Dissertations / Theses on the topic 'Algèbre enveloppante'

Ce mémoire étudie la polynomialité de l'algèbre des invariants de l'algèbre des fonctions polynomiales sur le dual d'une certaine algèbre de Lie, lorsque cette dernière est la troncation canonique d'une sous-algèbre biparabolique d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.

Dans cette thèse, nous décrivons explicitement la structure multiplicative et la structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension finie. Dans un premier temps, nous introduisons une structure multiplicative de la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons explicitement qu’il existe un isomorphisme d’algèbres graduées commutatives entre l’algèbre de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du produit cup et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Dans un deuxième temps, nous introduisons une structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons qu’il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie graduées entre l’algèbre de Lie de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du crochet de Gerstenhaber et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Enfin, nous décrivons complètement le crochet de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension _ 3<br>In this thesis, we explicitly describe the multiplicative structure and the graded Lie algebra structure of the cohomology of finite-dimensional Lie algebras. In a first step, we introduce a multiplicative structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we explicitly show that there exists an isomorphism of commutative graded algebras between the Hochschild cohomology algebra of the enveloping algebra provided with the cup product and the cohomology algebra of the Lie algebra. In a second step, we introduce a graded Lie algebra structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we show that there exists an isomorphism of graded Lie algebras between the Hochschild cohomology Lie algebra of the enveloping algebra provided with the Gerstenhaber bracket and the cohomology algebra of the Lie algebra. Finally, we describe completely the Gerstenhaber bracket on the Hochschild cohomology of the enveloping algebra of a Lie algebra for dimension _ 3

Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.

Ce travail concerne deux aspects des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie rigides. Le premier est d'ordre topologique. On étudie la déformation de la structure de l'algèbre enveloppante U(g) d'une algèbre de Lie g. En particulier, on s'intéresse à la rigidité des algèbres enveloppantes en tant qu'algèbres associatives. On démontre que la rigidité de l'algèbre de Lie est une condition nécessaire mais non suffisante pour la rigidité de l'algèbre enveloppante. En utilisant le théorème de formalité de Kontsevitsch, on montre que toute déformation polynômiale non triviale de la structure de Poisson linéaire d'une algèbre de Lie induit une déformation non triviale de son algèbre enveloppante. On établit une classification en petites dimensions des algèbres de Lie fortement rigides (g est rigide et U(g) est rigide). Le deuxième aspect concerne la théorie de la représentation de ces algèbres. On calcule l'indice d'une sous-algèbre de Lie de Borel b d'une algèbre de Lie semi-simple et on montre également qu'il existe une famille d'orbites coadjointes (OA)A de dimension maximale de b*duai de b telle que l' idéal gradué gr(I(O. Z" à l'idéal primitif I(OÂ) associé à OÀ est premier. On donne ensuite une version coadjointe du théorème de Richardson.

Soit p une sous-algebre parabolique d'une algebre de lie simple g de dimension finie sur c. Soit u l'algebre enveloppante quantifiee simplement connexe de drinfeld-jimbo associee a g et p la sous-algebre de hopf de u associee a p. Notre travail est consacre a l'etude de p et du sous-espace y(p) engendre par les semi-invariants de p pour son action adjointe. Nous montrons que y(p) est, dans le cas general decrit ci-dessus, une algebre de polynomes dont on explicite le nombre d'indeterminees dans la plupart des cas et donnons une regle de multiplication des semi-invariants de p analogue a celle verifiee par les generateurs du centre de u. En particulier, lorsque g est de type an et lorsque la sous-algebre de levi de p est une algebre de lie simple de type an-1, de facon analogue au cas classique, nous montrons que y(p) est une algebre de polynomes en une variable d, donnons une description de d et montrons que le localise de u par d est une extension centrale polynomiale du localise par d de p, ce qui nous permet de prouver la conjecture de gelfand-kirillov pour ce cas particulier (ce dernier resultat etant cependant beaucoup moins fin que la localisation elle-meme).

Soient g une k-algèbre de Lie, U(g) son algèbre enveloppante, K(g) le corps des fractions de U(g). L'objet de cette thèse est d'étudier des propriétés algébriques du corps gauche K(g) dans les deux cas suivants : d'une part si k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie ; d'autre part si k est de caractéristique positive et g est de dimension finie.<br /><br />On suppose k de caractéristique nulle. On définit d'abord la notion de "degré de transcendance de niveau q" pour les algèbres de Poisson. Cette notion est introduite à partir de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de K(g) est égal à la dimension de niveau q de g.<br /><br />On s'attache ensuite à l'étude de la famille des algèbres de type Witt définies par R. Yu. On construit ainsi des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On établit en particulier le résultat suivant : il existe des algèbres de Lie non commutatives de dimension infinie g telles que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans K(g).<br /><br />Supposons maintenant k de caractéristique p>0. On étudie le cas particuliers des algèbres de Lie suivantes : les algèbres gl(n) ; les algèbres sl(n) lorsque p ne divise pas n ; l'algèbre de Witt modulaire W(1) et une sous-algèbre P de l'algèbre de Witt W(2) (s'identifiant à un produit tensoriel de l'algèbre de Lie W(1) avec une algèbre associative de polynômes tronqués). Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les algèbres W(1) et P, on démontre en outre que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis.

Le but de cette thèse est d'étudier quelques aspects algébriques du problème de quantification par déformation. On considère d'une part la formalité dans le cas des algèbres libres et de l'algèbre de Lie so(3), et on s'intéresse d'autre part à la quantification par déformation pour des structures Hom-algébriques. Suivant le résultat de formalité de Kontsevich en 1997 pour les algèbres symétriques, on étudie dans la première partie de cette thèse les algèbres libres, qui sont un cas particulier d'algèbres enveloppantes, et on montre qu'il n'y a pas formalité en général, sauf dans les cas triviaux. On montre aussi qu'il n'y a pas formalité pour l'algèbre de Lie so(3). Les techniques utilisées sont de type homologiques. On calcule la cohomologie de ces algèbres et on procède à la construction du L-infini-quasi-isomorphisme entre l'algèbre de Lie différentielle graduée des cochaînes de Hochschild munie du crochet de Gerstenhaber et l'algèbre de la cohomologie munie du crochet de Schouten. Dans la seconde partie de ce travail, on utilise un principe de déformation par twist pour les structures Hom-algébriques, pour construire de nouvelles structures de même type, ou encore pour déformer une structure classique en une Hom-structure correspondante à l'aide d'un morphisme d'algèbres. En particulier, on applique ce procédé aux structures de Poisson et aux star-produits de Moyal-Weyl. Par ailleurs, on établit une correspondance entre les algèbres enveloppantes d'algèbres Hom-Lie possédant une structure Hom-coPoisson et les bigèbres Hom-Lie.

Soient g une algèbre de Lie simple complexe et e un élément nilpotent de g. Nous nous intéressons dans ce mémoire à la question (soulevée par Premet) d'isomorphisme entre les W-algèbres finies construites à partir de certaines sous-algèbres nilpotentes de g dites e-admissibles. Nous introduisons les notions de paire et graduation e-admissibles. Nous montrons ensuite que la W-algèbre associée à une paire e-admissible possède des propriétés similaires à celle introduite par Gan et Ginzburg. De plus, nous définissons une relation d'équivalence sur l'ensemble des paires admissibles. Nous montrons alors que si deux paires sont équivalentes, alors les W-algèbres associées sont isomorphes. Nous introduisons enfin les notions de graduation et paire admissibles b-maximales et nous montrons que les paires admissibles b-maximales sont équivalentes entre elles. Comme conséquence de ce résultat, nous retrouvons un résultat de Brundan et Goodwin sur les bonnes graduations. Dans une dernière partie, nous considérons des cas particuliers pour lesquels nous pouvons apporter une réponse complète à la question d'isomorphisme<br>Let g be a complex simple Lie algebra and e a nilpotent element of g. We are interested to answer the isomorphism question (raised by Premet) between the finite W-algebras constructed from some nilpotent subalgebras of g called e-admissible. We introduce the concept of e-admissible pair and e-admissible grading. We show then that the W-algebra associated to an e-admissible pair admits similar properties to that introduced by Gan and Ginzburg. Moreover, we define an equivalence relation on the set of admissible pairs and we show that if two admissible pairs are equivalent, it follows that the associated W-algebras are isomorphic. We introduce later the concepts of b-maximal admissible pair and b-maximal admissible grading and show that b-maximal admissible pairs are equivalent. As a consequence to this result, we recover a result of Brundan and Goodwin on the good gradings. In a final part, we consider some particular cases where we may find a complete answer to the isomorphism question

L'anneau $\Diff(n)$ des opérateurs différentiels $\h$-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels $\h$-déformés de type $\gl$. Contrairement aux espaces vectoriels $q$-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique \`a isomorphisme pr\`es, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels $\h$-déformés $\Diffs(n)$ est indexée par une fonction rationnelle $\sigma$ en $n$ variables, solution d'un syst\`eme d\'eg\'en\'er\'e d'\'equations aux diff\'erences finies. Nous obtenons la solution g\'en\'erale de ce syst\`eme. Nous montrons que le centre de $\Diffs(n)$ est un anneau des polynômes en $n$ variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau $\Diffs(n)$ et de l’algèbre de Weyl $\text{W}_n$ l’étendue par $n$ indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de $\Diffs(n)$. Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau $\Diff(n,N)$ correspondant \`a $N$ copies de $\Diff(n)$<br>The ring $\Diff(n)$ of $\h$-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the $\h$-deformed vector spaces of $\gl$-type. In contrast to the $q$-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of $\h$-deformed differential operators $\Diffs(n)$ is labeled by a rational function $\sigma$ in $n$ variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of $\Diffs(n)$ is a ring of polynomials in $n$ variables. We construct an isomorphism between certain localizations of $\Diffs(n)$ and the Weyl algebra $\W_n$ extended by $n$ indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional $\Diffs(n)$-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring $\Diff(n, N)$ formed by several copies of $\Diff(n)$

Nous proposons dans cette thèse un nouveau processus de déformation des algèbres de Kac-Moody (K-M) et de leurs représentations. La direction de déformation est indiquée par une collection de nombres, appelée coloriage. Les nombres naturels mènent par exemple aux algèbres classiques, tandis que les nombres quantiques mènent aux algèbres quantiques. Nous établissons dans un premier temps des conditions nécessaires et suffisantes sur les coloriages, de telle sorte que le processus dépend polynômialement d'un paramètre formel et fournit les algèbres enveloppantes quantiques généralisées (algèbres GQE). Nous levons par la suite les restrictions et montrons que le processus existe toujours via les algèbres de Kac-Moody colorées. Nous formulons la conjecture GQE, qui prévoit que toute représentation dans la catégorie Oint d'une algèbre de K-M peut être déformée en une représentation d'une algèbre GQE associée. Nous donnons divers exemples pour lesquels la conjecture est vérifiée et réalisons une première étape vers sa résolution en prouvant que les algèbres de K-M sans relations de Serre peuvent être déformées en des algèbres GQE sans relations de Serre. Admettant la conjecture GQE, nous établissons un résultat analogue dans le cas des algèbres de K-M colorées, nous prouvons que les théories des représentations déformées sont parallèles à le théorie classique, nous explicitons une présentation de Serre déformée pour les algèbres GQE, nous prouvons que ces dernières sont les représentants d'une classe naturelle de déformations formelles des algèbres de K-M et sont h-triviales en type fini. En guise d'application, nous expliquons en termes d'interpolation les dualités de Langlands classique et quantique entre représentations d'algèbres de Lie et nous proposons une nouvelle approche afin de résoudre une conjecture apparentée de Frenkel-Hernandez. En général, nous prouvons qu'il est possible d'interpoler les représentations de deux algèbres d&lt; K-M colorées isogéniques par les représentations d'une troisième. En observant que la conjecture GQE est vérifiée dans le cas des algèbres quantiques standards, nous donnons une nouvelle preuve de la dualité de Langlands classique mentionnée précédemment (les premières preuves sont dues à Littelmann et McGerty)<br>We propose in this thesis a new deformation process of Kac-Moody (K-M) algebras and their representations. The direction of deformation is given by a collection of numbers, called a colouring. The natural numbers lead for example to the classical algebras, while the quantum numbers lead to the associated quantum algebras. We first establish sufficient and necessary conditions on colourings to allow the process depend polynomially on a formal parameter and to provide the generalised quantum enveloping (GQE) algebras. We then lift the restrictions and show that the process still exists via the coloured Kac-Moody algebras. We formulate the GQE conjecture which predicts that every representation in the category Oint of a K-M algebra can be deformed into a representation of an associated GQE algebra. We give various evidences for this conjecture and make a first step towards its resolution by proving that Kac-Moody algebras without Serre relations can be deformed into GQE algebras without Serre relations. In case the conjecture holds, we establish an analog result for coloured K-M algebras, we prove that the deformed representation theories are parallel to the classical one, we explicit a deformed Serre presentation for GQE algebras, we prove that the latter are the representatives of a natural class of formal deformations of K-M algebras and are h-trivial in finite type. As an application, we explain in terms of interpolation both classical and quantum Langlands dualities between representations of Lie algebras, and we propose a new approach which aims at proving a related conjecture of Frenkel-Hernandez. In general, we prove that representations of two isogenic coloured K-M algebras can be interpolated by representations of a third one. Observing that standard quantum algebras satisfy the GQE conjecture, we give a new proof of the previously mentioned classical Langlands duality (the first proofs are due to Littelmann and McGerty)

Cette thèse utilise la théorie des bases cristallines De Kashiwara pour étudier des problèmes algorithmiques et combinatoires liés aux algèbres quantiques de type B, C et D. Nous obtenons tout d'abord, pour tout poids dominant lambda, un algorithme général de calcul de la base globale d'un Uq (sp2n) module de dimension finie et de plus haut poids lambda. Nous avons de plus une description explicite de la base canonique lorsque lambda est un poids dominant. Nous donnons ensuite une présentation de monoi͏̈des, analogues pour les types B, C et D, au monoi͏̈de plaxique de Lascoux et Schützenberger. Nous décrivons alors les algorithmes d'insertion correspondant à ces monoi͏̈des. Dans le cas du type C, nous démontrons que nos relations plaxiques sont compatibles avec l'algorithme de glissement de Sheats ce qui nous permet d'obtenir un Jeu de Taquin complet pour les types B et C. Finallement, nous obtenons une généralisation de la correspondance de Robinson-Schensted aux autres types classiques qui prend en compte les représentations spinorielles des cas orthogonaux.

L'ALGEBRE ENVELOPPANTE QUANTIFIEE U D'UNE ALGEBRE DE KAC-MOODY SYMETRISABLE G RESSEMBLE A L'ALGEBRE ENVELOPPANTE USUELLE DE G, MAIS EST MUNIE D'UNE STRUCTURE DE COGEBRE NON COMMUTATIVE. NOUS ETUDIONS ICI QUELQUES CONSTRUCTIONS LIEES A L'EXISTENCE D'UN ELEMENT, APPELE <&lt;&lt;>R-MATRICE UNIVERSELLE&lt;&gt;&gt;&gt;, DU CARRE TENSORIEL DE U, QUI CONJUGUE LE COPRODUIT DE U AVEC LE COPRODUIT OPPOSE. SI G EST DE DIMENSION FINIE, L'ALGEBRE A, DUALE DE HOPF DE U, EST UNE DEFORMATION DE L'ALGEBRE DES FONCTIONS REGULIERES SUR LE GROUPE ASSOCIE A G. EN UTILISANT LA R-MATRICE UNIVERSELLE, ON PEUT DEFINIR UNE APPLICATION I DE A DANS U, DONT NOUS MONTRONS L'INJECTIVITE. L'IMAGE DE I EST LA SOUS-ALGEBRE DES ELEMENTS FINIS SOUS L'ACTION ADJOINTE DE U, DECRITE ET ETUDIEE PAR JOSEPH ET LETZTER, ET L'UTILISATION DE I DONNE D'AUTRES PREUVES DE PLUSIEURS DE LEURS RESULTATS. GRACE A I, NOUS POUVONS AUSSI CLASSIFIER CERTAINS IDEAUX DE A, CE QUI CONDUIT AUX GEOMETRIES DIFFERENTIELLES SUR LE GROUPE QUANTIQUE. ENFIN, I APPLIQUE L'ALGEBRE DES &lt;&lt;&lt;&gt;FONCTIONS&lt;&gt;&gt;&gt; DE A INVARIANTES SOUS L'ACTION ADJOINTE SUR LE CENTRE DE U : DANS LE MEME ORDRE D'IDEES, NOUS PROUVONS UN ENONCE, DU A RESHETIKHIN, QUI DEFINIT DES GENERATEURS DU CENTRE DE U A PARTIR DE LA &lt;&lt;&lt;&gt;CONSTRUCTION F. R. T. &lt;&gt;&gt;&gt;. SI G EST L'EXTENSION AFFINE DE SL(N), LES PRODUITS TENSORIELS DE U-MODULES DE DIMENSIONS FINIES DEPENDENT DE L'ORDRE DES FACTEURS. ON PEUT TOUTEFOIS CONSTRUIRE UN FONCTEUR DE TYPE SCHUR-WEYL : SON ETUDE NOUS PERMET DE MONTRER QUE L'ANNEAU DE GROTHENDIECK DE LA CATEGORIE DES U-MODULES DE DIMENSIONS FINIE EST UN ANNEAU COMMUTATIF DE POLYNOMES, AINSI QU'UN THEOREME D'EXISTENCE POUR LES &lt;&lt;&lt;&gt;R-MATRICES TRIGONOMETRIQUES&lt;&gt;&gt;&gt;. SOIT ENFIN G = SL(N). LE Q-GROUPE DE WEYL AGIT SUR LES U-MODULES DE DIMENSIONS FINIES EN STABILISANT LE SOUS-ESPACE DE POIDS ZERO. POUR CERTAINS MODULES, CETTE ACTION SE FACTORISE PAR CELLE D'UNE ALGEBRE DE HECKE. NOUS PROUVONS CE FAIT PAR UNE COMPARAISON AVEC LA DUALITE DE SCHUR-WEYL QUANTIFIEE.

On classe les algèbres de Lie nilpotentes de dimension 7 sur R et C à chaque classe et chaque famille trouvée on associe quelques invariants : le type, le défaut de commutativité, l'âme et le corps des fractions du centre de l'algèbre enveloppante, la matrice de Cartan généralisée et le diagramme de Dynkin

Soient g une algebre de lie semi-simple, h une sous algebre de cartan de g et u(g) son algebre enveloppante. On s'interesse aux alambda , lambda appartient a h**(*) les quotients primitifs minimaux de u(g). En rappelant divers resultats sur la categorie theta , et les modules de harish-chandra, on montre que les alambda sont des ordres maximaux. On retrouve le meme resultat en se basant sur un resultat de b. Kostant. On etudie l'espace l(m,n) des applications c-lineaires, g-finies de m dans n, ou m et n sont deux g-modules. On montre, sous des conditions sur m et n que les algebres l(m,n) et l(n,n) sont morita-contexte equivalentes. On s'interesse ensuite aux modules projectifs et a leurs traces, en montrant que tout idempotent de a est trace d'un a-module projectif de type fini (a est quotient primitif quelconque de u(g). Ceci permet de montrer que gl dim alambda = +infini si lambda est non regulier. On etudie le plongement de conze dans une algebre de weyl. On montre que si lambda est dominant et regulier, le plongement est plat a gauche, et de dimension homologique finie a droite, et on etudie en detail le cas de g = sl::(2)(c)

Ce mémoire est l'étude de quelques propriétés d'une classe d'algèbres de Lie de dimension finie introduite par rais et Tauvel. La classe considérée est une extension de la classe d'algèbres de Takiff étudiée plus particulièrement par Rais et Saad. Nous étudions: 1) ses dérivations, 2) l'homomorphisme de Harish-Chandra, 3) les champs de vecteurs invariants, 4) l'action du centre de l'algèbre enveloppante sur elle-même

On étudie l'existence de solutions élémentaires globales pour des opérateurs différentiels linéaires bi-invariants sur le produit g: h x k, ou h et k sont deux groupes de Lie, k compact. En utilisant la transformation de Fourier partielle sur k, on montre qu'un opérateur p, bi-invariant sur g admet une solution élémentaire sur u x k (u ouvert de h) si et seulement si ses coefficients de Fourier partiels admettent chacun une solution élémentaire sur u et satisfont a une condition de croissance lente. On en déduit une condition nécessaire explicite d'existence d'une solution globale de p sur g. On donne également une condition suffisante d'existence d'une solution élémentaire de p sur g dans le cas ou h est résoluble simplement connexe. On montre en effet, par la méthode de F. Rouvière, basée sur des inégalités l**(2), qu'un opérateur différentiel satisfaisant cette condition admet une solution élémentaire sur tout ouvert relativement compact de g. On en déduit alors l'existence d'une solution élémentaire de p sur g grâce a la notion de p-convexité qui permet d'obtenir des solutions globales a partir de solutions semi-globales. On démontre aussi l'existence d'une solution élémentaire globale pour tout operateur bi-invariant non nul sur un groupe de lie résoluble simplement connexe

La propriete de poincare-birkhoff-witt (pbw) classique dit que les monomes ordonnes forment une base de l'algebre enveloppante d'une algebre de lie. Jimbo, rosso, lusztig ont demontre que cette propriete subsiste dans les algebres enveloppantes quantiques de drinfeld-jimbo. Dans cette these, nous abordons le probleme de la propriete de pbw d'un point de vue purement algebrique. Le cadre est suffisamment general pour inclure la quantification des superalgebres enveloppantes et des supergroupes lineaires. La question cruciale des rapports entre la propriete de pbw et l'equation de yang-baxter quantique est etudiee de facon systematique. Les consequences de la propriete de pbw sur le calcul differentiel non commutatif sont examinees. Le dernier chapitre est consacre au groupe lineaire quantique differentiel associe a la matrice r multiparametree de type a

Le but de ce travail est d'expliquer en quoi l'application de d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg F*, qui permet d'identifer la cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'une algèbre de Lie g à la cohomologie de Hochschild de son algèbre enveloppante Ug, est l'analogue algébrique de l'application usuelle de dérivation de cochaînes de groupe lisses au voisinage de l'élément neutre d'un groupe de Lie, et comment un de ses quasi-inverses peut être construit et compris comme une application d'intégration de cocycles de Lie. De plus, nous montrons qu'un tel quasi-inverse, bien que provenant d'une contraction d'origine géométrique, peut s'écrire de manière totalement intinsèque, en n'utilisant que la structure d'algèbre de Hopf cocommutative connexe sur Ug<br>This thesis aims at explaining why Cartan and Eilenberg's antisymmetrisation map F*, which provides an explicit identifcation between the Chevalley-Eilenberg cohomology of a free lie algebra g and the Hochschild cohomology of its universal enveloping algebra Ug, can be seen as an algebraic analogue of the well-known derivation map from the complex of locally smooth group cochains to the one of Lie algebra cochains, and how one of its quasi-inverses can be built and thought of as an integration of Lie algebra cochains in Lie group cochains process. Moreover, we show that such a quasi-inverse, even if it is defined thanks to a Poincare contraction coming from geometry, can be written using a totally intrinsic formula that involves only the connex cocommutative Hopf algebra structure on Ug

Le but de cette thèse est de catégorifier des algèbres amassées antisymétrisables. Unegrande variété de cas antisymétriques a déjà été traitée par exemple par Keller, Caldero-Keller, Geiß-Leclerc-Schröer, Dehy-Keller, Fu-Keller, Palu. Pour ce faire, on utilise descatégories exactes stablement 2-Calabi-Yau. Pour traiter le cas antisymétrisable, nous considérons l'action d'un groupe fini sur une telle catégorie et nous introduisons unecatégorie équivariante associée qui est encore stablement 2-Calabi-Yau. Nous dévelop-pons une théorie des mutations pour ses objets rigides invariants. Une grande famille d'exemples est fournie par les catégories de représentations d'algèbres préprojectives : par exemple, si l'on prend la catégorie des représentations de l'algèbre préprojective de diagramme A(2n-1) muni de son automorphisme d'ordre 2, on obtient l'algèbre amassée des fonctions sur le groupe de Lie unipotent de type C(n). On peut de la même façon obtenir toutes les algèbres amassées de fonctions sur les sous-groupes unipotents maximaux des groupes de Lie semi-simple. Par ailleurs, on peut construire ainsi toutes les algèbres amassées de type fini. Toutes ces catégorifications nous permettent de démontrer, pour les algèbres amassées correspondantes, une conjecture de Fomin et Zelevinsky qui affirme l'indépendance linéaire des monômes d'amas.

La preuve des conjectures de Vogan - dites de Kazhdan-Lusztig - procède par induction sur un certain ordre appelé ordre de Bruhat. Dans ce mémoire nous énonçons une conjecture, que nous appelons conjecture d'Alexandru, essayant de relier ce principe d'induction à certaines propriétés élémentaires des catégories sous-jacentes - que ce soit la catégorie O de BCG ou la catégorie H des modules de Harish-Chandra. [. . . ]

Dans ce travail on caractérise l'image de Fourier de plusieurs espaces de distributions sur certains groupes de Lie et on donne des applications. Les théorèmes de Paley-Wiener sont décrits par rapport à une famille fondamentale de compacts et d'opérateurs de multiplication. Ces objets sont construits via une fonction sous-multiplicative propre continue. L'espace de Paley-Wiener des distributions à support compact devient donc l'espace des opérateurs sur un espace de type Sobolev, vérifiant quelques propriétés. Les théorèmes de Paley-Wiener sur l'espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact (resp sur l'algèbre des fonctions de carrés intégrables a support compact) sont étudiés. Pour des cas particuliers de groupes de Lie, des simplifications interviennent et les opérateurs étudiés sont alors de Hilbert-Schmidt. On donne ensuite une formule de Plancherel sur le produit semi-direct de groupes et par conséquent nous étudions la résolubilité locale d'une classe d'opérateurs différentiels. La notion de p-convexité et "surjectivité" d'une famille d'opérateurs différentiels est aussi étudiée. Enfin à partir d'une formule de Kirillov sur les nilpotents, nous étudions certains caractères sur ces groupes.

Ce manuscrit est consacré à l'étude de la combinatoire de deux algèbres de Hopf d'extraction-contraction. La première est l'algèbre de Hopf de mots tassés WMat introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa dont l'objectif était la construction d'un modèle de coproduit d'extraction-contraction pour les mots tassés. Nous expliquons certains sous-objets ou objets quotients ainsi que des applications vers d'autres algèbres de Hopf. Ainsi, nous considérons une algèbre de permutations dont le dual gradué possède un coproduit de déconcaténation par blocs et un produit de double battage décalé. Le double battage engendre la commutativité de l'algèbre qui est donc distincte de celle de Malvenuto et Reutenauer. Nous introduisons également une algèbre de Hopf engendrée par les mots tassés de la forme x₁...x₁. Elle est isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives. Son dual gradé est donc isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques. Nous considérons également une algèbre de Hopf de compositions et donnons son interprétation en termes de coproduit semi-direct d'algèbres de Hopf. Le deuxième objet d'étude est l'algèbre de Hopf de diagrammes de dissection HD introduite par Dupont en théorie des nombres. Nous cherchons des éléments de réponse concernant la nature de sa cogèbre sous-jacente. Est-elle colibre ? La dimension des éléments primitifs de degré 3 ne permet pas de conclure. Le cas du degré 5 permet d'établir la non-coliberté dans le cas où le paramètre de HD vaut - 1. Nous étudions également la structure pré-Lie du dual gradué HD. Nous réduisons le champ de recherche à la sous-algèbre pré-Lie non triviale engendrée par le diagramme de dissection de degré 1. Cette algèbre pré-Lie n'est pas libre<br>This thesis deals with the study of combinatorics of two Hopf algebras. The first one is the packed words Hopf algebra WMAT introduced by Duchamp, Hoang-Nghia, and Tanasa who wanted to build a coalgebra model for packed words by using a selection-quotient process. We describe certain sub-objects or quotient objects as well as maps to other Hopf algebras. We consider first a Hopf algebra of permutations. Its graded dual has a block deconcatenation coproduct and double shuffle product. The double shuffle product is commutative so the Hopf algebra is different from the Malvenuto and Reutenauer one. We analyze then the Hopf algebra generated by packed words looking like x₁...x₁. This Hopf algebra and non commutative symmetric functions are isomorphic. So its graded dual and quasi-symmetric functions are isomorphic too. Finally we consider a Hopf algebra of compositions an give its interpretation in terms of a semi-direct coproduct structure. The second objet we study is the Hopf algebra of dissection diagrams HD introduced by Dupont in number theory. We study the cofreedom problem. We can't conclude with homogeneous primitive elements of degree 3. With the degree 5 case, we can say that is not cofree with the parameter -1. We study the pre-Lie algebra structure of HD's graded dual too. We consider in particular the sup-pre-Lie algebra generated by the dissection diagram of degree 1. It is not a free pre-Lie algebra

Il existe plusieurs filtrations intéressantes définies sur la sous-algèbre de Cartan d'une algèbre de Lie simple complexe issues de contextes très variés : l'une est la filtration principale qui provient du dual de Langlands, une autre provient de l'algèbre de Clifford associée à une forme bilinéaire invariante non-dégénérée, une autre encore provient de l'algèbre symétrique et la projection de Chevalley, deux autres enfin proviennent de l'algèbre enveloppante et des projections de Harish-Chandra. Il est connu que toutes ces filtrations coïncident. Ceci résulte des travaux de Rohr, Joseph et Alekseev-Moreau. La relation remarquable entre les filtrations principale et de Clifford fut essentiellement conjecturée par Kostant. L'objectif de ce mémoire de thèse est de proposer une nouvelle démonstration de l'égalité entre les filtrations symétrique et enveloppante pour une algèbre de Lie simple de type A ou C. Conjointement au résultat et Rohr et le théorème d'Alekseev-Moreau, ceci fournit une nouvelle démonstration de la conjecture de Kostant, c'est-à-dire une nouvelle démonstration du théorème de Joseph. Notre démonstration est très différentes de la sienne. Le point clé est d'utiliser une description explicite des invariants via la représentation standard, ce qui est possible en types A et C. Nous décrivons alors les images de leurs différentielles en termes d'objects combinatoires, appelés des chemins pondérés, dans le graphe cristallin de la représentation standard. Les démonstrations pour les types A et C sont assez similaires, mais ne nouveaux phénomènes apparaissent en type C, ce qui rend la démonstration nettement plus délicate dans ce cas<br>There are several interesting filtrations on the Cartan subalgebra of a complex simple Lie algebra coming from very different contexts: one is the principal filtration coming from the Langlands dual, one is coming from the Clifford algebra associated with a non-degenerate invariant bilinear form, one is coming from the symmetric algebra and the Chevalley projection, and two other ones are coming from the enveloping algebra and Harish-Chandra projections. It is known that all these filtrations coincide. This results from a combination of works of several authors (Rohr, Joseph, Alekseev-Moreau). The remarkable connection between the principal filtration and the Clifford filtration was essentially conjectured by Kostant. The purpose of this thesis is to establish a new correspondence between the enveloping filtration and the symmetric filtration for a simple Lie algebra of type A or C. Together with Rohr's result and Alekseev-Moreau theorem, this provides another proof of Kostant's conjecture for these types, that is, a new proof of Joseph's theorem. Our proof is very different from his approach. The starting point is to use an explicit description of invariants via the standard representation which is possible in types A and C. Then we describe the images of their differentials by the generalised Chevalley and Harish-Chandra projections in term of combinatorial objects, called weighted paths, in the crystal graph of the standard representation. The proofs for types A and C are quite similar, but there are new phenomenons in type C which makes the proof much more tricky in this case