Academic literature on the topic 'Décomposition généralisée propre'

International audience Recently, Diaconis, Ram and I created Markov chains out of the coproduct-then-product operator on combinatorial Hopf algebras. These chains model the breaking and recombining of combinatorial objects. Our motivating example was the riffle-shuffling of a deck of cards, for which this Hopf algebra connection allowed explicit computation of all the eigenfunctions. The present note replaces in this construction the coproduct-then-product map with convolutions of projections to the graded subspaces, effectively allowing us to dictate the distribution of sizes of the pieces in the breaking step of the previous chains. An important example is removing one “vertex” and reattaching it, in analogy with top-to-random shuffling. This larger family of Markov chains all admit analysis by Hopf-algebraic techniques. There are simple combinatorial expressions for their stationary distributions and for their eigenvalues and multiplicities and, in some cases, the eigenfunctions are also calculable. Récemment, avec Diaconis et Ram, nous avons construit des chaines de Markov à partir de l’opérateur “coproduit-puis-produit” défini sur un algèbre de Hopf combinatoire. Ces chaines modélisent la déconstruction et la construction d’objets combinatoires. La motivation était le “mélange à l’américaine”, une méthode populaire pour mélanger un jeu de cartes, pour lequel les liens avec les algèbres de Hopf combinatoires nous a permis de calculer explicitement toutes les fonctions propres. Ici, on généralise cette construction en remplaçant l’opérateur “coproduit-puis-produit” par les convolutions de projections sur les composantes graduées de l’algèbre. Ceci nous permet de stipuler les tailles des pièces dans la décomposition des objets combinatoires. Un exemple important est la suppression et l’insertion d’un “sommet”, par analogie avec la bibliothèque de Tsetlin. On constate que toutes ces chaines peuvent être analysées par des techniques provenant de la théorie des algèbres de Hopf combinatoires. On prouve des expressions combinatoires simples pour les distributions stationnaires ainsi que pour les valeurs propres et leurs multiplicités. Dans certains cas, il est possible de calculer les fonctions propres associées.

Le contexte actuel tel que le dessinent les tendances lourdes de ce troisième millénaire convie à interpeller les outils des science sociales forgés précédemment. La compréhension de l’univers et donc du genre humain s’est appuyée, en Occident, au siècle des Lumières, sur une volonté d’appréhender les phénomènes sociaux non plus dans des lectures théologiques, métaphysiques mais au nom d’une démarche se voulant scientifique. Les explorations à l’extérieur du domaine européen transmises par divers types de voyageurs restaient lacunaires. Pour les appréhender de manière plus rationnelle des disciplines ont émergé telle que l’ethnographie, l’ethnologie et l’anthropologie allant du plus petit agrégat vers des lectures plus généralistes. Les sociétés de là-bas commencent, alors, à se frayer un domaine dans le champ des connaissances. C’est ainsi que peuvent être appréhendés les symboliques, les cosmogonies et les rituels de populations aussi diverses que celle des forêts amazoniennes, de la savane soudanaise ou des régions polaires et ce au delà d’a priori dévalorisants. Se révèlent, par l’ethnographie, l’ethnologie et l’anthropologie, leurs pratiques et leurs usages et les constructions idéelles qu’elles soient celles des Baruya, des Dogon ou des Inuit. L’autonomie prise par ces études et ces recherches contribuent à lutter plus qu’efficacement contre les idées préconçues antérieurement, celles empreintes de xénophobie sinon de racisme. Pour sa part la sociologie s’attache au développement et à la modernisation des sociétés occidentales déclinées suivant divers critères dont la mécanisation des productions de biens, l’urbanisation, les mobilités. Ces valeurs, la sociologie en est l’un des analyseurs comme elle le sera pour la période que Fourastié dénomma les « Trente glorieuses », décennies marquées par le plein emploi, l’élévation des niveaux de vie, le consumérisme du moins dans les sociétés occidentales et que traitent les sociologies de l’action, des organisations, des négociations, des régulations, des critiques de la bureaucratisation mais également des conflits entre catégories et classes sociales (Fourastié 1979). Ceci s’inscrit peu ou prou dans le cadre d’institutions et de valeurs marquées au sceau des Etat-nations. En ce troisième millénaire le cours des évènements modifie ces conditions antérieures. Les temporalités, les pratiques et les représentations changent. La mondialisation suscite des échanges croissants entre des entités et des ensembles populationnels hier fortement distincts. Les migrations non plus seulement idéelles mais physiques de cohortes humaines déstructurent les façons d’être et de faire. De ce fait il apparaît nécessaire de tenir compte de ces mutations en décloisonnant les divisions disciplinaires antérieures. Les processus d’agrégation mettent en place des interactions redéfinissant les valeurs des uns et des autres, hier ignorées voire rejetées par des mondes de la tradition ethnique, religieuse ou politique (Abélès et Jeudy 1997). La mise en réseau interpelle ces ensembles populationnels dorénavant modifiés par l’adjonction de valeurs antérieures étrangères à leurs spécificités. L’anthropologie, l’ethnologie s’avèrent nécessaires pour appréhender ces populations de l’altérité aujourd’hui insérées plus ou moins effectivement au cœur des sociétés post-industrielles (Sahlins 1976). De plus ces populations de là-bas sont elles-mêmes facteurs actifs de réappropriation et de création de nouvelles formes. Elles interpellent les configurations usuelles et reconnues par la sociologie. On ne peut plus leur assigner des valeurs antérieures ni les analyser avec les méthodologies et les paradigmes qui convenaient aux réalités précédentes, celles d’un grande séparation entre les unes et les autres (Descola 2005). Déjà les procédures habituelles privilégiant les notions de classe sociale, celles de mobilité transgénérationnelle, d’intégration, de partage des richesses étaient interpellées. Des individus de plus en plus nombreux ne se retrouvent pas dans ces dynamiques d’autant que ces dernières perdent de leur force. Le sous-emploi, le chômage, la pauvreté et l’exclusion dressent des scènes et des acteurs comme figures oubliées des siècles passés. Bidonvilles entourant les centres de prospérité, abris de fortune initiés par diverses associations constituent autant de figures ne répondant pas aux critères antérieurs. Une décomposition plus ou moins radicale des tissus institutionnels fait émerger de nouvelles entités. Les notions sociologique ne peuvent s’en tenir aux interprétations qui prévalaient sous les auspices du progrès. La fragilisation du lien social implique des pertes de repère (Bouvier, 2005). Face à l’exclusion économique, sociale et symbolique et aux carences des pouvoirs publics des individus essaient de trouver des parades. Quelques-uns mettent en place des pratiques signifiantes leur permettant, dans cet univers du manque, de redonner du sens au monde et à leur propre existence. Ainsi, par exemple, d’artistes, qui non sans difficulté, se regroupent et faute de lieux, investissent des locaux vides : usines, bureaux, immeubles, autant de structures à l’abandon et ce dû aux effets de la crise économique, des délocalisations ou des fermetures de bureau ou d’entreprises. Ces « construits pratico-heuristiques » s’appuient sur des techniques qui leur sont propres : peinture, sculpture, installation, vidéo, etc., facteurs donnant du sens individuel et collectif. Ils en définissent les règles eux-mêmes. Ils en gèrent collectivement l’installation, le fonctionnement et les perspectives en agissant en dehors des institutions. De plus ces configurations cumulent des éléments désormais indissociables compte tenu de la présence croissante, au cœur même des sociétés occidentales, de populations allogènes. Ces dernières n’ont pas laissé derrière elles leurs valeurs et leurs cultures. Elles les maintiennent dans ces périphéries urbaines et dans les arcanes des réseaux sociaux. En comprendre les vecteurs et les effets de leurs interactions avec les valeurs proprement occidentales nécessitent l’élaboration et l’ajustement d’un regard à double focale. Celui-ci permet de discerner ce qui continue de relever de ces mondes extérieurs de ce qui, comme suite à des contacts, fait émerger de nouveaux facteurs d’appréhension et de compréhension du monde. Les thèses sociologiques du progrès, du développement mais également de l’anomie et des marges doivent se confronter et s’affiner de ces rencontres avec ces valeurs désignées hier comme relevant de la tradition, du religieux : rites, mythes et symboliques (Rivière 2001). L’attention socioanthropologique s’attache de ce fait non seulement à cette dualisation mais également à ce qui au sein des sociétés du « premier monde » relève des initiatives des populations majoritaires autochtones et, à l’extérieur de leurs sphères, de leur frottement avec des minorités allogènes. Elle analyse les densités sociétales, celles en particulier des institutions qu’elles se sont données. Elle les conjugue avec les us et les données existentielles dont sont porteurs les effets tant des nouvelles populations que des technologies médiatiques et les mutations qu’elles entraînent dans les domaines du lien social, du travail, des loisirs. De leurs frictions émergent ces « construits de pratiques heuristiques » élaborés par des individualités sceptiques tant face aux idéologies politiques que face à des convictions religieuses ébranlées par les effets des crises économiques mais également par la perte de pertinence des grands récits fondateurs. Ces construits allouent du sens à des rencontres impensables du moins dans le cadre historique antérieur, là où les interventions de l’Etat, du personnel politique, des responsables cléricaux savaient apporter des éléments de réponse et de résolution aux difficultés. De ces « construits de pratiques heuristiques » peuvent émerger et se mettre en place des « ensembles populationnels cohérents » (Bouvier 2000). Ces derniers donnent du sens à un nombre plus élevé de constituants, sans pour autant que ceux-ci s’engagent dans une pratique de prosélytisme. C’est par écho que ces regroupements se constituent. Cet élargissement n’est pas sans être susceptible, à court ou moyen terme, de s’institutionnaliser. Des règles et des principes tendent à encadrer des expressions qui, hier, dans le construit, ne répondaient que de la libre volonté des membres initiateurs. Leur principe de coalescence, empreint d’incertitude quant à toute perspective pérenne, décline de l’existentiel et du sociétal : étude et compréhension des impositions sociales et expressions des ressentis individuels et collectifs. Ces dimensions sont peu conjuguées en sociologie et en anthropologie, chacune de ces disciplines malgré les discours récurrents sur l’interdisciplinarité, veillant à préserver ce qu’elles considèrent comme étant leur spécialisation ou du moins leur domaine (Bouvier 1999). La socioanthropologie est alors plus à même de croiser tant les données et les pesanteurs sociétales, celles portées par diverses institutions, tout en révélant les attentes anthropologiques, symboliques, rituelles et non rationnellement explicites que ces construits et ensembles populationnels produisent. La position du chercheur adhérent, bénévole, militant et réflexif en immersion partielle, en observation impliquée, impliquante et distancée comporte l’enjeu de pouvoir réussir à préserver son autonomie dans l’hétéronomie des discours et des pratiques. Une « autoscopie » est nécessaire pour indiquer les distances entre l’observateur et l’observé et plus encore pour donner un éclairage sur les motivations intimes de l’observateur. La socioanthropologie s’inscrit, de fait, comme advenue d’une relecture à nouveaux frais. Elle conjugue et suscite des modalités s’attachant aux émergences de ces nouveaux construits faisant sens pour leurs protagonistes et aptes à redonner de la signification aux données du contemporain (Bouvier 1995, 2011)

Ce travail de recherche est une contribution au développement de la méthode Décomposition Propre Généralisée (PGD) à la résolution de problèmes multiphysiques transitoires couplés à différents temps caractéristiques dédiés à la mécanique des matériaux. Cette méthode se résume à la recherche de solutions d'Equations aux Dérivées Partielles sous forme séparée. L'équation de la chaleur transitoire 2D est tout d'abord traitée. Une technique de maillage adaptatif automatique est proposée afin d'adapter la discrétisation aux différentes zones transitoires de la solution. L'imbrication entre la technique de maillage adaptatif et la PGD est discutée à travers deux types de couplage. Le premier consiste à recalculer la solution PGD sur chaque nouveau maillage à partir de la solution nulle et le second à calculer la solution sur chaque nouveau maillage en conservant les fonctions de base de la solution générées sur le maillage précédent. Le premier couplage apparaît plus performant dans la mesure où peu de modes sont nécessaires pour décrire précisément la solution sur le maillage final. Néanmoins, le second couplage permet de réduire fortement le nombre d'enrichissements cumulé au cours de l'ensemble du procédé de maillage adaptatif. Quel que soit le couplage utilisé, la technique de maillage adaptatif est capable de décrire automatiquement des transitoires localisés. La résolution de l'équation de la chaleur ID transitoire avec une non linéarité dans le terme source est envisagée. Une nouvelle approche couplant la méthode PGD et la Méthode Asymptotique Numérique (MAN) est proposée et testée. Elle permet de résoudre efficacement certaines familles de problèmes transitoires non linéaires. Enfm, deux problèmes multiphysiques multitemps sont traités. Il s'agit d'un partiellement couplé diffusothermique et d'un fortement couplé thermoviscoélastique. La PGD permet de prédire précisément la réponse de ces problèmes multiphysiques pour lesquels les termes de couplage font apparaître des transitoires spécifiques que l'on obtient avec un maillage suffisamment fin. La stratégie de maillage adaptatif associée à la PGD trouve alors tout son sens dans ces situations multitemps fortement couplées. L'association de la technique de maillage adaptatif avec la PGD mène aux mêmes conclusions que dans le cas avec une seule physique. La discussion porte sur deux stratégies de construction des maillages : concaténer les deux maillages temporelles de chaque physique ou adapter indépendamment le maillage de chaque physique. La concaténation des deux maillages permet de converger avec moins d'étapes de maillage adaptatif mais avec des densités de maillage beaucoup plus importantes
This work presents the development of the Proper Generalized Decomposition (PGD) method for solving couple transient multiphysics problems with different characteristic times. This method consists in approximating solutions ( Partial Differentiai Equations with separated representations. The 2D transient heat equation is initially considered. A automatic adaptive mesh technique is proposed in order to make the discretization fit the different transient domains. Tw different couplings between the PGD method and the adaptive mesh refinement technique are discussed: the frrst on consists in computing the PGD solution for each new mesh from the null solution; the second one consists in enrichin the PGD solution for each new mesh from the basis functions generated on the previous meshes. The frrst coupling. More efficient since fewer modes are required to accurately describe the solution on the final mesh. Nevertheless, th second one decreases the number of enrichments cumulated tbrough the mesh refmement pro cess. Regardless of th coupling used, the adaptive mesh technique is able to automatically describe the localized transient zones. The II transient heat equation with a non linear source term is also studied. A new approach combining the PGD method and th Asymptotic Numerical Method (ANM) is tested, which allows to efficiently solve sorne families of non linear transiel problems. Finally, two muItitime and multiphysics problems are considered. It consists of a partially coupled he diffusion problem and a strongly coupled thermoviscoelastic problem. The PGD method gives an accurate prediction c the response of these muItiphysics problems for which the coupling terms lead to specific transient zones. Combined wit the PGD method, the adaptive mesh technique is particularly suitable for these situations of strongly coupled tim multiscale. This combination brings to the same conclusions as in the case of a single physical phenomenon. The discussion focuses on two strategies of mesh construction: concatenating the time meshes of each physical phenomeno or refme each mesh independently. The concatenation of two meshes allows a convergence with fewer steps of mes refmement but with a much bigher mesh density

Les techniques sur la récupération d'énergie qui visent à permettre aux réseaux de capteurs sans fil (Wireless Sensor Network, WSN) de devenir autonomes, sont reconnues comme des élément cruciaux pour répondre aux futurs besoins des objets connectés portés par l'internet des objets (Internet of Things, IoT). C’est dans ce contexte que les matériaux fonctionnels piézoélectriques et magnétostrictifs, qui peuvent être utilisés dans une large gamme de systèmes de récupération d'énergie, ont un regain d’intérêt au cours de ces dernières années. Cette thèse porte sur la modélisation multiphysique de ces deux matériaux fonctionnels avec la méthode éléments finis et par la réduction de modèle pour les systèmes qui en résultent, sur la base de la décomposition propre généralisée (Proper Generalized Decomposition, PGD). La modélisation de ces matériaux fonctionnels reste difficile bien que la recherche dans ce domaine a été l'objet de plusieurs études depuis des décennies. Une multitude de difficultés existent, parmi lesquelles les trois suivantes qui sont largement reconnues. La première difficulté résulte de la description mathématique des propriétés de ces matériaux qui est compliquée ; ce qui est particulièrement vrai pour les matériaux magnétostrictifs pour lesquels leurs propriétés dépendent de facteurs environnementaux externes tels que la température, la contrainte et le champ magnétique d’excitation. La deuxième difficulté résulte des effets de couplage entre les champs électromagnétiques, élastiques et thermiques qui doivent être considérés mutuellement, ce qui est au-delà de la capacité de la plupart des outils de simulation existants. La troisième difficulté vient du fait que les systèmes deviennent de plus en plus compacts pour être intégrés et/ou embarqués. Dans ce cas la modélisation multi-échelle est nécessaire, ce qui signifie que des modèles numériques tridimensionnels (3D) doivent être employés. Le travail présenté ici fournit des solutions pour répondre aux difficultés mentionnées. Une modélisation multiphysique sur la base des formes différentielles est d'abord établie. Dans cette modélisation, les quantités sont discrétisés en utilisant les éléments de Whitney appropriés. Après la discrétisation, le système est résolu en un bloc unique, ce qui évite les itérations entre les solutions physiques différentes tout en conduisant à des convergences rapides. La formulation prend en compte, la loi de comportement linéaire des matériaux piézoélectriques, et une loi de comportement non linéaire pour les matériaux magnétostrictifs basée sur le principe de l’énergie libre exprimé par le modèle (Discrete Energy-Averaged Model, DEAM). La mise en œuvre de notre formulation permet de décrire les comportements des matériaux fonctionnels piézoélectriques et magnétostrictifs à des coûts numériques raisonnables. Suite à cela, deux algorithmes basés sur la PGD pour la réduction de modèle sont proposés. Ces deux algorithmes ont permis de réduire considérablement le problème dimensionnel des modèles multiphysiques tout en en conservant de très bonnes précisions. Les algorithmes proposés fournissent également des moyens pour gérer le couplage avec la non-linéarité d’une manière efficiente. L’ensemble de nos modèles sont vérifiés et validés par des exemples représentatifs
The energy harvesting technology that aims to enable wireless sensor networks (WSN) to be maintenance-free, is recognized as a crucial part for the next generation technology mega- trend: the Internet of Things (IoT). Piezoelectric and magnetostrictive materials, which can be used in a wide range of energy harvesting systems, have attracted more and more interests during the past few years. This thesis focuses on multiphysics finite element (FE) modeling of these two materials and performing model reduction for resultant systems, based on the Prop- er Generalized Decomposition (PGD). Modeling these materials remains challenging although research in this area has been under- going over decades. A multitude of difficulties exist, among which the following three issues are largely recognized. First, mathematically describing properties of these materials is com- plicated, which is particularly true for magnetostrictive materials because their properties depend on factors including temperature, stress and magnetic field. Second, coupling effects between electromagnetic, elastic, and thermal fields need to be considered, which is beyond the capability of most existing simulation tools. Third, as systems becoming highly integrated whole-scale simulations become necessary, which means three dimensional (3D) numerical models should be employed. 3D models, on the other hand, quickly turns intractable if not properly built. The work presented here provides solutions in respond to the above challenges. A differential forms based multiphysics FE framework is first established. Within this frame- work quantities are discreted using appropriate Whitney elements. After discretization, the system is solved as a single block, thus avoiding iterations between different physics solutions and leading to rapid convergences. Next, the linear piezoelectric, and a free energy based nonlinear magnetostrictive constitutive model called Discrete Energy Averaged Model (DE- AM) are incorporated into the framework. Our implementation describes underlying material behaviors at reasonable numerical costs. Eventually, two novel PGD based algorithms for model reduction are proposed. With our algorithms, problem size of multiphysics models can be significantly reduced while final results of very good accuracy are obtained. Our algo- rithms also provide means to handle coupling and nonlinearity conveniently. All our methodologies are demonstrated and verified via representative examples

La résolution des problèmes de contrôle optimal nécessite des temps de calcul et des capacités de stockage très élevés. Pour s’affranchir de ces contraintes, il est possible d’utiliser les méthodes de réduction de modèles comme la POD (Proper Orthogonal Decomposition). L’inconvénient de cette approche est que la base POD n’est valable que pour des paramètres situés dans un voisinage proche des paramètres pour lesquels elle a été construite. Par conséquent, en contrôle optimal, cette base peut ne pas être représentative de tous les paramètres qui seront proposés par l’algorithme de contrôle. Pour s’affranchir de cet handicap, une méthodologie de contrôle optimal utilisant des modèles réduits adaptatifs a été proposée dans ce manuscrit. Les bases réduites adaptées sont obtenues à l’aide de la méthode d’interpolation ITSGM (Interpolation on Tangent Subspace of Grassman Manifold) ou de la méthode d’enrichissement PGD (Proper Generalized Decomposition). La robustesse de cette approche en termes de précision et de temps de calcul a été démontrée pour le contrôle optimal (basé sur les équations adjointes) des équations 2D de réaction-diffusion et de Burgers. L’approche basée sur l’interpolation ITSGM a également été appliquée avec succès pour contrôler l’écoulement autour d’un cylindre 2D. Deux méthodes de réduction non intrusives, ne nécessitant pas la connaissance des équations du modèle étudié, ont également été proposées. Ces méthodes appelées NIMR (Non Intrusive Model Reduction) et HNIMR (Hyper Non Intrusive Model Reduction) ont été couplées à un algorithme génétique pour résoudre rapidement un problème de contrôle optimal. Le problème du contrôle optimal de l’écoulement autour d’un cylindre 2D a été étudié et les résultats ont montré l’efficacité de cette approche. En effet, l’algorithme génétique couplé avec la méthode HNIMR a permis d’obtenir les solutions avec une bonne précision en moins de 40 secondes
The numerical resolution of adjoint based optimal control problems requires high computational time and storage capacities. In order to get over these high requirement, it is possible to use model reduction techniques such as POD (Proper Orthogonal Decomposition). The disadvantage of this approach is that the POD basis is valid only for parameters located in a small neighborhood to the parameters for which it was built. Therefore, this basis may not be representative for all parameters in the optimizer’s path eventually suggested by the optimal control loop. To overcome this issue, a reduced optimal control methodology using adaptive reduced order models obtained by the ITSGM (Interpolation on a Tangent Subspace of the Grassman Manifold) method or by the PGD (Proper Generalized Decomposition) method, has been proposed in this work. The robustness of this approach in terms of precision and computation time has been demonstrated for the optimal control (based on adjoint equations) of the 2D reaction-diffusion and Burgers equations. The interpolation method ITSGM has also been validated in the control of flow around a 2D cylinder. In the context of non intrusive model reduction, two non intrusive reduction methods, which do not require knowledge of the equations of the studied model, have also been proposed. These methods called NIMR (Non-Intrusive Model Reduction) and HNIMR (Hyper Non-Intrusive Model Reduction) were developed and then coupled to a genetic algorithm in order to solve an optimal control problem in quasi-real time. The problem of optimal control of the flow around a 2D cylinder has been studied and the results have shown the effectiveness of this approach. Indeed, the genetic algorithm coupled with the HNIMR method allowed to obtain the solutions with a good accuracy in less than 40 seconds

Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche
This thesis is formed of four chapters. The first one presents the mathematical notions and tools used in this thesis and gives a description of the main results obtained within. The second chapter presents our generalization of a result obtained by Rousselet-Chenais in 1990 which describes the sensitivity of eigensubspaces for self-adjoint compact operators. Rousselet-Chenais were limited to sensitivity for specific subspaces of dimension 1, we have extended their result to higher dimensions. We applied our results to the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the case of parametric, temporal and spatial variations (Gappy- POD). The third chapter discusses the optical flow estimate with quadratic or linear energies at infinity. Mathematical results of convergence are shown for the method Progressive Generalized Decomposition (PGD) in the case of quadratic energies. Our proof is based on the decomposition of Brézis-lieb via the convergence almost everywhere of the PGD sequence gradients. A detailed numerical study is made on different types of images : on the passive scalar transport equations, whose displacement fields are solutions of the Navier-Stokes equations. These equations present a challenge for optical flow estimates because of the presence of low gradient regions in the image. We applied our method to the MRI image sequences to estimate the movement of the abdominal organs. PGD presented a superiority in both computing time level (even in 2D) and accuracy representation of the estimated motion. The local diffusion of standard methods (Horn Schunck, for example) limits the convergence rate, in contrast to the PGD which is a more global approach by construction. The last chapter deals with the application of PGD method in the case of variational elliptic equations whose energy present all challenges to classical variational methods : lack of convexity, lack of coercivity and lack of boundedness. We prove convergence results for the weak topology, the PGD sequences converge (when they are well defined) to two extremal solutions on the Nehari manifold. Several mathematical questions about PGD remain open in this chapter. These questions are part of our research perspectives

Représentations séparées pour la simulation multi-échelle du comportementmécanique et de l’endommagement des matériaux composites.Résumé: Le développement de méthodes numériques performantes pour simuler les structurescomposites est un défi en raison de la nature multi-échelle et de la complexité des mécanismed’endommagement de ce type de matériaux. Les techniques classiques de discrétisationvolumique conduisent à des coûts de calcul importants et sont restreintes en pratique à despetites structures.Dans cette thèse, un nouvelle stratégie basée sur une représentation séparée de la solution estexplorée. L’objectif est de proposer un cadre numérique efficace et fiable pour analyser les endommagementsdans les composites stratifiés sous chargements statiques et dynamiques. Ladécomposition propre généralisée (PGD) est utilisée pour construire la solution.Pour traiter l’endommagement, et plus particulière le délaminage, un modèle de zone cohésivea été implémenté dans la PGD. Une approches multi-échelle innovante est également proposéepour simuler le comportement mécanique des composites à microstructure périodique. L’idéeprincipale est de séparer deux échelles : l’échelle du motif périodique (microstructure) et l’échellemacroscopique. Les résultats de la PGD sont très proches des résultats obtenus par la méthodeéléments fini classique. Finalement, la PGD permet de réduire significativement la complexitédes modèles tout en gardant une précision satisfaisante
Separated representations for the multiscale simulation of the mechanicalbehavior and damages of composite materials.Abstract: The development of efficient simulations for composite structures is very challengingdue to the multiscale nature and the complex damage process of this materials. When usingstandard 3D discretization techniques with advanced models for large structures, the computationalcosts are generally prohibitive.In this thesis, a new strategy based on a separated represenation of the solution is explored todevelop a computationally efficient and reliable numerical framework for the analysis of damagesin laminated composites subjected to quasi-static and dynamic loading. The PGD (Proper GeneralizedDecomposition) is used to build the solution.To treat damage, and especially delamination, a cohesive zone model has been implemented inthe PGD solver. A novel multiscale approach is also proposed to compute the mechanical behaviorof composites with periodic microstructure. The idea is to separate two scales: the scaleof periodic pattern and the macroscopic scale. The PGD results have been compared with theresults obtained with the classcial finite element method. A close agreement is found between thetwo approach and the PGD has significantly reduced the model complexity

Ce travail présente une contribution à la modélisation numérique des systèmes de suspensions dans le cadre de la théorie cinétique. Cette description continue des systèmes de suspensions permet de prendre en compte l'influence de la structure à l'échelle microscopique sur la cinétique de l'écoulement macroscopique. Cependant elle présente l'inconvénient majeur d'être définie sur un espace à haute dimension et rend alors difficile la résolution de ces modèles avec des approches déterministes classiques. Afin de s'affranchir, ou du moins d'alléger, le poids du caractère micro-macro des approches en théorie cinétique, plusieurs techniques de réduction dimensionnelle s'appuyant sur l'utilisation de la Décomposition Généralisée en modes Propres (PGD) sont présentées. Une étude de différents algorithmes PGD est conduite, et dont l'efficacité en termes de vitesse de convergence et d'optimalité de la solution est illustrée. La simulation de mélanges de fluides immiscibles est conduite à l'aide du Tenseur d'aire qui est un puissant outil de caractérisation du mélange. Cependant celui-ci nécessite l'introduction d'une relation de fermeture dont l'impact est évalué avec le modèle de théorie cinétique équivalent et exact. Finalement, la simulation de systèmes de suspensions colloïdales décrits par l'équation de Smoluchowski présente une approche originale de la modélisation des suspensions solides. Cette approche permet de s'affranchir avantageusement du bruit statistique inhérent aux simulations stochastiques traditionnellement mises en œuvre
This work is a contribution to the numerical modeling of suspension system in the kinetic theory framework. This continuum description of suspension system allows to account for the microstructure impact on the kinetic of the macroscopic flow. However, its main drawback is related to the high dimensional spaces in which kinetic theory models are defined and makes difficult for classical deterministic approaches to solve such systems. One possibility for circumventing, or at least alleviate, the weight of the micro-macro kinetic theory approaches lies in the use of separated representations strategies based on the Proper Generalized Decomposition (PGD). A study of different PGD algorithms is driven, illustrating the efficiency of these algorithms in terms of convergence speed and optimality of the solution obtained. The immiscible fluids blends modeling is driven using the area tensor which is a powerful numerical tool for characterizing blends. However it needs the introduction of closure relation of which impact is measured using equivalent and exact kinetic theory model. Finally, the numerical modeling of colloidal suspension system described by the Smoluchowski equation presents an original approach of the modeling of solid suspension system. This description allows to circumvent the statistical noise inherent to the stochastic approaches commonly used

Alors que la simulation numérique prend aujourd'hui une place essentielle dans de nombreuses branches de l'ingénierie, les évolutions incroyables des moyens de calculs peinent à compenser la complexité croissante des modèles que les ingénieurs sont amenés à traiter. Dans ce contexte, les modèles réduits sont de véritables outils d'aide à la décision car ils permettent, une fois construits, d'évaluer un très grand nombre de scénarios en temps quasi réel. En particulier, la méthode PGD (Proper Generalized Decomposition) initiée au LMT a connu de très nombreux développements (problèmes non linéaires, multiéchelles, multiphysiques...) et conduit à des gains en temps CPU pouvant atteindre plusieurs ordres de grandeur.Malheureusement, l'essor de ces modèles réduits est actuellement freiné par la difficulté à les calculer lorsque le nombre de paramètres à prendre en compte augmente. Toutes les techniques de réduction de modèles actuelles (PGD comprise) peinent à traiter des problèmes à très grand nombre de paramètres (la limite actuelle tourne autour de la vingtaine de paramètres), ce qui constitue un verrou scientifique majeur pour l'essor de ces techniques. Cette thèse présente une adaptation de la méthode PGD qui permet le traitement de tels problèmes.Trois contributions principales ont permis d'atteindre de telles performances. D'une part, une nouvelle structure de données plus proche de la physique du problème a été développée. Elle introduit deux échelles de représentation des fonctions paramétriques et donne son nom à la méthode : la Parameter-Multiscale PGD. Par ailleurs, une discrétisation spatiale discontinue particulièrement adaptée à nos méthodes de résolution a été implémentée, la WTDG (Weak Trefftz Discontinuous Galerkin). Enfin de nouveaux algorithmes ont été développés pour construire des modèles réduits qui permettent des gains de temps conséquents pour des problèmes ayant jusqu'à mille paramètres
Numerical simulation is nowadays a major tool in a large number of engineering fields. Nevertheless, even the recent incredible improvements of the computational power can hardly compensate the increasing complexity of the models used by engineers. In this context, Reduced Order Models (ROM) can be major decision-maker tools because, once they have been computed, they can be used to evaluate a very large number of test cases in a duration close to real time. The PGD (Proper Generalized Decomposition) in particular, is a method introduced at the LMT which has been adapted to many cases (non-linear problems, multiscale, multiphysics) and leads to savings of CPU time reaching several orders of magnitude.Unfortunately, it is currently difficult to build ROM with an increasing number of parameters. All the actual model reduction technics (including the PGD) can hardly solve problems with a high number of parameters (the current limit is about twenty parameters). It is a major barrier to a larger development of these methods. This PhD thesis presents a new methodology based on the PGD able to take into account high numbers of parameters.This goal has been achived thanks to three major contributions. First, a new data structure faithfull to mecanical properties of the problem has been developed. To that end, two different scales are introduced in the parametric space, giving its name to our method : Parameter-Multiscale PGD. Furthermore, the WTDG (Weak Treffz Discontinuous Galerkin) method has been inpemented. It is a discontinuous spatial discretisation adapted to our resolution techniques. Finally, new algorithms have been developed to built reduced order models of problems taking into account up to one thousand parameters

La réduction du temps de calcul lors de la résolution de problèmes d’évolution dans le cadre du calcul de structure constitue un enjeu majeur pour, par exemple, la mise en place de critères de rupture des pièces dans le secteur de l’aéronautique et de l’automobile. En particulier, la prédiction du cycle stabilisé des polymères sollicités sous chargement cyclique nécessite de résoudre un problème thermo-viscoélastique à grand nombre de cycles. La présence de différentes échelles de temps telles que le temps de relaxation (viscosité), le temps caractéristique associé au problème thermique et le temps du cycle de chargement conduit à un temps de calcul significatif lorsqu’un schéma incrémental est utilisé comme c’est le cas avec la méthode des éléments finis (MEF). De plus, un nombre important de données doit être stocké (au moins à chaque cycle). L’objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles méthodes ainsi que d’étendre des méthodes existantes. Il est choisi de résoudre un problème thermique transitoire cyclique impliquant différentes échelles de temps avec l’objectif de réduire le temps de calcul réduit. Les méthodes proposées font partie des méthodes de réduction de modèles. Tout d’abord, la méthode de décomposition propre généralisée(PGD) a été étendue à un problème transitoire cyclique 3D non linéaire, la non-linéarité a été traitée en combinant la méthode PGD à la Méthode d’interpolation empirique discrète (DEIM), stratégie numérique déjà proposée dans la littérature. Les résultats ont montré l’efficacité de la PGD pour générer des résultats précis par rapport à la solution FEM avec une erreur relative inférieure à (1%). Ensuite, afin de réduire le temps de calcul, une autre approche alternative a été développée. Cette approche est basée sur l’utilisation d’une collection de modes, les modes les plus significatifs, issus de solutions PGD pour différentes échelles de temps et différentes valeurs de paramètres. Un dictionnaire regroupant ces modes est alors utilisé pour construire des solutions pour différents temps caractéristiques et différentes conditions aux limites, uniquement par projection de la solution sur les modes du dictionnaire. Cette approche a été adaptée pour traiter un problème faiblement couplé diffuso-thermique. La nouveauté de cette approche est de considérer un dictionnaire composé de bases spatio-temporelles et non pas uniquement de bases spatiales comme dans la fameuse méthode POD. Les résultats obtenus avec cette approche sont précis et permettent une réduction notable du temps de calcul on line. Néanmoins, lorsque différents temps de cycles sont considérés, le nombre de modes dans le dictionnaire augmente, ce qui en limite son utilisation. Afin de pallier cette limitation,une troisième stratégie numérique est proposée dans cette thèse. Elle consiste à considérer comme a priori connues des bases temporelles, elle est appelée stratégie mixte. L’originalité dans cette approche réside dans la construction de la base temporelle a prior basée sur l’analyse de Fourier de différentes simulations pour différents temps et différentes valeurs des paramètres. Une fois cette étude réalisée, une expression analytique des bases temporelles fonction des paramètres tels que le temps caractéristique et le temps du cycle est proposée. Les bases spatiales associées sont calculées à l’aide d’un algorithme type PGD. Cette méthode est ensuite testée pour la résolution de problèmes thermiques 3D sous chargement cyclique linéaires et non linéaires et un problème faiblement couplé thermo-diffusion
In the framework of structural calculation, the reduction of computation time plays an important rolein the proposition of failure criteria in the aeronautic and automobile domains. Particularly, the prediction of the stabilized cycle of polymer under cyclic loading requires solving of a thermo-viscoelastic problem with a high number of cycles. The presence of different time scales, such as relaxation time (viscosity), thermal characteristic time (thermal), and the cycle time (loading) lead to a huge computation time when an incremental scheme is used such as with the Finite Element Method (FEM).In addition, an allocation of memory will be used for data storage. The objective of this thesis isto propose new techniques and to extend existent ones. A transient thermal problem with different time scales is considered in the aim of computation time reduction. The proposed methods are called model reduction methods. First, the Proper Generalized Decomposition method (PGD) was extended to a nonlinear transient cyclic 3D problems. The non-linearity was considered by combining the PGD method with the Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM), a numerical strategy used in the literature. Results showed the efficiency of the PGD in generating accurate results compared to the FEM solution with a relative error less than 1%. Then, a second approach was developed in order to reduce the computation time. It was based on the collection of the significant modes calculated from the PGD method for different time scales. A dictionary assembling these modes is then used to calculate the solution for different characteristic times and different boundary conditions. This approach was adapted in the case of a weak coupled diffusion thermal problem. The novelty of this method is to consider a dictionary composed of spatio-temporal bases and not spatial only as usedin the POD. The results showed again an exact reproduction of the solution in addition to a huge time reduction. However, when different cycle times are considered, the number of modes increases which limits the usage of the approach. To overcome this limitation, a third numerical strategy is proposed in this thesis. It consists in considering a priori known time bases and is called the mixed strategy. The originality in this approach lies in the construction of a priori time basis based on the Fourier analysis of different simulations for different time scales and different values of parameters.Once this study is done, an analytical expression of time bases based on parameters such as the characteristic time and the cycle time is proposed. The related spatial bases are calculated using the PGD algorithm. This method is then tested for the resolution of 3D thermal problems under cyclic loading linear and nonlinear and a weak coupled diffusion thermal problem

L'un des principaux avantages de la méthode «Proper Generalized Decomposition», par rapport à d'autres méthodes de réduction de modèles, réside dans son adéquation pour calculer des représentations séparées dans l’espace pour des domaines dégénérés de type cartésien, tels que des plaques ou des coques. L'objectif principal de cette thèse est de généraliser les représentations séparées dans l’espace aux domaines non cartésiens, en introduisant la notion de représentations séparées. Les représentations séparées de type global-local peuvent être comprises comme une décomposition multiplicative dans laquelle les modes locaux capturent la solution à une échelle fine, tandis que les modes globaux résolvent une échelle grossière. Pour ce faire, deux stratégies sont proposées. La première proposition est basée sur la partition de l'unité et combine les niveaux de discrétisation globale et locale, basés sur une partition du domaine. Cette approche construit une représentation séparée qui fournit l'enrichissement local, sans qu'il soit nécessaire de connaître a priori la solution, ni de mettre en oeuvre des problèmes locaux auxiliaires pour déterminer l'enrichissement. La deuxième stratégie est consacrée à la construction de représentations séparées de type global-local de manière moins intrusive, compatible avec le standard des éléments finis. Par conséquent, nous nous basons sur l’assemblage FEM standard des opérateurs et utilisons la PGD comme résolveur algébrique itératif. La continuité sur les limites de la partition du domaine n'a pas besoin d'être imposée explicitement, car elle constitue une propriété intégrée dans les opérateurs FEM
One of the main advantages of the Proper Generalized Decomposition method, when compared to other model reduction methods, lies in its adequacy to compute space separated representations in Cartesian-like degenerated domains, such as plates or shells. The main objective of this thesis is to generalize space separated representations to non-Cartesian domains, by introducing the notion of Global-Local separated representations. Global-Local separated representations can be understood as a multiplicative decomposition in which the local modes capture the solution at the finer scale, while the global modes solve the coarser scale. To this aim, two strategies are proposed. The first proposal is based on the partition of unity, and combines the global and local discretization levels, based on a partition of the domain. It builds a separated representation that provides the local enrichment, without the need for a priori knowledge of the solution, nor the implementation of auxiliary local problems to determine the enrichment. The second strategy is devoted to the construction of Global-Local separated representations in a less intrusive manner, compatible with the finite element standard. Therefore, we rely on standard FEM assembly of the operators and use the PGD as an algebraic iterative solver. Continuity on the boundaries of the domain’s partition does not need to be imposed explicitly, as it comes as a built-in property of the FEM operators

Ce travail présente une contribution à la modélisation numérique des systèmes de suspensions dans le cadre de la théorie cinétique. Cette description continue des systèmes de suspensions permet de prendre en compte l'influence de la structure à l'échelle microscopique sur la cinétique de l'écoulement macroscopique. Cependant elle présente l'inconvénient majeur d'être définie sur un espace à haute dimension et rend alors difficile la résolution de ces modèles avec des approches déterministes classiques. Afin de s'affranchir, ou du moins d'alléger, le poids du caractère micro-macro des approches en théorie cinétique, plusieurs techniques de réduction dimensionnelle s'appuyant sur l'utilisation de la Décomposition Généralisée en modes Propres (PGD) sont présentées. Une étude de différents algorithmes PGD est conduite, et dont l'efficacité en termes de vitesse de convergence et d'optimalité de la solution est illustrée. La simulation de mélanges de fluides immiscibles est conduite à l'aide du Tenseur d'aire qui est un puissant outil de caractérisation du mélange. Cependant celui-ci nécessite l'introduction d'une relation de fermeture dont l'impact est évalué avec le modèle de théorie cinétique équivalent et exact. Finalement, la simulation de systèmes de suspensions colloïdales décrits par l'équation de Smoluchowski présente une approche originale de la modélisation des suspensions solides. Cette approche permet de s'affranchir avantageusement du bruit statistique inhérent aux simulations stochastiques traditionnellement mises en œuvre.