Academic literature on the topic 'Arithmétique – Fondements'

RÉSUMÉ : Cet article propose que l’équivalence postulée entre la descente infinie et l’induction transfinie dans les fondements de l’arithmétique fait intervenir le principe du tiers exclu par la double négation sur l’ensemble infini des nombres naturels et ne saurait donc être admissible du point de vue de la logique et des mathématiques intuitionnistes. Si, par ailleurs, on adopte le point de vue de la logique classique, les principes de l’induction complète, de l’induction transfinie, du plus petit nombre et de la descente infinie sont tous équivalents; pourtant, la descente infinie en jeu dans l’arithmétique ensembliste de Dedekind-Peano ne correspond pas à la descente infinie de Fermat en théorie des nombres et en arithmétique classique de Gauss jusqu’à nos jours. C’est là le point d’ancrage d’une critique fondationnelle qui cherche à mieux définir les options philosophiques dans les fondements de la logique et des mathématiques.

Nous traitons dans cette thèse de quelques méthodes de démonstration utilisées en arithmétique. - Dans la première partie, intitulée « Des calculs empiriques aux premières démonstrations euclidiennes », nous étudions essentiellement le passage de montrer à démontrer en nous appuyant sur des auteurs grecs tels Euclide, Théon de Smyrne ou Nicomaque de Gérase. Nous abordons également le raisonnement par l’absurde en essayant de comprendre pourquoi ce raisonnement est tellement utilisé chez Euclide. Une analyse est également faite de certaines démonstrations considérées, à tort nous semble-t-il, comme des démonstrations par l’absurde. Nous étudions enfin l’apport de Cantor, qui introduit l’infini actuel, et la distinction entre preuves cantoriennes et preuves constructives en arithmétique. - La seconde partie, intitulée « Du particulier au général » est plus particulièrement axée sur un raisonnement fort utilisé en arithmétique appelé raisonnement par récurrence. Nous analysons sa lente évolution au cours des siècles, de l’induction des premiers Pythagoriciens au raisonnement élaboré de Pascal, en passant par Euclide, les mathématiciens arabes, Maurolic et Fermat. Nous apportons finalement une critique de ce raisonnement, critique qui permet l’évocation de nouvelles méthodes de généralisation qui se révèleront fructueuses.

Cette thèse de doctorat vise à réhabiliter un texte marqué au fer rouge par la philologie du XIXe siècle : l'"In Nicomachi arithmeticam" du philosophe syrien Jamblique de Chalcis (IIIe-IVe s. ), que les néoplatoniciens postérieurs n'hésitaient pas à qualifier de "divin", à l'égal de Platon, mais dont le traité sur l'arithmétique pythagoricienne est injustement connu comme une piètre paraphrase de la fameuse "Introduction arithmétique" de Nicomaque de Gérase (Ie-IIe s. ). En réalité, Jamblique a composé une nouvelle "Introduction à l'arithmétique". Ce projet engageait non seulement le souci de transmettre d'autres sources pythagoriciennes, pour lesquelles il s'avère un témoin précieux, mais aussi la pensée de Jamblique lui-même, dont la "virtuosité conceptuelle" louée par le philosophe Damascius fait de ce texte une oeuvre novatrice à bien des égards, notamment par la première élaboration, avant même la tradition indienne, du concept arithmétique opératoire que nous appelons "zéro". Le legs philologique du XIXe siècle pèse aussi lourdement sur la tradition manuscrite de l'"In Nicomachi arithmeticam", dont l'édition de référence, publiée en 1894, est fondée sur des principes obsolètes et des conclusions erronées. La réhabilitation de cette oeuvre passe donc aussi par une nouvelle édition critique, grâce à un classement de toute la tradition manuscrite et un travail sytématique sur les nombreuses corruptions du texte, ainsi que par une première traduction française