Academic literature on the topic 'Algèbre ternaire de Jordan'

Dans une algèbre de Banach, le socle joue le même rôle que l'ensemble des opérateurs de rang fini dans le cas de l'algèbre des opérateurs linéaires continus sur un espace de Banach. Aussi est-il intéressant de savoir dans quels cas le socle n'est pas réduit à zéro.En 1968, B. A. Barnes ([6], Théorème 2.1 et Théorème 2.2) a pu démontrer le théorème suivant:Théorème 1. Soit A une algèbre de Banach complexe sans radical. Supposonsque le spectre de chaque élément de A est dénombrable. Alors le socle de A estnon nul.

L'objectif de cette thèse est d'étudier les opérateurs de Rota-Baxter relatifs sur les algèbres ternaires de type Lie et de type Jordan. L'étude porte sur leur structure, leur cohomologie, leurs déformations et leur lien avec les équations de Yang-Baxter. Ce travail est divisé en trois parties. La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de contrôle des systèmes triples de Lie, et à son application à la théorie existante de la cohomologie. De plus, nous introduisons la notion d'opérateur de Rota-Baxter relatif sur les systèmes triples de Lie et construisons une 3-algèbre de Lie comme cas spécial des L∞-algèbres dont les éléments de Maurer-Cartan sont des opérateurs de Rota-Baxter relatifs. Dans la deuxième partie, nous introduisons la notion d'opérateur de Rota-Baxter relatif twisté sur les algèbres 3-Lie et construisons une L∞-algèbre dont les éléments de Maurer-Cartan sont des opérateurs de Rota-Baxter relatifs twistés. Cela nous permet de définir la cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'un opérateur de Rota-Baxter relatif twisté. Dans la dernière partie, nous étudions la représentation des algèbres ternaires de Jordan, ce qui nous permet d'introduire la notion d'algèbres ternaires de Jordan cohérentes. Ensuite, les opérateurs de Rota-Baxter relatifs des algèbres ternaires de Jordan sont introduits et les solutions de l'équation de Yang-Baxter de Jordan ternaire sont discutées en impliquant des opérateurs de Rota-Baxter relatifs
The goal of this thesis is to explore relative Rota-Baxter operators in the context of ternary algebras of both Lie and Jordan types. We mainly consider Lie triple systems, 3-Lie algebras and ternary Jordan algebras. The study covers their structure, cohomology, deformations, and their connection with the Yang-Baxter equations. The work is divided into three main parts. The first part aims first to introduce and study a graded Lie algebra whose Maurer-Cartan elements are Lie triple systems. It turns out to be the controlling algebra of Lie triple systems deformations and fits with the adjoint cohomology theory of Lie triple systems introduced by Yamaguti. In addition, we introduce the notion of relative Rota-Baxter operators on Lie triple systems and construct a Lie 3-algebra as a special case of L∞-algebras, where the Maurer-Cartan elements correspond to relative Rota-Baxter operators. In the second part, we introduce the concept of twisted relative Rota-Baxter operators on 3-Lie algebras and construct an L∞-algebra, where the Maurer-Cartan elements are twisted relative Rota-Baxter operators. This allows us to define the Chevalley-Eilenberg cohomology of a twisted relative Rota-Baxter operator. In the last part, we deal with a representation theory of ternary Jordan algebras. In particular, we introduce and discuss the concept of coherent ternary Jordan algebras. We then define relative Rota-Baxter operators for ternary Jordan algebras and discuss solutions ofthe ternary Jordan Yang-Baxter equation involving relative Rota-Baxter operators. Moreover, we investigate ternary pre-Jordan algebras as the underlying algebraic structure of relative Rota-Baxter operators

Dans la première partie, nous établissons, pour un hyperboloïde à une nappe, un théorème de Bochner Schwartz ainsi qu'un théorème de Paley-Wiener. Dans une deuxième partie, nous étudierons les intégrales Zeta à plusieurs variables complexes associées à une algèbre de Jordan simple et euclidienne: elles vérifient une relation fonctionnelle, dont nous donnons une interprétation en termes de représentations du groupe de structure. On étudie dans la dernière partie les pôles des distributions zeta à une variable complexe, associées à une algèbre de Jordan simple et euclidienne. Pour certaines algèbres, les distributions de la forme f(|det x|) ont une transformée de Fourier du même type f(|det x|) et nous étudierons la transformation qui a f associe f, c'est une transformation analogue a la transformation de Henkel classique

A une algèbre de Jordan euclidienne, on associe un cône symétrique et nous étudions le semi-groupe des éléments du groupe conforme de l'algèbre de Jordan qui préservent le cône symétrique. Pour cette étude, nous réalisons le groupe conforme comme le groupe des automorphismes holomorphes du domaine tube agissant sur la frontière de Shilov. Nous démontrons pour ce semi-groupe une décomposition à la Harish-Chandra et nous utilisons cette décomposition pour que les éléments de ce semi-groupe soient des contractions pour la métrique riemannienne du cône symétrique. Nous montrons ensuite que le semi-groupe considéré vérifie la décomposition d'Ol'shanskii et nous en déduisons que c'est une forme réelle du semi-groupe holomorphe d'Ol'shanskii des applications holomorphes du domaine symétrique borné associé à l'algèbre de Jordan. Nous montrons enfin que l'espace symétrique de type Cayley associé à l'algèbre de Jordan est muni d'une structure causale globale et que le semi-groupe que nous avons introduit est exactement le semi-groupe associé à l'ordre de cet espace causal. De plus, nous montrons que cet espace peut être réalisé comme un ouvert dense dans le produit cartésien de deux copies de la frontière de Shilov du domaine symétrique borné et nous donnons ainsi une caractérisation précise de la seule orbite dense

Le but essentiel de la premiere partie est de donner quelques resultats de nature algebrique concernant les algebres symetriques a gauche (sg). Nous avons donne une classification de ces algebres en dimension deux, en considerant les elements nilpotents. Ainsi, on a demontre que si la ir-algebre est sans elements nilpotents d'ordre deux alors elle possede au moins un idempotents; ensuite, on a etudie les derivations et les automorphismes. Quelques structures d'algebres sg sur une algebre de lie de dimension 3 ont ete donnees. La structure d'algebre sg sur une algebre de lie de type m a ete donnee; de plus, on a demontre (lorsque l'algebre enveloppante de l'algebre de lie des multiplications est semi-simple) que le radical de l'algebre sg est un ideal bilatere qui contient l'ideal de lie derive. On a donne des conditions necessaires et suffisantes pour qu'une algebre sg devienne associative. Nous avons defini aussi les algebres homotopes et l'algebre de mutation d'un algebre sg. Finalement, on a donne un theoreme d'extensions d'algebres sg analogue de celui de hochschild pour les algebres associatives. Dans la deuxieme partie nous donnsons un theoreme de structure de l'algebre de lie des derivations et du groupe des automorphismes de l'algebre de couleurs. Nous avons donne aussi une representation matricielle de cette algebre. Ainsi, on a repris les resultats concernant les derivations et les automorphismes et on les a representes sous cette forme matricielle

Cette thèse est une contribution à l'étude des algèbres de Jordan spéciales libres vue sous l'angle de la combinatoire algébrique. Nous avons utilisé comme outil d'exploration le calcul formel. Elle se compose de 5 chapitres et une annexe. Le chapitre 1 et une présentation de polynômes non commutatifs et des mots de Lyndon qui sont les mots minimaux des polynômes de Lie et qui réapparaîtront dans les mots minimaux des monômes de Jordan. Le chapitre 2 est un rappel des résultats de la recherche des mots minimaux dans l'algèbre de Lie libre. Le chapitre 3 contre notre résultat sur les mots minimaux des monômes de Jordan : ce sont les puissances des mots de Lyndon. Ce résultat est discuté en fin de chapitre ou l'on montre, grâce au théorème de Cohn, que les polynômes de Jordan ont d'autres mots minimaux. Le chapitre 4 se sert du théorème précédent comme base à l'algorithmique de la décomposition d'un polynôme palindrome en monômes de Jordan. Les algorithmes de ce chapitre ont été implémentés dans le langage de calcul formel Maple, et un listage des procédures est placé à la fin du chapitre. Le chapitre 5, enfin, contient une étude des relations entre les monômes de Jordan et les équivalences d'arbres. Le résultat obtenu est que, deux monômes de Jordan standards sont égaux si, et seulement si, les arbres dont ils sont l'évaluation sont équivalents par le groupe des équivalences d'arbres. Ce groupe est lui-même limite de 2-groupes de Sylow de groupes symétriques et une présentation en est donnée. Ceci constitue une voie pour le calcul automatique d'un système complet d'identités comme il est illustré par un exemple à la fin du chapitre. En annexe, se trouvent les tables et programmes développés

Le but de cette thèse est de définir un objet géométrique associé aux algèbres de Lie (2k+1)-graduées. Dans le cas d'une algèbre de Lie $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, l'objet géométrique associé est un espace symétrique G/H et l'objet infinitésimal associé est un système triple de Lie. Dans le cas où notre algèbre de Lie est 3-graduée, alors l'objet géométrique associé est une géométrie projective généralisée et l'objet infinitésimal correspondant est une paire de Jordan. Dans le cas général, nous appellerons cet objet géométrique une géométrie de drapeaux généralisée. La construction de cet objet est basée sur la notion de groupe projectif élémentaire et de complétion projective introduite par O. Loos et reprise par J.R. Faulkner. Ensuite, en utilisant la notion de filtration d'une algèbre de Lie, on arrive à réaliser la géométrie de drapeaux généralisée comme orbites sous le groupe projectif élémentaire de deux filtrations canoniques, associées à la graduation de l'algèbre de Lie. Dans le cas particulier de l'agèbre de Lie $\mathfrak{g}=End_R(V)$, des endomorphismes d'un module $V$ sur une algèbre associative $R$, alors la géométrie de drapeaux généralisée se réalise comme orbites de drapeaux de $V$; ce qui justifie le nom choisi de "géométrie de drapeaux généralisée". Enfin, dans un dernier temps, en utilisant un calcul différentiel généralisé, on peut construire sur la géométrie de drapeaux généralisée une structure de variété différentiable
The goal of this thesis is to define a geometric objet associated to graded Lie algebras. In the case of a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ graded Lie algebra, this object is a symmetric space G/H and the infinitesimal object associated is a Lie triple system. If the Lie algebra is 3-graded, the geometry is called a generalized projective geometry and the infinitesimal object is a Jordan pair. In the general case, the geometric object will be called a generalized flag geometry. Its contruction needs the notions of elementary projective group and projective completion, definied by O. Loos and used by J. R. Faulkner. Then, by the notion of filtrations of a Lie algebras, a realization of the generalized flag geometry of a graded Lie algebra can be done as orbits under the elementary projective group of two natural filtrations, associated to the graduation. In the example $\mathfrak{g}=End_R(V)$, consisting of the endomorphisms of a module $V$ on a assocative algebra $R$, then the generalized flag geometry is realized like orbits of flags of $V$; so, it justifies the chosen name: "generalized flag geometry". To finish, using a generalized differential calculus, we can construct on this generalized flag geometry a structure of smooth manifold

Les algebres de moufang constituent une classe d'algebres entre celle des algebres alternatives et celle des algebres de jordan. On montre que les theoremes de structure des algebres alternatives sont encore valables pour les algebres de moufang. En particulier, en dimension finie, les concepts de nilalgebre, algebre resoluble et algebre nilpotente sont equivalentes. La decomposition de peirce par rapport a un idempotent possede les memes proprietes que dans le cas des algebres alternatives, ce qui permet de caracteriser le nilradical et de demontrer le theoreme principal de wedderburn. Par ailleurs, on fait une classification complete des nilalgebres de moufang commutatives de dimension inferieure ou egale a quatre. Finalement, on etudie les algebres de bernstein-moufang. On trouve que, en caracteristique differente de deux, les algebres de bernstein-moufang sont associatives. Cependant, en caracteristique deux, on donne un exemple d'une algebre de bernstein-moufang qui n'est pas alternative

L'histoire du théorème de Jordan est abordée sous l'angle d'une question d'identité posée sur la période qui sépare la date de 1870 et l'énoncé par Camille Jordan d'une forme canonique des substitutions linéaires des années trente du vingtième siècle au cours desquelles le théorème de Jordan de la décomposition matricielle acquiert une place centrale dans la théorie des matrices canoniques. A partir d'un moment historique de référence, la controverse entre Jordan et Kronecker en 1874, le théorème de Jordan permet de jeter un regard original sur l'histoire de la période 1870-1930 en suivant le rôle joué par des savoirs tacites, des idéaux et des pratiques propres à des réseaux et des communautés. Elle permet notamment de mettre en évidence la dynamique d'une tension entre formes canoniques et invariants dans l'évolution de la signification de la notion de forme en mathématiques et contribue à l'histoire de l'algèbre linéaire en décrivant le rôle joué par une méthode de décomposition indissociable d'un mode particulier de représentation : la décomposition matricielle
The thesis takes as its point of departure the Jordan decomposition theorem and traces its evolution over the sixty-year period from its statement by Camille Jordan in 1870 to 1930 and the emergence of the theory of canonical matrices. A historical analysis of this particular theorem serves as a lens not only on internal developments of the evolving mathematics discipline of algebra but also on the external developments of mathematics as an internationalizing discipline in the decades around the turn of the twentieth century. The thesis draws from the study of networks of sources in order to analyze the theorem's transformation from a result in nineteenth-century group theory to one in the new twentieth century area of linear algebra, while, at the same time, the thesis explores issues of community formation and the role of tacit knowledge in the evolution of mathematical methods. The thesis will focus on a history the decomposition of matrices as a method of decomposition of a particular form of representation

L'histoire du théorème de Jordan est abordée sous l'angle d'une question d'identité posée sur la période qui sépare la date de 1870 et l'énoncé par Camille Jordan d'une forme canonique des substitutions linéaires des années trente du vingtième siècle au cours desquelles le théorème de Jordan de la décomposition matricielle acquiert une place centrale dans la théorie des matrices canoniques. A partir d'un moment historique de référence, la controverse entre Jordan et Kronecker de 1874, le théorème de Jordan permet de jeter un regard original sur l'histoire de la période 1870-1930 en suivant le rôle joué par des savoirs tacites, des idéaux et des pratiques propres à des réseaux et des communautés. Ce regard permet notamment de mettre en évidence la dynamique d'une tension entre formes canoniques et invariants dans l'évolution de la signification de la notion de forme en mathématiques et contribue à l'histoire de l'algèbre linéaire en décrivant le rôle joué par une méthode de décomposition indissociable d'un mode particulier de représentation : la décomposition matricielle.