Academic literature on the topic 'Algèbres de Koszul généralisées'

The aim of this work is to expand Bushnell and Kutzko's theory of $G$-covers [Proc. London Math. Soc. 77 (1998) 582–634] up to a full description of the generalized principal series of the $p$-adic group ${\rm Sp}_4(F)$, with $p$ odd.We start with a Levi component $M$ of a maximal parabolic subgroup $P$ of $G = {\rm Sp}_4(F)$ and an explicit type $(J_M, \tau_M)$ for the inertial class $S$ in $M$ of a supercuspidal representation of $M$. We compute the Hecke algebra of a $G$-cover $(J, \tau)$ of $(J_M, \tau_M)$ constructed in our previous work [Ann. Inst. Fourier 49 (1999) 1805–1851]: it is a convolution algebra on a Coxeter group (namely, the affine Weyl group of either $U(1,1)(F)$, in the case of the Siegel parabolic, or ${\rm SL}_2(F)$), described explicitly by generators and relations.From this and Bushnell and Kutzko's work we derive the structure of the parabolically induced representations ${\rm ind}_P^G \pi$, for $\pi$ in $S$, and we find their discrete series subrepresentations if any, thus recovering, through the theory of $G$-covers, results previously obtained by Shahidi using different methods.The paper is written in French.2000 Mathematical Subject Classification: 22E50, 11F70.

RésuméOn associe à toute structure de proto-bigèbre de Lie sur un espace vectoriel F de dimension finie des structures d’algèbre de Lie d’homotopie définies respectivement sur la suspension de l’algèbre extérieure de F et celle de son dual F*. Dans ces algèbres, tous les crochets n-aires sont nuls pour n ≥ 4 du fait qu’ils proviennent d’une structure de proto-bigèbre de Lie. Plus généralement, on associe à un élément de degré impair de l’algèbre extérieure de la somme directe de F et F*, une collection d’applications multilinéaires antisymétriques sur l’algèbre extérieure de F (resp. F*), qui vérifient les identités de Jacobi généralisées, définissant les algèbres de Lie d’homotopie, si l’élément donné est de carré nul pour le grand crochet de l’algèbre extérieure de la somme directe de F et de F*.

R. Berger a généralisé en 2001 la propriété de Koszul des algèbres quadratiques, définie par S. B. Priddy en 1970, à des algèbres N-homogènes pour un entier N supérieur ou égal à 2 (J. Algebra 239 (2001) p. 705-734). On s'intéresse dans cette thèse à divers aspects de cette propriété homologique, dite de Koszul généralisée. On commence par montrer que si l'on quotiente une algèbre de Koszul généralisée par des éléments normaux et réguliers, alors on obtient une algèbre de Koszul généralisée. Ce résultat généralise aux algèbres N-homogènes avecN supérieur ou égal à 2 un théorème de B. Shelton et C. Tingey pour la propriété de Koszul des algèbres quadratiques (cas N = 2). On étudie ensuite les liens entre la propriété de Koszul généralisée et certaines relations numériques impliquant les séries de Hilbert et de Poincaré de A et de l'algèbre de Yoneda de A, où A est une algèbre graduée connexe sur un corps commutatif. On donne notamment un critère numérique pour la propriété de Koszul généralisée, critère qui généralise au cas N supérieur ou égal à 2 un résultat de A. Beilinson, V. Ginzburg et W. Soergel. On montre ensuite que certaines superalgèbres, associées à des opérateurs de Hecke, satisfont la propriété de Koszul généralisée (P. H. Hai, M. Lorenz et B. K. , arXiv :0704. 1888v2, à paraître au J. Noncommutative Geometry). On utilise pour cela une condition suffisante pour la propriété de Koszul généralisée appelée confluence. On termine par l'étude d'une conjecture de M. Dubois-Violette concernant les algèbres qui possèdent la propriété de Koszul généralisée et qui sont Gorenstein (au sens d'Artin et Schelter) de dimension globale 3. M. Dubois-Violette a montré que ces dernières algèbres sont associées à des formes multilinéaires possédant trois propriétés particulières (J. Algebra 317 (2007) p. 198-225). La conjecture annonce que réciproquement, les algèbres associées à des formes multilinéaires vérifiant ces trois propriétés satisfont la propriété de Koszul généralisée, sont de dimension globale 3 et satisfont la propriété AS-Gorenstein. On étudie en détail les trois propriétés et on ramène la conjecture à l'étude d'un morphisme de A-modules dont la bijectivité caractérise les propriétés de Koszul et AS-Gorenstein
R. Berger has generalized in 2001 the Koszul property of quadratic algebras, dened in 1970 by S. B. Priddy, to N-homogeneous algebras for N 2 (J. Algebra 239 (2001) p. 705-734). We're interested in this thesis by several aspects of this homological property, called generalized Koszul property. We begin by showing that if one takes the quotient of a generalized Koszul algebra by normal and regular elements, one gets a generalized Koszul algebra. This result generalizes to N-homogeneous algebras with N 2 a theorem by B. Shelton and C. Tingey for quadratic algebras. Then, we study the links between the generalized Koszul property and certain numerical relations involving the Hilbert and Poincaré series of A and of the Yoneda algebra of A, where A is a connected graded algebra. We give in particular a numerical criterion for the generalized Koszul property, which generalizes a result by A. Beilinson, V. Ginzburg and W. Soergel for the quadratic case. We then show that certain superalgebras, associated to Hecke operators, have the generalized Koszul property (P. H. Hai, M. Lorenz et B. K. , arXiv:0704. 1888v2, to appear in J. Noncommutative Geometry). In order to do this, we use a sufficient condition for the generalized Koszul property called conuence. We end the thesis by a study of a conjecture by M. Dubois-Violette, concerning algebras which satisfy both the generalized Koszul property and the Gorenstein property (in the sense of Artin and Schelter) in global dimension 3. M. Dubois-Violette showed that these algebras are associated to multilinear forms that satisfy three particular properties (J. Algebra 317 (2007) p. 198-225). The conjecture says that conversely, the algebras associated to multilinear forms satisfying these three properties satisfy both the generalized Koszul and the Gorenstein properties in global dimension 3. We study in detail the three properties mentioned before, and we reduce the conjecture to the study of a morphism whose bijectivity is equivalent to the Koszul and Gorenstein properties

Les algèbres Artin-Schelter régulières sont des analogues non-commutatifs d'algèbres de polynomes. En dimension globale 3, ces algèbres graduées sont homogènes et ont des relations de degré 2 ou 3. Dans cette thèse, nous nous intéressons à certaines algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, à relations cubiques. Nous commencons par calculer l'homologie de Hochschild des algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, cubiques de type A à coefficients génériques. Soit $A$ une telle algèbre. Nous suivons la méthode employée par M. Van den Bergh (K-Theory 8 (1994) 213-230) dans le cas quadratique, en considérant cette algèbre comme déformation d'une algèbre de polynomes, avec crochet de Poisson remarquable. Nous calculons alors l'homologie de Poisson et nous montrons que la suite spectrale de Brylinski associée dégénère. Pour cela, nous utilisons le fait que cette algèbre est de Koszul au sens généralisé défini par R. Berger (J. Algebra 239 (2001) 705-734) et nous donnons un nouveau quasi-isomorphisme entre la résolution de Koszul de $A$ par des $A$-$A$-bimodules et la bar-résolution de $A$. Nous déduisons la cohomologie de de Rham, l'homologie cyclique et l'homologie cyclique périodique de l'homologie de Hochschild de $A$, en utilisant des résultats classiques. La propriété de Koszul généralisée nous permet d'écrire un quasi-isomorphisme explicite entre le complexe qui calcule la cohomologie de Hochschild de $A$ et le complexe qui calcule l'homologie de Hochschild de $A$, obtenant ainsi une dualité de Poincaré. Nous déduisons alors la cohomologie de Hochschild de $A$ de l'homologie de Hochschild de $A$. Nous déterminons le centre de $A$, ce qui n'était pas connu. Nous terminons par divers compléments. En particulier, nous explicitons une injection de la résolution de Koszul par des $A$-$A$-bimodules vers la bar-résolution de $A$, valable pour toute algèbre de Koszul généralisée $A$.

Ce mémoire est l'étude de quelques propriétés d'une classe d'algèbres de Lie de dimension finie introduite par rais et Tauvel. La classe considérée est une extension de la classe d'algèbres de Takiff étudiée plus particulièrement par Rais et Saad. Nous étudions: 1) ses dérivations, 2) l'homomorphisme de Harish-Chandra, 3) les champs de vecteurs invariants, 4) l'action du centre de l'algèbre enveloppante sur elle-même

Cette thèse s’inscrit dans l’étude des catégories d’algèbres associées aux opérades. On développe des outils d’algèbre homologique et une méthode générale de classification (à homotopie près) des morphismes entre algèbres sur une opérade.La dualité de Koszul des opérades, introduite par V. Ginzburg et M. Kapranov, permet de construire des théories homologiques appropriées pour des catégories d’algèbres associées à certaines bonnes opérades – les opérades de Koszul. On donne dans la première partie de cette thèse un critère effectif pour qu’une opérade soit de Koszul : on montre qu’une opérade, linéairement engendrée par une base, est de Koszul dès lors que l’on peut ordonner sa base de façon compatible avec la structure de composition opéradique – on parle alors d’opérade de Poincaré-Birkhoff-Witt.La théorie originale de Ginzburg-Kapranov s’applique en caractéristique nulle seulement. On construit une théorie homologique adaptée - la Gamma-homologie - pour l’étude des catégories d’algèbres différentielles graduées associées à une opérade de Koszul en toute caractéristique. Cette théorie généralise la Gamma-homologie définie par A. Robinson et S. Whitehouse pour la catégorie des algèbres commutatives.On montre que la Gamma-homologie opéradique contient l’obstruction à la réalisation de morphismes entre algèbres sur une opérade, ainsi que l’obstruction à la réalisation d’homotopies entre morphismes, et donne de la sorte un outil général pour classifier les morphismes entre algèbres sur une opérade
This thesis is concerned with the study of categories of algebras associated to operads. We develop tools of homological algebra and a general method to classify morphisms in the homotopy category of algebras over an operad.The Koszul duality of operads, introduced by V. Ginzburg and M. Kapranov, allows us to construct suitable homology theories for categories of algebras associated to some good operads – the Koszul operads. We give in the first part of this thesis an effective criterion to prove that an operad is Kozul : we show that an operad, linearly generated by a basis, is Koszul as soon as we can order its basis compatibly with the operadic composition structure – we call such operads Poincaré-Birkhoff-Witt operads.The original theory of Ginzburg and Kapranov works in characteristic zero only. We construct a homology theory - the Gamma-homology - for the study of the categories of the differential graded algebras associated to a Koszul operad in any characteristic. This theory generalizes the Gamma-homology introduced by A. Robinson and S. Whitehouse for the category of commutative algebras.We show that our Gamma-homology contains the obstruction to the realization of morphisms between algebras over an operad, and also the obstruction to the realization of homotopies between morphisms. We obtain in this way a general tool to classify morphisms between algebras over an operad

Nous explicitons la cohomologie d’André Quillen des algèbres sur une opérade à l’aide de la dualité de Koszul des opérades. Cette cohomologie est représentée par le complexe cotangent. Nous donnons des critères assurant que cette cohomologie s’écrit en termes de foncteur Ext. En particulier, c’est le cas des algèbres sur des opérades cofibrantes, ce qui fournit une nouvelle propriété de stabilité homotomique de ces algèbres. Nous généralisons ensuite la dualité de Koszul des algèbres associatives dans deux directions indépendantes. D’un côté, nous étendons la dualité de Koszul aux opérades non nécessairement augmentées de façon à étudier les algèbres unitaires. La notion de courbure apparaît pour noter le défaut d’augmentation. Nous obtenons ainsi les théories homotopiques et cohomologiques des algèbres associatives unitaires ou des algèbres de Frobenius avec unité et counité. Nous détaillons le cas des algèbres associatives unitaires. D’un autre côté, nous généralisons la dualité de Koszul aux algèbres sur une opérade. Nous montrons pour cela que le complexe cotangent est la bonne généralisation du complexe de Koszul
Using the Koszul duality theory of operads, we make the André Quikllen cohomology of algebras over an operad explicit. This cohomologie theory is represented by a chain complex : the cotangent compex. We provide criteria for the André Quillen cohomologie theory to be an Ext-functor. In particular, this is the case for algebras over cofibrant operads and this gives a new stable homotopy property for these algebras. Then we generalize the Koszul duality theory of associative algebras in two dependant directions. On the one hand, we extend the Koszul duality theory to non necessarily augmented operads in order to treat algebras with unit. The notion of curvature appears to encode the default of augmentation. As a corollary, we obtain homotopical and cohomological theories for unital associative algebras or unital and counital Frobenius algebras. We make the case of unital associative algebras explicit. On the other hand, we generalize the Koszul duality theory to algebras over an operad. To do this, we show that the contangent complex provides the good generalization of the Koszul complex

Nous proposons dans cette thèse un nouveau processus de déformation des algèbres de Kac-Moody (K-M) et de leurs représentations. La direction de déformation est indiquée par une collection de nombres, appelée coloriage. Les nombres naturels mènent par exemple aux algèbres classiques, tandis que les nombres quantiques mènent aux algèbres quantiques. Nous établissons dans un premier temps des conditions nécessaires et suffisantes sur les coloriages, de telle sorte que le processus dépend polynômialement d'un paramètre formel et fournit les algèbres enveloppantes quantiques généralisées (algèbres GQE). Nous levons par la suite les restrictions et montrons que le processus existe toujours via les algèbres de Kac-Moody colorées. Nous formulons la conjecture GQE, qui prévoit que toute représentation dans la catégorie Oint d'une algèbre de K-M peut être déformée en une représentation d'une algèbre GQE associée. Nous donnons divers exemples pour lesquels la conjecture est vérifiée et réalisons une première étape vers sa résolution en prouvant que les algèbres de K-M sans relations de Serre peuvent être déformées en des algèbres GQE sans relations de Serre. Admettant la conjecture GQE, nous établissons un résultat analogue dans le cas des algèbres de K-M colorées, nous prouvons que les théories des représentations déformées sont parallèles à le théorie classique, nous explicitons une présentation de Serre déformée pour les algèbres GQE, nous prouvons que ces dernières sont les représentants d'une classe naturelle de déformations formelles des algèbres de K-M et sont h-triviales en type fini. En guise d'application, nous expliquons en termes d'interpolation les dualités de Langlands classique et quantique entre représentations d'algèbres de Lie et nous proposons une nouvelle approche afin de résoudre une conjecture apparentée de Frenkel-Hernandez. En général, nous prouvons qu'il est possible d'interpoler les représentations de deux algèbres d< K-M colorées isogéniques par les représentations d'une troisième. En observant que la conjecture GQE est vérifiée dans le cas des algèbres quantiques standards, nous donnons une nouvelle preuve de la dualité de Langlands classique mentionnée précédemment (les premières preuves sont dues à Littelmann et McGerty)
We propose in this thesis a new deformation process of Kac-Moody (K-M) algebras and their representations. The direction of deformation is given by a collection of numbers, called a colouring. The natural numbers lead for example to the classical algebras, while the quantum numbers lead to the associated quantum algebras. We first establish sufficient and necessary conditions on colourings to allow the process depend polynomially on a formal parameter and to provide the generalised quantum enveloping (GQE) algebras. We then lift the restrictions and show that the process still exists via the coloured Kac-Moody algebras. We formulate the GQE conjecture which predicts that every representation in the category Oint of a K-M algebra can be deformed into a representation of an associated GQE algebra. We give various evidences for this conjecture and make a first step towards its resolution by proving that Kac-Moody algebras without Serre relations can be deformed into GQE algebras without Serre relations. In case the conjecture holds, we establish an analog result for coloured K-M algebras, we prove that the deformed representation theories are parallel to the classical one, we explicit a deformed Serre presentation for GQE algebras, we prove that the latter are the representatives of a natural class of formal deformations of K-M algebras and are h-trivial in finite type. As an application, we explain in terms of interpolation both classical and quantum Langlands dualities between representations of Lie algebras, and we propose a new approach which aims at proving a related conjecture of Frenkel-Hernandez. In general, we prove that representations of two isogenic coloured K-M algebras can be interpolated by representations of a third one. Observing that standard quantum algebras satisfy the GQE conjecture, we give a new proof of the previously mentioned classical Langlands duality (the first proofs are due to Littelmann and McGerty)

Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés homotopiques des algèbres sur une opérade, desopérades elles-mêmes et des opérades colorées, dans le monde des complexes de chaînes. Nousintroduisons une nouvelle adjonction bar-cobar entre les opérades unitaires et les coopéradesconilpotentes courbées. Ceci nous permet de munir ces dernières d'une structure de modèles induite parla structure projective des opérades le long de cette adjonction, qui devient alors une équivalence deQuillen. Ce résultat permet de passer, sans perte d'information homotopique, dans le monde descoopérades qui est plus puissant : on peut y décrire, par exemple, les objets fibrants-cofibrants en termesd'opérades à homotopie près. Nous appliquons ensuite la même stratégie aux algèbres sur une opérade.Pour cela, on munit la catégorie des cogèbres sur la coopérade duale de Koszul d'une structure demodèles induite par celle de la catégorie des algèbres d'origine le long de leur adjonction bar-cobar, quidevient une équivalence de Quillen. Cela nous permet de décrire explicitement pour la première fois despropriétés homotopique des algèbres sur une opérade non nécessairement augmentée. Dans unedernière partie, nous introduisons la notion d'opérade colorée à homotopie près que nous arrivons àcomparer aux infinies-opérades de Moerdijk--Weiss au moyen d'un foncteur : le nerf dendroidal. Nousmontrons qu'il étend des constructions dues à Lurie et à Faonte et nous étudions ses propriétéshomotopiques. En particulier, sa restriction aux opérades colorées est un foncteur de Quillen à droite.Tout ceci permet de relier explicitement deux mondes des opérades supérieures
This thesis deals with the homotopical properties of algebras over an operad, of operads themselves andof colored operads, in the framework of chain complexes. We introduce a new bar-cobar adjunctionbetween unital operads and curved conilpotent cooperads. This allows us to endow the latter with aDépôt de thèseDonnées complémentairesmodel structure induced by the projective model structure on operads along this adjunction, which thenbecomes a Quillen-equivalence. This result allows us to study the homotopy theory of operads in theworld of cooperads which is more powerful: for instance, fibrant-cofibrant objects can be described interms of operads up to homotopy. We then apply the same strategy to algebras over an operad. Morespecifically, we endow the category of coalgebras over the Koszul dual cooperad with a model structureinduced by that of the category of algebras along their bar-cobar adjunction, which becomes a Quillenequivalence.This allows us to describe explicitly for the first time some homotopy properties of algebrasover a not necessarily augmented operad. In the last part, we introduce the notion of homotopy coloredoperad that we compare to Moerdijk--Weiss' infinity-operads by means of a functor: the dendroidalnerve. We show that it extends existing constructions due to Lurie and Faonte and we study itshomotopical properties. In particular, we show that its restriction to colored operads is a right Quillenfunctor. All this allows us to connect explicitly two different worlds of higher operads

Le but de ce travail est d'expliquer en quoi l'application de d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg F*, qui permet d'identifer la cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'une algèbre de Lie g à la cohomologie de Hochschild de son algèbre enveloppante Ug, est l'analogue algébrique de l'application usuelle de dérivation de cochaînes de groupe lisses au voisinage de l'élément neutre d'un groupe de Lie, et comment un de ses quasi-inverses peut être construit et compris comme une application d'intégration de cocycles de Lie. De plus, nous montrons qu'un tel quasi-inverse, bien que provenant d'une contraction d'origine géométrique, peut s'écrire de manière totalement intinsèque, en n'utilisant que la structure d'algèbre de Hopf cocommutative connexe sur Ug
This thesis aims at explaining why Cartan and Eilenberg's antisymmetrisation map F*, which provides an explicit identifcation between the Chevalley-Eilenberg cohomology of a free lie algebra g and the Hochschild cohomology of its universal enveloping algebra Ug, can be seen as an algebraic analogue of the well-known derivation map from the complex of locally smooth group cochains to the one of Lie algebra cochains, and how one of its quasi-inverses can be built and thought of as an integration of Lie algebra cochains in Lie group cochains process. Moreover, we show that such a quasi-inverse, even if it is defined thanks to a Poincare contraction coming from geometry, can be written using a totally intrinsic formula that involves only the connex cocommutative Hopf algebra structure on Ug