Academic literature on the topic 'Cauchy-Riemann, Équations de'

Soit D un domaine de Cn , n>1, borné, convexe et de type fini m. Pour q=1,. . . ,n-1, nous construisons un opérateur T*q tel que pour toute forme ∫ de Ck0,q(D)̄, ð-̄fermée, T*q∫ soit de régularité Ck+1/m sur D ̄et satisfasse ðT̄*q∫ = ∫ et [[T*q∫]]k+1/m<_ck[[∫]]k, ck ne dépendant pas de ∫. Ce résultat étend des travaux de I. Lieb et R. M. Range sur les domaines strictement pseudoconvexe. T*q est un opérateur intégral basé sur la fonction de support de K. Diederich et J. E. Fornaess. Nous estimons les dérivées de T*q∫ avec les bases -extrémales de McNeal dont nous améliorons certaines propriétés lors de dérivations dans la direction normale au bord. Ensuite, pour q=1,. . . , n-1, nous construisons un opérateur Tbq tel que si [∫] est la classe d'équivalence d'une (0,q)-forme ∫ de régularité Ck au voisinage du bord de D, alors Tbq[∫] est de régularité Ck1/m, [[Tbq[∫]]]k+1/m<_ck[[[∫]]]k et, sous les conditions usuelles lorsque q=n-1, [∫] = ðb̄Tq[∫]+ Tbq+1ðb̄[∫]. Cette construction généralise des résultats G. M. Henkin sur les domaines strictement pseudoconvexes.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité analytique globale de l'équation de Cauchy-Riemann sur des domaines bornés pseudoconvexes et réguliers dont le bord est analytique réel. Dans la première partie, nous obtenons, sous certaines conditions supplémentaires sur le domaine, la régularité analytique globale de la solution canonique de l'équation de Cauchy-Riemann sur le bord du domaine. Dans la deuxième partie, on obtient le résultat pour une classe de domaines pseudoconvexes en dimension complexe n.

Le travail présenté dans cette thèse a trait à l'étude des groupes d'automorphismes locaux de certaines classes de variétés de Cauchy-Riemann analytiques par le biais de la théorie géométrique des équations aux dérivées partielles. Le lien entre la théorie des équations aux dérivées partielles et celle des sous-variétés réelles des espaces complexes est depuis plus d'un demi-siècle un outil fondamental pour l'étude de ces dernières. Notre contribution consiste essentiellement à exploiter ce lien par l'intermédiaire des théories géométriques des équations différentielles mises au point par S. Lie et E. Cartan. Nous étudions, à l'aide de ces deux théories, les groupes de symétrie de certaines classes de systèmes d'équations aux dérivées partielles analytiques complètement intégrables et nous en déduisons des propriétés concernant les automorphismes locaux des sous-variétés de Cauchy-Riemann réelles analytiques Levi non dégénérées des espaces complexes.

Nous construisons des formules locales de type Martinelli-Bochner-Koppelman sur des variétés CR génériques, Q-concaves. Nous appliquons ces résultats à la résolution et la régularité des équations de Cauchy-Riemann tangentielles et au phénomène de Hartogs-Bochner sur de telles variétés.

Nous montrons que dans r, les structures de Cauchy-Riemann rigides et appartenant a une classe hölderienne d'exposant non entier sont réalisables sur une hypersurface rigide de c2 par un difféomorphisme qui appartient a la même classe hölderienne.

Les deux problèmes principaux étudiés dans ce travail sont l'existence d'un modèle explicite pour les domaines convexes à groupe d'automorphismes non compact et la stabilité de la structure d'un hypersurface sous l'action d'une application de Cauchy-Riemann continue en plusieurs variables complexes. Ces problèmes sont liés au comportement au bord d'applications holomorphes. Les hypothèses faites aussi bien sur les domaines que sur les hypersurfaces étant locales en un point, la géométrie au voisinage de ce point joue un rôle essentiel. Trouver des dilatations en ce point s'avère donc être d'une importance capitale. Le lien entre le domaine initial et le domaine polynomial obtenu après dilatation est établi en étudiant l'hyperbolicité au sens de Kobayashi et la rigidité des domaines polynomiaux. Pour caractériser des domaines à groupe d'automorphismes non compact, convexes de type fini au voisinage du point d'accumulation, considérés dans le premier problème, nous avons défini des dilations liées à la convexité locale et avons trouvé un modèle polynomial rigide convexe pour de tels domaines. Nous avons ainsi pu généraliser le théorème de Wong-Rosay au cas des domaines non bornés. Les dilatations introduites étant purement locales, leur utilisation a été essentielle dans la caractérisation des hypersurfaces considérées dans le second problème. Nous avons montré que l'image convexe d'une hypersurface strictement pseudoconvexe par une application de Cauchy-Riemann continue non constante est strictement pseudoconvexe. Un tel résultat nécessite une charactérisation complète des domaines polynomiaux convexes biholomorphes à la boule unité.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité de l'opérateur de Cauchy-Riemann ainsi qu'aux applications qu'elle apporte aux problèmes ouverts par D. Cerveau en 1993 et par T. Ohsawa en 2007, et qui concernent la non-existence des hypersurfaces Levi-plates lisses dans les variétés kählériennes compactes. D. Cerveau a conjecturé la non-existence des hypersurfaces Levi-plates lisses dans les espaces projectifs complexes. Dans une première partie, nous travaillons sur la régularité Sobolev de l'opérateur d-bar dans deux situations géométriques particulières. Dans une deuxième partie, nous prouvons la non-existence des hypersurfaces réelles Levi-plates de classe Sobolev W^s, s>9/2, dans les espaces projectifs complexes en dimension au moins 3, ce qui est une amélioration de la régularité dans le théorème de Y. -T. Siu. Nous montrons que sous une certaine propriété de positivité sur des termes de courbure bisectionnelle d'une variété kählérienne compacte, il n'existe pas de fonction strictement plurisousharmonique à croissance minimale dans le complémentaire d'une hypersurface réelle Levi-plate de classe [dollar] C^\infty [dollar]. Dans une dernière partie, nous donnons une application d'une méthode due à Berndtsson-Charpentier pour obtenir un résultat d'estimations L^2 pour le d-bar.

Cette thèse est consacrée à l'étude du système de Born-Infeld (BI). Nous étudions deux limites dans ce système. Les limites sont les équations de Maxwell linéaires et le système magnétohydrodynamique sans pression. En utilisant des arguments de compacité par compensation, les limites sont justifiées pour des solutions entropiques globales en une dimension. Nous considérons le système BI sans contraintes différentielles. Ce système est linéairement dégénéré mais non-strictement hyperbolique. Nous prouvons que dans les régions non-strictement hyperboliques, le problème de Riemann admet une solution unique pour des données initiales larges. Le système de BI appartenant à la classe des systèmes riches, non-strictement hyperboliques. Nous nous intéressons au problème de Cauchy pour un système hyperbolique, linéairement dégénéré, de type riche. Nous construisons les formules explicites des solutions régulières et entropiques et nous prouvons l'existence globale de solutions entropiques

Nous nous intéressons à deux problèmes particuliers de régularité au bord d'applications holomorphes. Dans un premier temps, nous étudions l'analyticité d'applications de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces analytiques réelles des espaces complexes. Nous commençons par réexposer un théorème de Baouendi, Jacobowitz et Treves sur l'analyticité de difféomorphismes de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces (ou variétés CR) essentiellement finies. Nous établissons ensuite un résultat d'extension d'applications de Cauchy-Riemann entre hypersurfaces holomorphiquement non-dégénérées (au sens de Stanton) via un principe de réflexion. Nous donnons aussi une caractérisation en termes algébriques, de la non-dégénérescence holomorphe de toute hypersurface algébrique réelle. Le résultat d'extension confirme une conjecture qui affirme que tout difféomorphisme de Cauchy-Riemann lisse entre deux hypersurfaces minimales (au sens de Tumanov) holomorphiquement non-dégénérées et analytiques réelles est en fait analytique. Dans un deuxième temps, nous étudions les germes d'applications holomorphes entre hypersurfaces algébriques réelles des espaces complexes. Nous démontrons un résultat qui généralise un théorème de Baouendi et Rothschild qui affirme que tout biholomorphisme entre hypersurfaces algébriques réelles holomorphiquement non-dégénérées est une application algébrique.

Nous nous placons dans l'espace complexe de dimension superieure ou egale a deux et considerons un ouvert etoile qui est l'intersection transverse d'ouverts strictement pseudoconvexes. Une fonction plurisousharmonique est dans une classe de nevanlinna si, par definition, les integrales de sa partie positive sur les surfaces de niveau, par rapport a une fonction d'exhaustion, de l'ouvert considere sont bornees. En choisissant des mesures appropriees, nous definissons deux classes de nevanlinna qui precisent la croissance pres des faces ou des aretes de l'ouvert. Pour un courant positif, ferme et de bidegre (1,1), nous etablissons des conditions d'integrabilite des coefficients sur l'ouvert. Elles sont suffisantes pour l'existence d'une fonction plurisousharmonique, qui definit le courant, et qui est dans la classe de nevanlinna associee. D'autre part, nous resolvons l'equation de cauchy-riemann sur cet ouvert et donnons les solutions sous forme d'integrales ne portant que sur le domaine considere. Ceci nous permet d'obtenir des estimations de type holder et en norme lp