Academic literature on the topic 'Apolarity Theory'

AbstractIn Part II, we shall be concerned with applications of classical invariant theory, to statistic physics and to theta functions. Main theorem in Chapter 2 is stated as follows:For a partition functionsatisfying γl ≥ 0 (l ≥ 1) and α > 0, the 2n-apolar of ξ(s)has the expansionsuch that βn,1 ≥ 0 (l ≥ 2). This means, for a given partition function ξ(s) with nonnegative relative probabilities, we construct a sequence of partition functions A2n (ξ(s), ξ(s))n≥1 with the same properties, which may be considered a sequence of symbolical higher derivative of ξ(s). The main theorem in Chapter 3 is stated as follows: For given theta functions φ1(z) and φ2(z) of level n1 and n2 respectively, in g variables z = (z1, z2,…, zg), then r = (r1, r2,…, rg-apolaris a theta function of level n1 + n2, and

The aim of this thesis is to investigate the tensor decomposition of structured tensors related to SL(n)-irreducible representations. Structured tensors are multilinear objects satisfying specific symmetry relations and their decompositions are of great interest in the applications. In this thesis we look for the decompositions of tensors belonging to irreducible representations of SL(n) into sum of elementary objects associated to points of SL(n)-rational hoogeneous varieties. This family includes Veronese varieties (symmetric tensors), Grassmann varieties (skew-symmetric tensors), and flag varieties. A classic tool to study the decomposition of symmetric tensors is the apolarity theory, which dates back to Sylvester. An analogous skew-symmetric apolarity theory for skew-symmetric tensors have been developed only few years ago. In this thesis we describe a global apolarity theory called Schur apolarity theory, which is suitable for tensors belonging to any irreducible representation of SL(n). Examples, properties and applications of such apolarity are studied with details and original results both in algebra and geoemtry are provided.

This thesis is concerned with deformation theory of finite subschemes of smooth varieties. Of central interest are the smoothable subschemes (i.e., limits of smooth subschemes). We prove that all Gorenstein subschemes of degree up to 13 are smoothable. This result has immediate applications to finding equations of secant varieties.We also give a description of nonsmoothable Gorenstein subschemes of degree 14, together with an explicit condition for smoothability.We prove that being smoothable is a local property, that it does not depend on the embedding and it is invariant under a base field extension. The above results are equivalently stated in terms of the Hilbert scheme of points, which is the moduli space for this deformation problem.We extensively use the combinatorial framework of Macaulay's inverse systems. We enrich it with a pro-algebraic group action and use this to reprove and extend recent classification results by Elias and Rossi. We provide a relative version of this framework and use it to give a local description of the universal family over the Hilbert scheme of points.We shortly discuss history of Hilbert schemes of points and provide a list of open questions.<br>Tematem rozprawy są deformacje podschematów skończonych gładkich rozmaitości. Koncentrujemy się na schematach wygładzalnych (tj. będących granicami schematów gładkich). Dowodzimy, że wszystkie schematy Gorensteina stopnia co najwyżej 13 są wygładzalne. To twierdzenie ma bezpośrednie zastosowanie dla znajdowania równań rozmaitości siecznych.Podajemy również opis niewygładzalnych schematów Gorensteina stopnia 14 wraz z warunkiem na wygładzalność.Dowodzimy, że wygładzalność jest własnością lokalną oraz że nie zależy ona od zanurzenia i że jest niezmienna przy rozszerzeniu ciała bazowego. Powyższe wyniki można równoważnie sformułować w terminach schematu Hilberta punktów, który jest przestrzenią moduli dla tego problemu deformacyjnego.Naszym podstawowym narzędziem kombintorycznym są systemy odwrotne Macaulaya. Wzbogacamy tę teorię o działanie pro-algebraicznej grupy i stosujemy ją do uogólnienia wyników klasyfikacyjnych Eliasa i Rossi. Podajemy relatywną wersję systemów odwrotnych Macaulaya i, używając jej, lokalny opis rodziny uniwersalnej nad schematem Hilberta punktów.Krótko dyskutujemy historię badań nad schematami Hilberta punktów i podajemy listę otwartych problemów.