Academic literature on the topic 'Інтегральне перетворення'

У багатьох задачах про поширення тепла в неоднорідних тілах слід ураховувати нестаціонарність процесу. Під час побудови точних аналітичних розв’язків просторових нестаціонарних задач теплопровідності неоднорідних тіл на дослідників чекають значні труднощі математичного характеру, пов’язані із застосуванням інтегрального перетворення Лапласа. Особливо це стосується випадків, коли одночасно з цим перетворенням застосовується інтегральне за просторовою змінною. У роботі до таких задач пропонується застосовувати новий метод – інтегральне перетворення Лагерра. Розглянуто нестаціонарну задачу теплопровідності про нагрів пів безмежної плити тепловим потоком, який діє на її боковій поверхні. На межах поділу матеріалів плити виконуються умови ідеального теплового контакту. На нижній і верхній основах неоднорідної плити відбувається теплообмін за законом Ньютона. До рівнянь нестаціонарної теплопровідності для кожного шару, крайових умов та умов спряження застосовано спочатку інтегральне перетворення Лагерра за часовою змінною, а потім інтегральне cos-перетворення Фур’є за просторовою змінною. Як наслідок, отримано трикутні послідовності звичайних диференціальних рівнянь, у які ввійшли задані інтенсивності теплових потоків на бічній поверхні. Загальний розв’язок цих послідовностей отримано у вигляді алгебричної згортки фундаментальних розв’язків та набору сталих. Фундаментальні розв’язки трикутних послідовностей побудовано методом невизначених коефіцієнтів, а набір сталих визначено з трансформованих за Лагерром і Фур’є крайових умов та умов ідеального теплового контакту складників півсмуги у вигляді рекурентних співвідношень. Остаточний розв’язок вихідної задачі записано у вигляді ряду за поліномами Лагерра з коефіцієнтами у вигляді інтегралів Фур’є. Числовий експеримент проведено для пів безмежної плити з двостороннім покриттям і з тепловими властивостями алюмінієвого стопу та кераміки. Виявлено фізично обґрунтовані закономірності нестаціонарного поширення тепла в таких шаруватих тілах.

УДК 517.91 Розглянуто оператор Штарка T = - d 2 d x 2 + x + q ( x ) на півосі 0 ≤ x < ∞ з граничною умовою Діріхле в нулі. Методом оператора перетворення вивчено пряму й обернену спектральні задачі. Отримано основне інтегральне рівняння оберненої задачі і доведено однозначну розв'язність цього рівняння. Наведено ефективний алгоритм відновлення потенціалу збурення.

Удосконалено раніше розроблені та наведено нові математичні моделі визначення та аналізу температурних режимів в окремих елементах літій-іонних акумуляторних батарей, які геометрично описано ізотропними півпростором і простором із внутрішнім джерелом тепла циліндричної форми. Також розглянуто випадки для півпростору, коли тепловиділяючий циліндр є тонким, а для простору, коли він є термочутливим. Для цього з використанням теорії узагальнених функцій у зручній формі записано вихідні диференціальні рівняння теплопровідності з крайовими умовами. Для розв'язування отриманих крайових задач теплопровідності використано інтегральне перетворення Ганкеля і внаслідок отримано аналітичні розв'язки в зображеннях. До цих розв'язків застосовано обернене інтегральне перетворення Ганкеля, яке дало змогу отримати остаточні аналітичні розв'язки вихідних задач. Отримані аналітичні розв'язки подано у вигляді невласних збіжних інтегралів. Для визначення числових значень температури в наведених конструкціях, а також аналізу теплообміну в елементах літій-іонних батарей, зумовленого різними температурними режимами завдяки нагріванню внутрішніми джерелами тепла, зосередженими в об'ємі циліндра, розроблено обчислювальні програми. Із використанням цих програм наведено графіки, які відображають поведінку кривих, побудованих із використанням числових значень розподілу температури залежно від просторових радіальної та аксіальної координат. Отримані числові значення температури свідчать про відповідність наведених математичних моделей визначення розподілу температури реальному фізичному процесу. Програмні засоби також дають змогу аналізувати середовища із внутрішнім нагріванням, зосередженим у просторових фігурах правильної геометричної форми, щодо їх термостійкості. Як наслідок, стає можливим її підвищити, визначити допустимі температури нормальної роботи літій-іонних батарей, захистити їх від перегрівання, яке може спричинити руйнування не тільки окремих елементів, а й всієї конструкції.

Розроблено математичні моделі аналізу температурних режимів у ізотропній пластині, яка нагрівається локально зосередженими джерелами тепла. Для цього теплоактивні зони пластини описано з використанням теорії узагальнених функцій. З огляду на це рівняння теплопровідності та крайові умови містять сингулярні праві частини. Для розв'язування крайових задач теплопровідності, що містять ці рівняння та крайові умови на межових поверхнях пластини, використано інтегральне перетворення Фур'є і внаслідок отримано аналітичні розв'язки задач у зображеннях. До цих розв'язків застосовано обернене інтегральне перетворення Фур'є, яке дало змогу отримати остаточні аналітичні розв'язки вихідних задач. Отримані аналітичні розв'язки подано у вигляді невласних збіжних інтегралів. За методом Ньютона (трьох восьмих) отримано числові значення цих інтегралів з певною точністю для заданих значень товщини пластини, просторових координат, питомої потужності джерел тепла, коефіцієнта теплопровідності конструкційного матеріалу пластини та ширини теплоактивної зони. Матеріалом пластини є кремній та германій. Для визначення числових значень температури в наведеній конструкції, а також аналізу теплообмінних процесів у середині пластини, зумовлених нагріванням локально зосередженими джерелами тепла, розроблено обчислювальні програми. Із використанням цих програм наведено графіки, що відображають поведінку кривих, побудованих із використанням числових значень розподілу температури залежно від просторових координат, коефіцієнта теплопровідності, питомої густини теплового потоку. Отримані числові значення температури свідчать про відповідність розроблених математичних моделей аналізу теплообмінних процесів у пластині з локально зосередженими джерелами тепла, реальному фізичному процесу. Програмні засоби також дають змогу аналізувати такого роду середовища, які піддаються локальному нагріванню, щодо їх термостійкості. Як наслідок, стає можливим її підвищити і захистити від перегрівання, яке може спричинити руйнування не тільки окремих елементів, а й усієї конструкції.

Reliability, survivability, as well as the optimal operating mode of operation of the supercomputer will depend on the architecture and efficiency of the cooling system of the hot components of the supercomputer. That is why the number of problems, of great theoretical and practical interest, is the problem of studying the temperature fields arising in elements of arbitrary configuration, cooling a supercomputer. To solve this class of heat conduction problems, the method of finite integral transformations turned out to be the most convenient. This article is the first to construct a new finite integral transformation for the Laplace equation in an arbitrary domain bounded by several closed piecewise-smooth contours. An inverse transformation formula is given. Finding the core of the constructed new finite integral transformation by the finite element method in the Galerkin form for simplex first-order elements reduces to solving a system of algebraic equations. To test the operability of the new integral transformation, calculations were carried out of solutions of the boundary value problem for the Laplace equation obtained using the developed new integral transformation and the well-known analytical solution. The results of comparison the calculations of the solution of the Laplace equation are presented. In the case of a square with a side length equal to one and on one side of the square, the temperature is unity, and on the other, the temperature is zero, with a well-known analytical solution and a solution obtained using the new integral transformation. These results were obtained for 228 simplex first-order elements and 135 nodes. The maximum deviation modulo of these solutions is 0,096, the mathematical expectation of deviations is 0,009, and the variance of the type is 0,001. The developed integral transformation makes it possible to obtain a solution to complex boundary value problems of mathematical physics.

Розроблено математичну модель визначення температурних режимів у ізотропній двошаровій пластині, яка нагрівається точковим джерелом тепла, зосередженим на поверхнях спряження шарів. Для цього з використанням теорії узагальнених функцій коефіцієнт теплопровідності матеріалів шарів пластини зображено як єдине ціле для всієї системи. З огляду на це, замість двох рівнянь теплопровідності для кожного із шарів пластини та умов ідеального теплового контакту, між ними отримано одне рівняння теплопровідності в узагальнених похідних із сингулярними коефіцієнтами. Для розв'язування крайової задачі теплопровідності, що містить це рівняння та крайові умови на межових поверхнях пластини, використано інтегральне перетворення Фур'є, внаслідок чого отримано аналітичний розв'язок задачі в зображеннях. До цього розв'язку застосовано обернене інтегральне перетворення Фур'є, яке дало змогу отримати остаточний аналітичний розв'язок вихідної задачі. Отриманий аналітичний розв'язок подано у вигляді невласного збіжного інтегралу. За методом Сімпсона отримано числові значення цього інтегралу з певною точністю для заданих значень товщини шарів, просторових координат, питомої потужності точкового джерела тепла і коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів пластини. Матеріалом першого шару пластини є мідь, а другого – алюміній. Для визначення числових значень температури в наведеній конструкції, а також аналізу температурних режимів, що виникають через нагрівання точковим джерелом тепла, зосередженим на поверхнях спряження шарів пластини, розроблено обчислювальні програми. Із використанням цих програм наведено графіки, що відображають поведінку кривих, побудованих із використанням числових значень розподілу температури залежно від просторових координат. Отримані числові значення температури свідчать про відповідність розробленої математичної моделі аналізу температурних режимів у двошаровій пластині з точковим джерелом тепла, зосередженим на поверхнях спряження її шарів, реальному фізичному процесу. Програмні засоби також дають змогу аналізувати такого роду неоднорідні середовища щодо їх термостійкості. Як наслідок, можливо її підвищити і цим самим захистити від перегрівання, яке може спричинити руйнування як окремих елементів, так і всієї конструкції загалом.

Розроблено математичну модель аналізу теплообміну між ізотропною двошаровою пластиною, яка нагрівається точковим джерелом тепла, зосередженим на поверхнях спряження шарів, і навколишнім середовищем. Для цього з використанням теорії узагальнених функцій коефіцієнт теплопровідності матеріалів шарів пластини зображено як єдине ціле для всієї системи. З огляду на це, замість двох рівнянь теплопровідності для кожного із шарів пластини та умов ідеального теплового контакту, між ними отримано одне рівняння теплопровідності в узагальнених похідних із сингулярними коефіцієнтами. Для розв'язування крайової задачі теплопровідності, що містить це рівняння та крайові умови на межових поверхнях пластини, використано інтегральне перетворення Фур'є і внаслідок отримано аналітичний розв'язок задачі в зображеннях. До цього розв'язку застосовано обернене інтегральне перетворення Фур'є, яке дало змогу отримати остаточний аналітичний розв'язок вихідної задачі. Отриманий аналітичний розв'язок подано у вигляді невласного збіжного інтегралу. За методом Сімпсона отримано числові значення цього інтегралу з певною точністю для заданих значень товщини шарів, просторових координат, питомої потужності точкового джерела тепла, коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів пластини та коефіцієнта тепловіддачі з межових поверхонь пластини. Матеріалом першого шару пластини є мідь, а другого – алюміній. Для визначення числових значень температури в наведеній конструкції, а також аналізу теплообміну між пластиною та навколишнім середовищем, зумовленим різними температурними режимами завдяки нагріванню пластини точковим джерелом тепла, зосередженим на поверхнях спряження шарів, розроблено обчислювальні програми. Із використанням цих програм наведено графіки, що відображають поведінку кривих, побудованих із використанням числових значень розподілу температури залежно від просторових координат. Отримані числові значення температури свідчать про відповідність розробленої математичної моделі аналізу теплообміну між двошаровою пластиною з точковим джерелом тепла, зосередженим на поверхнях спряження шарів і навколишнім середовищем, реальному фізичному процесу. Програмні засоби також дають змогу аналізувати такого роду неоднорідні середовища щодо їх термостійкості під час нагрівання. Як наслідок, стає можливим її підвищити і захистити від перегрівання, яке може спричинити руйнування не тільки окремих елементів, а й всієї конструкції.

Актуальність теми дослідження. Охолодження полімерних листів, як і більшість процесів переробки пласт-мас, належить до неізотермічних процесів, тобто необхідно розв’язувати теплову задачу. Від точного розрахунку теплового балансу дуже залежить кінцевий результат екструзійного процесу. Тому запропонована математична модель та програмний блок для її реалізації допоможуть значно покращити технологічні та економічні показники екструзійних ліній із випуску полімерних листів. Постановка проблеми. Виготовленню полімерних листів присвячено багато наукових праць. При цьому такому процесу, як охолодження кінцевого продукту після екструзії приділено не багато уваги. Аналіз останніх досліджень і публікацій. Створено декілька математичних моделей теплових процесів для теплоенергетичного обладнання. Наприклад: для одночерв’ячних, двочерв’ячних, черв’ячно-дискових екструдерів тощо. При цьому запропоновано різні розрахункові схеми, методи та рівняння для їх вирішення.Виділення недосліджених частин загальної проблеми. Математичну модель для відображення процесів охолодження полімерних листів після їх екструзії можна вважати розширенням цих досліджень. Постановка завдання. Основна мета цієї статті полягає в розробці математичної моделі для аналізу температурного поля при охолодженні полімерних листів на екструзійних лініях, що дозволить оптимізувати не тільки технологічні параметри, а й конструктивні характеристики лінії. Виклад основного матеріалу. При виборі граничних умов треба враховувати реальні конструктивні особливості системи охолодження полімерних листів, що одержують на екструзійних лініях. Представлено розрахункову схему та рівняння теплового балансу. Одержання математичної моделі здійснювалось за допомогою операційного методу, використовуючи інтегральне перетворення Лапласа. Розроблено програму розрахунку параметрів для конкретних умов виробництва. Висновки відповідно до статті.Приведено сучасний літературний огляд теплових задач. Розроблено математичну модель для моделювання процесів охолодження полімерних листів після їх екструзії. Побудовано програмний блок на базі математичного пакета MathCAD для реалізації розробленої математичної моделі

Розглядається плоска термопружна деформація двошарової плити з пружними зв’язками між шарами. Двошарову плиту моделюватимемо пакетом, який складається з двох невагомих однорідних ізотропних пружних шарів.

Исследование диффузионных процессов аномальной природы, отклоняющихся от классической гауссовской диффузии, приводит к необходимости решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными.

Роботу виконано в Тернопільському національному технічному університеті імені Івана Пулюя Міністерства освіти і науки України. Захист відбувся у 2013 р. на засіданні спеціалізованої вченої ради К58.052.01 в Тернопільському національному технічному університеті імені Івана Пулюя, 46001,м. Тернопіль, вул. Руська, 56, ауд. 79 З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Тернопільського національного технічного університету імені Івана Пулюя, 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56<br>У дисертаційній роботі вирішено важливе наукове завдання, яке полягає в розробці моделей процесів дифузійного перенесення в багатошарових наноплівках та комп’ютерній реалізації алгоритмів створених моделей. Обґрунтовано розв’язність математичних моделей дифузійного перенесення в багатошарових оксидних, Fe/Tb, Dy/Fe - магнітних наноплівках різної конфігурації, які описуються складним гібридним диференціальним оператором, та отримано аналітичний розв’язок, що в узагальненому вигляді описує вплив фізичних чинників внутрішньої кінетики переносу. Здійснено комп’ютерне моделювання та чисельні розрахунки полів розподілу концентрацій дифузійного переносу за розробленими математичними моделями. Проведено аналіз кінетичних профілів розподілів концентрацій для дифундованих шарів досліджуваних наномультикомпозитів в широкому діапазоні змін конструктивних та режимних параметрів, досліджено функціональні залежності концентрацій дифундованих компонентів від конструктивних параметрів робочих каналів, товщин шарів та фізичних властивостей компонентів з метою оцінки параметрів для використання в матеріало- та ресурсозбереженні.<br>В диссертационной работе решена важная научная задача, которая заключается в разработке моделей процессов диффузионного переноса в многослойных нанопленках и компьютерной реализации алгоритмов созданных моделей. Выполнены математические постановки физико-технологических моделей переноса в магнитных многослойных средах декартового и цилиндрического типа относительно разных конфигураций многокомпонентных сред, проведено обоснование внедрения гибридных интегральных преобразований для моделирования массопереноса в ограниченных, полуограниченных и неограниченных однородных и многосложных средах. С использованием интегральных преобразований Фурье, Фурье-Бесселя, Конторовича-Лебедева для различных сред разработаны алгоритмические схемы построения точных аналитических решений. Обоснованы решаемость математических моделей диффузионного переноса в многослойных оксидных, Fe/Tb, Dy/Fe - магнитных нанопленках различной конфигурации, которые описываются сложным гибридным дифференциальным оператором, и получено аналитическое решение, которое в обобщенном виде описывает влияние физических факторов внутренней кинетики переноса. Выполнено компьютерное моделирование и многочисленные расчеты полей распределения концентраций диффузионного переноса по разработанным математическим моделям. Это дало возможность осуществить проверки на адекватность параметров моделирования и физического эксперимента, в частности максимальное значение величины относительной погрешности экспериментального и модельного распределений концентраций соответствующих элементов не превышает 5-7%. Проведен анализ кинетических профилей распределений концентраций для дифундованных слоев исследуемых наномультикомпозитов в широком диапазоне изменений конструктивных и режимных параметров, исследованы функциональные зависимости концентраций дифундованных компонентов от конструктивных параметров рабочих каналов, толщин слоев и физических свойств компонентов с целью оценки параметров для использования в материало- и ресурсосбережении. Аналитическое решение математической модели, которое получено в общем виде, позволяет исследовать параметры многослойных сред, с различными начальными условиями и разной толщиной. Математическая методика, примененная к решению задачи процесса диффузии, может быть распространена на случай неплоских многослойных сред, так же как и для нелинейных систем, для которых коэффициент диффузии является функцией концентрации.<br>The important scientific task of developing the models of diffusion transference processes in multilayer nanofilms and computer implementation of the created models algorithms has been fulfilled in the thesis. Denouement of the mathematical diffusion transference models in the multilayer oxide, Fe / Tb, Dy / Fe - magnetic nanofilms of different configurations described by a complex hybrid differential operator has been founded and the analytical solution, which, in generalized way, describes the impact of internal transference kinetics physical factors has been obtained. The computer modelling and numeral calculations of the fields of distributing the concentration of the diffusion transference according to the developed mathematical models have been carried out. The kinetic profiles of concentration distributions for diffused layers of the under investigation nanomulticomposites in a wide range of the changes of constructive and operational parameters have been analysed, the functional dependence of concentrations of the diffused components on the constructive parameters of working channels, the layer thickness and physical properties of components in order to estimate the parameters for using in the materials and resources preservation have been investigated.

Роботу виконано в Кам’янець-Подільському національному університеті імені Івана Огієнка Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.Захист відбувся “30” листопада 2012 р. о “14” год. “00” хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 58.052.01 у Тернопільському національному технічному університеті імені Івана Пулюя (46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56, аудиторія 79). З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічній бібліотеці Тернопільського національного технічного університету імені Івана Пулюя (46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56).<br>Дисертація присвячена питанням математичного моделювання процесів теплопереносу в тонких пластинах різної геометричної форми, що описуються декартовою чи циліндричною системою координат, та побудові й дослідженню моделі випікання тонких плоских тістових заготовок. У роботі за найбільш загальних припущень у межах феноменологічної теорії теплопровідності вперше розроблено математичні моделі стаціонарного й нестаціонарного процесів теплопереносу в тонких пластинах у випадку, коли задача теплопереносу несиметрична відносно серединної площини пластини і коефіцієнти теплообміну з бічних поверхонь пластини різні. Методом головних розв’язків (фундаментальних функцій, функцій Коші та функцій Гріна) одержано у замкнутому вигляді точні розв’язки модельних крайових задач стаціонарного та нестаціонарного процесів теплопереносу для пластин різної конструкції. Для побудови головних розв’язків залучено відповідні інтегральні перетворення, породжені диференціальним оператором Фур’є чи диференціальним оператором Бесселя. Виконано аналітичне та комп’ютерне моделювання стаціонарного й нестаціонарного теплопереносу в процесах випікання тонких плоских тістових заготовок прямокутної та кругової форми. Досліджено вплив конструктивних і частотних (густинних) характеристик теплових джерел плити нагріву для забезпечення рівномірного нагріву тістових заготовок різних розмірів та отримання просторово-розподілених температурних розподілів заготовок з рівномірною інтенсивністю розподілу температур на їх поверхні.<br>Диссертационная работа посвящена вопросам математического моделирования процессов теплопереноса в тонких пластинах различной геометрической формы, описываемых декартовой или цилиндрической системами координат, а также построению и исследованию модели выпекания тонких плоских тестовых заготовок. В работе при наиболее общих предположениях в пределах феноменологической теории теплопроводности впервые разработано математические модели стационарного и нестационарного процессов теплопереноса для тонких изотропных пластин различной геометрии в декартовой и цилиндрической системах координат. Рассмотрен наиболее общий случай, когда задача теплопередачи асимметрична относительно срединной плоскости пластины и коэффициенты теплообмена с боковых поверхностей пластины разные. Как следствия выписаны решения для случаев, когда задача теплопередачи асимметрична или симметрична относительно срединной плоскости пластины и коэффициенты теплообмена с боковых поверхностей пластины равные. Методом главных решений (фундаментальных функций, функций Коши и функций Грина) в замкнутом виде получено точные решения модельных краевых задач стационарного и нестационарного процессов теплопереноса для пластин разной конструкции (прямоугольный клин, полоса-пластина, полуполоса-пластина, прямоугольная пластина; неограниченная цилиндрически-изотропная пластина с круговым вырезом и неограниченная клиновидная цилиндрически-изотропная пластина с вырезом в виде кругового сектора, цилиндрически-изотропная круговая пластина и цилиндрически-изотропная пластина в виде кругового сектора, цилиндрически-изотропная кольчатая пластина и кольчатая клиновидная цилиндрически-изотропная пластина). Для построения главных решений привлечены соответствующие интегральные преобразования для однородных сред, порожденные дифференциальным оператором Фурье (ось, полуось, сегмент), интегральные преобразования Фурье относительно угловой переменной, интегральные преобразования, порожденные дифференциальным оператором Бесселя (интегральные преобразования Вебера, Ганкеля 1-го и 2-го рода относительно радиальной переменной). Как следствия из общих решений получены наиболее часто встречаемые в инженерной практике случаи модельных задач для задания на границе пластины: распределения температуры по поверхности пластины в любой момент времени; плотности теплового потока; температуры окружающей среды и закона теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой, а также их возможных комбинаций. Выполнено аналитическое и компьютерное моделирование стационарного и нестационарного теплопереноса в процессах выпекания тонких плоских тестовых заготовок прямоугольной и круговой формы. В результате компьютерного моделирования получено пространственно-распределенные температурные распределения заготовок с равномерной интенсивностью распределения температур на их поверхностях, на основании которых исследовано влияние конструктивных и частотных (плотностных) характеристик тепловых источников плиты нагревания для обеспечения равномерного нагревания тестовых заготовок разных размеров. Проведенный анализ дает возможность осуществлять обоснование более равномерных режимов нагревания и теплопереноса, что в целом существенно влияет на энерго- и ресурсосберегательные показатели теплоэнергетических и теплонагревательных установок.<br>The thesis is devoted to mathematical modeling of heat transfer in thin plates of different geometry described by Cartesian or cylindrical coordinate system, and the construction and study of models of thin flat baking dough preparations. In this dissertation, the most common assumptions within the phenomenological theory of heat was first formed mathematical models of stationary and non-stationary processes of heat transfer in thin plates where heat transfer problem is asymmetric relative to the median plane of the plate and the heat transfer coefficients of the lateral surfaces of the plate are different. The method of principal solutions (basic functions, Cauchy functions and Green's functions) are obtained in closed form exact solutions of boundary value problems modeling stationary and non-stationary processes of heat transfer to plates of various designs. To construct the main solutions involving the generation of the corresponding integral transformations differential operator Fourier or Bessel differential operator. Done the analytical and computer modeling of steady and unsteady heat transfer in the process of baking dough thin flat pieces of rectangular and circular shapes. The influence of structural and frequency (density) characteristics of thermal sources of heating plate to ensure uniform heating of the dough pieces in different sizes and a spatially distributed temperature distributions billets with uniform intensity distribution of temperature at the surface.