Dissertations / Theses on the topic 'Construções com régua e compasso'

Orientador: Vanderlei Marcos do Nascimento<br>Banca: Ricardo Pereira da Silva<br>Banca: Simone Mazzini Bruschi<br>Resumo: A presente dissertação foi dividida em duas partes. A primeira apresenta a ideia de traduzir os problemas geométricos para a linguagem da álgebra caracterizando-os e, após solução, veri car se a resposta corresponde a construção com régua e compasso. Com a utilização de conceitos da álgebra é que é provada a impossibilidade, utilizando somente régua e compasso, de trisseção do ângulo e da duplicação do cubo. Na segunda parte abordamos alguns métodos para realizar construções geométricas, baseados nas re exões circulares e construções de Mascheroni<br>Abstract: This work was divided into two parts. The rst one presents how the geometric constructions are understood within the Algebra. This allows to see the impossibility, by using only ruler and compass, of trisecting certain angles and also of the duplication of a cube. The second part deals with some methods to perform constructions based on circular re ections and on the constructions of Mascheroni<br>Mestre

O presente trabalho incide num estudo sobre construções geométricas com régua e compasso. A régua utilizada é não graduada possibilitando apenas a construção de rectas que passem por dois pontos dados e o compasso não transporta medidas. São exploradas construções recorrendo a ambos os instrumentos ou a exclusivamente um deles. Em cada um dos casos, usamos ferramentas e conceitos da álgebra, para estudar o conjunto de pontos construtíveis; ### Abstract: Geometric Constructions In this work we study geometric constructions with ruler and compass. The ruler is not marked and is therefore used only to construct straight lines through two given points, and the compass does not transfer distances. We explore constructions that make use of both instruments, as well as constructions made with only one of them. In each case, we use tools from algebra to study the set of constructible points.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-27T14:46:39Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Emerson José da Silva - 2014.pdf: 7690015 bytes, checksum: 913769b0dd5913e4688da0ec1491b760 (MD5)<br>Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-28T12:58:40Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Emerson José da Silva - 2014.pdf: 7690015 bytes, checksum: 913769b0dd5913e4688da0ec1491b760 (MD5)<br>Made available in DSpace on 2015-01-28T12:58:40Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Emerson José da Silva - 2014.pdf: 7690015 bytes, checksum: 913769b0dd5913e4688da0ec1491b760 (MD5) Previous issue date: 2014-08-21<br>In this work we revisit the subject Geometric Constructions into ruler and compass, using the dynamic geometry software 'Ruler and Compass' as an auxiliary tool in the teaching and learning of geometry, building examples and suggestions for activities with the software. Brought to the fore the possibility of building into ruler and compass, solutions to several problems that can be presented as algebraic expressions. Yet addressed the possibility of constructing a number, using only ruler and compass and discuss the famous and historical problems of geometrical construction: doubling the cube, squaring the circle and the trisection of the angle. We add appendices which present other possible constructions and also bring suggestions for activities with ruler and compass software. Keywords<br>Neste trabalho revisitamos o assunto Construções Geométricas via régua e compasso, utilizando o software de Geometria Dinâmica ‘Régua e Compasso’ como uma ferramenta auxiliar no ensino e aprendizagem de Geometria, construindo exemplos e sugestões de atividades com o software. Trouxemos à tona a possibilidade da construção, via régua e compasso, de soluções para vários problemas que podem ser apresentados por expressões algébricas. Abordamos ainda a possibilidade da construção de um número, utilizando-se apenas a régua e o compasso e discutimos os célebres e históricos problemas de construção geométrica: duplicação do cubo, quadratura do círculo e trissecção do ângulo. Acrescemos ainda apêndices onde apresentamos outros tipos de construções possíveis e também trazemos sugestões de atividades com o software ‘Régua e Compasso’.

LOPES, Aislan Sirino. Critério para a construtibilidade de polígonos regulares por régua e compasso e números construtíveis. 2014. 49 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Juazeiro do Norte, 2014.<br>Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-08-27T18:37:55Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_aslopes.pdf: 902424 bytes, checksum: 29aa6ee86646a9d96ee772cde3d2b97e (MD5)<br>Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-08-28T15:54:37Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_aslopes.pdf: 902424 bytes, checksum: 29aa6ee86646a9d96ee772cde3d2b97e (MD5)<br>Made available in DSpace on 2014-08-28T15:54:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_aslopes.pdf: 902424 bytes, checksum: 29aa6ee86646a9d96ee772cde3d2b97e (MD5) Previous issue date: 2014<br>This work discusses basic geometric constructions and constructions of regular polygons with ruler and compass made respecting the rules or elementary operations used by the ancient Greeks. Such constructions are initially treated in a purely geometric form and, in order to find a criterion that can determine the possibility of constructing of regular polygons, will be discussed by an algebraic bias. This algebraic treatment will show a relationship between geometry and algebra, in particular, the relationship between the vertices of a regular polygon and the roots of polynomials of a variable with rational coefficients. This algebraic treatment leads us naturally to the concept of constructability of numbers and points in a field, which will require the use of algebraic field extensions, and the criteria for the constructability of these leads to a criterion for constructability of polygons<br>Este trabalho aborda construções geométricas elementares e de polígonos regulares realizadas com régua não graduada e compasso respeitando as regras ou operações elementares usadas na Antiguidade pelos gregos. Tais construções serão inicialmente tratadas de uma forma puramente geométrica e, a fim de encontrar um critério que possa determinar a possibilidade de construção de polígonos regulares, passarão a ser discutidas por um viés algébrico. Este tratamento algébrico evidenciará uma relação entre a geometria e a álgebra, em especial, a relação entre os vértices de um polígono regular e as raízes de polinômios de uma variável com coeficientes racionais. Este tratamento algébrico nos levará naturalmente ao conceito de construtibilidade de números e pontos no plano de um corpo, o que exigirá o uso de extensões algébricas de corpos, e os critérios para a construtibilidade destes nos levará a um critério de construtibilidade dos polígonos pretendidos.

This study aims at the discussion of the development of the teaching of geometrical constructions in the Euclidean geometry, starting from the middle of the 19th. From the end of the 19th century, in Brazil, the geometrical constructions became an autonomous discipline, valid and legitimate school knowledge. Some textbooks were published where the theory of the Euclidean geometry was absent. Through to the official legislation it was possible to demarcate the periods where the main alterations in the school curricula happened. The analysis of Geometrical Drawing textbooks allows us to verify the modifications of programs and how this discipline was developed in the schools. The law LDB 5692 was sanctioned in 1971. According to this law the schools are free to build their own curricula, as part of their option to select themselves certain subjects, and the Geometrical Drawing is no longer obligatory. These facts, among other, contributed to exclude the Geometrical Drawing from many school institutions. In spite of the Geometrical Drawing is not included in the curriculum of most of the Brazilian schools, this discipline, in the 1980's, won a new impulse, since new collections were published. Other proposals of working with the geometrical constructions reappeared in the 1990's. Mathematical textbooks started to include activities or chapters dedicated to the geometrical constructions with ruler and compasses. In 1998, the Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, for the 3o and 4o cycles of the fundamental teaching, suggested that the geometrical constructions should be treated inside the Mathematical discipline. This research indicates that, in some schools, the teaching of the geometrical constructions was always present in the classes of Geometrical Drawing or classes of Artistical Education. If we look at the New Sociology of the Education, we can see a possible reason for the directions that the teaching of the geometrical constructions were taking, not only in Brazil but also in other countries. We inferred that the compartimentation of this knowledge corresponds to socioeconomic motivations that will be decisive in the didactical transposition. In Brazil, the permanence of teaching geometrical constructions in some schools demonstrates the superiority of this knowledge over others, revealing the stratification of the contents and school knowledges<br>Este estudo pretende discutir a trajetória do ensino das construções geométricas da Geometria Euclidiana plana, a partir de meados do século XIX. Nessa época elas vieram a se constituir em um saber escolar autônomo, válido e legítimo, no Brasil - sendo editados livros nos quais a teoria da geometria euclidiana plana está praticamente ausente. Através da legislação oficial foi possível demarcar os períodos nos quais ocorreram as principais alterações nos currículos escolares. A análise de livros didáticos nos permitiu verificar as mudanças de programas e inferir como as construções geométricas foram sendo trabalhadas nas escolas. Com a promulgação da LDB 5692/71, o Desenho Geométrico deixa de ser uma disciplina obrigatória e com essa lei, as escolas passam a ter liberdade para construir sua grade curricular, dentro da parte diversificada. Estes fatos, entre outros, contribuíram para que o Desenho Geométrico fosse excluído de muitas instituições escolares. Apesar de o Desenho Geométrico não integrar o currículo da maioria das escolas brasileiras, essa disciplina, na década de 80, ganha um novo impulso, sendo publicadas novas coleções. Outras propostas para se trabalharem as construções geométricas surgem, a partir da década de 90. Textos didáticos de Matemática passaram a incluir atividades ou capítulos inteiramente dedicados às construções geométricas com régua e compasso. Em 1998, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, para o 3o e 4o ciclos do ensino fundamental, sugerem que as construções geométricas sejam abordadas dentro da disciplina Matemática. A pesquisa realizada indica que, em algumas escolas, o ensino das construções geométricas esteve sempre presente, seja nas aulas de Desenho Geométrico, seja nas aulas de Educação Artística. Fundamentando-nos na Nova Sociologia do Educação, procuramos uma possível justificativa para os rumos que o ensino das construções geométricas foi tomando, não só no Brasil como em outros países. Inferimos, com isso, que a compartimentação deste saber corresponde a motivações sócio-econômicas que serão determinantes na transposição didática. No Brasil, a permanência do ensino das construções geométricas, em algumas escolas, demonstra a superioridade deste conhecimento sobre outros revelando a estratificação dos conteúdos e saberes escolares.

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2014-08-28T17:04:33Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Natalia.pdf: 3124110 bytes, checksum: f27af33101f254afa0e1e7bf7550914f (MD5)<br>Made available in DSpace on 2014-08-28T17:04:33Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Natalia.pdf: 3124110 bytes, checksum: f27af33101f254afa0e1e7bf7550914f (MD5) Previous issue date: 2013-03-22<br>Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES<br>The golden number and its geometry remote from Ancient Greece. The golden number is a real number that can be represented geometrically by dividing a segment in extreme and mean ratio. It is related to the act of determining a point C on a segment AB in order to obtain equal ratios between AB : AC and AC : CB. Its value is obtained by numerical solution of the quadratic equation obtained from this equality. From ruler and compass constructions of the golden mean other geometric constructions are made: triangles, rectangles, pentagons and spirals. The golden number has been present in arts, architecture and nature for years, and it presented in this work as a tool for study, focusing on presentation to high school students.<br>O estudo do número de ouro e de sua geometria remotam desde a Grécia Antiga. O número de ouro é um número real que pode ser representado geometricamente por meio da divisão de um segmento em média e extrema razão. Trata-se de determinar um ponto C em um segmento AB, a fim de obter uma igualdade entre as razões AB : AC e AC : CB. O seu valor numérico é obtido por meio da solução da equação do segundo grau obtida a partir dessa igualdade. Com a construção com régua e compasso desse segmento áureo são feitas outras construções geométricas áureas: triângulos, retângulos, pentágonos e espirais. O número de ouro está presente na arte, na arquitetura, na natureza há anos e apresenta-se aqui como ferramenta para estudo e com enfoque para apresentação a alunos de Ensino Médio.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-09-23T12:11:15Z No. of bitstreams: 2 Vieira, Mariana Araujo.pdf: 2336552 bytes, checksum: a3cdecc71ec9fe00f17a840ededdcce2 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5)<br>Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-09-23T15:10:25Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Vieira, Mariana Araujo.pdf: 2336552 bytes, checksum: a3cdecc71ec9fe00f17a840ededdcce2 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5)<br>Made available in DSpace on 2014-09-23T15:10:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Vieira, Mariana Araujo.pdf: 2336552 bytes, checksum: a3cdecc71ec9fe00f17a840ededdcce2 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-03-22<br>Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES<br>This paper aims to present the main problems of Apollonius....<br>Este trabalho tem como objetivo principal apresentar os dez problemas de Apôlonio....

OLIVEIRA, Elvis Silva. Os três problemas clássicos: impossibilidade da solução com régua e compasso e soluções alternativas. 2017. 62 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017.<br>Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-24T13:35:23Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_esoliveira.pdf: 2573469 bytes, checksum: ea8714b833241a6db7c366b9dbbab848 (MD5)<br>Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Há alguns erros na Dissertação de ELVIS SILVA OLIVEIRA que devem ser corrigidos por ele, os mesmos estão listados abaixo: 1- FICHA CATALOGRÁFICA (o título da Dissertação que se encontra na ficha catalográfica deve estar em letra minúscula) 2- RESUMO e ABSTRACT (os termos RTESUMO e ABSTRACT devem estar em letra maiúscula, negrito e fonte n 12) 3- SUMÁRIO (veja a formatação adequada para o sumário no GUIA DE NORMALIZAÇÃO DE TRABALHOS ACADÊMICOS DA UFC, disponível no endereço eletrônico: http://www.biblioteca.ufc.br/images/arquivos/documentos_tecnicos/guia_normalizacao_trabalhos_ufc_2013.pdf OBS.: o termo SUMÁRIO também deve estar em letra maiúscula e fonte n 12. 4- TÍTULOS DE CAPÍTULOS (os títulos dos capítulos devem estar em letra maiúscula, negrito e fonte n 12. Ex.: 1 INTRODUÇÃO) 5- TÍTULOS DE SEÇÕES PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS (revise os títulos das seções primárias e secundárias e retire o ponto final que existe após alguns desses títulos. Por exemplo, os das seções 2.1 e 2.1.1) 6- REFERÊNCIAS (substitua o termo REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS por REFERÊNCIAS, colocando-o em letra maiúscula, negrito e fonte n 12) Atenciosamente, on 2017-08-24T16:02:04Z (GMT)<br>Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-29T13:46:46Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_esoliveira.pdf: 2478419 bytes, checksum: dc42a5944ec26fcc821f3a08b88192d1 (MD5)<br>Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Estou reenviando a Dissertação de ELVIS SILVA OLIVEIRA, pois ainda há algumas coisas erradas: -- Esta faltando, nos dados que forma inseridos no REPOSITÓRIO, o nome do coorientador. -- Peça ao aluno que formate o SUMÁRIO da Dissertação de acordo com o modelo que se encontra-se no GUIA DE NORMALIZAÇÃO DE TRABALHOS ACADÊMICOS DA UFC ( os títulos dos capítulos devem estar dispostos com o mesmo alinhamento, como exemplificado no modelo abaixo) Ex: SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO......................00 2 AS ETAPAS ..........................00 2.1 Primeira ................................00 2.1.1 Casos....................................00 REFERÊNCIAS....................00 on 2017-08-29T17:43:19Z (GMT)<br>Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-30T14:17:57Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_esoliveira.pdf: 2578005 bytes, checksum: 3c659d0c42878623afe79f59d4123ff0 (MD5)<br>Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Estou devolvendo a Dissertação de ELVIS SILVA OLIVEIRA para que ele faça uma pequena alteração no sumário 1- coloque os o título dos capítulos (Ex.: 1 INTRODUÇÃO) e da seção secundária (Ex.: 2.1 Os três.....) em negrito, para destacar melhor as partes do sumário. Atenciosamente, on 2017-08-30T18:01:34Z (GMT)<br>Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-31T13:14:25Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_esoliveira.pdf: 2488479 bytes, checksum: cc5cae6262f0b4088bd572f409cf1162 (MD5)<br>Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-08-31T15:30:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_esoliveira.pdf: 2488479 bytes, checksum: cc5cae6262f0b4088bd572f409cf1162 (MD5)<br>Made available in DSpace on 2017-08-31T15:30:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_esoliveira.pdf: 2488479 bytes, checksum: cc5cae6262f0b4088bd572f409cf1162 (MD5) Previous issue date: 2017<br>This work is about the three classical problems of Greek Geometry: the doubling of the cube, the trisection of the angle and the squaring of the circle. With the aid of some results from the theory of fields we show that such problems can not be solved by the use of only a nongraduated ruler and compass. We present the conchoid, cissoidd and quadratrix curves (also called trissectors) along with their equations. Finally, we present alternative solutions to the three classic problems and highlight how some of the curves previously presented can help such solutions.<br>Este trabalho é sobre os três problemas clássicos da Geometria Grega: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo. Com o auxílio de alguns resultados da teoria dos corpos mostramos que tais problemas não podem ser resolvidos com o uso apenas de régua não graduada e compasso. Apresentamos as curvas conchóide, cissóide e quadratriz (também chamada de trissectriz) junto com suas equações. Por fim, fazemos a exposição de soluções alternativas para os três problemas clássicos e destacamos como alguma das curvas apresentadas anteriormente pode auxiliar tais soluções.

Made available in DSpace on 2016-12-23T14:34:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jailson Pimentel - Parte 1.pdf: 1784235 bytes, checksum: f7993baeef9a2342c1f02de895b3895d (MD5) Previous issue date: 2013-08-23<br>Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior<br>O objetivo deste trabalho consiste em desenvolver uma alternativa metodológica para o ensino de Geometria a partir do nono ano do ensino fundamental, com o propósito de despertar no aluno motivação por meio de mecanismos dinamizadores do pensamento lógico dedutivo. Neste sentido, será considerado relevante o ensino de Geometria baseado em construções geométricas com régua e compasso, já que os livros didáticos, em geral, abandonaram esse método de ensino de Geometria no nono ano. Enfocaremos também algumas construções utilizando os recursos práticos do software GeoGebra. Este trabalho será composto e desenvolvido em duas etapas. A primeira será composta por um questionário, o qual contemplará uma revisão dos conteúdos considerados pré-requisitos para a segunda parte. A segunda será formada pelas construções geométricas com régua e compasso, objeto principal desse trabalho, além de construções utilizando os recursos práticos do software GeoGebra. Para isso, utilizaremos uma linguagem simples, detalhando passo a passo a construção de cada figura. Contudo, nos limitaremos a figuras planas. A proposta de continuidade do assunto contempla as construções através de planificações de uma figura em três dimensões. Em geral, a disciplina Desenho Geométrico não está contemplada na grade curricular das escolas públicas. Com isso, os alunos, principalmente do ensino fundamental, acreditam que o compasso serve apenas para traçar círculos, sendo que ele também pode ser utilizado como um instrumento de medida. Espera-se que este trabalho não só contribua para um entendimento teórico como também na melhoria das práticas pedagógicas nas aulas de Geometria, visto que os conteúdos e metodologias usadas aqui são destinados principalmente para auxílio dos professores de Matemática da educação básica<br>The purpose of this work is to develop an alternative methodology for teaching Geometry beginning in ninth grade level, with the purpose of awakening in student motivation through mechanisms that enhance deductive logical thinking. In this sense, geometry teaching based on geometric constructions with ruler and compass will be considered relevant, as textbooks generally abandoned this geometry teaching method in ninth grade. We will also focus some elaborations using the resources of practical software Geogebra. This work will be made and developed in two stages. The first one will consist of a questionnaire, which will include a review of the contents considered prerequisites for the second part. The second and main stage of this work is formed by geometric constructions with ruler and compass, and then elaborations using the practical features of the software Geogebra. For this, we will use a simple language, detailing step by step the construction of each geometric picture. However, we will limit ourselves to plane figures. The continuity proposal of the subject reaches the constructions through flat pattern of a picture in three dimensions. In general, the discipline Geometric Drawing is not present in the public schools curriculum. Thus, students, particularly the ones from elementary school, believe that the measure serves only to draw circles, and it can also be used as a measuring instrument. It is hoped that this work will not only contribute to an understanding of theoretical as well as the improvement of teaching practices in geometry classes, since the contents and methodologies used here are intended, primarily, to help mathematics teachers of basic education

Orientador: Prof. Dr. Sinuê Dayan Barbero Lodovici<br>Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016.<br>Geometry is present in many of our contemporary activities, which allows us to search for more contextualized teaching strategies in order to make the learning process more meaningful to the student. Folding square papers to create origami, seems, to some extent, something simple, seeing that since our childhood, we play folding paper, making boats, balloons or even aircrafts. However, much more than just folding randomly, Origami is based on basic geometry and without realizing it, we work with angles, planes, lines and points, enabling several ways to work with Geometry with this technique inside the classroom, in a playful and interesting way, arising the students¿ curiosity. Thus this thesis aims to present a proposal to approach in a more playful way the fundamental knowledge of Euclidean Geometry through Origami. In this work we broach two of the three classic and insolvable problems of Euclidean geometry using the ruler and the ideal compass, showing some possible elementary frames with only these two instruments. We also mention the constructability of certain numbers using the ruler and the ideal compass. Finally, we discourse about the Japanese technique of Origami, the axioms that substantiate its geometry as well as demonstrate the resolution for two of these insolvable problems: the angle trisection and the duplication of a cube.<br>A Geometria faz-se presente em várias de nossas atividades contemporâneas, o que nos permite buscar estratégias de ensino mais contextualizadas, de maneira que a aprendizagem seja mais significativa ao aluno. Fazer dobraduras em papel parece, até certo ponto, algo simples, visto que, desde a nossa infância brincamos com a dobradura em papel, seja fazendo barcos, balões ou aviões. Porém, muito além do ato de apenas dobrar de maneira qualquer, o Origami é fundamentado em conhecimentos básicos da Geometria e sem percebermos, trabalhamos com ângulos, planos, retas e pontos, possibilitando diversas formas de se trabalhar a Geometria com esta técnica em sala de aula, de maneira lúdica e interessante, despertando a curiosidade do aluno. Desta forma, esta dissertação busca apresentar uma proposta para abordar de maneira mais lúdica os conhecimentos fundamentais da Geometria Euclidiana através do Origami. Neste presente trabalho abordamos sobre dois dos três problemas clássicos e insolúveis da Geometria Euclidiana utilizando a régua e o compasso ideais, abordando algumas construções elementares possíveis com apenas esses dois intrumentos. Abordamos também sobre a construtibilidade de determinados números utilizando a régua e o compasso ideais. Por fim, discorremos sobre a técnica japonesa do Origami, os axiomas que fundamentam sua geometria, bem como a demonstração da resolução de dois desses problemas insolúveis: a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo.

Nesta dissertação apresentamos deduções das fórmulas resolventes das equações de graus inferiores a cinco e os trabalhos de Abel e de Galois, concorrentes para a prova da não existência de fórmulas congéneres para as equações de grau superior, usando radicais. Tratamos, usando fundamentos algébricos envolvendo o grau de uma extensão de um corpo, a impossibilidade de algumas construções geométricas usando apenas régua e compasso. Apresentamos ainda algumas regras para a determinação do número de zeros reais de um polinómio e sua localização. Sobre este assunto, propomos um guião de uma tarefa aplicada a alunos do 11º ano de Ciências e Tecnologias como aplicação/extensão de conteúdos abordados no Programa da disciplina de Matemática A do Ensino Secundário.<br>In this dissertation we present deductions of the resolvent formulas for the equations of degrees below five and the works of Abel and Galois, competing for the proof of the non-existence of similar formulas for higher degree, using radicals. Using algebraic foundations involving the degree of a field extension, we show, the impossibility of several geometric constructions with only ruler and compass. We also present some rules for computing the number of polynomial real roots as well as their location. On this subject, we propose a script of a task for students of the «11º ano, Ciências e Tecnologias» as an application/extension of the contents of the «Matemática A» course Program.<br>Mestrado em Matemática para Professores

Este trabalho, foi elaborado como pré requisito para a obtenção do grau de mestre, no âmbito do curso de mestrado em Matemática para Professores. Pretendemos desenvolver o tema “Plano Projetivo e Construções com Régua” com o intuito último de despertar o interesse de estudantes e professores da área da Matemática, no sentido de promover esta subárea da Geometria com muita importância do ponto de vista da história, investigação e aplicações da Matemática. Descrevemos a matem ática do plano projetivo: pontos, retas, coordenadas homogéneas, transformações projetivas, o Teorema Fundamental do Plano Projetivo, o princípio da dualidade, os teoremas de Desargues, Pappus, Pascal e seus duais, formas bilineares e cónicas. Apresentamos ainda a resolução de alguns problemas relacionados sobre construções com régua não-graduada que envolvem aplicações dos teoremas estudados.<br>This work was elaborated as a prerequisite for obtaining the master's degree, within the framework of the master's degree in Mathematics for Teachers. We intend to develop the theme “Projective Plan and Constructions with Ruler” with the ultimate purpose of attracting the interest of students and teachers to this subarea of Geometry, which has a great importance from the point of view of history, in research and applications of Mathematics. We describe the mathematics of the projective plane: points, lines, homogeneous coordinates, projective transformations, the Fundamental Theorem of the Projective Plane, the principle of duality, the theorems of Desargues, Pappus, Pascal and their dual, bilinear and conic forms. We also present the resolution of some problems related to constructions with a non-graded rule that involve applications of the theorems previously studied.

Os chineses inventaram o papel e, na idade média, no Japão, começou a ser desenvolvido um conjunto de técnicas de dobragens de papel, designado por Origami. Já no século XX, estas técnicas despertaram o interesse de diversos matemáticos. H. Huzita, K. Hatori e R. Lang fixaram o sistema axiomático para as construções com dobragens. Na presente dissertação, apresenta-se este sistema axiomático e a resolução dos problemas clássicos da duplicação do cubo e da trisecção de um ângulo com Origami. Além disso, estuda-se a teoria dos números construtíveis com Origami em comparação com a teoria dos números construtíveis com régua e compasso.<br>The Chinese invented the paper and, in the middle ages, in Japan, a set of folding techniques began to emerge: the Origami. Recently, in 20th century, these techniques attracted the attention of several mathematicians. H. Huzita, K. Hatori and R. Lang established an axiomatic system for Origami constructions. In the present dissertation, we present this axiomatic system and the resolution of the classic problems of doubling the cube and angle trissection with Origami. Besides that, we study the theory of Origami's constructible numbers in comparison with the theory of constructible numbers with non-graduated ruler and compass.