous montrons empiriquement que notre implémentation fournit une solution exacte pour les exemples considérés. Deuxièmement, nous accélérons l’optimisation des modèles graphiques en forme de chaîne en utilisant l’algorithme de recherche hiérarchique A* [Felzenszwalb & Mcallester 2007] couplé avec les techniques d’élagage développés dans [Kokkinos 2011a]. Nous réalisons une accélération de 10 fois en moyenne par rapport à l’état de l’art qui est basé sur la programmation dynamique (DP) couplé avec les transformées de distances généralisées [Felzenszwalb & Huttenlocher 2004]. Troisièmement, nous intégrons A* dans le schéma d’ADMM pour garantir une optimisation efficace des sous-problèmes en forme de chaine. En outre, l’algorithme résultant est adapté pour résoudre les problèmes d’inférence augmentée par une fonction de perte qui se pose lors de l’apprentissage de prédiction des structure, et est donc utilisé lors de l’apprentissage et de l’inférence. [...]
This thesis explores the use of discriminatively trained deformable contour models (DCMs) for shape-based segmentation in medical images. We make contributions in two fronts: in the learning problem, where the model is trained from a set of annotated images, and in the inference problem, whose aim is to segment an image given a model. We demonstrate the merit of our techniques in a large X-Ray image segmentation benchmark, where we obtain systematic improvements in accuracy and speedups over the current state-of-the-art. For learning, we formulate training the DCM scoring function as large-margin structured prediction and construct a training objective that aims at giving the highest score to the ground-truth contour configuration. We incorporate a loss function adapted to DCM-based structured prediction. In particular, we consider training with the Mean Contour Distance (MCD) performance measure. Using this loss function during training amounts to scoring each candidate contour according to its Mean Contour Distance to the ground truth configuration. Training DCMs using structured prediction with the standard zero-one loss already outperforms the current state-of-the-art method [Seghers et al. 2007] on the considered medical benchmark [Shiraishi et al. 2000, van Ginneken et al. 2006]. We demonstrate that training with the MCD structured loss further improves over the generic zero-one loss results by a statistically significant amount. For inference, we propose efficient solvers adapted to combinatorial problems with discretized spatial variables. Our contributions are three-fold:first, we consider inference for loopy graphical models, making no assumption about the underlying graph topology. We use an efficient decomposition-coordination algorithm to solve the resulting optimization problem: we decompose the model’s graph into a set of open, chain-structured graphs. We employ the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) to fix the potential inconsistencies of the individual solutions. Even-though ADMMis an approximate inference scheme, we show empirically that our implementation delivers the exact solution for the considered examples. Second,we accelerate optimization of chain-structured graphical models by using the Hierarchical A∗ search algorithm of [Felzenszwalb & Mcallester 2007] couple dwith the pruning techniques developed in [Kokkinos 2011a]. We achieve a one order of magnitude speedup in average over the state-of-the-art technique based on Dynamic Programming (DP) coupled with Generalized DistanceTransforms (GDTs) [Felzenszwalb & Huttenlocher 2004]. Third, we incorporate the Hierarchical A∗ algorithm in the ADMM scheme to guarantee an efficient optimization of the underlying chain structured subproblems. The resulting algorithm is naturally adapted to solve the loss-augmented inference problem in structured prediction learning, and hence is used during training and inference. In Appendix A, we consider the case of 3D data and we develop an efficientmethod to find the mode of a 3D kernel density distribution. Our algorithm has guaranteed convergence to the global optimum, and scales logarithmically in the volume size by virtue of recursively subdividing the search space. We use this method to rapidly initialize 3D brain tumor segmentation where we demonstrate substantial acceleration with respect to a standard mean-shift implementation. In Appendix B, we describe in more details our extension of the Hierarchical A∗ search algorithm of [Felzenszwalb & Mcallester 2007] to inference on chain-structured graphs

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des problèmes de segmentation d'images sous contraintes géométriques. Cette problématique a émergé suite à l'analyse de plusieurs méthodes classiques de détection de contours qui a été faite. En effet, ces méthodes classiques (Modèles déformables, contours actifs géodésiques, 'fast marching', etc...) se révèlent caduques quand des données de l'image sont manquantes ou de mauvaise qualité. En imagerie médicale par exemple, des phénomènes d'occlusion peuvent se produire : des organes peuvent se masquer en partie l'un l'autre (ex du foie). Par ailleurs, deux objets qui se jouxtent peuvent posséder des textures intrinsèques homogènes si bien qu'il est difficile d'identifier clairement l'interface entre ces deux objets. La définition classique d'un contour qui est caractérisé comme étant le lieu des points connexes présentant une forte transition de luminosité ne s'applique donc plus. Enfin, dans certains contextes d'étude, comme en géophysique, on peut disposer en plus des doneées d'imagerie, de données géométriques à intégrer au processus de segmentation.

Pour pallier ces difficultés, nous proposons ici des modèles de segmentation intégrant des contraintes géométriques et satisfaisant les critères classiques de détection avec en particulier la régularité sur le contour que cela implique.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation de la poutre de Rayleigh avec un seul contrôle frontière dynamique moment ou force. Nous montrons que le système n’est pas uniformément (autrement dit exponentiellement) stable; mais par une méthode spectrale, nous établissons le taux polynomial optimal de décroissance de l’énergie du système. Ensuite, nous étudions la stabilisation indirecte de l’équation des ondes avec un amortissement frontière de type dynamique fractionnel. Nous montrons que le taux de décroissance de l’énergie dépend de la nature géométrique du domaine. En utilisant la méthode fréquentielle et une méthode spectrale, nous montrons la non stabilité exponentielle et nous établissons, plusieurs résultats de stabilité polynomiale. Enfin, nous considérons l’approximation de l’équation des ondes mono-dimensionnelle avec un seul amortissement frontière de type dynamique par un schéma de différence finie. Par une méthode spectrale, nous montrons que l’énergie discrétisée ne décroit pas uniformément (par rapport au pas du maillage) polynomialement vers zéro comme l’énergie du système continu. Nous introduisons, alors, un terme de viscosité numérique et nous montrons la décroissance polynomiale uniforme de l’énergie de notre schéma discret avec ce terme de viscosité
This thesis is devoted to the study of the stabilization of some distributed systems with dynamic boundary control. First, we consider the stabilization of the Rayleigh beam equation with only one dynamic boundary control moment or force. We show that the system is not uniformly (exponentially) stable. However, using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the system. Next, we study the indirect stability of the wave equation with a fractional dynamic boundary control. We show that the decay rate of the energy depends on the nature of the geometry of the domain. Using a frequency approach and a spectral method, we show the non exponential stability of the system and we establish, different polynomial stability results. Finally, we consider the finite difference space discretization of the 1-d wave equation with dynamic boundary control. First, using a spectral approach, we show that the polynomial decay of the discretized energy is not uniform with respect to the mesh size, as the energy of the continuous system. Next, we introduce a viscosity term and we establish the uniform (with respect to the mesh size) polynomial energy decay of our discrete scheme

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.

Cette thèse présente une méthode performante pour le calcul des capacités parasites dues aux interconnexions des circuits intégrés. Il s'agit de calculer la charge des conducteurs, comme la dérivée normale à la surface de ces conducteurs, du potentiel solution de l'équation de Laplace sur des couches horizontales, la valeur du potentiel étant fixée constante sur chaque conducteur. La difficulté de la résolution numérique provient de la complexité des structures : sur une portion de circuit d'une surface d'un centimètre carré et d'une hauteur de quelques microns, il peut y avoir plus d'un kilomètre d'interconnexions, c'est-à-dire de fils conducteurs enchevêtrés. Une méthode de domaines fictifs avec multiplicateurs de Lagrange surfaciques est utilisée. Elle donne une formulation mixte du problème, couplant le potentiel sur un domaine parallélépipédique contenant le circuit, et la charge à la surface des conducteurs. Nous en proposons une approximation, qui tient compte du saut du gradient du potentiel à travers la surface des conducteurs dans la discrétisation du potentiel, tout en menant à un système que l'on peut résoudre par une méthode rapide. Cette approximation garantit une bonne convergence du calcul de la charge vers la valeur réelle, sans condition de compatibilité contraignante entre les maillages de volume et de surface. Une implémentation efficace en dimension 3, avec laquelle nous avons effectué des tests numériques sur des structures réelles, permet de montrer l'intérêt de la méthode, en temps de calcul et en place mémoire.

On généralise d'abord le théorème de prolongement $L^2$ d'Ohsawa-Takegoshi-Manivel au cas des jets de sections holomorphes d'un fibré en droites hermitien au-dessus d'une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe. On donne ensuite une démonstration simple, en étudiant un courant de type $(1, 1),$ d'un résultat d'Uhlenbeck et Yau qui avait permis d'établir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les variétés kählériennes compactes. Dans la troisième partie on étudie une conjecture sur l'existence de régularisations des courants quasi-positifs fermés, avec contrôle des masses de Monge-Ampère, qui permettrait d'obtenir une nouvelle caractérisation des variétés de Moishezon généralisant celles de Siu et de Demailly qui répondaient à la conjecture de Grauert-Riemenschneider. On donne une estimation uniforme de la perte de positivité dans le théorème de régularisation des courants de Demailly et on obtient une version effective de la génération globale des faisceaux d'idéaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe de $(\bf C)^n.$