Academic literature on the topic 'EDP non linéaires [Équations aux dérivées partielles]'

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires de type Dirichlet ou Neumann sur un domaine borné régulier, qui sont à structure variationnelle, et qui présentent un défaut de compacité. Dans la première partie, nous étudions une EDP homogène avec un opérateur non linéaire faisant intervenir un poids strictement positif, une non-linéarité critique au sens de Sobolev et un paramètre λ. Nous établissons des résultats d'existence et de non-existence de solutions qui dépendent du comportement du poids au voisinage de ses minima, de paramètres λ et de la géométrie du domaine. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à des EDP non homogènes avec poids et avec une non-linéarité critique au bord au sens de l'inclusion de trace. Nous montrons des résultats d'existence qui dépendent des différents coefficients des EDP étudiées et de la courbure moyenne en un point minimum de poids<br>This thesis is devoted to the study of some nonlinear partial differential equations of Dirichelet or Neumann type, with a non compact variational structure. In the first part, we study homogeneous PDE with a positive weight, with the critical Sobolev exponent and a parameter λ. We establish some existence and non-existence results which depend on the behavior of the weight near its minima, the parameter λ and the geometry of the domain. In the second part, we are interseted by some non-homogeneous PDE with weight and with a critical nonlinearity on the boundary. We show some existence results which depend on the various coefficients of the studied PDE, and of the mean curvature of the boundary of the domain

Cette thèse se consacre aux études des comportements de longtemps des solutions pour les EDPs nonlinéaires qui sont proches d'une EDP linéaire ou intégrable hamiltonienne. Une théorie de la moyenne pour les EDPs nonlinéaires est presenté. Les modèles d'équations sont les équations Korteweg-de Vries (KdV) perturbées et quelques équations aux dérivées partielles nonlinéaires faiblement.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie introduit une méthode probabiliste numérique pour les EDPs parabolique et complètement non-linéaire, puis on considère ses propriétés asymptotiques (convergence et taux de convergence) et aussi l'analyse de l'erreur due à l'approximation de l'espérance conditionnelle par une méthode de type Monte Carlo. Les EDPs complètement non- linaires apparaissent dans plusieurs applications en ingénierie, économie et finance. Citons par exemple le problème de propagation de front par courbure moyenne, ou le problème de sélection de portefeuille. Une classe importante d'EDP complètement non-linéaire est constituée par les équations de HJB découlant du contrôle optimal stochastique. Dans la plupart des cas, il n'existe pas de solution dans le sens classique. Par conséquent, la notion de solution de viscosité est utilisé pour les EDP complètement non-linéaires. En raison de manque de de solution explicite dans de nombreuses applications, les schémas d'approximation sont devenus très importants. Pour montrer la convergence, la méthode utilisée dans cette thèse a été introduite par Barles et Souganidis. Leurs travaux fournissent le résultat de convergence vers des solutions de viscosité pour une solution approchée obtenue à partir cohérente, monotone et stable régime. An d'obtenir le taux de convergence, nous avons supposé que le EDP a non-linéarité concave de type HJB. En d'autres termes, la non-linéarité est une borne inférieure des opérateurs linéaires. La thèse a utilisé la méthode de Krylov des coefficients secoué et d'approximation par un système d'équations HJB couplées pour obtenir des bornes sur les taux de convergence. La mise en œuvre du schéma requiert d'introduire une approximation des espérances conditionnelles. Pour une classe d'estimateurs, nous avons obtenu une borne inférieure sur le nombre de chemins échantillon qui préserve la vitesse de convergence obtenue avant. La généralisation de la méthode à des équations intégro-diférentielles est simple et on peut utiliser les mÃa mes arguments que dans le cas local pour obtenir la convergence et le taux de convergence. Notons cependant que le cas non local introduit la difficulté supplémentaire d'approximation des termes non locaux. La première partie sera terminée est illustrée par quelques expériences numériques. La méthode est utilisée pour résoudre le problème géométrique des taux de courbure moyenne, le problème de la sélection sur un portefeuille d'actifs avec volatilité stochastique dans le modèle de Heston, et le problème de sélection de portefeuille de deux actifs à la fois avec une volatilité stochastique, on satisfait modèle de Heston et l'autre CEV modèle. La deuxième partie de la thèse traite de la politique de production optimale dans le marché des allocations des permis d'émission de carbone. Le marché des permis d'émissions de carbone est une approche de marché pour mettre en œuvre le protocole de Kyoto. Nous avons calculé la production optimale dans 4 cas: quand il n'y a pas un tel marché, quand il y a un tel marché, mais sans grand producteur de carbone, quand il y a un gros producteur qui n'est pas teneur de marché, et quand il existe un marché avec un grande producteur. Nous avons montré que dans les premiers, la production optimale est toujours diminuée. Cependant, dans le dernier cas, nous avons montré que le gros producteur peut bénéficier du marché en changeant la prime de risque de l'allocation de carbone en raison de sa production d'appoint. Cette partie est illustrée par quelques expériences numériques qui montre des cas que le grand producteur peut bénéficier d'une production d'appoint.

Prenant $\e=\frac{1}{\kappa}$ avec $\kappa>0$ est le paramètre de Ginzburg-Landau, ce mémoire de thèse porte sur l'étude asymptotique dans la limite $\e\ri 0$ des minimiseurs périodiques ainsi que des points critiques de l'énergie de Ginzburg-Landau.<br />En première partie, on prouve pour des certeins champs magnétiques appliqués $h_{ex}$ à la surface du supraconducteur de l'ordre du premier champ critique $H_{c_1}=\frac{|\log\e|}{2}$ que pour les minimiseurs périodiques de Ginzburg-Landau, le nombre des vortex par période est de l'ordre de $h_{ex}$ et leur répartition est uniforme. En outre, en prenant des champs $h_{ex}$ proches de $H_{c_1}$ de la forme $h_{ex}=H_{c_1}+f(\e)$ où $f(\e)\rightarrow +\infty$ et $f(\e)=o(|\log\e|)$, on montre que le nombre de vortex des minimiseurs périodiques par période est de l'ordre de $f(\e)$ et leur répartition est aussi uniforme.<br />Dans une deuxième partie, toujours dans le modèle périodique, on construit une suite de points critiques ayant des vortex répartis sur un nombre fini de lignes horizontales.<br />Dans une troisième partie, on construit dans le cas d'un disque une suite de points critiques telle que les vortex sont répartis sur un nombre fini de cercles concentriques de rayon strictement positif et de centre, le centre du disque. Dans le cas où il y a un seul cercle de vorticité, le rayon est bien caractérisé.<br />Finalement, dans un modèle de Ginzburg-Landau avec "pinning", on s'intéresse à l'étude du signe des degrés des vortex et on donne des résultats partiels indiquant que les degrés ne sont pas toujours positifs.

Cette thèse comporte trois chapitres indépendants, consacrés à l’étude mathématique de trois problèmes physiques distincts, ayant pour modèles trois équations aux dérivées partielles différentes. Ces équations relèvent plus précisément de la méthode des surfaces de niveau, de la théorie de l’écoulement incompressible des matériaux non newtoniens et de la théorie cinétique des gaz raréfiés. Le premier chapitre de la thèse porte sur la dynamique des frontières en mouvement et contient une justification mathématique de la procédure numérique dite de ré-initialisation, dont les applications sont nombreuses dans le contexte de la célèbre méthode des surfaces de niveau. Nous appliquons ces résultats pour une classe d’équations issues de la méthode des surfaces de niveau de premier ordre. Nous écrivons la procédure de ré-initialisation comme un algorithme de décomposition et nous étudions la convergence de l’algorithme en utilisant des techniques d’homogénéisation dans la variable temporelle. Grâce à cette analyse rigoureuse nous introduisons également une nouvelle méthode pour l’approximation de la fonction de distance dans le contexte de la méthode des surfaces de niveau. Dans le cas où l’on cherche seulement une fonction de l’ensemble de niveau avec un gradient minoré proche du niveau zéro, nous proposons une approximation plus simple. Dans le cas général, où le niveau zéro pourrait présenter des changements de topologie, nous introduisons une nouvelle notion de limites relâchées. Dans le deuxième chapitre de la thèse, nous étudions un problème de frontière libre résultant de l’étude de l’écoulement incompressible d’un matériau non-newtonien, avec limite d’élasticité de type Drucker-Prager, sur un plan incliné et sous l’effet de la pesanteur. Nous obtenons une équation sous-différentielle, que nous formulons comme un problème variationnel avec un terme à croissance linéaire de type gradient, et nous étudions le problème dans un domaine non borné. Nous montrons que les équations sont bien posées et satisfont certaines propriétés de régularité. Nous sommes alors capables de relier les paramètres physiques avec le problème abstrait et de prouver des propriétés quantitatives de la solution. En particulier, nous montrons que la solution a un support compact, la limite de ce que nous appelons la frontière libre. Nous construisons également des solutions explicites d’une équation différentielle ordinaire qui peut estimer la frontière libre. Enfin, le troisième et dernier chapitre de la thèse est dédié aux solutions de l’équation de Boltzmann homogène avec molécules maxwelliennes et énergie infinie. Nous obtenons de nouveaux résultats d’existence de solutions éternelles pour cette équation dans un espace de mesures de probabilité d’énergie infinie (i.e. de moment d’ordre deux infini). Elles permettent de décrire le comportement asymptotique en temps d’autres solutions d’énergie infinie, mais elles apparaissent aussi comme des états asymptotiques intermédiaires dans l’étude des solutions d’énergie finie, mais arbitrairement grande. Les méthodes issues de l’analyse harmonique sont utilisées pour étudier l’équation de Boltzmann, où la variable de vitesse est exprimée en Fourier. Enfin, un changement d’échelle logarithmique en la variable temporelle permet de déterminer le bon comportement asymptotique à l’infini des solutions<br>This thesis consists of three different and independent chapters, concerning the mathematical study of three distinctive physical problems, which are modelled by three non- linear partial differential equations. These equations concern the level set method, the theory of incompressible flow of non-Newtonian materials and the kinetic theory of rare- fied gases. The first chapter of the thesis concerns the dynamics of moving interfaces and contains a rigorous justification of a numerical procedure called re-initialization, for which there are several applications in the context of the level set method. We apply these results for first order level set equations. We write the re-initialization procedure as a splitting algorithm and study the convergence of the algorithm using homogenization techniques in the time variable. As a result of the rigorous analysis, we are also able to introduce a new method for the approximation of the distance function in the context of the level set method. In the case where one only looks for a level set function with gradient bounded from below near the zero level, we propose a simpler approximation. In the general case where the zero level might present changes of topology we introduce a new notion of relaxed limits. In the second chapter of the thesis, we study a free boundary problem arising in the study of the flow of an incompressible non-Newtonian material with Drucker-Prager plasticity on an inclined plane. We derive a subdifferential equation, which we reformulate as a variational problem containing a term with linear growth in the gradient variable, and we study the problem in an unbounded domain. We show that the equations are well posed and satisfy some regularity properties. We are then able to connect the physical parameters with the abstract problem and prove some quantitative properties of the solution. In particular, we show that the solution has compact support and the support is the free boundary. We also construct explicit solutions of an ordinary differential equation, which we use to estimate the free boundary. The last chapter of the thesis is dedicated to the study of infinite energy solutions of the homogeneous Boltzmann equation with Maxwellian molecules. We obtain new results concerning the existence of eternal solutions in the space of probability measure with infinite energy (i.e. the second order moment is infinite). These solutions describe the asymptotic behaviour of other infinite energy solutions but could also be useful in the study of intermediate asymptotic states of solutions with finite but arbitrarily large energy. We use harmonic analysis tools to study the equation, where the velocity variable is expressed in the Fourier space. Finally, a logarithmic scaling of the time variable allows to determine the correct asymptotic scaling of the solutions

Dans cette thèse, nous étudions certaines régularisations conservatives et non dispersives pour des lois de conservation. Ces régularisations sont obtenues en s’inspirant de celle du système de Saint-Venant introduite par Clamond et Dutykh. Nous étudions également la régularité, dans des espaces BV généralisés, des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires. Dans la première partie, nous obtenons et étudions une régularisation appropriée de l’équation de Burgers inviscide, ainsi que sa généralisation aux lois de conservation scalaires. Nous prouvons que cette généralisation est localement bien posée pour les solutions régulières. Nous montrons aussi l’existence globale des solutions qui satisfont une inégalité d’Oleinik pour des flux uniformément convexes. Lorsque le paramètre de régularisation ``l’’ tend vers zéro, nous prouvons que ces solutions convergent, pour une sous-suite, vers les solutions de la loi de conservation scalaire originale, au moins pour un petit intervalle de temps.Nous généralisons également les équations Saint-Venant régularisées afin d’obtenir une régularisation du système d’Euler barotrope, ainsi qu’une régularisation du système de Saint-Venant avec fond variable. Nous montrons que ces deux systèmes sont bien posés localement dans Hs, avec s≥2. Dans la deuxième partie, nous démontrons un effet régularisant, sur les conditions initiales, des lois de conservation scalaires pour un flux lipschitzien strictement convexe, ainsi que pour des équations scalaires avec un terme source linéaire. Dans certains cas, nous donnons une borne de l’effet régularisant. Enfin, nous prouvons l’existence globale des solutions entropiques d’une classe de système triangulaire ayant une équation de transport dans BV^s x L^∞ où s &gt; 1/3<br>In this thesis, we study some non-dispersive conservative regularisations for the scalar conservation laws and also for the barotropic Euler system. Those regularisations are obtained inspired by a regularised Saint-Venant system introduced by Clamond and Dutykh in 2017. We also study the regularity, in generalised BV spaces, of the entropy solutions of some nonlinear hyperbolic equations. In the first part, we obtain and study a suitable regularisation of the inviscid Burgers equation, as well as its generalisation to scalar conservation laws. We prove that this regularisation is locally well-posedness for smooth solutions. We also prove the global existence of solutions that satisfy a one-sided Oleinik inequality for uniformly convex fluxes. When the regularising parameter ``l’’ goes to zero, we prove that the solutions converge, up to a subsequence, to the solutions of the original scalar conservation law, at least for a short time. We also generalise the regularised Saint-Venant equations to obtain a regularisation of the barotropic Euler system, and the Saint-Venant system with uneven bottom. We prove that both systems are locally well-posed in Hs, with s ≥ 2. In the second part, we prove a regularising effect, on the initial data, of scalar conservation laws with Lipschitz strictly convex flux, and of scalar equations with a linear source term. For some cases, we give a limit of the regularising effect.Finally, we prove the global existence of entropy solutions of a class of triangular systems involving a transport equation in BV^s x L^∞ where s &gt; 1/3

Dans cette thèse, nous étudions le modèle de synchronisation de Kuramoto et plus généralement des systèmes de diffusions interagissant en champ moyen, en présence d'un aléa supplémentaire appelé désordre. La motivation principale en est l'étude du comportement du système en grande population, pour une réalisation fixée du désordre (modèle quenched). Ce document, outre l'introduction, comporte quatre chapitres. Le premier s'intéresse à la convergence de la mesure empirique du système d'oscillateurs vers une mesure déterministe, solution d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires couplées (équation de McKean-Vlasov). Cette convergence est prouvée indirectement via un principe de grandes déviations dans le cas averaged et directement dans le cas quenched, sous des hypothèses plus faibles sur le désordre. Le deuxième chapitre est issu d'un travail en commun avec Giambattista Giacomin et Christophe Poquet et concerne la régularité des solutions de l'EDP limite ainsi que la stabilité de ses solutions stationnaires synchronisées dans le cas d'un désordre faible. Les deux derniers chapitres étudient l'influence du désordre sur une population d'oscillateurs de taille finie et illustrent des problématiques observées dans la littérature physique. Nous prouvons dans le troisième chapitre un théorème central limite quenched associé à la loi des grands nombres précédente: on montre que le processus de fluctuations quenched converge, en un sens faible, vers la solution d'une EDPS linéaire. Le dernier chapitre étudie le comportement en temps long de cette EDPS, illustrant le fait que les fluctuations dans le modèle de Kuramoto ne sont pas auto-moyennantes.

Dans une première partie nous démontrons un théorème de régularité des solutions pour les équations aux dérivées partielles non-linéaires du second ordre : si u est une solution réelle assez régulière, si le symbole principal de l'opérateur linéarisé est positif, et si la condition de Hörmander ou Oleinik-Radkevič est satisfaite, alors […]. De même, si […], est un minimum « très strict » d'une fonctionnelle intégrale […] c'est-à-dire si pour tout x de Ω, il existe un voisinage K de x, et C &gt; 0, Ɛ &gt; 0, tels que […] pour ϕ tout réelle de […], alors u est nécessairement […]. Dans une deuxième partie nous considérons des équations aux dérivées partielles non-linéaires de la forme […] où les X₁,…,Xᵨ sont des champs de vecteur vérifiant la condition de Hörmander. Soit u une solution réelle assez régulière, on suppose que la localisation de l'opérateur linéarisé sur le groupe de Lie associé au système […] est hypoelliptique ; nous démontrons sous ces hypothèses que […]. Dans une troisième partie nous considérons des opérateurs différentiels linéaires du second ordre à coefficients C² qui satisfont la condition géométrique de Feffennan et Phong, on a démontré qu'ils sont sous-elliptiques dans R², on a aussi obtenu un théorème de régularité des solutions non-linéaires<br>In a first part, we prove a regularity theorem for solution of non-linear partial differential equation of second order: if u is a smooth enough real solution, if the principal symbol of the linearized operator is positive, and if the Hörmander's or Oleinik- Radkevič 's condition is satisfied, then […]. With similar methods, we prove that: if […] is a "very strict" minimum of an integral functional […], i. E. If for all x in Ω, there are a neighborhood K of x , C &gt; 0 , Ɛ &gt; 0 , such as […] for all […], then […]. In a second part, we consider partial differential equation of form […] where X₁,…,Xᵨ are vectors fields satisfying Hörmander' s condition. Let us u be of smooth enough solution, we suppose that the localization of the linearized operator on the Lie group associated to the system of the […] is hypoelliptic, we prove with this hypothesis that […]. In a third part, we study some linear differential operators of second order 2 with C² - coefficients, these operators satisfying the Fefferman-Phong geometric condition; we prove they are sub-elliptic on R² and we so obtain a regularity theorem for nonlinear problems

Dans cette thèse, nous étudions des modèles d'agrégation limitée, qui modélisent la coalescence de particules ayant des "bras", c'est-à-dire un nombre fixé de liens potentiels. Une particule ne peut donc créer plus de liens que son nombre de bras. On s'intéresse en particulier à une variante de l'équation de Smoluchowski introduite par Jean Bertoin. Ce document comprend, outre l'introduction, trois chapitres. Le premier est dévolu à l'étude d'un modèle sexué de coagulation, où les particules ont des bras mâles et femelles et seuls des bras de sexes opposés peuvent se joindre. Ce modèle généralise et unifie ceux de Bertoin, dont on peut en particulier retrouver les résultats. Le second chapitre comprend un travail en collaboration avec Lorenzo Zambotti. On s'y intéresse à l'unicité des solutions d'équations de coagulation après gélification, en particulier l'équation de Smoluchowski avec noyau multiplicatif et l'équation d'agrégation limitée. En particulier, on donne des preuves rigoureuses de certaines heuristiques de la littérature physique, par exemple en calculant précisément le temps de gélification. Dans le cas d'agrégation limitée, on obtient aussi des formules particulièrement simples pour les concentrations limites. Pour expliquer celles-ci, on étudie dans le dernier chapitre un modèle microscopique pour l'équation de Smoluchowski d'agrégation limitée. Ceci est un travail commun avec Mathieu Merle. On parvient à décrire précisément l'état microscopique du système à tout temps et ainsi à retrouver les formules du second chapitre. Une caractéristique frappante de ce modèle est qu'il possède une propriété de criticalité auto-organisée.