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Dissertations / Theses on the topic 'Dérivée fractionnaire'
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Drouilhet, Rémy. "Dérivée de mouvement brownien fractionnaire et estimation de densité spectrale." Pau, 1993. http://www.theses.fr/1993PAUU3024.
Full textAbstract:
Les processus à densité spectrale du type L/F sont largement utilisés pour représenter des phénomènes dits à longue mémoire. Mandelbrot et Van Ness ont propose une définition de ces processus, appelés bruits gaussiens fractionnaires, à partir des taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire. Cependant, leur approche reste peu satisfaisante. Dans cette thèse, nous montrons que le bruit gaussien fractionnaire peut être rigoureusement défini comme la dérivée du mouvement brownien fractionnaire au sens des distributions vectorielles de Schwartz. De plus, notre approche permet notamment de mettre en évidence l'équivalence entre le concept de bruit gaussien fractionnaire et l'intégrale stochastique relative au mouvement brownien fractionnaire. La seconde partie de ce travail est consacrée à l'estimation de densité spectrale non nécessairement bornée à l'origine (ce qui est le cas pour les taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire). Auparavant, de nombreux auteurs (Parzen, Anderson,. . . ) avaient montré que, sous certaines conditions dont l'absolue sommabilité de la fonction d'autocorrélation, certains estimateurs de la densité spectrale, obtenus par lissage de périodogramme, étaient consistants. Dans un but de généralisation, nous montrons que parmi ces estimateurs certains d'entre eux restent consistants lorsque la densité spectrale à estimer n'est pas bornée à l'origine
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Borla, Andreea. "Estimation non paramétrique de la dérivée fractionnaire de la fonction de répartition : avec une application statistique aux tests d'ajustement." Aix-Marseille 2, 2010. http://www.theses.fr/2010AIX24005.
Full textAbstract:
Nous proposons un estimateur pour la dérivée fractionnaire d'ordre (a) de la fonction de répartition. L'estimateur est basé sur des différences finies de la fonction de répartition empirique. Le biais, la variance et la convergence de cet estimateur seront étudiés. Cet estimateur dépend d'un paramètre (b) qui a un comportement similaire à celui de la fenêtre de lissage d'un estimateur non paramétrique par noyau. Nous discutons ensuite la mise en oeuvre d'une version tronquée de l'estimateur, en remarquant qu'une troncature endogène peut être définie d'une manière naturelle. Ceci permettra d'étudier le cas (a) supérieur à 1/2 ainsi qu'une analyse plus fine du comportement asymptotique de l'estimateur par rapport à la taille de l'échantillon et à l'ordre de la dérivée fractionnaire. Dans un troisième chapitre, nous allons remplacer la fonction de répartition empirique par l'estimateur par noyau. Ceci fera apparaître un deuxième paramètre de lissage, h. Une troncature endogène à droite permettra d'obtenir une définition tractable en pratique et nous permettra de déduire les propriété asymptotiques de l'estimateur. Nous allons monter que l'introduction de ce deuxième paramètre de lissage va stabiliser la variance, le biais étant affecté selon le signe de la dérivée fractionnaire d'ordre (a+2). Enfin, un test de goodness-of-fit est proposé pour répondre à un débat théorique et numérique existant dans la littérature, celui de statuer lequel des deux tests de spécification non paramétrique est meilleur en pratique : celui basé sur la fonction de répartition, ou celui basé sur la densité. Nous mettons en évidence deux familles d'alternatives à la normalité qui ont des comportements opposés concernant le trade-off entre la discrépance et la précision induite par les estimateurs nonparamétriques de la dérivée en question. Pour les deux exemples présentés, l'ordre optimal de dérivée qui maximalise la puissance du test n'est pas entier, dépendant de la famille d'alternatives choisieWe propose an estimator for the (a) fractional derivative of a distribution function. The estimator is based on finite differences of the empirical distribution function. The asymptotic bias, variance and consistency of the estimator are studied. It depends on a "smoothing parameter" whose behavior is similar to the bandwidth of a kernel estimator. Given that we note that an endogenous truncation can be defined in a natural way, we discuss the implementation of a truncated version of the estimator. This will allow a sharper analysis of the asymptotic behaviour of the estimator with respect to the sample size and the order of the fractional derivative. In the third chapter we will introduce another estimator for the CDF, a smoother one, the kernel estimator, and thus a second smothing factor. A natural endogenous truncation to the right ensures a tractacle definition in practice and allows deducing the asymptotic properties of the estimator. The optimal choice of the smoothing parameters is studied. Finally, we propose a goodness-of-fit test. Using simulations, we will show that there is an optimal order of differentiation that maximizes the power of the test, which depends on the alternative. Consequently test based on the integer order derivatives are not necessarily the one with the highest power. The optimum order of differentiation changes depending on the parameters of the alternative distribution and the sample size
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Hnaien, Dorsaf. "Equations aux dérivées fractionnaires : propriétés et applications." Thesis, La Rochelle, 2015. http://www.theses.fr/2015LAROS038.
Full textAbstract:
Notre objectif dans cette thèse est l'étude des équations différentielles non linéaires comportant des dérivées fractionnaires en temps et/ou en espace. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à l'étude de deux systèmes non linéaires d'équations différentielles fractionnaires en temps et/ou en espace, puis à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Plus exactement pour la première partie, les questions concernant l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles comportant des dérivées fractionnaires en temps et en espace sont élucidées. Les techniques utilisées reposent sur des estimations obtenues pour les solutions fondamentales et la comparaison de certaines inégalités fractionnaires. Toujours dans la première partie, l'étude d'un système non linéaire d'équations de réaction-diffusion avec des dérivées fractionnaires en espace est abordée. L'existence locale et l'unicité des solutions sont prouvées à l'aide du théorème du point fixe de Banach. Nous montrons que les solutions sont bornées et analysons leur comportement à l'infini. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire non linéaire. Sous certaines conditions sur la donnée initiale, nous montrons que la solution est globale alors que sous d'autres, elle explose en temps fini. Dans ce dernier cas, nous donnons son profil ainsi que des estimations bilatérales du temps d'explosion. Alors que pour la solution globale nous étudions son comportement asymptotiqueOur objective in this thesis is the study of nonlinear differential equations involving fractional derivatives in time and/or in space. First, we are interested in the study of two nonlinear time and/or space fractional systems. Our second interest is devoted to the analysis of a time fractional differential equation. More exactly for the first part, the question concerning the global existence and the asymptotic behavior of a nonlinear system of differential equations involving time and space fractional derivatives is addressed. The used techniques rest on estimates obtained for the fundamental solutions and the comparison of some fractional inequalities. In addition, we study a nonlinear system of reaction-diffusion equations with space fractional derivatives. The local existence and the uniqueness of the solutions are proved using the Banach fixed point theorem. We show that the solutions are bounded and analyze their large time behavior. The second part is dedicated to the study of a nonlinear time fractional differential equation. Under some conditions on the initial data, we show that the solution is global while under others, it blows-up in a finite time. In this case, we give its profile as well as bilateral estimates of the blow-up time. While for the global solution we study its asymptotic behavior
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Hadouni, Doha. "Détection de rupture hors ligne sur des processus dépendants." Thesis, Université Clermont Auvergne (2017-2020), 2017. http://www.theses.fr/2017CLFAC098.
Full text
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Joseph, Claire. "Sur le contrôle optimal des équations de diffusion et onde fractionnaires en temps à données incomplètes." Thesis, Antilles, 2017. http://www.theses.fr/2017ANTI0164/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons a la résolution de problèmes de contrôle optimal associés a des équations de diffusion et onde fractionnaires en temps et a données incomplètes, ou les dérivées sont prises au sens de Riemann-LiouvilleIn this thesis, we are interested in the résolution of optimal control problems associated to fractional diffusion-wave equations in time with incomplete data, and where derivatives are understood in Riemann-Liouville sense
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Lassoued, Rafika. "Contributions aux équations d'évolution frac-différentielles." Thesis, La Rochelle, 2016. http://www.theses.fr/2016LAROS001/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier systèmeIn this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system
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Vigué, Pierre. "Solutions périodiques et quasi-périodiques de systèmes dynamiques d'ordre entier ou fractionnaire : applications à la corde frottée." Thesis, Aix-Marseille, 2017. http://www.theses.fr/2017AIXM0306/document.
Full textAbstract:
L'étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (croissance de l'amplitude avec la vitesse, décroissance de la fréquence avec la force normale). L'équilibrage harmonique est évalué sur la friction régularisée et a des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l'expérience. La valeur retenue pour l'inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l'EH étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l'aide d'une dérivée fractionnaire. Nous proposons une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. Nous établissons une condition suffisante pour que les cycles asymptotiques du cadre causal (Caputo) soient solutions du cadre que nous avons choisiThe continuation of periodic and quasi-periodic solutions is performed on several models derived from the violin. The continuation for a one degree-of-freedom model with a regularized friction shows, compared with Coulomb friction, the persistence of limit cycle bifurcations (a maximum bow speed and a minimum normal force allowing Helmholtz motion) and of global properties of the solution branch (increase of amplitude with respect to the bow speed, decrease of frequency with respect to the normal force). The Harmonic Balance Method is assessed on this regularized friction system and shows interesting convergence properties (the error is low, monotone and rapidly decreasing). For two modes the continuation shows higher register solutions with a plausible stability. A stronger inharmonicity can greatly modify the bifurcation diagram. A new method is proposed for the continuation of quasi-periodic solutions. It couples a two-pulsations HBM with the Asymptotic Numerical Method. We have taken great care to deal efficiently with large systems of unknowns. A model of friction that takes into account temperature of the contact zone is reformulated with a fractional derivative. We then propose a method of continuation of periodic solutions for differential systems that contain fractional operators. Their definition is usually restricted to causal solutions, which prevents the existence of periodic solutions. Having chosen a specific definition of fractional operators to avoid this issue we establish a sufficient condition on asymptotically attractive cycles in the causal framework to be solutions of our framework
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Akil, Mohammad. "Quelques problèmes de stabilisation directe et indirecte d’équations d’ondes par des contrôles de type fractionnaire frontière ou de type Kelvin-Voight localisé." Thesis, Limoges, 2017. http://www.theses.fr/2017LIMO0043/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation directe et indirecte de différents systèmes d’équations d’ondes avec un contrôle frontière de type fractionnaire ou un contrôle local viscoélastique de type Kelvin-Voight. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation d’ondes multidimensionnel avec un contrôle frontière fractionnaire au sens de Caputo. Sous des conditions géométriques optimales, nous établissons un taux de décroissance polynomial de l’énergie de système. Ensuite, nous nous intéressons à l’étude de la stabilisation d’un système de deux équations d’ondes couplées via les termes de vitesses, dont une seulement est amortie avec contrôle frontière de type fractionnaire au sens de Caputo. Nous montrons différents résultats de stabilités dans le cas 1-d et N-d. Finalement, nous étudions la stabilité d’un système de deux équations d’ondes couplées avec un seul amortissement viscoélastique localement distribué de type Kelvin-VoightThis thesis is devoted to study the stabilization of the system of waves equations with one boundary fractional damping acting on apart of the boundary of the domain and the stabilization of a system of waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight type. First, we study the stability of the multidimensional wave equation with boundary fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Second, we study the stability of the system of coupled onedimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Next, we study the stability of the system of coupled multi-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Finally, we study the stability of the multidimensional waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight is applied for one equation around the boundary of the domain
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Ossman, Hala. "Etude mathématique de la convergence de la PGD variationnelle dans certains espaces fonctionnels." Thesis, La Rochelle, 2017. http://www.theses.fr/2017LAROS006/document.
Full textAbstract:
On s’intéresse dans cette thèse à la PGD (Proper Generalized Decomposition), l’une des méthodes de réduction de modèles qui consiste à chercher, a priori, la solution d’une équation aux dérivées partielles sous forme de variables séparées. Ce travail est formé de cinq chapitres dans lesquels on vise à étendre la PGD aux espaces fractionnaires et aux espaces des fonctions à variation bornée, et à donner des interprétations théoriques de cette méthode pour une classe de problèmes elliptiques et paraboliques. Dans le premier chapitre, on fait un bref aperçu sur la littérature puis on présente les notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse. Dans le second chapitre, la convergence des suites des directions alternées (AM) pour une classe de problèmes variationnels elliptiques est étudiée. Sous une condition de non-orthogonalité uniforme entre les itérés et le terme source, on montre que ces suites sont en général bornées et compactes. Alors, si en particulier la suite (AM) converge faiblement alors elle converge fortement et la limite serait la solution du problème de minimisation alternée. Dans le troisième chapitre, on introduit la notion des dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville puis on considère un problème variationnel qui est une généralisation d’ordre fractionnaire de l’équation de Poisson. En se basant sur la nature quadratique et la décomposabilité de l’énergie associée, on démontre que la suite PGD progressive converge fortement vers la solution faible de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on profite de la structure tensorielle des espaces BV par rapport à la topologie faible étoile pour définir les suites PGD dans ce type d’espaces. La convergence de telle suite reste une question ouverte. Le dernier chapitre est consacré à l’équation de la chaleur d-dimensionnelle, où on discrétise en temps puis à chaque pas de temps on cherche la solution de l’équation elliptique en utilisant la PGD. On montre alors que la fonction affine par morceaux en temps obtenue à partir des solutions construites en utilisant la PGD converge vers la solution faible de l’équationIn this thesis, we are interested in the PGD (Proper Generalized Decomposition), one of the reduced order models which consists in searching, a priori, the solution of a partial differential equation in a separated form. This work is composed of five chapters in which we aim to extend the PGD to the fractional spaces and the spaces of functions of bounded variation and to give theoretical interpretations of this method for a class of elliptic and parabolic problems. In the first chapter, we give a brief review of the litterature and then we introduce the mathematical notions and tools used in this work. In the second chapter, the convergence of rank-one alternating minimisation AM algorithms for a class of variational linear elliptic equations is studied. We show that rank-one AM sequences are in general bounded in the ambient Hilbert space and are compact if a uniform non-orthogonality condition between iterates and the reaction term is fulfilled. In particular, if a rank-one (AM) sequence is weakly convergent then it converges strongly and the common limit is a solution of the alternating minimization problem. In the third chapter, we introduce the notion of fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville and then we consider a variational problem which is a generalization of fractional order of the Poisson equation. Basing on the quadratic nature and the decomposability of the associated energy, we prove that the progressive PGD sequence converges strongly towards the weak solution of this problem. In the fourth chapter, we benefit from tensorial structure of the spaces BV with respect to the weak-star topology to define the PGD sequences in this type of spaces. The convergence of this sequence remains an open question. The last chapter is devoted to the d-dimensional heat equation, we discretize in time and then at each time step one seeks the solution of the elliptic equation using the PGD. Then, we show that the piecewise linear function in time obtained from the solutions constructed using the PGD converges to the weak solution of the equation
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Inizan, Pierre. "Dynamique fractionnaire pour le chaos hamiltonien." Observatoire de Paris (1667-....), 2010. https://theses.hal.science/tel-01958537.
Full textAbstract:
De nombreuses caractéristiques des systèmes hamiltoniens chaotiques, notamment mises en évidence à l'aide de simulations numériques, restent encore mal comprises. Parmi différentes pistes de recherches, Zaslavsky propose une analyse de ces systèmes à l'aide de dérivées fractionnaires. Même si son travail n'est pas complètement formalisé, ses résultats semblent prometteurs. Le calcul fractionnaire permet de généraliser des équations différentielles afin de prendre en compte certains phénomènes complexes. Pour les systèmes lagrangiens et hamiltoniens, le plongement fractionnaire développé par Cresson fournit une procédure basée sur le principe de moindre action pour construire des équations fractionnaires de la dynamique. L'objectif principal de cette thèse est d'utiliser ce formalisme afin de consolider le travail de Zaslavsky. Après avoir présenté quelques éléments sur le calcul fractionnaire, nous enrichissons le plongement fractionnaire en le conciliant avec le principe de causalité et en le rendant dimensionnellement homogène. Nous tentons ensuite de comprendre comment peut émerger une dynamique fractionnaire dans les systèmes hamiltoniens chaotiques, à travers deux pistes respectivement basées sur les travaux de Stanislavsky et Hilfer. Si la première reste problématique, la seconde se concrétise en un modèle simple de dynamique où une dérivée fractionnaire apparaît lorsqu'est prise en compte l'analyse de Zaslavsky. Enfin, en marge de l'étude de ces systèmes, nous montrons que la formulation causale du plongement permet de doter certaines équations dissipatives de structures lagrangiennes fractionnaires, ouvrant ainsi la voie à de nouvelles modélisations numériquesMany properties of chaotic Hamiltonian systems have been exhibited by numerical simulations but still remain not properly understood. Among various directions of research, Zaslavsky carries on an analysis which involves fractional derivatives. Even if his work is not fully formalized, his results seem promising. Fractional calculus, also used in several other fields, generalizes differential equations in order to take into account some complex phenomena. Concerning Lagrangian and Hamiltonian systems, the fractional embedding developped by Cresson provides a procedure based on the least action principle to build fractional dynamical equations. The main goal of the thesis consists in using this formalism to consolidate Zaslavsky's work. After a presentation of the fractional calculus adapted to our work, we enhance the fractional embedding by reconciling it with the causality principle and by making it dimensionally homogeneous. Once this formal framework is established we try to understand how a fractional dynamics can emerge in chaotic Hamiltonian systems, through two tracks respectively based on Stanislavsky's and Hilfer's works. The first one faces two difficulties, but the second leads to a simple dynamical model, where a fractional derivative appears when Zaslavsky's analysis is taken into account. We finally leave chaotic systems to show that thanks to the causal formulation of the fractional embedding, some classical dissipative equations reveal fractional Lagrangian structures, which could be of numerical interest
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Malik, Salman Amin. "Contributions aux équations aux dérivées fractionnaires et au traitement d'images." Phd thesis, Université de La Rochelle, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00825874.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons aux équations aux dérivées fractionnaires et leurs applications au traitement d'images. Une attention particulière a été apportée à un système non linéaire d'équations différentielles fractionnaires. En particulier, nous avons étudié les propriétés qualitatives des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles fractionnaires qui explosent en temps fini. L'existence des solutions locales pour le système, le profil des solutions qui explosent en temps fini sont présentés. Nous étudierons le problème inverse pour l'équation de diffusion linéaire en une dimension et en deux dimensions. Nous sommes intéressés par trouver un terme source inconnu d'une équation de diffusion non locale. Les conditions aux limites considérées sont non locales et le problème spectral est non auto-adjoint. L'existence et l'unicité de la solution du problème inverse sont présentées.D'autre part, nous proposons un modèle basé sur l'équation de la chaleur linéaire avec une dérivée fractionnaire en temps pour le débruitage d'images numériques. L'approche utilise une technique de pixel par pixel, ce qui détermine la nature du filtre. En contraste avec certain modèles basés sur les équations aux dérivées partielles pour le débruitage de l'image, le modèle proposé est bien posé et le schéma numérique est convergent. Une amélioration de notre modèle proposé est suggéré.
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Debbi, Latifa. "Equations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques avec opérateurs fractionnaires." Nancy 1, 2006. http://www.theses.fr/2006NAN10046.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on s'intéresse à l'application du calcul fractionnaire en analyse stochastique. Dans la première partie, on donne une extension de la définition de l'opérateur différentiel fractionnaire multidimensionnel de Riesz-Feller. Cet opérateur généralise certains opérateurs fractionnaires et certains opérateurs pseudodifférentiels connus. Des équations fractionnaires de type Fokker-Plank sont étudiées selon l'approche probabiliste et l'approche quasi probabiliste. En particulier, les solutions sont représentées via des processus de Lévy stables et des fonctions généralisant de la fonction d'Airy. Dans la deuxième partie, on étudie des équations stochastiques aux dérivées partielles fractionnaires unidimensionnelles perturbées par un bruit blanc en temps et en espace. On démontre l'existence et l'unicité des solutions champs et des solutions L2 sous différentes conditions de Lipschtz. Les exposants de Hölder spatial et temporel des solutions champs sont obtenus. De plus, on démontre l'équivalence entre différentes définitions de solutions L2. En particulier, on applique la transformée de Fourier pour donner un sens à certaines équations stochastiques aux dérivées partielles fractionnairesThis thesis treats application of fractional calculus in stochastic analysis. In the first part, the definition of the the multidimensional Riesz-Feller fractional differential operator is extended to higher order. The operator obtained generalizes several known fractional differential and pseudodifferential operators. High order fractional Fokker-Plank equations are studied in both the probabilistic and the quasiprobabilistic approaches. In particular, the solutions are represented via stable Lévy processes and generalization of Airy's function. In the second part, onedimensional stochastic fractional partial differential equations perturbed by space-time white noise are considered. The existence and the uniqueness of field solutions and of L2solutions are proved under different Lipschtz conditions. Spatial and temporal Hölder exponents of the field solutions are obtained. Further, equivalence between several definitions of L2solutions is proven. In particular, Fourier transform is used to give meaning to some stochastic fractional partial differential equations
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Nourdin, Ivan. "Contributions à l'étude des processus gaussiens." Habilitation à diriger des recherches, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00287738.
Full textAbstract:
Le chapitre 1 est principalement consacré au comportement asymptotique des variations à poids du mouvement brownien fractionnaire. Tout d'abord, après avoir motivé l'intérêt d'une telle étude et rappelé la situation ``sans poids'', nous voyons que dans certains cas (en fonction de la valeur de l'indice de Hurst H), la situation ``avec poids'' peut être très différente. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement au cas où H vaut 1/4, et nous faisons le lien avec une conjecture récente par (Burdzy et) Swanson concernant la possibilité d'écrire une formule d'Itô pour la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un bruit blanc espace-temps. Enfin, nous traitons le cas du mouvement brownien itéré, en faisant apparaître à la limite une version à poids du mouvement brownien en scène aléaoire introduit par Kesten et Spitzer dans les années 70.Le chapitre 2 présente des théorèmes limites abstraits (principalement valables pour une suite (F_n) d'intégrales multiples par rapport à un processus gaussien isonormal X) sous des hypothèses concernant la dérivée de Malliavin de F_n. Nous y exposons notamment une nouvelle méthode donnant (de manière étonnament simple) une estimation de type Berry-Esséen quand la suite (F_n) converge en loi vers une gaussienne. En particulier, cette méthode permet d'estimer la vitesse de convergence dans le classique théorème de Breuer et Major. Notons que les outils présentés dans ce chapitre sont la base des résultats obtenus dans le premier chapitre.
Le chapitre 3 est consacré à mes travaux relatifs à la théorie de l'intégration contre des ``chemins rugueux'' (rough paths en anglais). Tout d'abord, nous faisons un lien avec l'intégration par régularisation à la Russo-Vallois. Ensuite, nous étudions un problème de contrôle optimal. Enfin, nous exploitons l'intégration algébrique récemment introduite par Gubinelli pour calculer le développement asymptotique de la ``loi'' de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un brownien fractionnaire d'une part, et pour étudier les équations différentielles avec retard dirigées par un chemin rugueux d'autre part.
Enfin, dans le chapitre 4, nous définissons et étudions un nouvel objet, appelé ``dérivée stochastique''. Puis, nous illustrons certains phénomènes généraux en appliquant cette théorie au cas du mouvement brownien fractionnaire avec dérive.
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Rakotonasy, Solonjaka Hiarintsoa. "Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : version stochastique et edp." Phd thesis, Université d'Avignon, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00839892.
Full textAbstract:
Ce travail a pour but de proposer des outils visant 'a comparer des résultats exp'erimentaux avec des modèles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale.Le "Mobile Immobile Model" (MIM) a été à l'origine d'importants progrès dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modèle généralise l'quation d'advection-dispersion (ADE) e nsupposant que les particules de fluide, comme de solut'e, peuvent ˆetre immo-bilis'ees (en relation avec la matrice solide) puis relˆachées, le piégeage et le relargage suivant de plus une cin'etique d'ordre un. Récemment, une version stochastique de ce modèle a 'eté proposée. Malgré de nombreux succès pendant plus de trois décades, le MIM reste incapable de repr'esenter l''evolutionde la concentration d'un traceur dans certains milieux poreux insaturés. Eneffet, on observe souvent que la concentration peut d'ecroˆıtre comme unepuissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinétique de piégeage-relargage diff'erente, certains auteurs ont propos'e une version fractionnaire,le "fractal MIM" (fMIM). C'est une classe d''equations aux d'eriv'ees par-tielles (e.d.p.) qui ont la particularit'e de contenir un op'erateur int'egral li'e'a la variable temps. Les solutions de cette classe d'e.d.p. se comportentasymptotiquement comme des puissances du temps, comme d'ailleurs cellesde l''equation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d'un projet incluant des exp'eriences de tra¸cageet de vélocimétrie par R'esistance Magn'etique Nucl'eaire (RMN) en milieuporeux insatur'e. Comme le MIM, le fMIM fait partie des mod'eles ser-vant 'a interpréter de telles exp'eriences. Sa version "e.d.p." est adapt'eeaux grandeurs mesur'ees lors d'exp'eriences de tra¸cage, mais est peu utile pour la vélocimétrie RMN. En effet, cette technique mesure la statistiquedes d'eplacements des mol'ecules excit'ees, entre deux instants fixés. Plus précisément, elle mesure la fonction caractéristique (transform'ee de Fourier) de ces d'eplacements. Notre travail propose un outil d'analyse pour ces expériences: il s'agit d'une expression exacte de la fonction caract'eristiquedes d'eplacements de la version stochastique du mod'ele fMIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus 'a partir du mouvement Brown-ien (plus un terme convectif) par des changement de temps aléatoires. Ondit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnéspar des changements de temps qui sont eux-mˆeme les inverses de processusde L'evy non d'ecroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associés aux modèles fMIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateursassoci'es au MIM sont des processus de Poisson composites. Des résultatsexp'erimenatux tr'es r'ecents on sugg'er'e d''elargir ceci 'a des vols de L'evy (plusg'en'eraux que le mouvement Brownien) subordonnés aussi.Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les mod'eles stochastiques pourla sous-diffusion a fait l'objet de nombreux travaux. Nous contribuons 'ad'etailler ce lien en faisant apparaˆıtre les flux de solut'e, en insistant sur une situation peu 'etudiée: nous examinons le cas o'u la cinétique de piégeage-relargage n'est pas la mˆeme dans tout le milieu. En supposant deux cinétiques diff'erentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du fMIMavec un opérateur intégro-diff'erentiel li'e au temps, mais dépendant de la position.Ces r'esultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustrés par des simulations utilisant la discrétisation d'intégrales fractionnaires etd'e.d.p. ainsi que la méthode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numériques. Les outils sur lesquels elles s'appuient sont présentés aussi.
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Ouloin, Martyrs. "Méthode d'inversion d'un Modèle de diffusion Mobile Immobile fractionnaire." Phd thesis, Université d'Avignon, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01016447.
Full textAbstract:
L'étude expérimentale du transport de soluté dans les milieux poreux montre des écarts à la loi de Fick. D'autre part, des progrès importants ont été accomplis sur le transport en milieu poreux, en supposant que les fluides (et les traceurs) en mouvement dans ces milieux sont arrêtés pendant des durées aléatoires. La matrice solide rend cette idée plausible. Nous étudions un modèle utilisant cette idée en l'associant à des durées d'immobilisation sans moyenne finie, en fait distribuées par des lois de Lévy. On arrive ainsi au modèle MIM fractionnaire, ou fractal.Ce modèle est une équation aux dérivées partielles pour la densité de traceur. Il équivaut à supposer que les particules de fluide et de traceur font des déplacements régis par un processus stochastique. Ce dernier est la limite hydrodynamique de marches au hasard fondées sur des déplacements convectifs, des sauts gaussiens, et des arrêts distribués suivant une loi de Lévy. Ces deux versions du même modèle donnent deux méthodes de simulation numérique.Nous montrons comment mettre en œuvre ces méthodes. Ceci a pour but la maîtrise d'outils de simulation, afin de comparer avec des données expérimentales pour savoir si ce modèle convient pour décrire le transport dans un milieu donné. Cette simulation, pour être efficace, nécessite la connaissance des paramètres du transport de soluté au sein du milieu donné. Ils sont difficilement mesurables et/ou identifiables en pratique. Donc, il faut pouvoir les estimer à partir de grandeurs qu'on sait mesurer directement, comme la densité d'un traceur. Pour cela, nous avons mis en place une méthode d'inversion qui permet d'extraire les paramètres du modèle MIM fractionnaire, à partir de données expérimentales. Cette méthode d'inversion est basée sur la transformation de Laplace. Elle utilise le lien entre les paramètres de transport du modèle MIM fractionnaire, et les dérivées de la transformée de Laplace des solutions de ce modèle. Ce lien est exact dans un milieu semi-infini, et seulement approché dans un milieu fini.Après avoir testé cette méthode en l'appliquant à des données numériques en essayant de retrouver leurs paramètres à "l'aveugle", nous l'appliquons à des données issues d'une expérience de traçage en milieu poreux insaturé
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Ouloin, Martyrs. "Méthode d’inversion d’un Modèle de diffusion Mobile Immobile fractionnaire." Thesis, Avignon, 2012. http://www.theses.fr/2012AVIG0504/document.
Full textAbstract:
L’étude expérimentale du transport de soluté dans les milieux poreux montre des écarts à la loi de Fick. D’autre part, des progrès importants ont été accomplis sur le transport en milieu poreux, en supposant que les fluides (et les traceurs) en mouvement dans ces milieux sont arrêtés pendant des durées aléatoires. La matrice solide rend cette idée plausible. Nous étudions un modèle utilisant cette idée en l’associant à des durées d’immobilisation sans moyenne finie, en fait distribuées par des lois de Lévy. On arrive ainsi au modèle MIM fractionnaire, ou fractal.Ce modèle est une équation aux dérivées partielles pour la densité de traceur. Il équivaut à supposer que les particules de fluide et de traceur font des déplacements régis par un processus stochastique. Ce dernier est la limite hydrodynamique de marches au hasard fondées sur des déplacements convectifs, des sauts gaussiens, et des arrêts distribués suivant une loi de Lévy. Ces deux versions du même modèle donnent deux méthodes de simulation numérique.Nous montrons comment mettre en œuvre ces méthodes. Ceci a pour but la maîtrise d’outils de simulation, afin de comparer avec des données expérimentales pour savoir si ce modèle convient pour décrire le transport dans un milieu donné. Cette simulation, pour être efficace, nécessite la connaissance des paramètres du transport de soluté au sein du milieu donné. Ils sont difficilement mesurables et/ou identifiables en pratique. Donc, il faut pouvoir les estimer à partir de grandeurs qu’on sait mesurer directement, comme la densité d’un traceur. Pour cela, nous avons mis en place une méthode d’inversion qui permet d’extraire les paramètres du modèle MIM fractionnaire, à partir de données expérimentales. Cette méthode d’inversion est basée sur la transformation de Laplace. Elle utilise le lien entre les paramètres de transport du modèle MIM fractionnaire, et les dérivées de la transformée de Laplace des solutions de ce modèle. Ce lien est exact dans un milieu semi-infini, et seulement approché dans un milieu fini.Après avoir testé cette méthode en l’appliquant à des données numériques en essayant de retrouver leurs paramètres à "l’aveugle", nous l’appliquons à des données issues d’une expérience de traçage en milieu poreux insaturéAppealing models for mass transport in porous media assume that fluid and tracer particles can be trapped during random periods. Among them, the fractional version of the Mobile Immobile Model (f-MIM) was found to agree with several tracer test data recorded in environmental media.This model is equivalent to a stochastic process whose density probability function satisfies an advection-diffusion equation equipped with a supplementary time derivative, of non-integer order. The stochastic process is the hydrodynamic limit of random walks accumulating convective displacements, diffusive displacements, and stagnation steps of random duration distributed by a stable Lévy law having no finite average. Random walk and fractional differential equation provide complementary simulation methods.We describe that methods, in view of having tools for comparing the model with tracer test data consisting of time concentration curves. An other essential step in this direction is finding the four parameters of the fractional equation which make its solutions fit at best given sets of such data. Hence, we also present an inversion method adapted to the f-MIM. This method is based on Laplace transform. It exploits the link between model's parameters and Laplace transformed solutions to f-MIM equation. The link is exact in semi-infinite domains. After having checked inverse method's efficiency for numerical artificial data, we apply it to real tracer test data recorded in non-saturated porous sand
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Bourdet, Ana Cristina. "Atténuation des réponses transitoires par traitement hybride piézoélectrique / viscoélastique en utilisant un modèle à dérivées fractionnaires." Paris, CNAM, 2004. http://www.theses.fr/2004CNAM0482.
Full textAbstract:
Ce travail présente une formulation éléments finis de poutre sandwich adaptative pour l’atténuation des vibrations. La poutre est composée d’un cœur viscoélastique et des peaux stratifiées élastiques/piézoélectriques. Le couplage électromagnétique est pris en compte à travers la modification de la matrice de rigidité de chaque sous-couche piézoélectrique (cas capteur) et l’imposition d’un chargement mécanique fonction du voltage imposé (cas actionneur). La formulation éléments finis proposée ne possède pas de degré de liberté électrique. Pour décrire le comportement viscoélastique du cœur, le modèle fractionnaire de Zener est utilisé. La résolution des équations de mouvement est réalisée par un schéma d’intégration de Newmark combiné à l’approximation de Grünwald pour les dérivées fractionnaires. La formulation éléments finis de poutre sandwich est étendue au cas des grands déplacements et des grandes rotationsThis work presents a finite element formulation for vibration reduction of an adaptive sandwich beam composed of a viscoelastic core and elastic/piezoelectric laminated faces. The electromechanical coupling is taken into account by modifying the stiffness matrix of the piezoelectric layers (sensor) and by applying a mechanical load written in terms of the applied tension (actuator). The finite element formulation has no electrical degrees-of-freedom. The fractional derivative Zener model is used to characterize the viscoelastic behaviour of the core. Equations of motion are solved using a direct time integration method based on the Newmark scheme in conjunction with the Grünwald approximation of fractional derivatives. An extension to finite displacements and rotations into the finite element formulation is proposed
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Denis, Yvan. "Modélisation en grandes déformations du comportement hystérétique des renforts de composites : Application à l'estampage incrémental." Thesis, Lyon, 2019. http://www.theses.fr/2019LYSEI098.
Full textAbstract:
Les matériaux composites connaissent une croissance exponentielle d'utilisation que ce soit dans le domaine de l'aérospatial, l'aéronautique, l'automobile ou encore le sport. Cette évolution significative s'explique notamment par les excellentes propriétés mécaniques que propose ce genre de matériaux. De plus, le ratio caractéristiques/poids est extrêmement favorable à ces derniers puisqu'ils restent plus légers que les matériaux usuellement employés par le passé. Cependant, ils sont aussi extrêmement coûteux et moyennement maîtrisés comparés aux connaissances scientifiques qui existent pour les matériaux cristallins. L'outil de simulation numérique est donc devenu partie intégrante de l'amélioration des procédés de mise en forme, ce qui nécessite, entre autres, l'élaboration de modèles mécaniques. Jusqu'à maintenant, compte tenu des stratégies d'emboutissage utilisant un seul couple poinçon/matrice, les chargements étaient supposés monotones et donc les lois de comportement associées étaient hyperélastiques ou viscoélastiques. Toutefois, étant donné que la demande industrielle ne cesse de croître et la complexité des géométries demandées aussi, nous proposons au travers des travaux présentés ici, des approches innovantes et originales comme la mise en forme incrémentale et la gestion des conditions aux limites. Ces nouvelles approches induisent des variations de chargement en cisaillement ou en flexion et les modèles hyperélastiques ne sont donc plus suffisamment riches pour correctement modéliser les procédés d'estampage. L'étude du comportement hystérétique étant nouvelle pour les matériaux composites, les travaux présentés se focalisent alors sur les renforts secs. C'est ainsi qu'une approche expérimentale a été réalisée afin de connaître la réaction du tissé soumis à ce type de chargements non monotones. Puis, des modèles dissipatifs hystérétiques ont été établis en vue de les intégrer dans un logiciel de calcul par éléments finis. Enfin, des simulations numériques avec comparaisons expérimentales sont proposées, basiques au début pour valider les modèles puis plus complexes pour montrer l'intérêt de telles modélisations et de telles stratégiesComposite materials are experiencing exponential growth in use in the aerospace, aeronautics, automotive and sports sectors. This significant development is mainly due to the excellent mechanical properties offered by this type of material. In addition, the ratio characteristics/weight is extremely advantageous since they remain lighter than the materials usually used in the past. However, they are also extremely expensive and moderately understood compared to the scientific knowledge that exists for crystalline materials. Numerical simulation tool has therefore become an integral part of the improvement of shaping processes, which requires the development of mechanical models. Until now, given stamping strategies using a single punch/matrix pair, the loads were assumed to be monotonous and therefore the associated behavioural laws were hyperelastic or viscoelastic. However, given that industrial demand is constantly growing and the complexity of the geometries which is also increasing, we propose, through the work presented here, innovative and original approaches such as incremental forming and the management of boundary conditions. These new approaches induce cyclic loading variations in shear or bending and hyperelastic models are therefore no longer enough reliable to properly model stamping processes. As the study of hysteresis behaviour is new for composite materials, the work presented then focuses on dry reinforcements. Thus, an experimental approach was carried out to determine the reaction of the fabric once it was subjected to cyclic loading. Then, dissipative hysteretic models were established for integration into finite element calculation software. Finally, numerical simulations with experimental comparisons are proposed, initially basic to validate the model and then more complex to show the interest of such models and strategies
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Delmas, Bruno. "Comment améliorer la dérive des résonateurs à quartz pour applications spatiales ?" Phd thesis, Université de Franche-Comté, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00536860.
Full textAbstract:
Depuis près d'un siècle, les résonateurs à quartz à ondes de volume sont utilisés pour stabiliser les oscillateurs électriques. Cette longévité est due aux propriétés exceptionnelles du quartz et aux progrès constants de la technique. Pour les applications spatiales, il n'est généralement pas possible d'intervenir sur le composant. La dérive en fréquence doit alors être réduite et contrôlée sur des dizaines d'années. Cette variation systématique de la fréquence de résonance au cours du temps est due à l'évolution de plusieurs phénomènes physiques dont nous avons fait la synthèse et une analyse quantitative. Le premier de nos deux axes d'études porte sur l'étude des contraintes mécaniques dans la lame de quartz. Un travail bibliographique nous a permis d'étudier les spécificités de différentes formes de résonateur pour comprendre l'effet des contraintes mécaniques et les moyens de limiter la variation de fréquence induite. Les outils de modélisation actuels nous ont aidés à mettre au point une géométrie apportant une nette réduction de l'effet force-fréquence, confirmée par les mesures des premiers prototypes. L'autre axe d'étude est expérimental et prote sur un procédé essentiel communément appelé "pré-vieillissement". Les nombreuses contraintes de cette étude, telles que le temps, nous ont imposées une organisation méthodique de l'expérimentation. Ainsi, les plans factoriels fractionnaires nous ont permis de limiter les moyens techniques tout en obtenant les effets de chaque paramètre définissant le pré-vieillissement. Les résultats convergent vers la même conclusion que celle faite lors de l'étude quantitative des phénomènes physiques produisant le vieillissement.
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Farah, Mohamed. "Estimation paramétrique de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles." Thesis, Poitiers, 2016. http://www.theses.fr/2016POIT2311.
Full textAbstract:
Dans ce manuscrit, une attention particulière est accordée à l’identification des systèmes dynamiques dont le comportement est régi par des équations aux dérivées partielles (EDP). Afin d’atteindre cet objectif, deux algorithmes d’identification sont proposés. Le premier est un algorithme à erreur d’équation basé sur les moments partiels réinitialisés qui permettent de faire disparaitre les termes de dérivées partielles. Les paramètres du modèle obtenu peuvent alors être estimés par des approches de type moindres carrés. Cette méthode nécessite le choix d’un paramètre de synthèse ainsi qu’un nombre important de capteurs répartis sur toute la géométrie du système étudié. Une étude du choix optimal du paramètre de synthèse ainsi que de l’influence du nombre et de la répartition des capteurs est menée sur un exemple numérique. Le second algorithme est propre aux EDP pouvant être décrites par un modèle de Roesser. Dans ce cas, une formulation linéaire fractionnaire est proposée et un algorithme à erreur de sortie est mis en œuvre pour estimer les paramètres du modèle. L’initialisation de cet algorithme est réalisée grâce aux résultats fournis par le premier algorithme. Finalement, l’efficacité des deux approches proposées est montrée au travers un exemple numérique d’échangeur de chaleur à co-courantIn this manuscript, a special attention is paid to the identification of dynamic systems whose behavior is governed by partial differential equations (PDE). To achieve this, two identification algorithms are proposed. The first is an equation-error algorithm based on reinitialized partial moments whose function is to make the terms of partial derivatives disappear. The parameters of the resulting model can then be estimated by a least squares type approach. This method requires the selection of a synthesis parameter and a large number of sensors distributed over the entire geometry of the studied system. A study of the optimal choice of the synthesis parameters as well as of the influence of the number and distribution of the sensors is conducted on a numerical example. The second algorithm is associated to the PDE that can be presented by a Roesser model. Throughout this model, a fractional linear formulation is proposed and an output-error algorithm is exploited to estimate the model parameters. The initialization of this algorithm is achieved thanks to the results provided by the first algorithm. Finally, the efficiency of the two proposed approaches is shown through a numerical example of a co-current heat exchanger
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Fellah, Zine El Abiddine. "Propagation acoustique dans les milieux poreux hétérogènes." Habilitation à diriger des recherches, Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00477405.
Full textAbstract:
La modélisation temporelle de la propagation acoustique/élastique dans un milieu poreux à structure rigide (modèle du fluide équivalent) et souple (modèle de Biot) a été étudiée. Le concept de dérivées fractionnaires a été introduit, les fonctions de Green temporelles ainsi que les opérateurs de réflexion et de transmission ont été obtenues. Les problèmes directs et inverses ont été résolus en utilisant des données expérimentables réfléchies et/ou transmises. Une caractérisation complète des milieux poreux a été ainsi effectuée dans le régime asymptotique correspondant aux hautes fréquences et le régime visqueux correspondant aux basses fréquences. Une application expérimentale aux mousses plastiques et aux tissus osseux spongieux a été traitée. Une étude détaillée de la causalité des modèles a été faite suite à un doute dans la littérature concernant l'utilisation de modèles couramment utilisés (Johnson-Allard), les relations de Kramers-Kronig ont été vérifiées dans le domaine des hautes et basses fréquences. La causalité des modèles a été aussi montrée dans le domaine temporel en utilisant les relations généralisées de Hilbert et la théorie des distributions tempérées. Les problèmes ouverts concernant la propagation dans les milieux poreux macroscopiquement inhomogènes ont été soulevés, en évoquant quelques pistes comme la méthodes de séparation d'ondes (Waves splitting) et l'établissement des équations de propagations dans le régime temporel.
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Touibi, Rim. "Sur le comportement qualitatif des solutions de certaines équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique." Thesis, Université de Lorraine, 2018. http://www.theses.fr/2018LORR0263/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique. Dans la première partie nous démontrons de nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions variationnelles globales et locales à des problèmes avec des conditions aux bords de type Neumann pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques non-autonomes. Les équations que nous considérons sont définies sur des domaines non bornés de l’espace euclidien qui satisfont à certaines conditions géométriques, et sont dirigées par un bruit multiplicatif dérivé d’un processus de Wiener fractionnaire infini-dimensionnel caractérisé par une suite de paramètres de Hurst H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). Ces paramètres sont en fait soumis à d’autres contraintes intimement liées à la nature de la non-linéarité dans le terme stochastique des équations, et au choix des espaces fonctionnels dans lesquels le problème à résoudre est bien posé. Notre méthode de preuve repose essentiellement sur des arguments d’injections compactes. Dans la seconde partie, nous étudions la possibilité de l’explosion de solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaire avec des conditions aux bords de type Dirichlet, perturbées par un mélange d’un mouvement brownien et d’un mouvement brownien fractionnaire et dirigées par une classe d’opérateurs différentiels non autonomes contenant des processus de diffusions et des processus de Lévy. Notre but est de comprendre l’influence de la partie stochastique et de l’opérateur différentiel sur le comportement d’explosion des solutions. En particulier, nous donnons des expressions explicites pour des bornes inférieures et supérieures du temps de l’explosion de la solution, et des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution globale positive. Nous estimons également la probabilité d’une explosion en temps fini et la loi d’une borne supérieur du temps d’explosion de la solutionThis thesis is concerned with stochastic partial differential equations of parabolic type. In the first part we prove new results regarding the existence and the uniqueness of global and local variational solutions to a Neumann initial-boundary value problem for a class of non-autonomous stochastic parabolic partial differential equations. The equations we consider are defined on unbounded open domains in Euclidean space satisfying certain geometric conditions, and are driven by a multiplicative noise derived from an infinite-dimensional fractional Wiener process characterized by a sequence of Hurst parameters H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). These parameters are in fact subject to further constraints that are intimately tied up with the nature of the nonlinearity in the stochastic term of the equations, and with the choice of the functional spaces in which the problem at hand is well-posed. Our method of proof rests on compactness arguments in an essential way. The second part is devoted to the study of the blowup behavior of solutions to semilinear stochastic partial differential equations with Dirichlet boundary conditions driven by a class of differential operators including (not necessarily symmetric) Lévy processes and diffusion processes, and perturbed by a mixture of Brownian and fractional Brownian motions. Our aim is to understand the influence of the stochastic part and that of the differential operator on the blowup behavior of the solutions. In particular we derive explicit expressions for an upper and a lower bound of the blowup time of the solution and provide a sufficient condition for the existence of global positive solutions. Furthermore, we give estimates of the probability of finite time blowup and for the tail probabilities of an upper bound for the blowup time of the solutions
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Lafleche, Laurent. "Dynamique de systèmes à grand nombre de particules et systèmes dynamiques." Thesis, Paris Sciences et Lettres (ComUE), 2019. http://www.theses.fr/2019PSLED010.
Full textAbstract:
On étudie dans cette thèse le comportement en temps long de solutions d’équations aux dérivées partielles. Celles-ci modélisent des systèmes à grand nombre de particules dont la dynamique est due à des forces externes, internes et à l’interaction entre ces particules. Cependant, on considère différentes échelles. On voyage ainsi du niveau quantique des atomes au niveau macroscopique des étoiles, et l’on voit que des différences apparaissent bien que certaines propriétés soient conservées. Dans ce voyage, on croise le chemin de diverses applications telles que l’astrophysique, les plasmas,les semi-conducteurs, la biologie et l’économie. Ce travail est divisé en trois parties.Dans la première, on étudie le comportement semi-classique de l’équation de Hartree en mécanique quantique et sa limite vers l’équation de Vlasov. On quantifie uniformément en la constante de Planck des propriétés telles que la propagation des moments et de normes de Lebesgue à poids et la dispersion. On les utilise ensuite pour établir des estimées de stabilité entre les deux équations au moyen d’un analogue semi-classique des distances de Wasserstein. Dans la deuxième partie, on regarde le comportement en temps long d’équations cinétiques dont l’opérateur de collision est linéaire et a un équilibre local avec peu de moments, tel que l’opérateur de Fokker-Planck, sa version fractionnaire et un opérateur de Boltzmann linéaire. Deux principales techniques sont utilisées, l’une consistant à construire des entropies et la seconde à utiliser la positivité.Enfin, la dernière partie s’intéresse à des modèles macroscopiques inspirés de l’équation de Keller-Segel et l’on regarde les paramètres sous lesquels ce type de système s’effondre sur lui-même, se disperse ou se stabilise. Le premier effet se voit en introduisant des poids appropriés, le deuxième avec des distances de Wasserstein et le troisième au moyen des normes de LebesgueIn this thesis, we study the behavior of solutions of partial differential equations that arise from the modeling of systems with a large number of particles. The dynamic of all these systems is driven by interaction between the particles and external and internal forces. However, we will consider different scales and travel from the quantum level of atoms to the macroscopic level of stars. We will see that differences emerge from the associated dynamics even though the main properties are conserved. In this journey, we will cross the path of various applications of these equations such as astrophysics, plasma, semi-conductors, biology, economy. This work is divided in three parts.In the first one, we study the semi classical behavior of the quantum Hartree equation and its limit to the kinetic Vlasov equation. Properties such as the propagation of moments and weighted Lebesgue norms and dispersive estimates are quantified uniformly in the Planck constant and used to establish stability estimates in a semiclassical analogue of the Wasserstein distance between the solutions of these two equations.In the second part, we investigate the long time behavior of macroscopic and kinetic models where the collision operatoris linear and has a heavy-tailed local equilibrium, such as the Fokker-Planck operator, the fractional Laplacian with a driftor a Linear Boltzmann operator. This let appear two main techniques, the entropy method and the positivity method.In the third part, we are interested in macroscopic models inspired from the Keller-Segel equation, and we study therange of parameters under which the system collapses, disperses or stabilizes. The first effect is studied using appropriate weights, the second using Wasserstein distances and the third using Lebesgue norms
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Abdelkaled, Houda. "Caractère bien posé probabiliste pour une équation non linéaire faiblement dispersive." Thesis, CY Cergy Paris Université, 2020. http://www.theses.fr/2020CYUN1075.
Full textAbstract:
Nous nous proposons dans cette thèse d’étudier la propagation d’ondes non-linéairesdans le régime haute fréquence par des méthodes provenant de la théorie des probabilitéset de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère l’équation d’onde fractionnaire cubique, posée sur un domaine borné de l’espace euclidien, avec des conditionsau bord périodiques. On montrera pour commencer, sur quels espaces ce problème estbien-posé au sens d’Hadamard à l’aide de méthodes de point fixe. Dans un deuxièmetemps, on va démontrer des résultats d’instabilité à haute fréquence qui montrent leslimites des méthodes standards. Pour finir, on envisagera de construire des mesures deprobabilité sur l’espace des données initiales telles que dans le contexte des résultatsd’instabilité, une forme de caractère bien-posé persiste, presque surementWe propose in this thesis to study the propagation of non-linear wavesin the high frequency regime by methods from probability theoryand the theory of partial differential equations. We consider the cubic fractional wave equation, posed on a bounded domain of Euclidean space, with conditionsat the edge periodic. We will show to begin with, on which spaces this problem iswell-posed in Hadamard’s sense using fixed point methods. Then, we're going to proof high frequency instability results that shows thelimit of standard methods. Finally, we will consider building probabilistic measures on the space of the initial data such as in the context of the instability results, a well-posedness form persists, almost surely
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Faria, Albert Willian. "Modelagem por elementos finitos de placas compostas: contribuição ào estudo do amortecimento, dano e incertezas." Universidade Federal de Uberlândia, 2010. https://repositorio.ufu.br/handle/123456789/14696.
Full textAbstract:
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e TecnológicoDoutor em Engenharia Mecânica
No estado tecnológico atual, os materiais compostos são cada vez mais utilizados em produtos de alta tecnologia, sobretudo no setor aeroespacial, em virtude de sua resistência/peso superior às dos materiais metálicos, e em virtude de sua elevada rigidez e resistência mecânica à fadiga. Além disso, devido ao seu melhor comportamento ao choque mecânico e à combustão química, as estruturas em material composto oferecem uma boa condição de segurança. Estruturas fabricadas em material composto ou metálico são submetidas a uma grande variedade de carregamentos mecânicos ao longo de sua vida útil, que podem ser dependentes ou independentes do tempo, quer dizer, de natureza estática ou dinâmica. Acima das condições de serviço para as quais elas são concebidas, no domínio estático ou dinâmico, as estruturas compostas podem desenvolver diferentes formas de dano em seus elementos constitutivos. Nas ultimas décadas, devido a sua capacidade de absorver e dissipar sob a forma de calor uma parte da energia de vibração dos sistemas estruturais, os materiais viscoelásticos vêm sendo intensamente empregados para reduzir os níveis de vibração e sonoros indesejáveis no domínio da dinâmica das estruturas. Nesta tese, estes materiais são aplicados sob a forma de tratamento interno em estruturas compostas, que permite o aumento das deformações por cisalhamento da camada viscoelástica e, assim, a dissipação da energia de vibração e a diminuição do dano. Interessa-se também, neste trabalho, o estudo de um mecanismo interno de dano ao nível da matriz polimérica no domínio dinâmico. Este mecanismo de dano é muito comum nos materiais estratificados constituídos de fibras orientadas em uma única direção. Nesta tese, é apresentada a modelagem por elementos finitos utilizando os elementos retangulares Serendipity, a oito pontos nodais, de placa composta, considerando três diferentes teorias para a aproximação do campo de deslocamento mecânico: FSDT (First-order Shear Deformation Theory), HSDT (Higher-order Shear Deformation Theory) e Layerwise-FSDT. As duas primeiras teorias permitem a modelagem de estruturas com multicamadas e a segunda é formulada para uma configuração assimétrica formada por três camadas, cuja formulação é obtida pela imposição da continuidade dos deslocamentos ao longo da espessura do estratificado. Estas teorias são implementadas em ambiente MATLAB® para a modelagem de modelos EF de estruturas compostas de geometria simples. Para considerar a dependência no domínio da freqüência e do tempo das propriedades dos materiais viscoelásticos, a aproximação através do uso do Modulo Complexo é utilizada. No entanto, para levar em conta sua dependência no domínio do tempo e da temperatura utiliza-se a aproximação através do uso de Derivadas Fracionárias. Utiliza-se também, neste trabalho, o emprego do Modelo Histerético Complexo (independente do tempo, da temperatura e da freqüência) para considerar o amortecimento natural das camadas do estratificado. Além disso, esta tese propõe o uso de uma metodologia de propagação de incertezas em estruturas compostas. Para isso, adota-se a aproximação de Karhunen-Loève para a discretização do campo aleatório bidimensional. E, através de diversas simulações numéricas, são ilustrados os temas abordados ao longo deste trabalho de tese.
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Blanc, Emilie. "Time-domain numerical modeling of poroelastic waves : the Biot-JKD model with fractional derivatives." Phd thesis, Aix-Marseille Université, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00954506.
Full textAbstract:
Une modélisation numérique des ondes poroélastiques, décrites par le modèle de Biot, est proposée dans le domaine temporel. La dissipation visqueuse à l'intérieur des pores est décrite par le modèle de perméabilité dynamique, développé par Johnson-Koplik-Dashen (JKD). Certains coefficients du modèle de Biot-JKD sont proportionnels à la racine carrée de la fréquence : dans le domaine temporel, ces coefficients introduisent des dérivées fractionnaires décalées d'ordre 1/2, qui reviennent à un produit de convolution. Basé sur une représentation diffusive, le produit de convolution est remplacé par un nombre fini de variables de mémoire, dont la relaxation est gouvernée par une équation différentielle ordinaire locale en temps, ce qui mène au modèle de Biot-DA (approximation diffusive). Les propriétés du modèle de Biot-JKD et du modèle de Biot-DA sont analysées : hyperbolicité, décroissance de l'énergie, dispersion. Pour déterminer les coefficients de l'approximation diffusive, différentes méthodes de quadrature sont proposées : quadratures de Gauss, procédures d'optimisation linéaire ou non-linéaire sur la plage de fréquence d'intérêt. On montre que l'optimisation non-linéaire est la meilleure méthode de détermination. Le système est modélisé numériquement en utilisant une méthode de splitting : la partie propagative est discrétisée par un schéma aux différences finies ADER, d'ordre 4 en espace et en temps, et la partie diffusive est intégrée exactement. Une méthode d'interface immergée est implémentée pour discrétiser la géometrie sur une grille cartésienne et pour discrétiser les conditions de saut aux interfaces. Des simulations numériques sont présentées, pour des milieux isotropes et isotropes transverses. Des comparaisons avec des solutions analytiques montrent l'efficacité et la précision de cette approche. Des simulations numériques en milieux complexes sont réalisées : influence de la porosité d'os spongieux, diffusion multiple en milieu aléatoire.
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Assaf, Riad. "Modélisation des phénomènes de diffusion thermique dans un milieu fini homogène en vue de l’analyse, de la synthèse et de la validation de commandes robustes." Thesis, Bordeaux, 2015. http://www.theses.fr/2015BORD0271/document.
Full textAbstract:
Les travaux de cette thèse concernent l’étude des phénomènes de diffusion thermique en vue de disposer de modèles de connaissances (approche boîte blanche) pour l’analyse, la synthèse fréquentielle et la validation temporelle de commandes robustes. La Partie 1 composée du chapitre 1 se focalise sur les définitions et les interprétations de l’opérateur intégro-différentiel non entier. La problématique de la simulation, dans le domaine temporel, des SDNE est précisée. La Partie 2 intitulée "Etude analytique" regroupe deux chapitres dont l’objectif est de faire une analyse fine des comportements d’ordre non entier, d’abord dans un milieu semi-infini (chapitre 2), puis dans un milieu fini (chapitre 3). La Partie 3, intitulée "Simulation numérique des réponses temporelles" regroupant deux chapitres (4 et 5), a pour finalité la mise en oeuvre de la partie « Procédé thermique » (modèle de validation d’un milieu fini) d’un simulateur des réponses temporelles d’une boucle de régulation thermiqueThe work of this thesis concerns the study of the thermal diffusion phenomena to have a model (white box approach) for the analysis, the frequency synthesis and the time validation of robust commands. The Part 1 composed of chapter 1 focuses on the definitions and the interpretations of the integro-differential non-integer operator. The simulation problem in the time domain of the fractional differential systems is specified. Part 2 entitled "Analytical Study" includes two chapters whose objective is to make a detailed analysis of the fractional order behavior, first in a semi-infinite medium (chapter 2), then in a finite medium (chapter 3). Part 3, entitled "Numerical simulation of time responses" combining two chapters (4 and 5), aims the implementation of the "thermal process" plant (model validation of a finite medium) of a simulator of the thermal control loop time responses
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Fernández, Sánchez Antonio J. "Existence et multiplicité de solutions pour des problèmes elliptiques avec croissance critique dans le gradient." Thesis, Valenciennes, 2019. http://www.theses.fr/2019VALE0020/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous donnons des résultats d’existence, de non-existence, d’unicité et de multiplicité de solutions pour des équations aux dérivées partielles avec croissance critique dans le gradient. Les principales méthodes utilisées dans nos preuves sont des arguments variationnels, la théorie des sous et sur-solutions, des estimations à priori et la théorie de la bifurcation. La thèse se compose de six chapitres. Dans le chapitre 0 nous introduisons le sujet de thèse et nous présentons les résultats principaux. Le chapitre 1 porte sur l’´étude d’une équation du type p-Laplacien avec croissance critique dans le gradient et dépendant d’un paramètre. En fonction de l’intervalle où se trouve le paramètre, nous obtenons l’existence et l’unicité d’une solution ou nous montrons l’existence et la multiplicité de solutions. Dans les chapitres 2 et 3, nous poursuivons notre étude dans le cas où l’opérateur utilisé est le Laplacien mais, contrairement au chapitre 1, nous étudions le cas où les coefficients changent de signe. Nous obtenons à nouveau des résultats d’existence et de multiplicité de solutions. Dans le chapitre 4, nous étudions des problèmes nonlocaux du type Laplacien fractionnaire avec différents termes de gradient non-local. Nous montrons des résultats d’existence et de non-existence de solutions pour différentes équations de ce type. Finalement, dans le chapitre 5 nous présentons quelques problèmes ouverts liés au contenu de la thèse et des perspectives de rechercheIn this thesis, we provide existence, non-existence, uniqueness and multiplicity results for partial differential equations with critical growth in the gradient. The principal techniques employed in our proofs are variational techniques, lower and upper solution theory, a priori estimates and bifurcation theory. The thesis consists of six chapters. In chapter 0, we introduce the topic of the thesis and we present the main results. Chapter 1 deals with a p-Laplacian type equation with critical growth in the gradient. This equation will depend on a real parameter. Depending on the interval where this parameter lives, we obtain the existence and uniqueness of one solution or we prove the existence and multiplicity of solutions. In chapters 2 and 3, we continue our study in the case where the operator is the Laplacian. However, unlike chapter 1, we study the case where the coefficient functions may change sign. We obtain again existence and multiplicity results. In chapter 4, we study non-local problems of fractional Laplacian type with different non-local gradient terms. We prove existence and non-existence results for different equations of this type. Finally, in chapter 5, we present some open problems related to the content of the thesis and some research perspectives
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Dannawi, Ihab. "Contributions aux équations d'évolutions non locales en espace-temps." Thesis, La Rochelle, 2015. http://www.theses.fr/2015LAROS007/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en tempsIn this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term
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Vilmart, Gilles. "Étude d'intégrateurs géométriques pour des équations différentielles." Phd thesis, Université Rennes 1, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00348112.
Full textAbstract:
Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles, qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité des systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc.Dans la première partie, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé et on introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrique d'ordre élevé pour les équations du mouvement d'un corps rigide. On obtient également une méthode numérique précise pour le calcul de points conjugués pour les géodésiques du corps rigide.
Dans la seconde partie, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques, pour l'intégration à long terme en astronomie et en dynamique moléculaire, persistent pour les problèmes de contrôle optimal. On discute également l'extension de la théorie des équations modifiées aux problèmes de contrôle optimal.
Dans le même esprit que les équations modifiées, on considère dans la dernière partie des méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les systèmes hamiltoniens perturbés, utilisant des potentiels modifiés. On termine par la construction de méthodes de splitting d'ordre élevé avec temps complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques, notamment les problèmes de réaction-diffusion en chimie.
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Mignot, Rémi. "Réalisation en guides d'ondes numériques stables d'un modèle acoustique réaliste pour la simulation en temps-réel d'instruments à vent." Phd thesis, Télécom ParisTech, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00456997.
Full textAbstract:
Ce travail porte sur la modélisation physique des tubes acoustiques pour la simulation numérique en temps-réel. Le but principal est la synthèse sonore d'instruments à vent, avec un modèle réaliste, une méthode modulaire et une implémentation numérique faible coût. Le modèle acoustique de "Webster-Lokshin", utilisé ici, est un modèle à 1 dimension prenant en compte à la fois la "courbure" du profil et les "pertes visco-thermiques" à la paroi. Pour ce modèle acoustique, une structure de simulation compatible avec l'approche des "Guides d'Ondes" est obtenue : un tube y est représenté par un système bouclé, avec retards, faisant intervenir plusieurs sous-systèmes sans retard interne. Une difficulté est la présence de sous-systèmes de dimension infinie qui se comportent comme des sommes infinies de systèmes du premier ou du second ordre. Dans un premier temps, ils sont approximés par des systèmes de dimension finie, puis leur "représentation d'état" à temps discret est obtenue. Enfin, en utilisant des outils standard de l'automatique, ces représentations nous permettent de faciliter la connexion d'éléments acoustiques et de réduire les coûts de calcul de la simulation numérique. Dans ce travail, l'étude de la stabilité et de la passivité est faite. Pour des cas paticuliers de tubes, un problème survient : même si les relations entrées/sorties du tube sont stables, certains sous-systèmes internes possèdent une infinité de singularités à l'origine d'instabilités internes. Nous présentons une explication de ce phénomène et ceci nous amène à proposer une nouvelle décomposition en sous-systèmes pour lever ce problème.
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Guelmame, Billel. "Sur une régularisation hamiltonienne et la régularité des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires." Thesis, Université Côte d'Azur, 2020. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03177654.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions certaines régularisations conservatives et non dispersives pour des lois de conservation. Ces régularisations sont obtenues en s’inspirant de celle du système de Saint-Venant introduite par Clamond et Dutykh. Nous étudions également la régularité, dans des espaces BV généralisés, des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires. Dans la première partie, nous obtenons et étudions une régularisation appropriée de l’équation de Burgers inviscide, ainsi que sa généralisation aux lois de conservation scalaires. Nous prouvons que cette généralisation est localement bien posée pour les solutions régulières. Nous montrons aussi l’existence globale des solutions qui satisfont une inégalité d’Oleinik pour des flux uniformément convexes. Lorsque le paramètre de régularisation ``l’’ tend vers zéro, nous prouvons que ces solutions convergent, pour une sous-suite, vers les solutions de la loi de conservation scalaire originale, au moins pour un petit intervalle de temps.Nous généralisons également les équations Saint-Venant régularisées afin d’obtenir une régularisation du système d’Euler barotrope, ainsi qu’une régularisation du système de Saint-Venant avec fond variable. Nous montrons que ces deux systèmes sont bien posés localement dans Hs, avec s≥2. Dans la deuxième partie, nous démontrons un effet régularisant, sur les conditions initiales, des lois de conservation scalaires pour un flux lipschitzien strictement convexe, ainsi que pour des équations scalaires avec un terme source linéaire. Dans certains cas, nous donnons une borne de l’effet régularisant. Enfin, nous prouvons l’existence globale des solutions entropiques d’une classe de système triangulaire ayant une équation de transport dans BV^s x L^∞ où s > 1/3In this thesis, we study some non-dispersive conservative regularisations for the scalar conservation laws and also for the barotropic Euler system. Those regularisations are obtained inspired by a regularised Saint-Venant system introduced by Clamond and Dutykh in 2017. We also study the regularity, in generalised BV spaces, of the entropy solutions of some nonlinear hyperbolic equations. In the first part, we obtain and study a suitable regularisation of the inviscid Burgers equation, as well as its generalisation to scalar conservation laws. We prove that this regularisation is locally well-posedness for smooth solutions. We also prove the global existence of solutions that satisfy a one-sided Oleinik inequality for uniformly convex fluxes. When the regularising parameter ``l’’ goes to zero, we prove that the solutions converge, up to a subsequence, to the solutions of the original scalar conservation law, at least for a short time. We also generalise the regularised Saint-Venant equations to obtain a regularisation of the barotropic Euler system, and the Saint-Venant system with uneven bottom. We prove that both systems are locally well-posed in Hs, with s ≥ 2. In the second part, we prove a regularising effect, on the initial data, of scalar conservation laws with Lipschitz strictly convex flux, and of scalar equations with a linear source term. For some cases, we give a limit of the regularising effect.Finally, we prove the global existence of entropy solutions of a class of triangular systems involving a transport equation in BV^s x L^∞ where s > 1/3
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Tristani, Isabelle. "Existence et stabilité de solutions fortes en théorie cinétique des gaz." Thesis, Paris 9, 2015. http://www.theses.fr/2015PA090013/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupesThe topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one
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Gautier, Eric. "Grandes déviations pour des équations de Schrödinger non linéaires stochastiques et applications." Phd thesis, 2005. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011274.
Full textAbstract:
Dans cette thèse nous étudions l'asymptotique de petits bruits pour des perturbations aléatoires d'équations de Schrödinger non linéaires. Les bruits sont Gaussiens, la plupart du temps blancs en temps et toujours colorés en espace, additifs ou multiplicatifs. Un évènement de grandes déviations est un évènement où le système diffère significativement du système déterministe. Lorsque le bruit tend vers zéro, la probabilité d'un tel évènement rare tend vers zéro sur une échelle logarithmique avec pour vitesse l'amplitude du bruit. Nous prouvons des principes de grandes d´eviations trajectoriels. Dans ce cas le facteur multiplicatif de la vitesse, le taux, est relié à un problème de contrôle optimal. Les résultats sont appliqués aux temps d'explosion. Nous étudions ensuite l'asymptotique de petits bruits des queues de la masse et de la position du signal dans une "limite bruit blanc". Les fluctuations de ces quantités sont les causes principales d'erreur de transmission par solitons dans les fibres optiques. Nous considérons également le problème des temps moyens et des points de sortie d'un voisinage de zéro pour des équations faiblement amorties. Enfin, nous présentons un principe de grandes déviations et un théorème de support pour des bruits Gaussiens fractionnaires additifs.