Academic literature on the topic 'Dérivée fractionnaire'

Les processus à densité spectrale du type L/F sont largement utilisés pour représenter des phénomènes dits à longue mémoire. Mandelbrot et Van Ness ont propose une définition de ces processus, appelés bruits gaussiens fractionnaires, à partir des taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire. Cependant, leur approche reste peu satisfaisante. Dans cette thèse, nous montrons que le bruit gaussien fractionnaire peut être rigoureusement défini comme la dérivée du mouvement brownien fractionnaire au sens des distributions vectorielles de Schwartz. De plus, notre approche permet notamment de mettre en évidence l'équivalence entre le concept de bruit gaussien fractionnaire et l'intégrale stochastique relative au mouvement brownien fractionnaire. La seconde partie de ce travail est consacrée à l'estimation de densité spectrale non nécessairement bornée à l'origine (ce qui est le cas pour les taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire). Auparavant, de nombreux auteurs (Parzen, Anderson,. . . ) avaient montré que, sous certaines conditions dont l'absolue sommabilité de la fonction d'autocorrélation, certains estimateurs de la densité spectrale, obtenus par lissage de périodogramme, étaient consistants. Dans un but de généralisation, nous montrons que parmi ces estimateurs certains d'entre eux restent consistants lorsque la densité spectrale à estimer n'est pas bornée à l'origine

Nous proposons un estimateur pour la dérivée fractionnaire d'ordre (a) de la fonction de répartition. L'estimateur est basé sur des différences finies de la fonction de répartition empirique. Le biais, la variance et la convergence de cet estimateur seront étudiés. Cet estimateur dépend d'un paramètre (b) qui a un comportement similaire à celui de la fenêtre de lissage d'un estimateur non paramétrique par noyau. Nous discutons ensuite la mise en oeuvre d'une version tronquée de l'estimateur, en remarquant qu'une troncature endogène peut être définie d'une manière naturelle. Ceci permettra d'étudier le cas (a) supérieur à 1/2 ainsi qu'une analyse plus fine du comportement asymptotique de l'estimateur par rapport à la taille de l'échantillon et à l'ordre de la dérivée fractionnaire. Dans un troisième chapitre, nous allons remplacer la fonction de répartition empirique par l'estimateur par noyau. Ceci fera apparaître un deuxième paramètre de lissage, h. Une troncature endogène à droite permettra d'obtenir une définition tractable en pratique et nous permettra de déduire les propriété asymptotiques de l'estimateur. Nous allons monter que l'introduction de ce deuxième paramètre de lissage va stabiliser la variance, le biais étant affecté selon le signe de la dérivée fractionnaire d'ordre (a+2). Enfin, un test de goodness-of-fit est proposé pour répondre à un débat théorique et numérique existant dans la littérature, celui de statuer lequel des deux tests de spécification non paramétrique est meilleur en pratique : celui basé sur la fonction de répartition, ou celui basé sur la densité. Nous mettons en évidence deux familles d'alternatives à la normalité qui ont des comportements opposés concernant le trade-off entre la discrépance et la précision induite par les estimateurs nonparamétriques de la dérivée en question. Pour les deux exemples présentés, l'ordre optimal de dérivée qui maximalise la puissance du test n'est pas entier, dépendant de la famille d'alternatives choisie<br>We propose an estimator for the (a) fractional derivative of a distribution function. The estimator is based on finite differences of the empirical distribution function. The asymptotic bias, variance and consistency of the estimator are studied. It depends on a "smoothing parameter" whose behavior is similar to the bandwidth of a kernel estimator. Given that we note that an endogenous truncation can be defined in a natural way, we discuss the implementation of a truncated version of the estimator. This will allow a sharper analysis of the asymptotic behaviour of the estimator with respect to the sample size and the order of the fractional derivative. In the third chapter we will introduce another estimator for the CDF, a smoother one, the kernel estimator, and thus a second smothing factor. A natural endogenous truncation to the right ensures a tractacle definition in practice and allows deducing the asymptotic properties of the estimator. The optimal choice of the smoothing parameters is studied. Finally, we propose a goodness-of-fit test. Using simulations, we will show that there is an optimal order of differentiation that maximizes the power of the test, which depends on the alternative. Consequently test based on the integer order derivatives are not necessarily the one with the highest power. The optimum order of differentiation changes depending on the parameters of the alternative distribution and the sample size

Notre objectif dans cette thèse est l'étude des équations différentielles non linéaires comportant des dérivées fractionnaires en temps et/ou en espace. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à l'étude de deux systèmes non linéaires d'équations différentielles fractionnaires en temps et/ou en espace, puis à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Plus exactement pour la première partie, les questions concernant l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles comportant des dérivées fractionnaires en temps et en espace sont élucidées. Les techniques utilisées reposent sur des estimations obtenues pour les solutions fondamentales et la comparaison de certaines inégalités fractionnaires. Toujours dans la première partie, l'étude d'un système non linéaire d'équations de réaction-diffusion avec des dérivées fractionnaires en espace est abordée. L'existence locale et l'unicité des solutions sont prouvées à l'aide du théorème du point fixe de Banach. Nous montrons que les solutions sont bornées et analysons leur comportement à l'infini. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire non linéaire. Sous certaines conditions sur la donnée initiale, nous montrons que la solution est globale alors que sous d'autres, elle explose en temps fini. Dans ce dernier cas, nous donnons son profil ainsi que des estimations bilatérales du temps d'explosion. Alors que pour la solution globale nous étudions son comportement asymptotique<br>Our objective in this thesis is the study of nonlinear differential equations involving fractional derivatives in time and/or in space. First, we are interested in the study of two nonlinear time and/or space fractional systems. Our second interest is devoted to the analysis of a time fractional differential equation. More exactly for the first part, the question concerning the global existence and the asymptotic behavior of a nonlinear system of differential equations involving time and space fractional derivatives is addressed. The used techniques rest on estimates obtained for the fundamental solutions and the comparison of some fractional inequalities. In addition, we study a nonlinear system of reaction-diffusion equations with space fractional derivatives. The local existence and the uniqueness of the solutions are proved using the Banach fixed point theorem. We show that the solutions are bounded and analyze their large time behavior. The second part is dedicated to the study of a nonlinear time fractional differential equation. Under some conditions on the initial data, we show that the solution is global while under others, it blows-up in a finite time. In this case, we give its profile as well as bilateral estimates of the blow-up time. While for the global solution we study its asymptotic behavior

Dans cette thèse, nous nous intéressons a la résolution de problèmes de contrôle optimal associés a des équations de diffusion et onde fractionnaires en temps et a données incomplètes, ou les dérivées sont prises au sens de Riemann-Liouville<br>In this thesis, we are interested in the résolution of optimal control problems associated to fractional diffusion-wave equations in time with incomplete data, and where derivatives are understood in Riemann-Liouville sense

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système<br>In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system

L'étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (croissance de l'amplitude avec la vitesse, décroissance de la fréquence avec la force normale). L'équilibrage harmonique est évalué sur la friction régularisée et a des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l'expérience. La valeur retenue pour l'inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l'EH étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l'aide d'une dérivée fractionnaire. Nous proposons une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. Nous établissons une condition suffisante pour que les cycles asymptotiques du cadre causal (Caputo) soient solutions du cadre que nous avons choisi<br>The continuation of periodic and quasi-periodic solutions is performed on several models derived from the violin. The continuation for a one degree-of-freedom model with a regularized friction shows, compared with Coulomb friction, the persistence of limit cycle bifurcations (a maximum bow speed and a minimum normal force allowing Helmholtz motion) and of global properties of the solution branch (increase of amplitude with respect to the bow speed, decrease of frequency with respect to the normal force). The Harmonic Balance Method is assessed on this regularized friction system and shows interesting convergence properties (the error is low, monotone and rapidly decreasing). For two modes the continuation shows higher register solutions with a plausible stability. A stronger inharmonicity can greatly modify the bifurcation diagram. A new method is proposed for the continuation of quasi-periodic solutions. It couples a two-pulsations HBM with the Asymptotic Numerical Method. We have taken great care to deal efficiently with large systems of unknowns. A model of friction that takes into account temperature of the contact zone is reformulated with a fractional derivative. We then propose a method of continuation of periodic solutions for differential systems that contain fractional operators. Their definition is usually restricted to causal solutions, which prevents the existence of periodic solutions. Having chosen a specific definition of fractional operators to avoid this issue we establish a sufficient condition on asymptotically attractive cycles in the causal framework to be solutions of our framework

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation directe et indirecte de différents systèmes d’équations d’ondes avec un contrôle frontière de type fractionnaire ou un contrôle local viscoélastique de type Kelvin-Voight. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation d’ondes multidimensionnel avec un contrôle frontière fractionnaire au sens de Caputo. Sous des conditions géométriques optimales, nous établissons un taux de décroissance polynomial de l’énergie de système. Ensuite, nous nous intéressons à l’étude de la stabilisation d’un système de deux équations d’ondes couplées via les termes de vitesses, dont une seulement est amortie avec contrôle frontière de type fractionnaire au sens de Caputo. Nous montrons différents résultats de stabilités dans le cas 1-d et N-d. Finalement, nous étudions la stabilité d’un système de deux équations d’ondes couplées avec un seul amortissement viscoélastique localement distribué de type Kelvin-Voight<br>This thesis is devoted to study the stabilization of the system of waves equations with one boundary fractional damping acting on apart of the boundary of the domain and the stabilization of a system of waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight type. First, we study the stability of the multidimensional wave equation with boundary fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Second, we study the stability of the system of coupled onedimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Next, we study the stability of the system of coupled multi-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Finally, we study the stability of the multidimensional waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight is applied for one equation around the boundary of the domain

On s’intéresse dans cette thèse à la PGD (Proper Generalized Decomposition), l’une des méthodes de réduction de modèles qui consiste à chercher, a priori, la solution d’une équation aux dérivées partielles sous forme de variables séparées. Ce travail est formé de cinq chapitres dans lesquels on vise à étendre la PGD aux espaces fractionnaires et aux espaces des fonctions à variation bornée, et à donner des interprétations théoriques de cette méthode pour une classe de problèmes elliptiques et paraboliques. Dans le premier chapitre, on fait un bref aperçu sur la littérature puis on présente les notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse. Dans le second chapitre, la convergence des suites des directions alternées (AM) pour une classe de problèmes variationnels elliptiques est étudiée. Sous une condition de non-orthogonalité uniforme entre les itérés et le terme source, on montre que ces suites sont en général bornées et compactes. Alors, si en particulier la suite (AM) converge faiblement alors elle converge fortement et la limite serait la solution du problème de minimisation alternée. Dans le troisième chapitre, on introduit la notion des dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville puis on considère un problème variationnel qui est une généralisation d’ordre fractionnaire de l’équation de Poisson. En se basant sur la nature quadratique et la décomposabilité de l’énergie associée, on démontre que la suite PGD progressive converge fortement vers la solution faible de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on profite de la structure tensorielle des espaces BV par rapport à la topologie faible étoile pour définir les suites PGD dans ce type d’espaces. La convergence de telle suite reste une question ouverte. Le dernier chapitre est consacré à l’équation de la chaleur d-dimensionnelle, où on discrétise en temps puis à chaque pas de temps on cherche la solution de l’équation elliptique en utilisant la PGD. On montre alors que la fonction affine par morceaux en temps obtenue à partir des solutions construites en utilisant la PGD converge vers la solution faible de l’équation<br>In this thesis, we are interested in the PGD (Proper Generalized Decomposition), one of the reduced order models which consists in searching, a priori, the solution of a partial differential equation in a separated form. This work is composed of five chapters in which we aim to extend the PGD to the fractional spaces and the spaces of functions of bounded variation and to give theoretical interpretations of this method for a class of elliptic and parabolic problems. In the first chapter, we give a brief review of the litterature and then we introduce the mathematical notions and tools used in this work. In the second chapter, the convergence of rank-one alternating minimisation AM algorithms for a class of variational linear elliptic equations is studied. We show that rank-one AM sequences are in general bounded in the ambient Hilbert space and are compact if a uniform non-orthogonality condition between iterates and the reaction term is fulfilled. In particular, if a rank-one (AM) sequence is weakly convergent then it converges strongly and the common limit is a solution of the alternating minimization problem. In the third chapter, we introduce the notion of fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville and then we consider a variational problem which is a generalization of fractional order of the Poisson equation. Basing on the quadratic nature and the decomposability of the associated energy, we prove that the progressive PGD sequence converges strongly towards the weak solution of this problem. In the fourth chapter, we benefit from tensorial structure of the spaces BV with respect to the weak-star topology to define the PGD sequences in this type of spaces. The convergence of this sequence remains an open question. The last chapter is devoted to the d-dimensional heat equation, we discretize in time and then at each time step one seeks the solution of the elliptic equation using the PGD. Then, we show that the piecewise linear function in time obtained from the solutions constructed using the PGD converges to the weak solution of the equation

De nombreuses caractéristiques des systèmes hamiltoniens chaotiques, notamment mises en évidence à l'aide de simulations numériques, restent encore mal comprises. Parmi différentes pistes de recherches, Zaslavsky propose une analyse de ces systèmes à l'aide de dérivées fractionnaires. Même si son travail n'est pas complètement formalisé, ses résultats semblent prometteurs. Le calcul fractionnaire permet de généraliser des équations différentielles afin de prendre en compte certains phénomènes complexes. Pour les systèmes lagrangiens et hamiltoniens, le plongement fractionnaire développé par Cresson fournit une procédure basée sur le principe de moindre action pour construire des équations fractionnaires de la dynamique. L'objectif principal de cette thèse est d'utiliser ce formalisme afin de consolider le travail de Zaslavsky. Après avoir présenté quelques éléments sur le calcul fractionnaire, nous enrichissons le plongement fractionnaire en le conciliant avec le principe de causalité et en le rendant dimensionnellement homogène. Nous tentons ensuite de comprendre comment peut émerger une dynamique fractionnaire dans les systèmes hamiltoniens chaotiques, à travers deux pistes respectivement basées sur les travaux de Stanislavsky et Hilfer. Si la première reste problématique, la seconde se concrétise en un modèle simple de dynamique où une dérivée fractionnaire apparaît lorsqu'est prise en compte l'analyse de Zaslavsky. Enfin, en marge de l'étude de ces systèmes, nous montrons que la formulation causale du plongement permet de doter certaines équations dissipatives de structures lagrangiennes fractionnaires, ouvrant ainsi la voie à de nouvelles modélisations numériques<br>Many properties of chaotic Hamiltonian systems have been exhibited by numerical simulations but still remain not properly understood. Among various directions of research, Zaslavsky carries on an analysis which involves fractional derivatives. Even if his work is not fully formalized, his results seem promising. Fractional calculus, also used in several other fields, generalizes differential equations in order to take into account some complex phenomena. Concerning Lagrangian and Hamiltonian systems, the fractional embedding developped by Cresson provides a procedure based on the least action principle to build fractional dynamical equations. The main goal of the thesis consists in using this formalism to consolidate Zaslavsky's work. After a presentation of the fractional calculus adapted to our work, we enhance the fractional embedding by reconciling it with the causality principle and by making it dimensionally homogeneous. Once this formal framework is established we try to understand how a fractional dynamics can emerge in chaotic Hamiltonian systems, through two tracks respectively based on Stanislavsky's and Hilfer's works. The first one faces two difficulties, but the second leads to a simple dynamical model, where a fractional derivative appears when Zaslavsky's analysis is taken into account. We finally leave chaotic systems to show that thanks to the causal formulation of the fractional embedding, some classical dissipative equations reveal fractional Lagrangian structures, which could be of numerical interest