Dissertations / Theses on the topic 'Ecuaciones diferenciales no lineales'

En teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial.
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Ingeniero Civil Matemático
En la presente memoria se estudia la ecuación (I-\Delta)^{\alpha} u = f(x,u) en R^N, con \alpha\in(0,1). Se establece la existencia de una solución débil mediante un resultado del tipo paso de la montaña y usando las propiedades del kernel del operador (I-\Delta)^{-\alpha} se estudia la regularidad de dicha solución. Mediante un argumento de comparación junto con uno de punto fijo se determina que esta solución posee decaimiento exponencial. También se establece la existencia de infinitas soluciones cuando f(x,u)=|u|^{p-1}u utilizando las propiedades del género de Krasnoselskii y finalmente se demuestra una identidad del tipo Pohozaev con la cual se obtiene la no existencia de soluciones positivas en los casos crítico y supercrítico. Se analizan también las principales propiedades de los operadores (-\Delta)^{\alpha} y (I-\Delta)^{\alpha} junto con los núcleos asociados y su relación con el laplaciano. Finalmente se entrega una breve discusión con respecto a la ecuación (-\Delta)^{\alpha} u + u = f(x,u) en R^N y se plantea el problema de estudiar el límite cuando \alpha\to 1^-. Se discute la posible utilidad de la supersolución usada en el argumento de comparación que determina el decaimiento de la solución.

Estudia ecuaciones elípticas de la forma (P) −∆u + λu = f(x, u), en Ω, u ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) es un dominio limitado o Ω = R N y f : Ω × R → R es una función continua con condiciones de crecimiento subcrítico y crítico. También estudia sistemas de ecuaciones elípticas de la forma (S)    −∆u = f(x, u, v), em Ω, −∆v = g(x, u, v), em Ω, u, v ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) , f, g : Ω × R 2 → R son funciones continuas con condiciones de crecimiento subcrítico. Encuentra soluciones definidas en H1 0 (Ω) × H1 0 (Ω), para sistemas elípticos de tipo gradiente y de tipo hamiltoniano. Para la existencia de soluciones usa Métodos Varacionales, haciendo uso especial del Teorema del Paso de Montaña.
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Estudia ecuaciones elípticas de la forma (P) −∆u + λu = f(x, u), en Ω, u ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) es un dominio limitado o Ω = R N y f : Ω × R → R es una función continua con condiciones de crecimiento subcrítico y crítico. También estudia sistemas de ecuaciones elípticas de la forma (S)    −∆u = f(x, u, v), em Ω, −∆v = g(x, u, v), em Ω, u, v ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) , f, g : Ω × R 2 → R son funciones continuas con condiciones de crecimiento subcrítico. Encuentra soluciones definidas en H1 0 (Ω) × H1 0 (Ω), para sistemas elípticos de tipo gradiente y de tipo hamiltoniano. Para la existencia de soluciones usa Métodos Varacionales, haciendo uso especial del Teorema del Paso de Montaña.
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Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas
Memoria para optar al título de Ingeniera Civil Matemática
Consideramos un volumen $V\subset \R^3$ generado al rotar alrededor del eje $Z$ un dominio $\Omega \subset \R^2$ acotado y suave que vive en el plano $XZ$. En este trabajo se construye una solución del flujo de mapa armónico del volumen $V$ a la esfera $S^2$ que revienta en tiempo finito, el problema es \begin{eqnarray*} v_t &=& \Delta v + |\nabla v |^2 v \text{ in } V \times (0,T)\\ v &=& v_{\partial V} \text{ in } \partial V \times (0,T)\\ v(\cdot , 0) &=&v_0 \text{ in } V, \end{eqnarray*} donde $v: V \times [0,T) \to S^2$, $v_0 : \overline{V} \to S^2$ es suave y $v_{\partial V}=\left. v_0\right|_{\partial V} : \partial V \to S^2$. Dado un punto $q \in \Omega$ de define la circunferencia $c(q)$ generada al rotar el punto $q$ alrededor del eje Z. Se encuentran datos iniciales y de frontera tales que la solución $v$ revienta exactamente en la curva $c(q)$ en un tiempo finito pequeño. La construcción de la solución se hace reduciendo el problema a 2 dimensiones y usando el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} que transforma el problema en un sistema de \textit{inner-outer gluing} que separa el efecto principal de la ecuación cerca y lejos de la singularidad. Se obtiene una solución cuyo orden principal cerca de la singularidad tiene el perfil de un mapa armónico 1-corrotacional escalado. En la introducción se recuerdan la ecuación de flujo de mapa armónico y su origen, se establece el problema y la reducción a 2 dimensiones. En el primer capítulo se enuncian resultados útiles de topología y análisis funcional, y propiedades probadas en \cite{dav} para los mapas armónicos 1-corrotacionales y el operador linealizado en torno a ellos. En el segundo capítulo se obtiene un ansatz de la solución y se usa el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} para reducir el problema a resolver un sistema de \textit{inner-outer gluing} que después se resuelve usando punto fijo. En el capítulo cuatro se obtienen las hipótesis para el punto fijo mediante estimaciones a priori obtenidas dividiendo el sistema en tres problemas principales: el problema interior, el problema exterior y el problema de los parámetros. En la parte final se concluye con algunas observaciones sobre este trabajo y posibles trabajos futuros en torno a el.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt 1150066 y el Centro de Modelamiento Matemático, Proyecto Basal PFB 03
Fondecyt 1150066 y CMM - Conicyt PIA AFB170001

Publicación a texto completo no autorizada por el autor
Presenta un estudio de ciertas ecuaciones diferenciales lineales sobre espacios de Hilbert. Estas ecuaciones son sistemas dinámicos lineales en dimesión infinita descritas por z(t) = Az(t) + Bu(t), donde A es el generador infinitesimalo de un semigrupo T, B es un operador no acotado y u es una función de entrada. Prueba la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial anterior y continua investigando las propiedades que hacen de B un operador de control admisible para el semigrupo T. Se obtiene bajo la admisibilidad del operador B una mejor localización de la solución y luego, con hipótesis débiles sobre la función de entrada u, se obtiene un resultado de regularidad de la solución.
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Trata sobre los operadores lineales en el álgebra geométrica Euclideana Tridimensional AG(3), que es el álgebra de Clifford en el espacio euclideano R3. El objetivo es mostrar que los operadores lineales se pueden reescribir usando el formalismo del álgebra geométrica, mejorando el tratamiento matemático tradicional. Este nuevo enfoque presenta una visión alternativa del álgebra de matrices, porque trabaja directamente con vectores sin recurrir a sus componentes en alguna base, por ello esta versión invariante facilita el cálculo. Los operadores lineales más importantes serán representados en términos del álgebra geométrica, usando la suma y producto de multivectores.
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Ingeniero Civil Matemático
Este trabajo consiste principalmente en dos resultados matemáticos, basados en el estudio de ecuaciones dispersivas no lineales, la estabilidad de ciertas soluciones de las mismas, como así también la posible explosión en tiempo finito. En una primera parte, Capítulo 1, presentamos una breve introducción a los tópicos tratados en esta memoria. Se hace especial énfasis en la descripción de los conceptos de ecuación dispersiva, buen colocamiento, 2-solitones, estabilidad y explosión. En el Capítulo 2 probaremos que las soluciones de tipo 2-soliton de la ecuación de sine-Gordon (SG) son orbitalmente estables en el espacio de energía, el espacio natural para resolver este problema. Las soluciones que estudiamos son los 2-kink, kink-antikink y breather de SG. Con el objetivo de probar este resultado, utilizaremos las transformaciones de Bäcklund implementadas gracias al Teorema de la Función Implícita. Estas transformaciones nos permitirán reducir el problema de estabilidad para cada una de la soluciones, al caso de la solución cero. Probaremos estos resultados siguiendo el espíritu de un paper de M. A. Alejo y C. Muñoz, que trata el caso de la ecuación de Korteweg-de Vries modificada. Sin embargo, más adelante veremos que el caso de la ecuación de SG presenta varias nuevas dificultades dado el carácter vectorial de sus soluciones. Este resultado mejora los anteriores probados por M. A. Alejo et al., y entrega una primera demostración rigurosa de la estabilidad de los 2-solitones de la ecuación de SG en el espacio de energía. En el Capítulo 3 nuestro principal objetivo será estudiar nuevas propiedades de blow-up dispersivo para el sistema de Schrödinger-Korteweg-de Vries. Más precisamente, probaremos explosión para datos iniciales en H^2-(R)xH^{3/2-}(R), como consecuencia de mostrar previamente una nueva propiedad de persistencia del flujo asociado al sistema, establecida sobre ciertos espacios de Sobolev con pesos fraccionarios cuidadosamente escogidos.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos Fondecyt Regular 1150202 y CMM Conicyt PIA AFB170001

Vincularemos Matemática y Ecología usando un sistema no lineal parabólico fuertemente acoplado el cual se presenta en din amicas poblacionales. Aquí demostramos la existencia de soluciones clásicas globales cuando la dimensión del espacio es n < 10. Con ciertas condiciones en los coeficientes de las funciones de reacción, la convergencia de soluciones es establecida por el sistema mediante una función de Liapunov. -- PALABRAS CLAVES: DIFUSION CRUZADA, ESPACIOS DE BANACH, ESPACIOS DE HOLDER, ESPACIOS DE SOBOLEV ESTIMATIVAS
-- We vinculate Mathematics and Ecology using a nonlinear parabolic strong coupled system which is presented in population dynamics. Here we demostrate the existence of classical global solutions when the space dimension is n < 10. Under certain conditions on the coe cients of the reaction functions, the convergence of solutions is established for the system with large di usion by constructing a Liapunov function. -- KEY WORDS: CROSS DIFFUSION, BANACH SPACES, HOLDER SPACES SOBOLEV SPACES, ESTIMATES
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Apuntes  para un curso dictado en Perú, contienen dos partes bien definidas. La Primera: Breve introducción a la teoría general de ecuaciones diferenciales incluyendo los teoremas de existencia y unicidad de soluciones, diferenciabilidad con respecto a condiciones iniciales y algunos otros resultados importantes;  La Segunda: Introducción a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales o Sistemas Dinámicos. Se  dan algunos conceptos fundamentales para describir las propiedades dinámicas de un sistema y se exponen algunos resultados fundamentales.

Estudia la existencia y unicidad de la solución débil para una ecuación de evolución de segundo orden, presentados en dos casos, semi lineal y lineal, obteniendo regularización de la solución débil para el caso semi lineal y la dependencia continua sobre los datos iniciales para el caso lineal. Para se utiliza el método de Faedo-Galerkin y la igualdad de la Energía, esta última está basada del libro Problemas Aux Limites non Homogéneas et Applications, volumen 1, de Lions J. y Magenes E. Finalmente, se abordan algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales parciales.
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Vincularemos Matemática y Ecología usando un sistema no lineal parabólico fuertemente acoplado el cual se presenta en din amicas poblacionales. Aquí demostramos la existencia de soluciones clásicas globales cuando la dimensión del espacio es n < 10. Con ciertas condiciones en los coeficientes de las funciones de reacción, la convergencia de soluciones es establecida por el sistema mediante una función de Liapunov. -- PALABRAS CLAVES: DIFUSION CRUZADA, ESPACIOS DE BANACH, ESPACIOS DE HOLDER, ESPACIOS DE SOBOLEV ESTIMATIVAS
-- We vinculate Mathematics and Ecology using a nonlinear parabolic strong coupled system which is presented in population dynamics. Here we demostrate the existence of classical global solutions when the space dimension is n < 10. Under certain conditions on the coe cients of the reaction functions, the convergence of solutions is established for the system with large di usion by constructing a Liapunov function. -- KEY WORDS: CROSS DIFFUSION, BANACH SPACES, HOLDER SPACES SOBOLEV SPACES, ESTIMATES
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El teorema de Grobman-Hartman señala que el comportamiento cualitativo de un sistema dinámico en una vecindad alrededor de un punto fijo hiperbólico cualitativamente tiene el mismo comportamiento de su linealización cerca de un punto equilibrio, y más generalmente de una sucesión de pequeñas perturbaciones de transformaciones lineales lipschitziana hiperbólicas. Se sabe que, no siempre para esos tipos de aplicaciones existen conjugaciones diferenciables, al menos que estén sobre una superficie o no exista resonancia. Sin embargo, para poder distinguir por ejemplo diferentes tipos de nodos se tendría que saber si la conjugación puede tener mayor regularidad. Por ello, el principal objetivo es presentar una prueba de la regularidad Cα, de las conjugaciones. Es decir, mostrar que la conjugación en el teorema de Grobman-Hartman es siempre Hölder continua y tiene su inversa Hölder continua.
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Se desarrolla el método de elementos finitos para resolver un problema parabólico no lineal como es el caso de la ecuación de Fisher-Kolmogorov unidimensional, la cual es una clase importante de ecuaciones de reacción-difusión. Primero se parte de la aplicación del método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial lineal sujeta a condiciones de frontera, posteriormente se desarrolla el método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial no lineal con condiciones de frontera. Finalmente se resuelve por el método de elementos finitos, la ecuación de Fisher-Kolmogorov sujeta a condición inicial y de frontera, cuyos resultados numéricos son mostrados en las gráficas obtenidas en MATLAB.
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La primera parte de la presente memoria busca encontrar la sucesi´on completa de valores propios asociados a funciones propias con simetr´ıa radial para el problema H(u00, u0, x) + hb(x), |ru| rui + c(x)|u| u = − |u| u en BR(0), u = 0 en @BR(0), donde H es un operador el´ıptico ( + 1)-homog´eneo y H, b y c presentan simetr´ıa radial. Para el caso unidimensional la elipticidad permite reformular este problema como un problema cuasilineal del tipo ( + 2)-Laplaciano. Esta reformulaci´on permite usar argumentos de ecuaciones diferenciales ordinarias para encontrar el primer valor propio en un intervalo. Posteriormente un argumento tipo Nehari, basado en teor´ıa del grado, posibilita localizar los k ceros de la k-´esima funci´on propia, construida al tomar la primera funci´on propia entre dos ceros consecutivos. Esta operaci´on puede hacerse un´ıvocamente gracias a un principio del m´aximo ad hoc. Finalmente, cotas apropiadas para las soluciones en dimensiones mayores permiten emplear los mismos argumentos del caso unidimensional. La segunda parte est´a enfocada a resolver una ecuaci´on con no linealidad no Lipschitziana y un operador integral: (− ) u = up − uq en RN, l´ım |x|!1 u(x) = 0, donde u > 0, 2 (0, 1), 0 < q < 1 < p < N+2 N−2 y N 3. Una t´ecnica basada en el principio variacional de Ekeland y el teorema del paso de la monta˜na permite demostrar la existencia de soluciones d´ebiles en H (RN)\Lq+1(RN). Mediante una iteraci´on basada en la teor´ıa Lp, el uso del n´ucleo de Bessel (al sumar u a ambos lados de la ecuaci´on) y un argumento de localizaci´on de Silvestre se prueba la regularidad de las soluciones en H (RN); en particular, que (− ) u puede evaluarse en cada punto de RN. El uso de subsoluciones y supersoluciones apropiadas permite encontrar la tasa de decaimiento de las soluciones cl´asicas del problema. Finalmente, empleando un resultado de simetr´ıa de Terracini para un problema con condici´on de borde Neumann en el semiespacio, junto al trabajo de Caffarelli y Silvestre, se muestra la simetr´ıa radial de las soluciones del problema.

El objetivo de esta memoria es el estudio de propiedades para una clase de operadores totalmente no lineales, modelados por el p-laplaciano. La ecuaci´on asociada que se analiza es F(∇u, D2u + b(x) · ∇u |∇(u(x))|α + c(x)u |u|α = f en Ω donde α > −1, Ω ⊆ R n es un dominio acotado, b y c son funciones continuas y acotadas, f ∈ L n (Ω), F : (R n \ {0} × S(n)) → R es continua. Además, para toda matriz simétrica X, F satisface una condición de homogeneidad F (tp, µX) =|t| α µF (p, X), ∀t ∈ R \ {0}, µ ∈ R + y cotas |p| α M− (X) ≤ F (p, X) ≤ |p| α M+ (X). Aquí M− y M+ son los operadores extremales de Pucci. Este tipo de operadores ya ha sido estudiado por Birindelli y Demengel y se conocen resultados de comparación, existencia para el problema de Dirichlet y existencia del primer valor propio. El marco teórico utilizado por Birindelli y Demengel es el de soluciones viscosas, el cual es particularmente apropiado cuando se consideran operadores totalmente no lineales no variacionales. El primer resultado que se prueba es el principio del máximo de AlexandroffBakelman-Pucci, siguiendo las técnicas utilizadas por Cafarelli, Crandall, Kocan y Swiech . A continuación, se prueba la desigualdad de Harnack en el caso α ∈ (−1, 0). Este resultado entrega regularidad interior de las soluciones. Inspirados por Esteban, Felmer y Quaas y a la compacidad obtenida en esta memoria se procede al estudio de existencia de soluciones globales y explosión en la frontera, para una ecuación superlineal asociada.

Estudia un sistema hiperbólico no lineal con un término discontinuo multivaluado y con término de amortiguamiento no lineal de segundo orden sobre la frontera, respecto a la existencia de solución generalizada y el comportamiento asintótico exponencial de su energía asociada al sistema dado por una ecuación específica. Se ha trabajado con la técnica dada por una consecuencia del Lema de Nakao, aplicada a energías definidas sobre subespacios finitamente generado, para luego, pasando al límite, obtener el decaimiento tanto, exponencial como polinomial. Se han tenido muchos cuidados con las estimativas de la energía tanto a derecha como a izquierda. Estas aproximaciones por energía definidas en subespacios finitamente generado pueden ser aplicables a otros problemas de E.D.P. Los problemas con inclusión diferencial generalmente se presentan en la teoría de decisiones y en la física, en especial en mecánica de sólidos.
Tesis

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden [23/03/2010] -- Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden [23/03/2010] -- Ecuaciones diferenciales de primer orden: clasificación [25/03/2010].

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática
Esta tesis doctoral está dividida en cuatro partes. La primera parte está dedicada al estudio de la simetría radial y las propiedades de monotonicidad de soluciones positivas de ecuaciones elípticas fraccionarias en la bola unitaria o en todo el espacio, usando el método de planos móviles. En la segunda parte, se consideran propiedades de decaimiento y simetría de las soluciones positivas para ecuaciones integro-diferenciales en todo el espacio. Estudiamos el decaimiento, construyendo super y subsoluciones apropiadas y usamos el método de los planos móviles para probar las propiedades de simetría. La tercera parte es investigar la existencia y unicidad de soluciones débiles de la ecuación del calor fraccionaria, involucrando medidas de Radon. Más aún, analizamos el comportamiento asintótico de la solución débil cuando la medida de Radon es la masa de Dirac. En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones a problemas elípticos no lineales que provienen del modelamiento de dispositivos de sistemas micro-electromecánicos en el caso en que la membrana elástica entra en contacto con la placa inferior en la frontera. Mostramos, en este caso, como el decaimiento de la membrana afecta la existencia de soluciones y la tensión pull-in.

En el ICM (Intemational Congress of Mathematicians) de 1900, Hilbert presenta 23 problemas que establecieron el curso de gran parte de las investigaciones matemáticas del siglo XX. El 21° problema es la existencia de ecuaciones diferenciales lineales, con un grupo de monodromía y singularidades prescritas. Este artículo trata este problema sobre superficies de Riemann no compactas.

Magíster en Ciencias, Mención Física
Esta tesis está enfocada en el estudio de singularidades de fase en el contexto de auto organización en sistemas fuera del equilibrio. Nuestra investigación estuvo focalizada en comprender el surgimiento de vórtices en una válvula de cristal líquido nemático (LCLV por sus siglas en inglés) con anclaje homeotrópico iluminada con un haz gaussiano. Este sistema físico permite la creación de vórtices ópticos que son auto-inducidos y que tienen auto-alineamiento, así como la inducción de vórtices positivos en el cristal líquido. En el primer capítulo se derivó desde principios fundamentales una ecuación que modela este sistema. Inicialmente se analizó el campo eléctrico aplicado y luego se derivó una ecuación de amplitud. Esta ecuación corresponde a una generalización de la ecuación de Ginzburg- Landau con un término anisotrópico y forzamiento espacial. En el segundo capítulo la ecuación anisotrópica de Ginzburg-Landau fue estudiada, caracterizando la solución tipo vórtice. Dos tipos de vórtices positivos fueron identificados. Se calculó la energía de estas soluciones y se mostró cómo intercambian estabilidad a través de una bifurcación transcrítica degenerada dependiente del parámetro anisotrópico. Se caracterizó el vórtice negativo perturbativamente y se calculó su energía numéricamente. En el tercer capítulo se realizó un análisis numérico de la ecuación anisotrópica forzada de Ginzburg-Landau. Se mostró cómo el forzamiento induce un sólo vórtice positivo en el centro del voltaje aplicado, lo que nos permitió comprender las observaciones experimentales.Este mecanismo de anclaje nos permitió concebir la posibilidad de crear redes programables de vórtices con una configuración espacial arbitraria. Esto fue experimentalmente confirmado usando una adecuada configuración de la LCLV. Posteriormente, se adaptó nuestra ecuación para considerar diferentes rayos de luz, lo que mostró numéricamente redes de vórtices en concordancia con las observaciones experimentales. En el último capítulo se estudió la dinámica de dislocaciones en un patrón anisotrópico. Se derivó una ecuación de amplitud enmendada para la ecuación anisotrópica de Swift-Hohenberg. En esta ecuación de amplitud, las dislocaciones aparecen como vórtices cuya dinámica fue caracterizada, permitiendo predecir la existencia de pares de dislocaciones estacionarios, lo que fue confirmado numéricamente. Los resultados obtenidos en esta tesis muestran que las singularidades de fase son un fenómeno omnipresente en la naturaleza, que pueden ser descritas en una manera unificada mediante ecuaciones de amplitud. A su vez, estas ecuaciones pueden relacionarse con el contexto físico específico, cerca de sus puntos críticos.

It is well known the important role that difference equations play in several problems of the engineering or of the science. However, whereas the expression of the solutions when the coefficients of the equations are constant is widely known, the same does not happen for variable coefficients, except for the simplest case of first order equations. This work presents an analysis of the second order linear difference equations equations in the infinite, semi-infinite and finite cases. Moreover, for second order difference equations in the finite case, we study its associated boundary value problem. Our goal is to develop techniques which are analogous to those used in the analysis of the differential equations, and for the finite case, those used for boundary value problems. Although our techniques, with appropriate modifications, are also in accordance with the complex case, in this work we mainly deal the real case, i.e. the case in which all functions involved take values ​​in the field of real numbers. We study first the case of constant coefficients, showing initially the known results about second order linear diffrence equations with constant coefficients, to finish describing the multiple relationships of these equations with Chebyshev polynomials. These relationships allow us to calculate their solutions more directly and simply, without imposing conditions on the coefficients values of the equation . Another advantage of solving equations with constant coefficients using their relationship with Chebyshev polynomials is that you can extend the same approach to equations with variable coefficients and express as well their solutions in terms of functions with two arguments that we named Chebyshev functions. In this way, we get a closed formula to obtain the solutions for second order linear difference equations with variable coefficients. Given the close relationship between second order difference equations in the finite case and the inverse of tridiagonal matrices, in the last chapter we present the application of the above results to determine the invertibility of those matrices and, in that case, explicitly get its inverse.
Las ecuaciones en diferencias juegan un importante papel en variados problemas científicos y de ingeniería. Sin embargo, mientras que la expresión de las soluciones cuando los coeficientes de las ecuaciones son constantes es ampliamente conocida, no ocurre lo mismo para coeficientes variables, excepto en el caso mas simple de las ecuaciones de primer orden. En este trabajo presentamos un estudio de las ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden, en los casos infinito, semi-infinito y finito. También, para las ecuaciones en diferencias de segundo orden en el caso finito, estudiamos los problemas de contorno asociados. Nuestro objetivo es desarrollar técnicas que sean análogas a aquéllas que se usan en el análisis de las ecuaciones diferenciales y, para el caso finito, las utilizadas en problemas de contorno. A pesar de que nuestras técnicas, con las convenientes modificaciones, también se ajustan al caso complejo, en este trabajo tratamos principalmente el caso real, es decir, el caso en el que todas las funciones involucradas toman valores en el cuerpo de los números reales. Estudiamos en primer lugar el caso de coeficientes constantes, presentando primero los resultados conocidos para acabar describiendo las múltiples relaciones de las ecuaciones en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes con los polinomios de Chebyshev. Dichas relaciones nos permiten el cálculo de sus soluciones de forma más directa y sencilla, sin necesidad de imponer condiciones sobre los valores de los coeficientes de la ecuación. Una ventaja añadida de resolver las ecuaciones con coeficientes constantes utilizando su relación con los polinomios de Chebyshev, es que se puede extender la misma estrategia a las ecuaciones con coeficientes variables, pudiendo expresar también sus soluciones en términos de las que denominamos funciónes de de Chebyshev de dos argumentos. De esta forma, conseguimos una fórmula cerrada y de cálculo directo. Dada la estrecha relación entre las ecuaciones en diferencias de segundo orden en el caso finito y la inversión de matrices tridiagonales, en el último capítulo presentamos la aplicación de los resultados antes mencionados para determinar la invertibilidad de dichas matrices y, en ese caso, obtener explícitamente su inversa.

[ES] El Comercio electrónico se ha convertido en uno de los sistemas de compra más aceptados por los consumidores debido a la facilidad que tienen los consumidores para acceder mediante Internet a una gran variedad de artículos. Conocer la dinámica de crecimiento del comercio electrónico basado en los principales factores que lo determinan, es un problema relevante para el sector del comercio electrónico. El principal objetivo de la tesis ha sido aplicar los modelos propuestos a datos reales, la formulación de los diferentes modelos ha estado condicionada por la disponibilidad de los datos y por las limitaciones computacionales a la hora de tratar la complejidad de los modelos propuestos. Los dos primeros modelos, dados en los Capítulos 1 y 2, son de naturaleza determinista, mientras que el modelo propuesto en el Capítulo 3, tiene una formulación más sencilla ya que tiene naturaleza estocástica y su tratamiento computacional es mucho más complejo. En el Capítulo 1, se construye un modelo determinístico continuo, basado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, de tipo difusión y estructurado en seis grupos de edades comprendidas entre 15 y 74 años. Cada uno de estos grupos se divide, a su vez, en dos subpoblaciones (imitadores e innovadores), dependiendo de su comportamiento como consumidores. El resultado es un modelo determinista con 31 parámetros, 13 de los cuales proceden de un modelo demográfico con población constante, y el resto de parámetros aparecen en el propio modelo difusión propuesto para describir la dinámica de la tecnología del comercio electrónico en España. A pesar de la complejidad del modelo determinista, y de los pocos datos disponibles en el Instituto Nacional de Estadística (INE) en el momento de realizar el estudio, gracias a las técnicas computacionales aplicadas, se ha realizado un ajuste del modelo que explica de forma muy aceptable la tendencia de los datos sobre la dinámica del comercio electrónico, lo que ha permitido construir predicciones para los próximos años. El estudio se ha completado con un análisis de la sensibilidad de los parámetros con el objeto de conocer cuáles son los coeficientes de difusión (vía la innovación y la imitación) que tienen una mayor influencia en los resultados de la respuesta del modelo. En el Capítulo 2 se propone un modelo discreto determinista que, debido a la complejidad de la técnica de escalado que debe realizarse para una población variable, se consideraron únicamente dos subpoblaciones entre 15 y 74 años. En este caso el modelo demográfico depende de 3 parámetros, mientras que el modelo de difusión del comercio electrónico depende de 9 parámetros adicionales. A partir de los datos disponibles en el INE, durante el periodo 2007 - 2015, se ha realizado un ajuste del modelo que permite explicar de forma adecuada la dinámica del comercio electrónico en España y realizar predicciones fiables de la tendencia de esta tecnología en los próximos años. Aunque las técnicas de ajuste de los modelos presentados en los Capítulos 1 y 2 a los datos disponibles en el INE están basadas en métodos probabilísticos (en el Capítulo 1, se aplica un tipo de muestreo, denominado Hipercubo Latino y, en el Capítulo 2, el denominado Ajuste Probabilístico),de naturaleza determinística, ya que los parámetros en ambos casos son constantes. En el Capítulo 3 se propone un modelo compartimental que divide a la población española en dos subpoblaciones, dependiendo de si usan o no el comercio electrónico, se trata por tanto de un modelo cuya formulación es mucho más sencilla que la presentada en los capítulos anteriores, pero cuyos parámetros son variables aleatorias. En este caso, el objetivo ha sido diseñar técnicas computacionales de optimización inversa para el modelo estocástico donde el ajuste consiste en determinar las distribuciones estadísticas de los parámetros del modelo que mejor explican la
[CAT] El Comerç electrònic s'ha convertit en un dels sistemes de compra més acceptats pels consumidors a causa de la facilitat que tenen els consumidors per a accedir mitjançant Internet a una gran varietat d'articles. Conéixer la dinàmica de creixement del comerç electrònic basat en els principals factors que el determinen, és un problema rellevant per al sector del comerç electrònic. El principal objectiu de la tesi ha sigut aplicar els models proposats a dades reals, la formulació dels diferents models ha estat condicionada per la disponibilitat de les dades i per les limitacions computacionals a l'hora de tractar la complexitat dels models proposats. Els dos primers models, donats en els Capítols 1 i 2, són de naturalesa determinista, mentre que el model proposat en el Capítol 3, té una formulació més senzilla ja que té naturalesa estocàstica i el seu tractament computacional és molt més complex. En el Capítol 1, es construeix un model determinístico continu, basat en un sistema d'equacions diferencials no lineals, de tipus difusió i estructurat en sis grups d'edats compreses entre 15 i 74 anys. Cadascun d'aquests grups es divideix, al seu torn, en dos subpoblaciones (imitadors i innovadors), depenent del seu comportament com a consumidors. El resultat és un model determinista amb 31 paràmetres, 13 dels quals procedeixen d'un model demogràfic amb població constant, i la resta de paràmetres apareixen en el propi model difusió proposat per a descriure la dinàmica de la tecnologia del comerç electrònic a Espanya. Malgrat la complexitat del model determinista, i de les poques dades disponibles en l'Institut Nacional d'Estadística (INE) en el moment de realitzar l'estudi, gràcies a les tècniques computacionals aplicades, s'ha realitzat un ajust del model que explica de forma molt acceptable la tendència de les dades sobre la dinàmica del comerç electrònic, la qual cosa ha permés construir prediccions per als pròxims anys. L'estudi s'ha completat amb una anàlisi de la sensibilitat dels paràmetres a fi de conéixer quins són els coeficients de difusió (via la innovació i la imitació) que tenen una major influència en els resultats de la resposta del model. En el Capítol 2 es proposa un model discret determinista que, a causa de la complexitat de la tècnica d'escalat que ha de realitzarse per a una població variable, es van considerar únicament dues subpoblaciones entre 15 i 74 anys. En aquest cas el model demogràfic depén de 3 paràmetres, mentre que el model de difusió del comerç electrònic depén de 9 paràmetres addicionals. A partir de les dades disponibles en l'INE, durant el període 2007 - 2015, s'ha realitzat un ajust del model que permet explicar de forma adequada la dinàmica del comerç electrònic a Espanya i realitzar prediccions fiables de la tendència d'aquesta tecnologia en els pròxims anys. Encara que les tècniques d'ajust dels models presentats en els Capítols 1 i 2 a les dades disponibles en l'INE estan basades en mètodes probabilístics (en el Capítol 1, s'aplica un tipus de mostreig, denominat Hipercubo Llatí i, en el Capítol 2, el denominat Ajust Probabilístic),de naturalesa determinística, ja que els paràmetres en tots dos casos són constants. En el Capítol 3 es proposa un model compartimental que divideix a la població espanyola en dues subpoblaciones, depenent de si usen o no el comerç electrònic, es tracta per tant d'un model la formulació del qual és molt més senzilla que la presentada en els capítols anteriors, però els paràmetres dels quals són variables aleatòries. En aquest cas, l'objectiu ha sigut dissenyar tècniques computacionals d'optimització inversa per al model estocàstic on l'ajust consisteix a determinar les distribucions estadístiques dels paràmetres del model que millor expliquen l'evolució estocàstica de les dades disponibles.
[EN] Electronic commerce (E-Commerce) has become one of the most accepted purchasing systems by consumers due to the ease with which consumers can access a wide variety of articles through the Internet. Knowing the growth dynamics of electronic commerce based on the main factors that determine it, is a problem of great relevance for the agents involved in the electronic commerce sector. The objective of the thesis has been to apply the proposed models to real data, the formulation of the different models has been conditioned by the availability of data, and by the computational limitations in the moment to study the complexity of the proposed models. As detailed below, the first two models, presented in Chapters 1 and 2, respectively, are deterministic in nature, while the model proposed in Chapter 3, has a simpler formulation due to it has a stochastic nature and its computational treatment is much more complex. In Chapter 1, a continuous deterministic model is constructed, based on a system of nonlinear differential equations, of diffusion type and structured in six age groups between 15 and 74 years old. Each of these groups is divided, in turn, into two subpopulations (imitators and innovators), depending on their behavior as consumers. The result is a deterministic model with 31 parameters, 13 of which come from a demographic model with a constant population, and the rest of the parameters appear in the diffusion model proposed to describe the dynamics of E-Commerce technology in Spain. Despite the complexity of the deterministic model, and the few data available in the National Institute of Statistics (INE) at the time of the study, thanks to the computational techniques applied, it has been possible to adjust the model they explain. The trend of data on the dynamics of E-Commerce is very acceptable, which has allowed us to build predictions for the coming years. The study has been completed with an analysis of the sensitivity of the parameters in order to know what are the dffusion coeffcients (via innovation and imitation) that have a greater inuence on the results of the response of the model. In Chapter 2 a discrete deterministic model is proposed due to the complexity of the scaling technique that must be performed to treat it with variable population, only two subpopulations between 15 and 74 years old were considered. The demographic model depends on 3 parameters, while the diffusion model of E-Commerce depends on 9 additional parameters. Based on the data available in the INE during the 2007 - 2015 period an adjustment was made to the model that allows us to adequately explain the dynamics of E-Commerce in Spain and to make reliable predictions of the trend of this technology in the next years. Although the adjustment techniques of the models presented in Chapters 1 and 2 to the data available in the INE are based on probabilistic methods (in Chapter 1, a type of sampling is applied, called Latin Hypercube and, in Chapter 2, the so-called Probabilistic Adjustment), the nature of the two models is purely deterministic, since the parameters in both cases are constant. In Chapter 3, a compartmental model is proposed that divides to the Spanish population in two subpopulations, depending on whether they use E-Commerce or not, it is therefore a model whose formulation is much simpler than that presented in the previous chapters, but whose parameters are random variables. The objective has been to design computational techniques of inverse optimization for the stochastic model where the adjustment does not consist in looking for the constants that best fit the model to the available data of the INE (for the period 2011 - 2016), but in determining the statistical distributions of the parameters of the model that best explain the stochastic evolution of the available data. Subsequently, once the validation of the model is carried out, stochastic predictions of the evolution of the use of E-Commerce technology in Spain.
Lombana, IC. (2019). Modelización con incertidumbre del incremento del uso del comercio electrónico en España utilizando técnicas de epidemiología matemática [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/124836
TESIS

En este trabajo de tesis se considera el problema elíptico no lineal con una condición de frontera de Dirichlet homogénea. El objetivo de este trabajo es demostrar la existencia de soluciones débiles utilizando el teorema de punto fijo de Schaefer. Además se presenta otra alternativa de solución, a través de la formulación variacional.
Perú. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Vicerrectorado de Investigación y Posgrado. Programa de Promoción de Tesis de Pregrado

El objetivo principal de esta memoria es estudiar algunos problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales mediante el uso de desigualdades de Carleman. Estas últimas son una herramienta muy útil para obtener estabilidad para el problema inverso en torno a una solución regular.

Estudia la existencia, unicidad y el comportamiento asintótico de la ecuación viscoelástica unidimensional definido sobre el intervalo [0; L]. Se presenta dos aspectos para su estudio. En la primera parte se analiza la existencia y unicidad para la ecuación viscoelástica lineal en un espacio adecuado usando la teoría de los semigrupos lineales. En la segunda parte vemos la estabilidad exponencial del C0- semigrupo de contracciones asociado al sistema viscoeslástica lineal.
Tesis

Desarrolla en forma didáctica y explícita la existencia de solución y la estabilidad asintótica, esto es, el decaimiento exponencial de la energía asociada al sistema viscoelástico no lineal con amortiguamiento fuerte. El estudio de problemas viscoelástico que se caracterizan por el término memoria que, es representado por el término integral y que tiene mucho que ver con la disipación de la ecuación. El desenvolvimiento de la teoría de viscoelasticidad se dio en primer lugar, debido al uso de materiales poliméricos en diversos campos. La investigación de las propiedades viscoelástico de los polímeros es grandemente estimulada por la importancia práctica del comportamiento mecánico en el procesamiento y utilización de cauchos, fibras plásticas, entre otros.
Tesis

Estudia la existencia de soluciones reales no nulas para un sistema de ecuaciones no lineales de la forma Au=λF(u) donde u es un vector columna en Rn, A es una matriz definida positiva de orden n×n y F es una función no lineal en Rn. Mediante el uso del Teorema Generalizado de Weierstrass se obtiene el resultado de existencia.
Tesis

The present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements. In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and the best of Finit Element Method . First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future investigation.
El presente trabajo consiste en el estudio del método numérico Galerkin Discontinuo Nodal aplicado a la ecuación de advección lineal unidimensional, el cual aproxima la solución global, particionando su dominio en elementos. En cada elemento se aproxima la solución local usando interpolación; de tal manera que la solución numérica total es una suma directa de dichas aproximaciones (polinomios). El método busca alcanzar un alto orden mediante una implementación sencilla. Este modelo es estudiado por Hesthaven y Warburton[16], con la particularidad de Fusionar lo mejor del método de Volúmenes Finitos con lo mejor del método de Elementos Finitos . Primero se revisan en detalle los principales resultados sobre los polinomios ortogonales de Jacobi; más precisamente, su fórmula de generación y otros resultados que ayudan en la implementación del método. Se estudian los conceptos de interpolación y mejor aproximación. Además, se revisan algunas nociones de interpolación de espacios de Sobolev. Segundo, se detallan aspectos teóricos del método, así como su funcionamiento. Tercero, se brinda en detalle tanto la demostración de los dos teoremas de consistencia del método (mejor aproximación e interpolación) propuestos en Canuto y Quarteroni[4] como el comportamiento del error basado en Hesthaven y Warburton [16] . Finalmente, se veri ca numéricamente, mediante el uso del lenguaje Python, el teorema de consistencia referido a interpolación, así como el comportamiento del error. Se propone una nueva cota para el consistencia (relación (4.2)) basados en los resultados numéricos, cuya demostración quedará para una futura investigación.
Tesis

Se considera el siguiente problema elíptico semilineal abstracto: Au = F u en H (∗) donde H es un espacio de Hilbert, A : D(A) ⊆ H → H es un operador lineal autoadjunto y F : H → H es un operador semilineal monótono. El objetivo es demostrar la existencia de soluciones para el problema (*). Además, se prueba la unicidad de la solución y daremos algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.
Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima). Vicerrectorado de Investigación y Posgrado
Tesis

Publicación a texto completo no autorizada por el autor
Expone que la ecuación de transporte radiativa (ETR) modela la interacción de la radiación en un medio donde existen los fenómenos de absorción, dispersión y emisión (medio participante). La ETR en dos dimensiones, es una ecuación diferencial no lineal, que no tiene una solución analítica. Por tanto ella es resuelta en forma numérica. En este trabajo se presenta el método de diferencia finitas – ordenadas discretas, que es unos de los métodos numéricos más empleados en la solución de la ETR y el método de Monte Carlo que es un método estocástico usado en la simulación de la interacción de la radiación con la materia. También se propone una solución iterativa a través del método de diferencias finitas y de una familia sistemas matriciales, que considera una malla regular para la discretización espacial y un conjunto de direcciones distribuidas en forma regular sobre el dominio angular. El método numérico propuesto es validado con resultados obtenidos de la literatura especializada. El interés de este trabajo es obtener una solución con bajo costo en tiempo computacional, que pueda ser usado en la solución de problemas inversos. Se presentan ejemplos aplicativos de la ETR donde se hacen comparaciones de los resultados con el método de diferencias finitas – ordenadas discretas, el método de Monte Carlo, y el propuesto.
Tesis

Publicación a texto completo no autorizada por el autor
El documento digital no refiere asesor
Se estudian las propiedades de las transformaciones de Fourier en L1 (Rn) y L2 (Rn) con el objetivo de resolver la ecuación de Schrödinger, la ecuación del transporte y la ecuación del calor mediante la transformada de Fourier.
Trabajo de suficiencia profesional

Diversos procesos naturales, técnicos e industriales de interés medioambiental se modelan a través de una ecuación de convección-difusión-reacción transitoria que motiva el presente trabajo y hace ver su importancia. Segundo fundamentamos en general que tiene sentido hacer los cálculos buscando la solución numérica de la ecuación de convección-difusión-reacción, pues hacemos la demostración de la existencia y unicidad de la solución. Tercero, hacemos un análisis del método de diferencias finitas con el esquema explícito e implícito aplicado a la ecuación de advección difusión, es decir afirmamos, fundamentamos y damos los intervalos de variación para los pasos del tiempo y espacio para que la solución aproximada se acerque infinitamente a la solución analítica, así como también estudiamos la estabilidad del algoritmo, los parámetros de la misma ecuación quedan determinados por el mismo problema en particular, se obtienen en forma experimental. En la región de estabilidad de la fig.(3.1) mostrado pertenece al artículo [Is], que en este trabajo esta región quedaría más afinada en el intervalo de (0,2)x(0,1) es decir mejoramos el resultado que aparece un algunos artículos. Cuarto, mostramos algunos ejemplos hechos con nuestro programa, donde vemos que si no tomamos en cuenta la región de estabilidad del método, no nos aproximamos a la solución, en el ej.1, vemos discontinuidades. en el ej.2 comparamos con un experimento hecho en un río, esto es una forma de verificar tomando en cuenta un ej. real, bueno hecho en otro país, pues para recoger las mediciones sobre un río se necesitan materiales como un espectómetro, tinta fosforecente o un marcador en este caso rodamina al 10 por ciento.
Trabajo de suficiencia profesional

La ecuación de transferencia radiativa (ETR) modela la interacción de la radiación en un medio donde existen los fenómenos de absorción, dispersión y emisión (medio participante). La ETR en una dimensión es una ecuación diferencial no lineal, que no tiene una solución analítica. Por tanto se resuelve en forma aproximada por métodos numéricos o por el método de Montecarlo. La parte espacial es discretizada por segmentos de línea y la discretización del espacio angular en forma regular. La ETR es aproximada por diferencias finitas, elementos finitos, volúmenes finitos, etc. y es resuelta en forma iterativa para un conjunto de ecuaciones generadas por la discretización del espacio angular.Existen resultados en la literatura especializada en este tema de estudio, que se compararan con los resultados obtenidos en este trabajo. Los algoritmos más empleados en la solución numérica de la ETR son las que tienen bajo tiempo computacional, rápida convergencia.
Trabajo de suficiencia profesional

Presenta el método integral de Melnikov para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias hamiltoniano, asociado a una perturbación uniparamétrica. Desarrolla un método para probar la existencia o no existencia de puntos homoclínicos transversales. Presenta como aplicación un estudio sobre la existencia y unicidad de una solución de tipo onda viajante para un modelo matemático en la combustión en un medio poroso.
Tesis

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática
Esta tesis esta dividida en seis partes. La primera parte está dedicada a probar propiedades de Hadamard y teoremas del tipo de Liouville para soluciones viscosas de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales con término gradiente \begin{equation}\label{eq06-10-13 1} \mathcal{M}^{-}(|x|,D^2u)+\sigma(|x|)|Du|+f(x,u)\leq 0,\quad \ x\in\Omega, \end{equation} donde $\Omega=\mathbb{R}^N$ o un dominio exterior, las funciones $\sigma:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f:\Omega\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ son continuas las cuales satisfacen algunas condiciones extras. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones que explotan en la frontera para ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales \begin{equation}\label{eq06-10-13 2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=h(x),\quad & x\in\Omega,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\bar\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} \ } \lim_{x\in\Omega, x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$, $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, el operador $(-\Delta)^{\alpha}$ con $\alpha\in(0,1)$ es el Laplaciano fraccionario y $h:\Omega\to\R$ es una función continua la cual satisface algunas condiciones extras. Por otra parte, analizamos la unicidad y el comportamiento asimptótico de soluciones al problema (\ref{eq06-10-13 2}). El objetivo principal de la tercera parte es investigar soluciones positivas para ecuaciones elípticas fraccionarias \begin{equation}\label{eq06-10-13 3} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=0,\quad & x\in\Omega\setminus\mathcal{C},\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta) \ } \lim_{x\in\Omega\setminus\mathcal{C}, \ x\to\mathcal{C}}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$ y $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, $\mathcal{C}\subset \Omega$ es el frontera de dominio $G$ que es $C^2$ y satisface $\bar G\subset\Omega$. Consideramos la existencia de soluciones positivas para el problema (\ref{eq06-10-13 3}). Mas aún, analizamos la unicidad, el comportamiento asimptótico y la no existencia al problema (\ref{eq06-10-13 3}). En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones débiles de (F) $ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$ el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\alpha\in(0,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g$ es una función no decreciente satisfaciendo algunas hipótesis extras. Cuando $g$ satisface una condición de integrabilidad subcrítica, probamos la existencia y unicidad de una solución débil para el problema (F) para cualquier medida. En el caso donde $\nu$ es una masa de Dirac, caracterizamos el comportamiento asimptótico de soluciones a (F). Asimismo, cuando $g(r)=|r|^{k-1}r$ con $k$ supercrítico, mostramos que una condición de absoluta continuidad de la medida con respecto a alguna capacidad de Bessel es una condición necesaria y suficiente para que (F) sea resuelta. El propósito de la quinta parte es investigar soluciones singulares débiles y fuertes de ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales. Sean $p\in(0,\frac{N}{N-2\alpha})$, $\alpha\in(0,1)$, $k>0$ y $\Omega\subset \R^N(N\geq2)$ un dominio abierto acotado $C^2$ conteniendo a $0$ y $\delta_0$ la masa de Dirac en $0$, estudiamos que la solución débil de $(E)_k$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=k\delta_0 $ en $\Omega$ la cual se desvanece en $\Omega^c$ es una solución débil singular de $(E^*)$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=0 $ en $\Omega\setminus\{0\}$ con el mismo dato externo. Por otra parte, estudiamos el límite de soluciones débiles de $(E)_k$ cuando $k\to\infty$. Para $p\in(0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$, el límite es infinito en $\Omega$. Para $p\in(1+\frac{2\alpha}N,\frac{N}{N-2\alpha})$, el límite es una solución fuertemente singular de $(E^*)$. Finalmente, en la sexta parte estudiamos la ecuación elíptica fraccionaria semilineal (E1) $(-\Delta)^\alpha u+\epsilon g(|\nabla u|)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$, el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\epsilon=\pm1$, $\alpha\in(1/2,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g:\R_+\mapsto\R_+$ es una funci\'on continua. Probamos la existencia de soluciones débiles para el problema (E1) cuando $g$ es subcrítico. Además, el comportamiento asimptótico y la unicidad de soluciones son descritas cuando $\epsilon=1$, $\nu$ es una masa de Dirac y $g(s)=s^p$ con $p\in(0,\frac)$.

En este trabajo de memoria se demostró un teorema de existencia para la ecuación de Liouville con condición de borde no lineal: El primer paso en esta demostración consiste en la aproximación del problema original usando un ansatz de la solución que explota en m puntos cuando el parámetro épsilon tiende a cero, más un término de corrección, sobre el cual se obtienen un conjunto de ecuaciones que van a caracterizar la solución del problema principal. En el capítulo 4 se analizó el operador lineal asociado a estas ecuaciones y se encontró un resultado de solubilidad al modificar la ecuación con términos aditivos de coeficientes cj, j = 1, . . . , m. A continuación se estableció la existencia de una solución al problema no lineal con la modificación aditiva y se estudió su comportamiento en función de los puntos singulares. Se demostró que la solución del problema principal, dada por el hecho de encontrar un conjunto de puntos tales que cj = 0, ∀ j, puede ser reducida al análisis de los puntos críticos de una función φm. En el capítulo final se mostró que existen al menos dos de estos puntos críticos y en consecuencia al menos dos soluciones del problema principal que explotan en m puntos.

Estudia la ecuación de Poisson, con condiciones de frontera tipo Robin, en una región anular. Demostrando resultados de existencia y unicidad de la solución débil, para dos sub-problemas, utilizando el método de formulación variacional y el Teorema de Lax-Milgram, asociado a espacios de Sobolev. En este análisis también mostramos resultados de regularidad de la solución utilizando series de Fourier y finalmente establecemos una relación entre el flujo de transferencia de calor y la temperatura externa del tubo a través de un operador lineal compacto.
Tesis

Desarrolla una breve introducción de las propiedades de las funciones periódicas y elípticas, para dar paso a la función P-weierstrass la cual es la solución de la ecuación no lineal de primer orden y de segundo grado, de vital importancia porque es el primer ejemplo no trivial de función elíptica no constante, además ella caracteriza a todas las funciones elípticas, pares, doblemente periódicas, con periodos w1 y w2. Se estudia el Teorema de la Adición de la función P-Weierstrass, la cual es importante ,porque mediante el podemos relacionar los toros complejos analíticos como variedades y las curvas elípticas de weierstrass en un proyectivo complejo.
Trabajo de suficiencia profesional

Explora la existencia de soluciones estacionarias para una ecuación de Navier–Stokes–3D en un fluido compresible e isotérmico a partir del método de aproximaciones sucesivas, siguiendo los resultados mostrados en [1]. Además se presenta un método de elementos finitos para el caso barotrópico de los gases.

Publicación a texto completo no autorizada por el autor.
Se estudia la no existencia de soluciones globales débiles para un sistema acoplado de Klein - Gordon donde Ω es un abierto acotado de R 2 con frontera regular.

Los métodos numéricos de alto orden, necesarios para la discretización espacial, son una de las áreas más activas del campo de la dinámica de fluidos computacional (CFD en sus siglas en inglés). Dentro de estos, los Métodos de Volúmenes Finitos (MVF) han encontrado difcultades en la implementación de los procesos de reconstrucción. En el presente trabajo presentamos e implementamos en Python un novedoso proceso de reconstrucción compacto de alto orden propuesto por Q. Wang [22]. La novedad yace en que el orden alto es alcanzado usando un estencil compacto; es decir, usando únicamente celdas vecinas. En este proceso se obtiene un conjunto de relaciones que sirven para obtener los coeficientes de los polinomios de reconstrucción sobre los volúmenes de control de interés preservando sus valores promedios y el de sus derivadas. Con estas relaciones obtenemos un sistema lineal sobredeterminado que al ajustarse por mínimos cuadrados resultan en un sistema tridiagonal por bloques para el caso de una ecuación de advección 1D. Para esta ecuación de advección usamos además el Análisis de Fourier para examinar los números de onda modificados por el MVF compacto. La reconstrucción incluye parámetros que son optimizados para mejorar las propiedades de dispersión/disipación. Así mismo, el análisis de estabilidad de von Neumann nos permite estimar el número CFL (Courant Friedrich Levy) máximo para dos métodos de Runge-Kutta. Finalmente, validamos tanto los órdenes de convergencia de la combinación del MVF compacto con dos esquemas de Runge-Kutta como los parámetros óptimos de los esquemas de reconstrucción.
The numerical methods of high order, necessary for spatial discretization, are one of the most active areas of the field of Computational Fluid Dynamics. Within these, Finite Volume Methods (abbreviated as MVF in spanish) have encountered difficulties in the implementation of reconstruction processes. In the present work we present a novel high order compact reconstruction process proposed by Q. Wang [22], and implemented in Python. The novelty lies in that high order is achieved using a compact stencil, that is, using only neighboring cells. In this process we obtain a set of relations that are constructed to obtain the coefficients of reconstruction polynomials on the control volumes of interest, preserving their average values and that of their derivatives. With these relations we obtain an overdetermined linear system that is adjusted by least squares resulting in a tridiagonal system by blocks in the case of a 1D advection equation. For this advection equation we also use the Fourier Analysis to examine the wave numbers modified by the compact MVF. The reconstruction includes parameters that are optimized to improve the dispersion / dissipation properties. Furthermore, the von Neumann stability analysis allows us to estimate the maximum CFL number for two Runge-Kutta methods. Finally, we validate the convergence orders of the combination of the compact MVF with two schemes of Runge-Kutta and we also validate the optimal parameters of the reconstruction schemes.
Tesis