Academic literature on the topic 'Algèbre de Leibniz'

La structure d'algebre de leibniz est une generalisation non necessairement antisymetrique des algebres de lie introduite par j. -l. Loday. Etant donnee g une algebre de leibniz, son homologie hl#*(g) est canoniquement munie d'une structure de cogebre de leibniz duale. Grace a une determination du produit dans la categorie des cogebres de leibniz duales, nous etablissons une propriete de commutation aux produits du foncteur hl#* (). Nous obtenons ainsi un isomorphisme de cogebres de leibniz duales hl#* (g' g'') hl#* (g') * hl#* (g''). Puis nous obtenons un theoreme de structure des groupes dans la categorie des cogebres de leibniz duales: un groupe dans cette categorie est de la forme tv pour un certain espace vectoriel v. Ceci nous permet de montrer que l'homologie de leibniz d'une algebre de lie de matrices gl(a) est, dans la categorie des cogebres de leibniz duales, un groupe isomorphe a thh#*##1(a). Enfin, nous etablissons, dans un cadre plus general, un theoreme de leray dans la categorie des p-algebres, pour une operade quelconque p

Le résultat principal de cette thèse est une solution locale du problème des coquecigrues. Par problème des coquecigrues, nous parlons du problème d'intégration des algèbres de Leibniz. Cette question consiste à trouver une généralisation du troisième théorème de Lie pour les algèbres de Leibniz. Ce théorème établit que pour toute algèbre de Lie g, il existe un groupe de Lie G dont l'espace tangent en 1 est muni d'une structure d'algèbre de Lie isomorphe à g. La sructure d'algèbre de Leibniz généralise celle d'algèbre de Lie, nous cherchons donc une structure algébrique généralisant celle de groupe et répondant à la même question. Nous résolvons ce prob- lème en intégrant localement toute algèbre de Leibniz en un rack de Lie augmenté local. Un rack de Lie étant une variété munie d'un produit satisfaisant plusieurs axiomes qui généralisent des propriétés de la conjugaison dans un groupe. En particulier, ce produit est autodistributif. Notre approche de ce problème est basée sur une preuve donnée par E.Cartan dans le cas des groupes et algèbres de Lie, et consiste à associer à toute algèbres de Leibniz une extension abélienne d'une algèbre de Lie par un module antisymétrique. Cette extension est caractérisée par une classe dans le second groupe de cohomologie de Leibniz, et nous associons à tous représentant de cette classe un cocyle de rack de Lie local qui nous permet de construire un rack de Lie augmenté local répondant au problème. Pour construire ce cocycle, nous généralisons une méthode d'intégration d'un cocycle d'algèbre de Lie en cocycle de groupe de Lie due à W.T.Van Est.

L’objectif de ce travail est d’étudier différentes suites spectrales permettant d’obtenir des propriétés intéressantes concernant la cohomologie d’algèbres de Leibniz en générale ou dans certains cas particuliers. Cette étude est faite dans l’esprit des travaux effectués par J.-P. Serre et G. Hochschild sur les algèbres de Lie, et dans la continuité de ceux effectués par A.V. Gnedbaye sur l’homologie d’algèbre de Leibniz à valeurs dans une semi-représentation. Dans le premier chapitre, on définit la notion d’algèbre de Leibniz, comme généralisation des algèbres de Lie, et on en donne les propriétés fondamentales qui vont nous être utiles pour l’étude ultérieure. Le deuxième chapitre est un préambule rappelant les principales définitions et propriétés liées aux suites spectrales, en particulier celles définies à partir d’une filtration de complexe. On étudiera attentivement la convergence de ces suites spectrales. Le chapitre trois, corps de cette étude, est consacré spécifiquement à la définition de différentes suites spectrales et à l’étude des propriétés qu’elles permettent de prouver concernant la cohomologie d’algèbre de Leibniz. Enfin le dernier chapitre permettra d’étudier des applications des résultats énoncés dans le chapitre trois
This thesis is devoted to the study of different spectral sequences for the cohomology of Leibniz alebras in general or in certain specific examples. Some of the results are motivated by work of G.Hochschild and J.-P. Serre for Lie algebras and groups as well as the thesis of A.V. Gnedbaye on the homology of Leibniz algebras with values in a special kind of modules. In the first chapter we define the notion of aLeibniz algebras as a generalization of a Lie algebras with a non-antisymmetric bracket. We also prove some basic properties of Leibniz algebras. The second chapter is a general introduction to spectral sequences, especially those defined from a filtration of a complex. Among other topics, we consider the notion of convergence of a spectral sequence. In the third chapter four different filtrations of Loday’s complex defining Leibniz cohomology are studied. We compute the first pages for the spectral sequences arising from each of these filtrations. As a consequence we derive some properties of Leibniz cohomology. The last chapter give some other applications of the results obtain in Chapter 3

Dans le premier chapitre de la thèse, nous résumons d’abord les définitions des algèbres Hom-Nambu n-aires (resp. Hom-Nambu- Lie) et algèbres Hom-Nambu n-aires multiplicatives (resp. Hom-Nambu-Lie multiplicatives). Ensuite, on donne,quelques exemples d'algèbres Hom-Nambu de dimension finie. Dans la troisième section du chapitre on rappellela classication des algèbres Hom-Nambu-Lie ternaires de dimension 3 correspondant auxhomomorphismes diagonaux donnée par Ataguema, Makhlouf et Silvestrov dans [12]. Laquatrième section est consacrée aux différentes manières de construire des algèbres n-airesde type Hom-Nambu. On rappelle la construction par twist initiée par Yau. Ensuite on la généralise en une construction d'algèbre n-aire de Hom-Nambu à partir d'une algèbre n-aire de Hom-Nambu et d'un morphisme faible. On s'intéresse aussi à des constructions d'arité plus grande ou plus petite et par produit tensoriel. On montre par ailleurs comment obtenir de nouvelles algèbres n-aires de Hom-Nambu en utilisant les éléments du centroide. La cinquième section est consacrée aux notions de dérivations et de représentationspour les algèbres n-aires. On étudie les αk-dérivations, les dérivations centrales et dansle cas général, la théorie des représentations des algèbres Hom-Nambu n-aires. Nousdiscutons en particulier les cas des représentations adjointes et coadjointes. Les résultatsobtenus dans cette section généralisent ceux donnés pour le cas binaire dans [16, 57]
The aim of this thesis is to study representation theory and cohomology of n-ary Hom-Nambu-Lie algebras, as well as quadratic structures on these algebras. It is organized as follows.• Chapter 1. n-ary Hom-Nambu algebras : in the first section we recall the definitions of n-ary Hom-Nambu algebras and n-ary Hom-Nambu-Lie algebras, introduced by Ataguema, Makhlouf and Silvestrov and provide some key constructions. These algebras correspond to a generalized version by twisting of n-ary Nambu algebras and Nambu-Lie algebras which are called Filippov algebras. We deal in this chapter with a subclass of n-ary Hom-Nambu algebras called multiplicative n-ary Hom-Nambu algebras. In Section 1.2, we recall the list of 3-dimensional ternary Hom-Nambu-Lie algebras of special type corresponding to diagonal homomorphisms. In Section 1.4 we show different construction procedures. We recall the construction procedures by twisting principles and provide some new constructions using for example the centroid. The first twisting principle, introduced for binary case, was extend to n-ary case. The second twisting principle was introduced for binary algebras. We will extend it to n-ary case in the sequel. Also we recall a construction by tensor product of symmetric totally n-ary Hom-associative algebra by an n-ary Hom-Nambu algebra. In Section 1.5, we extend representation theory of Hom-Lie algebras to the n-ary case and discuss the derivations, αk-derivations and central derivations. The last section of chapter 1 is dedicated to ternary q-Virasoro-Witt algebras. We recall constructions of infinite dimensional ternary Hom-Nambu algebras.• Chapter 2. Cohomology of n-ary multiplicative Hom-Nambu algebras : InSection 2.1. We define a central extension. In the second Section we show that for an n-ary Hom-Nambu-Lie algebra N, the space ∧n−1 N carries a structure of Hom-Leibniz algebra and we dene a cohomology which is suitable for the study of one parameter formal deformations of n-ary Hom-Nambu-Lie algebras. In Section 2.4, we extend to n-ary multiplicative Hom-Nambu-Lie algebras the Takhtajan's construction of a cohomology of ternary Nambu-Lie algebras starting from Chevalley-Eilenberg cohomology of binary Lie algebras. The cohomology of multiplicative Hom-Lie algebras. The cohomology complex for Leibniz algebras was defined by Loday and Pirashvili.• Chapter 3. Quadratic n-ary Hom-Nambu algebras : In the first section we introduce a class of Hom-Nambu-Lie algebras which possess an inner product. In Section 3.3, we provide some constructions of Hom-quadratic Hom-Nambu-Lie algebras starting from an ordinary Nambu-Lie algebra and from tensor product of Hom-quadratic commutative Hom-associative algebra and Hom-quadratic Hom-Nambu-Lie algebra. In Section 3.5, we provide a construction of n-ary Hom-Nambu algebra L which is a generalization of the trivial T∗-extension. In Section 3.6, we give a construction of ternary algebra arising from quadratic Lie algebra. In Section 3.7, we construct quadratic n-ary Hom-Nambu algebras involving elements of the centroid of n-ary Nambu algebras

À son arrivée à Paris, Leibniz rencontre de nombreux acteurs du paysage scientifique. À leur contact, il va se former a la pratique des mathématiques. Nous nous intéressons ici a la facette arithmétique de son travail, largement dominée dès 1672 par un problème diophantien tentaculaire appelant de solides notions d'algèbre. Alors que des études sérieuses ont été réalisées sur le problème, nous proposons une approche qui tente de dépasser la seule description des essais de résolution tous infructueux de ce problème dit des six carres. Nous avons cherché à montrer que Leibniz s'était véritablement approprié le résultat. En nous fondant sur une étude au plus près des textes mathématiques édités par l'Académie de Berlin, nous avons tracé la ligne d'une recherche parallèle sur les nombres conduite par Leibniz à partir de ces essais de résolution du problème des six carres. L'étude des correspondances savantes de la seconde moitié du XVIIe siècle a été convoquée pour venir illustrer les investigations autour du problème. Nous les avons utilisées aussi pour animer le détachement progressif du problème à mesure que Leibniz a gagné en aisance dans l'arithmétique et a découvert de nouvelles façons de travailler. Nous suggérons dans cette étude une relecture de la manière dont le problème des six carrés a été construit par son créateur, Jacques Ozanam. Nous argumentons notamment le fait que sa résolution était intimement liée à deux éléments, l'un mathématique et l'autre historique, sur lesquels Leibniz manquait de maîtrise : les techniques de quadrature algébrique et la rédaction du Diophante d'Ozanam. Dérouté par les deux à la fois, nous présentons par la suite Leibniz comme un ≪ errant à but ≫ dès le moment ou il parvient à voir dans les méthodes de factorisations et développements parfois lourdes qu'il a mises au point dans le cadre du problème, des applications aux propriétés de divisibilité dans les entiers. Nous nous sommes alors proposé de tirer le fil de l'étude sur les entiers qui en découle pour finir par montrer un Leibniz arithméticien, devisant sur les nombres premiers et leur distribution. Nous montrons donc que l'histoire de la pratique arithmétique de Leibniz a Paris est étroitement liée à sa propre histoire de mathématicien et qu'elle est un témoin de sa capacité à acquérir puis dépasser les fondamentaux de son époque, de sa capacité à devenir un chercheur
Upon his arrival in Paris, G. W. Leibniz met many scientists. Through discussions and debates with them, he acquired knowledge of mathematics. We have focused here on his work in arithmetic, which in 1672 is dominated to a large extent, by a branched Diophantine problem that requires a significant use of algebra to be solved. While some credible studies have been published on this problem we’ve aimed at trying to go further than a mere description of failed attempts at solving this problem, known as the “sixsquare problem”. We have sought to show that Leibniz engaged in depth with this subject. Based on mathematical studies published by the Berlin Academy of Sciences, we have conducted parallel research on numbers by Leibniz, stemming from these attempts. By studying the correspondences of scholars from the late 17th century, we have been able to illustrate advances in the resolution of the problem, and we have also used them to show the way Leibniz gradually came to neglect the problem as found new ways to work in arithmetic. As a result, this study proposes a reinterpretation of the way the six-square problem was constructed by its creator, Jacques Ozanam. We’ve also insisted on the fact that the resolution was closely linked to two elements, one mathematical, the other historical, which Leibniz did not master: algebraic squaring methods and the preparation of a book by Ozanam, Diophante. These two factors set Leibniz back, and sharpened his dedication to his goal as soon as he succeeded in finding, in the burdensome factorization and development theories he had developed for the six-square problem, some properties of the divisibility of numbers. Finally, we have endeavored to examine these works to portray Leibniz as an arithmetician who, in particular, wrote original texts on prime numbers and even on their repartition. Thus we show that the history of Leibniz’s arithmetical practice in Paris is closely linked to his own history as a mathematician, and that it bears witness to his ability to gain knowledge, and then to go further than the expertise of his time, thereby contributing to his own development as a researcher

L'homologie de hochschild d'une algebre associative unitaire a est la partie primitive d'une nouvelle theorie homologique appliquee a l'algebre de lie des matrices sur a. On introduit une generalisation des algebres de lie, dite algebre de leibnitz, et construit une theorie (co)homologique associee, dite homologie de leibnitz. Celle-ci a des proprietes voisines de la (co)homologie des algebres de lie, bien que, sur ces dernieres, elle en differe. On montre que l'homologie de leibnitz de l'algebre de lie des matrices est une algebre de hopf; sa partie primitive est calculee au moyen d'un complexe ne faisant pas intervenir de matrices. On prouve que ce complexe est quasi isomorphe a celui de hochschild. On demontre des theoremes de stabilite analogues a ceux relatifs a l'homologie de lie pour l'algebre des matrices ainsi que l'existence de lambda-operations compatibles avec celles connues sur l'homologie de hochschild

Dans cette thèse, on étudie la structure de quelques types d'algèbres (binaires et ternaires) munies d'une forme bilinéaire symétrique, non dégénérée et associative (ou invariante). La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des algèbres de Leibniz quadratiques. On montre que ces algèbres sont symétriques. De plus, on utilise la T*-extension et la double extension pour montrer plusieurs résultats sur ce type d'algèbres. Ensuite, on a remarqué que l'anti-commutativité du crochet de Lie donne naissance à de nouveaux types d'invariance pour les algèbres de Leibniz : L'invariance à gauche et l'invariance à droite. Alors, on s'est intéresse à l'étude des algèbres de Leibniz (gauche et droite) munies d'une forme bilinéaire symétrique, non dégénérée et invariante à gauche (et invariante à droite). On prouve que ces algèbres sont Lie admissibles. En second lieu, on s'intéresse aux systèmes triples de Lie et de Jordan. On débute la deuxième partie de cette thèse par la description inductive des systèmes triples de Lie quadratiques au moyen de la double extension. En plus, on introduit la T*extension des systèmes triples de Jordan pseudo-Euclidien. Finalement, on donne deux nouvelles caractérisations des systèmes triples de Jordan semi-simples parmi les systèmes triples de Jordan pseudo-Euclidiens
In this thesis, we study the stucture of several types of algebras endowed with Symmetric, non degenerate and invariant bilinear forms. In the first part, we study quadratic Leibniz algebras. First, we prove that these algebras are symmetric. Then, we use the T*-extension and the double extension to prove some properties of this type of Leibniz algebras. Besides, since we observe that the skew-symmetry of the Leibniz bracket gives rise to other types of invariance for a bilinear form on a Leibniz algebra: The left invariance and the right invariance. We focus on the study of left (resp. right) Leibniz algebras with symmetric, non degenerate and left (resp. right) invariant bilinear form. In particular, we prove that these algebras are Lie admissibles. The second part of this work is dedicated to the study of quadratic Lie triple systems and pseudo-euclidien Jordan triple systems. We start by giving an inductive description of quadratic Lie triple systems using double extension. Next, we introduce the T*-extension of Jordan triple systems. Finally, we give new caracterizations of semi-simple Jordan triple systems among pseudo-euclidian Jordan triple systems

Dans cette thèse on développe une théorie générale des objets tressés et on l'applique à une étude de structures algébriques et topologiques. La partie I contient une théorie homologique des espaces vectoriels tressés et modules tressés, basée sur le coproduit de battage quantique. La construction d'un tressage structurel qui caractérise diverses structures - auto-distributives (AD), associatives, de Leibniz - permet de généraliser et unifier des homologies familières. Les hyper-bords de Loday, ainsi que certaines opérations homologiques, apparaissent naturellement dans cette interprétation. On présente ensuite des concepts de système tressé et module multi-tressé. Appliquée aux bigèbres, bimodules, produits croisés et (bi)modules de Hopf et de Yetter-Drinfel'd, cette théorie donne leurs interprétations tressées, homologies et actions adjointes. La no- tion de produits tensoriels multi-tressés d'algèbres donne un cadre unificateur pour les doubles de Heisenberg et Drinfel'd, ainsi que les algèbres X de Cibils-Rosso et Y et Z de Panaite. La partie III est orientée vers la topologie. On propose une catégorification des groupes de tresses virtuelles en termes d'objets tressés dans une catégorie symétrique (CS). Cette approche de double tressage donne une source de représentations de V Bn et un traitement catégorique des racks virtuels de Manturov et de la représentation de Burau tordue. On définit ensuite des structures AD dans une CS arbitraire et on les munit d'un tressage. Les techniques tressées de la partie I amènent alors à une théorie homologique des structures AD catégoriques. Les algèbres associatives, de Leibniz et de Hopf rentrent dans ce cadre catégorique.

Cette thèse se compose de quatre articles autonomes s'articulant en trois thèmes: la conjecture de Kashiwara-Vergne, le graphe-complexe de Kontsevich et les bigèbres magmatiques. Ces articles sont liés par la notion de bigèbre et les idempotents qui leurs sont attachés: dans le premier cas on utilise les propriétés des bigèbres classiques et dans le second des bigèbres Zinbiel-associatives. Le résultat principal du premier article consiste à donner une solution complète et explicite de la première équation de la conjecture de Kashiwara-Vergne en utilisant les propriétés intrinsèques de l'idempotent Eulérien et de l'idempotent de Dynkin. Dans le second article on généralise un théorème de Kontsevich à l'homologie de Leibniz. On démontre que l'homologie de Leibniz des champs de vecteurs symplectiques sur une variété formelle se reconstruit à partir de l'homologie d'un nouveau type de complexe de graphes : le graphe complexe symétrique. La troisième partie est composée de deux articles traitant des bigèbres magmatiques. Dans le premier on démontre que toute bigèbre magmatique infinie se reconstruit à partir de ses primitifs. En collaboration avec Ralf Holtkamp, on généralise ce résultat à des bigèbres magmatiques partielles en construisant une nouvelle structure d'algèbres vérifiée par les primitifs
This thesis contains four articles developed around three themes : the Kashiwara-Vergne conjecture, Kontsevich's graph complex and magmatic bialgebras. The results obtained are linked by the notion of generalised bialgebras and their idempotents: in the first case we use the properties of classical bialgebras and in the second, a structure theorem for Zinbiel-associatives bialgebras. The main result of the first article is to construct explicitly all the solutions of the first equation of Kashiwara-Vergne conjecture, using the interplay between the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent. In second chapter we generalise the Kontsevich's theorem that computes the Lie homology of vector fields on a formal manifold. Indeed, we prove that the Leibniz homology of these symplectic vector fields on a formal manifold can be reconstructed thanks to the homology associated to a new type of graphs: the symmetric graphs. The third part contains two articles on magmatic bialgebras. In the first one, we prove a structure theorem which permits to reconstruct any infinite magmatic bialgebra through its primitives. In collaboration with Ralf Holtkamp, we extend this result to partial magmatic bialgebras and we construct a new type of operad that encodes the algebraic structure satisfied by the primitives