Academic literature on the topic 'Courbure moyenne'

Les deux premiers chapitres de cette thèse sont consacrés à l'existence ou la non-existence d'hypersurfaces compactes sans bord à courbure moyenne prescrite dans l'espace euclidien R^N ou le tore plat T^N. L'objectif est de trouver des conditions sur la courbure moyenne que l'on prescrit assurant l'existence ou la non-existence. Dans le premier chapitre on prouve deux résultats d'existence pour les lacets à courbure prescrite dan

Dans cette thèse on étudie le comportement asymptotique des suites de surfaces à courbure moyenne constante. Plus précisément, on développe une analyse de « blow-up » pour l'équation générale des surfaces à courbure moyenne constante qui nous permet de localiser le lieux de concentration des suites de surface à grande courbure moyenne constante dans une variété courbée ou un domaine de l'espace euclidien. D'autre part, on démontre également dans ce manuscrit un certain nombre d'obstructions concernant la courbure moyenne d'une surface générale.

L'objectif de cette thèse est d'étudier les surfaces à courbure moyenne constante dans des variétés homogènes de dimension 3 avec un groupe d'isométries de dimension 4. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions les surfaces à courbure moyenne constante dans les variétés produites \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} et \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. Comme résultat principal, nous établissons une classification locale pour les surfaces à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans ces espaces. Dans cette classification, nous présentons un nouvel exemple de surface à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. En conséquence, nous utilisons la correspondence des surfaces soeurs pour classifier les surfaces à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans les autres variétés homogènes de dimension 3 avec un groupe d'isométries de dimension 4, et donc sous ces conditions des nouveaux examples apparaissent dans \widetilde{\mathrm{PSL}}_{2}(\mathbb{R}). Nous consacrons la deuxième partie de cette thèse à l'étude des surfaces minimales dans \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. À cet effet, nous définissons une nouvelle application de Gauss pour ces surfaces, en utilisant le modèle de \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} qui est isométrique à \mathbb{R}^3\setminus\{0\}, muni d'une métrique conformément équivalente à la métrique de l'espace euclidien \mathbb{R}^3. Comme résultat principal, nous montrons que deux immersions minimales conformes quelconques en \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}, avec la même application de Gauss non-constante, ne diffèrent que par des isométries de \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} de deux types particuliers. De plus, si l'application de Gauss est singulière, nous montrons que cette application est forcément constante, et donc, la surface est un cylindre vertical sur une géodésique de \mathbb{S}^2 dans \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. Nous étudions également quelques cas particuliers, et, parmi eux, nous prouvons qu'il n'existe pas d'immersion minimale conforme dans \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} telle que l'application de Gauss soit non-constante et anti-holomorphe
The goal of this thesis is to study constant mean curvature surfaces into homogeneous 3-manifolds with 4-dimensional isometry group. In the first part of this thesis, we study constant mean curvature surfaces in the product manifolds \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} and \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. As a main result, we establish a local classification for constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in these spaces. In this classification, we present a new example of constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. As a consequence, we use the sister surface correspondence to classify the constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in the others homogeneous 3-manifolds with 4-dimensional isometry group, and then new examples with these conditions arise in \widetilde{\mathrm{PSL}}_{2}(\mathbb{R}). We devote the second part of this thesis to study minimal surfaces in \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. For this, we define a new Gauss map for surfaces in this space using the model of \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} isometric to \mathbb{R}^3\setminus\{0\}, endowed with a metric conformally equivalent to the Euclidean metric of \mathbb{R}^3. As a main result, we prove that any two minimal conformal immersions in \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} with the same non-constant Gauss map differ by only two types of ambient isometries. Moreover, if the Gauss map is a singular, we show that it is necessarily constant and then the surface is a vertical cylinder over a geodesic of \mathbb{S}^2 in \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. We also study some particular cases, among them we also prove that there is no minimal conformal immersion into \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} with anti-holomorphic non-constant Gauss map

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur le rôle que peuvent jouer les différentes courbures extrinsèques d’une hypersurface dans l’étude de sa géométrie, en particulier dans le cas des variétés spinorielles. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas de la courbure moyenne et construisons une nouvelle famille de surfaces minimales non simplement connexes dans le groupe de Lie Sol3, en adaptant une méthode déjà utilisée par Daniel et Hauswirth dans Nil3 et utilisant les propriétés de l’application de Gauss d’une surface. Ensuite, nous démontrons le Théorème d’Alexandrov généralisé aux Hr-courbures dans l’espace euclidien Rn+1 et dans l’espace hyperbolique Hn+1 en testant un spineur adéquat dans des inégalités de type holographiques établies récemment par Hijazi, Montiel et Raulot. Grâce à ces inégalités, nous démontrons également l'Inégalité de Heintze-Karcher dans l'espace euclidien. Enfin, nous donnons des majorations extrinsèques de la première valeur propre de l’opérateur de Dirac des surfaces de S2 x S1(r) et des sphères de Berger Sb3 (τ) grâce aux restrictions de spineurs ambiants construits par Roth, et nous en caractérisons les cas d’égalité
In this thesis we are interested in the role played by the extrinsic curvatures of a hypersurface in the study of its geometry, especially in the case of spin manifolds. First, we focus our attention on the mean curvature and construct a new family of non simply connected minimal surfaces in the Lie group Sol3, by adapting a method used by Daniel and Hauswirth in Nil3 based on the properties of the Gauss map of a surface. Then we give a new spinorial proof of the Alexandrov Theorem extended to all Hr-curvatures in the euclidean space Rn+1 and in the hyperbolic space Hn+1, using a well-chosen test-spinor in the holographic inequalities recently obtained by Hijazi, Montiel and Raulot. These inequalities lead to a new proof of the Heintze-Karcher Inequality as well. Finally we use restrictions of particular ambient spinor fields constructed by Roth to give some extrinsic upper bounds for the first nonnegative eigenvalue of the Dirac operator of surfaces immersed into S2 x S1(r) and into the Berger spheres Sb3 (τ), and we describe the equality cases

Nous traitons ici essentiellement de l'unicite des solutions au probleme de dirichlet associe a l'equation des surfaces a courbure moyenne prescrite sur des domaines plans et non-bornes. On demontre un theoreme general donnant des estimations, au voisinage de l'infini, de la difference de deux solutions distinctes au probleme de dirichlet; duquel on deduit notamment un principe du maximum a l'infini pour ce type d'equation. Dans le cas particulier ou la courbure moyenne est identiquement nulle, on montre que l'unicite des solutions n'est pas necessairement acquise (meme pour des domaines simplement connexes) et que les estimations donnees sont les meilleures possible. On exhibe, pour cela, des fonctions (sur le bord d'une bande et d'un secteur) admettant une infinite d'extensions minimales au domaine et dont on maitrise la croissance a l'infini. Cependant, on demontre l'existence et l'unicite de la solution pour des donnees continues par morceaux et bornees sur le bord d'un domaine convexe distinct du demi-plan ou les solutions forment alors une famille a un parametre. Lorsque le domaine est une bande et pour des donnees lineaires au bord (plus generalement s'il existe des directions asymptotiques), on montre aussi l'unicite (helicoide ou plan). Enfin, lorsque la moyenne est une constante non nulle et le domaine est une bande, on construit une famille de contre-exemples a une conjecture de r. Finn (1965)

L'objet de cette these est l'etude des surfaces a courbure moyenne constante h non nulle, ou h-surfaces, dans les espaces euclidien et hyperbolique. Etant donnee c une courbe de jordan, on voudrait comprendre la topologie et la geometrie des h-surfaces dont le bord est c. Le chapitre 1 porte sur la symetrie et la rigidite des h-surfaces non compactes, proprement plongees dans l'espace hyperbolique dont le bord est plan. Cette etude est completee par une recherche de conditions geometriques forcant la surface a etre contenue dans un demi-espace. Dans les chapitres 2 et 5, on s'est interesse aux surfaces compactes. Sous certaines conditions on obtient les resultats suivants : si la courbure moyenne est assez petite en fonction de c, alors (i) les petites h-immersions sont plongees et topologiquement des disques, et (ii) les grandes h-surfaces plongees sont a genre zero et ressemblent a un grand morceau de sphere. Le probleme de compacite est traite dans les chapitres 3 et 4. L'objectif de ce type de resultats est de controler la limite d'une suite de h-surfaces dont les bords convergent vers un point. Le theoreme etabli pour des grandes h-surfaces compactes plongees de l'espace hyperbolique s'etend aux h-surfaces non compactes proprement plongees.

Les surfaces à courbure moyenne constante non-nulle apparaissent en physique comme solutions à certains problèmes d'interface entre deux milieux de pressions différentes. Elles sont décrites mathématiquement par des équations aux dérivées partielles et sont constructibles à partir de données holomorphes via une représentation similaire à celle de Weierstrass pour les surfaces minimales. On présente dans cette thèse deux résultats s'appuyantsur cette représentation, dite <>.Le premier indique que les données donnant naissance à un bout Delaunay de type onduloïde induisent encore un anneau plongé après perturbation.Cette propriété sert notamment à démontrer que certaines surfaces construites par la méthode DPW sont plongées. Le second résultat est la construction, dans l'espace hyperbolique, de n-noïdes : surfaces plongées, de genre zéro, à courbure moyenne constante et munies de n bouts de type Delaunay
Non-zero constant mean curvature surfaces are mathematical models for physical interface problems with non-zero pressure difference. They are described by partial differential equations and can be constructed from holomorphic data via a Weierstrass-type representation, called "the DPW method". In this thesis, we use the DPW method and prove two main results. The first one states that perturbations of the DPW data for Delaunay unduloidal ends generate embedded annuli. This can be used to prove the embeddedness of surfaces constructed via the DPW method. The second result is the construction of n-noids in Hyperbolic space: genus 0, embedded, constant mean curvature surfaces with n Delaunay ends

Dans les chapitres 2 et 3 de cette these, on s'interesse aux sous-varietes de l'espace hyperbolique dont la courbure moyenne est constante et strictement inferieure a un. Le premier resultat qu'on obtient concerne l'operateur de stabilite. Dans notre cas, cet operateur est essentiellement auto-adjoint, et on connait un minorant positif de son spectre essentiel. On montre que le nombre de valeurs propres inferieures a ce minorant est fini, et on en obtient un majorant qui fait intervenir la courbure totale. Ce faisant, on obtient un majorant de l'indice de morse de sous-variete. Un des points importants de la preuve est de controler le noyau de la chaleur de la sous-variete. On obtient ce controle en montrant qu'on a sur la sous-variete des inegalites isoperimetriques. Le second resultat porte sur la compactification. On etend aux sous-varietes a courbure moyenne constantes un resultat de g. De oliveira pour les sous-varietes minimales: on montre que la sous-variete est diffeomorphe a l'interieur d'une variete compact a bord, et que l'immersion s'etend continument au bord en une application a valeurs dans le compactifie de l'espace hyperbolique. Dans le chapitre 4, on etudie les surfaces de revolution a courbure moyenne constante dans l'espace hyperbolique. On obtient une construction cinematique de leurs meridiennes analogue a celle donne par c. Delaunay dans l'espace euclidien. Les courbes a faire rouler ont des proprietes focales similaires a celles des coniques euclidiennes. On trouve les analogues hyperboliques des ellipses, des hyperboles ainsi qu'une surprenante famille de paraboles