Academic literature on the topic 'Einbettung (Mathematik)'

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Theorie der sogenannten stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDE), welche als ein stochastisches Anologon und in gewisser Weise als eine Verallgemeinerung von parabolischen quasi-linearen partiellen Differentialgleichungen betrachtet werden können. Die Dissertation besteht aus zwei Teilen: In dem ersten entwicklen wir die Theorie der sogenannten Entkopplungsfelder für allgemeine mehrdimensionale stark gekoppelte FBSDE. Diese Theorie besteht aus Existenz- sowie Eindeutigkeitsresultaten basierend auf dem Konzept des maximalen Intervalls. Es beinhaltet darüberhinaus Werkzeuge um Regularität von konkreten Problemen zu untersuchen. Insgesamt wird die Theorie für drei Klassen von Problemen entwickelt: In dem ersten Fall werden Lipschitz-Bedingungen an die Parameter des Problems vorausgesetzt, welche zugleich vom Zufall abhängen dürfen. Die Untersuchung der beiden anderen Klassen basiert auf dem ersten. In diesen werden die Parameter als deterministisch vorausgesetzt. Gleichwohl wird die Lipschitz-Stetigkeit durch zwei verschiedene Formen der lokalen Lipschitz-Stetigkeit abgeschwächt. In dem zweiten Teil werden diese abstrakten Resultate auf drei konkrete Probleme angewendet: In der ersten Anwendung wird gezeigt wie globale Lösbarkeit von FBSDE in dem sogenannten nicht-degenerierten Fall untersucht werden kann. In der zweiten Anwendung wird die Lösbarkeit eines gekoppelten Systems gezeigt, welches eine Lösung zu dem Skorokhod''schen Einbettungproblem liefert. Die Lösung wird für den Fall einer allgemeinen nicht-linearen Drift konstruiert. Die dritte Anwendung führt auf Lösbarkeit eines komplexen gekoppelten Vorwärt-Rückwärts-Systems, aus welchem optimale Strategien für das Problem der Nutzenmaximierung in unvollständingen Märkten konstruiert werden. Das System wird in einem verhältnismäßig allgmeinen Rahmen gelöst, d.h. für eine verhältnismäßig allgemeine Klasse von Nutzenfunktion auf den reellen Zahlen.<br>This thesis deals with the theory of so called forward-backward stochastic differential equations (FBSDE) which can be seen as a stochastic formulation and in some sense generalization of parabolic quasi-linear partial differential equations. The thesis consist of two parts: In the first we develop the theory of so called decoupling fields for general multidimensional fully coupled FBSDE in a Brownian setting. The theory consists of uniqueness and existence results for decoupling fields on the so called the maximal interval. It also provides tools to investigate well-posedness and regularity for particular problems. In total the theory is developed for three different classes of FBSDE: In the first Lipschitz continuity of the parameter functions is required, which at the same time are allowed to be random. The other two classes we investigate are based on the theory developed for the first one. In both of them all parameter functions have to be deterministic. However, two different types of local Lipschitz continuity replace the more restrictive Lipschitz continuity of the first class. In the second part we apply these techniques to three different problems: In the first application we demonstrate how well-posedness of FBSDE in the so called non-degenerate case can be investigated. As a second application we demonstrate the solvability of a system, which provides a solution to the so called Skorokhod embedding problem (SEP) via FBSDE. The solution to the SEP is provided for the case of general non-linear drift. The third application provides solutions to a complex FBSDE from which optimal trading strategies for a problem of utility maximization in incomplete markets are constructed. The FBSDE is solved in a relatively general setting, i.e. for a relatively general class of utility functions on the real line.

In dieser Arbeit werden zwei parametrische Aufgaben untersucht, Optimierungsprobleme und Variationsungleichungen. Beide Probleme werden unter der urspruenglich fuer einparametrische Optimierungsprobleme definierten Regularitaet im Sinne von Jongen, Jonker und Twilt betrachtet. Unter der oben genannten Regularitaet bezueglich Optimierungsproblemen werden zwei spezielle Einbettungen studiert. Ausgehend von der Kenntnis eines inneren Punktes des zulaessigen Bereiches eines Optimierungsproblems P wird eine Einbettung definiert, deren parametrische zulaessige Menge fuer t<1 in Inneren von P ist. Fuer t=0 ist die Loesung trivial und fuer t=1 wird das Problem P erzeugt. Die Erreichbarkeit des Parameterwertes t=1 bei der Benutzung von Kurvenverfolgungsverfahren mit Spruengen wird eroertert. Durch die Unterscheidung der verschiedenen Richtungen in t, in denen ein Rueckkehrpunkt auftreten kann, wird bewiesen, dass die genannte Methode erfolgreich ist (bei erfolgreichen Spruengen). Fuer diese Einbettung wird die Voraussetzung der Regularitaet untersucht und ein Rechtfertigungssatz bewiesen. Durchgefuehrt wird ein kurzer Vergleich mit einer aehnlichen Homotopie in der Literatur. Fuer die zweite untersuchte Einbettung (eine Penalty-Einbettung aus der Literatur) wird ein Satz zur Rechtfertigung der Regularitaetsvoraussetzung bewiesen. Die Regularitaet im Sinne von Jongen, Jonker und Twilt wird fuer den Fall von Variationsungleichungen definiert und die 5 Typen neu beschrieben. Die Unterschiede zu den Typen bei Optimierungsproblemen ergeben sich aus der Tatsache, dass die Symmetrie der Hessematrix der Lagrangefunktion bezueglich x verloren geht. Das erfordert die sorfaeltige Umformulierung einiger Bedingungen. Auss erdem musste bei den Beweisen der lokalen Eigenschaften (geometrische Struktur, Aenderung der charakteristischen Groessen) diese neue Situation beruecksichtigt werden. Ebenfalls wird der generische Charakter dieser Regularitaet nachgewiesen. Aussagen ueber die Existenz verbindender Kurven zwischen t=0 und t=1 unter der Voraussetzung der Regularitaet werden angefuehrt. Die gesamte Betrachtung der genannten Regularitaet fuer einparametrische Variationsungleichungen und die daraus resultierenden Schluss folgerungen liefern einen nuetzlichen Beitrag zur Untersuchung von Variationsungleichungen.<br>We consider two types of one-parametric problems: optimization problems and variational inequalities. Both are studied in relationship with the regularity approach due to Jongen, Jonker and Twilt (JJT-regularity), which was defined initially only for one-parametric optimization problems. The properties of two special embeddings are analysed under the assumption of JJT-regularity. Given an optimization problem P, the first embedding analysed is defined with use of an interior point of the feasible set. It holds for this embedding, that the parametric feasible set for tglobal approach. Statements concerning the existence of solution curves connecting problems (for instance t=0 and t=1) under the defined regularity are studied in the last section. The consideration of JJT-regularity for the case of variational inequalities is a new and usefull aspect for the study of this problem.

In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura- Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational invariant sind. Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov- Körpern in Beziehung. Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen. Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen Kompaktifizierung Vorteile bietet.<br>In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non- compact type. The tools available until now do not define numerical invariants which are birationally invariant. First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b- divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies. Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con- ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex- plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection numbers. Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one canonical compactification.

Durch veränderte gesellschaftliche Anforderungen kommt dem Bereich Neue Medien und Digitalisierung eine immer stärkere Bedeutung zu. Angehende GHR-Lehrkräfte verfügen, wie beispielsweise der Monitor Digitale Bildung 2017 zeigt, im Allgemeinen nicht in ausreichendem Maße über die notwendigen Kompetenzen das didaktische Potential von Neuen Medien vollständig auszuschöpfen (vgl. Schmid et. al, 2017). Im vorliegenden Beitrag wird dargestellt, welche Maßnahmen (u.a. die Veranstaltung Mathematische Anwendersysteme für den Unterricht) in der GHR-Lehramtsausbildung an der Universität Hildesheim ergriffen worden sind, um Studierende an digitale Medien und speziell an die Möglichkeiten eines Computeralgebrasystems für den Einsatz im Studium und im späteren Berufsfeld heranzuführen. Nachdem die Ansätze für die Implementierung eines Computeralgebrasystems in das Lehramtsstudium präsentiert worden sind, werden verschiedene Beispielaufgaben diskutiert und die ersten Ergebnisse einer qualitativen Befragung der Studierenden zur Umsetzung der Einbettung in das Studium dargestellt. Die Ausführungen enden mit einem Ausblick über die Veränderungen, die sich aus der Befragung ergeben und über eine mögliche Berücksichtigung derer in der GHR-Lehramtsstudienordnung.