Academic literature on the topic 'Calabi-Yau, Variétés de'

Cette thèse est constituée de deux parties.<br>Dans la première, je démontre que si certaines variétés de Severi universelles, qui paramètrent les courbes nodales de degré et de genre fixés existant sur une surface K3, sont irréductibles, alors une surface K3 projective générique ne possède pas d'endomorphisme rationnel de degré >1. J'établis également un certain nombre de contraintes numériques satisfaites par ces endomorphismes.<br>Voisin a modifié la pseudo-forme volume de Kobayashi en introduisant les K-correspondances holomorphes. Dans la seconde partie, j'étudie une version logarithmique de cette pseudo-forme volume. J'associe une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque à toute paire (X,D) constituée d'une variété complexe et d'un diviseur à croisements normaux et partie positive réduite. Je démontre qu'elle est génériquement non dégénérée si X est projective et K_X+D est ample. Je démontre d'autre part qu'elle s'annule pour une grande classe de paires à fibré canonique logarithmique trivial.

Nous présentons trois résultats dans cette thèse. Dans le chapitre 2 nous montrons l’existence d’un zéro-cycle cx sur une hypersurface X de type Calabi–Yau dans une varieté homogène projective complexe. Plus précisement, nous montrons que l’intersection de n diviseurs sur X, où n = dim X, est proportionnelle à la classe d’un point supporté sur une courbe rationnelle dans X. Dans le chapitre 3 nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Beauville et Voisin portant sur la décomposition de la petite diagonale d’une surface K3 notée S. La preuve que nous donnons est explicite et utilise le plongement de degré 2g-2 de S dans l’espace projectif de la dimension g. Elle est différente de celle donnée par Beauville et Voisin, qui repose sur l’existence d’une famille à un paramètre de courbes elliptiques. Le chapitre 4 est consacré à l’étude des similitudes entre la variété de Fano des droites d’une cubique de dimension 4, qui est une variété hyper-Kählerienne étudiée par Beauville et Donagi, et la variété hyper-Kählerienne de dimension 4 construite par Debarre et Voisin dans [11]. Nous introduisons un analogue de la notion de triangle pour ces variétés et prouvons que la variété des triangles, qui est de dimension 6, est une sous-variété Lagrangienne du cube de la variété hyper-Kählerienne construite par Debarre et Voisin<br>We present in this thesis three results. In Chapter 2 we prove the existence of a canonical zero-cycle cX on a Calabi–Yau hypersurfacee X in a complex projective homogeneous variety. Namely, we show that the intersection of any n divisors on X , n = dim X is proportional to the class of a point on a rational curve in X. In Chapter 3 we give a new proof of the theorem of Beauville and Voisin about the decomposition of the small diagonal of a K3 surface S. Our proof is explicit and uses the degree 2g-2 embedding of S in projective space of dimension g. It is different from the one used by Beauville and Voisin, which employed the existence of one-parameters familie of elliptic curves. Chapter 4 is devoted to the study of similarities between the Fano varieties of lines on a cubic fourfold, a hyper-Kähler fourfold studied by Beauville and Donagi, and the hyper-Kähler fourfold constructed by Debarre and Voisin in [11]. We exhibit an analog of the notion of "triangle" for these varieties and prove that the 6-dimensional variety of "triangles" is a Lagrangian subvariety in the cube of the constructed hyper-Kähler fourfold

Cette thèse se compose de deux parties largement indépendantes. La première participe à la classification des catégories triangulées ayant un nombre fini d'objets indécomposables. Après avoir calculé la structure du carquois d'AusIander-Reiten de telles catégories, on montre que les seules qui sont algébriques et d-Calabi-Yau (où d est un entier plus grand que 2) sont des quotients de catégories d-amassées associées à des carquois de Dynkin. Dans la seconde partie, on généralise la notion de catégorie amassée. A certaines algèbres de dimension finie et de dimension globale inférieure à 2, on associe une catégorie triangulée qui coincide avec la catégorie amassée si la dimension globale est 1. On montre que ces nouvelles catégories sont 2-Calabi-Yau et munies d'un objet amas-basculant canonique dont on calcule l'algèbre des endomorphismes<br>This thesis is divided in two mostly independent parts. The first one deals with the classification of the triangulated categories with finitely many indecomposable objects. We first compute the structure of the Ausiander-Reiten quiver of such categories. Then we prove that such categories which are algebraic and d-Calabi-Yau (where d is an integer greater than 2) are quotients of d-cluster categories associated with Dynkin quivers. In the second part, we generalize the notion of cluster category. To certain finite-dimensional algebras of global dimension smaller than 2, we associate a triangulated category which coincide to the cluster category when the global dimension is 1. Then we show that these new categories are 2-Calabi-Yau and endowed with a canonical cluster-tilting object

Le but de cette thèse est de construire de nouvelles variétés algébriques complexes de Fano et à canonique triviale dans les espaces homogènes et d'analyser leur géométrie. On commence en construisant les variétés spéciales comme lieux de zéros de fibrés homogènes dans les grassmanniennes généralisées. On donne une complète classification en dimension 4. On prouve que les uniques variétés de dimension 4 hyper-Kahleriennes ainsi construites sont les exemples de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin. Le même résultat vaut dans les grassmanniennes ordinaires en toute dimension quand le fibré est irréductible. Ensuite on utilise les lieux de dégénérescence orbitaux (ODL), qui généralisent les lieux de dégénérescence classiques, pour construire d'autres variétés. On rappelle les propriétés basiques des ODL, qu'on définit à partir d'une adhérence d'orbite. On construit trois schémas de Hilbert de deux points sur une K3 comme ODL, et beaucoup d'autres exemples de variétés de Calabi-Yau et de Fano. Puis on étudie les adhérences d'orbites dans les représentations de carquois, et on décrit des effondrements de Kempf pour celles de type A_n et D_4; ceci nous permet de construire davantage de variétés spéciales comme ODL. Pour finir, on analyse les grassmanniennes bisymplectiques, qui sont des Fano particulières. Elles admettent l'action d'un tore avec un nombre fini de points fixes. On étudie leurs petites déformations. Ensuite, on étudie la cohomologie (équivariante) des grassmanniennes symplectiques, qui est utile pour mieux comprendre la cohomologie des grassmanniennes bisymplectiques. On analyse en détail un cas explicite en dimension 6<br>The aim of this thesis is to construct new interesting complex algebraic Fano varieties and varieties with trivial canonical bundle and to analyze their geometry. In the first part we construct special varieties as zero loci of homogeneous bundles inside generalized Grassmannians. We give a complete classification for varieties of small dimension when the bundle is completely reducible. Thus, we prove that the only fourfolds with trivial canonical bundle so constructed which are hyper-Kahler are the examples of Beauville-Donagi and Debarre-Voisin. The same holds in ordinary Grassmannians when the bundle is irreducible in any dimension. In the second part we use orbital degeneracy loci (ODL), which are a generalization of classical degeneracy loci, to construct new varieties. ODL are constructed from a model, which is usually an orbit closure inside a representation. We recall the fundamental properties of ODL. As an illustration of the construction, we construct three Hilbert schemes of two points on a K3 surface as ODL, and many examples of Calabi-Yau and Fano threefolds and fourfolds. Then we study orbit closures inside quiver representations, and we provide crepant Kempf collapsings for those of type A_n, D_4; this allows us to construct some special varieties as ODL.Finally we focus on a particular class of Fano varieties, namely bisymplectic Grassmannians. These varieties admit the action of a torus with a finite number of fixed points. We find the dimension of their moduli space. We then study the equivariant cohomology of symplectic Grassmannians, which turns out to help understanding better that of bisymplectic ones. We analyze in detail the case of dimension 6

On étudie l'existence de métrique à courbure scalaire hermitienne constante sur des variétés presque-Kähler obtenues par lissage d'orbifolds Kähler à courbure scalaire riemannienne constante et à singularités A1. On démontre que si un tel orbifold n'a pas de champs de vecteurs holomorphes (non triviaux) alors un lissage presque Kähler (Mє, ωє) admet une structure presque-Kähler à courbure scalaire hermitienne constante. De plus, on démontre que pour є &gt; O assez petit, les (Mє, ωє) sont toutes symplectiquement équivalentes à une variété symplectique fixée (M , ω) qui possède un cycle évanescent admettant un représentant Hamiltonien stationnaire pour la structure presque complexe associée<br>We study the existence of metrics of constant Hermitian scalar curvature on almost-Kähler manifolds obtained as smoothings of a constant scalar curvature Kähler orbifold, with A1 singularities. More precisely, given such an orbifold that does not admit nontrivial holomorphie vector fields, we show that an almost-Kähler smoothing (Mє, ωє) admits an almost-Kähler structure (Jє, gє) of constant Hermitian curvature. Moreover, we show that for є &gt; O small enough, the (Mє, ωє) are all symplectically equivalent to a fixed symplectic manifold (M , ω) in which there is a surface S homologous to a 2-sphere, such that [S] is a vanishing cycle that admits a representant that is Hamiltonian stationary for gє

Le sujet principal de cette thèse est l'étude du problème d'équivalence des équations de Monge-Ampère en trois variables. Nous abordons ce problème du point de vue de la théorie géométrique des invariants scalaires différentiels en utilisant la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre ces équations et certaines formes différentielles sur une variété symplectique, les formes effectives. Nous étudions tout d'abord la géométrie des formes effectives sur un espace vectoriel symplectique. La liste exhaustive des différentes orbites de l'action du groupe symplectique Sp(3) sur l'espace des 3-formes effectives est donnée. Nous montrons que l'invariant quadratique de Lychagin-Roubtsov est un invariant caractéristique de ces orbites et nous interprétons cet invariant comme une application moment en utilisant l'approche de Hitchin sur la géométrie des 3-formes extérieures. Nous donnons ensuite une condition suffisante pour qu'une équation de Monge-Ampère sur R3 soit localement équivalente à l'une des trois équations à coefficients constants non dégénérée au sens de Hitchin. Cette condition porte sur les dérivées d'ordre 1 et 2 des coefficients de la forme effective sur T*R3 associée. Ce résultat complète et simplifie un résultat démontré par Lychagin et Roubtsov. Nous donnons toutefois un second critère d'équivalence locale qui se comprend mieux du point de vue géométrique. Nous associons pour cela à chaque équation de Monge-Ampère en trois variables une structure de type Calabi-Yau et nous interprétons ce problème d'équivalence locale en termes d'intégrabilité de cette structure et de courbure de la métrique associée. Ce résultat est l'analogue en dimension 3 de la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre équations de Monge-Ampère à coefficients constants et structures complexes ou structures produits intégrables en dimension 2. Nous étudions enfin la grassmannienne associée à une équation de Monge-Ampère non dégénérée au sens de Hitchin. Nous généralisons notamment la description de la grassmannienne des sous espaces lagrangiens spéciaux par l'espace homogène SU (3) / SO (3) et nous complétons le calcul des classes caractéristiques associées de Zilbergleit. Nous abordons aussi dans cette thèse le cas de la dimension 4. Nous introduisons en particulier un analogue complexe des opérateurs de Monge-Ampère, les opérateurs pluriharmoniques sur une variété complexe. Nous établissons une correspondance entre ces opérateurs pluriharmoniques et les formes bieffectives et nous montrons sur quelques exemples comment étudier la géométrie des solutions pluriharmoniques d'une équation de Monge-Ampère sur R4.

L'étude des catégories différentielles graduées (dg-catégories) est motivée par des applications en théorie des représentations et en géométrie algébrique (commutative et non commutative). Dans ce mémoire, nous l'abordons à l'aide des outils de l'algèbre homotopique de Quillen et des dérivateurs de Heller-Grothendieck. Nous principaux résultats sont: (1) la catégorie des dg-catégories admet une structure de catégorie de modèles dont les équivalences faibles sont les dg-foncteurs de Monta; (2) la K-théorie de Quillen-Waldhausen devient corépresentable dans le motivateur additif des dg catégories; (3) le foncteur Hom interne de la catégorie homotopique des dg-catégories devient un foncteur dérivé dans la catégorie des paires de localisation de dg-catégories; (4) la catégorie des catégories triangulées à engendrement alpha-compact admet un enrichissement en une catégorie de modèles; (5) toute catégorie 2-Calabi-Yau avec objet amas-basculant est la stabilisation d'une catégorie 3-Calabi-Yau avec t-structure<br>Differential graded categories (dg categories) enhance our understanding of triangulated categories appearing in representation theory and in (commutative and non-commutative) algebraic geometry. In this thesis we study them using the tools of Quillen's homotopical algebra and Heller-Grothendieck's derivators. Our main results are: (1) the category of dg categories admits a structure of model category whose weak equivalences are the Morita dg functors; (2) Quillen-Waldhausen's K-theory becomes corepresentable in the additive motivator of dg categories; (3) the internal Hom functor of the homotopy category of dg categories becomes a derived functor in the category of localization pairs of dg categories; (4) the category of alpha-compactly generated triangulated categories admits a Quillen enhancement; (5) every 2-Calabi-Yau category with a cluster tilting object is the stabilization of a 3-Calabi-Yau category endowed with a t structure

Les algèbres amassées ont été introduites en 2001 par Fomin et Zelevinsky pour étudier, par une approche combinatoire, la base semi-canonique de Lusztig et la positivité totale. La théorie des représentations de carquois et d'algèbres de dimension finie permet de "catégorifier" certaines algèbres amassées. Le lien entre la catégorie et l'algèbre amassée se fait au moyen d'une application explicite, appelée caractère d'amas. Dans cette thèse, nous construisons un caractère d'amas associé à chaque objet amas-basculant d'une catégorie triangulée Hom-finie 2-Calabi-Yau. Lorsque la catégorie vérifie une certaine hypothèse de constructibilité, nous démontrons une formule de multiplication pour ce caractère d'amas, généralisant les formules de Caldero-Keller, Hubery et Xiao-Xu, et similaire à celle de Geiss-Leclerc-Schroer. Nous démontrons cette hypothèse dans le cas des catégories stables de catégories de Frobenius Hom-finies, ainsi que dans le cas des catégories amassées généralisées de Amiot. Nous étudions également le groupe de Grothendieck des catégories triangulées Hom-finies 2-Calabi-Yau admettant une sous-catégorie amas-basculante. Cela nous permet de donner une description K-théorique de la règle de mutation de Fomin et Zelevinsky, et de définir une règle de mutation généralisée pour les sous-catégories amas-basculantes<br>Cluster algebras were introduced by Fomin and Zelevinsky in order to study the semi-canonical basis of Lusztig, and total positivity. The theory of representations of quivers and finite dimensional algebras can be used to categorify some cluster algebras. In order to recover the cluster algebra from the category which categorifies it, one needs a map called a cluster character. In this thesis, we construct a cluster character associated with any cluster tilting object of a 2-Calabi-Yau, Hom-finite triangulated category. Under some additional constructibility hypothesis, we prove a multiplication formula for this cluster character (similar to that of Geiss-Leclerc-Schroer), thus generalizing the formulae of Caldero-Keller, Hubery, Xiao-Xu. We prove that this hypothesis is satisfied by stable categories of Hom-finite Frobenius categories, and by the generalized cluster categories of Amiot. We also study the Grothendieck group of the 2-Calabi-Yau, Hom-finite triangulated categories which admit cluster tilting subcategories. This allows us to give a K-theoretical interpretation of the mutation rule of Fomin and Zelevinsky

Cette thèse est consacrée à l'étude des cycles algébriques dans les variétés hyper-Kähleriennes projectives et les variétés de Calabi-Yau strictes. Elle contribue à la compréhension des conjectures de Beauville et de Voisin sur les anneaux de Chow des variétés hyper-kählériennes projectives et des variétés de Calabi-Yau strictes. Elle étudie également certains invariants birationnels des variétés hyper-kählériennes projectives.La première partie de la thèse, parue dans Mathematische Zeitschrift [C. Bai, On Abel-Jacobi maps of Lagrangian families, Math. Z. 304, 34 (2023)] et présentée dans le chapitre 2, étudie si les sous-variétés lagrangiennes dans une variété hyper-kählérienne partageant la même classe cohomologique ont également la même classe de Chow. Nous étudions la notion de familles lagrangiennes et ses applications aux applications d'Abel-Jacobi associées. Nous adoptons une approche infinitésimale pour donner un critère de trivialité de l'application d'Abel-Jacobi d'une famille lagrangienne, et utilisons ce critère pour donner une réponse négative à la question précédente, ajoutant aux subtilités d'une conjecture de Voisin. Nous explorons également comment la maximalité de la variation des structures de Hodge sur la cohomologie de degré 1 de la famille lagrangienne implique la trivialité de l'application d'Abel-Jacobi. La deuxième partie de la thèse, à paraître dans International Mathematics Research Notices [C. Bai, On some birational invariants of hyper-Kähler manifolds, ArXiv: 2210.12455, to appear in International Mathematics Research Notices, 2024] et présentée dans le chapitre 3, étudie le degré d'irrationalité, la gonalité fibrante et le genre fibrant des variétés hyper-kählériennes projectives. Nous commençons par donner une légère amélioration d'un résultat de Voisin sur la borne inférieure du degré d'irrationalité des variétés hyper-kählériennes générales de Mumford-Tate. Nous étudions ensuite la relation entre les trois invariants birationnels susmentionnés pour les surfaces K3 projectives de nombre de Picard 1, rajoutant la compréhension sur une conjecture de Bastianelli, De Poi, Ein, Lazarsfeld, Ullery sur le comportement asymptotique du degré d'irrationalité des surfaces K3 projectives très générales. La troisième partie de la thèse, présentée dans le chapitre 4, étudie les applications de Voisin de dimension supérieure sur les variétés de Calabi-Yau strictes. Voisin a construit des applications auto-rationnelles de variétés de Calabi-Yau obtenues comme des variétés de r-plans dans des hypersurfaces cubiques de dimension adéquate. Cette application a été largement étudiée dans le cas r=1, qui est le cas de Beauville-Donagi. Dans les cas de dimensions supérieures, nous étudions d'abord l'action de l'application de Voisin sur les formes holomorphes. Nous démontrons ensuite la conjecture de Bloch généralisée pour l'action des applications de Voisin sur les groupes de Chow dans le cas de r=2. Enfin, via l'étude de l'application de Voisin, nous apportons des éléments de preuve à une conjecture de Voisin sur l'existence d'un 0-cycle spécial sur les variétés de Calabi-Yau strictes<br>This thesis is devoted to the study of algebraic cycles in projective hyper-Kähler manifolds and strict Calabi-Yau manifolds. It contributes to the understanding of Beauville's and Voisin's conjectures on the Chow rings of projective hyper-Kähler manifolds and strict Calabi-Yau manifolds. It also studies some birational invariants of projective hyper-Kähler manifolds.The first part of the thesis, appeared in Mathematische Zeitschrift [C. Bai, On Abel-Jacobi maps of Lagrangian families, Math. Z. 304, 34 (2023)] and presented in Chapter 2, studies whether the Lagrangian subvarieties in a hyper-Kähler manifold sharing the same cohomological class have the same Chow class as well. We study the notion of Lagrangian families and its associated Abel-Jacobi maps. We take an infinitesimal approach to give a criterion for the triviality of the Abel-Jacobi map of a Lagrangian family, and use this criterion to give a negative answer to the above question, adding to the subtleties of a conjecture of Voisin. We also explore how the maximality of the variation of the Hodge structures on the degree 1 cohomology the Lagrangian family implies the triviality of the Abel-Jacobi map. The second part of the thesis, to appear in International Mathematics Research Notices [C. Bai, On some birational invariants of hyper-Kähler manifolds, ArXiv: 2210.12455, to appear in International Mathematics Research Notices, 2024] and presented in Chapter 3, studies the degree of irrationality, the fibering gonality and the fibering genus of projective hyper-Kähler manifolds, with emphasis on the K3 surfaces case, en mettant l'accent sur le cas des surfaces K3. We first give a slight improvement of a result of Voisin on the lower bound of the degree of irrationality of Mumford-Tate general hyper-Kähler manifolds. We then study the relation of the above three birational invariants for projective K3 surfaces of Picard number 1, adding the understandinf of a conjecture of Bastianelli, De Poi, Ein, Lazarsfeld, Ullery on the asymptotic behavior of the degree of irrationality of very general projective K3 surfaces. The third part of the thesis, presented in Chapter 4, studies the higher dimensional Voisin maps on strict Calabi-Yau manifolds. Voisin constructed self-rational maps of Calabi-Yau manifolds obtained as varieties of r-planes in cubic hypersurfaces of adequate dimension. This map has been thoroughly studied in the case r=1, which is the Beauville-Donagi case. For higher dimensional cases, we first study the action of the Voisin map on the holomorphic forms. We then prove the generalized Bloch conjecture for the action of the Voisin maps on Chow groups for the case of r=2. Finally, via the study of the Voisin map, we provide evidence for a conjecture of Voisin on the existence of a special 0-cycle on strict Calabi-Yau manifolds

En termes généraux, une métrique ALF de dimension réelle 2n devrait être une métrique complète telle que son cône asymptotique soit de dimension 2n−1, la croissance de volume de cette métrique soit de l'ordre de 2n−1, et sa courbure sectionnelle tende vers 0 à l'infini. Plus précisément, dans cette thèse, une métrique ALF de dimension réelle 2n a un cône métrique de dimension 2n−1 comme cône asymptotique,elle a une croissance de volume de l'ordre de 2n − 1 et sa courbure sectionnelle est bornée par C/ρ où ρ est la distance à partir d'un point mesurée par la métrique riemannienne. Étant donné que les métriques ALF Calabi-Yau de dimension 4 ont été bien étudiées, l'objectif de la thèse est de trouver des exemples de métriques ALF Calabi-Yau dedimensions supérieures, ici par dimensions supérieures nous entendons que la dimension réelle de l'espace est supérieure à 4.Dans la thèse, je montrerai d'abord que la déformation de Taub-NUT d'un cône hyperkählerien par rapport à une S^1-symétrie localement libre est hyperkählerienne ALF. Modélisée sur cette métrique à l'infini, je montrerai l'existence de métriques ALF Calabi-Yau sur certaines résolutions crepantes. En particulier, je montrerai qu'il existe des métriques ALF Calabi-Yau sur les fibrés canoniques des variétés de contact de Fano homogènes classiques. Ensuite, je prouverai qu'une classe spéciale de métrique Calabi-Yau complète sur Cn construite par Apostolov et Cifarelli est ALF avec cône asymptotique (C^n−1/Z_n−1) × R. Modélisée sur ces métriques à l'infini, je montrerai alors l'existence de métriques ALF Calabi-Yau sur les résolutions crepantes de C^n<br>Roughly speaking, an ALF metric of real dimension 2n should bea complete metric such that its asymptotic cone is 2n−1 dimensional, the volume growth of this metric is of order 2n − 1 and its sectional curvature tends to 0 at infinity. More precisely, in this thesis, an ALF metric of real dimension 2n has a 2n−1 dimensional metric cone as its asymptotic cone, it has volume growth of order 2n−1 and its sectional curvature is bounded by C/ρ where ρ is the distance from a point of it measured by the Riemannian metric. Since 4 dimensional ALF Calabi-Yau metrics have been well studied, the object of the thesis is to find example of higher dimensional ALF Calabi-Yau metrics, here by higher dimensional we mean the real dimension of the space is greater than 4. In the thesis, I will first show that the Taub-NUT deformation of a hyperkähler cone with respect to a locally free S^1-symmetry is ALF hyperkähler. Modelled on this metric at infinity, I will show the existence of ALF Calabi-Yau metric on certain crepant resolutions. Inparticular, I will show that there exist ALF Calabi-Yau metrics on canonical bundles of classical homogeneous Fano contact manifolds. Then I will prove that a special class of complete Calabi-Yau metric on Cn constructed by Apostolov and Cifarelli is ALF with asymptotic cone (C^n−1/Z_n−1)×R. Modelled on these metrics at infinity, I will then show the existence of ALF Calabi-Yau metric on crepant resolutions of C^n