Academic literature on the topic 'Algèbres de Hecke-Iwahori'

International audience We show the $q$-analog of a well-known result of Farahat and Higman: in the center of the Iwahori-Hecke algebra $\mathscr{H}_{n,q}$, if $(a_{\lambda \mu}^ν (n,q))_ν$ is the set of structure constants involved in the product of two Geck-Rouquier conjugacy classes $\Gamma_{\lambda, n}$ and $\Gamma_{\mu,n}$, then each coefficient $a_{\lambda \mu}^ν (n,q)$ depend on $n$ and $q$ in a polynomial way. Our proof relies on the construction of a projective limit of the Hecke algebras; this projective limit is inspired by the Ivanov-Kerov algebra of partial permutations. Nous démontrons le $q$-analogue d'un résultat bien connu de Farahat et Higman : dans le centre de l'algèbre d'Iwahori-Hecke $\mathscr{H}_{n,q}$, si $(a_{\lambda \mu}^ν (n,q))_ν$ est l'ensemble des constantes de structure mises en jeu dans le produit de deux classes de conjugaison de Geck-Rouquier $\Gamma_{\lambda, n}$ et $\Gamma_{\mu,n}$, alors chaque coefficient $a_{\lambda \mu}^ν (n,q)$ dépend de façon polynomiale de $n$ et de $q$. Notre preuve repose sur la construction d'une limite projective des algèbres d'Hecke ; cette limite projective est inspirée de l'algèbre d'Ivanov-Kerov des permutations partielles.

Les masures ont été introduites en 2008 par Gaussent et Rousseau afin d’étudier les groupes de Kac-Moody sur les corps locaux. Elles généralisent les immeubles de Bruhat-Tits. Dans cette thèse, j’étudie d’une part les propriétés des masures et d’autre part leurs applications en arithmétique et en théorie des représentations. Rousseau a donné une définition axiomatique des masures, inspirée par la définition de Tits des immeubles de Bruhat-Tits. Je propose une axiomatique plus simple et plus agréable à manipuler et je montre que mon axiomatique est équivalente à celle de Rousseau.Nous étudions (en collaboration avec Ramla Abdellatif) les algèbres de Hecke sphériques et d’Iwahori-Hecke introduites par Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau. Nous démontrons que contrairement au cas réductif, le centre de leur algèbre d’Iwahori-Hecke est quasiment trivial, et n’est en particulier pas isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons donc une algèbre d’Iwahori-Hecke complétée, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous associons aussi des algèbres de Hecke à des faces sphériques comprises entre 0 et l’alcôve fondamentale de la masure,généralisant la construction de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau de l’algèbre d’Iwahori-Hecke.La formule de Gindikin-Karpelevich est une formule importante dans la théorie des groupes réductifs sur les corps locaux. Récemment, Braverman,Garland, Kazhdan, et Patnaik ont généralisé cette formule au cas des groupes de Kac-Moody affines. Une partie importante de leur preuve consiste à montrer que cette formule est bien définie, c’est à dire que les nombres intervenants dans cette formule, qui sont les cardinaux de certains sous groupes de quotients du groupe étudié sont bien finis. Je démontre cette finitude dans le cas des groupes de Kac-Moody généraux. J’étudie aussi les distances sur une masure. Je montre qu’on ne peux pas avoir de distance ayant les mêmes propriétés que dans le cas réductif. Je construis des distances ayant des propriétés moins forte mais qui semblent intéressantes
Masures were introduced in 2008 by Gaussent and Rousseau in order to study Kac-Moody groups over local fields. They generalize Bruhat-Tits buildings. In this thesis, I study the properties of masures and the application of the theory of masures in arithmetic and representation theory. Rousseau gave an axiomatic of masures, inspired by the definition by Tits of Bruhat-Tits buildings. I propose an axiomatic, which is simpler and easyer to handle and I prove that my axiomatic is equivalent to the one of Rousseau. We study (in collaboration with Ramla Abdellatif) the spherical and Iwahori-Hecke algebras introduced by Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau. We prove that on the contrary to the reductive case, the center of the Iwahori-Hecke algebra is almost trivial and is in particular not isomorphic to the spherical Hecke algebra. We thus introduce a completed Iwahori-Hecke algebra, whose center is isomorphic to the spherical Hecke algebra. We also associate Hecke algebras to spherical faces between 0 and the fundamental alcove of the masure, generalizing the construction of Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau of the Iwahori-Hecke algebra.The Gindikin-Karpelevich formula is an important formula in the theory of reductive groups over local fields. Recently, Braverman, Garland, Kazhdanand Patnaik generalized this formula to the case of affine Kac-Moody groups. An important par of their prove consists in proving that this formula iswell-defined, which means that the numbers involved in this formula, which are the cardinals of certain subgroup of quotients of the studied subgroupare finite. I prove this finiteness in the case of general Kac-Moody groups.I also study distances on a masure. I prove that there is no distance having the same properties as in the reductive case. I construct distances having weaker properties, but which seem interesting

Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L'originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu'ils concernent d'autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d'isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d'un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu'alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l'application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l'action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l'ensemble des classes d'isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s'étend aux objets supersinguliers lorsque l'on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d'une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}).

Dans cette thèse on s'intéresse à la correspondance de Howe géométrique pour les paires duales réductives de type II (G = GL_n, H = GL_m) sur un corps local non-Archimédien F de caractéristique différente de 2, ainsi qu'à la fonctorialité de Langlands géométrique au niveau Iwahori. Notons S la représentation de Weil de G(F) × H(F) et I_H, I_G des sous groupes d'Iwahori de H(F) et G(F). On considère la version géométrique de la représentation S^(I_G×I_H) des algèbres de Hecke-Iwahori H_H et H_G sur laquelle agissent les foncteurs de Hecke. On obtient des résultats partiels sur la description géométrique de la catégorie correspondante. Nous proposons une conjecture décrivant le groupe de Grothendieck de cette catégorie comme module sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H. Notre description est en termes d'un champ attaché aux groupes de Langlands duaux dans le style de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. On démontre cette conjecture pour toutes les paires (GL_1, GL_m). Plus généralement, étant donné deux groupes réductifs connexes G et H et un morphisme \check{G}× SL_2 \to \check{H} de groupes de Langlands duaux, on suggère un bimodule sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H qui pourrait conjecturalement réaliser la fonctorialité de Langlands géométrique locale au niveau Iwahori.