Dissertations / Theses on the topic 'Cauchy-Riemann, Équations de'

Soit D un domaine de Cn , n>1, borné, convexe et de type fini m. Pour q=1,. . . ,n-1, nous construisons un opérateur T*q tel que pour toute forme ∫ de Ck0,q(D)̄, ð-̄fermée, T*q∫ soit de régularité Ck+1/m sur D ̄et satisfasse ðT̄*q∫ = ∫ et [[T*q∫]]k+1/m<_ck[[∫]]k, ck ne dépendant pas de ∫. Ce résultat étend des travaux de I. Lieb et R. M. Range sur les domaines strictement pseudoconvexe. T*q est un opérateur intégral basé sur la fonction de support de K. Diederich et J. E. Fornaess. Nous estimons les dérivées de T*q∫ avec les bases -extrémales de McNeal dont nous améliorons certaines propriétés lors de dérivations dans la direction normale au bord. Ensuite, pour q=1,. . . , n-1, nous construisons un opérateur Tbq tel que si [∫] est la classe d'équivalence d'une (0,q)-forme ∫ de régularité Ck au voisinage du bord de D, alors Tbq[∫] est de régularité Ck1/m, [[Tbq[∫]]]k+1/m<_ck[[[∫]]]k et, sous les conditions usuelles lorsque q=n-1, [∫] = ðb̄Tq[∫]+ Tbq+1ðb̄[∫]. Cette construction généralise des résultats G. M. Henkin sur les domaines strictement pseudoconvexes.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité analytique globale de l'équation de Cauchy-Riemann sur des domaines bornés pseudoconvexes et réguliers dont le bord est analytique réel. Dans la première partie, nous obtenons, sous certaines conditions supplémentaires sur le domaine, la régularité analytique globale de la solution canonique de l'équation de Cauchy-Riemann sur le bord du domaine. Dans la deuxième partie, on obtient le résultat pour une classe de domaines pseudoconvexes en dimension complexe n.

Le travail présenté dans cette thèse a trait à l'étude des groupes d'automorphismes locaux de certaines classes de variétés de Cauchy-Riemann analytiques par le biais de la théorie géométrique des équations aux dérivées partielles. Le lien entre la théorie des équations aux dérivées partielles et celle des sous-variétés réelles des espaces complexes est depuis plus d'un demi-siècle un outil fondamental pour l'étude de ces dernières. Notre contribution consiste essentiellement à exploiter ce lien par l'intermédiaire des théories géométriques des équations différentielles mises au point par S. Lie et E. Cartan. Nous étudions, à l'aide de ces deux théories, les groupes de symétrie de certaines classes de systèmes d'équations aux dérivées partielles analytiques complètement intégrables et nous en déduisons des propriétés concernant les automorphismes locaux des sous-variétés de Cauchy-Riemann réelles analytiques Levi non dégénérées des espaces complexes.

Nous construisons des formules locales de type Martinelli-Bochner-Koppelman sur des variétés CR génériques, Q-concaves. Nous appliquons ces résultats à la résolution et la régularité des équations de Cauchy-Riemann tangentielles et au phénomène de Hartogs-Bochner sur de telles variétés.

Nous montrons que dans r, les structures de Cauchy-Riemann rigides et appartenant a une classe hölderienne d'exposant non entier sont réalisables sur une hypersurface rigide de c2 par un difféomorphisme qui appartient a la même classe hölderienne.

Les deux problèmes principaux étudiés dans ce travail sont l'existence d'un modèle explicite pour les domaines convexes à groupe d'automorphismes non compact et la stabilité de la structure d'un hypersurface sous l'action d'une application de Cauchy-Riemann continue en plusieurs variables complexes. Ces problèmes sont liés au comportement au bord d'applications holomorphes. Les hypothèses faites aussi bien sur les domaines que sur les hypersurfaces étant locales en un point, la géométrie au voisinage de ce point joue un rôle essentiel. Trouver des dilatations en ce point s'avère donc être d'une importance capitale. Le lien entre le domaine initial et le domaine polynomial obtenu après dilatation est établi en étudiant l'hyperbolicité au sens de Kobayashi et la rigidité des domaines polynomiaux. Pour caractériser des domaines à groupe d'automorphismes non compact, convexes de type fini au voisinage du point d'accumulation, considérés dans le premier problème, nous avons défini des dilations liées à la convexité locale et avons trouvé un modèle polynomial rigide convexe pour de tels domaines. Nous avons ainsi pu généraliser le théorème de Wong-Rosay au cas des domaines non bornés. Les dilatations introduites étant purement locales, leur utilisation a été essentielle dans la caractérisation des hypersurfaces considérées dans le second problème. Nous avons montré que l'image convexe d'une hypersurface strictement pseudoconvexe par une application de Cauchy-Riemann continue non constante est strictement pseudoconvexe. Un tel résultat nécessite une charactérisation complète des domaines polynomiaux convexes biholomorphes à la boule unité.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité de l'opérateur de Cauchy-Riemann ainsi qu'aux applications qu'elle apporte aux problèmes ouverts par D. Cerveau en 1993 et par T. Ohsawa en 2007, et qui concernent la non-existence des hypersurfaces Levi-plates lisses dans les variétés kählériennes compactes. D. Cerveau a conjecturé la non-existence des hypersurfaces Levi-plates lisses dans les espaces projectifs complexes. Dans une première partie, nous travaillons sur la régularité Sobolev de l'opérateur d-bar dans deux situations géométriques particulières. Dans une deuxième partie, nous prouvons la non-existence des hypersurfaces réelles Levi-plates de classe Sobolev W^s, s>9/2, dans les espaces projectifs complexes en dimension au moins 3, ce qui est une amélioration de la régularité dans le théorème de Y. -T. Siu. Nous montrons que sous une certaine propriété de positivité sur des termes de courbure bisectionnelle d'une variété kählérienne compacte, il n'existe pas de fonction strictement plurisousharmonique à croissance minimale dans le complémentaire d'une hypersurface réelle Levi-plate de classe [dollar] C^\infty [dollar]. Dans une dernière partie, nous donnons une application d'une méthode due à Berndtsson-Charpentier pour obtenir un résultat d'estimations L^2 pour le d-bar.

Cette thèse est consacrée à l'étude du système de Born-Infeld (BI). Nous étudions deux limites dans ce système. Les limites sont les équations de Maxwell linéaires et le système magnétohydrodynamique sans pression. En utilisant des arguments de compacité par compensation, les limites sont justifiées pour des solutions entropiques globales en une dimension. Nous considérons le système BI sans contraintes différentielles. Ce système est linéairement dégénéré mais non-strictement hyperbolique. Nous prouvons que dans les régions non-strictement hyperboliques, le problème de Riemann admet une solution unique pour des données initiales larges. Le système de BI appartenant à la classe des systèmes riches, non-strictement hyperboliques. Nous nous intéressons au problème de Cauchy pour un système hyperbolique, linéairement dégénéré, de type riche. Nous construisons les formules explicites des solutions régulières et entropiques et nous prouvons l'existence globale de solutions entropiques

Nous nous intéressons à deux problèmes particuliers de régularité au bord d'applications holomorphes. Dans un premier temps, nous étudions l'analyticité d'applications de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces analytiques réelles des espaces complexes. Nous commençons par réexposer un théorème de Baouendi, Jacobowitz et Treves sur l'analyticité de difféomorphismes de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces (ou variétés CR) essentiellement finies. Nous établissons ensuite un résultat d'extension d'applications de Cauchy-Riemann entre hypersurfaces holomorphiquement non-dégénérées (au sens de Stanton) via un principe de réflexion. Nous donnons aussi une caractérisation en termes algébriques, de la non-dégénérescence holomorphe de toute hypersurface algébrique réelle. Le résultat d'extension confirme une conjecture qui affirme que tout difféomorphisme de Cauchy-Riemann lisse entre deux hypersurfaces minimales (au sens de Tumanov) holomorphiquement non-dégénérées et analytiques réelles est en fait analytique. Dans un deuxième temps, nous étudions les germes d'applications holomorphes entre hypersurfaces algébriques réelles des espaces complexes. Nous démontrons un résultat qui généralise un théorème de Baouendi et Rothschild qui affirme que tout biholomorphisme entre hypersurfaces algébriques réelles holomorphiquement non-dégénérées est une application algébrique.

Nous nous placons dans l'espace complexe de dimension superieure ou egale a deux et considerons un ouvert etoile qui est l'intersection transverse d'ouverts strictement pseudoconvexes. Une fonction plurisousharmonique est dans une classe de nevanlinna si, par definition, les integrales de sa partie positive sur les surfaces de niveau, par rapport a une fonction d'exhaustion, de l'ouvert considere sont bornees. En choisissant des mesures appropriees, nous definissons deux classes de nevanlinna qui precisent la croissance pres des faces ou des aretes de l'ouvert. Pour un courant positif, ferme et de bidegre (1,1), nous etablissons des conditions d'integrabilite des coefficients sur l'ouvert. Elles sont suffisantes pour l'existence d'une fonction plurisousharmonique, qui definit le courant, et qui est dans la classe de nevanlinna associee. D'autre part, nous resolvons l'equation de cauchy-riemann sur cet ouvert et donnons les solutions sous forme d'integrales ne portant que sur le domaine considere. Ceci nous permet d'obtenir des estimations de type holder et en norme lp

Dans la première partie, nous résolvons l'équation de Cauchy Riemann avec estimation optimale en norme L#P dans les ellipsoides réels de C#N. Nous obtenons les solutions sous forme d'intégrales ne portant que sur le domaine considéré. Ceci et une généralisation des inégalités de Young classiques nous permettent d'obtenir des résultats optimaux. Dans la deuxième partie, nous établissons des formules de divisions pour les fonctions holomorphes dans les domaines de C#N. Il existait déjà de telles formules mais elles comportaient beaucoup de compensations entre les différents termes. Ceci entrainait une chute de régularité trop importante, dés que le domaine était faiblement pseudoconvexe. Comme application de nos formules nous donnons des estimations optimales dans le cas d'ellipsoides et d'une variété affine. Dans la troisième partie, nous nous intéressons aux problèmes d'extensions des fonctions holomorphes. Ceux-ci sont assez bien compris dans le cas strictement pseudoconvexe, mais si le domaine est faiblement pseudoconvexe trés peu de résultats sont connus, si ce n'est pour des espaces L#2. Ici, nous montrons que les choses sont radicalement différentes et que l'interaction de la géométrie complexe du bord du domaine et de la variété joue un rôle crucial dans ce type de problèmes. En fait, nous montrons que dans le cas convexe les fonctions holomorphes ne s'étendent correctement que lorsque la variété considérée est affine. Dans la quatrième partie, nous remarquons qu'en faisant agir biholomorphismes sur les formules de représentations intégrales de Berndtsson, apparait de façon naturelle une classe de formules plus générale et donc plus souple. Ensuite nous étendons ce résultat aux (P, Q) formés de C#N et obtenons des formules avec plus de degrès de libertés bien utiles pour certains problèmes.

Cette thèse est consacrée à l'analyse, à l'application et à l'extension bidimensionnelle, d'un nouveau schéma aux volumes finis (SRNH) proposé récemment pour une classe de système non homogène. L'analyse de stabilité du schéma, d'abord dans le cas scalaire ensuite dans le cas de systèmes, même à une nouvelle formulation où intervient le signe de la matrice Jacobienne du système de lois de bilan considéré. Pour le système de Saint-Venant avec terme de pente, on montre formellement que le schéma SRNHS vérifie la C-propriété exacte introduite pour les schémas équilibres par Bermùdez et Vàzquez. Les résultats numériques 1D et 2D, en particulier du cas de rupture de barage sur un fond en forme de marche, montrent le degrés d'efficacité du schéma. Pour le système diphasique des zones de non hyperbolicité peuvent exister, avec apparition de valeurs propres complexes dans la jacobienne du système. On montre que pour lles configurations faiblement non hyperboliques, on peut calculer le signe de la jacobienne par l'algorithme de Newton-Schultz. Pour les configurations plus raides, où la méthode précédente ne fonctionne plus, on a recours à la méthode de perturbation par densité. Dans les deux cas évoqués, les tests numériques montrent que l'on approche la solution exacte du problème de Ransom avec une grnde précision, que l'on conserve la stabilité des calculs même avec un maillage de finesse relativement élevée.

L'objet de la these est l'etude quantitative dans un domaine borne d strictement pseudo-convexe de 3 problemes d'analyse: la resolution avec estimations de l'equation de cauchy-riemann et le controle de la croissance au bord dans les deux problemes d'extension et de division holomorphes relatifs au couple (d, v) ou la variete v, ensemble des zeros communs a k fonctions f#1,. . . , f#k holomorphes dans d est transverse au bord de d. Dans une premiere partie sont prouvees tout d'abord des estimations en termes de mesures de carleson pour une solution de type berndtsson-andersson de l'equation de cauchy-riemann. En application, il est donne pour une fonction de l'espace de hardy h#p(d), p fini. Enfin, pour une fonction de l'ideal d'annulation de v, soit h=h#1f#1+. . . H#kf#k, les facteurs h#i, donnes par des operateurs de b. Berndtsson, sont estimes dans des classes de lipschitz. Les 3 problemes abordes possedent des solutions canoniques etudiees dans la seconde partie de la these. Un developpement asymptotique est exhibe pour les operateurs d'extension minimale d'espaces de bergman a poids sur v dans celui de bergman a#2(d) ou de hardy h#2(d). Des estimations l#p au bord (p fini) sont obtenues pour la solution canonique de l'equation de cauchy-riemann pour les (0,1) formes, via une comparaison des projecteurs de bergman et de szego pour p different de 1, a l'aide, pour p=1, d'un developpement asymptotique de an, ou n est l'operateur de neumann, a l'adjoint de celui de cauchy-riemann

Le comportement asymptotique de solution du problème de cauchy pour l'équation de Schrödinger non-linéaire modifiée, i#tu + 1/2#2#xu+|u|#2u+is#x(|u|#2u)=0, s,r#>#0, est étudié à l'aide de la méthode de pointe de selle non-linéaire dans le cas de données initiales appartenant à la class de Schwartz. Dans le cas de secteur solitonique vide, non seulement le terme principal, mais aussi le développement asymptotique complet de la solution dans la domaine t (x/to(1)) avait été construite. Comme applications des résultats asymptotiques obtenus, on obtient les expressions explicites pour les positions et déphasages des solitons en présence simultanée de spectre discret et continue d'opérateur de Lax, correspondant. Les résultats obtenus peuvent être explorés pour la description de propagation des pulses ultra-courtes de large puissance dans les fibres optiques.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps
In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes issus de la relativité générale : la construction de données initiales pour le problème de Cauchy des équations d’Einstein et le théorème de la masse positive. Nous construisons tout d’abord des données initiales en utilisant la méthode dite conforme introduite par Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] et Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg– D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a]. Plus particulièrement, nous étudions les équations –de contrainte conforme– qui apparaissent dans cette méthode sur des variétés riemanniennes compactes de dimension n > 3. Dans cette thèse, nous donnons une preuve simplifiée du résultat de [Dahl et al., 2012], puis nous étendons et nous généralisons les théorèmes de M. Holst–G. Nagy–G. Tsogtgerel [Holst et al., 2009] et de D. Maxwell [Maxwell, 2009] dans le cas de données initiales à courbure moyenne fortement nonconstante. Nous donnons au passage un point de vue unifié sur ces résultats. En parallèle, nous donnons des résultats de non-existence et de non-unicité pour les équations de la méthode conforme sous certaines hypothèses
The aim of this thesis is the study of two topical issues arising from general relativity: finding initial data for the Cauchy problem with respect to the Einstein equations and the positive mass theorem. For the first issue, in the context of the conformal method introduced by Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] and Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg–D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a], we consider the conformal constraint equations on compact Riemannian manifolds of dimension n > 3. In this thesis, we simplify the proof of [Dahl et al., 2012, Theorem 1.1], extend and sharpen the far-from CMC result proven by Holst– Nagy–Tsogtgerel [Holst et al., 2009], Maxwell [Maxwell, 2009] and give an unifying viewpoint of these results. Besides discussing the solvability of the conformal constraint equations, we will also show nonexistence and nonuniqueness results for solutions to the conformal constraint equations under certain assumptions

La géométrie de Cauchy-Riemann, CR en abrégé, est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles pseudoconvexes de $C^{n+1}$, lorsque $ngeq 1$. Nous considérons le cas générique où les variétés CR considérées sont de contact. La géométrie CR présente de nombreuses similarités avec la géométrie conforme ; les invariants mis au jour et les techniques éprouvées en géométrie conforme peuvent donc être adaptées dans ce contexte. Nous nous intéressons dans cette thèse à deux invariants de ce type. Dans une première partie, en utilisant la géométrie asymptotiquement hyperbolique complexe, nous introduisons un opérateur différentiel CR covariant agissant sur les applications allant d'une variété CR vers une variété riemannienne, égal pour les fonctions à l'opérateur de Paneitz CR. Dans une seconde partie, nous proposons un invariant de Yamabe pour les variétés de contact admettant une structure CR, et nous étudions son comportement sous somme connexe
Cauchy-Riemann geometry, CR for short, is the natural geometry of real pseudoconvex hypersurfaces of $C^{n+1}$ for $ngeq 1$. We consider the generic case when CR manifolds are contact manifolds. CR geometry presents strong analogies with conformal geometry; hence, known invariants and techniques of conformal geometry can be transported to that context. We focus in this thesis on two such invariants. In a first part, using asymptotically complex hyperbolic geometry, we introduce a CR covariant differential operator on maps from a CR manifold to a Riemannian manifold, which coincides on functions with the CR Paneitz operator. In a second part, we propose a Yamabe invariant for contact manifolds which admit a CR structure, and we study its behaviour under connected sum

Les fonctions polyanalytiques entières généralisent les fonctions entières dans la mesure où elles sont les solutions sur le plan complexe \mathbb{C} de l'équation de Cauchy-Riemann à l'ordre n, de la forme { partial} nf / \partial \overline{z} n = 0. Un espace de Fock polyanalytique F2 {\alpha,n} est, par analogie avec le cas classique, le sous-espace fermé de l'espace de Hilbert L^2 (\mathbb{C},d\mu \alpha), où \mu \alpha est une mesure de probabilité gaussienne sur \mathbb{C} de paramètre alpha>0, formé des fonctions polyanalytiques entières d'ordre n. L'objet de cette thèses est l'étude d'éléments classiques de la théorie des opérateurs tels que la transformée de Berezin et les opérateurs de Toeplitz dans le cadre particulier des espaces de Fock polyanalytiques. Dans ce manuscrit, il est montré en particulier que les points fixes de la transformée de Berezin qui appartiennent aux espaces de Lebesgue sont les fonctions nulles ou éventuellement constantes. Concernant les opérateurs de Toeplitz, le problème de Sarason est étudié. Etant donné une fonction f, l'opérateur de Toeplitz de symbole f est formellement défini par T {alpha,n} f(h)=P {alpha,n}(f h), où P {alpha,n} est la projection orthogonale de L^2(\mathbb{C},d\mu {alpha}) sur F^2 {alpha,n}. Le problème de Sarason consiste à donner une condition nécessaire et suffisante sur f et g pour que le produit d'opérateurs de symboles f et bar g soit continu
Entire polyanalytic functions generalize entire functions in that they are solutions of "Cauchy-Riemann equations of order n, of the form {\partial}^n f / \partial \overline{z}^n = 0, over the whole complex plane \mathbb{C}. Polyanalytic Fock space F^2_{\alpha,n} is, by analogy with the classical case, the closed subspace of the Hilbert space L^2(\mathbb{C},d\mu_\alpha), where \mu_\alpha is a Gaussian probability measure over \mathbb{C} with weight \alpha>0, of polyentire functions of order n. The aim of this PhD thesis is the study of classical objects of operator theory such that the Berezin transform and Toeplitz operators in the particular case of polyanalytic Fock spaces. In this written, it is shown among other results, that the L^p fixed points of the Berezin transform are constant functions. Concerning Toeplitz operators, the Sarason problem is studied. Given a function f, the Toeplitz operator with symbol f is formally defined by T^n_f(h)=P_{F^2_n}(f h), where P_{F^2_n} is the orthogonal projection from L^2(\mathbb{C},d\mu) on to F^2_n. The so-called Sarason's problem consists in finding necessary and sufficient conditions on the symbols f and g for the Toeplitz product with symbols f and \bar g to be bounded in the Fock space

S. G. Krantz a montré qu'une solution u de l'équation de Cauchy-Riemann pour une donnée f à coefficients bornés appartient à l'espace de Lipschitz $\Lambda^(\frac(1)(2))$ dans les domaines strictement pseudoconvexes. Plus récemment, A. Cumenge d'une part et B. Fischer, J. E. Fornaess, K. Diederich d'autre part ont obtenu dans le cas des domaines convexes de type fini m des estimations en $\Lambda^(\frac(1)(m))$ . Cependant, le résultat de S. G. Krantz dans les domaines strictement pseudoconvexe a ensuite été amélioré par P. Greiner et E. Stein qui ont obtenu sous les mêmes hypothèses une solution dans l'espace anisotrope höldérien $\Lambda^(\frac(1)(2), 1)$. Ce résultat indique qu'une meilleure régularité de la solution est attendue dans les directions tangentes complexes. Notre travail consiste alors à obtenir les estimations lipschitziennes optimales des solutions de l'équation de Cauchy-Riemann dans un domaine $\Omega$ à frontière lisse borné et convexe de type fini. Dans la première partie de notre travail, nous reprenons la formule de représentation intégrale construite par A. Cumenge avec des noyaux de type Berndtsson-Andersson où le poids dépend du noyau de Bergman. Elle est ``semi-géométrique'' dans le sens où le noyau est construit en partie à l'aide du noyau de Bochner-Martinelli qui, bien qu'universel, ne nous permettra pas a priori d'exploiter toute la géométrie du domaine. Dans tous les résultats précités, la donnée $f$ est dans l'espace $L^(\infty)$. C'est ainsi la solution qui porte l'anisotropie induite par la géométrie des strictement pseudoconvexes ou des convexes de type fini. Il nous a semblé intéressant de donner aussi une approche où la donnée appartient à un espace anisotrope. Pour cela, nous utilisons la norme $|||f|||_(\kappa)$ qui est définie à l'aide d'une norme de type Kobayashi pour les vecteurs. La solution appartient alors à l'espace de Zygmund isotrope $\Lambda^1(\Omega)$. Pour montrer les techniques usuelles de résolution, et les difficultés d'approche pour les estimations de la partie euclidienne du noyau résolvant, nous donnons aussi un résultat où la donnée appartient à l'espace des (0,1)-formes $L^(\infty)$. Ce résultat n'est pas optimal et nous l'améliorons dans la troisième partie. La seconde partie donne la construction d'un noyau entièrement géométrique. Il ne fait plus intervenir que le noyau et la métrique de Bergman et nous pouvons espérer être donc à même de l'exploiter pour obtenir les résultats les plus fins. Cette construction est similaire à celle de Berndtsson-Andersson en choisissant comme section une approximation de la métrique de Bergman à l'ordre 2. Ce noyau permet d'obtenir une formule de représentation valable pour les (p,q)-formes en général. Le choix du poids permet l'annulation du terme d'intégration sur le bord qui apparaît dans les formules d'homotopie, ce qui nous donne directement une solution de l'équation de Cauchy-Riemann pour les (p,q)-formes $\overline \partial$ fermée. Dans la troisième partie, nous donnons un premier résultat qui utilise ce noyau et améliore le second résultat de la première partie. Nous obtenons un résultat optimal : pour une donnée dans $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que l'équation de Cauchy-Riemann admet une solution dans l'espace de fonction anisotrope $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ introduit par J. McNeal et E. Stein. C'est un espace de type Lipschitz $\frac(1)(m)$ pour une métrique $\rho$ faisant intervenir la pseudométrique de McNeal, donc reflétant la géométrie du domaine. Pour obtenir ce résultat, nous avons dû adapter un lemme de type ``Hardy-Littlewood anisotrope'' pour pouvoir estimer directement les termes du noyau ne contenant pas la singularité maximale. Pour le dernier terme, nous avons dû introduire une définition directe de $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ qui nécessitait l'introduction d'une approximation de l'unité adapté à la géométrie des convexes de type fini. Nous terminons par une seconde application : nous retrouvons un théorème de P. Greiner et E. Stein dans les domaines strictement pseudoconvexes. C'est-à-dire que pour une donnée $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que nous pouvons trouver une solution dans $\Lambda^(\frac(1)(2),1)(\Omega)$. Il est assez naturel de pouvoir y arriver puisque notre solution est construite afin de dominer les aspects géométriques des domaines.

Ma thèse généralise la notion de criticité pour le modèle d'Ising en dimension 2. J'y définis une nouvelle notion d'holomorphie discrète sur une décomposition cellulaire d'une surface de Riemann. Le modèle d'Ising converge, à la limite thermodynamique vers une théorie conforme continue, quand la limite est prise sur un réseau (carré, triangulaire), près de la température critique. J'étends cette criticité à des décompositions cellulaires générales et je décompose le spineur en parties holomorphes et antiholomorphes discrètes, analogues discrets des blocs conformes. On définit une équation de Cauchy-Riemann discrète sur le double d'une décomposition cellulaire. Des théorèmes classiques sont encore transposables: harmonicité, base des différentielles, pôle, théorème des résidus. Il y a des différences, le produit point par point ne préserve pas l'holomorphie, les pôles sont d'ordre un, l'espace des formes holomorphes est de dimension double du genre. On définit une carte comme étant semi-critique si d'une fonction holomorphe discrète $f$ et d'une carte locale plate $Z$ on peut faire une $1$-forme fermée $fdZ$ et critique si $fdZ$ est holomorphe. Cette classe contient les réseaux mais bien plus. Une suite convergente de fonctions holomorphes discrètes sur une suite convergente de cartes critiques a pour limite une fonction holomorphe sur la surface de Riemann. Dans le cas des réseaux triangulaires et carrés, on démontre que la criticité statistique d'Ising équivaut à notre criticité pour une structure conforme reliée aux constantes d'intéraction. On définit une équation de Dirac sans masse, l'existence d'une solution équivaut à la criticité. Le spineur de Dirac permet alors de décomposer le fermion d'Ising en une partie holomorphe et une partie antiholomorphe.

Dans ce travail, nous nous intéressons principalement à l'étude de deux équations classiques : l'équation de Cauchy-Riemann dans certains domaines de ${\Bbb C}^n$ et l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle dans certains domaines d'une sous-variété CR générique $q$-concave. L'étude, liée à chaque équation, consiste, dans un premier temps, à obtenir des résultats de résolution locale avec des solutions ayant des propriétés de régularité jusqu'au bord des domaines considérés. Dans le cadre complexe, la méthode de résolution consiste à construire explicitement une solution grâce à la théorie des représentations intégrales, théorie dont l'essor date des années 70 grâce aux résultats de H. Grauert, G.M. Henkin, I. Lieb et E. Ramirez. On en deduit ainsi des estimations ${\cal C}^k$ sur des domaines à coins $q$-convexes et $q$-concaves locaux. Dans le cadre CR, la résolution se déduit des résultats obtenus dans le cas complexe grâce à des outils d'algèbre homologique et de théorie des faisceaux découlant en particulier de travaux de A. Andreotti, G. Fredericks, C.D. Hill et M. Nacinovich. On obtient alors des résultats locaux de résolution du $\bar \partial _b$ pour des formes de classe ${\cal C}^\infty$ jusqu'au bord des domaines considérés. Ensuite, on utilise les résultats locaux ainsi que la méthode <> due à H. Grauert pour montrer des théorèmes globaux d'annulation, de finitude ou de séparation des groupes de cohomologie.