Academic literature on the topic 'Algèbre non commutative'

On étudie quelques propriétés fondamentales des systèmes dynamiques non linéaires dans le but d'avoir des algorithmes effectifs et de les implanter dans un système de calcul formel de haut niveau. Le problème de la réalisation analytique minimale et celui du «motion planning» sont abordés par le biais des séries formelles en variables non commutatives. On démontre, de manière constructive, qu'une série génératrice polynomiale admet une réalisation minimale polynomiale. On présente les algorithmes de base permettant l'implantation des polynômes en variables non commutatives, les polynômes de Lie, les mots et les polynômes de Lyndon, le groupe de Lie nilpotent libre et d'autres outils techniques dans un système de calcul formel. Quatre représentations des polynômes non commutatifs sont données : distribuée, récursive, dans une base de Poincaré-Birkoff-Witt, dans une base de transcendance de l'algèbre de mélange. Un paquetage complet pour le calcul de la réalisation analytique minimale des séries génératrices polynomiale est donné ainsi que des outils de base pour le traitement du «motion planning», actuellement développé dans l'équipe S. N. C. F. Les algorithmes sont implantés dans le système de calcul formel SCRATCHPAD-AXIOM en utilisant les techniques du génie logiciel: généricité, types abstraits, héritage

De nos jours, la géométrie non-commutative est un domaine grandissant des mathématiques, qui peut apparaître comme un cadre prometteur pour la physique moderne. Les théories quantiques des champs sur des "espaces non-commutatifs" ont en effet été très étudiées, et sont sujettes à un nouveau type de divergence, le mélange ultraviolet-infrarouge. Cependant, une solution a récemment été apportée à ce problème par H. Grosse et R. Wulkenhaar en ajoutant à l'action d'un modèle scalaire sur l'espace non-commutatif de Moyal, un terme harmonique qui la rend renormalisable. Un des buts de cette thèse est l'extension de cette procédure aux théories de jauge sur l'espace de Moyal. En effet, nous avons introduit une nouvelle théorie de jauge non-commutative, fortement reliée au modèle de Grosse-Wulkenhaar, et candidate à la renormalisabilité. Nous avons ensuite étudié ses propriétés les plus importantes, notamment ses configurations du vide. Finalement, nous donnons une interprétation mathématique de cette nouvelle action en terme de calcul différentiel basé sur les dérivations, associé à une superalgèbre. Ce travail contient, outre les résultats mentionnés ci-dessus, une introduction à la géométrie non-commutative, une introduction aux algèbres epsilon-graduées, définies dans cette thèse, et une introduction à la renormalisation des théories quantiques de champs scalaires (point de vue wilsonien et BPHZ) et de jauge.

Cette thèse porte sur la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf. Le concept d'extension de Hopf-Galois, qui a été beaucoup étudié ces dernières années, est une généralisation du concept d'extension galoisienne de corps, mais aussi un analogue des fibrés principaux dans le cadre de la géométrie non commutative. Si $H$ est une algèbre de Hopf, une algèbre $H$-comodule $(Z,\delta: Z \to Z \otimes H)$ est une $H$-extension de Hopf-Galois d'une sous-algèbre $B\subset Z$ si l'ensemble des éléments co\"\i nvariants de $Z$ co\"\i ncide avec $B$ et si l'application canonique $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ définie par <br />$$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie. <br /><br />Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes. <br />\begin{itemize} <br />\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider. <br />\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près. <br />\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni <br />pointée. <br />\end{itemize}

Cette thèse est consacrée à l’étude de deux questions très différentes, reliées par les outils que nous utilisons pour les étudier. La première question est celle de la définition des théories de jauge sur un réseau avec un groupe de structure non commutatif. Ici, non commutatif ne signifie pas non Abelian, mais plutôt non commutatif au sens général de la géométrie non commutative. La deuxième question est celle du comportement des diffusions Browniennes sur des groupes matriciels non compacts d’un type spécifique, à savoir des groupes de matrices pseudo-orthogonales, pseudo-unitaires ou pseudo-symplectiques. Dans le premier chapitre, nous étudions des théories de jauge quantiques sur un réseau et leur limite continue sur le plan euclidien ayant une algèbre de Zhang pour groupe de stuc-ture. Les algèbres de Zhang sont des analogues non commutatifs des groupes et contiennent la classe des groupes duaux de Voiculescu. Nous nous intéressons donc aux analogues non commutatifs des champs de jauges quantiques, que nous décrivons par l’holonomie aléatoire qu’ils induisent. Nous proposons une définition générale d’un champ d’holonomies ayant une symétrie de jauge présentant la structure d’une algèbre de Zhang, et construisons un tel champ à partir d’un processus quantique de Lévy sur une algèbre de Zhang. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les approximations matricielles des champs maîtres en dimensions supérieures construits dans le chapitre précédent. Ces approximations (en distribution non commutative) sont obtenues en extrayant des blocs d’une diffusion unitaire Brownienne (à coefficients dans les algèbres de nombres réels, complexes ou quaternioniques) et en laissant la dimension de ces blocs tendre vers l’infini. Nous divisons notre étude en deux parties : dans la première, nous extrayons des blocs carrés tandis que dans la seconde, nous autorisons des blocs rectangulaires. Dans les deux derniers chapitres, nous utilisons les outils introduits (algèbres de Zhang et diagrammes de Brauer colorés) dans les deux premiers pour étudier des diffusions sur des groupes de matrices pseudo-unitaires. Nous prouvons la convergence non commutative des mouvements Browniens pseudo-unitaires que nous considérons vers des semi-groupes libres avec amalgamation sous l’hypothèse de convergence de la signature normalisée de la métrique de l’espace sous-jacent. Dans le cas déployé, c’est-à-dire, qu’au moins asymptotiquement, la métrique a autant de directions négatives que de directions positives, la distribution limite est la distribution d’un processus de Lévy, solution d’une équation différentielle stochastique libre. Nous laissons ouverte la question d’une telle réalisation de la distribution limite dans le cas général. De plus, nous présentons des résultats numériques sur la convergence de la distribution spectrale de ces matrices aléatoires et faisons deux conjectures. Dans le dernier chapitre, nous prouvons la normalité asymptotique des fluctuations<br>This thesis is devoted to the study of two quite different questions, which are related by the tools that we use to study them. The first question is that of the definition of lattice gauge theories with a non-commutative structure group. Here, by non-commutative, we do not mean non-Abelian, but instead non-commutative in the general sense of non-commutative geometry. The second question is that of the behaviour of Brownian diffusions on non-compact matrix groups of a specific kind, namely groups of pseudo-orthogonal, pseudo-unitary or pseudo-symplectic matrices. In the first chapter, we investigate lattice and continuous quantum gauge theories on the Euclidean plane with a structure group that is replaced by a Zhang algebra. Zhang algebras are non-commutative analogues of groups and contain the class of Voiculescu’s dual groups. We are interested in non-commutative analogues of random gauge fields, which we describe through the random holonomy that they induce. We propose a general definition of a holonomy field with Zhang gauge symmetry, and construct such a field starting from a quantum Lévy process on a Zhang algebra. As an application, we define higher dimensional generalizations of the so-called master field. In the second chapter, we study matricial approximations of higher dimensional master fields constructed in the previous chapter. These approximations (in non-commutative distribution) are obtained by extracting blocks of a Brownian unitary diffusion (with entries in the algebras of real, complex or quaternionic numbers) and letting the dimension of these blocks tend to infinity. We divide our study into two parts: in the first one, we extract square blocks while in the second one we allow rectangular blocks. In both cases, free probability theory appears as the natural framework in which the limiting distributions are most accurately described. In the last two chapters, we use tools introduced (Zhang algebras and coloured Brauer diagrams) in the first two ones to study Brownian motion on pseudo-unitary matrices in high dimensions. We prove convergence in non-commutative distribution of the pseudo-unitary Brownian motions we consider to free with amalgamation semi-groups under the hypothesis of convergence of the normalized signature of the metric. In the split case, meaning that at least asymptotically the metric has as much negative directions as positive ones, the limiting distribution is that of a free Lévy process, which is a solution of a free stochastic differential equation. We leave open the question of such a realization of the limiting distribution in the general case. In addition we provide (intriguing) numerical evidences for the convergence of the spectral distribution of such random matrices and make two conjectures. At the end of the thesis, we prove asymptotic normality for the fluctuations

Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des probabilités quantiques et de l'analyse harmonique non commutative. Elle est constituée de trois parties. La première partie démontre l'analogue non commutatif de l'inégalité de John-Nirenberg et la décomposition atomique pour les martingales non commutatives. Ces résultats étendent et améliorent ceux qui existent déjà, et correspondent exactement à ceux que l'on connaît dans le cas classique. La deuxième partie est consacrée à l'étude des espaces de Hardy à valeurs opérateurs via la méthode d'ondelettes. Il est montré que les espaces de Hardy définis par ondelettes coïncident avec ceux définis par les fonctions carrées de Littlewood-Paley et Lusin. Cette approche est similaire à celle du cas des martingales non commutatives, mais l'utilisation des outils de martingales en analyse harmonique permet une démonstration plus rapide. Dans la troisième partie, nous nous tournons vers des applications de la théorie bien établie des espaces de Hardy, c'est-à-dire des opérateurs de Calderón-Zygmund (OCZ pour abréviation) associés à des noyaux à valeurs matricielles. On obtient des estimations de type faible (1, 1) pour des OCZ dyadiques parfaites et des shifts de Haar annulateurs associés à des noyaux non commutatifs, ainsi que des estimations de type H1 → L1 pour des OCZ arbitaires d'après une décomposition d'une fonction en ligne/colonne. En conjonction avec L∞ → BMO, nous établissons certaines estimations de type Lp. Cette approche s'applique aussi à des paraproduits et des transformées de martingales avec des symboles et coefficients non commutatifs respectivement.

La thèse traite deux sujets. Dans la première partie, nous avons étudié les séries du type somme-produit (SP) qui sont appellées ainsi car elles ont leurs coefficients de Taylor écrits comme des sommes des produits. Notre travail a consisté à étudier leurs singularités. Dans ce cadre nous avons fait des études à la fois théoriques et numériques. Pour certains types de fonctions, par exemple les polynômes ou monômes, les générateurs intérieurs de ces séries vérifient les équations différentielles ordinaires du type linéaire et homogène. L'un des résultats important de la thèse est la non-existence d'équations différentielles dans certains cas, par exemple dans le cas d'une fonction rationnelle. A part les propriétés différentielles de ces séries, nous nous sommes aussi intéressés à l'algèbre de résurgence qui permet de mieux comprendre les aspects algébrico-analytiques. La deuxième partie de ma thèse aborde des questions de géométrie non-commutative ainsi que l'utilisation des outils de cette vaste et riche théorie pour la compréhension d'un phénomène physique important l'effet Hall fractionnelle. Nous avons considéré des approches variées pour traiter ce problème, parmi lesquelles l'algèbre de rotation sur le tore non-commutatif et les algèbres AF<br>This thesis largely considers two different themes. Ln the first part, we study the power series of the type Sum-Product (SP), that are called thus as their Taylor series coefficients have the syntax of sum of products. Our work comprised of analysis of their singularites. It invoves bath theoretical and numerical aspects. For certain types of driving functions, for example polynomials or monomials, the interior generators (associated to singularities) satisfy linear homogeneous ordinary differential equations. One of the important results of the present work is the non-existence of differential equations in certain cases, for example for rational inputs. Apart from the differential aspects of these series, we have also been interested in the resurgence algebra formed from the various generators associated to the singularities, for a better comprehension of the algebrico-analytic aspects of the problem. Ln the second part of my thesis, we considered the questions related ta non commutative geometry and the use of this vast and mathematically rich theory in the comprehension of the important physical phenomenon of fractional quantum Hall effect. Ln this pursuite, we have looked into diverse approaches helpful in the treatment of this problem such as the algebras over the non commutative torus, the almost finite dimensional (AF) algebras and others

Les algèbres Artin-Schelter régulières sont des analogues non-commutatifs d'algèbres de polynomes. En dimension globale 3, ces algèbres graduées sont homogènes et ont des relations de degré 2 ou 3. Dans cette thèse, nous nous intéressons à certaines algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, à relations cubiques. Nous commencons par calculer l'homologie de Hochschild des algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, cubiques de type A à coefficients génériques. Soit $A$ une telle algèbre. Nous suivons la méthode employée par M. Van den Bergh (K-Theory 8 (1994) 213-230) dans le cas quadratique, en considérant cette algèbre comme déformation d'une algèbre de polynomes, avec crochet de Poisson remarquable. Nous calculons alors l'homologie de Poisson et nous montrons que la suite spectrale de Brylinski associée dégénère. Pour cela, nous utilisons le fait que cette algèbre est de Koszul au sens généralisé défini par R. Berger (J. Algebra 239 (2001) 705-734) et nous donnons un nouveau quasi-isomorphisme entre la résolution de Koszul de $A$ par des $A$-$A$-bimodules et la bar-résolution de $A$. Nous déduisons la cohomologie de de Rham, l'homologie cyclique et l'homologie cyclique périodique de l'homologie de Hochschild de $A$, en utilisant des résultats classiques. La propriété de Koszul généralisée nous permet d'écrire un quasi-isomorphisme explicite entre le complexe qui calcule la cohomologie de Hochschild de $A$ et le complexe qui calcule l'homologie de Hochschild de $A$, obtenant ainsi une dualité de Poincaré. Nous déduisons alors la cohomologie de Hochschild de $A$ de l'homologie de Hochschild de $A$. Nous déterminons le centre de $A$, ce qui n'était pas connu. Nous terminons par divers compléments. En particulier, nous explicitons une injection de la résolution de Koszul par des $A$-$A$-bimodules vers la bar-résolution de $A$, valable pour toute algèbre de Koszul généralisée $A$.

Cette thèse explore la relation entre les calégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et tes catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée α-continue DαA d'une catégorie DG α-cocomplète petite A; où α est un cardinal régulier Les catégories DαA s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement α-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius, Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules suides anneaux II donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeid qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et DαA en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement α-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée α-continue DαA Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie<br>This thesis explores the relation between module categories over small differential graded (abbreviated DG) categories on the one hand. And vvell generated triangulated categories on the other In the first part, we construct the α-continuous derived category DαA of a homotopically ococomplete srmall DG category A, where a is a regular cardinal. The categories DαA turn out to be the prototypes of the α-compactly generated algebraic triangulated categories. Here algebraic means triangle equivalent to the stable category of a Frobenius category The main result says that algebraic well generated categories are precisely those which are localizations of the derived category of some srnall DG category. This result is strongly reminiscent of a 1964 theorem of Gabriel and Popescu, which characterized the Grothendieck abelian categories as localizations of categories of modules over rings. It also gives a positive answer to Drinfeld's question whether all well generated categories arise as localizations of compactly generated ones, for the class of algebraic triangulated categories. In the second part, we study the categories DA and DαA using the projective Quillen model category structure present on the category of DG modules We introduce the subcategory of homotopically α-compact cofibrant DG modules and we show that its homotopy category is precisely the α-continuous derived category DαA. This enables us to give a second, completely different proof of the key technical result of the first part

Dans cette thèse nous proposons plusieurs contributions à l'étude des groupes quantiques et de leurs représentations. Dans le cadre de l'étude des représentations de dimension finie des algèbres affines quantiques, nous proposons une nouvelle construction algébrique générale des q,t-caractères (t-déformations des q-caractères de Frenkel-Reshetikhin), indépendante de la construction géométrique de Nakajima (cette dernière n'est valable que pour le cas ADE). Cela nous permet d'étendre la quantification de l'anneau de Grothendieck et la définition des analogues des polynômes de Kazhdan-Lusztig aux cas non simplement lacés. Par ailleurs nous établissons une décomposition triangulaire des affinisées quantiques générales (incluant les algèbres affines et toroïdales quantiques) et classifions leurs représentations intégrables de plus haut poids. Nous proposons une nouvelle construction d'un produit de fusion en définissant une déformation du ``nouveau coproduit de Drinfel'd''.