Dissertations / Theses on the topic 'Ecuaciones No Lineales'

Ingeniero Civil Matemático
En la presente memoria se estudia la ecuación (I-\Delta)^{\alpha} u = f(x,u) en R^N, con \alpha\in(0,1). Se establece la existencia de una solución débil mediante un resultado del tipo paso de la montaña y usando las propiedades del kernel del operador (I-\Delta)^{-\alpha} se estudia la regularidad de dicha solución. Mediante un argumento de comparación junto con uno de punto fijo se determina que esta solución posee decaimiento exponencial. También se establece la existencia de infinitas soluciones cuando f(x,u)=|u|^{p-1}u utilizando las propiedades del género de Krasnoselskii y finalmente se demuestra una identidad del tipo Pohozaev con la cual se obtiene la no existencia de soluciones positivas en los casos crítico y supercrítico. Se analizan también las principales propiedades de los operadores (-\Delta)^{\alpha} y (I-\Delta)^{\alpha} junto con los núcleos asociados y su relación con el laplaciano. Finalmente se entrega una breve discusión con respecto a la ecuación (-\Delta)^{\alpha} u + u = f(x,u) en R^N y se plantea el problema de estudiar el límite cuando \alpha\to 1^-. Se discute la posible utilidad de la supersolución usada en el argumento de comparación que determina el decaimiento de la solución.

Ingeniera Civil Mecánica
En el presente trabajo se estudiará el comportamiento mecánico de roca seca tipo ígnea, la cual corresponde al 95 % de la corteza terrestre [1]. Esto con la finalidad de contribuir a estudios relacionados con la predicción de sismos y también al campo de la extracción de recursos naturales en ambientes poco favorables. El objetivo principal de este estudio es mejorar y precisar las ecuaciones constitutivas no-lineales propuestas por R.Bustamante y K.R Rajagopal que permiten modelar el comportamiento mecánico de las rocas, lo cual se logra mediante los siguientes objetivos específicos: Analizar tres modelos matemáticos aplicados a datos experimentales de ensayos de compresión sin restricción lateral, compresión con restricción lateral y compresión triaxial. Luego, se aplica error de mínimos cuadrados entre los datos experimentales utilizados y los obtenidos de manera teórica para definir la combinación de constantes que entrega el mejor ajuste de los datos teóricos a la curva experimental. Finalmente, a través del ensayo acústico se busca verificar la validez de las ecuaciones constitutivas propuestas. Para este estudio se supone en particular expresiones donde las deformaciones se tienen como funciones de los esfuerzos y la roca al ser sometida a deformaciones pequeñas presenta un comportamiento elástico no-lineal. Para este fin, inicialmente se recolectarán datos experimentales obtenidos de los ensayos en roca ya mencionados. Luego, excluyendo el ensayo acústico, a través del software Python se realizará un ajuste a las curvas características de esfuerzo y deformación, utilizando 3 modelos matemáticos que se basan en las ecuaciones constitutivas presentadas en la sección 2.2.3, aplicando error de mínimos cuadrados entre los datos teóricos y experimentales para obtener la combinación de constantes que generan el ajuste más preciso a la curva experimental. Finalmente, a través del uso de ecuaciones incrementales se busca analizar el ajuste de los datos experimentales correspondientes al ensayo acústico con las ecuaciones constitutivas determinadas anteriormente y comprobar la utilidad de éstas. Los tres modelos propuestos permiten modelar el comportamiento de las rocas, con un error relativo promedio que va desde 7,29 % a 113,0 %. Se debe mencionar que las ecuaciones constitutivas propuestas sólo pueden ser aplicadas hasta un rango de esfuerzo de 15 [MPa] a 30 [MPa]. Respecto al ensayo acústico, las curvas teóricas siguen la tendencia de la curva experimental, lo cual permite validar parcialmente las ecuaciones constitutivas propuestas.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto FONDECYT N° 1160030

En teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial.
Tesis

En este trabajo se analizó la factibilidad de alcanzar los límites de descarga de efluentes impuestos por el DSN°90/200, a través, de la evaluación de alternativas de remoción biológica de nutrientes que permitan cumplir con los requerimientos de calidad y/o conlleven optimizar el funcionamiento de los sistemas de tratamiento de aguas servidas.

Trata sobre los operadores lineales en el álgebra geométrica Euclideana Tridimensional AG(3), que es el álgebra de Clifford en el espacio euclideano R3. El objetivo es mostrar que los operadores lineales se pueden reescribir usando el formalismo del álgebra geométrica, mejorando el tratamiento matemático tradicional. Este nuevo enfoque presenta una visión alternativa del álgebra de matrices, porque trabaja directamente con vectores sin recurrir a sus componentes en alguna base, por ello esta versión invariante facilita el cálculo. Los operadores lineales más importantes serán representados en términos del álgebra geométrica, usando la suma y producto de multivectores.
Tesis

Ingeniero Civil Matemático
Este trabajo consiste principalmente en dos resultados matemáticos, basados en el estudio de ecuaciones dispersivas no lineales, la estabilidad de ciertas soluciones de las mismas, como así también la posible explosión en tiempo finito. En una primera parte, Capítulo 1, presentamos una breve introducción a los tópicos tratados en esta memoria. Se hace especial énfasis en la descripción de los conceptos de ecuación dispersiva, buen colocamiento, 2-solitones, estabilidad y explosión. En el Capítulo 2 probaremos que las soluciones de tipo 2-soliton de la ecuación de sine-Gordon (SG) son orbitalmente estables en el espacio de energía, el espacio natural para resolver este problema. Las soluciones que estudiamos son los 2-kink, kink-antikink y breather de SG. Con el objetivo de probar este resultado, utilizaremos las transformaciones de Bäcklund implementadas gracias al Teorema de la Función Implícita. Estas transformaciones nos permitirán reducir el problema de estabilidad para cada una de la soluciones, al caso de la solución cero. Probaremos estos resultados siguiendo el espíritu de un paper de M. A. Alejo y C. Muñoz, que trata el caso de la ecuación de Korteweg-de Vries modificada. Sin embargo, más adelante veremos que el caso de la ecuación de SG presenta varias nuevas dificultades dado el carácter vectorial de sus soluciones. Este resultado mejora los anteriores probados por M. A. Alejo et al., y entrega una primera demostración rigurosa de la estabilidad de los 2-solitones de la ecuación de SG en el espacio de energía. En el Capítulo 3 nuestro principal objetivo será estudiar nuevas propiedades de blow-up dispersivo para el sistema de Schrödinger-Korteweg-de Vries. Más precisamente, probaremos explosión para datos iniciales en H^2-(R)xH^{3/2-}(R), como consecuencia de mostrar previamente una nueva propiedad de persistencia del flujo asociado al sistema, establecida sobre ciertos espacios de Sobolev con pesos fraccionarios cuidadosamente escogidos.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos Fondecyt Regular 1150202 y CMM Conicyt PIA AFB170001

Estudia ecuaciones elípticas de la forma (P) −∆u + λu = f(x, u), en Ω, u ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) es un dominio limitado o Ω = R N y f : Ω × R → R es una función continua con condiciones de crecimiento subcrítico y crítico. También estudia sistemas de ecuaciones elípticas de la forma (S)    −∆u = f(x, u, v), em Ω, −∆v = g(x, u, v), em Ω, u, v ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) , f, g : Ω × R 2 → R son funciones continuas con condiciones de crecimiento subcrítico. Encuentra soluciones definidas en H1 0 (Ω) × H1 0 (Ω), para sistemas elípticos de tipo gradiente y de tipo hamiltoniano. Para la existencia de soluciones usa Métodos Varacionales, haciendo uso especial del Teorema del Paso de Montaña.
Tesis

Estudia ecuaciones elípticas de la forma (P) −∆u + λu = f(x, u), en Ω, u ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) es un dominio limitado o Ω = R N y f : Ω × R → R es una función continua con condiciones de crecimiento subcrítico y crítico. También estudia sistemas de ecuaciones elípticas de la forma (S)    −∆u = f(x, u, v), em Ω, −∆v = g(x, u, v), em Ω, u, v ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) , f, g : Ω × R 2 → R son funciones continuas con condiciones de crecimiento subcrítico. Encuentra soluciones definidas en H1 0 (Ω) × H1 0 (Ω), para sistemas elípticos de tipo gradiente y de tipo hamiltoniano. Para la existencia de soluciones usa Métodos Varacionales, haciendo uso especial del Teorema del Paso de Montaña.
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Se desarrolla el método de elementos finitos para resolver un problema parabólico no lineal como es el caso de la ecuación de Fisher-Kolmogorov unidimensional, la cual es una clase importante de ecuaciones de reacción-difusión. Primero se parte de la aplicación del método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial lineal sujeta a condiciones de frontera, posteriormente se desarrolla el método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial no lineal con condiciones de frontera. Finalmente se resuelve por el método de elementos finitos, la ecuación de Fisher-Kolmogorov sujeta a condición inicial y de frontera, cuyos resultados numéricos son mostrados en las gráficas obtenidas en MATLAB.
Tesis

En el campo de investigación de la didáctica de las matemáticas, se sabe que los procesos de transposición didáctica juegan un rol importante al momento de elaborar un modelo epistemológico de referencia; ya que de esta manera se tiene se puede tener una visión panorámica de los distintos modelos establecidos en una determinada institución. Es en este contexto, que nuestro trabajo de investigación propone un modelo epistemológico de referencia de los sistemas de ecuaciones lineales para que estos actúen como instrumento de modelización algebraica en la educación secundaria de nuestro país, teniendo en cuenta el modelo epistemológico de referencia adoptado en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) respecto al álgebra como instrumento de modelización.
In the field of research of didactics of mathematics, it is known that didactic transposition processes play an important role when elaborating a reference epistemological model, since this way you can have a panoramic view of the different models established in a particular institution. In this context, is that our research work proposes an epistemological reference model of linear equation systems to act as an instrument of algebraic modeling in secondary education in our country, taking into account the epistemological model of reference adopted in the anthropological theory of the didactic (TAD) with respect to algebra as a modeling tool.
Tesis

Many problems in science, engineering or economy involve the search of the solution of an equation. Since ancient times, the modelling of nature problems has attracted a lot of interest, in order to predict the behaviour of a system. There are several techniques to find the solution of an equation. We are focusing in the iterative methods. From an iterative scheme we are able to know the solution of a nonlinear function, provided there exist suitable methods. In addition to the well-known Newton's and Steffensen's methods, we are implementing methods with higher order of convergence. The classification of the methods depending on their intrinsic features is giving us the chance to evaluate the goodness or the convenience of an iterative method. As in every engineering or mathematical problem, we will find a tradeoff solution. Another way to classify methods, complementary to the previous one, is the complex dynamics study. The fixed point operator associated to every iterative methods when it is applied over a nonlinear function is the seed for developing tools to characterize every scheme on the complex plane. The graphical representation of the iterative methods dynamics has occupied a broad part of the time of the current research. The dynamical plane is a powerful tool to visualize the stability of a method, the size of their basins of attraction or the suitability of some starting points to initialize the iterations. As well, for uniparametric families, the parameters plane will cooperate in the chose of the right member of the family. Dynamical planes can be interpreted as an approach to fractals. The fractal dimension is being introduced as a way to measure how intricate is the Julia set of an iterative method. Fractals belong to the borderline between the determinism and the theory of chaos. So we are transferring concepts of both issues on the fractal study. As an application of the iterative methods and the complex dynamics, we are showing the preliminary orbit determination of artificial satellites. From the position of a satellite in two different times, it is possible to guess the parameters of the ellipse described by the satellite. For this purpose, we are applying an algorithm that includes a classical resolution method. Our contribution consists in the use of our iterative methods to improve the performance of the system. The possible applications of iterative methods for finding solutions of equations are beyond orbital mechanics. The design of digital filters, the digital image processing or the characterization of radio-frequency links are some of the examples. From the previous concepts, we introduce this Doctoral Thesis for gaining the title of Philosophae Doctor in Mathematics. First chapters contextualize the involved topics, while the following ones present the papers published in international scientific journals as the fruit of the research.
Numerosos problemas de la ciencia, la ingeniería o la economía requieren de la búsqueda de soluciones de una ecuación. Desde tiempos remotos se ha tratado de modelizar problemas presentes en la naturaleza con expresiones que, al fin y al cabo, permitan conocer a priori cómo se va a comportar un sistema. Entre las técnicas utilizadas para dicha búsqueda de soluciones encontramos los métodos iterativos. Iterar a partir de una serie de expresiones nos va a permitir conocer la solución de una función no lineal a partir de esquemas adecuados para ello. Además de los conocidos métodos de Newton y Steffensen, se van a implementar métodos con mayor orden de convergencia. Clasificar los métodos iterativos en función de sus características intrínsecas nos va a permitir valorar la bondad o la conveniencia del uso de un método iterativo u otro. Como en todos los problemas de ingeniería y matemáticas, tendremos que obtener una solución de compromiso. Otra de las caracterizaciones existentes, complementaria a la anterior, es el estudio de la dinámica compleja. El operador de punto fijo asociado a cada uno de los métodos iterativos cuando se aplica sobre una función no lineal va a permitir que caractericemos cada uno de los esquemas en el plano complejo. Buena parte del trabajo desarrollado se ha centrado en la representación gráfica de la dinámica de los métodos iterativos. El plano dinámico es una herramienta que nos permite visualizar la estabilidad de un método, el tamaño de sus cuencas de convergencia o la idoneidad de determinados puntos iniciales para comenzar a iterar. Asimismo, para familias de métodos uniparamétricas, el plano de parámetros va a colaborar en la elección del miembro de la familia más adecuado. Interpretando los planos dinámicos como una aproximación a los fractales, presentaremos la dimensión fractal como un factor de medida de lo intrincado que puede resultar el conjunto de Julia asociado a un método iterativo. Los fractales pertenecen a la frontera entre el determinismo y la teoría del caos, de forma que podremos transferir conceptos de ambas disciplinas sobre el estudio fractal. Mostraremos como aplicación de los métodos iterativos y la dinámica compleja la determinación de órbitas preliminares de satélites artificiales. A partir de la posición de un satélite en dos instantes diferentes, es posible determinar los parámetros de la elipse que describe. Para ello, utilizaremos un algoritmo en el que se incluye un método clásico de resolución para, a continuación, mejorar sus prestaciones con nuestras propuestas de métodos iterativos. Basándonos en la búsqueda de soluciones y en los métodos iterativos como técnica de obtención de soluciones, las aplicaciones abarcan campos más allá de la mecánica orbital. El diseño de filtros digitales, el procesado digital de imágenes o la caracterización de enlaces de radiofrecuencia son algunos de los ejemplos de aplicación. A partir de los conceptos anteriores, presentamos esta Tesis Doctoral para la obtención del título de Doctor en Matemáticas, contextualizando la temática en los primeros capítulos para, a continuación, presentar las publicaciones en revistas internacionales como fruto de la investigación.
Nombrosos problemes de la ciència, la ingenieria o l'economia requereixen de la cerca de solucions d'una ecuació. Des de temps llunyans s'ha tractat de modelitzar problemes presents a la natura amb expressions que, al cap i a la fi, permeten conèixer a priori el comportament d'un sistema. Entre les tècniques emprades per tal cerca de solucions trobem els mètodes iteratius. Iterar a partir d'una sèrie d'expressions ens permetrà conèixer la solució d'una funció no lineal a partir d'esquemes adequats. A més dels coneguts mètodes de Newton i Steffensen, s'implementaran mètodes amb major ordre de convergència. Classificar els mètodes iteratius en funció de les seues característiques intrínseques ens permetrà avaluar la bondat o la conveniència de l'ús d'un mètode iteratiu o d'un altre. Com a la majoria de problemes d'ingenieria i matemàtiques, haurem de trobar una solució de compromís. Altra de les caracteritzacions existents, complementària a l'anterior, és l'estudi de la dinàmica complexa. L'operador de punt fix associat a cadascun dels mètodes iteratius quan s'aplica sobre una funció no lineal permetrà la caracterització de cada esquema al pla complex. Bona part del treball desenvolupat s'ha centrat en la representació gràfica de la dinàmica dels mètodes iteratius. El pla dinàmic es una eina que ens permet visualitzar l'estabilitat d'un mètode, la mida de les seues conques de convergència o la idoneïtat de determinats punts inicials per a començar a iterar. Així mateix, per a famílies de mètodes uniparamètriques, el pla de paràmetres col·laborarà en l'elecció del membre de la família més adequat. Interpretant els plànols dinàmics com una aproximació als fractals, presentarem la dimensió fractal com un factor per a mesurar quant d'intrincat es troba el conjunt de Julia associat a un mètode iteratiu. Els fractals pertanyen a la frontera entre el determinisme i la teoria del caos, de manera que podrem transferir conceptes d'ambdues disciplines sobre l'estudi fractal. Mostrarem com aplicació dels mètodes iteratius i la dinàmica complexa la determinació d'òrbites preliminars de satèl·lits artificials. A partir de la posició d'un satèl·lit en dos instants diferents, és possible determinar els paràmetres de l'el·lipse que descriu. Per això, utilitzarem un algoritme en el qual s'inclou un mètode clàssic de resolució per, a continuació, millorar les seues prestacions amb les nostres propostes de mètodes iteratius. Basant-nos en la cerca de solucions i en els mètodes iteratius com a tècnica d'obtenció de solucions, les aplicacions abasten camps més enllà de la mecànica orbital. El disseny de filtres digitals, el processament digital d'imatges o la caracterització d'enllaços de radiofrequència son alguns dels exemples d'aplicació. A partir dels conceptes anteriors, presentem aquesta Tesi Doctoral per a l'obtenció del títol de Doctor en Matemàtiques, contextualitzant la temàtica als primers capítols per, a continuació, presentar les publicacions en revistes internacionals com a fruit de la investigació.
Chicharro López, FI. (2017). ANÁLISIS DINÁMICO Y APLICACIONES DE MÉTODOS ITERATIVOS DE RESOLUCIÓN ECUACIONES NO LINEALES [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/83582
TESIS

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas
Memoria para optar al título de Ingeniera Civil Matemática
Consideramos un volumen $V\subset \R^3$ generado al rotar alrededor del eje $Z$ un dominio $\Omega \subset \R^2$ acotado y suave que vive en el plano $XZ$. En este trabajo se construye una solución del flujo de mapa armónico del volumen $V$ a la esfera $S^2$ que revienta en tiempo finito, el problema es \begin{eqnarray*} v_t &=& \Delta v + |\nabla v |^2 v \text{ in } V \times (0,T)\\ v &=& v_{\partial V} \text{ in } \partial V \times (0,T)\\ v(\cdot , 0) &=&v_0 \text{ in } V, \end{eqnarray*} donde $v: V \times [0,T) \to S^2$, $v_0 : \overline{V} \to S^2$ es suave y $v_{\partial V}=\left. v_0\right|_{\partial V} : \partial V \to S^2$. Dado un punto $q \in \Omega$ de define la circunferencia $c(q)$ generada al rotar el punto $q$ alrededor del eje Z. Se encuentran datos iniciales y de frontera tales que la solución $v$ revienta exactamente en la curva $c(q)$ en un tiempo finito pequeño. La construcción de la solución se hace reduciendo el problema a 2 dimensiones y usando el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} que transforma el problema en un sistema de \textit{inner-outer gluing} que separa el efecto principal de la ecuación cerca y lejos de la singularidad. Se obtiene una solución cuyo orden principal cerca de la singularidad tiene el perfil de un mapa armónico 1-corrotacional escalado. En la introducción se recuerdan la ecuación de flujo de mapa armónico y su origen, se establece el problema y la reducción a 2 dimensiones. En el primer capítulo se enuncian resultados útiles de topología y análisis funcional, y propiedades probadas en \cite{dav} para los mapas armónicos 1-corrotacionales y el operador linealizado en torno a ellos. En el segundo capítulo se obtiene un ansatz de la solución y se usa el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} para reducir el problema a resolver un sistema de \textit{inner-outer gluing} que después se resuelve usando punto fijo. En el capítulo cuatro se obtienen las hipótesis para el punto fijo mediante estimaciones a priori obtenidas dividiendo el sistema en tres problemas principales: el problema interior, el problema exterior y el problema de los parámetros. En la parte final se concluye con algunas observaciones sobre este trabajo y posibles trabajos futuros en torno a el.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt 1150066 y el Centro de Modelamiento Matemático, Proyecto Basal PFB 03
Fondecyt 1150066 y CMM - Conicyt PIA AFB170001

Publicación a texto completo no autorizada por el autor
Presenta un estudio de ciertas ecuaciones diferenciales lineales sobre espacios de Hilbert. Estas ecuaciones son sistemas dinámicos lineales en dimesión infinita descritas por z(t) = Az(t) + Bu(t), donde A es el generador infinitesimalo de un semigrupo T, B es un operador no acotado y u es una función de entrada. Prueba la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial anterior y continua investigando las propiedades que hacen de B un operador de control admisible para el semigrupo T. Se obtiene bajo la admisibilidad del operador B una mejor localización de la solución y luego, con hipótesis débiles sobre la función de entrada u, se obtiene un resultado de regularidad de la solución.
Tesis

It is well known the important role that difference equations play in several problems of the engineering or of the science. However, whereas the expression of the solutions when the coefficients of the equations are constant is widely known, the same does not happen for variable coefficients, except for the simplest case of first order equations. This work presents an analysis of the second order linear difference equations equations in the infinite, semi-infinite and finite cases. Moreover, for second order difference equations in the finite case, we study its associated boundary value problem. Our goal is to develop techniques which are analogous to those used in the analysis of the differential equations, and for the finite case, those used for boundary value problems. Although our techniques, with appropriate modifications, are also in accordance with the complex case, in this work we mainly deal the real case, i.e. the case in which all functions involved take values ​​in the field of real numbers. We study first the case of constant coefficients, showing initially the known results about second order linear diffrence equations with constant coefficients, to finish describing the multiple relationships of these equations with Chebyshev polynomials. These relationships allow us to calculate their solutions more directly and simply, without imposing conditions on the coefficients values of the equation . Another advantage of solving equations with constant coefficients using their relationship with Chebyshev polynomials is that you can extend the same approach to equations with variable coefficients and express as well their solutions in terms of functions with two arguments that we named Chebyshev functions. In this way, we get a closed formula to obtain the solutions for second order linear difference equations with variable coefficients. Given the close relationship between second order difference equations in the finite case and the inverse of tridiagonal matrices, in the last chapter we present the application of the above results to determine the invertibility of those matrices and, in that case, explicitly get its inverse.
Las ecuaciones en diferencias juegan un importante papel en variados problemas científicos y de ingeniería. Sin embargo, mientras que la expresión de las soluciones cuando los coeficientes de las ecuaciones son constantes es ampliamente conocida, no ocurre lo mismo para coeficientes variables, excepto en el caso mas simple de las ecuaciones de primer orden. En este trabajo presentamos un estudio de las ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden, en los casos infinito, semi-infinito y finito. También, para las ecuaciones en diferencias de segundo orden en el caso finito, estudiamos los problemas de contorno asociados. Nuestro objetivo es desarrollar técnicas que sean análogas a aquéllas que se usan en el análisis de las ecuaciones diferenciales y, para el caso finito, las utilizadas en problemas de contorno. A pesar de que nuestras técnicas, con las convenientes modificaciones, también se ajustan al caso complejo, en este trabajo tratamos principalmente el caso real, es decir, el caso en el que todas las funciones involucradas toman valores en el cuerpo de los números reales. Estudiamos en primer lugar el caso de coeficientes constantes, presentando primero los resultados conocidos para acabar describiendo las múltiples relaciones de las ecuaciones en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes con los polinomios de Chebyshev. Dichas relaciones nos permiten el cálculo de sus soluciones de forma más directa y sencilla, sin necesidad de imponer condiciones sobre los valores de los coeficientes de la ecuación. Una ventaja añadida de resolver las ecuaciones con coeficientes constantes utilizando su relación con los polinomios de Chebyshev, es que se puede extender la misma estrategia a las ecuaciones con coeficientes variables, pudiendo expresar también sus soluciones en términos de las que denominamos funciónes de de Chebyshev de dos argumentos. De esta forma, conseguimos una fórmula cerrada y de cálculo directo. Dada la estrecha relación entre las ecuaciones en diferencias de segundo orden en el caso finito y la inversión de matrices tridiagonales, en el último capítulo presentamos la aplicación de los resultados antes mencionados para determinar la invertibilidad de dichas matrices y, en ese caso, obtener explícitamente su inversa.

El objetivo de esta memoria es el estudio de propiedades para una clase de operadores totalmente no lineales, modelados por el p-laplaciano. La ecuaci´on asociada que se analiza es F(∇u, D2u + b(x) · ∇u |∇(u(x))|α + c(x)u |u|α = f en Ω donde α > −1, Ω ⊆ R n es un dominio acotado, b y c son funciones continuas y acotadas, f ∈ L n (Ω), F : (R n \ {0} × S(n)) → R es continua. Además, para toda matriz simétrica X, F satisface una condición de homogeneidad F (tp, µX) =|t| α µF (p, X), ∀t ∈ R \ {0}, µ ∈ R + y cotas |p| α M− (X) ≤ F (p, X) ≤ |p| α M+ (X). Aquí M− y M+ son los operadores extremales de Pucci. Este tipo de operadores ya ha sido estudiado por Birindelli y Demengel y se conocen resultados de comparación, existencia para el problema de Dirichlet y existencia del primer valor propio. El marco teórico utilizado por Birindelli y Demengel es el de soluciones viscosas, el cual es particularmente apropiado cuando se consideran operadores totalmente no lineales no variacionales. El primer resultado que se prueba es el principio del máximo de AlexandroffBakelman-Pucci, siguiendo las técnicas utilizadas por Cafarelli, Crandall, Kocan y Swiech . A continuación, se prueba la desigualdad de Harnack en el caso α ∈ (−1, 0). Este resultado entrega regularidad interior de las soluciones. Inspirados por Esteban, Felmer y Quaas y a la compacidad obtenida en esta memoria se procede al estudio de existencia de soluciones globales y explosión en la frontera, para una ecuación superlineal asociada.

Estudia la existencia y unicidad de la solución débil para una ecuación de evolución de segundo orden, presentados en dos casos, semi lineal y lineal, obteniendo regularización de la solución débil para el caso semi lineal y la dependencia continua sobre los datos iniciales para el caso lineal. Para se utiliza el método de Faedo-Galerkin y la igualdad de la Energía, esta última está basada del libro Problemas Aux Limites non Homogéneas et Applications, volumen 1, de Lions J. y Magenes E. Finalmente, se abordan algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales parciales.
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El objetivo de este trabajo consiste en estudiar el comportamiento asintótico de las soluciones de un sistema dispersivo no lineal de tipo Benjamin-Bona- Mahony cuando t se aproxima al infinito.
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Vincularemos Matemática y Ecología usando un sistema no lineal parabólico fuertemente acoplado el cual se presenta en din amicas poblacionales. Aquí demostramos la existencia de soluciones clásicas globales cuando la dimensión del espacio es n < 10. Con ciertas condiciones en los coeficientes de las funciones de reacción, la convergencia de soluciones es establecida por el sistema mediante una función de Liapunov. -- PALABRAS CLAVES: DIFUSION CRUZADA, ESPACIOS DE BANACH, ESPACIOS DE HOLDER, ESPACIOS DE SOBOLEV ESTIMATIVAS
-- We vinculate Mathematics and Ecology using a nonlinear parabolic strong coupled system which is presented in population dynamics. Here we demostrate the existence of classical global solutions when the space dimension is n < 10. Under certain conditions on the coe cients of the reaction functions, the convergence of solutions is established for the system with large di usion by constructing a Liapunov function. -- KEY WORDS: CROSS DIFFUSION, BANACH SPACES, HOLDER SPACES SOBOLEV SPACES, ESTIMATES
Tesis

La primera parte de la presente memoria busca encontrar la sucesi´on completa de valores propios asociados a funciones propias con simetr´ıa radial para el problema H(u00, u0, x) + hb(x), |ru| rui + c(x)|u| u = − |u| u en BR(0), u = 0 en @BR(0), donde H es un operador el´ıptico ( + 1)-homog´eneo y H, b y c presentan simetr´ıa radial. Para el caso unidimensional la elipticidad permite reformular este problema como un problema cuasilineal del tipo ( + 2)-Laplaciano. Esta reformulaci´on permite usar argumentos de ecuaciones diferenciales ordinarias para encontrar el primer valor propio en un intervalo. Posteriormente un argumento tipo Nehari, basado en teor´ıa del grado, posibilita localizar los k ceros de la k-´esima funci´on propia, construida al tomar la primera funci´on propia entre dos ceros consecutivos. Esta operaci´on puede hacerse un´ıvocamente gracias a un principio del m´aximo ad hoc. Finalmente, cotas apropiadas para las soluciones en dimensiones mayores permiten emplear los mismos argumentos del caso unidimensional. La segunda parte est´a enfocada a resolver una ecuaci´on con no linealidad no Lipschitziana y un operador integral: (− ) u = up − uq en RN, l´ım |x|!1 u(x) = 0, donde u > 0, 2 (0, 1), 0 < q < 1 < p < N+2 N−2 y N 3. Una t´ecnica basada en el principio variacional de Ekeland y el teorema del paso de la monta˜na permite demostrar la existencia de soluciones d´ebiles en H (RN)\Lq+1(RN). Mediante una iteraci´on basada en la teor´ıa Lp, el uso del n´ucleo de Bessel (al sumar u a ambos lados de la ecuaci´on) y un argumento de localizaci´on de Silvestre se prueba la regularidad de las soluciones en H (RN); en particular, que (− ) u puede evaluarse en cada punto de RN. El uso de subsoluciones y supersoluciones apropiadas permite encontrar la tasa de decaimiento de las soluciones cl´asicas del problema. Finalmente, empleando un resultado de simetr´ıa de Terracini para un problema con condici´on de borde Neumann en el semiespacio, junto al trabajo de Caffarelli y Silvestre, se muestra la simetr´ıa radial de las soluciones del problema.

Estudia un sistema hiperbólico no lineal con un término discontinuo multivaluado y con término de amortiguamiento no lineal de segundo orden sobre la frontera, respecto a la existencia de solución generalizada y el comportamiento asintótico exponencial de su energía asociada al sistema dado por una ecuación específica. Se ha trabajado con la técnica dada por una consecuencia del Lema de Nakao, aplicada a energías definidas sobre subespacios finitamente generado, para luego, pasando al límite, obtener el decaimiento tanto, exponencial como polinomial. Se han tenido muchos cuidados con las estimativas de la energía tanto a derecha como a izquierda. Estas aproximaciones por energía definidas en subespacios finitamente generado pueden ser aplicables a otros problemas de E.D.P. Los problemas con inclusión diferencial generalmente se presentan en la teoría de decisiones y en la física, en especial en mecánica de sólidos.
Tesis

La presente investigación tiene como propósito identificar los conocimientos especializados que tienen dos profesores sobre los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) en un curso de Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería. Las investigaciones realizadas a nivel universitario con respecto a este tema son muy escasas en nuestro país y la mayoría de ellas se han realizado con estudiantes en la educación secundaria. Esta investigación se realiza aplicando el Modelo del Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM) que se desarrolla dentro del marco teórico del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemáticos (EOS), cuyas herramientas nos han permitido identificar los conocimientos especializados que tiene un profesor universitario que enseña contenidos matemáticos. Esta investigación es de tipo cualitativo y el método empleado es el estudio de caso. Con los antecedentes encontrados al buscar la literatura correspondiente sobre la enseñanza y aprendizaje de los SEL se construye un instrumento, que contiene dos cuestionarios (Actividad 1 y Actividad 2) relacionados con nuestro objeto matemático de estudio que son los SEL, el cual fue aplicado a dos profesores que tienen un posgrado en enseñanza de las matemáticas y que dictan un curso de Álgebra Lineal en una universidad privada de Lima para obtener información de los conocimientos común, ampliado y especializado. A partir del análisis de los datos obtenidos, se puede inferir que los dos profesores en este estudio tienen el conocimiento común del contenido necesario para resolver las tareas propuestas en los textos del nivel al que enseñan; sin embargo, en relación con los conocimientos ampliado del contenido y especializados (en la faceta epistémica) hay algunos aspectos que son limitados o desconocidos por ellos.
The purpose of this research is to identify the specialized knowledge that two professors have about linear systems of equations (SEL) in a Linear Algebra course for engineering students. The research carried out at the university level regarding this subject is very scarce in our country and most of them have been carried out with students in secondary education. This research is carried out applying the Didactic- Mathematical Knowledge Model (CDM) developed within the theoretical framework of the Ontosemiótico Approach of Mathematical Cognition and Instruction (EOS), whose tools have allowed us to identify the specialized knowledge that a university professor has when he teaches mathematical contents. This research is qualitative and the method used is the Case Study. With the background found when searching the corresponding literature on teaching and learning of the SEL, an instrument is constructed, which contains two questionnaires (Activity 1 and Activity 2) related to our mathematical object of study, which are the SEL, which was applied to two professors who have a postgraduate degree in mathematics teaching and who teach a course in Linear Algebra at a private university in Lima to obtain common, expanded and specialized knowledge information. From the analysis of the obtained data, it can be inferred that the two professors in this study have the common knowledge of the necessary content to solve the tasks proposed in the texts of the level they teach; however, in relation to expanded content and specialized knowledge (in the epistemic facet) there are some aspects that are limited or unknown by them.
Tesis

Se estudia el comportamiento asintótico de la solución global del problema no lineal L∂tu + ∂ₓu +a (t) uP∂ₓu =O, X ϵ R, t > O u(O) = φ(x) donde φ ϵ Hs (R), p es un entero positivo y L : Hs(R) → L²(R) es el operador seudo-diferencial definido por Lu(y) = m(y)u(y)u ϵ Hs(R). Para esto se utiliza el método de la fase estacionaria.

Vincularemos Matemática y Ecología usando un sistema no lineal parabólico fuertemente acoplado el cual se presenta en din amicas poblacionales. Aquí demostramos la existencia de soluciones clásicas globales cuando la dimensión del espacio es n < 10. Con ciertas condiciones en los coeficientes de las funciones de reacción, la convergencia de soluciones es establecida por el sistema mediante una función de Liapunov. -- PALABRAS CLAVES: DIFUSION CRUZADA, ESPACIOS DE BANACH, ESPACIOS DE HOLDER, ESPACIOS DE SOBOLEV ESTIMATIVAS
-- We vinculate Mathematics and Ecology using a nonlinear parabolic strong coupled system which is presented in population dynamics. Here we demostrate the existence of classical global solutions when the space dimension is n < 10. Under certain conditions on the coe cients of the reaction functions, the convergence of solutions is established for the system with large di usion by constructing a Liapunov function. -- KEY WORDS: CROSS DIFFUSION, BANACH SPACES, HOLDER SPACES SOBOLEV SPACES, ESTIMATES
Tesis

Los sistemas de ecuaciones lineales o problemas de mínimos cuadrados aparecen en un amplio abanico de aplicaciones científico-técnicas. En ocasiones la matriz ligada al problema presenta una estructura banda o bien es una matriz dispersa que puede ser convertida en una matriz banda; en estos casos explotar la estructura banda de la matriz puede reducir considerablemente el coste computacional y de almacenamiento de resolución del problema. El objetivo principal de la presente tesis es el diseño, desarrollo y evaluación de una biblioteca de rutinas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y problemas de mínimos cuadrados con estructura banda sobre arquitecturas de altas prestaciones. Tras evaluar la eficiencia y funcionalidad de las bibliotecas LAPACK y BLAS para operar con matrices banda, se han propuesto nuevas implementaciones más eficientes para las operaciones contempladas en estas bibliotecas, así como nuevas rutinas que implementan operaciones que amplian su funcionalidad, como por ejemplo una rutina para el cálculo de la factorización QR de una matriz banda. Los nuevos códigos se han aplicado a problemas de resolución de modelos, demostrando su eficiencia y escalabilidad.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática
Esta tesis doctoral está dividida en cuatro partes. La primera parte está dedicada al estudio de la simetría radial y las propiedades de monotonicidad de soluciones positivas de ecuaciones elípticas fraccionarias en la bola unitaria o en todo el espacio, usando el método de planos móviles. En la segunda parte, se consideran propiedades de decaimiento y simetría de las soluciones positivas para ecuaciones integro-diferenciales en todo el espacio. Estudiamos el decaimiento, construyendo super y subsoluciones apropiadas y usamos el método de los planos móviles para probar las propiedades de simetría. La tercera parte es investigar la existencia y unicidad de soluciones débiles de la ecuación del calor fraccionaria, involucrando medidas de Radon. Más aún, analizamos el comportamiento asintótico de la solución débil cuando la medida de Radon es la masa de Dirac. En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones a problemas elípticos no lineales que provienen del modelamiento de dispositivos de sistemas micro-electromecánicos en el caso en que la membrana elástica entra en contacto con la placa inferior en la frontera. Mostramos, en este caso, como el decaimiento de la membrana afecta la existencia de soluciones y la tensión pull-in.

Resumen La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales figura entre los problemas más importantes, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, de las matemáticas aplicadas, así como también de muchas ramas de las ciencias, la ingeniería, la física, la informática, la astronomía, las finanzas,.... Un vistazo a la bibliografía y la lista de grandes matemáticos que han trabajado en este tema pone de manifiesto un alto nivel de interés contemporáneo en el mismo. Aunque el rápido desarrollo de las computadoras digitales llevó a la aplicación efectiva de muchos métodos numéricos, en la realización práctica, es necesario analizar diferentes problemas tales como la eficiencia computacional basado en el tiempo usado por el procesador, el diseño de métodos iterativos que posean una rápida convergencia a la solución deseada, el control de errores de redondeo, la información sobre las cotas de error de la solución aproximada obtenida, las condiciones iniciales que garanticen una convergencia segura, etc. Dichos problemas constituyen el punto de partida de este trabajo. El objetivo general de esta memoria es diseñar métodos iterativos eficientes para resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones no lineales. El esquema más conocido para resolver ecuaciones no lineales es el método de Newton, su generalización a sistemas de ecuaciones fue propuesta por Ostrowski.. En los últimos años, como muestra la amplia bibliografía, ha aumentado de manera considerable la construcción de métodos iterativos, tanto de un paso como multipaso, con el fin de conseguir una convergencia de orden óptimo así como una mejor eficiencia computacional. En general, en esta memoria hemos utilizado la técnica de funciones peso para diseñar métodos de resolución de ecuaciones y sistemas, tanto libres de derivadas como apareciendo éstas en su expresión iterativa. En el Capítulo 2 introducimos los conceptos previos que sustentan el desarrollo de los distintos temas. Entre ellos, cabe destacar los relacionados con los métodos iterativos de resolución de problemas no lineales, en una y varias variables; el concepto de método óptimo (basado en la conjetura de Kung y Traub); las técnicas de demostración empleadas para probar el orden de convergencia local, así como también el operador diferencias divididas [x,y;F], y los conceptos básicos de la dinámica compleja de funciones racionales que utilizaremos para analizar el comportamiento dinámico del operador asociado a cualquier método iterativo. En los Capítulos 3 y 4 hemos desarrollado métodos iterativos óptimos de órdenes 4 y 8, con y sin derivadas, para la resolución de ecuaciones no lineales. En ambos capítulos comenzamos refiriéndonos al estado del arte, para mostrar a continuación los nuevos métodos diseñados, que incluyen familias conocidas pero también nuevos esquemas iterativos, posteriormente continuamos con el análisis de la convergencia de dichas clases de métodos, estableciendo algunos casos particulares, que son analizados en detalle y finalizamos con las pruebas numéricas relacionadas con los esquemas iterativos propuestos. Específicamente, en el Capítulo 3, se presentan los resultados obtenidos al modificar el método clásico de Gauss para la determinación de órbitas preliminares, de manera que incluya en su proceso esquemas iterativos de alto orden de convergencia. Por su parte, en el Capítulo 4 se muestran las propiedades dinámicas de algunos de los esquemas iterativos diseñados de orden 8, así como sus propiedades de estabilidad que son verificadas sobre diferentes funciones test. En el Capítulo 5, presentamos métodos iterativos óptimos de alto orden, con operador derivada, para resolver ecuaciones no lineales. Tras el diseño de estos métodos y el análisis de su convergencia, se transforma dicha clase de esquemas iterativos en otra libre de derivadas, manteniendo su optimalidad. Finalmente, se muestran los resultados de algunas pruebas numéricas, que incluyen la determinación de órbitas preliminares de satélites. El comportamiento dinámico del operador asociado a un método iterativo al ser aplicado sobre la función no lineal a resolver nos proporciona importante información acerca de la estabilidad y fiabilidad de éste. El análisis dinámico de un método iterativo se centra en el estudio del comportamiento asintótico de los puntos fijos (raíces, o no, de la ecuación) del operador, así como en las cuencas de atracción asociadas a los mismos. En el caso de familias paramétricas de métodos iterativos, el análisis de los puntos críticos libres nos permite seleccionar los miembros más estables de dichas familias. El análisis de la dinámica compleja de los métodos diseñados para ecuaciones no lineales se lleva a cabo en el Capítulo 6, donde nos centramos en una de las familias de métodos óptimos presentada en capítulos anteriores. Así, una vez establecido el teorema del escalado, analizamos el comportamiento del operador racional asociado al método actuando sobre polinomios cuadráticos, calculando sus puntos fijos y críticos y analizando su estabilidad. Mostramos los planos de parámetros de los diferentes puntos críticos libres y estudiamos algunos casos particulares mediante planos dinámicos concretos en los que significamos algunas cuencas de atracción que no corresponden a las raíces. A continuación, en el Capítulo 7 se extienden a sistemas las técnicas iterativas diseñadas en el caso escalar, si bien ahora utilizamos funciones peso matriciales. Así construimos métodos de cualquier orden añadiendo sucesivos pasos con la misma estructura. Finalmente, se utiliza el operador diferencias divididas para extender al caso multivariable algunos esquemas iterativos que, a priori, no pueden ser extendidos de forma directa. Todos estos métodos forman parte del estudio numérico que se presenta al final del capítulo, en el que se confirman los resultados teóricos. Esta memoria termina con un capítulo dedicado a problemas abiertos y a líneas futuras de trabajo. Algunos de estos problemas han surgido como consecuencia de los avances obtenidos.
Artidiello Moreno, SDJ. (2014). DISEÑO, IMPLEMENTACIÓN Y CONVERGENCIA DE MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLVER ECUACIONES Y SISTEMAS NO LINEALES UTILIZANDO FUNCIONES PESO [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/44230
TESIS

Desarrolla en forma didáctica y explícita la existencia de solución y la estabilidad asintótica, esto es, el decaimiento exponencial de la energía asociada al sistema viscoelástico no lineal con amortiguamiento fuerte. El estudio de problemas viscoelástico que se caracterizan por el término memoria que, es representado por el término integral y que tiene mucho que ver con la disipación de la ecuación. El desenvolvimiento de la teoría de viscoelasticidad se dio en primer lugar, debido al uso de materiales poliméricos en diversos campos. La investigación de las propiedades viscoelástico de los polímeros es grandemente estimulada por la importancia práctica del comportamiento mecánico en el procesamiento y utilización de cauchos, fibras plásticas, entre otros.
Tesis

El teorema de Grobman-Hartman señala que el comportamiento cualitativo de un sistema dinámico en una vecindad alrededor de un punto fijo hiperbólico cualitativamente tiene el mismo comportamiento de su linealización cerca de un punto equilibrio, y más generalmente de una sucesión de pequeñas perturbaciones de transformaciones lineales lipschitziana hiperbólicas. Se sabe que, no siempre para esos tipos de aplicaciones existen conjugaciones diferenciables, al menos que estén sobre una superficie o no exista resonancia. Sin embargo, para poder distinguir por ejemplo diferentes tipos de nodos se tendría que saber si la conjugación puede tener mayor regularidad. Por ello, el principal objetivo es presentar una prueba de la regularidad Cα, de las conjugaciones. Es decir, mostrar que la conjugación en el teorema de Grobman-Hartman es siempre Hölder continua y tiene su inversa Hölder continua.
Tesis

El trabajo de investigación tiene como objetivo identificar las dificultades y errores que presentan los estudiantes al resolver problemas con ecuaciones lineales. Se llevó a cabo con las estudiantes de Primer Grado de Educación Secundaria del Colegio Parroquial Reina de la Paz de San Isidro. Luego de una prueba de diagnóstico especialmente elaborada, se diseñó una secuencia de actividades con dificultad graduada relacionadas con ecuaciones lineales,usando como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval, que permitió estimular tratamientos y conversiones entre los diversos registros de representación semiótica. De los resultados y conclusiones obtenidos, destacamos, finalmente, que al resolver problemas con ecuaciones lineales, los estudiantes muestran dificultades, de menos a más, en las siguientes transformaciones: tratamientos en el registro algebraico, pues en general resuelven satisfactoriamente ecuaciones lineales; conversiones del registro verbal al algebraico, pues llegan a plantear ecuaciones correspondientes a problemas sencillos enunciados verbalmente;conversiones del registro algebraico al verbal,pues fue una minoría la que logró construir un enunciado verbal correspondiente a una información cuantitativa y con una incógnita, dada en un diagrama de Venn.
Tesis

Esta investigación tiene por objetivo analizar las concepciones de solución y conjunto solución que tienen estudiantes universitarios, en un primer curso de matemáticas, luego de un periodo de por lo menos cinco años alejados de una institución educativa. Para ello, construimos una prueba diagnóstica tomando en cuenta los resultados de investigaciones ya realizadas por Ochoviet, Panizza, Mora, Valencia, entre otros, y la enmarcamos dentro de la propuesta de los modos de pensamiento de Sierpinska (2000). El primero, llamado sintético geométrico, se agrupa en las preguntas que muestran graficas de las ecuaciones del sistema y, a partir de ello, se pide interpretar la solución o conjunto solución. El segundo modo de pensamiento, llamado analítico aritmético lo asociamos a las ecuaciones que representan a las rectas y planos, además a todos los algoritmos y métodos de solución que existen para resolver un sistema lineal de ecuaciones. El tercer modo de pensamiento, llamado analítico estructural, se agrupa en preguntas cuyas respuestas son explicadas a través de propiedades, características y axiomas de un sistema lineal de ecuaciones lineales. Para nuestro trabajo de investigación recurrimos a identificar los errores y dificultades en que los estudiantes incurren al estudiar el conjunto solución o solución de un sistema de ecuaciones lineales, algunos ya observados y detectados en investigaciones previas y otros no, los cuales los clasificaremos según Socas (1997). Del análisis de los datos, observamos que predomina el modo de pensamiento analítico aritmético; lo que dificulta tener una mejor comprensión sobre el concepto de conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales y debido a ello consideramos que se hace necesarios desarrollar ejercicios y problemas en dicho tema donde puedan transitar los tres modos de pensamiento de Sierpinska (2000).
This research aims to analyze the conceptions of solution and set solution that university students have, in a first course of mathematics, after a period of at least five years away from an educational institution. To do this, we built a diagnostic test taking into account the results of research already carried out by Ochoviet, Panizza, Mora, Valencia, among others, and we framed it within the proposal of Sierpinska's modes of thinking (2000). The first, called geometric synthetic, is grouped into the questions that show graphs of the system equations and, from that, it is asked to interpret the solution or solution set. The second way of thinking, called arithmetic analytics, is associated with the equations that represent the lines and planes, in addition to all the algorithms and solution methods that exist to solve a linear system of equations. The third way of thinking, called structural analytics, is grouped into questions whose answers are explained through properties, characteristics and axioms of a linear system of linear equations. For our research work we resort to identifying the errors and difficulties that students incur when studying the set solution or solution of a system of linear equations, some already observed and detected in previous investigations and others not, which we will classify them according to Socas (1997). From the analysis of the data, we observe that the arithmetic analytical mode of thinking predominates; what makes it difficult to have a better understanding of the concept of a solution to a system of linear equations and because of this we consider that it is necessary to develop exercises and problems in this topic where the three ways of thinking of Sierpinska (2000) can pass.
Tesis

El problema de la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales figura entre los más importantes en la teoría y la práctica, no sólo de las matemáticas aplicadas, sino también de muchas ramas de las ciencias, la ingeniería, la física, la informática, la astronomía, las finanzas, . . . El gran número de científicos que han trabajado recientemente en este tema muestran un alto nivel de interés contemporáneo. Aunque el rápido desarrollo de las computadoras digitales llevó a la aplicación efectiva de muchos métodos numéricos, en la realización práctica, es necesario resolver varios problemas tales como la eficiencia computacional basado en el tiempo usado por el procesador, el diseño de métodos iterativos que posean una rápida convergencia a la solución deseada, el control de errores de redondeo, la información sobre los límites de error de la solución aproximada obtenida, indicando las condiciones iniciales de cómputo verificables que garantizan una convergencia segura, etc. Dichos problemas constituyen el punto de partida de esta memoria. El objetivo general de esta memoria radica en la búsqueda de nuevos y eficientes métodos iterativos para ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. El origen es el trabajo realizado por Weerakoon y Fernando en el que desarrollan en dimensión uno la variante del método de Newton que utiliza la fórmula de cuadratura trapezoidal, consiguiendo orden de convergencia tres. Özban amplió esta idea, y obtuvo algunos métodos nuevos con convergencia de tercer orden. Por otra parte, dichos métodos son casos particulares de la familia de variantes del método de Newton de orden tres definida por M. Frontini y E. Sormani, utilizando una fórmula de cuadratura interpolatoria genérica de nodos equiespaciados.
Penkova Vassileva, M. (2011). MÉTODOS ITERATIVOS EFICIENTES PARA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/12892
Palancia

Estudia la existencia de soluciones reales no nulas para un sistema de ecuaciones no lineales de la forma Au=λF(u) donde u es un vector columna en Rn, A es una matriz definida positiva de orden n×n y F es una función no lineal en Rn. Mediante el uso del Teorema Generalizado de Weierstrass se obtiene el resultado de existencia.
Tesis

En el ICM (Intemational Congress of Mathematicians) de 1900, Hilbert presenta 23 problemas que establecieron el curso de gran parte de las investigaciones matemáticas del siglo XX. El 21° problema es la existencia de ecuaciones diferenciales lineales, con un grupo de monodromía y singularidades prescritas. Este artículo trata este problema sobre superficies de Riemann no compactas.

Magíster en Ciencias, Mención Física
Esta tesis está enfocada en el estudio de singularidades de fase en el contexto de auto organización en sistemas fuera del equilibrio. Nuestra investigación estuvo focalizada en comprender el surgimiento de vórtices en una válvula de cristal líquido nemático (LCLV por sus siglas en inglés) con anclaje homeotrópico iluminada con un haz gaussiano. Este sistema físico permite la creación de vórtices ópticos que son auto-inducidos y que tienen auto-alineamiento, así como la inducción de vórtices positivos en el cristal líquido. En el primer capítulo se derivó desde principios fundamentales una ecuación que modela este sistema. Inicialmente se analizó el campo eléctrico aplicado y luego se derivó una ecuación de amplitud. Esta ecuación corresponde a una generalización de la ecuación de Ginzburg- Landau con un término anisotrópico y forzamiento espacial. En el segundo capítulo la ecuación anisotrópica de Ginzburg-Landau fue estudiada, caracterizando la solución tipo vórtice. Dos tipos de vórtices positivos fueron identificados. Se calculó la energía de estas soluciones y se mostró cómo intercambian estabilidad a través de una bifurcación transcrítica degenerada dependiente del parámetro anisotrópico. Se caracterizó el vórtice negativo perturbativamente y se calculó su energía numéricamente. En el tercer capítulo se realizó un análisis numérico de la ecuación anisotrópica forzada de Ginzburg-Landau. Se mostró cómo el forzamiento induce un sólo vórtice positivo en el centro del voltaje aplicado, lo que nos permitió comprender las observaciones experimentales.Este mecanismo de anclaje nos permitió concebir la posibilidad de crear redes programables de vórtices con una configuración espacial arbitraria. Esto fue experimentalmente confirmado usando una adecuada configuración de la LCLV. Posteriormente, se adaptó nuestra ecuación para considerar diferentes rayos de luz, lo que mostró numéricamente redes de vórtices en concordancia con las observaciones experimentales. En el último capítulo se estudió la dinámica de dislocaciones en un patrón anisotrópico. Se derivó una ecuación de amplitud enmendada para la ecuación anisotrópica de Swift-Hohenberg. En esta ecuación de amplitud, las dislocaciones aparecen como vórtices cuya dinámica fue caracterizada, permitiendo predecir la existencia de pares de dislocaciones estacionarios, lo que fue confirmado numéricamente. Los resultados obtenidos en esta tesis muestran que las singularidades de fase son un fenómeno omnipresente en la naturaleza, que pueden ser descritas en una manera unificada mediante ecuaciones de amplitud. A su vez, estas ecuaciones pueden relacionarse con el contexto físico específico, cerca de sus puntos críticos.

Since the appearance of Newton-Rapshon's method more than 300 years ago, iterative methods have become almost unassailable in most branches of science. The development of computing has made it possible to solve problems of increasing complexity, and this has been accompanied by the need for more efficient and reliable methods. Several tools of discrete dynamics can be used to perform a dynamic analysis of methods and families of iterative methods for solving equations and nonlinear systems, with the aim of extracting information about their stability and classifying them. In this memory a biparametric family of iterative methods is designed that contains the schemes of Ostrowski and Chun as particular cases. The convergence of the family is analyzed and extended to make it suitable for the resolution of systems of nonlinear equations. Dynamic tools are used and developed to carry out a scalar and multivariate study, and problems are solved applied to verify the results of the dynamic study. Finally, the semilocal convergence in Banach spaces of the Chun method is determined. Chapter 2 sets out the basic concepts from which the rest of the chapters will be developed. The Newton method and its derivative free version, the Steffensen method, are transferred to the multivariable case, and the tools of complex and real dynamics are applied to them. In the Chapter 3 a dynamic study of King's family of iterative methods is performed for the resolution of nonlinear equations. The family is applied on a generic quadratic polynomial, and members with a more stable behavior are selected. In the Chapter 4 a biparametric family of iterative methods is designed combining the methods of Ostrowski and Chun and an extension of the family to the multivariable case is done by the use of the operator divided differences. Numerical tests are performed on academic problems and applied to confirm the theoretical results. In the Chapter 5 a dynamic study of the Ostrowski-Chun biparametric family is made and the most stable members are applied to the solution of the Bratu equation, whereas in Chapter 6 a real dynamic study of the family is made in the multivariable case, and in this case the most stable members apply to the resolution of Fischer's equation. In the Chapter 7 the semilocal convergence of the well-known method of Chun, member of the Ostrowski-Chun family, is proved, and the results obtained in the resolution of an integral Hammerstein-type equation are proved. Finally, conclusions and open lines of research are presented.
Desde la aparición del método de Newton-Rapshon hace más de 300 años los métodos iterativos se han hecho poco menos que imprescindibles en la mayoría de las ramas de la ciencia. El desarrollo de la computación ha permitido resolver problemas de complejidad cada vez mayor, y este hecho ha venido acompañado de la necesidad de disponer de métodos más eficientes y fiables. Varias herramientas de la dinámica discreta se pueden utilizar para realizar un análisis dinámico de métodos y familias de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales, con el objetivo de extraer información sobre su estabilidad y clasificarlos. En esta Tesis Doctoral se diseña una familia biparamétrica de métodos iterativos que contiene los esquemas de Ostrowski y Chun como casos particulares. Se analiza la convergencia de la familia y se extiende para hacerla apta para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Se utilizan y desarrollan herramientas dinámicas para llevar a cabo un estudio escalar y multivariable, y se resuelven problemas aplicados para comprobar los resultados del estudio dinámico. Finalmente, se determina la convergencia semilocal en espacios de Banach del método de Chun. En el Capítulo 2 se exponen los conceptos básicos a partir de los cuales se van a desarrollar el resto de capítulos. Se transfieren al caso multivariable el método de Newton y su versión libre de derivada, el método de Steffensen, y se van aplicando sobre ellos las herramientas de la dinámica compleja y de la real. En el Capítulo 3 se realiza un estudio dinámico de la familia de métodos iterativos de King para la resolución de ecuaciones no lineales. Se aplica la familia sobre un polinomio cuadrático genérico, y se seleccionan los miembros que presentan un comportamiento más estable. En el Capítulo 4 se diseña una familia biparamétrica de métodos iterativos combinando los métodos de Ostrowski y Chun y se hace una extensión de la familia al caso multivariable mediante el uso del operador diferencias divididas. Se realizan pruebas numéricas en problemas académicos y aplicados para confirmar los resultados teóricos. En el Capítulo 5 se hace un estudio dinámico de la familia biparamétrica de Ostrowski-Chun y se aplican los miembros más estables a la solución de la ecuación de Bratu, mientras que en el Capítulo 6 se hace un estudio dinámico real de la familia en el caso multivariable, y en este caso los miembros más estables se aplican a la resolución de la ecuación de Fischer. En el Capítulo 7 se prueba la convergencia semilocal del conocido método de Chun, miembro de la familia de Ostrowski-Chun, y se comprueban los resultados obtenidos en la resolución de una ecuación integral de tipo Hammerstein. Finalmente, se presentan las conclusiones y las líneas abiertas de investigación
Des de l'aparició del mètode de Newton-Rapshon fa més de 300 anys els mètodes iteratius s'han fet poc menys que imprescindibles en la majoria de les branques de la ciència. El desenvolupament de la computació ha permès resoldre problemes de complexitat cada vegada més gran, i aquest fet ha vingut acompanyat de la necessitat de disposar de mètodes més eficients i fiables. Diverses eines de la dinàmica discreta es poden utilitzar per realitzar una anàlisi dinàmica de mètodes i famílies de mètodes iteratius per a la resolució d'equacions i sistemes no lineals, amb l'objectiu d'extreure informació sobre la seva estabilitat i classificar-los. En aquesta tesi doctoral es dissenya una família biparamétrica de mètodes iteratius que conté els esquemes de Ostrowski i Chun com casos particulars. S'analitza la convergència de la família i s'estén per fer-la apta per a la resolució de sistemes d'equacions no lineals. S'utilitzen i desenvolupen eines dinàmiques per dur a terme un estudi escalar i multivariable, i es resolen problemes aplicats per comprovar els resultats de l'estudi dinàmic. Finalment, es determina la convergència semilocal en espais de Banach del mètode de Chun. En el capítol 2 s'exposen els conceptes bàsics a partir dels quals es desenvoluparan la resta de capítols. Es transfereixen al cas multivariable el mètode de Newton i la seva versió lliure de derivada, el mètode de Steffensen, i es van aplicant sobre ells les eines de la dinàmica complexa i de la real. En el capítol 3 es realitza un estudi dinàmic de la família de mètodes iteratius de King per a la resolució d'equacions no lineals. S'aplica la família sobre un polinomi quadràtic genèric, i se seleccionen els membres que presenten un comportament més estable. En el capítol 4 es dissenya una família biparamétrica de mètodes iteratius combinant els mètodes d'Ostrowski i Chun i es fa una extensió de la família al cas multivariable mitjançant l'ús de l'operador diferències dividides. Es realitzen proves numèriques en problemes acadèmics i aplicats per confirmar els resultats teòrics. En el capítol 5 es fa un estudi dinàmic de la família biparamétrica d'Ostrowski-Chun i s'apliquen els membres més estables a la solució de l'equació de Bratu, mentre que en el capítol 6 es fa un estudi dinàmic real de la família en el cas multivariable, i en aquest cas els membres més estables s'apliquen a la resolució de l'equació de Fischer. En el capítol 7 es prova la convergència semilocal del conegut mètode de Chun, membre de la família de Ostrowski-Chun, i es comproven els resultats obtinguts en la resolució d'una equació integral de tipus Hammerstein. Finalment, es presenten les conclusions i les línies obertes d'investigació.
García Maimo, J. (2017). Análisis dinámico y numérico de familias de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales y su extensión a espacios de Banach [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/91483
TESIS

Presenta el método integral de Melnikov para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias hamiltoniano, asociado a una perturbación uniparamétrica. Desarrolla un método para probar la existencia o no existencia de puntos homoclínicos transversales. Presenta como aplicación un estudio sobre la existencia y unicidad de una solución de tipo onda viajante para un modelo matemático en la combustión en un medio poroso.
Tesis

Esta investigación surge a partir de algunas observaciones que se realizaron a los estudiantes del primer año de Ciencias Administrativas de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas al presentar dificultades para traducir, del lenguaje verbal al matemático y viceversa problemas contextualizados en el tema de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. La investigación tiene por objetivo analizar las dificultades que los estudiantes del primer año de Ciencias Administrativas presentan al traducir, del lenguaje verbal al matemático, problemas contextualizados presentes en el libro texto que utilizan, cuando estudian sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Además de diseñar una propuesta que permita facilitar la traducción, de problemas contextualizados, del lenguaje verbal al matemático y viceversa al estudiar sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. La investigación se realizará con alumnos del primer año de Ciencias administrativa. Este tema es relevante en el área de Educación Matemática visto que estudios como los de Rubio (1994), Panizza y Drouhard (2003), Olazábal (2005) y Moreno (2011) señalan que la etapa de la traducción del lenguaje natural al lenguaje matemático es fundamental para la modelación de problemas contextualizados mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Así, pretendemos contestar la siguiente pregunta de investigación: ¿De qué manera la categorización según la Matemática en el Contexto de las Ciencias (MCC), permite detectar las dificultades que los estudiantes del primer año de Ciencias Administrativas presentan al traducir, del lenguaje verbal al matemático y viceversa, problemas contextualizados cuando estudian sistemas de ecuaciones lineales con dos variables? Para ello, utilizaremos como referencial teórico la Matemática en el Contexto de las Ciencias de Camarena (1999) y a la categorización de problemas contextualizados de acuerdo con esta teoría y como metodología recurriremos a la metodología propia de la Fase Didáctica. Además, pretendemos elaborar una propuesta didáctica en base a la Matemática en el Contexto de las Ciencias que facilite a los alumnos modelar dichos problemas. Finalmente, se mostrarán algunas conclusiones, contribuciones y recomendaciones .
Tesis

[ES] El Comercio electrónico se ha convertido en uno de los sistemas de compra más aceptados por los consumidores debido a la facilidad que tienen los consumidores para acceder mediante Internet a una gran variedad de artículos. Conocer la dinámica de crecimiento del comercio electrónico basado en los principales factores que lo determinan, es un problema relevante para el sector del comercio electrónico. El principal objetivo de la tesis ha sido aplicar los modelos propuestos a datos reales, la formulación de los diferentes modelos ha estado condicionada por la disponibilidad de los datos y por las limitaciones computacionales a la hora de tratar la complejidad de los modelos propuestos. Los dos primeros modelos, dados en los Capítulos 1 y 2, son de naturaleza determinista, mientras que el modelo propuesto en el Capítulo 3, tiene una formulación más sencilla ya que tiene naturaleza estocástica y su tratamiento computacional es mucho más complejo. En el Capítulo 1, se construye un modelo determinístico continuo, basado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, de tipo difusión y estructurado en seis grupos de edades comprendidas entre 15 y 74 años. Cada uno de estos grupos se divide, a su vez, en dos subpoblaciones (imitadores e innovadores), dependiendo de su comportamiento como consumidores. El resultado es un modelo determinista con 31 parámetros, 13 de los cuales proceden de un modelo demográfico con población constante, y el resto de parámetros aparecen en el propio modelo difusión propuesto para describir la dinámica de la tecnología del comercio electrónico en España. A pesar de la complejidad del modelo determinista, y de los pocos datos disponibles en el Instituto Nacional de Estadística (INE) en el momento de realizar el estudio, gracias a las técnicas computacionales aplicadas, se ha realizado un ajuste del modelo que explica de forma muy aceptable la tendencia de los datos sobre la dinámica del comercio electrónico, lo que ha permitido construir predicciones para los próximos años. El estudio se ha completado con un análisis de la sensibilidad de los parámetros con el objeto de conocer cuáles son los coeficientes de difusión (vía la innovación y la imitación) que tienen una mayor influencia en los resultados de la respuesta del modelo. En el Capítulo 2 se propone un modelo discreto determinista que, debido a la complejidad de la técnica de escalado que debe realizarse para una población variable, se consideraron únicamente dos subpoblaciones entre 15 y 74 años. En este caso el modelo demográfico depende de 3 parámetros, mientras que el modelo de difusión del comercio electrónico depende de 9 parámetros adicionales. A partir de los datos disponibles en el INE, durante el periodo 2007 - 2015, se ha realizado un ajuste del modelo que permite explicar de forma adecuada la dinámica del comercio electrónico en España y realizar predicciones fiables de la tendencia de esta tecnología en los próximos años. Aunque las técnicas de ajuste de los modelos presentados en los Capítulos 1 y 2 a los datos disponibles en el INE están basadas en métodos probabilísticos (en el Capítulo 1, se aplica un tipo de muestreo, denominado Hipercubo Latino y, en el Capítulo 2, el denominado Ajuste Probabilístico),de naturaleza determinística, ya que los parámetros en ambos casos son constantes. En el Capítulo 3 se propone un modelo compartimental que divide a la población española en dos subpoblaciones, dependiendo de si usan o no el comercio electrónico, se trata por tanto de un modelo cuya formulación es mucho más sencilla que la presentada en los capítulos anteriores, pero cuyos parámetros son variables aleatorias. En este caso, el objetivo ha sido diseñar técnicas computacionales de optimización inversa para el modelo estocástico donde el ajuste consiste en determinar las distribuciones estadísticas de los parámetros del modelo que mejor explican la
[CAT] El Comerç electrònic s'ha convertit en un dels sistemes de compra més acceptats pels consumidors a causa de la facilitat que tenen els consumidors per a accedir mitjançant Internet a una gran varietat d'articles. Conéixer la dinàmica de creixement del comerç electrònic basat en els principals factors que el determinen, és un problema rellevant per al sector del comerç electrònic. El principal objectiu de la tesi ha sigut aplicar els models proposats a dades reals, la formulació dels diferents models ha estat condicionada per la disponibilitat de les dades i per les limitacions computacionals a l'hora de tractar la complexitat dels models proposats. Els dos primers models, donats en els Capítols 1 i 2, són de naturalesa determinista, mentre que el model proposat en el Capítol 3, té una formulació més senzilla ja que té naturalesa estocàstica i el seu tractament computacional és molt més complex. En el Capítol 1, es construeix un model determinístico continu, basat en un sistema d'equacions diferencials no lineals, de tipus difusió i estructurat en sis grups d'edats compreses entre 15 i 74 anys. Cadascun d'aquests grups es divideix, al seu torn, en dos subpoblaciones (imitadors i innovadors), depenent del seu comportament com a consumidors. El resultat és un model determinista amb 31 paràmetres, 13 dels quals procedeixen d'un model demogràfic amb població constant, i la resta de paràmetres apareixen en el propi model difusió proposat per a descriure la dinàmica de la tecnologia del comerç electrònic a Espanya. Malgrat la complexitat del model determinista, i de les poques dades disponibles en l'Institut Nacional d'Estadística (INE) en el moment de realitzar l'estudi, gràcies a les tècniques computacionals aplicades, s'ha realitzat un ajust del model que explica de forma molt acceptable la tendència de les dades sobre la dinàmica del comerç electrònic, la qual cosa ha permés construir prediccions per als pròxims anys. L'estudi s'ha completat amb una anàlisi de la sensibilitat dels paràmetres a fi de conéixer quins són els coeficients de difusió (via la innovació i la imitació) que tenen una major influència en els resultats de la resposta del model. En el Capítol 2 es proposa un model discret determinista que, a causa de la complexitat de la tècnica d'escalat que ha de realitzarse per a una població variable, es van considerar únicament dues subpoblaciones entre 15 i 74 anys. En aquest cas el model demogràfic depén de 3 paràmetres, mentre que el model de difusió del comerç electrònic depén de 9 paràmetres addicionals. A partir de les dades disponibles en l'INE, durant el període 2007 - 2015, s'ha realitzat un ajust del model que permet explicar de forma adequada la dinàmica del comerç electrònic a Espanya i realitzar prediccions fiables de la tendència d'aquesta tecnologia en els pròxims anys. Encara que les tècniques d'ajust dels models presentats en els Capítols 1 i 2 a les dades disponibles en l'INE estan basades en mètodes probabilístics (en el Capítol 1, s'aplica un tipus de mostreig, denominat Hipercubo Llatí i, en el Capítol 2, el denominat Ajust Probabilístic),de naturalesa determinística, ja que els paràmetres en tots dos casos són constants. En el Capítol 3 es proposa un model compartimental que divideix a la població espanyola en dues subpoblaciones, depenent de si usen o no el comerç electrònic, es tracta per tant d'un model la formulació del qual és molt més senzilla que la presentada en els capítols anteriors, però els paràmetres dels quals són variables aleatòries. En aquest cas, l'objectiu ha sigut dissenyar tècniques computacionals d'optimització inversa per al model estocàstic on l'ajust consisteix a determinar les distribucions estadístiques dels paràmetres del model que millor expliquen l'evolució estocàstica de les dades disponibles.
[EN] Electronic commerce (E-Commerce) has become one of the most accepted purchasing systems by consumers due to the ease with which consumers can access a wide variety of articles through the Internet. Knowing the growth dynamics of electronic commerce based on the main factors that determine it, is a problem of great relevance for the agents involved in the electronic commerce sector. The objective of the thesis has been to apply the proposed models to real data, the formulation of the different models has been conditioned by the availability of data, and by the computational limitations in the moment to study the complexity of the proposed models. As detailed below, the first two models, presented in Chapters 1 and 2, respectively, are deterministic in nature, while the model proposed in Chapter 3, has a simpler formulation due to it has a stochastic nature and its computational treatment is much more complex. In Chapter 1, a continuous deterministic model is constructed, based on a system of nonlinear differential equations, of diffusion type and structured in six age groups between 15 and 74 years old. Each of these groups is divided, in turn, into two subpopulations (imitators and innovators), depending on their behavior as consumers. The result is a deterministic model with 31 parameters, 13 of which come from a demographic model with a constant population, and the rest of the parameters appear in the diffusion model proposed to describe the dynamics of E-Commerce technology in Spain. Despite the complexity of the deterministic model, and the few data available in the National Institute of Statistics (INE) at the time of the study, thanks to the computational techniques applied, it has been possible to adjust the model they explain. The trend of data on the dynamics of E-Commerce is very acceptable, which has allowed us to build predictions for the coming years. The study has been completed with an analysis of the sensitivity of the parameters in order to know what are the dffusion coeffcients (via innovation and imitation) that have a greater inuence on the results of the response of the model. In Chapter 2 a discrete deterministic model is proposed due to the complexity of the scaling technique that must be performed to treat it with variable population, only two subpopulations between 15 and 74 years old were considered. The demographic model depends on 3 parameters, while the diffusion model of E-Commerce depends on 9 additional parameters. Based on the data available in the INE during the 2007 - 2015 period an adjustment was made to the model that allows us to adequately explain the dynamics of E-Commerce in Spain and to make reliable predictions of the trend of this technology in the next years. Although the adjustment techniques of the models presented in Chapters 1 and 2 to the data available in the INE are based on probabilistic methods (in Chapter 1, a type of sampling is applied, called Latin Hypercube and, in Chapter 2, the so-called Probabilistic Adjustment), the nature of the two models is purely deterministic, since the parameters in both cases are constant. In Chapter 3, a compartmental model is proposed that divides to the Spanish population in two subpopulations, depending on whether they use E-Commerce or not, it is therefore a model whose formulation is much simpler than that presented in the previous chapters, but whose parameters are random variables. The objective has been to design computational techniques of inverse optimization for the stochastic model where the adjustment does not consist in looking for the constants that best fit the model to the available data of the INE (for the period 2011 - 2016), but in determining the statistical distributions of the parameters of the model that best explain the stochastic evolution of the available data. Subsequently, once the validation of the model is carried out, stochastic predictions of the evolution of the use of E-Commerce technology in Spain.
Lombana, IC. (2019). Modelización con incertidumbre del incremento del uso del comercio electrónico en España utilizando técnicas de epidemiología matemática [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/124836
TESIS

En esta tesis se hace una mezcla del método de distancias con los modelos lineales generalizados mixtos tanto en lo espacial como en lo espacio-temporal. Con el empleo de las distancias se logran buenas predicciones y menores variabilidades en el espacio o espacio-tiempo de la región de estudio, provocando todo esto que se tomen mejores decisiones en los diferentes problemas de interés. Se propone un método alternativo para ajustar una variable respuesta tipo beta con dispersión variable usando distancias euclidianas entre los individuos. Se emplea el método de máxima verosimilitud para estimar los parámetros desconocidos del modelo propuesto y se presentan las principales propiedades de estos estimadores. Además, se realiza la inferencia estadística sobre los parámetros utilizando las aproximaciones obtenidas a partir de la normalidad asintótica del estimador de máxima verosimilitud; se desarrolla el diagnóstico y predicción de una nueva observación, y se estudia el problema de datos faltantes utilizando la metodología propuesta. Posteriormente, se propone una solución alterna para resolver problemas como el de prevalencia de Loa loa utilizando distancias euclidianas entre individuos; se describe un modelo lineal generalizado espacial mixto incorporando medidas generales de distancia o disimilaridad que se pueden aplicar a variables explicativas. En este caso, los parámetros involucrados en el modelo propuesto se estiman utilizando máxima verosimilitud mediante el método de Monte Carlo vía cadenas de Markov (MCMC). También se formula un modelo lineal beta espacial mixto con dispersión variable utilizando máxima verosimilitud mediante el método MCMC. El método propuesto se utiliza en situaciones donde la variable respuesta es una razón o proporción que esta relacionada con determinadas variables explicativas. Para este fin, se desarrolla una aproximación utilizando modelos lineales generalizados espaciales mixtos empleando la transformación Box-Cox en el modelo de precisión. Por lo tanto, se realiza el proceso de optimización de los parámetros tanto para modelo espacial de media como para el modelo espacial de dispersión variable. Además, se realiza la inferencia estadística sobre los parámetros utilizando las aproximaciones obtenidas a partir de la normalidad asintótica del estimador de máxima verosimilitud. También se desarrolla el diagnóstico del modelo y la predicción de nuevas observaciones. Por último, el método se ilustra a través de los contenidos de arcilla y magnesio. Adicionalmente, se describe el modelo basado en distancias para la predicción espacio-temporal usando modelos lineales generalizados. Se realiza el proceso de estimación de los parámetros involucrados en el modelo propuesto, mediante el método de ecuaciones de estimación generalizada y la inferencia estadística sobre los parámetros empleando las aproximaciones obtenidas a partir de la normalidad asintótica del estimador de máxima verosimilitud. Además, se desarrolla el diagnóstico del modelo y la predicción de nuevas observaciones. Se realiza una aplicación de la metodología propuesta para el número de acciones armadas estandarizada por cada 1000 km2 de los grupos irregulares FARC-EP y ELN en los diferentes departamentos de Colombia entre los años 2003 a 2009. Finalmente, se presenta un modelo autorregresivo espacial lineal generalizado mixto utilizando el método basado en distancias. Este modelo incluye retrasos tanto espaciales como temporales entre vectores de variables de estado estacionarias. Se utiliza la dinámica espacial de los datos econométricos tipo panel para estimar el modelo propuesto; los parámetros involucrados en el modelo se estiman utilizando el método MCMC mediante máxima verosimilitud. Además, se discute en este capítulo la interacción entre estacionariedad temporal y espacial, y se derivan las respuestas al impulso para el modelo propuesto, lo cual naturalmente depende de la dinámica temporal y espacial del modelo.
In the context of regression with a beta-type response variable, we propose a new method that links two methodologies: a distance-based model, and a beta regression with variable dispersion. The proposed model is useful for those situations where the response variable is a rate, a proportion or parts per million. This variable is related with a mixture between continuous and categorical explanatory variables. We present its main statistical properties and some measures for selection of the most predictive dimensions in the model. Furthermore, the prediction of a new observation and the problem of missing data are also developed. Using the proposed model, the mutual funds are analyzed employing the Gower distance for both the mean model and the variable dispersion model. Also, we present a new method based on distances, which allows the modeling of continuous and non-continuous random variables through distance-based spatial generalized linear mixed models (SGLMMs). The parameters are estimated using Markov chain Monte Carlo (MCMC) maximum likelihood. The method is illustrated through the analysis of the variation in the prevalence of Loa loa among a sample of village residents in Cameroon, where the explanatory variables included elevation, together with maximum normalized-difference vegetation index (NDVI) and the standard deviation of NDVI calculated from repeated satellite scans over time. Additionally, we propose a beta spatial linear mixed model with variable dispersion using MCMC. An approach to the SGLMMs using the Box-Cox transformation in the precision model is developed. Thus, the parameter optimization process is made for both the spatial mean model as the spatial variable dispersion model. Statistical inference over the parameters is performed using approximations obtained from the asymptotic normality of the maximum likelihood estimator. Diagnosis and prediction of a new observation are also developed. This model is illustrated through of the clay and magnesium contents. On the other hand, we present a solution to problems where the response variable is a count, a rate or a binary (dichotomous) using a refined distance-based generalized linear space-time-autoregressive model with space-time-autoregressive disturbances. This model may also contain additional spatial exogenous variables as well as time exogenous variables. The parameter estimation process is done by the space-time generalized estimating equations (GEE) method, and a measure of goodness-of-fit is presented. Also, the best linear unbiased predictor for prediction purposes is presented. An application for the standardized number of armed actions per 1000 km2 of rebel groups FARC-EP and ELN in different departments of Colombia from 2003 to 2009 is employed to illustrate the proposed methodology. Finally, a spatial generalized linear mixed autoregressive model using distance-based is defined including spatial as well as temporal lags between vectors of stationary state variables. Although the structural parameters are not fully identified in this model, contemporaneous spatial lag coefficients may be identified by exogenous state variables. Dynamic spatial panel data econometrics is used to estimate our proposed model. In this way, the parameters are estimated using MCMC maximum likelihood. We also discuss the interaction between temporal and spatial stationarity, and we derive the impulse responses for our model, which naturally depend upon the temporal and spatial dynamics of the model.