Dissertations / Theses on the topic 'Μη γραμμικό'

Τα βασικά ερωτήματα που καλύπτονται στη διπλωματική αυτή είναι κατά πόσο ένα δυναμικό σύστημα είναι γραμμικό ή μη γραμμικό, και για την περίπτωση της μη γραμμικότητας, να κατανοηθεί τι σημαίνει να απέχει πολύ ή λίγο από τη γραμμικότητα. Επιπλέον, στην περίπτωση που μπορούμε να γραμμικοποιήσουμε ένα μοντέλο, κατά πόσο αυτό είναι καλό ή κακό, προκειμένου να προχωρήσουμε στο σχεδιασμό ενός ελεγκτή για να πετύχουμε την επιθυμητή συμπεριφορά. Σχετικά με το σχεδιασμό του ελεγκτή, εξετάζονται διάφορα παραδείγματα μη γραμμικών συστημάτων με τον LQR και LQG και γίνονται συγκρίσεις όσον αφορά το αποτέλεσμα ελέγχου σε αυτές.
The subject of this thesis is nonlinear systems; Given a dynamic system we examine whether it is nonlinear or not, and in the case of non-linearity, how highly nonlinear the system is. It also checks the linearization of nonlinear systems and how close the linearized model is to the original, in order to proceed to the design of a control scheme based on the linear model. LQR and LQG control schemes were implemented and compared on the initial nonlinear model.

Μελέτη μη γραμμικών μοντέλων παλινδρόμησης(λογιστικό, εκθετικό, Poisson,γενικευμένα γραμμικά μοντέλα) όσον αφορά διαστημα εμπιστοσύνης, έλεγχο υποθέσεων και καλή προσαρμογή.
Analysis of nonlinear regression models (logistic, exponential, Poisson, generalized linear models) regarding confidence interval estimation, tests and good fit.

Ο όρος μη γραμμική οπτική (nonlinear optics) αναφέρεται στον κλάδο της φυσικής που μελετά τις μεταβολές που επέρχονται στις οπτικές ιδιότητες της ύλης, όταν αυτή αλληλεπιδρά με ισχυρά ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Οι δέσμες λέιζερ (laser) αποτελούν το κατ’ εξοχήν ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που χρησιμοποιείται για να προκαλέσει τη μη γραμμική οπτική απόκριση της ύλης, λόγω της ισχυρής ακτινοβολίας. Με την ανακάλυψη του λέιζερ τη δεκαετία του 1960, παράλληλα αναπτύχθηκαν πολλές τεχνικές μέσω των οποίων καθίσταται εφικτός ο προσδιορισμός της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης των υλικών. Κίνητρο για αυτή την εκτεταμένη έρευνα αποτελεί το γεγονός ότι υλικά με σημαντική μη γραμμική απόκριση βρίσκουν πολλές εφαρμογές στη φωτονική και την οπτοηλεκτρονική. Ειδικότερα, τέτοια υλικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως οπτικοί περιοριστές (optical limiters) για την προστασία από υψηλές δέσμες λέιζερ, ως οπτικοί διακόπτες (optical switches), καθώς και ως οπτικές λογικές πύλες (optical logic gates) κ.α. Τα τελευταία χρόνια υπάρχει ιδιαίτερο ερευνητικό ενδιαφέρον στο πεδίο των μοριακών διακοπτών (molecular switches). Ο όρος μοριακός διακόπτης αναφέρεται στην δυνατότητα ύπαρξης ενός μορίου μεταξύ δύο διαφορετικών καταστάσεων, ικανότητα που θα αποτελέσει την αφετηρία για μια λειτουργία “on/off”, σε μοριακό επίπεδο. Υποψήφια μόρια που μπορούν να υποστηρίξουν μια διακοπτική λειτουργία είναι εκείνα που παρουσιάζουν κάτω από ορισμένες συνθήκες αλλαγή σε μια εγγενή ιδιότητά τους, όπως ο φθορισμός, η αγωγιμότητα, η μαγνήτιση, ο στερεο-ισομερισμός, η μη γραμμικότητα κ.α. Σκοπός της παρούσας ειδικής ερευνητικής εργασίας ήταν ο προσδιορισμός της τρίτης τάξης μη γραμμικής οπτικής απόκρισης μοριακών συστημάτων που περιέχουν αζοβενζόλιο, υπό μορφή διαλυμάτων. Τα μόρια αυτά είναι ενδιαφέροντα γιατί αφ’ ενός εμφανίζουν trans/cis ισομερισμό, αφ’ ετέρου παρουσιάζουν μια αλλαγή στη μη γραμμικότητά τους εξαιτίας του φωτο-ισομερισμού του διπλού δεσμού –N=N-. Η δομή της εργασίας έχει ως εξής : Στο πρώτο κεφάλαιο θα γίνει μια περιγραφή της μη γραμμικής αλληλεπίδρασης ύλης-πεδίου, η εξαγωγή της μη γραμμικής κυματικής εξίσωσης, καθώς επίσης και μερικών φυσικών διαδικασιών που περιγράφονται μέσω αυτής. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα περιγραφεί η πειραματική τεχνική που ακολουθήθηκε, θα αναφερθούν οι οπτικές παράμετροι που σχετίζονται με τη τρίτης τάξης μη γραμμικότητα και τέλος θα περιγραφεί η διαδικασία ανάλυσης των πειραματικών αποτελεσμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο θα γίνει μια σύντομη περιγραφή της πειραματικής διάταξης καθώς και των κυριότερων οργάνων που την αποτελούν. Στο τέταρτο κεφάλαιο θα παρουσιασθούν τα πειραματικά αποτελέσματα που προέκυψαν από την εργασία. Αρχικά παρουσιάζεται μια σύντομη περιγραφή των μοριακών συστημάτων που μελετήθηκαν. Ακολουθεί η μη γραμμική οπτική απόκριση των συστημάτων για διέγερση με παλμούς χρονικής διάρκειας 35 ps, στα 532 και 1064 nm,και ακολουθεί ο προσδιορισμός της μη μεταβατικής μη γραμμικής απόκρισης για διέγερση με παλμούς διάρκειας 4 ns. Αναφέρονται τα συμπεράσματα από τη μελέτη των συστημάτων και ακολουθεί μια πρόταση για μελλοντική μελέτη.
Extensive research in the field of molecular switches promises a wide variety of switching mechanisms characterized by an eclectic range of intrinsic properties regarding their luminescence, conductivity, magnetic and optical outputs. Because of their controlled alternating properties and the ease of their preparation and modification, molecular switches hold the promise of becoming pivotal components of organic–integrated photonic devices. Among the many available systems, azobenzene dyes represent a particularly promising class of organic switchable materials. The advantage of azobenzene chromophores as molecular switches is based not only on the large geometrical change accompanying the cis–trans isomerization, but also on their photo–stability, and the ease of their preparation and derivatization. In addition, azobenzene chromophores, exhibiting in general large nonlinear optical response, are characterized by an important change in their third-order nonlinear optical response due to the photo-isomerization of the –N=N- double bond. The purpose of this work is hence to describe how the NLO properties of the azobenzene are influenced when surrounded by an always more electron-donating and conjugated environment. In order to do so, we are studying three azobenzene-centered molecules. In two of them, the switch is bonded to two electron-rich groups such as alkylated anilines via either one or two ethynil spacers. In the latter, a Zn-porphyrin was instead linked to the aza-core. The insertion of a porphyrin core was driven by its high polarizability and optical oscillator strength which gives the material remarkable NLO behavior, making it potentially useful for ultra-fast switching technologies. In that view, the nonlinear optical response of these novel azobenzene based molecules dissolved in dichloromethane are studied by means of Z-scan technique using 35 ps laser pulses at 532 and 1064 nm. From the measurements, the nonlinear absorption and refraction and the corresponding third-order susceptibility χ(3) and second hyperpolarizability are determined.

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας ήταν η μελέτη ηλεκτροεγκεφαλογραφικών σημάτων επιληψίας με χρήση συνδεδεμένων χαοτικών συστημάτων. Στο πλαίσιο της εργασίας παρουσιάζονται αρχικά μέθοδοι συμφωνίας και οι διάφορες μορφές της συνάρτησης μεταφοράς πληροφορίας. Οι τεχνικές που έχουν χρησιμοποιηθεί κυρίως μέχρι σήμερα είναι γραμμικές ωστόσο έχει φανεί σε αρκετές περιπτώσεις ότι η γραμμικότητα δεν επαρκή για την εξήγηση των σημάτων ΗΕΓ και της σύζευξης μεταξύ τους. Για τον λόγο αυτόν αναπτύσσεται η μη γραμμική μέθοδος υπολογισμού της συνάρτησης μερικής κατευθυνόμενης συμφωνίας η οποία μελετά τα καταγεγραμμένα σήματα στον χώρο φάσης-κατάστασης. Βάση αυτής διερευνάται η μη γραμμική συνδεσιμότητα περιοχών του εγκεφάλου. Η εργασία αποτελείται από πέντε μέρη. Το πρώτο μέρος περιλαμβάνει τη παρουσίαση της φυσιολογίας του ανθρώπινου εγκεφάλου. Στο δεύτεροο μέρος παρουσιάζεται η ασθένεια της επιληψίας καθώς και οι διάφοροι τύποι της. Στο τρίτο μέρος παρουσιάζεται η μέθοδος της μη γραμμικής ανάλυσης χρονοσειρών μέσω της μερικής κατευθυνόμενης συμφωνίας που περιλαμβάνει την ανακατασκευή των σημάτων στον φασικό χώρο. Ακολουθεί ο υπολογισμός των κατάλληλων παραμέτρων για την σωστή ανακατασκευή του φασικού χώρου των σημάτων. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται αποτελέσματα από εφαρμογή της μεθόδου σε προσομοιωμένα δεδομένα,καθώς και σε πραγματικά δεδομένα από ασθενή με επιληψία, τα οποία έχουν ληφθεί από το νοσοκομείο Ευαγγελισμός.
This diploma thesis aim at studying Electroencephalografic (EEG) Signal Recordings by adopting methodologies able to analyse and observe coupling of chaotic systems. Although linear methods seems to be inadequate for the analysis of EEG signals, the most commonly used methodologies today are linear. In this thesis, a non-linear partial directed coherence method is adopted to compute the transfer function of EEG signals in the phase-state space and is used to estimate the non-linear connectivity among brain areas. This thesis consists of five chapters. In the first and second chapter, an introduction to the brain's physiology and epilepsy pathophysiology is presented. In the third chapter, a methodology for the non-linear analysis of time series is presented based on the PDC method, which reconstructs attractors in the phase-state. In the fourth chapter, the parameters for the phase-state reconstruction of the attractors are properly selected. In the fifth chapter, the proposed method is applied on simulated and real epilepsy EEG data and the obtained results are presented and discussed.

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας με τίτλο «Εκπαιδευτικό -Υπολογιστικό Πακέτο για Αριθμητική Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων, μη Γραμμικών και Γραμμικών συστημάτων και του Προβλήματος της Βελτιστοποίησης», είναι η δημιουργία ενός υπολογιστικού πακέτου για σημαντικά επιλεγμένα θέματα αριθμητικής ανάλυσης, αξιοποιώντας το προγραμματιστικό περιβάλλον της Matlab. Με δεδομένη την ύπαρξη οργανωμένου εργαστηρίου στο Tμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών και την εύκολη πρόσβαση των φοιτητών σε αυτό, η δημιουργία ενός τέτοιου υπολογιστικού πακέτου θα μπορούσε άμεσα να αξιοποιηθεί από προπτυχιακούς φοιτητές έτσι ώστε: • να αποτελέσει για κάθε φοιτητή ένα συμπληρωματικό εργαλείο, εύκολα προσβάσιμο ακόμα και έξω από την αίθουσα διδασκαλίας, για την ενίσχυση της κατανόησης εννοιών και μεθόδων που δουλεύονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, σε χρόνο που θα επιλέξει και με την επανάληψη που επιθυμεί. • να συνδέσει ο φοιτητής τη θεωρία με δικά του παραδείγματα και με άμεσα αποτελέσματα αξιοποιώντας τα υποδείγματα και το βοηθητικό - φιλικό περιβάλλον που έχουμε δημιουργήσει για την υλοποίηση των επιλεγμένων θεμάτων. • να αποτελέσει το κίνητρο για εξάσκηση στον προγραμματισμό μέσω της Matlab, η οποία δεν διδάσκεται και χρησιμοποιείται μόνο προαιρετικά σε επίπεδο εργασιών.
The aim of this work entitled “Educational Software Package for Numerical Solution of Nonlinear Equations, Nonlinear and Linear Systems and for Optimization Problem” is the creation of a software package which could deal with important issues of the field of mathematics called numerical analysis. This is achieved by using the Matlab computational environment. Taking into account the fact that there is a well equipped lab and easily accessible from students, in the Department of Mathematics of the University of Patras, the presented software package could be used by undergraduates students in order to: • be used by each student as a supplemental “tool” which can be easily accessible, even outside the classroom, for the better understanding of meanings and methods which are introduced during of courses, in time that each student may be selected. • combine theory with his examples and have direct results just by using the “models” of the friendly- assistant environment for the specified issues that are analyzed below. • be the motive for exercising the Matlab environment which could be a useful tool for solving many mathematical, and not only, issues.

Παρουσιάζεται το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης μεταβλητών, χωρίς περιορισμούς και με μη γραμμικούς περιορισμούς. Προτείνονται νέες μέθοδοι επίλυσης: 1) Ένας αλγόριθμος για την ελαχιστοποίηση συναρτήσεων χωρίς περιορισμούς, που στηρίζεται σε μια τροποποιημένη μονοδιάστατη μέθοδο διχοτόμησης. Η μέθοδος δεν απαιτεί υπολογισμό ή εκτίμηση Εσσιανής και εφαρμόζεται και σε προβλήματα, όπου οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης και των παραγώγων της δεν είναι γνωστές με απόλυτη ακρίβεια. 2) Δύο νέοι κωνικοί αλγόριθμοι για την χωρίς περιορισμούς ελαχιστοποίηση. Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι βασισμένοι σε μια κωνική πρότυπη συνάρτηση, η μορφή της οποίας δεν περιλαμβάνει την Εσσιανή της. Στον πρώτο αλγόριθμο, η κωνική μέθοδος συνδυάζεται με ένα μη μονότονο line search τύπου Newton και το βήμα αναζήτησης των Barzilai και Borwein. Στον δεύτερο, χρησιμοποιείται για το line search η μέθοδος ελάττωσης διάστασης DROPT. Και στις δύο περιπτώσεις η κλασική κωνική μέθοδος επιταχύνεται σημαντικά. 3) Μια οικογένεια μεθόδων ελαχιστοποίησης με περιορισμούς, οι οποίες χρησιμοποιούν αντί για ένα διάνυσμα ανίχνευσης, μια καμπύλη ανίχνευσης και συγκεκριμένα μια γεωδαισιακή καμπύλη της επιφάνειας των περιορισμών.
In this work we present the problem of minimizing a continuously differentiable function of n variables under no constraints, as well as under nonlinear constraints. New methods for the solution of this problem are proposed. Namely 1) An algorithm for the unconstrained minimization of nonlinear functions, based on a modified one-dimentional bisection method. This method does not require an estimatoin of the Hessian and can be used for problems, where the objective function values as well as the gradient values are not known exactly. 2) Two new conic algorithms for unconstrained optimization. These algorithms are based on a conic model function, whose form does not include its Hessian. In the first algorithm, the conic method is combined with a non-monotone Newton type line search and the step of Barzilai and Borwein. In the second, we use a dimention reducing method for the line search. In both cases the clasic conic method is accelerated significantly. 3) A class of constrained optimization methods that use, instead of a search vector, the g4eodesic curve of the surface of the constraints.

Στην παρούσα εργασία μελετάται η τρίτης τάξης μη γραμμική απόκριση νανοσωματιδίων παλλαδίου σε συμπολυμερή όπως επίσης και κβαντικών ψηφίδων ιωδιούχου μολύβδου. Ο προσδιορισμός της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης και η υπερπολωσιμότητα δεύτερης τάξης επιτυγχάνεται με την βοήθεια των τεχνικών Z-scan και οπτικού φαινομένου Kerr (OKE) χρησιμοποιώντας παλμούς λέιζερ 35 psec και 4 nsec με μήκος κύματος διέγερσης 532 nm και 1064 nm.
In this work the third order nonlinear optical response of palladium nanoparticles encapsulated in block copolymers has been investigated as well as lead iodide quantum dots. The third-order nonlinear susceptibility χ(3) and the second hyperpolarizability γ are determined by employing Z-scan and Optical Kerr Effect (OKE) techniques using 35 ps and 4 ns laser pulses at excitation wavelengths of 532 and 1064 nm.

Μελετάµε χωρικά εντοπισµένες και χρονικά περιοδικές λύσεις σε διακριτά συστήµατα που εκτείνονται σε µία χωρική διάσταση. Αυτού του είδους οι λύσεις είναι γνωστές µε τον όρο discrete breathers (DB) ή intrinsic localized modes (ILM). Στην ελληνική ϐιϐλιογραϕία, έχουν ονοµαστεί ∆ιακριτές Πνοές. Απαραίτητα χαρακτηριστικά για την εµϕάνιση τέτοιων λύσεων είναι η ύπαρξη ενός άνω φράγµατος του γραµµικού φάσµατος καθώς και η µη γραµµικότητα των εξισώσεων κίνησης, χαρακτηριστικά που συναντάµε σε πολλά φυσικά συστήµατα. Συγκεκριμένα, ασχολούµαστε µε πλέγµατα τύπου Klein Gordon και παρουσιάσουµε μια αποδείξη ύπαρξης τέτοιων λύσεων καθώς και αριθµητικά αποτελέσµατα µελετώντας παράλληλα την ευστάθεια των περιοδικών αυτών λύσεων µέσω της ϑεωρίας Floquet. Πέραν του κλασικού µοντέλου, όπου έχουµε αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, εισάγουµε επίσης ένα νέο µοντέλο µε αλληλεπιδράσεις µακράς εµβέλειας η οποία ελέγχεται µέσω µιας παράµετρου α και µελετάµε τις επιπτώσεις που έχει η μεταβολή του εύρους αλληλεπίδρασης στον χωρικό εντοπισµό και την ευστάθεια ενός DB.
We study time-periodic and spatially localized solutions in discrete dynamical systems describing Hamiltonian lattices in one spatial dimension. These solutions are called discrete breathers (DBs) or intrinsic localized modes (ILM). Necessary conditions for their occurrence are the boundedness of the spectrum of linear oscillations of the system as well as the nonlinearity of the equations of motion. More specifically, we focus on a Klein Gordon lattice and present an existence proof for such solutions, as well as numerical results revealing the stability (or instability) of DBs using Floquet theory. Besides reporting on the classical Klein Gordon model with nearest neighbor interactions, we also introduce long range interactions in our model, which are controlled by a parameter α and study the effect of varying the range of interactions on the spatial localization and the stability of a DB.

Το διάνυσμα προτύπων αποτελεί σύνθεση ενός συνόλου χαρακτηριστικών γνωρισμάτων και ταξινομείται σε δύο κατηγορίες: τα αρχικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα και ένα σύνολο μη γραμμικών προβολών των αρχικών χαρακτηριστικών γνωρισμάτων. Στην ταξινόμηση, η κατασκευή χαρακτηριστικών γνωρισμάτων είναι ένα βήμα προ-επεξεργασίας στο οποίο ένα ή περισσότερα γνωρίσματα κατασκευάζονται από ένα αρχικό σύνολο. Ο αριθμός και ο τύπος των χαρακτηριστικών γνωρισμάτων είναι κρίσιμα για την ακρίβεια ταξινόμησης και την υπολογιστική πολυπλοκότητα. Καθώς ο αριθμός των χαρακτηριστικών γνωρισμάτων αυξάνει, απαιτούνται πρόσθετα παραδείγματα για να ολοκληρώσουν μια αξιόπιστη διαδικασία κατάρτισης, επιτρέποντας περισσότερες δυνατότητες αξιόπιστης γενίκευσης χωρίς υπέρ-εκπαίδευση αποτελεσμάτων. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία εξετάζουμε και αναλύουμε τη χρήση του Γενετικού προγραμματισμού για την προ-επεξεργασία δεδομένων έτσι ώστε να κατασκευάσουμε μη γραμμικά, ιδιαίτερα προφητικά, χαρακτηριστικά γνωρίσματα από τα αρχικά. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε γενετικούς αλγορίθμους και συγκεκριμένα τον C4.5 αλγόριθμο εκμάθησης δέντρων απόφασης, τον G-Net, ένα διανεμημένο εξελικτικό αλγόριθμο ικανό να συμπεράνει τους ταξινομητές από τα προ-συγκεντρωμένα στοιχεία καθώς και τη μέθοδο που βασίζεται στο συνδυασμό της καθιερωμένης τεχνικής της γραμματικής εξέλιξης και των τεχνητών νευρικών δικτύων. Εφαρμόζοντας τον γενετικό προγραμματισμό σε διάφορα σύνολα δεδομένων ταξινόμησης επιτυγχάνουμε μεγαλύτερη ακρίβεια ταξινόμησης. Όλοι οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν έδωσαν πολύ καλύτερη απόδοση στα σύνολα δεδομένων όταν συμπεριλήφθηκε μια ενιαία εξελιγμένη μεταβλητή, επιλύοντας προβλήματα που βρίσκονται πολύ συχνά στις εφαρμογές υπολογιστών όπως Ιατρική και ελαττωματική διάγνωση, πρόγνωση, αναγνώριση εικόνας, κατηγοριοποίηση κειμένων, προσαρμοστική σκιαγράφηση χρηστών.
-

Η κατά συμμετρίες ανάλυση είναι μια σύγχρονή και αποτελεσματική μέθοδος ανάλυσης του μαθηματικού πεδίου των Διαφορικών Εξισώσεων. Στα πλεονεκτήματα της, ο αλγοριθμικός τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε τις συμμετριες ενός συστήματος και η κατακευή λύσεων από αυτές. Όμως, όπως και κάθε άλλη μέθοδος έτσι και αυτή έχει τα μειονεκτήματα της, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση των συμμετρίων ενός συστήματος αυξάνεται εκθετικά σε σχέση με αυτό. Γεγονός που καθιστά τους υπολογισμούς αυτούς με το χέρι χρονοβόρους και επιρρεπής σε σφάλματα και συνεπώς την ανάγκη για την χρήση αξιόπιστων συμβολικών προγραμμάτων επιτακτική. Για τον σκοπό αυτό αναπτύξαμε το συμβολικό πακέτο Sym για το αλγεβρικό σύστημα Mathematica. Το συμβολικό αυτό πακέτο περιέχει στοιχεία τεχνικής νοημοσύνης και εξιδικευμένες συμβολικές μεθόδους. Στοιχεία που το καθιστούν ένα αποτελεσματικό και ευέλικτο μαθηματικό εργαλείο τόσο στον ερευνητικό τομέα όσο και στην εκπαίδευση. Το παρόν διδακτορικό χωρίζεται σε δύο μέρη, στο πρώτο παρουσιάζουμε τις βασικές έννοιες της κατα συμμετρίες ανάλυσης διαφορικών εξισώσεων και τους λόγους για τους οποίους η χρήση συμβολικών προγραμμάτων βρίσκει πρόσφορο έδαφος. Στο δεύτερο μέρος, παρουσιάζουμε το συμβολικό πακέτο Sym και δύο ερευνητικά αποτελέσματα της χρήσης του. Όσο αναφορά το ίδιο το πακέτο, δίνουμε τα βασικά του χαρακτηριστικά , τον τρόπο λειτουργίας του και τα οφέλη του σε σχέση με τα ήδη υπάρχοντα συμβολικά πακέτα για την εύρεση συμμετριών. Η χρηστικότητα του παρουσιάζεται μέσω δύο ερευνητικών αποτελεσμάτων. Στο πρώτο, εξετάζουμε ενα πρόβλημα από την περιοχή της Γενικής Σχετικότητας, την εύρεση βαρυτικών κυμάτων. Οι συμμετρίες των εξισώσεων πεδίου του Einstein για την μετρική του Bondi καθορίζονται μέσω του Sym και υποβιβάζουμε με αυτές την τάξη του μή γραμμικού συστήματος. Με υποθέσεις εργασίας πάνω στο σύστημα αυτό δίνουμε ειδικές λύσεις οι οποίες είχαν προκύψει παλίοτερα με άλλες μεθόδους. Τέλος, παρουσιάζουμε τις μελλοντικές μας κατευθύνσεις προς την καθορισμό νέων λύσεων με την σωστή φυσική συμπεριφορά που επιβάλει το πρόβλημα. Στο δεύτερο, δίνουμε μια προτότυπη διαδικασία κατηγοριοποίησης διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις ένοιες της πλήρους ομάδας συμετρίας και της αξιοσημείωτης κατά Lie διαφορικής εξίσωσης. Με βάση αυτή, επιτυγχάνουμε την συνθέση διαφορικών εξισώσεων κατασκευάζοντας έτσι καινούργιες οικογένεις διαφορικών εξισώσεων περιέχοντες τις αρχικές μας εξισώσεις.
The symmetry analysis is a modern and effective method of mathematical field of differential equations. On its advantages, the algorithmic way for determining the symmetries and constructing solutions. Like any other method it also has its disadvantages; the size and the complexity of the intermediate calculations needed for giving the symmetries is increased exponentially with respect to the equation under investigation. This fact renders the calculations unmanageable by hand and error prone. The need for reliable and fast symbolic tools is apparent. For this reason, we developed a symbolic package called Sym based on the Mathematica program. The package employing artificial intelligent elements and specialized symbolic methods is an effective and versatile mathematical tool ideal for research and education alike. The present thesis consists of two parts; on the first we present the basic notions of the mathematical theory and the reasons that symbolic tools can be utilized. On the second part, we present the symbolic package Sym itself along with two new result employing it. As for the package itself, we give the basic characteristics, its functionality and the benefits using it against the existing programs. Its usefulness is presented through two results. On the first, we study a problem from General Relativity, finding solutions describing gravity waves. The symmetries of the Einstein’s field equations for the radiating Bondi metric are determined from Sym. Using them we reduce the non-linear system. Using specific ansatzes we arrive to specific solutions already found using other methods. Finally, we present our future directions for finding new solutions with the correct physical behavior. On the second, we describe a new procedure for classifying differential equations using the notions of complete symmetry groups and Lie remarkability. Using this procedure we achieved by starting with a set of differential equation to construct a new family that includes the initial set. Future directions include finding a way to link the solutions of the newly constructed family with the solutions of the equations that we use for constructing it.

Στο επίκεντρο της παρούσας διπλωματικής εργασίας, βρίσκεται η μελέτη μη γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων, σύνθετων δομών κβαντικών τελειών οξειδίου του ψευδαργύρου (ZnO). Αρχικά θα κάνουμε μια γρήγορη επισκόπηση των ιδιοτήτων των νανοδομημένων συστημάτων, περίπτωση των οποίων αποτελούν οι ημιαγώγιμες κβαντικές τελείες, καθώς και οι σύνθετες νανοδομές του ZnO, ενώ θα επισημάνουμε και τον στόχο που καλείται να εκπληρώσει η εργασία μας. Προκειμένου να υπολογίσουμε την ηλεκτρονική δομή του συστήματος που εξετάζουμε, χρησιμοποιούμε την μέθοδο PMM (Potential Morphing Method), τις βασικές αρχές της οποίας παραθέτουμε στο δεύτερο κεφάλαιο. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζουμε το θεωρητικό μας μοντέλο, βασισμένο στην μέθοδο των πλατών πιθανότητας για τον αναλυτικό υπολογισμό της γραμμικής (1) και της μη γραμμικής οπτικής επιδεκτικότητας (3), οι οποίες και αποτυπώνουν τις οπτικές ιδιότητες του συστήματος μας. Τέλος περιγράφουμε την δομή του σύνθετου συστήματος κβαντικών τελειών πυρήνα/κελύφους (core/shell quantum dots), παραθέτουμε τα αποτελέσματα του υπολογισμού της ηλεκτρονικής δομής και παρουσιάζουμε την συμπεριφορά της γραμμικής, της μη γραμμικής καθώς και της ολικής επιδεκτικότητας του συστήματος που εξετάζουμε, μέσω διαγραμμάτων και του απαραίτητου σχολιασμού των αποτελεσμάτων μας.
At the center of our interest in this thesis lies the study of nonlinear optical properties of complex Zinc Oxide (ZnO) quantum dots structures. At first we will have a short review of the nanostructured systems properties in general and then we will discuss the properties of semiconductor quantum dots as well as the complex ZnO nano-structures. We will also notify the goal of this thesis. In order to calculate the electronic structure of our investigating system we will use the PMM (Potential Morphing Method) method, the basic principles of which we quote on the second chapter. In the next chapter we present our theoretical model, based in the probability amplitudes method, for the analytical calculation of both the linear (1) and nonlinear susceptibility (3) which illustrate the optical properties of our system. At the end we describe our complex core/shell quantum dots system, we quote the results of the electronic structure calculation and we present the behaviour of linear, nonlinear as well as the total susceptibility of our system through graphs and the necessary discussion of our results.

Όπως μπορεί κανείς να καταλάβει και από τον τίτλο, η εργασία έχει να κάνει με μία μέθοδο επίλυσης μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων και, συγκεκριμένα, μιας οικογένειας τέτοιων εξισώσεων, που ονομάζονται εξισώσεις εξέλιξης. Πολλές από αυτές, μάλιστα, επιδέχονται ειδικού τύπου λύσεις που είναι γνωστές με το όνομα σολιτόνια (solitons). Αρχικά, μας απασχολεί η έννοια της ολοκληρωσιμότητας, για την οποία όμως δεν υπάρχει κάποιος σαφής ορισμός. Παρ' όλα αυτά, μπορούμε να πούμε ότι μία διαφορική εξίσωση καλείται ολοκληρώσιμη όταν μπορεί να γραμμικοποιηθεί άμεσα ή έμμεσα. Ο όρος έμμεση γραμμικοποίηση συνδέεται με την έννοια της ύπαρξης ζευγαριού Lax, την οποία εξηγούμε χρησιμοποιώντας εργαλεία της θεωρίας τελεστών. Για τις μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, έχει αναπτυχθεί πλέον πλήθος μεθόδων ανάλυσης, στα πλαίσια της ολοκληρωσιμότητας, και υπάρχει πλούσια σχετική βιβλιογραφία. Αναφέρουμε συνοπτικά μερικές από αυτές χρησιμοποιώντας κάποια παραδείγματα, ενώ επικεντρωνόμαστε στην αναλυτική περιγραφή μιας μεθόδου που πρώτοι παρουσίασαν οι Zakharov και Shabat το 1974. Η μέθοδος αυτή, η οποία αναπτύχθηκε λίγο μετά τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης, ονομάζεται μέθοδος ένδυσης (dressing method) ή σχήμα των ZS. Για την παρουσίασή της, χρησιμοποιούμε μόνο τελεστές χωρίς να αναφερόμαστε πουθενά στα δεδομένα σκέδασης του προβλήματος. Εισάγουμε, με τη βοήθεια διαφορικών και ολοκληρωτικών τελεστών, το γυμνό (undressed) και το ντυμένο (dressed) τελεστή και, έπειτα, δείχνουμε πώς από αυτούς προκύπτει η γενικευμένη εξίσωση Lax. Παραθέτουμε κάποια παραδείγματα εξισώσεων στις οποίες εφαρμόζεται η μέθοδος και, τέλος, κατασκευάζουμε σολιτονικές λύσεις για τη μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger, με τη βοήθεια της ολοκληρωτικής εξίσωσης των Gelfand-Levitan-Marchenko. Πέρα από την περιγραφή της μεθόδου ένδυσης στην αρχική της μορφή, βλέπουμε και πώς αυτή εμφανίζεται στη σύγχρονη βιβλιογραφία. Με την πάροδο του χρόνου εξελίχθηκε αρκετά και συνδέθηκε με προβλήματα της μιγαδικής ανάλυσης και, πιο συγκεκριμένα, με τα προβλήματα Riemann-Hilbert (RH) και dbar που, με τη σειρά τους, προκύπτουν σε πολλές εφαρμογές των μαθηματικών. Από ένα μεγάλο πλήθος πρόσφατα δημοσιευμένων άρθρων, παρουσιάζουμε αναλυτικότερα ένα, αυτό των Bogdanov και Zakharov (2002), που αφορά στην εξίσωση Boussinesq. Περιγράφουμε μια ειδικότερη μορφή της μεθόδου ένδυσης, η οποία ονομάζεται ένδυση dbar (dbar-dressing) και αναλύουμε, μέσω αυτής, τις σολιτονικές λύσεις και το συνεχές φάσμα της εξίσωσης Boussinesq. Οι σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης παρουσιάζουν μία πολύ ιδιαίτερη συμπεριφορά, η οποία έρχεται σε αντίθεση με τον ευσταθή χαρακτήρα των σολιτονίων.
As one can understand from the title, our main subject is a method for solving nonlinear partial differential equations and in particular a family of such equations, called evolution equations. Many of them admit a special kind of solutions, known as solitons. One of our basic interests is the integrability of a nonlinear evolution equation, although a specific definition for that does not exist in the bibliography. However, a partial differential equation is considered to be integrable when it can be linearized directly or indirectly. By indirect linearization we mean the existence of a Lax pair for the initial equation and this connection is explained in terms of operator theory. In the frame of integrability, a large number of methods dealing with the study and analysis of nonlinear evolution equations has been developed. We briefly mention some of them and present some examples, while we focus on the analytic description of a method which was introduced by Zakharov and Shabat, in 1974. This method was developed right after the Inverse Scattering Method and it is known as dressing method or ZS scheme. In order to present it, a dressed and undressed operator are introduced, by the use of operators only whithout refering to the scattering data. Based on those operators the generalized Lax equation is produced. Then we present a number of examples of evolution equations which can be solved via the dressing method and finally we constract soliton solutions for the nonlinear Schrödinger equation by solving the Gelfand-Levitan-Marchenko integral equation. Appart from the description of dressing method in its initial form, a quick review of recent papers and results is considered. The method evolved through time and was connected with some problems of complex analysis and specifically the Riemann-Hilbert (RH) and dbar problems. Those two problems arise in many mathematical and physical applications. From a wide range of recent published articles, we analytically present one which was written by Bogdanov and Zakharov (2002) and deals with Boussinesq equation. The continuous spectrum and soliton solutions are investigated, using a special form of dressind method called dbar-dressing. Soliton solutions for the Boussinesq equations demonstrate a quite extraordinary behaviour destroying the stereotype of usual solitons which are considered to be stable objects.

Στη διπλωματική εργασία αυτή μελετάμε αναλυτικά και υπολογιστικά το φαινόμενο της μίξης τεσσάρων κυμάτων σε δια-υποζωνικές μεταβάσεις ενός συστήματος που αποτελείται από δομές συμμετρικών ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών. Στο θεωρητικό μοντέλο παίρνουμε υπόψη δύο υποζώνες ενός ημιαγώγιμου κβαντικού πηγαδιού που αλληλεπιδρούν ταυτόχρονα με ένα ισχυρό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (πεδίο σύζευξης) καθορισμένης συχνότητας και ένα ασθενές ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (πεδίο ιχνηθέτη) μεταβλητής συχνότητας. Περά από τη σύμφωνη αλληλεπίδραση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων με τα κβαντικά πηγάδια στη θεωρία μας συμπεριλαμβάνουμε και τα φαινόμενα των αλληλεπιδράσεων ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου. Για την περιγραφή της δυναμικής του συστήματος χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις του πίνακα πυκνότητας που προκύπτουν, κάτω από κατάλληλες παραδοχές, από τις γενικευμένες μη-γραμμικές εξισώσεις Bloch. Οι εξισώσεις αυτές επιλύονται αριθμητικά για μια συγκεκριμένη δομή διπλού ημιαγώγιμου κβαντικού πηγαδιού GaAs/AlGaAs στην οποία μεταβάλλουμε την επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρονίων. Παρουσιάζουμε αποτελέσματα και για συνεχή και για παλμικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία και δείχνουμε ότι τόσο η ένταση όσο και η μορφή του φάσματος της μίξης τεσσάρων κυμάτων εξαρτάται σημαντικά από την επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρονίων, τη συχνότητα και την ένταση του πεδίου σύζευξης, και στην περίπτωση των παλμικών πεδίων από τη σειρά της χρονικής επιβολής των παλμών.
In this diploma thesis we study analytically and numerically the phenomenon of four-wave mixing in intersubband transitions of a symmetric double quantum well structure. In the theoretical model we consider two quantum well subbands that are coupled by a strong coupling electromagnetic field with fixed frequency and a weak probe electromagnetic field with varying frequency. We consider the coherent interaction of the electromagnetic fields with the quantum wells taking into account the effects of electron-electron interactions. For the description of the system dynamics we use the density matrix equations obtained from the generalized nonlinear Bloch equations. These equations are solved numerically for a realistic semiconductor quantum well structure GaAs/AlGaAs with varying electron sheet density. We present results for both continuous and pulsed electromagnetic fields and show that both the intensity and the shape of the four-wave mixing spectrum can be significantly dependent on electron sheet density, on the frequency and the intensity of the coupling field, and in the case of pulsed fields on the delay between the fields.

Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων και τη σχεδίαση ενός προσαρμοστικού ελεγκτή για συστήματα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα. Αρχικά παρουσιάζονται η μορφή και οι ιδιότητες των μη γραμμικών συστημάτων τονίζοντας την ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο. Στην συνέχεια προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής κατάλληλος για μη γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης που εγγυάται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το συστημα κλειστού βρόγχου. Η μορφή του ελεγκτη βελτιώνεται σε περίπτωση που οι συναρτήσεις απόσβεσης και δυσκαμψίας είναι πολυωνυμικές και η αποδοτικότητα του επιβεβαιώνεται σε κάθε περίπτωση με εκτενείς προσομοιώσεις. Τέλος, ο προτεινόμενος ελεγκτής εφαρμόζεται σε δύο πραγματικά συστήματα (μηχανικός ταλαντωτής του duffing, απλό εκκρεμές) και συγκρίνεται με την τεχνική του feedback linearization, δίνοντας καλύτερες αποκρίσεις σε περιπτώσεις ύπαρξης αβεβαιότητας παραμέτρων.
This diploma thesis includes the analysis of non linear systems and the design of an aadaptive controller suitable for second order nonlinear systems. In the beginning we present the structure and the properties of nonlineat systems underlining the need for adaptive control. Futhermore, we propose an adaptive control law suitable for second order nonlinear systems which guarantees asympotic stability for the closed loop system. Finally, the proposed controller is applied in two real systems (Duffing's mechanical oscillator,pendulum) and compared with feedback linearization technique, resulting better responses in cases where the system includes uncertain parameters.

O σχεδιασμός και η ανάπτυξη οικονομικών προϊόντων, με ταυτόχρονη ικανοποίηση των αναγκών για υψηλές επιδόσεις και ασφάλεια αποτελεί μια από τις μεγαλύτερες προκλήσεις για τους ερευνητές μηχανικούς και τη βιομηχανία. Ειδικότερα στους τομείς της κατασκευαστικής βιομηχανίας (αεροναυπηγική, ναυπηγική, αυτοκινητοβιομηχανία, διαστημική) των οποίων τα προϊόντα παράγονται σύμφωνα με τις τεχνολογίες αιχμής, επιζητείται από το μηχανικό να σχεδιάζει νέα προϊόντα με υψηλότερες επιδόσεις, χωρίς να αγνοεί την απαίτηση για μείωση του κόστους και του χρόνου ανάπτυξης αυτών. Η τάση αυτή βρίσκει εφαρμογή κατά κύριο λόγο στην αεροναυπηγική, όπου η μείωση του αξιοσημείωτου κόστους ανάπτυξης νέων αεροσκαφών, χωρίς υποβάθμιση της ασφαλούς και υψηλής ποιότητας τους, αποτελεί βασικό και μόνιμο στόχο. Ο κυριότερος παράγοντας που επιβαρύνει σημαντικά την ανάπτυξη νέων αεροσκαφών, τόσο από πλευράς κόστους, όσο και χρονικά, είναι οι πειραματικές δοκιμές πλήρους κλίμακας η μεγάλης κλίμακας σε συνθήκες λειτουργίας, οι οποίες επηρεάζουν σημαντικά το κόστος και το χρόνο ανάπτυξης. Οι συγκεκριμένες δοκιμές συμπεριλαμβάνονται στη διαδικασία του σχεδιασμού, με σκοπό να επαληθεύσουν τα αποτελέσματα των αντίστοιχων δομικών αναλύσεων. Η σημασία των πειραματικών δοκιμών και συγκεκριμένα εκείνων της πλήρους κλίμακας ενισχύεται από το γεγονός ότι επιβάλλονται κατά την πιστοποίηση από τις αρχές Αδειοδότησης, με δεδομένο ότι οι δομικές αναλύσεις της αντίστοιχης κλίμακας (πολύ μεγάλης η πλήρους) δεν παρέχουν ικανοποιητική αξιοπιστία. Η παραπάνω αδυναμία να εξαχθούν ικανοποιητικά αποτελέσματα από τις δομικές αναλύσεις οφείλεται σε δύο βασικά χαρακτηριστικά της ανάλυσης των κατασκευών μεγάλης κλίμακας. Η πρόβλεψη της αστοχίας στις αεροναυπηγικές και άλλες κατασκευές απαιτεί μη-γραμμική ανάλυση, λόγω αιτιών που σχετίζονται με τη συμπεριφορά υλικού (μη-γραμμική συμπεριφορά λόγω ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς μεταλλικών υλικών η λόγω αστοχίας συνθέτων υλικών) ή με τη συμπεριφορά της δομής (γεωμετρική μη-γραμμικότητα, προβλήματα επαφής, κλπ/). Επιπρόσθετα, στις κατασκευές αυτές υπάρχει μεγάλη διαφορά κλίμακας μεταξύ των διαστάσεων της περιοχής έναρξης και αρχικής διάδοσης της τοπικής βλάβης με τις συνολικές διαστάσεις της δομής, οι οποίες σχετίζονται με την τελική αστοχία της κατασκευής. Η προσομοίωση με αριθμητικές μεθόδους, με έμφαση στη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, της δομικής συμπεριφοράς μεγάλης κλίμακας κατασκευών με τα παραπάνω χαρακτηριστικά, οδηγεί σε αριθμητικά πρότυπα εκατομμυρίων βαθμών ελευθερίας, τα οποία απαιτείται να επιλυθούν με μη-γραμμικές μεθόδους. Ο συνδυασμός του μεγέθους των προτύπων αυτών με το μη-γραμμικό χαρακτήρα τους, καθιστά το πρόβλημα δυσεπίλυτο έως σήμερα με χρήση συμβατικών μεθόδων και ουσιαστικά αποτελεί την αιτία μη-αξιοποίησης των εικονικών δοκιμών (αριθμητικών αναλύσεων), στην ελαχιστοποίηση ή και την ολοκληρωτική αποφυγή των εκτενών και δαπανηρών πειραματικών δοκιμών. Βάσει των ανωτέρω, σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη νέων, αξιόπιστων και ολοκληρωμένων μεθοδολογιών για τη μη-γραμμική ανάλυση κατασκευών μεγάλης κλίμακας, με κύριο στόχο την ικανοποιητική πρόβλεψη τοπικών φαινομένων που συνδέονται με την έναρξη της βλάβης, αλλά και την ικανότητα να εκτείνονται έως την κατάλληλη κλίμακα (ίσως και την πλήρη), ώστε να καθίσταται δυνατός ο υπολογισμός της δομικής συμπεριφοράς της κατασκευής μέχρι την τελική αστοχία. Στη βάση αυτή, γίνεται ανάπτυξη νέων μεθοδολογιών δομικής μη-γραμμικής ανάλυσης και προτείνονται κατάλληλες τροποποιήσεις σε ήδη καθιερωμένες μεθόδους, με σκοπό την εφαρμογή τους σε κατασκευές μεγάλης κλίμακας. Λόγω των πλεονεκτημάτων που παρέχονται από την ταχεία και συνεχόμενη εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών (ταχύτητα, μνήμη, λογισμικό) και την ευρεία χρήση εμπορικών πακέτων που βασίζονται στη θεωρία των πινάκων (Πεπερασμένα Στοιχεία, Συνοριακά Στοιχεία, κλπ.), οι παραπάνω μεθοδολογίες χρησιμοποιούνται ευρέως στην πρόβλεψη της δομικής συμπεριφοράς των κατασκευών στη βάση της φιλοσοφίας της ‘εικονικής δοκιμής’. Με δεδομένο ότι οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης μη-γραμμικών προβλημάτων σε κατασκευές μεγάλης κλίμακας δεν παρέχουν ικανοποιητικά αποτελέσματα, όπως προαναφέρθηκε, στην παρούσα εργασία αναζητήθηκαν εναλλακτικές μεθοδολογίες και τεχνικές, για την προσέγγιση του τεχνολογικού προβλήματος από τη σκοπιά του μηχανικού και προτάθηκαν αξιόπιστες λύσεις με δυνατότητα εφαρμογής σε βιομηχανικό περιβάλλον. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε αποτελείται από τέσσερις βασικούς άξονες, την γραμμική αριθμητική ανάλυση των τάσεων ολόκληρης της δομής μεγάλης κλίμακας, τον έλεγχο για πιθανή εμφάνιση τοπικής μη-γραμμικής συμπεριφοράς, την τοπική ανάλυση αστοχίας (μη-γραμμική ανάλυση) και μια σειρά κατάλληλων τεχνικών για τον προσδιορισμό της συνεισφοράς των περιοχών με τοπική μη-γραμμικότητα στη δομική συμπεριφορά ολόκληρης της δομής. Όλα τα βήματα της διαδικασίας πραγματοποιήθηκαν στη βάση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Η γραμμική αριθμητική ανάλυση τάσεων της κατασκευής έγινε με χρήση αριθμητικών προτύπων που προσομοιώνουν ολόκληρη την κατασκευή, χωρισμένων σε τμήματα, ανάλογα με την γεωμετρική επαναληψιμότητα που πιθανώς εμφανίζει η γεωμετρία. Οι τάσεις που υπολογίστηκαν χρησιμοποιήθηκαν στην πρόβλεψη τα εμφάνισης τοπικής μη-γραμμικότητας με τη βοήθεια κατάλληλα ανεπτυγμένων κριτηρίων, ανάλογα με το είδος της μη-γραμμικότητας που μπορεί να εμφανιστεί. Οι περιοχές μη-γραμμικότητας που ανιχνεύονται, ταξινομούνται σε σειρά κρισιμότητας και ανάλογα με το κρίσιμο επίπεδο φορτίου καθεμιάς από αυτές, επεξεργάζονται τοπικά με μη-γραμμικές αναλύσεις για την προσομοίωση της έναρξης και εξέλιξης της τοπικής μη-γραμμικότητας. Για τον υπολογισμό της συνεισφοράς των μη-γραμμικών υποπεριοχών στη δομική συμπεριφορά ολόκληρης της κατασκευής, αναπτύχθηκαν κατάλληλες τεχνικές περιγραφής της τοπικής μη-γραμμικότητας και εισαγωγής τους στα δομικά χαρακτηριστικά του αριθμητικού προτύπου της ολικής κατασκευής. Για την προσομοίωση της εξέλιξης της τοπικής μη-γραμμικότητας, από την πρώτη ανίχνευση μέχρι την τελική εξέλιξη, η διαδικασία εκτελείται βηματικά και επαναληπτικά. Αποδεικνύεται ότι κάτω από συγκεκριμένες παραδοχές, οι μεθοδολογίες για τη δομική μη-γραμμική ανάλυση κατασκευών μεγάλης κλίμακας είναι εφικτό να παρέχουν αξιόπιστα αποτελέσματα αντίστοιχα με εκείνα των πειραματικών δοκιμών πλήρους κλίμακας. Ταυτόχρονα είναι και αποτελεσματικές, δεδομένου ότι έχουν αναπτυχθεί κατάλληλα, ώστε να εστιάζουν τους διαθέσιμους υπολογιστικούς πόρους μόνο στις κρίσιμες περιοχές, μέσω της κατά απαίτησης εφαρμογής τοπικών μη-γραμμικών αναλύσεων.
The design and development of low-cost products, with simultaneous fulfilment of the requirements for higher performance and safety, is one of the biggest challenges for the research engineers and the industry. Especially in the sectors of the structural industry (aeronautics, shipbuilding, automotive, space industry) where the products are being produced according to the latest achievements of the technology, the engineer is obliged to design new products with higher proficiency, without neglecting the need for lower cost and development time. This trend has great application mainly in the aeronautical industry, where the reduction of the remarkable cost for the development of a new aircraft, without downgrading the level of safety and the quality of service comprises the main target of the current research effort. The main factor that weighs down the development of new aircrafts, as far as the cost and the time is concerned, is the required experimental tests of the full / large scale under service loads, which affect significantly the development cost and the time to market. These tests are included in the design process, in order to verify the results of the corresponding structural analyses. The importance of the experimental tests and specifically these of the full scale level is amplified by the fact that they are being imposed during the certification process by the Airworthiness Authorities, since the structural analyses of the corresponding scale (full scale) do not provide adequate results. The above mentioned inability of the structural analyses of providing adequate results is based on two main characteristics of the large scale structures. Firstly, the failure prediction in aeronautical (among others) structures requires non-linear analysis, for reasons related to the material behaviour (non-linear behaviour due to composite material damage, elastoplastic behaviour of metallic materials) and the structural behaviour (geometrical non-linearity, contact problems). Secondly, in these structures there is great difference between the dimensions of the local damage initiation region and the dimensions of the whole structure, with the latter being related with the total collapse. The simulation with numerical methods, especially with the use of Finite Elements, of the structural behaviour of large scale structures with the above characteristics, leads to million DOFs (Degrees Of Freedom), whose solution requires non-linear numerical methods. The combination of the size of these models with their non-linear nature renders the problem non-solvable using conventional methodologies and is in fact the reason for the, up to now, not thoroughly utilization of virtual testing (numerical simulations), that would lead to the minimization of the number or even to the complete avoidance of the extensive and costly experimental tests. Based on the above, main objective of this Thesis is the development of new, reliable and integrated methodologies for the non-linear analysis of large scale structures, targeting mainly in the satisfactory prediction of phenomena related to the initiation of local damage, but also being able to evolute up to the appropriate scale (maybe full scale), in order to account the structural behaviour of the whole structure up to the total collapse. On this basis, innovative methodologies are being developed for the structural non-linear analysis and appropriate modifications are proposed for already well-established techniques, in order to be applied on large scale structures. Due to the advantages offered from the rapid and constant progress of computers (speed, memory, software) and the wide usage of commercial tools that are based on the matrix theory (Finite Elements, Boundary Elements), the above mentioned methodologies were developed based on the philosophy of ‘virtual testing’. Due to the fact that the numerical solution methods for non-linear problems in large scale structures are not able to provide adequate results, as mentioned previously, in the present work alternative methodologies and techniques were investigated, approaching the technological problem from the engineer’s view and reliable solutions applicable to an industrial environment were proposed. The procedure that was followed consists of four basic keystones: the linear numerical stress analysis of the whole structure, the check for possible local non-linear behaviour, the local damage analysis (non-linear analysis) and a series of appropriately configured sub-routines, able to redefine the contribution of the regions exhibiting local damage in the structural behaviour of the whole structure. All the routines of the proposed methodologies were accomplished using the commercial Finite Element code ANSYS. The linear numerical stress analysis of the structure was carried out with the use of numerical models simulating the whole structure, divided into suitable parts, based on the geometrical repeatability. The calculated stresses were utilized for the prediction of the local damage, using properly developed damage criteria, depending on the type of non-linearity. The corresponding regions detected, were classified according to the criticality level (critical load) and were elaborated with local analyses of non-linear nature for the simulation of local damage initiation. For the accumulation of the contribution of the local damage in the structural behaviour of the whole structure, appropriate techniques were developed for the description of the local damage and its incorporation in the structural features of the numerical model of the structure. For the determination of the damage evolution, from the first detection up to the final failure, the procedure was performed in an incremental and iterative way. It was proved, that under specific assumptions, the proposed methodologies simulating the non-linear phenomena of large scale structures are capable of providing accurate results, in accordance with those of the experimental tests of full scale level. Simultaneously, the proposed methodologies become also efficient, providing that they have been developed appropriately, in order to focus the available computer resources on the non-linearly behaving regions by the ‘on demand’ application of the non-linear analyses.

Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη και το σχεδιασμό ενός άμεσου προσαρμοστικού ελεγκτή, για μη γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητα και εξωγενείς διαταραχές. Αρχικά παρουσιάζονται οι έννοιες του προσαρμοστικού ελέγχου, των μη γραμμικών συστημάτων και διερευνώνται οι έννοιες της ευστάθειας και των διαταραχών, με ιδιαίτερη έμφαση στην ευστάθεια κατά Lyapunov. Στη συνέχεια προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής για άμεσο προσαρμοστικό έλεγχο, προσαρμοστική ευστάθεια, απόρριψη διαταραχών και εκτέλεση εντολών, σε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα πολλαπλών μεταβλητών, με αβεβαιότητα και εξωγενείς διαταραχές, ο οποίος εγγυάται μερική ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Το προτεινόμενο πλαίσιο, ειδικεύεται περαιτέρω για τις περιπτώσεις όπου το μη γραμμικό σύστημα παρουσιάζεται σε κανονική μορφή, με ευσταθείς input-to-state internal dynamics, έχει μια είσοδο ή έχει εξωγενείς L2 διαταραχές. Τέλος ο προτεινόμενος ελεγκτής εφαρμόζεται σε αρκετά πειραματικά συστήματα, καθώς και στον έλεγχο της αστάθειας θερμοακουστικής καύσης.
This diploma thesis features the analysis and design of a direct adaptive controller, for nonlinear uncertain systems with exogenous disturbances. At first, we introduce the concept of adaptive control and we underline its’ need in modern applications. Also, we include a brief presentation of nonlinear systems and we inquire into the theory of stabilization and disturbances, with significant emphasis in Lyapunov’s methods. Furthermore we develop a direct adaptive control framework for adaptive stabilization, disturbance rejection, and command following of multivariable nonlinear uncertain dynamical systems with exogenous disturbances, which guarantees partial asymptotic stability of the closed-loop system. The proposed framework is further specialized for the cases where the nonlinear system is represented in normal form with input-to-state stable internal dynamics, has single-input with uncertain dynamics, or exogenous L2 disturbances .Finally we present several illustrative numerical examples and we apply our framework to the control of thermoacoustic combustion instabilities.

Η παρούσα εργασία περιλαμβάνει την μελέτη της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης διμεταλλικών κραμάτων ευγενών μετάλλων και άλλων μεταλλικών συστημάτων νανοσωματιδίων, είτε περιβεβλημένα με πολυμερή, είτε εγκιβωτισμένα σε μικυλιακά συστήματα συμπολυμερών κατά συστάδες. Τα μέταλλα τα οποία επιλέχθηκαν για την παρασκευή των νανοσωματιδίων ήταν ο χρυσός (Au), ο άργυρος (Ag) και το παλλάδιο (Pd). Τα δύο πρώτα έχουν αποτελέσει τα τελευταία χρόνια αντικείμενο έρευνας σε μορφή κυρίως κολλοειδών διαλυμάτων ή μέσα σε άμορφες μήτρες (π.χ. υάλους) και πολυμερικές μήτρες, καθώς λόγω των εξαιρετικών μη γραμμικοτήτων τους βρίσκουν εφαρμογή σε πληθώρα εφαρμογών της φωτονικής και της οπτο-ηλεκτρονικής. Όσον αφορά τα νανοσωματίδια Pd, οι μη-γραμμικές οπτικές ιδιότητες τους έχουν μελετηθεί ελάχιστα (μόλις μερικές εργασίες στη διεθνή βιβλιογραφία), ενώ είναι η πρώτη φορά που μελετώνται εγκιβωτισμένα σε αμφι-φιλικά συμπολυμερή κατά συστάδες. Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, διερευνήθηκε ο ρόλος του επιφανειακού πλασμονίου στην γραμμική και μη-γραμμική οπτική απόκριση νανοσωματιδίων Au, Ag και Pd, όταν αυτά διεγείρονται με ακτινοβολίες λέιζερ γύρω από την συχνότητα συντονισμού του πλασμονίου, καθώς αναμένεται σημαντική ενίσχυση. Στη συνέχεια αυτής της εργασίας, παρουσιάζονται οι μη γραμμικές οπτικές ιδιότητες άλλων χαμηλοδιάστατων νανοδομών, όπως κβαντικών και ανθρακικών ψηφίδων. Στη περίπτωση αυτών, οι μη γραμμικοί μηχανισμοί που προκαλούν την ενίσχυση της απόκρισης τους είναι διαφορετικοί από αυτούς των μεταλλικών νανοδομών. Η δομή της εργασίας έχει ως ακολούθως: Στα δυο πρώτα κεφάλαια αναφέρονται οι βασικές έννοιες της μη γραμμικής οπτικής και φυσικές διεργασίες που σχετίζονται με αυτή, καθώς και οι πειραματικές τεχνικές Z-scan και Οπτικού Φαινομένου Kerr, που χρησιμοποιήθηκαν για τον χαρακτηρισμό των μη γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων των νανοσυστημάτων. Τα επόμενα κεφάλαια είναι αφιερωμένα στα πειραματικά αποτελέσματα που προέκυψαν από την μελέτη των μεταλλικών, ημιαγώγιμων και ανθρακικών νανοϋλικών. Συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 3 γίνεται αναφορά στα πειραματικά αποτελέσματα των νανοσωματιδίων μεταλλικών κραμάτων, τα οποία παρασκευάσθηκαν στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ από την ερευνητική ομάδα του καθηγητή κ. Μ. Μeunier. Τα νανοσωματίδια χρυσού-αργύρου είχαν διαφορετικές περιεκτικότητες των δύο μετάλλων (δηλ. ΑuxAg(1-x)), ενώ ανάλογα με τη σύσταση τους παρουσίασαν μεταβλητές οπτικές ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένου και της θέση του επιφανειακού πλασμονίου. Η μελέτη των διαλυμάτων πραγματοποιήθηκε για μήκος κύματος διέγερσης στην ορατή φασματική περιοχή (δηλ. 532 nm), πολύ κοντά στο επιφανειακό πλασμόνιο του χρυσού. Η επίδραση του επιφανειακού πλασμονίου στην απόκριση των δυο μετάλλων αλλά και των διαφόρων κραμάτων που μελετήθηκαν ήταν εμφανής, προκαλώντας ενίσχυση με αύξηση της περιεκτικότητας σε χρυσό, ενώ ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσίασε η συμπεριφορά των κραμάτων υπό διέγερση ns παλμών, καθώς βρέθηκαν να έχουν θεμελιωδώς διαφορετικές ιδιότητες από αυτές του χρυσού και του αργύρου. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζονται οι μη γραμμικές οπτικές ιδιότητες συστημάτων πολυμερών/παλλαδίου. Μελετήθηκαν δυο ειδών συστήματα, τα υβριδικά μικυλιακά CbzEMAx-b-AEMAy/Pd και τα PVP/Pd, τα οποία παρασκευάσθηκαν στο τμήμα Μηχανολικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου υπό την επίβλεψη της Επ. καθηγήτριας κ. Κρασιά-Χριστοφόρου. Όπως αποδείχθηκε από τα αποτελέσματα της μελέτης, η απόκριση των συστημάτων δεν επηρεάζεται από το πολυμερικό περιβάλλον, ενώ καθορίζεται αποκλειστικά από το μέταλλο. Τέλος, σημαντικό ρόλο φάνηκε να παίζει το μέγεθος των σωματιδίων ή του μεταλλικού πυρήνα αντίστοιχα. Έπειτα, στο κεφάλαιο 5 μελετώνται χαμηλοδιάστατα υβριδικά συστήματα ιωδιούχου μολύβδου. Η σύνθεση των δειγμάτων πραγματοποιήθηκε στο εργαστήριο του Επ. καθηγητή του τμήματος Επιστήμης των Υλικών του Πανεπιστημίου της Πάτρας, κ. Κούτσελα. Η μελέτη πραγματοποιήθηκε για διαλύματα μονοδιάστατων κβαντικών ψηφίδων των οκταεδρικών νανοδομών PbI6 και για αιωρήματα της διδιάστατης δομής (FpAH)2PbI4, η οποία απαρτίζεται από μονοστρωματικά φύλλα των δομικών μονάδων (PbI6)4-. Σε όλες τις πειραματικές συνθήκες, το διδιάστατο σύστημα παρουσίασε μια γιγαντιαία ενίσχυση της μη γραμμικότητας συγκριτικά με το μονοδιάστατο, φτάνοντας τις πέντε τάξεις μεγέθους. Τέλος, στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζεται η μη γραμμική οπτική απόκριση και ο οπτικός περιορισμός διαφόρων συστημάτων ανθρακικών ψηφίδων, φέροντας διαφορετικές οργανικές αλυσίδες στην επιφάνεια τους. Η σύνθεση των συστημάτων πραγματοποιήθηκε στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων από τον Επ. Καθηγητή κ. Μπουρλίνο. Οι διαφορές που εντοπίστηκαν μεταξύ των διαφόρων νανοϋλικών ήταν ουσιώδεις, υποδηλώνοντας τη δυνατότητα προσαρμογής και ελέγχου των μη γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων, με κατάλληλη τροποποίηση της επιφάνειας των σωματιδίων.
In the present thesis, the third-order nonlinear optical (NLO) properties of metallic nanoparticles, either encapsulated in polymers or in block copolymers, as well as bimetallic nanoparticles are investigated. Among the purposes of this work is to examine metallic nanostructures based on palladium (Pd), which is one of the least studied metals regarding their nonlinear optical response. In this view, single Pd nanoparticles are compared with another class of recently synthesized Pd-based nanomaterials, i.e., Pd micellar nanohybrids. In addition, gold-silver alloyed nanoparticles are examined and compared with their monometallic counterparts, exhibiting substantial differences and potential application in optoelectronic devices and photonic applications. In all cases, the main motivation of this work is to take advantage of the surface plasmon resonance (SPR), located in the ultraviolet or visible spectral area, to enhance/tailor the NLO properties of the metallic/hybrid nanostructures. As a continuation of the low dimensional metallic structures, the NLO response of some carbon-dots and quantum-dots are investigated, aiming to examine the correlation of their optical nonlinearities with their structure and the origin of the NLO enhancement. Therefore, the structure of this thesis is as follows: Initially the basic concepts of nonlinear optics, the physical processes related with it, as well as the physical mechanisms related to the nonlinear refractive index will be presented. Moreover the equations, which describe the nonlinear optical susceptibilities (linear and nonlinear) will be derived. Then, reference will be made to the optical parameters related to the third order optical nonlinearity and to the experimental techniques which were employed for the determination of the nonlinearity, as well as to the procedure followed to derive the nonlinear optical parameters from the acquired experimental data. Moreover, in the beginning of chapter 3 the theory of SPR in metals will be explicitly presented, followed by the experimental results obtained by the Au-Ag nanoalloys. More in detail, AuxAg(1-x) nanoparticles with varying metallic content and optical properties (i.e., SPR) were excited with resonant irradiation conditions (i.e., close to the SPR maximum) both of ps and ns pulse duration. The results demonstrate a straightforward dependence of the NLO response on the gold molar fraction of the alloys, this being attributed to the different band structures of the systems, thus suggesting a mean of tailoring the NLO properties of bimetallic nanostructures. Also, it is shown that under ns laser excitation the nano-alloys exhibit fundamentally different behavior than pure Au and Ag nanoparticles. The samples were produced by fs laser ablation in the University of Montreal by the research group of Prof. Michel Meunier. In chapter 4, the NLO properties of various polymer/Pd systems will be presented. Two different type of materials were investigated: the hybrid micellar CbzeMAx-bAEMAy/Pd and PVP/Pd, which were synthesized in University of Cyprus under the supervision of Prof. Theodora Krasia-Christoforou. As shown, the polymeric environment does not affect the total NLO response, however it can be effectively used to define the size, shape and SPR properties of the nanohybrids. On the contrary, the size of Pd nanoparticles or the micellar core size was found to be determinative for the NLO behavior of the systems. Then, in chapter 5, some low-dimensional hybrid lead-iodide systems are investigated. Specifically, the PbI6 octahedral quantum dots and the two-dimensional (FpAH)2PbI4 structure, consisting of monolayers of (PbI6)4- corner sharing structural units are synthesized in University of Patras, by Prof. Ioannis Koutselas. Under all excitation conditions, the quantum wells were found to exhibit gigantic NLO response in comparison with the quantum dots, reaching even 5 orders of magnitude. Finally, in the last chapter, the NLO response and optical limiting action of a series of carbon-dots, bearing various organic chains attached on their surfaces, will be presented. The carbon-based materials were prepared in the University of Ioannina, by Prof. Athanasios Bourlinos. By comparing the various studied systems, it is shown that the surface passivation is the key to control the NLO behavior of these nanostructures. In this case, of great importance is the sp2/sp3 ratio and consequently the modification of the band structure of carbon-dots, since it can significantly affect their NLO properties.

Στην παρούσα εργασία ασχοληθήκαμε με την παρατηρησιμότητα σε μη-γραμμικά συστήματα, αφού πρώτα εξετάσαμε τα γραμμικά συστήματα μέσω μίας γεωμετρικής προσέγγισης. Αρχικώς, ασχοληθήκαμε με την παρατηρησιμότητα affine συστημάτων υπό τμηματικά σταθερές εισόδους. Στη συνέχεια μελετήσαμε τα ίδια συστήματα υπό διαφορίσιμες εισόδους. Κατόπιν, αποδείξαμε ένα θεώρημα που θέτει ένα άνω φράγμα στο πλήθος των Lie παραγωγίσεων της συνάρτησης εξόδου. Τέλος, εξετάσαμε τη μη-γραμμική μη-παρατηρησιμότητα σε γενικότερες κατηγορίες μη-γραμμικών συστημάτων με χρήση γραμμικών μεθόδων και logic dynamic approach.
This thesis is focused on the problem of observability in non-linear systems. A brief examination of linear systems via a geometric approach is initially given. First, observability of affine systems under piecewise constant controls is examined. Second, the same examination is repeated for the same systems under differentiable inputs. Moreover, a theorem that sets an upper bound on the number of Lie derivatives of the output functions is proved and explained. Finally, the non-linear unobservability of non-linear systems in general is presented under the scope of linear methods and logic dynamic approach.

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη προτύπων πεπερασμένων στοιχείων ικανών να προσομοιώσουν την μορφική και δυναμική απόκριση ευφυών δοκών με διαστρωματική αποκόλληση. Έμφαση δίνεται στη χρήση πιεζοηλεκτρικών διεγερτών και αισθητήρων. Στη πρώτη ενότητα πραγματοποιούνται πειραματικές μετρήσεις σε δοκούς με αποκόλληση χρησιμοποιώντας διάφορες μεθοδολογίες διέγερσης και δειγματοληψίας, οι οποίες περιλαμβάνουν πιεζοηλεκτρικά στοιχεία (actuators,sensors) εκτός των κλασικών μεθόδων (shaker, accelerometer). Από τις πειραματικές μετρήσεις διαπιστώνονται οι δυνατότητες χρήσης πιεζοηλεκτρικών στοιχείων ενώ ανιχνεύεται και ποσοτικοποιείται η επίδραση της ύπαρξης και έκτασης αποκόλλησης στα μορφικά χαρακτηριστικά των δοκών. Στη συνέχεια διατυπώνονται μοντέλα μεσομηχανικής αποσκοπώντας στη προσομοίωση της ηλεκτρομηχανικής συμπεριφοράς ευφυών δοκών με αποκόλληση. Τα πρότυπα αυτά είναι συζευγμένα ηλεκτρομηχανικά και με τη χρήση κατάλληλου πεπερασμένου στοιχείου δοκού οδηγούν στο ηλεκτρομηχανικό σύστημα το οποίο χρησιμοποιείται για να προβλέψει τη στατική και μορφική απόκριση δοκών με διαστρωματική αποκόλληση. Στην επόμενη ενότητα τα πρότυπα μεσομηχανικής καθώς και το πεπερασμένο στοιχείο επεκτείνονται, έτσι ώστε να επιβάλλονται με φυσικό τρόπο συνθήκες επαφής και περιορισμού της οριζόντιας κίνησης (τριβής) μεταξύ των δύο μερών της αποκόλλησης. Το συζευγμένο μη‐γραμμικό ηλεκτρομηχανικό σύστημα που προκύπτει χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει τη μεταβατική απόκριση δοκών με αποκόλληση και επαληθεύεται με πειραματικές μετρήσεις. Τέλος παρουσιάζεται ένα δισδιάστατο πρότυπο πεπερασμένο στοιχείο ευφυούς δοκού με αποκόλληση. Στο πρότυπο αυτό τα μοντέλα μεσομηχανικής επεκτείνονται περιλαμβάνοντας μεταβλητό πεδίο επίπεδων και εγκάρσιων αξονικών μετατοπίσεων, αποτελώντας τις δύο διαστάσεις του μοντέλου ώστε να προβλέψει τη στατική, μορφική και δυναμική απόκριση δοκών μεγάλου πάχους με αποκόλληση σε υψηλές συχνότητες. Χρησιμοποιείται για να προσομοιάσει συμμετρικές κατά το πάχος ιδιομορφές και την κυματική διάδοση υψηλών συχνοτήτων ευφυών δοκών με αποκόλληση. Τέλος τα μοντέλα εφαρμόζονται για τον περαιτέρω προσδιορισμό της βλάβης μέσα από την απόκριση χρόνου‐συχνότητας.
-

Σε αυτή την εργασία, ασχολούμαστε με το πρόβλημα της επίλυσης συστημάτων μη γραμμικών αλγεβρικών ή/και υπερβατικών εξισώσεων και συγκεκριμένα αναφερόμαστε σε βελτιωμένες αλγοριθμικές τεχνικές επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Μη γραμμικά συστήματα υπάρχουν σε πολλούς τομείς της επιστήμης, όπως στη Μηχανική, την Ιατρική, τη Χημεία, τη Ρομποτική, τα Οικονομικά, κ.τ.λ. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων. Ανάμεσά τους η μέθοδος Newton είναι η πιο γνωστή μέθοδος, λόγω της τετραγωνικής της σύγκλισης όταν υπάρχει μια καλή αρχική εκτίμηση και ο Ιακωβιανός πίνακας είναι nonsingular. Η μέθοδος Newton έχει μερικά μειονεκτήματα, όπως τοπική σύγκλιση, αναγκαιότητα υπολογισμού του Ιακωβιανού πίνακα και ακριβής επίλυση του γραμμικού συστήματος σε κάθε επανάληψη. Σε αυτή τη μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία αναλύουμε τη μέθοδο Newton και κατηγοριοποιούμε μεθόδους που συμβάλλουν στην αντιμετώπιση των μειονεκτημάτων της μεθόδου Newton, π.χ. Quasi-Newton και Inexact-Newton μεθόδους. Μερικές πιο πρόσφατες μέθοδοι που περιγράφονται σε αυτή την εργασία είναι η μέθοδος MRV και δύο νέες μέθοδοι Newton χωρίς άμεσες συναρτησιακές τιμές, κατάλληλες για προβλήματα με μη ακριβείς συναρτησιακές τιμές ή με μεγάλο υπολογιστικό κόστος. Στο τέλος αυτής της μεταπτυχιακής εργασίας, παρουσιάζουμε τις βασικές αρχές της Ανάλυσης Διαστημάτων και τη Διαστηματική μέθοδο Newton.
In this contribution, we deal with the problem of solving systems of nonlinear algebraic or/and transcendental equations and in particular we are referred to improved algorithmic techniques of such kind of systems. Nonlinear systems arise in many domains of science, such as Mechanics, Medicine, Chemistry, Robotics, Economics, etc. There are several methods for solving systems of nonlinear equations. Among them Newton's method is the most famous, because of its quadratic convergence when a good initial guess exists and the Jacobian matrix is nonsingular. Newton's method has some disadvantages, such as local convergence, necessity of computation of Jacobian matrix and the exact solution of linear system at each iteration. In this master thesis we analyze Newton's method and we categorize methods that contribute to the treatment of drawbacks of Newton's method, e.g. Quasi-Newton and Inexact-Newton methods. Some more recent methods which are described in this thesis are the MRV method and two new Newton's methods without direct function evaluations, ideal for problems with inaccurate function values or high computational cost. At the end of this master thesis, we present the basic principles of Interval Analysis and Interval Newton's method.

Στόχος λοιπόν της διπλωματικής εργασίας είναι να δούμε πως μπορούμε να αναγνωρίσουμε ένα μη γραμμικό σύστημα ομοιόμορφα παρατηρήσιμο χρησιμοποιώντας την κανονική μορφή παρατηρησιμότητας και τα πολυώνυμα Laguerre.
The Objective of therefore diplomatic work is to see how we can identify a non linear system, uniformly observable using the observable canonical form and the polynomials Laguerre.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η μέθοδος της αναγνώρισης του μη γραμμικού δυναμικού συστήματος της καρδιαγγειακής ρύθμισης. Συγκεκριμένα, αυτή η μέθοδος εστιάζει στην αναγνώριση του Heart Rate Baroreflex μηχανισμού (ή αντίδραση πιεσοϋποδοχέα του καρδιακού παλμού) μέσω παρατηρήσεων της καρδιακής πίεσης η οποία αποτελεί την είσοδο και του καρδιακού παλμού ο οποίος αποτελεί την έξοδο του προς αναγνώριση συστήματος. Το μοντέλο αυτό βασίζεται στα έμφυτα χαρακτηριστικά του αυτόνομου νευρικού συστήματος, για την απεικόνιση των οποίων αναπτύσσουμε ένα προσαρμοζόμενο νεύρο-ασαφές σύστημα (ANFIS). Αυτή η μέθοδος μας επιτρέπει να ενσωματώσουμε τις φυσιολογικές λειτουργίες του νευρικού μας συστήματος όπως την συμπαθητική και παρασυμπαθητική, δια μέσου της επιλογής κατάλληλων συναρτήσεων συμμετοχής, οι οποίες αντικατοπτρίζουν επακριβώς, την συμπεριφορά των παραπάνω νεύρων για το προσαρμοζόμενο νεύρο-ασαφές σύστημα. Τα αποτελέσματα συμφωνούν με τα φυσικά χαρακτηριστικά του καρδιαγγειακού μηχανισμού ρύθμισης, όπως καθυστέρηση κατά την λειτουργία των παρασυμπαθητικών νευρών, διάρκεια κατά την λειτουργία των συμπαθητικών και διόρθωση ανάμεσα στο σήμα του καρδιακού παλμού και της καρδιακής ρύθμισης. Η σωστή εκτίμηση του Heart Rate Baroreflex μηχανισμού επιτρέπει στους κλινικούς γιατρούς να έχουν πιο αξιόπιστες πληροφορίες για τους ασθενείς τους.
This thesis presents the method of identification of nonlinear dynamic system of cardiovascular regulation. Specifically , this method focuses on the identification of the Heart Rate Baroreflex (or Baroreceptor Reflex ) mechanism by observation of the arterial blood pressure which is the input and heart rate which is the output of the system. This model is based on the inherent characteristics of the autonomic nervous system, so we develop an adaptive neuro- fuzzy inference system (ANFIS) to represent them. This method allows us to incorporate the physiological functions of our nervous system, such as sympathetic and parasympathetic nerves, through the selection of appropriate membership functions , which reflect accurately the behavior of these nerves for the adaptive neuro- fuzzy system . The results agree with the natural characteristics and physiological understanding of the cardiovascular regulatory system, such as delay in the parasympathetic function, durability in the function of sympathetic nerves and the correlation between the heart rate and the arterial blood pressure signals. Proper assessment of Heart Rate Baroreflex mechanism allows clinicians to have more reliable information for their patients.

Η παρούσα ειδική ερευνητική εργασία συνιστά μια μελέτη των μη-γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων πέντε δειγμάτων νανοσωματιδίων οξειδίων μετάλλων. Κατ’ όνομα πρόκειται για το μονοξείδιο του Κοβαλτίου (CoO), το τετροξείδιο του Μαγγανίου (Mn3O4), το μονοξείδιο του Νικελίου (NiO), τον Αιματίτη (α-Fe2O3) και τον Μαγγεμίτη (γ-Fe2O3). Οι τρίτης τάξης οπτικές μη-γραμμικότητές τους διερευνήθηκαν με την πειραματική τεχνική Z-scan, της οποίας οι βασικές αρχές και οι πειραματικές λεπτομέρειες περιγράφονται στο δεύτερο κεφάλαιο της παρούσης. Ειδικότερα, δίδονται τεχνικές λεπτομέρειες για τις πειραματικές διατάξεις που χρησιμοποιήθηκαν, μελετώνται τα δύο κύρια φαινόμενα που αξιοποιεί η τεχνική, η μη-γραμμική διάθλαση και η μη-γραμμική απορρόφηση και γίνεται σύντομη μαθηματική περιγραφή και παράθεση της διαδικασίας ανάλυσης δεδομένων. Προηγείται των ανωτέρω μια περιεκτική θεωρητική θεμελίωση των βασικών αρχών της μη-γραμμικής οπτικής στο πρώτο κεφάλαιο. Αναπτύσσεται εκ των εξισώσεων Maxwell η μη-γραμμική κυματική εξίσωση. Περιγράφονται οι διεργασίες της γενέσεως δευτέρας αρμονικής, αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων και διαδοχικά τα βαρύνουσας σημασίας φαινόμενα της αυτό-εστίασης, αυτό-απoεστίασης, κορέσιμης και ανάστροφα κορέσιμης απορρόφησης. Παρατίθεται εν συνεχεία ένας κβαντομηχανικός ορισμός της τρίτης τάξης μη-γραμμικής επιδεκτικότητος και τέλος περιγράφονται αναλυτικά οι μηχανισμοί συνεισφοράς στον μη-γραμμικό δείκτη διάθλασης, από την παραμόρφωση του ηλεκτρονικού νέφους, ως την ηλεκτροσυστολή και τα θερμικά φαινόμενα. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται θεωρητικά στοιχεία για τις ιδιότητες των νανοσωματιδίων οξειδίων μετάλλων, την επίδραση του μεγέθους στις εγγενείς ιδιότητες της ύλης και παραδείγματα των πιο ευρέως διαδεδομένων εφαρμογών τους. Εν συντομία δίδονται οι τεχνικές σύνθεσης και οι ενδελεχείς χαρακτηρισμοί που εφαρμόστηκαν με σκοπό να φωτιστούν πλευρές της κρύφιας και ασαφούς φύσης των νανοσωματιδίων. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρατίθενται λεπτομερώς οι πειραματικές μετρήσεις, από τα φάσματα απορρόφησης που ελήφθησαν για κάθε παρασκευασθείσα συγκέντρωση διεσπαρμένων νανοσωματιδίων, ως τις γραφικές παραστάσεις που αντιστοιχούν στην τεχνική Z-scan. Συγκεντρώνονται σε πίνακες όλες οι μη-γραμμικές οπτικές παράμετροι που υπολογίστηκαν και λαμβάνει χώρα αναλυτική συζήτηση για τα αποτελέσματα. Τα αποτελέσματα ομαδοποιούνται, εξάγονται ενδιαφέροντα συμπεράσματα και γίνεται σύγκριση με τη βιβλιογραφία.
The present work, a master thesis, is a study of the nonlinear optical properties of five metal oxide nanoparticles, namely Cobalt monoxide (CoO), Manganese tetroxide (Mn3O4), Nickel monoxide (NiO), Hematite (α-Fe2O3) and Maghemite (γ-Fe2O3). Their third ordrer optical nonlinearities were investigated by the means of the Z-scan experimental technique. The basic principles and the experimental details of this technique are described in the second chapter of the present work. Moreover, technical details of the experimental setups used are presented, the two most important phaenomena involved in Z-scan, nonlinear absorption and nonlinear refraction are described, a brief mathematical description and the data analysis details are given. In the first chapter, a comprehensive theoretical basis of the principles of Non-linear Optics is firstly established. Initiating from Maxwell’s equations, the non-linear wave equation is developed step-by-step. The non-linear optical processes of second harmonic generation and sum/difference frequency generation are presented. Consecutively, the very important phaenomena of self-focusing, self-defocusing, saturable and reverse saturable absorption are described. In addition, a quantum-mechanic description of third order nonlinear susceptibility is briefly developed. At last, the contribution mechanisms to the nonlinear refractive index, from the deformation of the electron cloud to the electrostriction and the thermal effects are presented. In the third chapter, some theoretical information about the properties of metal oxides nanoparticles, along with the effects of their size to their behavior and their widely known applications are listed. In brief, the unique details of the synthesis and the assiduous characterization techniques, which were applied in order to illuminate the fringe nature of these nanoscale particles, are given. In the fourth chapter the experimental measurements are apposed in detail, from the UV-Vis-NIR spectra received for every one of the prepared dispersions, to the graphs built on the Z-scan experimental curves. All nonlinear optical parameters deduced, are summed into analytical tables and a lengthy discussion is taking place over all these results. Results are grouped and studied from different perspectives and a bibliographical comparison is done.

Η εφεύρεση του laser έδωσε την δυνατότητα μελέτης της αλληλεπίδρασης ύλης-φωτός σε υψηλές εντάσεις ακτινοβολίας με αποτέλεσμα να οδηγηθούμε σε φαινόμενα κατά τα οποία οι συνήθεις οπτικές παράμετροι δε μπορούν να θεωρηθούν σταθερές, αλλά εξαρτώνται από την ένταση. Σε αυτή την περίπτωση, η συχνότητα δύναται να μεταβληθεί κατά την διάδοση της ακτινοβολίας σε ένα μέσο, ενώ η αρχή της επαλληλίας κυμάτων παραβιάζεται. Ο κλάδος της μη γραμμικής οπτικής μελετά φαινόμενα αλληλεπίδρασης της ύλης με ακτινοβολίες υψηλής έντασης. Αυτά τα φαινόμενα προέρχονται από την μεταβολή των οπτικών ιδιοτήτων της ύλης λόγω ισχυρών ηλεκτρικών πεδίων και η μη γραμμικότητα αυτών των φαινόμενων έγκειται στο ότι η απόκριση του υλικού είναι μη γραμμική συνάρτηση της έντασης της ακτινοβολίας. Οι θεμελιώδεις φυσικές αρχές που διέπουν τα μη γραμμικά φαινόμενα έχουν πλέον πλήρως αποσαφηνιστεί και το ενδιαφέρον έχει πια στραφεί στην μελέτη των μη γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων διαφόρων υλικών. Σκοπός των ερευνών αυτών αποτελεί η εύρεση υλικών με μεγάλη μη γραμμική απόκριση, που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν σε διάφορες εφαρμογές στις οπτικές τηλεπικοινωνίες και στην οπτική επεξεργασία της πληροφορίας (π.χ. ως οπτικοί διακόπτες). Σε αυτήν την εργασία λοιπόν μέσω των τεχνικών ΟΚΕ και Z-Scan, ασχοληθήκαμε με την μελέτη της μη γραμμικής απόκρισης μιας σειράς παραγώγων φουλλερενίων, οι οπτικές ιδιότητες των οποίων είναι άμεσα συνδεδεμένες με την δομή τους και τον τρόπο σύνδεσης των επιμέρους ενώσεων από τις οποίες αποτελούνται.Στο πρώτο μέρος αυτής της εργασίας παρατίθενται οι βασικότερες έννοιες της μη γραμμικής οπτικής και περιγράφονται ορισμένα πολύ σημαντικά μη γραμμικά φαινόμενα. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται οι τεχνικές ΟΚΕ και Z-Scan οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν για την μελέτη των μη γραμμικών οπτικών παραμέτρων των δειγμάτων των παραγώγων των φουλλερενίων στο πειραματικό μέρος της εργασίας αυτής και στη συνέχεια αναλύεται ο τρόπος επεξεργασίας των πειραματικών δεδομένων. Τέλος στο τρίτο μέρος περιγράφονται τα πειράματα που διεξήχθησαν, τα αποτελέσματα καθώς και τα συμπεράσματα που προέκυψαν.
The development of lasers has been a turning point in the history of science. It gave birth to the new field of nonlinear optics (NLO), which is the study of the interaction between intense light radiation and matter. In this regime, the response of matter cannot be considered linearly dependent on the intensity of the applied field, giving rise to significant new types of behavior and a wide spectrum of novel phenomena. Nonlinear optics has now become a rapidly growing field. It is at the forefront of progress in the area of photonics and optoelectronics. This vast development necessitates new materials with large nonlinearities, suitable for NLO applications in the laser and the optical communication technologies (e.g. optical switches). In that context, fullerenes have justifiably attracted considerable interest due to their intriguing physical and chemical properties; the extensive delocalization of their charge, as well as, their small reorganization energy can give rise to fast and high nonlinear optical response. Inevitably, the interest of the scientific community has now turned to the study of sophisticatedly altered fullerene derivatives. Depending on their ability to act as excellent electron acceptors, fullerenes are one of the most prominent chromophores that have been incorporated into multi-component molecular structures. Novel synthetic methods that enable the chemical modification of pristine molecules with electron donating moieties have been developed. This chemical functionalization of fullerenes can result in strong donor-acceptor interactions and photo-induced electron transfer, invigorating their nonlinear optical response. Their potential usage, which can range from photonics and photovoltaics implementations to applications in the biomedical area, is the main driving force of all this research. In the present study, the measurements were performed via the Z-Scan and the Optical Kerr Effect (OKE) techniques. The third order nonlinear susceptibility χ(3) and the second order hyperpolarizability γ of the derivatives were determined employing 4 ns and 35 ps laser pulses respectively, at excitation wavelength of 532 nm. In that respect, the main aim of the current study is threefold. Firstly, to provide a complete overview of the third order nonlinear parameters determined. Secondly, to briefly discuss the linkage between the observed nonlinearities with the molecular structures of the examinant hybrids, as well as, the possible effect of photo-induced charge transfer. Lastly, to shed light upon the role of the different pulse duration in the measurements and the dominant contributing physical processes related. Consequently, the first part of this work provides some basic concepts of nonlinear optics and the physical processes related with it. Then reference will be made to the experimental techniques used, including the fundamental background of the data analysis procedure. Finally, the nonlinearities observed in the picosecond and nanosecond regime are presented.

Μια σχετικά νέα περιοχή έντονης ερευνητικής δραστηριότητας ασχολείται με τη μελέτη των οπτικών ιδιοτήτων κβαντικών συστημάτων (ατόμων/μορίων και ημιαγώγιμων κβαντικών τελειών) συζευγμένων με πλασμονικές (μεταλλικές) νανοδομές. Τα ισχυρά πεδία και ο έντονος περιορισμός του φωτός που σχετίζονται με τους πλασμονικούς συντονισμούς οδηγούν σε ισχυρή αλληλεπίδραση μεταξύ των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων και των κβαντικών συστημάτων κοντά σε πλασμονικές νανοδομές. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τα κβαντικά συστήματα μπορεί να επιτευχθεί εξωτερικός έλεγχος των οπτικών ιδιοτήτων της υβριδικής φωτονικής δομής. Στη διδακτορική διατριβή μελετάται θεωρητικά και υπολογιστικά η οπτική απόκριση συμπλεγμάτων κβαντικών συστημάτων με μεταλλικές νανοδομές, δίνοντας έμφαση σε μη-γραμμικές και κβαντικές οπτικές διαδικασίες. Στα συστήματα αυτά τα επιφανειακά πλασμόνια των μεταλλικών νανοδομών επηρεάζουν σημαντικά, τόσο το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που αλληλεπιδρούν τα κβαντικά συστήματα, όσο και το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής των κβαντικών συστημάτων. Μελετάμε απλές και πολύπλοκες μεταλλικές νανοδομές, όπως μια μεταλλική νανοσφαίρα και μια διδιάστατη διάταξη διηλεκτρικών νανοσφαιρών επικαλυμμένων με μέταλλο (μεταλλικοί νανοφλοιοί). Τα κβαντικά συστήματα είναι άτομα/μόρια και κυρίως ημιαγώγιμες κβαντικές τελείες και περιγράφονται από συστήματα δύο, τριών και τεσσάρων ενεργειακών επιπέδων. Δείχνουμε ότι, φαινόμενα όπως δημιουργία κβαντικής συμβολής στην αυθόρμητη εκπομπή, σύμφωνη ελεγχόμενη αναστροφή πληθυσμού, οπτική διαφάνεια και κέρδος χωρίς αναστροφή πληθυσμού, δημιουργία αργού φωτός, τροποποιημένη οπτική μη-γραμμικότητα Kerr και μίξη τεσσάρων κυμάτων, όπως και φαινόμενα ελέγχου μέσω φάσης, εμφανίζονται στα κβαντικά συστήματα και τροποποιούνται σημαντικά λόγω της ύπαρξης της μεταλλικής νανοδομής.
A relatively new area of active research involves the study of the optical properties of quantum systems (atoms/molecules and semiconductor quantum dots) coupled to plasmonic (metallic) nanostructures. The large fields and the strong light confinement associated with the plasmonic resonances enable strong interaction between the electromagnetic field and quantum systems near plasmonic nanostructures. In addition, using the quantum system one may achieve external control of the optical properties of the hybrid photonic structure. In this thesis we analyze both theoretically and computationally the optical response of hybrid nanosystems comprised of quantum emitters and plasmonic nanostructures. We put emphasis on the study of nonlinear and quantum optical processes. In these systems the spontaneous decay rate and the electromagnetic field that interacts with the quantum emitter is significantly modified by the surface plasmons of the plasmonic nanostructures. We study cases of both simple and more involved plasmonic nanostructures. An example of a simple plasmonic nanostructure considered in this thesis is a metallic nanosphere, while a more involved one is a two-dimensional array of metal-coated dielectric nanospheres. The quantum systems are atoms/molecules and especially semiconductor quantum dots and are described by two-level, three-level or four-level systems. We find that several coherent optical phenomena that happen in the quantum systems can be strongly influenced by the presence of the plasmonic nanostructure. Specifically, we show that effects such as quantum interference in spontaneous emission, controlled population inversion, optical transparency and gain without inversion, slow light, enhanced nonlinear optical Kerr effect and four-wave mixing as well as phase-dependent absorption and dispersion profiles can be created and modified.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζονται δύο υβριδικές διατάξεις με παρόμοια συνδεσμολογία, οι οποίες χρησιμοποιούνται για το φιλτράρισμα αρμονικών σε περιπτώσεις μη γραμμικών φορτίων. Συγκεκριμένα, περιγράφονται τα χαρακτηριστικά τους, τα κυκλώματα ελέγχου τους και αναλύονται λεπτομερώς τα αποτελέσματα τους στο φιλτράρισμα. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται στην έννοια των αρμονικών και γίνεται αναφορά στις διαταραχές που προκαλούν τα μη γραμμικά φορτία σ’ένα σύστημα ισχύος. Επιπλέον, παρουσιάζονται όλες οι κατηγορίες των υπαρχόντων αρμονικών φίλτρων και γίνονται οι απαραίτητες συγκρίσεις ανάμεσα στα δύο υβριδικά φίλτρα και στους συμβατικούς αντισταθμιστές. Τέλος, αναφέρονται τα διεθνή πρότυπα των αρμονικών και γίνεται λόγος για τις τιμές των φίλτρων στην αγορά.
In this thesis, two hybrid devices for harmonic filtering due to non linear loads are being examined.Particularly, their characteristics and their control systems are being described and their filtering performance is analysed in detail. Attention is paid to the term of Harmonics and the distortion that the non linear loads cause to power systems. Moreover, all kinds of harmonic filters are presented and compared. Finally, there is a short reference to the international standards of harmonics and the prices of those devices in the market.

Το αντικείμενο της διατριβής αφορά την ανάλυση και τον έλεγχο δυναμικών συστημάτων με περιορισμούς στο διάνυσμα της εισόδου ή/ και στις μεταβλητές κατάστασης. Τα θεωρητικά εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων προέρχονται από τη θεωρία ευστάθειας Lyapunov, την αρχή σύγκρισης συστημάτων και τη θεωρία συνόλων, και οδήγησαν στην εδραίωση συνθηκών ευστάθειας και την ανάπτυξη συστηματικών μεθόδων εύρεσης λύσης στο πρόβλημα ελέγχου συγκεκριμένων κατηγοριών δυναμικών συστημάτων με περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για την κατηγορία των γραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου, προτάθηκε μια νέα μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ευσταθειοποίησης συνόλου αρχικών συνθηκών και του υπολογισμού του μέγιστου θετικά αμετάβλητου ή αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου παρουσία περιορισμών στις εισόδους ή/και στις καταστάσεις. Τα αποτελέσματα επεκτάθηκαν και στην κατηγορία των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπικη αβεβαιότητα. Επίσης, μελετήθηκε η κατηγορία των αυτοανάδρομων μοντέλων κινούμενου μέσου όρου (ARMA models). Αρχικά εδραιώθηκαν συνθήκες που εγγυώνται ευστάθεια για ένα συγκεκριμένο σύνολο αρχικών συνθηκών παρουσία περιορισμών. Τα αποτελέσματα αυτά εφαρμόστηκαν στην κατηγορία των δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου (NCS), όπου υπολογίστηκε ένας κοινός γραμμικός νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για όλο το εύρος της καθυστέρησης της εισόδου. Τέλος, μελετήθηκε η κατηγορία των διγραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Αρχικά διατυπώθηκαν ικανές συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov για αυτήν την κατηγορία συστημάτων. Το πρόβλημα που μελετήθηκε είναι η ευσταθειοποίηση μιας συγκεκριμένης περιοχής του χώρου κατάστασης παρουσία περιορισμών στις εισόδους και τις καταστάσεις και προτάθηκε μια υποβέλτιστη λύση που οδηγεί στον υπολογισμό γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Όλα τα αποτελέσματα προκύπτουν από την επιλογή πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov οι οποίες οδηγούν στο χαρακτηρισμό πολυεδρικών εκτιμήσεων της περιοχής ελκτικότητας και θετικά αμετάβλητων συνόλων. Τα κυριότερα οφέλη της επιλογής τέτοιων συναρτήσεων είναι η μη συντηρητική εκτίμησης της περιοχή ευστάθειας και η εδράιωση συνθηκών που οδηγούν σε συστηματικές μεθόδους επίλυσης των προβλημάτων ανάλυσης και ελέγχου, η λύση των οποίων προκύπτει από τη λύση γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης.
This dissertation considers the problem of stability analysis and control of dynamical systems under constraints in the input and/or state vector. The theoretical tools used arise from Lyapunov stability theory, comparison systems theory and set theoretic methods and lead to the determination of stability conditions and development of systematic methods that solve the control problem of constrained systems of particular type. In specific, for linear discrete or continuous time systems, a novel method that leads to the solution of the initial condition set stabilization problem as well as the maximal controlled invariant set computation problem is presented. These results have been extended for the case of linear systems with polytopic uncertainty. Also, the category of auto regressive moving average (ARMA) models is investigated. First, conditions that guarantee stability for a preassigned initial conditions set for constrained ARMA models are established. These results are applied to the category of networked control systems (NCS), were a single linear state feedback control law is computed for the whole range of the input delay. Finally, the category of bilinear discrete-time or continuous-time systems is investigated. Initially, sufficient conditions which guarantee existence of polyhedral Lyapunov functions are presented. The problem studied here is the stabilization of an initial condition set in the presence of input and state constraints. The solution proposed is suboptimal and leads to the determination of a linear state feedback control law. The choice of Lyapunov functions leads to the determination of a polyhedral approximation of the domain of attraction as well as polyhedral positively invariant sets. The main benefits of choosing this type of functions is the nonconservative estimation of the domain of attraction and the establishment of stability conditions that lead to systematic control design methods through the solution of linear programming problems.

Δύο από τα πιο γνωστά μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα κατά την ακτινοβόληση επιφανειών χρυσού με ισχυρούς παλμούς laser είναι η γένεση πολλαπλών αρμονικών και η πολυφωτονική φωτοηλεκτρική εκπομπή. Οι διεργασίες αυτές αποτελούν το αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Κατ' αρχήν η προσπάθεια επικεντρώνεται στην ανάπτυξη ρεαλιστικών μοντέλων περιγραφής των συγκεκριμένων φαινομένων. Εν συνεχεία πραγματοποιούνται αριθμητικοί υπολογισμοί με στόχο την αναπαραγωγή πρόσφατων πειραματικών δεδομένων μέσω της οποίας προτείνονται νέες ιδέες αξιοποίησης των εν λόγω διεργασιών.
Multiple harmonic generation and multiphoton photoelecton emission are the most important nonlinear optical phenomena that take place when a metal surface is illuminated with intense laser pulses. The main objective of this work is the development of realistic theoretical models for these processes. Numerical calculations for several pulse widths are also presented. Through these calculations the validity of the models is checked and new experimental perspectives are proposed.

Με σκοπό την επίλυση προβλημάτων υπολογισμού των χαρακτηριστικών μεγεθών του μαγματικού θύλακα του ηφαιστείου Σαντορίνης με δεδομένα που βασίζονταν σε γεωδαιτικές μετρήσεις, αναπτύχθηκε αριθμητική-τοπολογική μέθοδος επίλυσης (υπερστατικών) συστημάτων πολύπλοκων και μη γραμμικών εξισώσεων με πλεονάζουσες παρατηρήσεις. Η συνόρθωση (adjustment) των συστημάτων αυτών δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί με βάση συμβατικές αλγεβρικές μεθόδους, όπως αυτή των Ελαχίστων Τετραγώνων. Επιπλέον, οι αριθμητικές τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί οδηγούν σε ατελείς λύσεις, πολλές φορές εγκλωβισμένες σε τοπικά ελάχιστα, με υψηλό βαθμό συσχέτισης μεταξύ συγκεκριμένων παραμέτρων και σε λύσεις μη ελεγχόμενες, όσον αφορά την αβεβαιότητα της εκτίμησης των παραμέτρων. Με στόχο να ξεπεραστούν τα προβλήματα αυτά, αναπτύσσεται μια εναλλακτική μέθοδος επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων (συνόρθωση). Η μέθοδος αυτή, βασίζεται σε αριθμητική – τοπολογική προσέγγιση και αναζήτηση στοιχείων πλέγματος Ν διαστάσεων, και είναι εμπνευσμένη από την μέθοδο εντοπισμού της θέσης ενός πλοίου με την βοήθεια των φάρων και άλλες χαμηλής ακρίβειας μεθόδους που χρησιμοποιούνται σε 2-D προσδιορισμό θέσης με βάση WiFi κλπ. Η διαδικασία περιλαμβάνει δύο στάδια. Αρχικά υπολογίζονται οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων που επαληθεύουν την κάθε εξίσωση του συστήματος και στη συνέχεια προκύπτει η τελική λύση ως η κοινή τομή αυτών. Η αποτελεσματικότητα αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι έχει την δυνατότητα να συνυπολογίζει τα σφάλματα των μετρήσεων και να βελτιστοποιεί την λύση με βάση αυτά, να επιτρέπει τον έλεγχο της ευαισθησίας της λύσης και να εξασφαλίζει πλήρως τον υπολογισμό του σχετικού μητρώου μεταβλητότητας – συμμεταβλητότητας των παραμέτρων.
At the present study a numerical-topological methology of solving systems of highly non-linear, redundant equations, deriving from observations of certain geophysical processes and geodetic data was examined. The motivation of developing this technique was to estimate the characteristic values of the magma source of the Santorini volcano during a slow-inflation episode. The adjustment of such systems cannot be based on conventional least-squares techniques, and is based on various numerical inversion techniques. Still these techniques lead to solutions trapped in local minima, to correlated estimates and to solutions with poor error control. To overcome these problems, a numerical-topological, grid-search based technique in the RN space is proposed, a generalization and refinement of techniques used in some cases of low-accuracy 2-D positioning using Wi-fi etc. The basic concept is to define a grid in RN space which contains the true solution. In this grid the set of the estimated solution is mapped as the intersection of grid spaces of each observation. The efficiency of the proposed method is that it can incorporate weights of observations and optimize the solution based on them, and also it can compute variance-covariance matrices.

Στην παρούσα εργασία διερευνάται µια νέα φιλοσοφία αντισεισµικού σχεδιασµού θεµελίων, η οποία βασίζεται στην αξιοποίηση της µη - γραµµικής συµπεριφοράς του εδάφους µέσω διαρροής της θεµελίωσης. Για αυτό το σκοπό δηµιουργήθηκαν στο πρόγραµµα SAP2000 µε επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία, προσοµοιώµατα τοιχώµατος - θεµελίου στη βάση των οποίων δόθηκαν χρονοΐστορίες σεισµών µε στόχο τη µελέτη της ανελαστικής απόκρισής τους. Κατά την διάρκεια της παρούσας διατριβής αναπτύχθηκε µία µεθοδολογία αποµείωσης της αντοχής του προσοµοιώµατος και πραγµατοποιήθηκε πλήθος ανελαστικών αναλύσεων. Οι αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν έχουν παραµετρικό χαρακτήρα και οδηγούν στην εξαγωγή χρήσιµων για την µελέτη της ανελαστικής απόκρισης θεµελίων, διαγραµµάτων και συµπερασµάτων.
--

Το κύριο στοιχείο της διατριβής είναι οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι. Οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι είναι υβριδικά σχήματα που συνδυάζουν τους Εξελιτκικούς Αλγορίθμους με μεθόδους τοπικής αναζήτησης. Οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι συγκρίθηκαν με τους Εξελικτικούς Αλγορίθμους σε πληθώρα προβλημάτων ολικής βελτιστοποίησης και είχαν καλύτερα αποτελέσματα. Στο δεύτερο μέρος μελετήθηκαν προβλήματα μη γραμμικής δυναμικής. Αυτά ήταν η εκτίμηση της περιοχής ευστάθειας διατηρητικών απεικονίσεων, η ανίχνευση συντονισμών και ο υπολογισμός περιοδικών τροχιών. Τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά.
The main objective of the thesis was the study of Evolutionary Algorithms. At the first part, Memetic Algorithms were introduced. Memetic Algorithms are hybrid schemes that combine Evolutionary Algorithms and local search methods. Memetic Algorithms were compared to Evolutionary Algorithms in various problems of global optimization and they had better performance. At the second part, problems from nonlinear dynamics were studied. These were the estimation of the stability region of conservative maps, the detection of resonances and the computation of periodic orbits. The results were satisfactory.

Στην παρούσα εργασία ασχολούμαστε με μεθόδους κατασκευής λύσεων για μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξώσεις (ΜΔΕ) εξέλιξης, δηλαδή εξισώσεις που περιγράφουν μια φυσική κατάσταση που εξελίσσεται χρονικά, και διακρίνονται σε γραμμικές και μη γραμμικές. Για την επίλυση των γραμμικών ΜΔΕ εξέλιξης υπάρχει η μέθοδος του μετασχηματισμού Fourier. Για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης δεν υπάρχει κάποια γενική μέθοδος κατασκευής λύσεων. Πολλές απ’ αυτές, έχουν την ιδιότητα να επιδέχονται ειδικές λύσεις που ονομάζονται σολιτόνια. Βασικό χαρακτηριστικό των σολιτονίων είναι η «ελαστική» αλληλεπίδρασή τους. Πρώτοι οι Zabusky και Kruskal ανακάλυψαν το 1965 ότι η εξίσωση των Korteweg και De Vries (KdV) επιδέχεται σολιτονική λύση. Σχεδόν αμέσως οι Gardner, Greene, Kruskal και Miura [1967,1974] βρήκαν μια μέθοδο κατασκευής σολιτονικής λύσης για την εξίσωση KdV. Η μέθοδος βασίζεται στην λογική της σκέδασης και της αντίστροφης σκέδασης. Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης, λειτουργεί ανάλογα με αυτή του μετασχηματισμού Fourier για τις γραμμικές, και αποτελεί το κύριο μέρος αυτής της εργασίας. Ειδικότερα: Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης σε μία χωρική διάσταση, καθώς και λύσεις αυτών. Στη συνέχεια, αναζητούμε σολιτονικές λύσεις για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης και κλείνουμε με ένα παράδειγμα μη γραμμικής ΜΔΕ εξέλιξης στις δύο χωρικές διαστάσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο, δείχνουμε πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις προβλημάτων αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, με χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στην κατασκευή λύσεων για μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης. Στο τρίτο κεφάλαιο, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στο ΠΑΤ για την εξίσωση KdV. Για κατάλληλη επιλογή της αρχικής συνθήκης διαπιστώνουμε ότι η KdV επιδέχεται σολιτονικές λύσεις. Συγκεκριμένα, επιλέγουμε αρχικές συνθήκες που εξελίσσονται χρονικά σε σολιτονική, 2-σολιτονική και 3-σολιτονική λύση. Τέλος, παρουσιάζουμε ένα πρόγραμμα σε περιβάλλον Mathematica που κατασκευάζει πολυσολιτονική λύση για την εξίσωση KdV. Το τέταρτο κεφάλαιο αφιερώνεται στα ζεύγη Lax, τα οποία είναι ζεύγη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Αυτό που τα χαρακτηρίζει είναι ότι, η συνθήκη συμβατότητας αυτών είναι η εξίσωση εξέλιξης που μας ενδιαφέρει. Σε αυτό βασίζεται και η μέθοδος των Ablowitz, Kaup, Newell και Segur (AKNS), για την κατασκευή λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Εφαρμόζουμε την μέθοδο AKNS στην εξίσωση KdV για να κατασκευάσουμε σολιτονικές λύσεις. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με την αναδιατύπωση ενός ΠΑΤ ως πρόβλημα Riemann-Hilbert. Επιπλέον, δείχνουμε πώς συνδέεται ένα πρόβλημα αντίστροφης σκέδασης με ένα πρόβλημα Riemann-Hilbert, θεωρώντας την εξίσωση KdV. Τέλος, αναφερόμαστε στην σύνδεση προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών με το πρόβλημα Riemann-Hilbert και κάνουμε μια επισκόπιση στη σύγχρονη βιβλιογραφία και παρουσιάζουμε πρόσφατα αποτελέσματα σε αυτή την κατεύθυνση.
In this master thesis our subject is to construct solutions for nolinear partial differential evolution equations (PDEs), which are equations that describe a physical model that evolves in time, and can be either linear or nonlinear. For solving linear PDEs we use the Fourier Transform (FT), while for nonlinear PDEs a general method for constructing solutions does not exist. Many of them admit special kind of solutions that are called solitons. A basic property of solitons, is that they interact in an elastic way. In 1965, Zabusky and Kruskal were the first to discover that the Korteweg & de Vries (KdV) equation admits a soliton solution. Straightforward Gardner, Greene, Kruskal and Miura [1967, 1974] found a method to contruct a soliton solution for the KdV equation. This method is based on the Inverse Scattering Transform (IST). The IST is the nonlinear FT- analogue, and a big part of our work is devoted to this method. Particularly: In the first chapter, we introduce some examples of linear evolution equations in one spatial dimension, and their solutions. We then construct soliton solutions for nonlinear evolution PDEs and an example in 2 spatial dimensions is considered. The second chapter deals with Initial Value Problems (IVP) and their solution construction via the FT. We also apply the IST to construct solutions for nonlinear evolution PDEs. In the third chapter, we consider KdV as an example of an evolution equation that is integrable under the IST, by the knowledge of the initial distribution of the solution. For a specific choise of the initial condition we establish that KdV equation admits soliton solutions. Especially, we choose initial conditions that evolve in time to 1-soliton, 2-soliton and multi-soliton solution. Finally, we present a program with Mathematica that constructs multi-soliton solution for the KdV. The lax pair for a nonlinear evolution equation is introduced in the fourth chapter. Lax pairs are pairs of linear PDEs and, often, their compatibility condition is the nonlinear equation we study. The method produced by Ablowitz, Kaup, Newell and Segur (AKNS), for constructing solutions for nonlinear evolution equations, is based on Lax pairs. We apply this method to KdV. The last chapter refers to Riemann Hilbert (RH) problems and their connection with the Inverse Scattering problem. We use KdV to show this connection. Finally, we mention how an Initial and Boundary Value Problem (IBVP) and an RH problem are connected. A quick review of recent results is considered.

Στην εργασία αυτή, μελετάμε, τόσο με αναλυτικό όσο και με υπολογιστικό τρόπο, γραμμικά και μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα σε συστήματα ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών GaAs/AlGaAs δύο ενεργειακών υποζωνών, όπου επάγονται διαϋποζωνικές μεταβάσεις, υπό την επίδραση ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μια θεωρητική περιγραφή των ημιαγώγιμων ετεροεπαφών. Ακολουθούν βασικά στοιχεία της στατιστικής και κβαντικής μηχανικής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, εξάγονται οι γενικευμένες εξισώσεις Bloch για τις διαϋποζωνικές μεταβάσεις σε ημιαγώγιμα κβαντικά πηγάδια, στις οποίες ενυπάρχουν όροι που υπεισάγουν τις μη αμελητέες, λόγω εμπλουτισμού, αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν τη βάση της μελέτης που ακολουθεί. Στα δύο επόμενα κεφάλαια, μελετούμε την αλληλεπίδραση μιας δομής διπλών συζευγμένων ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών με ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μεταβλητής γωνιακής συχνότητας, καταλήγουμε σε αναλυτικές εκφράσεις για τη οπτική επιδεκτικότητα πρώτης, τρίτης και πέμπτης τάξεως και αναλύουμε τα φάσματα διαφόρων οπτικών φαινομένων, ως προς τη γωνιακή συχνότητα του εξωτερικού πεδίου, για διάφορες τιμές της επιφανειακής ηλεκτρονιακής πυκνότητας της κβαντικής δομής. Επιπλέον, προσδιορίζουμε τις περιοχές όπου λαμβάνουν τιμή οι διάφορες παράμετροι, ούτος ώστε στο σύστημά μας να αναδυθεί η οπτική διστάθεια. Στα τρία τελευταία κεφάλαια, θεωρούμε ότι η ημιαγώγιμη κβαντική δομή αλληλεπιδρά ταυτόχρονα με ένα ισχυρό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (πεδίο άντλησης) καθορισμένης γωνιακής συχνότητας και ένα ασθενές (πεδίο ανίχνευσης) μεταβλητής συχνότητας και μελετούμε τα φάσματα γραμμικών και μη γραμμικών φαινομένων του πεδίου ανίχνευσης (μίξη τεσσάρων κυμάτων, απορρόφηση, διασπορά, μη γραμμικό οπτικό φαινόμενο Kerr), σε στάσιμη κατάσταση, καθώς και τη χρονική εξέλιξη αυτών. Περιγράφουμε τα φαινόμενα τόσο με αναλυτικές εκφράσεις που εξάγουμε, όσο και με την αριθμητική επίλυση των μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων του πίνακα πυκνότητας που διέπουν τη δυναμική. Στη μελέτη των φαινομένων αυτών, εξετάζεται η επίδραση της επιφανειακής ηλεκτρονιακής πυκνότητας της κβαντικής δομής στις οπτικές ιδιότητες των κβαντικών πηγαδιών.
In this PhD thesis, we study analytically and numerically linear and nonlinear optical phenomena in intersubband transitions of a symmetric GaAs/AlGaAs double quantum well structure, with two energy subbands. In the first chapter, a theoretical description of the semiconductor heterostructures is presented. This is accompanied with a brief analysis of the basic elements of statistical and quantum mechanics follows, as far as this kind of structures is concerned. In the second chapter, we derive the generalised optical Bloch equations in intersubband transitions of semiconductor quantum well structures, which constitute the basis of the analysis that follows. These equations contain terms which owe their presence to the electron-electron interactions, because the quantum structure is doped with electron carriers. In the two following chapters, we consider the interaction of intersubband transitions of a double quantum well structure with an electromagnetic field of varying frequency, we derive analytical expressions for the first, third and fifth order optical susceptibility and, at last, we analyze the corresponding spectra, with respect to the frequency of the external field, for different values of electron sheet density of the structure. Furthermore, we identify the areas of values of the parameters used, in which the phenomenon of optical bistability arises. In the last three chapters, we consider the two quantum well subbands to be coupled to a strong pump electromagnetic field with fixed frequency and a weak probe electromagnetic field of varying frequency and study the spectra of various linear and nonlinear optical phenomena, which are due to the existence of the probe field. More specifically, we examine the spectra of four-wave mixing, absorption, dispersion and the nonlinear optical Kerr effect of the probe field as they evolve in time and in the steady state. Both analytical expressions are derived and numerical results are presented by solving the nonlinear differential density matrix equations that govern the dynamics of the system. In the study of the different kinds of optical phenomena, the influence of the electron sheet density on the spectral shapes is carefully examined.

Ο έλεγχος μη γραμμικών δειγματοληπτικών συστημάτων αποτελεί μια σημαντική πρόκληση, στην ανάλυση και σχεδιασμό ελεγκτών συστημάτων, με μεγάλη πρακτική εφαρμογή. Σε αυτή την μελέτη παρουσιάζουμε ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία ανάλυσης και σχεδιασμού, για μια γενική κατηγορία μη γραμικών δειγματοληπτικών συστημάτων (nonlinear sampled-data control). Παρουσιάζεται μια γενίκευση και ενοποίηση των γνωστών αποτελεσμάτων σχεδίασης εξομοίωσης (Emulation Design), διαθέσιμων στην βιβλιογραφία, θεωρώντας την διατήρηση των γενικευμένων ανισώσεων διάχυσης (Dissipation inequalities) υπό δειγματοληψίας, στο πλαίσιο του σχεδιασμού εξομοιωτών ελεγκτών δυναμικής κατάστασης ανάδρασης (dynamic state feedback controllers). Στην συνέχεια παρουσιάζονται δύο παραδείγματα μελέτης εφαρμογής των αποτελεσμάτων της γενικής μελέτης σχετικά με την διατήρηση των ιδιοτήτων διαχυτικότητας (dissipativity properties), ευστάθειας (stability), εισόδου-σε-κατάσταση σταθερότητας (input-to-state stability) και παθητικότητας (passivity), όταν ο ελεγκτής διακριτού χρόνου ενός συστήματος σχεδιάζεται με εξομοίωση.
The current diploma thesis is about a general and unified framework of a sampled-data nonlinear system using the emulation design.

H Διπλωματική Εργασία αυτή επικεντρώνεται στο θέμα της Υπερηχητικής Απεικόνισης του ανθρώπινού σώματος με την παρατήρηση της δεύτερης αρμονικής που πηγάζει από την μη-γραμμική αλληλεπίδραση των υπερήχων με τους ιστούς που φωτίζονται από ένα παλμικό σήμα με φέρουσα συχνότητα εκπομπής f0. Η επεξεργασία των σημάτων λήψης στην ζώνη γύρω από την συχνότητα 2f0 και η απεικόνισή τους με συμβατικό τρόπο (b-mode) επιτρέπει την επίτευξη καλλίτερης χωρητικής διακριτικής ικανότητας. Η μελέτη ακολουθεί δύο παράλληλες μεθόδους: α) την κυματική ανάλυση του φαινομένου σκέδασης από μια μη γραμμική σφαίρα των υπερηχητικών κυμάτων και β) την εκτέλεση πειραματικών μετρήσεων με χρήση συστήματος υπερηχογράφου που έχει "ανοικτή" αρχιτεκτονική. Τόσο τα θεωρητικά όσο και τα πειραματικά αποτελέσματα επιβεβαιώνουν την χρησιμότητα της μεθόδου σαν μια εναλλακτική ιατρική απεικονιστική τεχνική.
The present Diploma Thesis is focused on the study of using 2nd harmonic ultrasound imaging of tissues as an alternate imaging technology in biomedical engineering.The principle of using of 2nd harmonic imaging is based on the illumination of a tissue medium with a frequency of f0 and then receive and prosess the signals with the same transducer at 2fo frequency. In order to derive specific conclusions this imaging problem is treated both theoreticaly and experimentally in the framework of the present Diploma Thesis.

Οι τηλεπικοινωνίες με τη χρήση δορυφορικών καναλιών αναμένεται να διαδραματίσουν σημαντικό ρόλο στα μελλοντικά συστήματα επικοινωνιών τρίτης και τέταρτης γενιάς (3G και 4G). Ωστόσο ο δρόμος για την ευρεία χρησιμοποίηση δορυφορικών συστημάτων θα πρέπει να περάσει μέσα από τη μελέτη και αντιμετώπιση ορισμένων προβλημάτων και περιορισμών που εμφανίζονται σε αυτά. Ένα τέτοιο βασικό πρόβλημα είναι η μη γραμμική σχέση εισόδου – εξόδου του δορυφορικού καναλιού, που κατά κύριο λόγο οφείλεται στη χρήση ενισχυτών χαμηλής κατανάλωσης ισχύος στο δορυφόρο. Επιπλέον, η ανάγκη για μετάδοση με υψηλούς ρυθμούς θέτει περαιτέρω περιορισμούς στην αντιμετώπιση των παραμορφώσεων που υπεισέρχονται στο εκπεμπόμενο σήμα κατά τη μετάδοσή του στον ασύρματο τηλεπικοινωνιακό δίαυλο. Για να γίνει λοιπόν δυνατή η αποτελεσματική αντιμετώπιση των παραμορφώσεων αυτών θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικές τεχνικές ισοστάθμισης και αποκωδικοποίησης στο δέκτη. Αρχικά αυτά τα δυο στάδια στο δέκτη λειτουργούσαν ανεξάρτητα και δεν υπήρχε ανταλλαγή πληροφορίας μεταξύ τους για να επιτευχθεί καλύτερη απόδοση. Στη συνέχεια για να γίνει πραγματικότητα αυτή η βελτίωση της απόδοσης δημιουργήθηκε η Turbo ισοστάθμιση στην οποία υπάρχει επαναληπτική αλληλεπίδραση των βαθμίδων του ισοσταθμιστή και του αποκωδικοποιητή στο δέκτη του συστήματος. Η αλληλεπίδραση αυτή επιτυγχάνεται με την ανταλλαγή soft πληροφορίας. Το ερώτημα που δημιουργείται αφού έχουμε καταλήξει στην δομή του δέκτη είναι με πιο τρόπο θα υλοποιηθούν ο ισοσταθμιστής και ο αποκωδικοποιητής. Η βέλτιστη λύση θα ήταν να χρησιμοποιηθεί για τα δυο αυτά στάδια του δέκτη ο αλγόριθμος του MAP (Maximum A-posteriori Probability). Λόγω όμως της σημαντικής υπολογιστικής πολυπλοκότητας (και σαν συνέπεια και του κόστους σε χρόνο) αυτής της μεθόδου είμαστε αναγκασμένοι να καταφύγουμε σε εναλλακτικές λύσεις. Η λύση λοιπόν την οποία αρχικά μελετούμε είναι αυτή της χρήσης ενός SIC (Soft Interference Canceller) στο στάδιο του ισοσταθμιστή ο οποίος προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (MMSE) μεταξύ των δεδομένων που μεταδόθηκαν και των εκτιμήσεων του canceller χρησιμοποιώντας γραμμικά φίλτρα προκειμένου να προβεί στην εκτίμηση των τελευταίων. Παρόλα αυτά λόγω των πολύ ισχυρών παραμορφώσεων που εισάγονται από το δορυφορικό μας κανάλι η μέθοδος δεν είναι τόσο αποτελεσματική όσο θα θέλαμε. Γι’ αυτό το λόγο καταφεύγουμε στην υλοποίηση ενός δεύτερου SIC παρόμοιας φιλοσοφίας λειτουργίας με τον προηγούμενο, ο οποίος όμως μπορεί να αντιμετωπίσει περισσότερο αποτελεσματικά τις μη γραμμικότητες (NonLinearities) του δορυφορικού καναλιού. Όλες οι παραπάνω τεχνικές οι οποίες αναφέρθηκαν έχουν ως στόχο να μπορέσουν να κάνουν δυνατή, όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστα, τη μετάδοση πληροφορίας μέσω των μη γραμμικών δορυφορικών καναλιών. Για να μπορέσουμε όμως να διερευνήσουμε το κατά πόσο είναι τελικά αυτό εφικτό θα πρέπει να μοντελοποιήσουμε με κάποιο τρόπο αυτά τα κανάλια. Βέβαια επειδή η συμπεριφορά τους διαφέρει δραματικά σε σχέση με τα συνηθισμένα κανάλια που συναντάμε χρησιμοποιούμε για την προσομοίωση τους τις σειρές Volterra. Τέλος μέσω κατάλληλων αριθμητικών προσομοιώσεων οι τεχνικές που αναφέρθηκαν παραπάνω αξιολογούνται και συγκρίνονται με βάση κριτήρια επίδοσης, όπως η πιθανότητα σφάλματος ανίχνευσης.
-

Στη παρούσα διπλωματική μοντελοποιείται το σύστημα σφαίρας ράβδου. Εξάγεται το μοντέλο στο χώρο κατάστασης και υλοποιείται γραμμικοποίηση εισόδου κατάστασης και εισόδου εξόδου. Βρίσκονται προσεγγιστικοί νόμοι ελέγχου για το μη γραμμικό σύστημακαθώς παρουσιάζει ιδιομορφία.
This diploma thesis includes the analysis of the nonlinear system of a ball-beam and the design of different control laws. Initially, we present the physical system and we derive the mathematical model from the lagrange equation.The nonlinear system fails to be stable with the classic linear control laws and we try to stabilize it by input-state and inputoutput linearization. The ball beam system fails to be controlled by full state linearization and we proposed some approximations for inputoutput linearization. We describe in detail how we can derive the approximate control laws and through simulation we are capable of choosing the best suitable control law. We propose a switch-controller for the nonlinear system which is vital for systems with undefined relative degree and are not input state linearizable.

Η συνεισφορά της παρούσας διατριβής επικεντρώνεται στην ανάπτυξη και στη Μαθηματική θεμελίωση νέων μεθόδων συζυγών κλίσεων για βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς και στη μελέτη νέων μεθόδων εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων και εφαρμογών τους. Αναπτύσσουμε δύο νέες μεθόδους βελτιστοποίησης, οι οποίες ανήκουν στην κλάση των μεθόδων συζυγών κλίσεων. Οι νέες μέθοδοι βασίζονται σε νέες εξισώσεις της τέμνουσας με ισχυρά θεωρητικά πλεονεκτήματα, όπως η προσέγγιση με μεγαλύτερη ακρίβεια της επιφάνεια της αντικειμενικής συνάρτησης. Επιπλέον, μία σημαντική ιδιότητα και των δύο προτεινόμενων μεθόδων είναι ότι εγγυώνται επαρκή μείωση ανεξάρτητα από την ακρίβεια της γραμμικής αναζήτησης, αποφεύγοντας τις συχνά αναποτελεσματικές επανεκκινήσεις. Επίσης, αποδείξαμε την ολική σύγκλιση των προτεινόμενων μεθόδων για μη κυρτές συναρτήσεις. Με βάση τα αριθμητικά μας αποτελέσματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι νέες μέθοδοι έχουν πολύ καλή υπολογιστική αποτελεσματικότητα, όπως και καλή ταχύτητα επίλυσης των προβλημάτων, υπερτερώντας σημαντικά των κλασικών μεθόδων συζυγών κλίσεων. Το δεύτερο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στην ανάπτυξη και στη μελέτη νέων μεθόδων εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων. Προτείνουμε νέες μεθόδους, οι οποίες διατηρούν τα πλεονεκτήματα των κλασικών μεθόδων συζυγών κλίσεων και εξασφαλίζουν τη δημιουργία κατευθύνσεων μείωσης αποφεύγοντας τις συχνά αναποτελεσματικές επανεκκινήσεις. Επιπλέον, αποδείξαμε ότι οι προτεινόμενες μέθοδοι συγκλίνουν ολικά για μη κυρτές συναρτήσεις. Τα αριθμητικά αποτελέσματα επαληθεύουν ότι οι προτεινόμενες μέθοδοι παρέχουν γρήγορη, σταθερότερη και πιο αξιόπιστη σύγκλιση, υπερτερώντας των κλασικών μεθόδων εκπαίδευσης. Η παρουσίαση του ερευνητικού μέρους της διατριβής ολοκληρώνεται με μία νέα μέθοδο εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων, η οποία βασίζεται σε μία καμπυλόγραμμη αναζήτηση. Η μέθοδος χρησιμοποιεί τη BFGS ενημέρωση ελάχιστης μνήμης για τον υπολογισμό των κατευθύνσεων μείωσης, η οποία αντλεί πληροφορία από την ιδιοσύνθεση του προσεγγιστικού Eσσιανού πίνακα, αποφεύγοντας οποιαδήποτε αποθήκευση ή παραγοντοποίηση πίνακα, έτσι ώστε η μέθοδος να μπορεί να εφαρμοστεί για την εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων μεγάλης κλίμακας. Ο αλγόριθμος εφαρμόζεται σε προβλήματα από το πεδίο της τεχνητής νοημοσύνης και της βιοπληροφορικής καταγράφοντας πολύ καλά αποτελέσματα. Επίσης, με σκοπό την αύξηση της ικανότητας γενίκευσης των εκπαιδευόμενων δικτύων διερευνήσαμε πειραματικά και αξιολογήσαμε την εφαρμογή τεχνικών μείωσης της διάστασης δεδομένων στην απόδοση της γενίκευσης των τεχνητών νευρωνικών δικτύων σε μεγάλης κλίμακας δεδομένα βιοϊατρικής.
The contribution of this thesis focuses on the development and the Mathematical foundation of new conjugate gradient methods for unconstrained optimization and on the study of new neural network training methods and their applications. We propose two new conjugate gradient methods for unconstrained optimization. The proposed methods are based on new secant equations with strong theoretical advantages i.e. they approximate the surface of the objective function with higher accuracy. Moreover, they have the attractive property of ensuring sufficient descent independent of the accuracy of the line search, avoiding thereby the usual inefficient restarts. Further, we have established the global convergence of the proposed methods for general functions under mild conditions. Based on our numerical results we conclude that our proposed methods outperform classical conjugate gradient methods in both efficiency and robustness. The second part of the thesis is devoted on the study and development of new neural network training algorithms. More specifically, we propose some new training methods which preserve the advantages of classical conjugate gradient methods while simultaneously ensure sufficient descent using any line search, avoiding thereby the usual inefficient restarts. Moreover, we have established the global convergence of our proposed methods for general functions. Encouraging numerical experiments on famous benchmarks verify that the presented methods provide fast, stable and reliable convergence, outperforming classical training methods. Finally, the presentation of the research work of this dissertation is fulfilled with the presentation of a new curvilinear algorithm for training large neural networks which is based on the analysis of the eigenstructure of the memoryless BFGS matrices. The proposed method preserves the strong convergence properties provided by the quasi-Newton direction while simultaneously it exploits the nonconvexity of the error surface through the computation of the negative curvature direction without using any storage and matrix factorization. Our numerical experiments have shown that the proposed method outperforms other popular training methods on famous benchmarks. Furthermore, for improving the generalization capability of trained ANNs, we explore the incorporation of several dimensionality reduction techniques as a pre-processing step. To this end, we have experimentally evaluated the application of dimensional reduction techniques for increasing the generalization capability of neural network in large biomedical datasets.

Το ζήτημα της σταδιακής κατάρρευσης ήρθε στο προσκήνιο με την κατάρρευση του κτηρίου Ronan Point Apartment Building στο Ηνωμένο Βασίλειο, το 1968. Με αφορμή το γεγονός αυτό, σχεδόν το σύνολο των κανονισμών οπλισμένου σκυροδέματος ανά τον κόσμο απέκτησε διατάξεις σχετικά με την προστασία κατασκευών από σταδιακή κατάρρευση. Στα πλαίσια αυτού, εξετάζονται δύο διατάξεις πλακολωρίδας δύο ανοιγμάτων υπό το σενάριο της κατάρρευσης της ακραίας στήριξης. Η πρώτη διάταξη είναι οπλισμένη κατά τα συνήθη πρότυπα, ενώ η δεύτερη περιλαμβάνει επιπλέον οπλισμό στο άνω πέλμα των ανοιγμάτων. Οι αναλύσεις διεξάγονται σε περιβάλλον πεπερασμένων στοιχείων ANSYS και συγκρίνονται με αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα. Συμπεραίνεται ότι οι συνήθεις πλάκες δεν έχουν την δυνατότητα ανάπτυξης μεγάλων μετατοπίσεων και ότι η προσθήκη οπλισμού στο άνω πέλμα των ανοιγμάτων των πλακών προσδίδει σε αυτές την απαραίτητη πλαστιμότητα, ώστε να μπορούν να αναπτύξουν μεγάλεις μετακινήσεις και να αναπτύσσονται δυνάμεις ελκυστήρα.
The issue of progressive collapse came to the foreground with the collapse of the Ronan Point Building in the UK, in 1968. In response to this event, most reinforced concrete codes around the work integrated regulations in regard to protection of buildings against progressive collapse. Two two-span slab assemblies are analysed for the collapse of the outer support. The first assembly is reinforce according to the common practice, while the second has added reinforced to the top end of the spans. The analyses are performed with ANSYS and compared with experimental results. It is concluded that commonly reinforced slabs do not have the ability to withstand large deflections. Additional top end reinforcement gives slabs the necessary plasticity in order for large deflections to be developed and tension (tie) forces to build up in the section.

Το θέμα της διπλωματικής μεταπτυχιακής εργασίας είναι οι συνήθεις μη γραμμικότητες και οι εφαρμογές τους. Σχεδιάζονται, εξομοιώνονται και υλοποιούνται στην πράξη απλοί και σύνθετοι μη γραμμικοί αντιστάτες τμηματικής γραμμικότητας (PieceWise-Linear – PWL). Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στην υλοποίηση της διόδου Chua καθώς και στο σχεδιασμό και υλοποίηση του ίδιου του χαοτικού κυκλώματος Chua. Ταυτόχρονα δίνονται συνοπτικά στοιχεία θεωρίας χάους. Επιπλέον, μελετάται και υλοποιείται υπερχαοτικός ταλαντωτής κατάλληλος για συγχρονισμό και εφαρμογή σε ασφαλείς επικοινωνίες. Αυτός ο υπερχαοτικός ταλαντωτής βασίζεται σε έναν LC ταλαντωτή και το γνωστό Deliyannis SAB συζευγμένα μέσω μιας διόδου. Σε όλα τα παραπάνω πρέπει να προστεθεί η συγκέντρωση όλης της σχετικής βιβλιογραφίας.
The subject of this diploma thesis is to study usual nonlinearities and their applications. Simple and composite nonlinear piecewise-linear resistors have been designed, simulated and implemented. A great care is shown towards implementing the Chua’s diode and designing and implementing the chaotic Chua’s circuit itself. At the same time some basics of chaos theory are given. Moreover, a hyperchaotic oscillator is studied which is suitable for synchronization and application in secure communications. This hyperchaotic oscillator is based on a LC oscillator and the well-known Deliyannis SAB coupled by means of a diode. To all above, one should add the very rich bibliography, which has now been accumulated for the benefit of all concerned in the Electronics Laboratory.

Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια μέθοδος για την αριθμητική προσομοίωση δισδιάστατης, μη συνεκτικής ροής με ελεύθερη επιφάνεια, που προκύπτει από τη διάδοση κυμάτων βαρύτητας πάνω από πυθμένα με τυχαία μορφολογία. Η μέθοδος βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Euler, που υπόκεινται σε πλήρως μη γραμμικές οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και κατάλληλες οριακές συνθήκες πυθμένα, εισόδου και εξόδου, χρησιμοποιώντας ένα υβριδικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών και ψευδό-φασματικής μεθόδου. Οι εξισώσεις ροής μετασχηματίζονται έτσι ώστε τα όρια του υπολογιστικού πεδίου να είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Η επαλήθευση της μεθόδου επίλυσης γίνεται με την εφαρμογή της στο πρόβλημα της κατανομής θερμοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα, υπό σταθερές συνθήκες. Για την ελαχιστοποίηση της ανάκλασης χρησιμοποιείται ζώνη απορρόφησης στην περιοχή απορροής. Η αποτελεσματικότητα της ζώνης απορρόφησης τεκμηριώνεται με την παρουσίαση αποτελεσμάτων προσομοίωσης διάδοσης γραμμικών κυματισμών σε πυθμένα σταθερού βάθους. Προκύπτει ότι η ζώνη απορρόφησης που βασίζεται στην επιβολή εξωτερικής δυναμικής πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια εμφανίζει την ελάχιστη ανάκλαση. Αποτελέσματα παρουσιάζονται για την προσομοίωση ροής με ελεύθερη επιφάνεια πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης 1:10 και 1:50, για διαφορετικά μήκη και ύψη κυμάτων εισόδου. Ο μετασχηματισμός των γραμμικών κυμάτων πάνω από την περιοχή σταθερής κλίσης συμφωνεί με τη θεωρία γραμμικής διασποράς για ροή με μικρά ύψη κύματος. Για μη γραμμικούς κυματισμούς, το μήκος κύματος μειώνεται πάνω από την περιοχή σταθερής κλίσης, ενώ η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας αποκλίνει από την αρχική ημιτονοειδή μορφή και το ύψος κύματος αυξάνει λόγω της ρήχωσης.
A method for the numerical simulation of two-dimensional, inviscid, free-surface flow resulting from the propagation of regular gravity water waves over topography with arbitrary bottom shape is presented. The method is based on the numerical solution of the Euler equations subject to the fully nonlinear free-surface boundary conditions and the appropriate bottom, inflow and outflow conditions using a hybrid scheme of finite-differences and pseudo-spectral method. The formulation includes a boundary-fitted transformation. The validation of the pressure solver is accomplished by applying it to the two-dimensional, temperature, steady problem, under differing boundary conditions. For the free-surface flow, a wave absorption zone is attached at the outflow domain in order to minimize reflection effects. The absorption zone effectiveness is validated by the simulation of linear waves propagation over constant-depth bottom. Minimal reflection occurs when an appropriate external dynamic pressure is imposed on the free surface of the absorption zone. Results are presented for cases of wave propagation over constant slope bottom, with slopes 1:10 and 1:50, for various incoming wavelengths and wave heights. Over the bottom slope, lengths of waves in the linear regime are modified according to linear theory dispersion. For waves in the nonlinear regime, wave lengths are becoming shorter, while the free surface elevation deviates from its initial sinusoidal shape and the wave height increases due to shoaling.

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής ήταν ο προσδιορισμός της υπερπολωσιμότητας δεύτερης τάξης διάφορων φουλλερενίων, παραγώγων φουλλερενίων και διθειολενικών συμπλόκων και η συσχέτιση αυτής με τη χημική δομή των υπό μελέτη υλικών. Για τη μελέτη των μη-γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων των υλικών αυτών χρησιμοποιήθηκε η τεχνική Z-scan. Η μη-γραμμική τους απόκριση μελετήθηκε για παλμική διέγερση 35 ps και 8 ns, στα 532 και 1064 nm. Παράγοντες όπως ενίσχυση λόγω συντονισμού, μείωση της συμμετρίας, απεντοπισμός ηλεκτρονίων και μεταφορά φορτίου βρέθηκαν ότι επηρεάζουν σημαντικά τις μη-γραμμικές οπτικές ιδιότητες των συστημάτων αυτών.
The objective of this thesis was the determination of the second-order hyperpolarizability of some fullerenes, fullerene derivatives and dithiolene complexes and the understanding of the relation between the hyperpolarizability and the molecular structure. The non-linear optical properties of the above systems were investigated by the Z-scan technique. In particular, their non-linear optical response was studied under pulsed laser excitation having duration 35 ps and 8 ns, at 532 and 1064 nm. Several factors, like resonant enhancement, symmetry reduction, electron delocalization and charge transfer, were found to influence significantly the non-linear optical properties of these molecules.