Academic literature on the topic 'Éléments finis (conformes'

The purpose of this present work is to consider an hybrid formulation of Naghdi’s shell with G1-midsurface of the model already introduced by H. Le Dret in [1] and prove its well-posedness. Here, the displacement and the rotation of the normal to the midsurface are respectively given in Cartesian and local covariant or contravariant basis. This new version enables us, in particular, to approximate by conforming finite elements the solution with less degrees of freedom. Numerical tests are given to illustrate the efficiency of our approach. Le but de ce travail est de considérer une formulation hybride de la coque de Naghdi avec une surface moyenne G 1 du modèle déjà introduit par H. Le Dret dans [1] et de prouver sa bonne posture. Ici, le déplacement et la rotation de la normale à la surface moyenne sont donnés respectivement en une base cartésienne et une base locale covariante ou contravariante. Cette nouvelle version nous permet, en particulier, d'approximer la solution par des éléments finis conformes avec moins degrés de liberté. Des tests numériques sont donnés pour illustrer l'efficacité de notre approche.

L’enrichissement des éléments finis standard est un outil performant pour améliorer la qualité d’approximation. L’idée principale de cette approche est d’ajouter aux fonctions de base un ensemble de fonctions censées améliorer la qualité des solutions approchées. Le choix de ces dernières est crucial et est en grande partie basé sur la connaissance a priori de quelques informations telles que les caractéristiques de la solution, de la géométrie du problème à résoudre, etc. L’efficacité de cette approche pour résoudre une équation aux dérivées partielles dans un maillage fixe, sans avoir recours au raffinement, a été prouvée dans de nombreuses applications dans la littérature. La clé de son succès repose principalement sur le bon choix des fonctions de base et plus particulièrement celui des fonctions d’enrichissement. Une question importante se pose alors : quelles conditions faut-il imposer sur les fonctions d’enrichissement afin qu’elles génèrent des éléments finis bien définis ?Dans cette thèse sont abordés différents aspects d’une approche générale d’enrichissement d’éléments finis. Notre première contribution porte principalement sur l’enrichissement de l’élément fini du type Q_1. Par contre, notre seconde contribution, certainement la plus importante, met l’accent sur une approche plus générale pour enrichir n’importe quel élément fini qu’il soit P_k, Q_k ou autres, conformes ou non conformes. Cette approche a conduit à l’obtention des versions enrichies de l’élément de Han, l’élément de Rannacher-Turek et l’élément de Wilson, qui font maintenant partie des codes d’éléments finis les plus couramment utilisés en milieu industriel. Pour établir ces extensions, nous avons eu recours à l’élaboration de nouvelles formules de quadrature multidimensionnelles appropriées généralisant les formules classiques bien connues en dimension 1, dites du “point milieu,” des “trapèzes” et de leurs versions perturbées, ainsi que la formule de Simpson. Elles peuvent être vues comme des extensions naturelles de ces formules en dimension supérieure. Ces dernières, en plus de leurs tests numériques implémentés sous MATLAB, version R2016a, ont fait l’objet de notre troisième contribution. Nous mettons particulièrement l’accent sur la détermination explicite des meilleures constantes possibles apparaissant dans les estimations d’erreur pour ces formules d’intégration. Enfin, dans la quatrième contribution nous testons notre approche pour résoudre numériquement le problème d’élasticité linéaire à l’aide d’un maillage rectangulaire. Nous effectuons l’analyse numérique aussi bien l’analyse de l’erreur d’approximation et résultats de convergence que l’analyse de l’erreur de consistance. Nous montrons également comment cette dernière peut être établie à n’importe quel ordre, généralisant ainsi certains travaux menés dans le domaine. Nous réalisons la mise en œuvre de la méthode et donnons quelques résultats numériques établis à l’aide de la bibliothèque libre d’éléments finis GetFEM++, version 5.0. Le but principal de cette partie sert aussi bien à la validation de nos résultats théoriques, qu’à montrer comment notre approche permet d’élargir la gamme de choix des fonctions d’enrichissement. En outre, elle permet de montrer comment cette large gamme de choix peut aider à avoir des solutions optimales et également à améliorer la validité et la qualité de l’espace d’approximation enrichie
The enrichment of standard finite elements is a powerful tool to improve the quality of approximation. The main idea of this approach is to incorporate some additional functions on the set of basis functions. These latter are requested to improve the accuracy of the approximate solution. Their best choice is crucial and is based on the knowledge of some a priori information, such as the characteristics of the solution, the geometry of the problem to be solved, etc. The efficiency of such an approach for finding numerical solutions of partial differential equations using a fixed mesh, without recourse to refinement, was proved in numerous applications in the literature. However, the key to its success lies mainly on the best choice of the basis functions, and more particularly those of enrichment functions.An important question then arises: How to suitably choose them, in such a way that they generate a well-defined finite element ?In this thesis, we present a general approach that enables an enrichment of the finite element approximation. This was the subject of our first contribution, which was devoted to the enrichment of the classical Q_1 element, as a first step. As a second step, in our second contribution, we have developed a more general framework for enriching any finite element either P_k, Q_k or others, conforming or nonconforming. As an illustration of how to use this framework to build new enriched finite elements, we have introduced the extensions of some well-known nonconforming finite elements, notably, Han element, Rannacher-Turek element and Wilson element, which are now part of the main code of finite element methods. To establish these extensions, we have introduced a new family of multivariate versions of the classical trapezoidal, midpoint and Simpson rules. These latter, in addition to their numerical tests under MATLAB, version R2016a, have been the subject of our third contribution. They may be viewed as an extension of the well-known trapezoidal, midpoint and Simpson’s one-dimensional rules to higher dimensions. We particularly pay attention to the explicit expressions of the best possible constants appearing in the error estimates for these cubatute formulas. Finally, in the fourth contribution we apply our approach to numerically solving the linear elasticity problem based on a rectangular mesh. We carry out the numerical analysis of the approximation error and also for the consistency error, and show how the latter can be established to any order. This constitutes a generalization of some work already done in the field. In addition to our theoretical results, we have also made some numerical tests, which were achieved by using the GetFEM++ library, version 5.0. The aim of this contribution was not only to confirm our theoretical predictions, but also to show how the new developed framework allows us to expand the range of choices of enrichment functions. Furthermore, we have shown how this wide choices range can help us to improve some approximation properties and to get the optimal solutions for the particular problem of elasticity

Nous développons dans cette thèse un schéma numérique pour la résolution sur des maillages non-structurés d'un système d'équations couplant les équations de Navier-Stokes dites ”à faible nombre de Mach” à un ensemble d'équations de bilan pour des quantités scalaires. La contribution principale de la thèse est le développement d'une approximation stable de la prédiction de vitesse discrétisée par éléments finis non-conformes et la mise au point d'un schéma par volumes finis qui soit à la fois stable et robuste vis-à-vis du principe du maximum pour les équations de bilan scalaires. L'approximation de Galerkin de la prédiction de vitesse des équations de Navier-Stokes est particulièrement sensible aux régimes à convection dominante et aux couches limites. Nous avons ainsi développé, pour des maillages quelconques en hexahèdres ou tétrahèdres et en maillage structuré axisymétrique, une approximation des termes d'inertie par des éléments finis non conformes de bas degré satisfaisant la condition de compatibilité inf-sup discrète qui respecte une inégalité d'énergie et permet le contrôle au niveau discret de la variation d'énergie cinétique par la dissipation visqueuse. Dans la définition d'un schéma volumes finis pour l'approximation des équations de convection-diffusion, nous sommes confrontés à la nécessité de s'adapter à des maillages potentiellement non-structurés voire non conformes et de respecter un principe de maximum discret. Nous avons donc proposé un couplage nouveau de schémas volumes finis pour l'équation de convection-diffusion. Tous les développements effectués sont enfin validés sur des cas concrets d'intérêt pour la simulation des écoulements turbulents réactifs.

Etude de la convergence d'approximations au moyen d'espaces d'éléments finis non conformes (sans approximation de la géométrie). Analyse de l'approximation, élément par élément, de la carte (pour des espaces conformes d'éléments finis). Cas des méthodes présentant les 2 types de non conformité, en déplacement et en géométrie.

Ce travail a consisté essentiellement en l’élaboration d'un nouveau solveur, pour la résolution des équations de Maxwell tridimensionnelles dans le domaine temporel, répondant aux critères suivants : une méthode de maillage non structure, une méthode d’éléments finis linéaires conformes, un schéma explicite en temps, un contrôle numérique optimal de la contrainte sur la divergence. On sait qu'on peut découpler les équations de maxwell en deux systèmes d’équations, de type équations des ondes. A partir de là, nous avons développé trois formulations différentes, toutes basées sur une régularisation de l’équation d'origine. Après, dans la seconde et la troisième formulation la contrainte de divergence est traitée en un sens faible a l'aide d'un multiplicateur de Lagrange. Dans ces deux cas, le schéma explicite est obtenu, respectivement, par l'utilisation de la méthode de compressibilité artificielle et par pénalisation de la contrainte. La stabilité du problème discret est garantie a l'aide d'une technique de stabilisation. D'après les divers tests numériques de validation effectues, nous avons conclu que la troisième formulation révèle une meilleur précision et robustesse. Par conséquent, elle a fait l'objet d'une étude théorique et numérique. La discretisation temporelle est assurée par un schéma aux différences finies. Le code du calcul mi3d a été développé en c++. De nombreux cas tests numériques ont été effectués pour les géométries (conducteur parfait) suivantes : sphère, ogive, cavité cylindrique, avion de chasse et voiture ; et ceci dans le cas d'une source harmonique en temps et d'une impulsion. Finalement, nous avons applique la troisième formulation sur la résolution du problème de diffraction d'ondes électromagnétiques par une structure fine (antenne).

Dans cette these, on resout les equations de maxwell issues de problemes de diffraction d'une onde harmonique par un obstacle. Pour des raisons de simplicite de mise en uvre, on veut utiliser des elements finis conformes (de type p#1). Pour ce faire, il faut pouvoir prendre en compte la condition aux limites de type conducteur parfait qui intervient dans ces equations, ce qui n'est pas immediat avec ce type d'elements. On traitera donc cette condition grace a l'introduction d'un multiplicateur de lagrange. On resout ensuite le systeme lineaire (complexe, creux, indefini, symetrique mais non hermitien) issu de ce probleme de point-selle, apres l'avoir preconditionne, par une methode iterative performante (gmres ou bicgstab). On presente plusieurs preconditionnements et une comparaison des deux methodes iteratives, utilisees pour resoudre un tel systeme. Afin de ne pas s'attaquer immediatement un probleme repute difficile, on teste les differents algorithmes mis au point sur un probleme elliptique modele simple, puis sur un probleme plus complique (mais plus proche de celui que l'on veut resoudre puisqu'il s'agit de l'equation de helmholtz), pour enfin s'interesser aux equations de maxwell. On presente les formulations variationnelles des differents problemes ainsi que l'ensemble des experiences numeriques effectuees validant la methode

Les mesures photomécaniques permettent à l'expérimentateur d'accéder sans contact à diverses informations mécaniques lors de la sollicitation d'un matériau. Les progrès réalisés dans ce domaine permettent de nos jours de dépasser le cadre des mesures surfaciques pour accéder, de manière quantitative, à des mesures au sein de la matière. Ce mémoire porte sur l'intérêt de ces méthodes expérimentales volumiques dans la confrontation avec des modèles analytiques et numériques. Cette démarche de confrontation est appliquée à deux problèmes mécaniques distincts : un cas académique de fissuration et un cas industriel de contact. Le but pour chacun d'entre eux est d'affirmer ou infirmer les hypothèses relatives à l'établissement de ces modèles. Le problème de fissuration porte sur une éprouvette élastique fissurée épaisse de type SEN, sollicitée en mode I. La méthode de Corrélation d'Images Volumiques est associée à la microtomographie par rayons X pour déterminer les champs expérimentaux de déplacements. Ces derniers sont par la suite comparés à ceux obtenus numériquement (par une modélisation éléments finis) et analytiquement (par la théorie de la mécanique de la rupture). Le problème de contact porte sur un système industriel de vis à billes utilisée en aéronautique. Le but de cette étude, réalisée en collaboration avec l'Ecole des Mines d'Albi et l'IUT de Figeac, est de valider les modélisations numériques relatives à chacune des étapes de simplification du système. Les franges photoélastiques obtenues par photoélasticimétrie 2D, puis photoélasticimétrie 3D par découpage optique, sont utilisées à travers cette étude pour faire évoluer et valider les modèles numériques établis
Measurements with photomecanic techniques allow the experimenter to reach, without contact, mechanical data for a material. The progress achieved in this field allows nowadays to outdo surface measurements to perform quantitative measurements within the material. This work concerns the interest of using these volume experimental methods in a confrontation with analytical and numerical models. This confrontation is applied to two different mechanical problems: an academic case of rupture and an industrial case of contact. The purpose for these two problems is to validate or to counter the hypotheses relative to the establishment of these models. The problem of rupture concerns a thick cracked elastic SEN specimen, loaded in mode I. The Digital Volume Correlation is associated with X-ray micro-computed tomography to determine the experimental displacement fields. These are compared to those obtained numerically (by finite element method) and analytically (by the theory of rupture). The problem of contact concerns an industrial ball screw system used in aeronautics. The purpose of this study, realized in association with the “Ecole des Mines d’Albi” and the “IUT de Figeac”, is to validate the numerical models relative to each of the stages of simplification of the system. Photoelastic fringes obtained by 2D photoelasticity, then by optical slicing 3D photoelasticity, are used through this study to develop and validate the numerical models

L’essentiel de ce travail est consacré au calcul numérique de la charge limite qui peut supporter d’un corps tridimensionnel, constitué d’un matériau élastique parfaitement plastique, convergé par la loi de Hencky suivant le critère de Von-Mises. Dans une première partie. On discrétise le problème d’analyse limite par des éléments finis P1 non conforme. On étudie la convergence du problème continue vers le problème discret. On donne, à l’aide d’une base d’éléments finis P1 non conforme à divergence nulle, un sous espace affine qui réalise toutes les contraintes et sur lequel on définit des algorithmes de résolution. Simple et conjugué. Dans une deuxième partie on discrétise le problème en déformation par des éléments P1 finis conforme. On définit des algorithmes qui permettent d’obtenir la courbe d’infimum du problème en déformation par apport à la charge. Ainsi on montre numériquement l’intérêt au point de vu mécanique du calcul de la charge limite
The main of this thesis is to study numerically the safe load which can be given to 3 dimensional elastoplastic structure governed by the Hencky’s law under Von-Mises criterion of plasticity. In the first part, we discretize the limit analysis problem by the non-conform P1 finite elements. We study convergence of continuous problem to the descried problem. In using a base for these P1 elements where each one of which is divergence free and lies a affine subspace which realizes all the conditions on the deformations by which. We give the resolution algorithms for the problem: direct and conjugate. In the second part, we discretize the deformation problem by conform element, we give the algorithms which permit as it obtain the displacement as a infinimum curve in function of the load and we show the numerical advantage in the mechanical point view of calculation of safe load

Dans cette thèse nous nous intéressons à l'analyse d'erreur a priori et a posteriori de méthodes d'éléments finis mixtes et non-conformes. Nous considérons en particulier les équations de Darcy à perméabilité fortement variable et les équations de convection-diffusion-réaction en régime de convection dominante. Nous discrétisons les équations de Darcy par une méthode d'éléments finis mixtes non-conformes de type Petrov-Galerkin appelée schéma boîte. Les techniques d'estimations d'erreur a posteriori par résidu et hiérarchique conduisent à des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux indépendamment des fluctuations de la perméabilité. Les résultats théoriques sont validés numériquement sur différents cas tests présentant de forts contrastes de perméabilité. Enfin, nous montrons comment les indicateurs d'erreur obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs. Nous discrétisons les équations de convection-diffusion-réaction par des éléments finis nonconformes. Deux méthodes de stabilisation sont étudiées: la stabilisation par viscosité de sous-maille, conduisant à un schéma boîte et la méthode de pénalisation sur les faces. Nous montrons que les deux schémas ainsi obtenus ont les mêmes propriétés de convergence que les approximations par éléments finis conformes. Grâce aux techniques d'estimations d'erreur par résidu nous obtenons des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux. Certains des indicateurs d'erreur sont robustes au sens de Verfürth, c'est à dire que le rapport des constantes intervenant dans les inégalités de fiabilité et d'optimalité explose en au plus l'inverse du nombre de Péclet. Les résultats théoriques sont validés numériquement et les indicateurs d'erreur a posteriori obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs sur des problèmes présentant des couches intérieures.

Les travaux de recherche de cette habilitation se situent dans le domaine de l'Analyse Numérique des Equations aux Dérivées Partielles et portent sur la modélisation, la discrétisation, l'analyse a priori et a posteriori de schémas et la simulation numérique de différents problèmes issus de la mécanique. Un fil conducteur de ces travaux est l'utilisation et l'étude des méthodes d'éléments finis (conformes, non-conformes, mixtes, de Galerkin discontinus, stabilisés) et des formulations mixtes. Les domaines d'application abordés sont la mécanique des solides élastiques, l'ingénierie pétrolière et la mécanique des fluides, newtoniens et non-newtoniens. Ainsi, des problèmes d'élasticité linéaire, comme la discrétisation de deux modèles de plaque mince en flexion munie de conditions aux limites physiques, ont été considérés. Des écoulements anisothermes dans les milieux poreux, décrits par les équations de Darcy-Forchheimer avec un bilan d'énergie exhaustif dans les cas mono et multi-phasique, ainsi qu'un couplage thermo-mécanique puits - réservoir pétrolier ont aussi été étudiés, dans le cadre d'une collaboration industrielle avec Total. Enfin, plusieurs questions en mécanique des fluides ont été abordées, comme la discrétisation robuste des équations de Stokes par une méthode de Galerkin discontinue en lien avec les éléments finis non-conformes, le traitement des conditions aux limites non-standard pour les équations de Navier-Stokes, la modélisation hiérarchique multi-dimensionnelle des écoulements fluviaux à surface libre, la simulation réaliste des écoulements de liquides polymères et la stabilité des schémas numériques par rapport aux paramètres physiques, en particulier pour le modèle de Giesekus.