Academic literature on the topic 'Algèbres homogènes'

Soient K un anneau commutatif à élémént unité, P un K-module unitaire, SK(P) l'algèbre symétrique de P et le sous-K-module de SK(P) des éléments homogénes de degré m≧0. Rappelons que si P est un K-module libre de rang n + 1, l'algèbre SK(P) est isomorphe à l'algèbre des polynômes K[X0,X1,…,Xn] en les indéterminéesX0,X1,…,Xn à coefficients dans K et est le K-module libre dont une base est formée par les monômes tels que ie., Par les moôomes homogènes de degré m.

International audience We study convolution powers $\mathtt{id}^{\ast n}$ of the identity of graded connected Hopf algebras $H$. (The antipode corresponds to $n=-1$.) The chief result is a complete description of the characteristic polynomial - both eigenvalues and multiplicity - for the action of the operator $\mathtt{id}^{\ast n}$ on each homogeneous component $H_m$. The multiplicities are independent of $n$. This follows from considering the action of the (higher) Eulerian idempotents on a certain Lie algebra $\mathfrak{g}$ associated to $H$. In case $H$ is cofree, we give an alternative (explicit and combinatorial) description in terms of palindromic words in free generators of $\mathfrak{g}$. We obtain identities involving partitions and compositions by specializing $H$ to some familiar combinatorial Hopf algebras. Nous étudions les puissances de convolution $\mathtt{id}^{\ast n}$ de l’identité d’une algèbre de Hopf graduée et connexe $H$ quelconque. (L’antipode correspond à $n=-1$.) Le résultat principal est une description complète du polynôme caractéristique (des valeurs propres et de leurs multiplicités) de l’opérateur $\mathtt{id}^{\ast n}$ agissant sur chaque composante homogène $H_m$. Les multiplicités sont indépendants de $n$. Ceci résulte de l’examen de l’action des idempotents eulériens (supérieures) sur une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ associée à $H$. Dans le cas où $H$ est colibre, nous donnons une description alternative (explicite et combinatoire) en termes de mots palindromes dans les générateurs libres de $\mathfrak{g}$. Nous obtenons des identités impliquant des partitions et compositions en choisissant comme $H$ certaines algèbres de Hopf combinatoires connues.

International audience In this article we study a class of monoids that includes Garside monoids, and give a simple combinatorial proof of a formula for the formal sum of all elements of the monoid. This leads to a formula for the growth function of the monoid in the homogeneous case, and can also be lifted to a resolution of the monoid algebra. These results are then applied to known monoids related to Coxeter systems: we give the growth function of the Artin-Tits monoids, and do the same for the dual braid monoids. In this last case we show that the monoid algebras of the dual braid monoids of type A and B are Koszul algebras. Nous étudions une classe de monoïdes incluant les monoïdes de Garside, et donnons une preuve combinatoire simple d'une formule pour la somme formelle de leurs éléments. Cela mène à une formule pour la fonction de croissance du monoïde dans le cas homogène, et peut être aussi relevé en une résolution de l'algèbre de monoïdes. Ces résultats sont ensuite appliqués aux monoïdes liés aux systèmes de Coxeter : nous donnons la fonction de croissance des monoïdes d'Artin-Tits ainsi que des monoïdes duaux ; pour ces derniers nous montrons que leur algèbre de monoïde en types A et B est une algèbre de Koszul.

Le but de cette thèse est d'étudier certaines super-algèbres non associatives qui sont munies des structures homogènes.Dans la première partie de cette thèse, nous avons étudié les super-algèbres associatives symétriques homogènes. Nous avons généralisé, au cas des super-algèbres associatives, la double extension des algèbres associatives symétriques introduite par A. Aubert.Nous avons utilisé un cas particulier de cette nouvelle notion de double extension pour étudier les super-algèbres de Novikov symétriques paires. En particulier, nous avons donné une description inductive de ces super-algèbres.Ensuite, nous avons montré que toutes les super-algèbres associatives simples possèdent des structures symétriques homogènes. Plus précisément, nous avons donné explicitement sur chaque super-algèbre associative simple une structure symétrique homogène. Ce résultat nous a permis de donner une description inductive complète des super-algèbres associatives symétriques homogènes.Nous avons terminé cette partie en donnant une description inductive des super-algèbres associatives super-commutatives symétriques homogènes symplectiques homogènes. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous avons complété l'étude des super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes commencée par E. Barriero et S. Benayadi. Ensuite, à l'aide des différentes types de double extensions introduites dans la première et la deuxième partie, nous avons introduit la notion de la double extension des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes. Finalement, en utilisant ces nouvelles notions de double extensions, nous avons obtenu des descriptions inductives des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes
The goal of my thesis is to study some non associative superalgebra with homogeneous structures.In the first part, we studied homogeneous symmetric associative superalgebras. We generalized the double extensions of symmetric associative algebras introduced by A. Aubert to the case of associative superalgebras. We used a particular case of this double extension to study even symmetric Novikov superalgebras and we gave its inductive description. Next, we proved that every simple associative superalgebra admits a homogeneous symmetric structure. More precisely, we gave explicitly a homogeneous structure on every simple associative superalgebra. This result, allowed us to give a completely inductive description of associative superalgebras with homogeneous symmetric structures. We ended this part by giving an inductive description of associative super-commutative superalgebras with homogeneous symmetric homogeneous symplectic structures.In the second part of this thesis, we studied the structures of even (resp. odd)-quadratic odd (resp. even)-symplectic Lie superalgebras and odd-quadratic odd-symplectic Lie superalgebras and we gave its inductive descriptions in terms of quadratic generalized double extensions and odd quadratic generalized double extensions. This study complete the inductive descriptions of homogeneous quadratic symplectic Lie superalgebras started by E. Barriero and S. Benayadi. In addition, using different types of double extensions introduced in the first and second parts, we introduced the notion of double extension of homogeneous quadratic homogeneous symplectic Poisson superalgebras and we gave its inductive descriptions

On fait l'etude geometrique des espaces homogenes de poisson. Dans le cas des espaces a feuilles fermees, on etudie ceux de type hamiltonien. On etablit un theoreme de structure qui permet de les classer, et un resultat sur une realisation reguliere d'un espace homogene de poisson de type hamiltonien

Cette these utilise des outils d'algebre homologique et developpe des outils de combinatoire algebrique an de mieux comprendre les varietes de drapeaux partiels d'un groupe de Lie simplement lace. Lusztig a deni un sous-ensemble geometrique remarquable de cette variete : la partie totalement non-negative. Rietsch a introduit une stratication de cette partie totalement non-negative. Fomin et Zelevinsky en ont initie l'etude combinatoire, ce qui les a amenes a inventer la notion d'algebre amassee, avec l'idee que chaque strate de la variete de drapeaux devrait posseder une structure d'algebre amassee donnant lieu a un critere optimal de positivite totale. Geiss, Leclerc et Schroer ont construit, via la categorication, une structure d'algebre amassee sur la grosse cellule de la variete de drapeaux. La categorie utilisee est une sous-categorie des modules sur l'algebre preprojective associee au groupe de Lie simplement lace. Nous utilisons leur construction pour donner des criteres de positivite totale pour la grosse cellule. Nous etudions d'autres sous-categories de modules sur l'algebre preprojective et prouvons, en nous appuyant sur les travaux de Buan, Iyama, Reiten et Scott, qu'elles possedent une structure amassee. Nous expliquons pourquoi les algebres amassees abstraites correspondantes devraient ^etre isomorphes aux anneaux de coordonnees des petites cellules de la variete de drapeaux. Pour la Grassmannienne en type A, nous decrivons explicitement le carquois d'une graine initiale pour la structure d'algebre amassee abstraite que nous avons construite
This thesis uses homological tools and develops combinatorial tools to give a better understanding of partial ag varieties attached to a simply laced Lie group. Lusztig dened remarkable geometrical subsets of these varieties: their totally non-negative counterparts. Rietsch introduced a stratication of this totally non-negative part. Fomin and Zelevinsky have initiated the combinatorial study of this part, and it led them to the notion of cluster algebras. They had the idea that each cell of the partial ag variety should carry a cluster algebra structure, which gives rise to an optimal total positivity criterion. Through the process of categorication, Geiss, Leclerc and Schroer have constructed a cluster algebra structure on the big cell of the ag variety. The category used is a subcategory of modules over the preprojective algebra associated to the simply laced Lie group. We use their construction to give total positivity criteria for the big cell. Then, we would like to extend the previous results to the small cells of the ag variety. We therefore study other subcategories of modules over the preprojective algebra and prove, by relying on the work of Buan, Iyama, Reiten and Scott, that those categories carry a cluster structure. We explain why the corresponding abstract cluster algebras should be isomorphic to coordinate rings of small cells of the ag variety. For the type A Grassmannian, we describe an explicit quiver for an initial seed of this abstract cluster algebra structure we have built

Ce memoire traite de la geometrie des espaces homogenes. Voici quelques uns de nos resultats. Nous fournissons une description, en toute generalite, des structures d'espace de poisson homogene (eph) d'un groupe de lie-poisson quelconque (g, ). Ces structures se presentent comme une famille a un parametre obtenue par deformation d'une structure initiale. Le parametre verifie une equation de maurer-cartan et une condition de projectabilite. En particulier, nous determinons les eph du groupe de lie de heisenberg. Notre description des eph nous permet de prouver un important resultat enonce par v. G. Drinfeld et de fournir une methode de construction des sous-algebres lagrangiennes de l'algebre de lie double de (g, ). Nous decrivons aussi le feuilletage symplectique, des tenseurs de la structure d'eph. Nous prouvons que si est associe a une solution r de yang-baxter classique, le groupe de lie dual de (g, ) est muni d'une structure affine invariante a gauche. Dans le cas ou r est inversible, nous montrons que le double de (g, ) est aussi muni d'une structure affine invariante a gauche et est polynomial de degre au plus 2. D'apres m. Gromov, tout groupe de lie connexe non compact, de dimension impaire, possede une structure de contact. Nous fournissons une methode pour construire des groupes de lie, de centre discret, ayant des formes de contact invariantes a gauche et qui contiennent un sous-groupe symplectique de codimension 1. Entre autres exemples, nous construisons les groupes de lie ayant une forme de contact invariante a gauche et qui contiennent un sous-groupe de lie localement isomorphe au groupe des transformations affines. Nous montrons aussi que (a isomorphisme local pres) parmi les groupes de lie a metrique pseudo-riemannienne bi-invariante, seuls sl(2) et so(3, r) possedent des structures de contact invariantes a gauche.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la théorie des espaces d'opérateurs, des algèbres d'opérateurs (non-autoadjointes) et des espaces Lp non-commutatifs. Elle se divise en deux parties. Dans la première on étudie une certaine classe d'espaces d'opérateurs, à savoir les sous-espaces des C*-algèbres sous-homogènes (i. E. Les sous-espaces de C ([omega], Mn), où [omega] est un compact et n un entier). Dans la seconde partie, on considère l'espace de Schatten Sp en tant qu'espace d'opérateurs. On décrira les sous-espaces de Sp qui sont l'image d'une projection complètement contractante
The framework of this thesis is operator space theory, (non-selfadjoint) operator algebras and noncommutative Lp-spaces. It is divided into two parts. In the first one we study a special class of operator spaces, more precisely the subspaces of subhomogeneous C*-algebras. In the second part, we consider the Schatten space Sp as an operator space. We will describe the subspaces of Sp which are the image of a completely contractive projection

Cette thèse porte sur les motifs de Chow des variétés projectives homogènes, et leurs liens avec des invariants classiques et certaines questions de géométrie rationnelle. Le motif (à coefficients finis) d'un espace homogène sous l'action d'un groupe algébrique semisimple et affine G se décompose de manière essentiellement unique en une somme directe de motifs indécomposables. Ce travail prend part au programme de classification de ces motifs, notre principal outil étant la théorie des motifs supérieurs. Nous montrons que cette classification est réduite à celle à coefficients dans F_p si G est de type intérieur, et trouvons un analogue si G est de type extérieur. Nous classifions ensuite complètement les motifs indécomposables des espaces homogènes sous l'action d'un groupe projectif linéaire et en déduisons la dichotomie motivique de PGL_1. Nous proposons ensuite un outil de décomposition motivique utilisé par Garibaldi, Semenov et Petrov pour déterminer toutes les décompositions d'espaces homogènes si G est de type E_6. Enfin nous montrons que la décomposition des variétés de Severi-Brauer généralisées SB(p, A) à coefficients dans F_p ne dépend que de la valuation p-adique de l'indice de A.

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld
The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double

"Dans cette thèse on étudie des algèbres graduées engendrées de manière finie en degré un avec un nombre fini de relations homogènes de degrés N. Ces algèbres sont dites homogènes de degré N ou N-homogènes. Les algèbres quadratiques correspondent à N=2. Les propriétés homologiques de telles algèbres sont extraites de la généralisation des complexes de Koszul. Après une présentation générale des principales notions homologiques pour les algèbres N- homogènes on s'intéresse aux applications de la théorie à la parastatistique et à la combinatoire. On étudie deux cas particuliers d'algèbres cubiques (N=3): 1. L'algèbre engendrée par les opérateurs de création d'un système de parastatistique à nombre de degrés de liberté fini D, 2. L'algèbre du monoi͏̈de plaxique des tableaux de Young avec entrées dans les D premiers entiers. En utilisant les projecteurs de Young q-déformés, on construit une déformation B+ (q) (B(̄q)) de l'algèbre des opérateurs de création parafermioniques (parabosoniques). On montre que la limite du "zéro absolu" q=0 de B+(q) coi͏̈ncide avec l'algèbre plaxique. La limite q=0 de B(̄q) donne une version "super" de l'algèbre plaxique. Ainsi l'utilisation de techniques des groupes quantiques révèle une connexion remarquable entre parastatistique et combinatoire. "
In this thesis we deal with graded algebras, finitely generated in degree one with relations concentrated in degree N which are reffered to as homogeneous algebras of degree N or N-homogeneous algebras. A quadratic algebra is special case of homogeneous algebra (of degree N = 2). The homological properties of the N-homogeneous algebras are encoded in the (generalization of) chain and cochain Koszul complexes. After a general presentation of the main homological notions for a N-homogeneous algebras we concentrate on the applications of the homogeneous algebras in parastatictics and combinatorics. We study two particular examples of 3-homogeneous algebras: 1. The algebra generated by the creation operators of a parastatistics system with finite number degrees of freedom, 2. The algebra of the plactic monoid which is an algebra of Young tableaux. Using q-deformed Young projectors we construct a q-deformation of the algebra of parafermionic (parabosonic) creation operators B+(q)(B(̄q)). It turns out that the q-deformed algebra B+(q) in the "absolute zero" limit q = 0 coincides with the algebra of the plactic monoid. The limit q = 0 of B(̄q) gives rise to a "super"-plactic algebra. Thus by means of quantum group technics we reveal a surprising connection between parastatistics and combinatorics: the algebraic structure with combinatorial nature, namely the algebra of Young tableaux lies behind the parastatistics Fock spaces

On doit à Friedrich Knop un étonnant théorème qui établit un lien entre algèbres de Lie simples de type A-D-E, et singularités simples de même type. Le résultat est le suivant : on considère la projectivisation de l'orbite de plus haut poids pour l'action adjointe d'un groupe de Lie simple sur son algèbre de Lie (une telle variété est appelée variété adjointe). Il existe alors un hyperplan tangent à l'orbite ayant un unique point singulier du même type que celui de l'algèbre de Lie. Ce théorème est le point de départ de nos travaux. Afin de mieux comprendre ce lien, nous étudions la géométrie des variétés duales des variétés adjointes. Dans le premier chapitre nous prouvons une version duale du théorème de Knop. Notre théorème permet d'obtenir le discriminant d'une singularité simple à partir de la duale de la variété adjointe. L'hyperplan considéré par Knop s'interprète alors comme un point très singulier de la duale. Dans le deuxième chapitre nous considérons le lieu singulier de la duale pour une variétés projective lisse. Nous montrons que l'existence de certaines strates de dimensions maximales équivaut à l'existence de section hyperplane de la variété d'origine admettant des points singuliers d'un type donné. Nous insistons alors sur l'importance de deux strates qui ont un sens géométrique : la duale de la variété des tangentes et la duale de la variété des sécantes. Enfin dans un dernier chapitre nous appliquons ces résultats à l'étude de la normalité des duales des variétés homogènes.

Les variétés homogènes projectives sous un groupe algébrique déployé
ont une géométrie assez simple. La décomposition de Bruhat fournit, en
effet, une décomposition cellulaire de ces variétés. Il en résulte que
l'anneau de Chow de telles variétés admet une base formée des classes
des adhérences de ces cellules, appelées variétés de Schubert.
Il en est de même pour l'anneau de Grothendieck de telles variétés.
Cela entraîne en particulier que ces deux anneaux sont sans torsion.
Plus précisément, la base ainsi obtenue pour l'anneau de Grothendieck
fournit la filtration topologique de cette anneau et redonne
la base de l'anneau de Chow par passage au gradué. D'autre part,
il existe une seconde base due à Pittie et Steinberg de l'anneau
de Grothendieck de ces variétés, invariante sous l'action du groupe de Galois.

Le Chapitre II de la thèse revient, dans le cas des drapeaux complets
associés à un espace vectoriel, sur les résultats connus concernant
la combinatoire donnant les expressions des faisceaux structuraux des
variétés de Schubert dans l'anneau de Grothendieck, ce qui permet, en
suivant les travaux de Lascoux notamment, d'exprimer combinatoirement
la matrice de changement de bases entre les deux bases ci-dessus. Dans
le cas de la variété de drapeaux complets d'un espace vectoriel de
dimension trois, nous donnons des résolutions explicites des faisceaux
structuraux des variétés de Schubert en termes des fibrés de la base
de Pittie.

Les groupes de Chow sont connus en codimension un et ont été étudiés
en codimension deux par Karpenko dans le cas des variétés de
Severi-Brauer. Le calcul des motifs des varietés homogènes projectives
sous le groupe projectif linéaire d'une algébre simple centrale sur un
corps se ramène sous certaines conditions au calcul de motifs de
variétés de Severi-Brauer généralisées, formes de grassmaniennes,
comme l'ont montré Calmès, Petros, Semenov et Zainouline. Dans le
chapitre II, nous construisons des isomorphismes de variétés
explicites qui permettent de ramener le calcul des groupes de Chow de
ces variétés au calcul de groupes de Chow de variétés de Severi-Brauer
généralisées.

Les techniques décrites dans le chapitre III sont réutilisées au
chapitre IV pour redémontrer un résultat de Karpenko sur la
décomposition du motif de Chow de variétés de Severi-Brauer associée
à une algèbre de matrices à coefficients dans une algèbre simple
centrale.