Dissertations / Theses on the topic 'Algèbres homogènes'

Le but de cette thèse est d'étudier certaines super-algèbres non associatives qui sont munies des structures homogènes.Dans la première partie de cette thèse, nous avons étudié les super-algèbres associatives symétriques homogènes. Nous avons généralisé, au cas des super-algèbres associatives, la double extension des algèbres associatives symétriques introduite par A. Aubert.Nous avons utilisé un cas particulier de cette nouvelle notion de double extension pour étudier les super-algèbres de Novikov symétriques paires. En particulier, nous avons donné une description inductive de ces super-algèbres.Ensuite, nous avons montré que toutes les super-algèbres associatives simples possèdent des structures symétriques homogènes. Plus précisément, nous avons donné explicitement sur chaque super-algèbre associative simple une structure symétrique homogène. Ce résultat nous a permis de donner une description inductive complète des super-algèbres associatives symétriques homogènes.Nous avons terminé cette partie en donnant une description inductive des super-algèbres associatives super-commutatives symétriques homogènes symplectiques homogènes. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous avons complété l'étude des super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes commencée par E. Barriero et S. Benayadi. Ensuite, à l'aide des différentes types de double extensions introduites dans la première et la deuxième partie, nous avons introduit la notion de la double extension des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes. Finalement, en utilisant ces nouvelles notions de double extensions, nous avons obtenu des descriptions inductives des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes
The goal of my thesis is to study some non associative superalgebra with homogeneous structures.In the first part, we studied homogeneous symmetric associative superalgebras. We generalized the double extensions of symmetric associative algebras introduced by A. Aubert to the case of associative superalgebras. We used a particular case of this double extension to study even symmetric Novikov superalgebras and we gave its inductive description. Next, we proved that every simple associative superalgebra admits a homogeneous symmetric structure. More precisely, we gave explicitly a homogeneous structure on every simple associative superalgebra. This result, allowed us to give a completely inductive description of associative superalgebras with homogeneous symmetric structures. We ended this part by giving an inductive description of associative super-commutative superalgebras with homogeneous symmetric homogeneous symplectic structures.In the second part of this thesis, we studied the structures of even (resp. odd)-quadratic odd (resp. even)-symplectic Lie superalgebras and odd-quadratic odd-symplectic Lie superalgebras and we gave its inductive descriptions in terms of quadratic generalized double extensions and odd quadratic generalized double extensions. This study complete the inductive descriptions of homogeneous quadratic symplectic Lie superalgebras started by E. Barriero and S. Benayadi. In addition, using different types of double extensions introduced in the first and second parts, we introduced the notion of double extension of homogeneous quadratic homogeneous symplectic Poisson superalgebras and we gave its inductive descriptions

On fait l'etude geometrique des espaces homogenes de poisson. Dans le cas des espaces a feuilles fermees, on etudie ceux de type hamiltonien. On etablit un theoreme de structure qui permet de les classer, et un resultat sur une realisation reguliere d'un espace homogene de poisson de type hamiltonien

Cette these utilise des outils d'algebre homologique et developpe des outils de combinatoire algebrique an de mieux comprendre les varietes de drapeaux partiels d'un groupe de Lie simplement lace. Lusztig a deni un sous-ensemble geometrique remarquable de cette variete : la partie totalement non-negative. Rietsch a introduit une stratication de cette partie totalement non-negative. Fomin et Zelevinsky en ont initie l'etude combinatoire, ce qui les a amenes a inventer la notion d'algebre amassee, avec l'idee que chaque strate de la variete de drapeaux devrait posseder une structure d'algebre amassee donnant lieu a un critere optimal de positivite totale. Geiss, Leclerc et Schroer ont construit, via la categorication, une structure d'algebre amassee sur la grosse cellule de la variete de drapeaux. La categorie utilisee est une sous-categorie des modules sur l'algebre preprojective associee au groupe de Lie simplement lace. Nous utilisons leur construction pour donner des criteres de positivite totale pour la grosse cellule. Nous etudions d'autres sous-categories de modules sur l'algebre preprojective et prouvons, en nous appuyant sur les travaux de Buan, Iyama, Reiten et Scott, qu'elles possedent une structure amassee. Nous expliquons pourquoi les algebres amassees abstraites correspondantes devraient ^etre isomorphes aux anneaux de coordonnees des petites cellules de la variete de drapeaux. Pour la Grassmannienne en type A, nous decrivons explicitement le carquois d'une graine initiale pour la structure d'algebre amassee abstraite que nous avons construite
This thesis uses homological tools and develops combinatorial tools to give a better understanding of partial ag varieties attached to a simply laced Lie group. Lusztig dened remarkable geometrical subsets of these varieties: their totally non-negative counterparts. Rietsch introduced a stratication of this totally non-negative part. Fomin and Zelevinsky have initiated the combinatorial study of this part, and it led them to the notion of cluster algebras. They had the idea that each cell of the partial ag variety should carry a cluster algebra structure, which gives rise to an optimal total positivity criterion. Through the process of categorication, Geiss, Leclerc and Schroer have constructed a cluster algebra structure on the big cell of the ag variety. The category used is a subcategory of modules over the preprojective algebra associated to the simply laced Lie group. We use their construction to give total positivity criteria for the big cell. Then, we would like to extend the previous results to the small cells of the ag variety. We therefore study other subcategories of modules over the preprojective algebra and prove, by relying on the work of Buan, Iyama, Reiten and Scott, that those categories carry a cluster structure. We explain why the corresponding abstract cluster algebras should be isomorphic to coordinate rings of small cells of the ag variety. For the type A Grassmannian, we describe an explicit quiver for an initial seed of this abstract cluster algebra structure we have built

Ce memoire traite de la geometrie des espaces homogenes. Voici quelques uns de nos resultats. Nous fournissons une description, en toute generalite, des structures d'espace de poisson homogene (eph) d'un groupe de lie-poisson quelconque (g, ). Ces structures se presentent comme une famille a un parametre obtenue par deformation d'une structure initiale. Le parametre verifie une equation de maurer-cartan et une condition de projectabilite. En particulier, nous determinons les eph du groupe de lie de heisenberg. Notre description des eph nous permet de prouver un important resultat enonce par v. G. Drinfeld et de fournir une methode de construction des sous-algebres lagrangiennes de l'algebre de lie double de (g, ). Nous decrivons aussi le feuilletage symplectique, des tenseurs de la structure d'eph. Nous prouvons que si est associe a une solution r de yang-baxter classique, le groupe de lie dual de (g, ) est muni d'une structure affine invariante a gauche. Dans le cas ou r est inversible, nous montrons que le double de (g, ) est aussi muni d'une structure affine invariante a gauche et est polynomial de degre au plus 2. D'apres m. Gromov, tout groupe de lie connexe non compact, de dimension impaire, possede une structure de contact. Nous fournissons une methode pour construire des groupes de lie, de centre discret, ayant des formes de contact invariantes a gauche et qui contiennent un sous-groupe symplectique de codimension 1. Entre autres exemples, nous construisons les groupes de lie ayant une forme de contact invariante a gauche et qui contiennent un sous-groupe de lie localement isomorphe au groupe des transformations affines. Nous montrons aussi que (a isomorphisme local pres) parmi les groupes de lie a metrique pseudo-riemannienne bi-invariante, seuls sl(2) et so(3, r) possedent des structures de contact invariantes a gauche.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la théorie des espaces d'opérateurs, des algèbres d'opérateurs (non-autoadjointes) et des espaces Lp non-commutatifs. Elle se divise en deux parties. Dans la première on étudie une certaine classe d'espaces d'opérateurs, à savoir les sous-espaces des C*-algèbres sous-homogènes (i. E. Les sous-espaces de C ([omega], Mn), où [omega] est un compact et n un entier). Dans la seconde partie, on considère l'espace de Schatten Sp en tant qu'espace d'opérateurs. On décrira les sous-espaces de Sp qui sont l'image d'une projection complètement contractante
The framework of this thesis is operator space theory, (non-selfadjoint) operator algebras and noncommutative Lp-spaces. It is divided into two parts. In the first one we study a special class of operator spaces, more precisely the subspaces of subhomogeneous C*-algebras. In the second part, we consider the Schatten space Sp as an operator space. We will describe the subspaces of Sp which are the image of a completely contractive projection

Cette thèse porte sur les motifs de Chow des variétés projectives homogènes, et leurs liens avec des invariants classiques et certaines questions de géométrie rationnelle. Le motif (à coefficients finis) d'un espace homogène sous l'action d'un groupe algébrique semisimple et affine G se décompose de manière essentiellement unique en une somme directe de motifs indécomposables. Ce travail prend part au programme de classification de ces motifs, notre principal outil étant la théorie des motifs supérieurs. Nous montrons que cette classification est réduite à celle à coefficients dans F_p si G est de type intérieur, et trouvons un analogue si G est de type extérieur. Nous classifions ensuite complètement les motifs indécomposables des espaces homogènes sous l'action d'un groupe projectif linéaire et en déduisons la dichotomie motivique de PGL_1. Nous proposons ensuite un outil de décomposition motivique utilisé par Garibaldi, Semenov et Petrov pour déterminer toutes les décompositions d'espaces homogènes si G est de type E_6. Enfin nous montrons que la décomposition des variétés de Severi-Brauer généralisées SB(p, A) à coefficients dans F_p ne dépend que de la valuation p-adique de l'indice de A.

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld
The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double

"Dans cette thèse on étudie des algèbres graduées engendrées de manière finie en degré un avec un nombre fini de relations homogènes de degrés N. Ces algèbres sont dites homogènes de degré N ou N-homogènes. Les algèbres quadratiques correspondent à N=2. Les propriétés homologiques de telles algèbres sont extraites de la généralisation des complexes de Koszul. Après une présentation générale des principales notions homologiques pour les algèbres N- homogènes on s'intéresse aux applications de la théorie à la parastatistique et à la combinatoire. On étudie deux cas particuliers d'algèbres cubiques (N=3): 1. L'algèbre engendrée par les opérateurs de création d'un système de parastatistique à nombre de degrés de liberté fini D, 2. L'algèbre du monoi͏̈de plaxique des tableaux de Young avec entrées dans les D premiers entiers. En utilisant les projecteurs de Young q-déformés, on construit une déformation B+ (q) (B(̄q)) de l'algèbre des opérateurs de création parafermioniques (parabosoniques). On montre que la limite du "zéro absolu" q=0 de B+(q) coi͏̈ncide avec l'algèbre plaxique. La limite q=0 de B(̄q) donne une version "super" de l'algèbre plaxique. Ainsi l'utilisation de techniques des groupes quantiques révèle une connexion remarquable entre parastatistique et combinatoire. "
In this thesis we deal with graded algebras, finitely generated in degree one with relations concentrated in degree N which are reffered to as homogeneous algebras of degree N or N-homogeneous algebras. A quadratic algebra is special case of homogeneous algebra (of degree N = 2). The homological properties of the N-homogeneous algebras are encoded in the (generalization of) chain and cochain Koszul complexes. After a general presentation of the main homological notions for a N-homogeneous algebras we concentrate on the applications of the homogeneous algebras in parastatictics and combinatorics. We study two particular examples of 3-homogeneous algebras: 1. The algebra generated by the creation operators of a parastatistics system with finite number degrees of freedom, 2. The algebra of the plactic monoid which is an algebra of Young tableaux. Using q-deformed Young projectors we construct a q-deformation of the algebra of parafermionic (parabosonic) creation operators B+(q)(B(̄q)). It turns out that the q-deformed algebra B+(q) in the "absolute zero" limit q = 0 coincides with the algebra of the plactic monoid. The limit q = 0 of B(̄q) gives rise to a "super"-plactic algebra. Thus by means of quantum group technics we reveal a surprising connection between parastatistics and combinatorics: the algebraic structure with combinatorial nature, namely the algebra of Young tableaux lies behind the parastatistics Fock spaces

On doit à Friedrich Knop un étonnant théorème qui établit un lien entre algèbres de Lie simples de type A-D-E, et singularités simples de même type. Le résultat est le suivant : on considère la projectivisation de l'orbite de plus haut poids pour l'action adjointe d'un groupe de Lie simple sur son algèbre de Lie (une telle variété est appelée variété adjointe). Il existe alors un hyperplan tangent à l'orbite ayant un unique point singulier du même type que celui de l'algèbre de Lie. Ce théorème est le point de départ de nos travaux. Afin de mieux comprendre ce lien, nous étudions la géométrie des variétés duales des variétés adjointes. Dans le premier chapitre nous prouvons une version duale du théorème de Knop. Notre théorème permet d'obtenir le discriminant d'une singularité simple à partir de la duale de la variété adjointe. L'hyperplan considéré par Knop s'interprète alors comme un point très singulier de la duale. Dans le deuxième chapitre nous considérons le lieu singulier de la duale pour une variétés projective lisse. Nous montrons que l'existence de certaines strates de dimensions maximales équivaut à l'existence de section hyperplane de la variété d'origine admettant des points singuliers d'un type donné. Nous insistons alors sur l'importance de deux strates qui ont un sens géométrique : la duale de la variété des tangentes et la duale de la variété des sécantes. Enfin dans un dernier chapitre nous appliquons ces résultats à l'étude de la normalité des duales des variétés homogènes.

Les variétés homogènes projectives sous un groupe algébrique déployé
ont une géométrie assez simple. La décomposition de Bruhat fournit, en
effet, une décomposition cellulaire de ces variétés. Il en résulte que
l'anneau de Chow de telles variétés admet une base formée des classes
des adhérences de ces cellules, appelées variétés de Schubert.
Il en est de même pour l'anneau de Grothendieck de telles variétés.
Cela entraîne en particulier que ces deux anneaux sont sans torsion.
Plus précisément, la base ainsi obtenue pour l'anneau de Grothendieck
fournit la filtration topologique de cette anneau et redonne
la base de l'anneau de Chow par passage au gradué. D'autre part,
il existe une seconde base due à Pittie et Steinberg de l'anneau
de Grothendieck de ces variétés, invariante sous l'action du groupe de Galois.

Le Chapitre II de la thèse revient, dans le cas des drapeaux complets
associés à un espace vectoriel, sur les résultats connus concernant
la combinatoire donnant les expressions des faisceaux structuraux des
variétés de Schubert dans l'anneau de Grothendieck, ce qui permet, en
suivant les travaux de Lascoux notamment, d'exprimer combinatoirement
la matrice de changement de bases entre les deux bases ci-dessus. Dans
le cas de la variété de drapeaux complets d'un espace vectoriel de
dimension trois, nous donnons des résolutions explicites des faisceaux
structuraux des variétés de Schubert en termes des fibrés de la base
de Pittie.

Les groupes de Chow sont connus en codimension un et ont été étudiés
en codimension deux par Karpenko dans le cas des variétés de
Severi-Brauer. Le calcul des motifs des varietés homogènes projectives
sous le groupe projectif linéaire d'une algébre simple centrale sur un
corps se ramène sous certaines conditions au calcul de motifs de
variétés de Severi-Brauer généralisées, formes de grassmaniennes,
comme l'ont montré Calmès, Petros, Semenov et Zainouline. Dans le
chapitre II, nous construisons des isomorphismes de variétés
explicites qui permettent de ramener le calcul des groupes de Chow de
ces variétés au calcul de groupes de Chow de variétés de Severi-Brauer
généralisées.

Les techniques décrites dans le chapitre III sont réutilisées au
chapitre IV pour redémontrer un résultat de Karpenko sur la
décomposition du motif de Chow de variétés de Severi-Brauer associée
à une algèbre de matrices à coefficients dans une algèbre simple
centrale.

Un espace préhomogène (note P. H. ) est la donnée d'un groupe algébrique linéaire connexe opérant sur un espace vectoriel de dimension finie sur C avec une orbite ouverte. La première version de la théorie des P. H. A été publiée par M. Sato en 1970 (en japonais, rédigée par T. Shintani). La classification des P. H. Irréductibles a été obtenue par Sato et Kimura en 1977. Nous devons la notion de P. H. De type parabolique (note P. H. P. ) à H. Rubenthaler qui a donné la classification des quasi-irréductibles réguliers dans sa thèse d'état. Dans ce travail, nous introduisons deux nouvelles classes de P. H. : les 1-élémentaires et les élémentaires et nous démontrons les résultats : *) irréductible régulier=>quasi-irréductible régulier=>1-élémentaire=>élémentaire régulier; *) tout P. H. Régulier est somme directe de P. H. élémentaires réguliers. Enfin, nous donnons la classification des P. H. P. Classiques élémentaires réguliers et celle des P. H. P. Exceptionnels réguliers

Cette thèse porte sur l’étude de diverses conséquences des résultats de catégorifications monoïdales d'algèbres amassées par les algèbres de Hecke carquois, établis dans les travaux de Kang-Kashiwara-Kim-Oh [69]. Nous nous intéresserons en particulier à trois aspects de cette théorie: en premier lieu celui de la combinatoire, puis de la géométrie polytopale, et enfin celui de la théorie des représentations géométrique. Nous étudierons tout d'abord certaines relations combinatoires entre objets de nature a priori différentes: d'une part, les g-vecteurs au sens de Fomin-Zelevinsky, et d'autre part les partitions de racines qui paramétrisent les représentations simples de dimension finie des algèbres de Hecke carquois de type fini. Ces relations proviennent directement de certaines compatibilités remarquables entre différents ordres partiels naturels issus respectivement de la théorie des algèbres amassées et de la théorie des représentations. Nous montrons l'existence de telles relations dans le cas d'algèbres de Hecke carquois de type A_n. Nous établissons également une expression explicite pour les partitions de racines associées aux modules déterminantaux qui catégorifient une graine standard particulière de C[N]. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la construction de polytopes de Newton-Okounkov en utilisant de manière naturelle la théorie des représentations des algèbres de Hecke carquois. Nous commencerons par étendre les résultats de la partie précédente au cas d'algèbres de Hecke carquois de tout type (fini) simplement lacé, et ce grâce aux récents résultats de Kashiwara-Kim [72]. Ceci joue un rôle important dans la preuve de plusieurs propriétés combinatoires et géométriques de ces polytopes. Nous montrons ainsi que les volumes de certains de ces polytopes sont reliés à des formules des équerres (colorée) issues de la théorie combinatoire des éléments complètement commutatifs des groupes de Weyl. Enfin, nous étudierons les modules déterminantaux catégorifiant les graines standard de C[N] à l’aide d'une notion géométrique a priori non reliée à la théorie des algèbres de Hecke carquois ni aux algèbres amassées et appelée multiplicité équivariante, introduite par Joseph [63], Rossmann [108] et Brion [17]. Baumann-Kamnitzer-Knutson [6] ont récemment défini un morphisme d'algèbre D sur C[N] relié aux multiplicités équivariantes des cycles de Mirkovic-Vilonen via la correspondance de Satake géométrique. Nous montrons qu'en types A_n et D_4, l’évaluation de D sur les mineurs drapeaux de C[N] prend une forme distinguée, semblable aux valeurs prises par D sur les éléments de la base canonique duale correspondant aux modules fortement homogènes des algèbres de Hecke carquois selon la construction de Kleshchev-Ram [78]. Ceci soulève également la question de certaines propriétés de lissité des cycles MV correspondant aux mineurs drapeaux de C[N]. Nous mettons également en évidence certaines relations entre les images par D des mineurs drapeaux d'une même graine standard et nous montrons qu'en tous types ADE ces relations sont préservées par mutation d'une graine standard à une autre
The purpose of this thesis is to investigate various consequences of Kang-Kashiwara-Kim-Oh's monoidal categorifications of cluster algebras via quiver Hecke algebras [69]. We are interested in three different aspects of this theory: combinatorics, polytopal geometry, and geometric representation theory. We begin by studying some combinatorial relationships between objects of different natures: the g-vectors in the sense of Fomin-Zelevinsky on the one hand, and the root partitions parametrizing irreducible finite-dimensional representations of finite type quiver Hecke algebras on the other hand. These relationships arise from certain compatibilities between various natural partial orderings respectively coming from cluster theory and representation theory. We prove the existence of such relationships in the case of quiver Hecke algebras of type A_n. We also provide an explicit description of the root partitions associated to the determinantial modules categorifying a particular standard seed in C[N]. The second part of this thesis is devoted to constructing Newton-Okounkov polytopes in a natural way using the representation theory of quiver Hecke algebras. We begin by extending the results of the previous part to any (finite) simply-laced type using recent results of Kashiwara-Kim [72]. This plays a key role for proving several combinatorial and geometric properties of these polytopes. In particular, we show that the volumes of certain of these polytopes are related to (colored) hook formulae coming from the combinatorics of fully-commutative elements of Weyl groups. Finally, we study the determinantial modules categorifying the standard seeds of C[N] using certain a priori unrelated geometric tools, called equivariant multiplicities, introduced by Joseph [63], Rossmann [108] and Brion [17]. Baumann-Kamnitzer-Knutson [6] recently defined an algebra morphism on C[N] related to the equivariant multiplicities of Mirkovic-Vilonen cycles via the geometric Satake correspondence. We show that in types A_n and D_4, the evaluation of D on the flag minors of C[N] takes a distinguished form, similar to the values of D on the elements of the dual canonical basis corresponding to Kleshchev-Ram's [78] strongly homogeneous modules over quiver Hecke algebras. This also raises the question of certain smoothness properties of the MV cycles corresponding to the flag minors of C[N]. We also exhibit certain identities relating the images under D of the flag minors belonging to the same standard seed and we show that in any ADE type these relations are preserved under cluster mutation from one standard seed to another

Ce mémoire porte sur l'étude des surfaces minimales et de courbure moyenne constante dans les espaces homogènes de dimension 3. Nous établissons les formules de Sym-Bobenko pour les surfaces de courbure moyenne constante 1/2 de H^2xR et minimales du groupe de Heisenberg, et donnons des exemples de construction de telles immersions par la méthode DPW. Nous montrons également que des propriétés de symétrie passent aux correspondances de type surfaces sœurs et cousines, ce qui entraîne l'existence de graphes entiers de courbure moyenne constante 1/2 à bout vertical dans H^2xR qui ne sont pas de révolution. Nous reprenons ensuite l'étude des bouts verticaux d'immersions de courbure moyenne constante 1/2 dans H^2xR. Nous munissons une famille de graphes entiers d'une structure de variété lisse et en déduisons un analogue pour H^2xR d'un théorème de A. E. Treibergs pour l'espace de Minkowski. Nous nous intéressons également aux déformations des anneaux de révolution. Une conséquence directe est l'existence d'anneaux immergés qui ne sont pas de révolution. Nous construisons notamment des anneaux dont les bouts n'ont pas le même axe. Enfin, nous décrivons les invariants de Nœther correspondant aux isométries des espaces homogènes pour les surfaces minimales et de courbure moyenne constante. Nous utilisons le formalisme de la géométrie de contact qui permet l'écriture de formules explicites en toute généralité, et nous étudions l'évolution des formes de Nœther sous l'action des isométries des espaces homogènes. Nous calculons ces invariants dans le cas des anneaux déformés de H^2xR, et dans celui des anneaux horizontaux du groupe de Heisenberg

Soient $X$ et $Y$ des variétés au dessus d’un corps $F$. Dans de nombreuses situations, il s’avère important de savoir si un cycle algébrique modulo équivalence rationnelle y sur Y, défini au dessus du corps des fonctions $F(X)$ de $X$, est en fait déjà défini au niveau du corps de base $F$. Dans cet essai, on traite de cette question, en faisant varier la variété $X$ parmi des variétés telles que des quadriques, des variétés projectives homogènes ou des espaces principaux homogènes. Dans chaque situation, on utilise des outils appropriés tels que les opérations de Steenrod, des résultats de décomposition motivique, ou certains invariants cohomologiques de groupes algébriques
Let $X$ and $Y$ be some varieties over a field $F$. In many situations, it is important to know if an algebraic cycle modulo rational equivalence $y$ on $Y$ defined over the function field $F(X)$ of $X$ is actually defined over the base field $F$. In this dissertation, we study that matter, making the variety $X$ vary among varieties such as quadrics, projective homogeneous varieties or principal homogeneous spaces. In each situation, we use appropriate tools, such as Steenrod operations, motivic decomposition results or cohomological invariants of algebraic groups

Dans la première partie de cette thèse, on formule deux méthodes pour le calcul d'une décomposition polyadique canonique avec facteurs matriciels linéairement structurés (tels que des facteurs de Toeplitz ou en bande): un algorithme de moindres carrés alternés contraint (CALS) et une solution algébrique dans le cas où tous les facteurs sont circulants. Des versions exacte et approchée de la première méthode sont étudiées. La deuxième méthode fait appel à la transformée de Fourier multidimensionnelle du tenseur considéré, ce qui conduit à la résolution d'un système d'équations monomiales homogènes. Nos simulations montrent que la combinaison de ces approches fournit un estimateur statistiquement efficace, ce qui reste vrai pour d'autres combinaisons de CALS dans des scénarios impliquant des facteurs non-circulants. La seconde partie de la thèse porte sur la récupération de tenseurs de rang faible et, en particulier, sur le problème de reconstruction tensorielle (TC). On propose un algorithme efficace, noté SeMPIHT, qui emploie des projections séquentiellement optimales par mode comme opérateur de seuillage dur. Une borne de performance est dérivée sous des conditions d'isométrie restreinte habituelles, ce qui fournit des bornes d'échantillonnage sous-optimales. Cependant, nos simulations suggèrent que SeMPIHT obéit à des bornes optimales pour des mesures Gaussiennes. Des heuristiques de sélection du pas et d'augmentation graduelle du rang sont aussi élaborées dans le but d'améliorer sa performance. On propose aussi un schéma d'imputation pour TC basé sur un seuillage doux du coeur du modèle de Tucker et son utilité est illustrée avec des données réelles de trafic routier
In the first part of this thesis, we formulate two methods for computing a canonical polyadic decomposition having linearly structured matrix factors (such as, e.g., Toeplitz or banded factors): a general constrained alternating least squares (CALS) algorithm and an algebraic solution for the case where all factors are circulant. Exact and approximate versions of the former method are studied. The latter method relies on a multidimensional discrete-time Fourier transform of the target tensor, which leads to a system of homogeneous monomial equations whose resolution provides the desired circulant factors. Our simulations show that combining these approaches yields a statistically efficient estimator, which is also true for other combinations of CALS in scenarios involving non-circulant factors. The second part of the thesis concerns low-rank tensor recovery (LRTR) and, in particular, the tensor completion (TC) problem. We propose an efficient algorithm, called SeMPIHT, employing sequentially optimal modal projections as its hard thresholding operator. Then, a performance bound is derived under usual restricted isometry conditions, which however yield suboptimal sampling bounds. Yet, our simulations suggest SeMPIHT obeys optimal sampling bounds for Gaussian measurements. Step size selection and gradual rank increase heuristics are also elaborated in order to improve performance. We also devise an imputation scheme for TC based on soft thresholding of a Tucker model core and illustrate its utility in completing real-world road traffic data acquired by an intelligent transportation