Academic literature on the topic 'Analyse d'erreur a priori et a posteriori'

La pisciculture est une des activités de production animale parmi les plus diversifiées pour ce qui est des écosystèmes concernés et des niveaux d’intensification, voire la plus diversifiée en terme de nombre d’espèces élevées. Cependant, quelques dizaines d’espèces seulement permettent des productions majeures (FAO 2002). La tendance à une diversification croissante peut s’expliquer par différentes raisons : - multiplicité des écosystèmes colonisés et, en particulier, développement de la pisciculture marine ; - réponse à la demande récente du marché pour une diversification des produits allant d’une offre pour marchés «niche» de connaisseurs jusqu’à la mise à disposition de matières premières destinées à la transformation sous toutes ses formes - nécessité de disposer des espèces les mieux adaptées à la diversité des environnements aquatiques et aux nouvelles techniques d’élevage, mais aussi de répartir les risques pathologiques. Toutes les analyses et prospectives identifient comme forte cette tendance à accroître le nombre d’espèces élevées, la traduisant parfois comme une demande prioritaire (Anonyme 2002). Pour accompagner cette évolution, la communauté scientifique a généralement mis en œuvre des démarches de zootechnie expérimentale à partir de quelques espèces de poissons prises comme modèles biologiques. Cette démarche apparaît cependant vite répétitive et atteint d’autant plus ses limites que le nombre d’espèces concernées est important. Des méthodes ont été proposées afin de rendre plus rationnel, et donc plus fiable, le choix d’espèces pouvant faire l’objet de travaux scientifiques (Quéméner et al 2002). Cependant, lorsque la candidature à l’élevage d’une nouvelle espèce est retenue, que ce soit par des méthodes d’analyse rigoureuses ou de manière plus empirique, les démarches zootechniques et expérimentales classiques ne sont plus considérées comme originales et sont de plus en plus difficilement valorisables, d’un point de vue scientifique, jusqu’à ne plus être du ressort des institutions de recherche publiques, mais plutôt de celui de centres techniques (Itavi, Agences régionales de développement, certaines structures d’enseignement …). Dans ce contexte, la manière dont doit être traitée la question de la diversification des espèces en pisciculture mérite d’être approfondie pour les raisons suivantes : - dans le cas d’espèces « nouvelles » pour la pisciculture, aucune expérience zootechnique, par essence même, n’existe et généralement très peu de connaissances de nature biologique sont disponibles. Développer de manière systématique des approches classiques pour ces espèces peut nécessiter des moyens de recherche-développement assez considérables ; - l’importance du champ d’investigation incite au choix d’espèces - modèles ou à la mise en œuvre d’approche générique permettant d’apporter des réponses avec une vision et des retombées les plus étendues possibles ; - l’élaboration de méthodes rationnelles, optimisées et généralisables devrait permettre d’accélérer un processus de domestication contrôlé, alors qu’aujourd’hui ce processus est plutôt constaté a posteriori ; - les travaux d’intérêt piscicole à mener présentent l’originalité de permettre une analyse comparée d’animaux en cours de domestication avec les souches sauvages fondatrices restant souvent disponibles. Les articles de ce numéro spécial s’inscrivent dans cette réflexion. Ils font suite à des communications présentées lors d’un séminaire « Diversification - Domestication » organisé à Nantes les 24 et 25 juin 2003 par l’Inra en collaboration avec l’Ifremer. Reposant sur la confrontation des expériences, son objet était d’explorer l’intérêt et la faisabilité de recherches génériques sur la diversification des espèces de poissons, passant par l’identification d’espèces cibles et modèles, l’analyse des processus biologiques impliqués dans la domestication et l’élaboration de méthodes comparatives pertinentes. Une réflexion sur les systèmes de production - exploitation est menée en parallèle de manière complémentaire. Une première session était consacrée à la notion de domestication (à quel moment peut-on considérer qu’une espèce est domestiquée ? Qu’est-ce que le processus de domestication ?) et aux critères qui caractérisent une espèce domestiquée par comparaison à la population sauvage d’origine. Une autre manière d’aborder la domestication (session II) est d’identifier ce que certaines espèces animales ont vécu «entre les mains» de l’homme. Au-delà de l’aléatoire et de l’empirisme, existe-t-il des procédures ou des stratégies convergentes de domestication (capture, échantillonnage, mise en élevage, ajustements des facteurs zootechniques, maîtrise de telle ou telle fonction, sélection ...) ? L’examen de convergences dans les stratégies de domestication au travers d’exemples portant sur différentes filières de production peut nous permettre d’en faire l’analyse. La mise en œuvre d’approches génériques nécessite de disposer d’espèces modèles pour aborder les possibilités et les contraintes de la domestication chez les poissons. Ceci passe par l’identification de groupes d’espèces ayant des caractéristiques communes et ce pour chacune des fonctions physiologiques susceptibles de répondre à un effort de domestication et/ou de conditionner sa réussite. Si des typologies académiques existent dans la littérature, la session III se voulait davantage une réflexion sur l’établissement de typologies «fonctionnelles» des espèces, fondées sur une démarche comparative et l’utilisation d’exemples concrets de domestications réussies, en cours ou envisageables. Dans le cas des poissons, une domestication envisagée a priori passe, en particulier pour les espèces «nouvelles », par le prélèvement d’un échantillon du génotype sauvage et, dans la situation la plus contrôlée, par la reproduction et la multiplication du noyau fondateur, enrichi ou non par des apports complémentaires issus du milieu naturel. La session IV abordait la question du choix initial, puis de la gestion d’un génotype dans une démarche de domestication.

Dans cette thèse nous nous intéressons à l'analyse d'erreur a priori et a posteriori de méthodes d'éléments finis mixtes et non-conformes. Nous considérons en particulier les équations de Darcy à perméabilité fortement variable et les équations de convection-diffusion-réaction en régime de convection dominante. Nous discrétisons les équations de Darcy par une méthode d'éléments finis mixtes non-conformes de type Petrov-Galerkin appelée schéma boîte. Les techniques d'estimations d'erreur a posteriori par résidu et hiérarchique conduisent à des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux indépendamment des fluctuations de la perméabilité. Les résultats théoriques sont validés numériquement sur différents cas tests présentant de forts contrastes de perméabilité. Enfin, nous montrons comment les indicateurs d'erreur obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs. Nous discrétisons les équations de convection-diffusion-réaction par des éléments finis nonconformes. Deux méthodes de stabilisation sont étudiées: la stabilisation par viscosité de sous-maille, conduisant à un schéma boîte et la méthode de pénalisation sur les faces. Nous montrons que les deux schémas ainsi obtenus ont les mêmes propriétés de convergence que les approximations par éléments finis conformes. Grâce aux techniques d'estimations d'erreur par résidu nous obtenons des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux. Certains des indicateurs d'erreur sont robustes au sens de Verfürth, c'est à dire que le rapport des constantes intervenant dans les inégalités de fiabilité et d'optimalité explose en au plus l'inverse du nombre de Péclet. Les résultats théoriques sont validés numériquement et les indicateurs d'erreur a posteriori obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs sur des problèmes présentant des couches intérieures.

Dans ce travail, nous étudions le raffinement de maillage pour des méthodes d'éléments finis mixtes duales pour deux types de problèmes : le premier concerne le problème de l'élasticité linéaire et le second problème celui de l'élastodynamique.

Pour ces deux types de problèmes et dans des domaines non réguliers, les méthodes d'éléments finis mixtes analysées jusqu'à présent, sont celles qui concernent des méthodes mixtes "classiques". Ici, nous analysons la formulation mixte duale pour les deux problèmes de l'élasticité linéaire et de l'élastodynamique.
Pour le problème d'élasticité, nous sommes concernés premièrement par une analyse a priori d'erreur en utilisant l'approximation par l'élément fini $BDM_1$ stabilisé. Afin de dériver une estimation a priori optimales d'erreur, nous établissons des règles de raffinement de maillage.
Ensuite, nous faisons une analyse d'erreur à posteriori sur un domaine simplement ou multiplement connexe. En fait nous établissons un estimateur résiduel fiable et efficace. Cet estimateur est alors utilisé dans un algorithme adaptatif pour le raffinement automatique de maillage. Pour le problème de l'élastodynamique, nous faisons une analyse a priori d'erreur en utilisant le même élément fini que pour le problème d'élasticité, en utilisant une formulation mixte duale pour la discrétisation des variables spatiales.
Pour la discrétisation en temps nous étudions les deux schémas de Newmark explicite et implicite. Par des règles de raffinement de maillage appropriées, nous dérivons des estimées d'erreur optimales pour les deux schémas numérique.

Dans ce travail, nous étudions le raffinement de maillage pour des méthodes d'éléments finis mixtes duales pour deux types de problèmes: le premier concerne le problème de l'élasticité linéaire et le second problème celui de l'élastodynamique. Pour le problème d'élasticité, nous sommes concernés premièrement par une analyse a priori d'erreur en utilisant l'approximation par l'élément fini BDM stabilisé. Afin de dériver une estimation a priori optimales d'erreur, nous établissons des règles de raffinnement de maillage. Ensuite, nous faisons une analyse d'erreur à posteriori sur un domaine simplement ou multiplement connexe. En fait nous établissons un estimateur residuel fiable et efficace. Cet estimateur est alors utilisé dans un algorithme adaptatif pour le raffinement automatique de maillage. Pour le problème de l'élastodynamique, nous faisons une analyse a priori d'erreur en utilisant le même élément fini que pour le problème d'élasticité, en utilisant une formulation mixte duale pour la discrétisation des variables spatiales. Pour la discrétisation en temps nous étudians les deux schemas de Newmark explicite et implicite. Par des règles de raffinnement de maillage appropriées
In this work, we study the refinement of grids for the dual mixed finite element method for 2 types of problems : the 1st one concerns the linear elasticity problem and the 2nd one the linear elastodynamic problem. Here, we analyze the dual mixed formulation for both linear elastodynamic problems. For the elasticity problem, we are concerned firstly by an a priori error analysis when using finite element approximation by stabilzed BDM element. Then, we make an a posteriori error analysis for the dual mixed finite element method for both a simply and a multiply connected domain. In fact we establish a residue based reliable and efficient error estimator for the dual mixed finite element method. This estimator is then used in an adaptive algotrithm for automatic mesh refinement. For the elastodynamic problem, we make an a priori error analysis when using the same finite element as for the elasticity problem, using a dual mixed formulation for the discretization in time. By adequete refinement rules on the regular family of trinagulations we derive optimal a priori error estimates for the explicit-in-time and implicit-in-time numerical schemes

La théorie de la supraconductivité, modélisée par Ginzburg et Landau, motive les travaux relatifs à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique. L'objet de cette thèse est d'analyser l'influence de la géométrie du domaine sur l'apparition de la supraconductivité en étendant les résultats existant pour des domaines réguliers à des domaines à coins. L'analyse semi-classique conduit à étudier trois opérateurs modèles : la réalisation de Neumann de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant sur le plan, le demi-plan et les secteurs angulaires. L'étude des deux premiers est bien connue et nous nous concentrons sur le dernier. Après avoir déterminé le bas du spectre essentiel, nous montrons que le bas du spectre est une valeur propre pour un secteur d'angle aigu. Nous explicitons le développement limité de la plus petite valeur propre quand l'angle du secteur tend vers 0 et précisons la localisation de l'état fondamental grâce aux techniques d'Agmon. Nous illustrons et estimons ensuite le comportement des vecteurs et valeurs propres à l'aide d'outils numériques basés sur la méthode des éléments finis. La localisation de l'état fondamental rend le problème discret très mal conditionné mais l'analyse des propriétés de l'opérateur et des défauts des méthodes classiques permet malgré tout de mettre en oeuvre un algorithme robuste et efficace calculant l'état fondamental. Afin d'améliorer les résultats numériques, nous construisons des estimateurs a posteriori pour ce problème aux valeurs propres et utilisons les techniques de raffinement de maillages pour localiser l'état propre dans des domaines généraux et étudier la variation du bas du spectre en fonction de l'angle du secteur.

Les travaux de recherche de cette habilitation se situent dans le domaine de l'Analyse Numérique des Equations aux Dérivées Partielles et portent sur la modélisation, la discrétisation, l'analyse a priori et a posteriori de schémas et la simulation numérique de différents problèmes issus de la mécanique. Un fil conducteur de ces travaux est l'utilisation et l'étude des méthodes d'éléments finis (conformes, non-conformes, mixtes, de Galerkin discontinus, stabilisés) et des formulations mixtes. Les domaines d'application abordés sont la mécanique des solides élastiques, l'ingénierie pétrolière et la mécanique des fluides, newtoniens et non-newtoniens. Ainsi, des problèmes d'élasticité linéaire, comme la discrétisation de deux modèles de plaque mince en flexion munie de conditions aux limites physiques, ont été considérés. Des écoulements anisothermes dans les milieux poreux, décrits par les équations de Darcy-Forchheimer avec un bilan d'énergie exhaustif dans les cas mono et multi-phasique, ainsi qu'un couplage thermo-mécanique puits - réservoir pétrolier ont aussi été étudiés, dans le cadre d'une collaboration industrielle avec Total. Enfin, plusieurs questions en mécanique des fluides ont été abordées, comme la discrétisation robuste des équations de Stokes par une méthode de Galerkin discontinue en lien avec les éléments finis non-conformes, le traitement des conditions aux limites non-standard pour les équations de Navier-Stokes, la modélisation hiérarchique multi-dimensionnelle des écoulements fluviaux à surface libre, la simulation réaliste des écoulements de liquides polymères et la stabilité des schémas numériques par rapport aux paramètres physiques, en particulier pour le modèle de Giesekus.

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.

Il existe peu de codes commerciaux pour la simulation numérique des écoulements de liquides polymères. Les difficultés proviennent des propriétés intrinsèques des polymères, qui sont des fluides viscoélastiques non-newtoniens. Ceci implique un couplage entre la viscoélasticité du liquide et l'écoulement, couplage quantifié par le nombre de Weissenberg. D'un point de vue numérique, la source du problème est la perte de convergence des algorithmes lorsque ce nombre devient trop élevé. Cette thèse porte sur le développement de schémas numériques robustes pour la simulation de ces écoulements en considérant principalement le modèle de Giesekus. Nous nous sommes d'abord intéressés au problème de Stokes et nous avons fait l'étude d'une méthode de Galerkin discontinue moins coûteuse et plus robuste que la méthode "Interior Penalty" classique. Nous avons fait une analyse a priori et a posteriori et nous avons mis en évidence les relations entre cette méthode dG et les éléments finis non-conformes. Les résultats théoriques obtenus ont été validés numériquement. Par la suite, nous avons considéré le modèle à trois champs de Giesekus. La vitesse et la pression sont approchées par éléments finis non-conformes tandis que l'équation constitutive est traitée à l'aide d'éléments finis discontinus et d'un schéma décentré de type Lesaint-Raviart. L'analyse de ces schémas dans le cas quadrangulaire et triangulaire a été faite pour le problème de Stokes sous-jacent. Ces schémas ont ensuite été implémentés dans la librairie C++ Concha. Nous avons effectué des comparaisons avec des données expérimentales mettant en évidence le bon comportement du modèle de Giesekus mais aussi avec le code commercial Polyflow et une solution semi-analytique afin de valider nos schémas numériques. Nous avons obtenu des simulations réalistes pour des nombres de Weissenberg élevés sur des cas-tests populaires : écoulement autour d'un cylindre, contractions 4:1 et 4:1:4