Academic literature on the topic 'Difféomorphismes du cercle'

Nous prouvons que dans l'ensemble $SW^0({\bf T}^1,SU(2))$ des difféomorphismes de ${\bf T}^1\times SU(2)$ de la forme $(\theta,y)\to (\theta+\alpha,A(\theta).y)$, $A\in C^{\infty}({\bf T}^1,SU(2))$, $\alpha\in{\bf T}^1$, les systèmes $(\alpha,A)$ réductibles, c'est-à-dire ceux qui admettent une écriture de la forme $A(\theta)= B(\theta+\alpha)A_0B(\theta)^{-1}$, $B\in C^{\infty}({\bf T}^1,SU(2))$, $A_0\in SU(2)$, forment une partie dense pour la $C^0$-topologie. Ce théorème est à comparer à un résultat de Herman [7], qui dit qu'il en est de même des systèmes non réductibles. Ceci démontre (une forme d')une conjecture de Rychlik (cf. [14]).

Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne. La première partie porte sur les groupes d'isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois. Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique. La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du Théorème d'Hawking.

Ce travail poursuit celui de M. Herman sur les problèmes de petits dénominateurs dans les difféomorphismes du cercle. On y généralise le théorème de conjugaison d’Herman, sous une hypothèse arithmétique sur le nombre de rotation qui est optimale en Classe C∞. On démontre que les difféomorphismes C∞-conjugués à une rotation sont denses parmi ceux qui ont un nombre de rotation irrationnel donné. On s’intéresse ensuite principalement aux centralisateurs dans le groupe des difféomorphismes du cercle : en présence d’orbites périodiques, les centralisateurs sont explicitement identifiables (grâce à une idée de J. Mather) ; par contre, lorsque le nombre de rotation est irrationnel, la situation est extrêmement complexe et reflète les propriétés arithmétiques du nombre de rotation : le centralisateur peut être un groupe discret, ou totalement discontinu non discret, ou encore isomorphe à S¹<br>Following M. Herman, we study in this work the problem of small divisors for circle diffeomorphisms. We generalize Herman’s conjugacy theorem, under an arithmetical assumption on the rotation number which is optimal for C∞-diffeomorphisms. We prove that the diffeomorphisms smoothly conjugated to a rotation are dense amongst those which have a fixed irrational rotation number. In the rest of the work, we are mainly interested in describing the centralizer of a diffeomorphism of the circle: when the rotation number is rational, one has a good understanding of the centralizer; but when the rotation number is irrational, the situation is extremely complex and very sensitive to the arithmetical properties of the rotation number: the centralizer can be either discrete, or a circle, or a non-discrete totally discontinuous group

Si un nombre reel irrationnel ne satisfait pas une certaine condition diophantienne, on construit un germe holomorphe non-linearisable f(z)=z+o(z#2), =e#2##i#, sans autre orbite periodique que o. Cette condition est optimale: si elle n'est pas verifiee et f(z)=z+o(z#2) est non-linearisable, on montre l'existence d'une suite d'orbites periodiques de f tendant vers o. On etudie le meme probleme lorsque f est un diffeomorphisme du cercle r-analytique de nombre de rotation. Lorsque ne satisfait pas une certaine condition diophantienne on construit, repondant ainsi a une question de v. I. Arnold, un diffeomorphisme du cercle r-analytique non-linearisable de nombre de rotation dont tout prolongement analytique est sans orbites periodiques. On etudie aussi le cas des germes f(z)=z+o(z#2) polynomiaux. Dans ce cadre on montre, en utilisant un resultat de yoccoz pour le polynome quadratique, que lorsque n'est pas un nombre de brjuno tout germe polynomial p(z)=z+a#2z#2+. . . +a#dz#d structurellement stable (l'ensemble de tels polynomes de degre inferieur ou egal a d est un ouvert dense de l'espace des parametres (a#2,. . . ,a#d),#. ##1) a une suite d'orbites periodiques tendant vers o et donc n'est pas linearisable

Pour tout entier p 2, yu. A. Neretin a defini un groupe de transformations n p, qu'il a pense comme un analogue combinatoire du groupe diff +(s 1) des diffeomorphismes preservant l'orientation du cercle: si on note t p l'arbre de bruhat-tits dont tous les sommets sont de valence p + 1, et a p son absolu, c'est-a-dire l'ensemble de ses bouts, le groupe n p des spheromorphismes est un groupe d'homeomorphismes de a p preservant la structure spheroidale naturelle de a p. L'absolu est homeomorphe a un ensemble de cantor, et lorsque p est premier, il s'identifie naturellement a la droite projective sur le corps des nombres p-adiques ; n p contient alors le groupe des bijections localement analytiques de q pp 1. Pour tout p 2, n p contient le groupe aut t p des automorphismes de l'arbre t p, et une famille de groupes remarquables : les groupes de higman-thompson f p g p m p. On montre que n p est engendre par deux groupes simples : d'une part le groupe aut +t p des automorphismes de l'arbre preservant sa decomposition en types, d'autre part le groupe derive de m p. En adaptant des lemmes d'epstein, on demontre que le groupe des spheromorphismes n p est simple, resultat rappelant le theoreme de m. R. Herman sur la simplicite de diff +(s 1). Puis nous precisons des theoremes de representation de n p et de ses sous-groupes, enonces par yu. A. Neretin, dans des (g,k)-paires. En particulier, il existe des analogues des representations de plus hauts poids de diff +(s 1) pour une version orientee de n p. Nous calculons ensuite les deuxiemes groupes d'homologie, au sens d'eilenberg-mclane, des groupes de higman-thompson m p, a l'aide d'une suite spectrale associee a l'homologie equivariante de m p, pour son action sur un certain complexe simplicial, defini par m. Stein et k. Brown. Plus loin, le meme outil permet de demontrer que n p est q-acyclique (ce qui etait connu pour m p). Nous identifions alors en termes cohomologiques une extension centrale (non-triviale lorsque p est impair) de m p, de noyau z/2z. Cette derniere se prolonge en une extension non-triviale du groupe des spheromorphismes n p, pour tout p 2. On montre qu'elle peut etre obtenue comme l'image reciproque d'une extension de pressley-segal reduite, ce qui poursuit l'analogie avec diff +(s 1).

Les travaux de ma thèse s'articulent en trois parties distinctes.Dans la première partie j'étudie les mesures de Malliavin-Shavguldize sur les difféomorphismes du cercle et de l'intervalle. Il s'agit de mesures de type " Haar " pour ces groupes de dimension infinie : elles furent introduites il a une vingtaine d'années pour permettre une étude de leur théorie des représentations. Un premier chapitre est dédié à recueillir les résultats présents dans la littérature et et les représenter dans une forme plus étendue, avec un regard particulier sur les propriétés de quasi-invariance de ces mesures. Ensuite j'étudie de problèmes de nature plus dynamique : quelle est la dynamique qu'on doit s'attendre d'un difféomorphisme choisi uniformément par rapport à une mesure de Malliavin-Shavguldize ? Je démontre en particulier qu'il y a une forte présence des difféomorphismes de type Morse-Smale.La partie suivante vient de mon premier travail publié, obtenu en collaboration avec Andrés Navas. Inspirés d'un théorème récent de Avila et Kocsard sur l'unicité des distributions invariantes par un difféomorphisme lisse minimal du cercle, nous analysons le même problème en régularité faible, avec des argument plus géométriques.La dernière partie est constituée des résultats récemment obtenus avec Mikhail Khristoforov et Victor Kleptsyn. Nous abordons les problèmes reliés à la gravité quantique de Liouville en étudiant des espaces auto-similaires qui sont la limite de graphes finis. Nous démontrons qu'il est possible de trouver des distances aléatoires non-triviales sur ces espaces qui sont compatibles avec la structure auto-similaire.

Cette thèse traite de quelques questions de dynamique différentiable. Elle se compose de deux parties relativement indépendantes, comprenant chacune deux chapitres. La première partie établit des estimées de la conjugaison à des rotations de difféomorphismes du cercle, et en obtient des applications. La seconde partie porte sur la méthode de construction par conjugaisons successives et le problème de réalisation différentiable. Le premier chapitre part d’un théorème célèbre de Herman et Yoccoz, qui affirme que si un difféomorphisme C∞ du cercle f a un nombre de rotation alpla qui satisfait à une condition diophantienne, alors f est C∞-conjugué à une rotation. Nous établissons des relations explicites entre les normes Ck de cette conjugaison et la condition diophantienne sur α. Pour obtenir ces estimées, nous modifions convenablement la preuve de Yoccoz. Dans le deuxième chapitre, nous utilisons certaines de ces estimées pour montrer deux résultats. Le premier porte sur le problème de quasi-réductibilité : pour un ensemble Baire-dense de nombres α, pour tout difféomorphisme f de nombre de rotation α, il est possible d’accumuler R α avec une suite hnfhn-1, h étant un difféomorphisme. Le second résultat de ce chapitre est : pour un ensemble Baire-dense de nombres α, étant donnés deux difféomorphismes f and g qui commutent, tels que f a α pour nombre de rotation, il est possible d’approcher chacun d’eux par des difféomorphismes fn et gn, qui commutent, et qui sont conjugués de manière différentiable à des rotations. Le troisième chapitre traite du problème de réalisation lisse non-standard de translations du tore. Sur certaines variétés admettant une action du cercle, nous construisons des difféomorphismes préservant le volume, et métriquement isomorphes à des translations ergodiques du tore, tels qu’une coordonnée de la translation soit un nombre de Liouville arbitraire. Pour obtenir ce résultat, nous déterminons des conditions suffisantes sur des vecteurs de translation du tore qui permettent de construire explicitement la suite de conjugaisons successives dans la méthode d’Anosov-Katok, avec des estimées convenables de leur norme. Dans le quatrième chapitre, sur les mêmes variétés que précédemment, et pour certains angles de Liouvilled α, nous montrons que l'adhérence lisse de la classe de conjugaison lisse et préservant le volume de rotation Sα contient un difféomorphisme lisse et préservant le volume théta qui est métriquement isomorphe à une rotation irrationnelle du cercle Rβ, avec α différent de β, et avec α et β choisis rationnellement dépendants ou rationnellement indépendants. En particulier, l'anneau fermé [0,1] x T admet une pseudo rotation lisse ergodique T d'angle α qui est métriquement isomorphe à une rotation Rβ<br>This thesis deals with some questions of differentiable dynamics. It consists of two relatively independent parts, each consisting of two chapters. The first part sets estimated conjugation to circle diffeomorphisms rotations, and obtains applications. The second part focuses on the construction method by successive conjugations and the problem of achieving differentiable. The first chapter from a famous theorem of Herman and Yoccoz, which states that if a C ∞ diffeomorphism of the circle fa Alpla a rotation number which satisfies a diophantine condition, then f is C ∞-conjugate to a rotation. We establish explicit relationships between the standards of this conjugation Ck and Diophantine condition on α. To obtain these estimates, we modify the proof of Yoccoz properly. In the second chapter, we use some of these estimates to show two results. The first concerns the problem of quasi-reducibility: for all Baire-dense numbers α, for any diffeomorphism f with rotation number α, it is possible to build a sequence R with α hnfhn-1, where h is a diffeomorphism. The second result of this chapter is: a whole-dense Baire numbers α, given two diffeomorphisms f and g which commute, such as F α for rotation number, it is possible to approach each by diffeomorphisms fn and gn, which switch, and which are combined so as to rotations differentiable. The third chapter addresses the problem of achieving smooth non-standard translations of the torus. On some varieties admitting an action of the circle, we construct diffeomorphisms preserving the volume and metrically isomorphic to the torus ergodic translations, such as coordinated translation is a Liouville number arbitrarily. To obtain this result, we determine sufficient conditions on the torus translation vectors that can explicitly construct the following successive conjugations method Anosov-Katok, with their estimated standard suitable. In the fourth chapter, the same varieties as above, and for some angles Liouvilled α, we show that the adhesion of the smooth conjugacy class of volume preserving smooth rotation LHS contains a smooth diffeomorphism preserving the volume that theta is metrically isomorphic to irrational rotation of the circle Rβ with β different from α, α and β with dependent rationally selected or rationally independent. In particular, the closed ring [0,1] x T admits a pseudo smooth ergodic rotation angle α T is metrically isomorphic to a rotation Rβ

Les travaux présentés dans ce mémoire, portent essentiellement sur la théorie géométrique des systèmes dynamiques. Ils sont regroupés dans deux sections distinctes qui couvrent l'essentiel de mes recherches :<ul><li> L'étude de la dynamique et de la morphologie des homéomorphismes des surfaces,</li><li>L'utilisation de méthodes géométriques dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles apparaissant en mécanique et en hydrodynamique.</li></ul>Ce mémoire récapitule les travaux de dix-neuf articles groupés par thèmes et présentés dans l'ordre chronologique de leur élaboration.