Academic literature on the topic 'Algèbre - théorie des anneaux - théorie des corps'

Nous considérons des théories d'anneaux locaux reliées aux corps p-adiques, p un nombre premier. Dans le §1 nous établissons les axiomatisations données dans [B1], ainsi qu'une autre axiomatisation des anneaux apparaissant dans [R1]. Il s'agit d'anneaux locaux henséliens dont le corps résiduel est élémentairement équivalent à une extension finie d'un corps p-adique. Nous les appelons anneaux locaux p-adiquement clos. Dans le contexte de [R1] et [B1] ils apparaissent comme fibres du faisceau structural (aussi appelé faisceau de Nash dans [BS]) accompagnant les spectres p-adiques. L'intérêt de nos axiomatisations provient de la simplicité des axiomes qui rendent compte des propriétés henséliennes. Dans le §2 nous donnons une axiomatisation d'une théorie d'anneaux locaux qui apparaît naturellement dans le contexte de la théorie des modèles des corps valués, et se trouve être une complétion d'une théorie du §1. Nous appelons ces anneaux, anneaux intègres p-adiquement clos.Dans le §3 nous utilisons §2 pour montrer que les anneaux intègres p-adiquement clos apparaissent aussi comme anneaux quotients d'anneaux de fonctions continues définissables sur les courbes affines p-adiques. Nous représentons alors un idéal premier comme le noyau d'un morphisme d'évaluation en un point non-standard de la courbe. Le spectre p-adique fournit un outil commode qui permet de décrire la situation de façon concise.

Cette thèse étudie les modules values sur des anneaux de polynômes tordus de la forme R := K[t:φ] où φ est un endomorphisme du corps K. Les exemples motivants sont les corps values (M/,v) de caractéristique p&gt;(). Où R = K [t ;x ↦ XP ], l'anneau des polynômes additifs à coefficient dans un sous-corps K de M. , Le coeur de la thèse se trouve dans les chapitres 3,4 et 5 où l'on considère les R -modules munis d'une valuation à valeurs dans un ensemble ordonné, muni lui-même d'une action de R , qui, dans un corps value de caractéristique p &gt; 0 , est donnée par la fonction P :γ↦γ̣ · P:=min{p̕ γ+v(α)}. Cette action est notée plus généralement comme ·r. Où r ∈ R. Notre idée directrice a été d'exprimer dans ee contexte des propriétés comme comme le lemme de Hensel, la maximalité ou la maximalité algébrique. Cela nécessite l'étude des points irréguliers : ce sont les éléments x ∈ M tels que v(x. R) &gt; v(x) • r pour un r ∈ R \ {0}. Cela permet d'établir divers théorèmes Hensel du type Ax-Kochen et Lrshov dans les chapitres 3 et 4 (cf. 3. 3. 8-3. 3. 10 et 4. 6. 3), et de caraetériser les modules values C -minimaux dans le chapitre 5 (cf. 5,0. 7-9). Le chapitre 6 traite le cas d'une valuation discrète, dans un langage à une sorte, où les propriétés valuatives sont exprimées à l'aide d'une chaîne de sous-groupes. On y démontre un résultat local d'élimination des quantificateurs (cf. 6. 5. 2)<br>This thesis examines valued modules over twisted polynomial rings of the form R = K[t,φ] where φ is an endomorphism of the field K. The motivating examples are the valued fields (M, v) in characteristic p &gt; 0. Where R = K [t ;x ↦ XP ] is the ring of additive polynomials with coefficients in a subfield K of M. In chapters 3 et 4 we establish Ax-Kochen and Ershov type theorems in a two sorted language, with hypotheses analogue to the case of I algebraically maximal Kaplansky fields. In chapter 5 we apply these results to give a complete characterisation of C- minimal valued modules. Rings of Puiseux series on a finite field Fq. Considered as valued modules over Fq[t; x ↦xP ] , and algebraically maximal Kaplansky fields with a divisible value group over its ring of additive polynomials are the main examples of C-minimal valued modules. Chapter 6 studies the case of a discrete valuation, in a one sorted language, where the properties related to the valuation are expressed by means of a chain of subgroups. It shows a result of local elimination of quantifiers, which is valid for example for the field Fq((X))

Soit l un corps fini, nous determinons les sous-anneaux des polynomes de ore sur l qui sont anneaux d'endomorphismes de modules de drinfeld. D'autre part, si on fixe un module de drinfeld sur l, on etudie l'action du frobenius de l sur la cohomologie de de rham, sur les modules de tate et sur la cohomologie cristalline du module de drinfeld considere. On montre que dans tous les cas, le polynome caracteristique de l'action du frobenius est determine par son polynome minimal

La théorie de Galois a eu un impact sur les mathématiques plus important que ce qu'elle laissait présager au départ. Son résultat le plus important est le théorème de correspondance qui s'énonce de la manière suivante :si L/K est une extension de corps finie galoisienne et si G = Gal(L/K) est son groupe de Galois, alors il existe une correspondance biunivoque entre les corps intermédiaires de L/K et les sous-groupes de G. Explicitement, si G_0 est un sous-groupe de G, alors on lui associe l'ensemble des G_0-invariants L^(G_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. D'autre part, si L_0 est un corps intermédiaire de L/K, alors on lui associe le groupe de Galois Gal(L/L_0) qui est un sous-groupe de G.Il existe de nombreuses manières de généraliser la théorie de Galois, celle que nous avons choisie utilise les algèbres de Hopf. L'idée, introduite par Chase et Sweedler, est de remplacer l'action de groupe G par une action d'algèbre de Hopf H. De telles extensions sont appelées Hopf-galoisiennes.La première étape vers la généralisation du théorème de correspondance est due à Chase et Sweedler :si L/K est une extension Hopf-galoisienne d'algèbre de Hopf H et si H_0 est une sous-algèbre de Hopf de H, alors on peut construire l'ensemble des H_0-invariants L^(H_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. Malheureusement, contrairement au cas des extensions galoisiennes, tous les corps intermédiaires de L/K ne s'obtiennent pas de cette manière et une caractérisation des corps de la forme L^(H_0) ne semble pas être connue.Le but de cette thèse est de généraliser le théorème de correspondance pour des extensions Hopf-galoisiennes finies séparables. Dans ce but, nous avons caractérisé de manière naturelle et intrinsèque les corps intermédiaires de L/K qui peuvent s'écrire sous la forme L^(H_0) pour une certaine sous-algèbre de Hopf H_0 de H. Ainsi, nous avons pu prouver un théorème de correspondance tout à fait analogue à celui de la théorie de Galois. Nous avons également établi, à l'instar de la théorie de Galois, une variante du théorème de correspondance pour les sous-algèbres de Hopf qui sont normales.Un apport essentiel à cette thèse est fourni par les travaux de Greither et Pareigis. Ceux-ci ont associé un groupe à une extension Hopf-galoisienne finie séparable. Nous avons prouvé qu'il était possible de traduire le théorème de correspondance en termes de ce groupe. De plus, ce groupe nous a permis de construire une structure Hopf-galoisienne alternative nous aidant à mieux comprendre le théorème de correspondance.Enfin, nous avons proposé une définition d'extensions Hopf-galoisiennes pour des extensions de corps infinies séparables et avons obtenu des résultats encourageants. Cela ouvre un nouveau champ de possibilités pour des recherches futures.<br>Doctorat en Sciences<br>info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les percées du professeur Manjul Bhargava constituent non seulement une nouvelle approche des formes quadratiques binaires, mais également un prolongement original et contemporain des travaux de Gauss de 1801 qui furent à cette époque, et qui le sont toujours aujourd'hui, une pierre angulaire de la théorie algébrique des nombres. Par le biais d'une bijection astucieuse, les formes quadratiques sont mises en relation avec l'espace des cubes 2 × 2 × 2 ce qui permettra d'engendrer quatorze lois de composition dont en particulier celle de Gauss qui devient un embranchement spécifique à une théorie encore plus générale. Ces lois, que Bhagarva nomme Higher composition laws, seront traitées dans les deux premiers chapitres de ce mémoire. Nous verrons par la suite comment les classes d'anneaux quadratiques peuvent être repensées à la lumière de ces nouvelles lois en plus d'apporter une interprétation naturelle en ce qui a trait aux classes d'idéaux de ces mêmes anneaux quadratiques. Sera ensuite introduite la notion de résolvante pour les anneaux cubiques et quartiques pour ainsi faciliter une paramétrisation avec les formes quadratiques binaires et ternaires. Cette correspondance sera d'une grande utilité lorsque le temps sera venu de déterminer la structure inhérente à ces deux types d'anneaux. Un travail de paramétrisation analogue sera fait en ce qui concerne les anneaux cubiques. Cette paramétrisation a pour origine les recherches des deux mathématiciens B. N. Delone et D. K. Faddeev et, comme nous le verrons, s'imbriquera naturellement dans celles de Bhargava.

Cette thèse a pour première vocation d'être un état de l'art sur le calcul quantique, sinon exhaustif, simple d'accès (chapitres 1, 2 et 3). La partie originale de cet essai consiste en deux approches mathématiques du calcul quantique concernant quelques systèmes quantiques : la première est de nature algébrique et fait intervenir des structures particulières : les corps et les anneaux de Galois (chapitre 4), la deuxième fait appel à la géométrie dite projective (chapitre 5). Cette étude a été motivée par le théorème de Kochen et Specker et par les travaux de Peres et Mermin qui en ont découlé

Soient g une k-algèbre de Lie, U(g) son algèbre enveloppante, K(g) le corps des fractions de U(g). L'objet de cette thèse est d'étudier des propriétés algébriques du corps gauche K(g) dans les deux cas suivants : d'une part si k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie ; d'autre part si k est de caractéristique positive et g est de dimension finie.<br /><br />On suppose k de caractéristique nulle. On définit d'abord la notion de "degré de transcendance de niveau q" pour les algèbres de Poisson. Cette notion est introduite à partir de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de K(g) est égal à la dimension de niveau q de g.<br /><br />On s'attache ensuite à l'étude de la famille des algèbres de type Witt définies par R. Yu. On construit ainsi des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On établit en particulier le résultat suivant : il existe des algèbres de Lie non commutatives de dimension infinie g telles que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans K(g).<br /><br />Supposons maintenant k de caractéristique p>0. On étudie le cas particuliers des algèbres de Lie suivantes : les algèbres gl(n) ; les algèbres sl(n) lorsque p ne divise pas n ; l'algèbre de Witt modulaire W(1) et une sous-algèbre P de l'algèbre de Witt W(2) (s'identifiant à un produit tensoriel de l'algèbre de Lie W(1) avec une algèbre associative de polynômes tronqués). Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les algèbres W(1) et P, on démontre en outre que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis.

Cette thèse étudie deux axes de recherches reposant sur les codes. Chaque axe porte sur un paramètre particulier. Le premier axe est celui de la correction d'erreur, et nous nous intéressons à la distance minimale des codes. Notre objectif est de construire des codes sur Fp ayant une bonne distance minimale. Pour cela nous utilisons conjointement le relèvement de Hensel et la Zpk-linéarité. Nous donnons la distance minimale en petite longueur d'une généralisation des codes de Kerdock et de Preparata, ainsi que des relevés des codes de résidus quadratiques. Parmi ces codes, nous en obtenons quatre égalant les meilleurs codes linéaires. Nous donnons également une construction visant à augmenter le cardinal des codes Zpk-linéaires par ajout de translatés. Cette construction nous conduit à une borne supérieure sur le cardinaux des codes Zpk-linéaires. Le second axe, disjoint du premier dans son objectif, mais le rejoignant sur les objets étudiés, est la construction de schémas de dissimulation. Nous relions cette problématique, relevant de la stéganographie, à la construction de codes de recouvrement. Nous envisageons deux modàles de schémas. Ces modàles sont prouvés équivalents aux cette équivalence pour mettre à jour la structure des recouvrements utilisés dans les travaux déjà publiés. Cette équivalence nous sert également à déduire des bornes supérieures sur la capacité des schémas, et en donnant des constructions fondées sur les recouvrements linéaires nous obtenons des bornes inférieures.