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Dissertations / Theses on the topic 'Elliptische Differentialgleichung'
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1
Winkert, Patrick. "Comparison principles and multiple solutions for nonlinear elliptic problems." Tönning Lübeck Marburg Der Andere Verl, 2009. http://d-nb.info/997031131/04.
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2
Charton, Jean Mathias. "Eine Linienmethode zur approximativen Lösung inverser Probleme für elliptische Differentialgleichungen." [S.l.] : [s.n.], 2004. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=972556427.
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3
Ackermann, Nils. "Lokalisierung der niederenergetischen Lösungen eines singulär gestörten elliptischen Neumann-Problems mittels der Geometrie des Gebietsrandes." [S.l. : s.n.], 1999. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=958029016.
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4
Bangerth, Wolfgang. "Adaptive finite element methods for the identification of distributed parameters in partial differential equations." [S.l.] : [s.n.], 2002. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=965095908.
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5
Hoffmann, Wolfgang. "Advancing-Front-Gittergenerierung und a priori Fehlerabschätzungen für elliptische Randwertprobleme mit Singularitäten." [S.l. : s.n.], 2001. http://www.bsz-bw.de/cgi-bin/xvms.cgi?SWB9563994.
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6
Raasch, Thorsten. "Adaptive wavelet and frame schemes for elliptic and parabolic equations." Berlin Logos-Verl, 2007. http://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2007/0343.
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7
Winter, Matthias. "Concentrated patterns in biological systems." [S.l. : s.n.], 2003. http://www.bsz-bw.de/cgi-bin/xvms.cgi?SWB11163816.
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8
Vexler, Boris. "Adaptive finite element methods for parameter identification problems." [S.l. : s.n.], 2004. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=971435170.
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9
Fattler, Torben. "Construction and analysis of elliptic diffusions and applications to continuous particle systems with singular interactions." München Verl. Dr. Hut, 2008. http://d-nb.info/991285387/04.
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10
Hein, Torsten, and Marcus Meyer. "Simultane Identifikation voneinander unabhängiger Materialparameter - numerische Studien." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2007. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200702000.
Full textAbstract:
In einem Modellproblem wird die Aufgabe der gleichzeitigen Identifikation
zweier unabhängiger Parameterfunktionen bei elliptischen Differentialgleichungen
untersucht. Es werden Parameterfunktionen betrachtet,
die stückweise konstant sind. In einer ausführlichen Fallstudie
wird auf unterschiedliche Fragestellungen eingegangen.
Hierbei handelt es sich zum einen um den Vergleich von
verschiedenen bekannten Lösungsalgorithmen, um für dieses Problem geeignete
Varianten auszuwählen. Des Weiteren wurden der Einfluss von Messfehlern auf
die Qualität der Lösung sowie die Wahl von Schranken für die zu ermittelnden
Parameter untersucht. Darüber hinaus wird die Wirkung der konkreten Wahl
der Randbedingungen auf die Identifizierbarkeit der zu bestimmenden
Werte untersucht.
11
Kieweg, Michael. "An a posteriori error analysis for distributed elliptic optimal control problems with pointwise state constraints." kostenfrei kostenfrei, 2007. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:384-opus-7184.
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12
Hein, Torsten. "On solving implicitly defined inverse problems by SQP-approaches." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2007. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200702148.
Full textAbstract:
In this paper two basic SQP-approaches for solving implicitly defined inverse problems are presented. Such problems often arises in parameter identification for differential equations. We also include regularization strategies which differ from similar problems in Optimal control. The main focus is on formulating saddle point problems for calculating the next iterate. Conditions for the unique and stable solvability of these problems are presented. The analytical considerations are illustrated by two examples including their discretizations and a numerical case study.
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Meyer, Marcus. "Identification of material parameters in mechanical models." Doctoral thesis, Universitätsbibliothek Chemnitz, 2010. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-201000525.
Full textAbstract:
Die Dissertation beschäftigt sich mit Parameteridentifikationsproblemen, wie sie häufig in Fragestellungen der Festkörpermechanik zu finden sind. Hierbei betrachten wir die Identifikation von Materialparametern -- die typischerweise die Eigenschaften der zugrundeliegenden Materialien repräsentieren -- aus gemessenen Verformungen oder Belastungen eines Testkörpers. In mathematischem Sinne entspricht dies der Lösung von Identifikationsproblemen, die eine spezielle Klasse von inversen Problemen bilden. Der Inhalt der Dissertation ist folgendermaßen gegliedert. Nach dem einführenden Abschnitt 1 wird in Abschnitt 2 ein Überblick von Optimierungs- und Regularisierungsverfahren zur stabilen Lösung nichtlinearer inverser Probleme diskutiert. In Abschnitt 3 betrachten wir die Identifikation von skalaren und stückweise konstanten Parametern in linearen elliptischen Differentialgleichungen. Hierbei werden zwei Testprobleme erörtert, die Identifikation von Diffusions- und Reaktionsparameter in einer allgemeinen elliptischen Differentialgleichung und die Identifikation der Lame-Konstanten in einem Modell der linearisierten Elastizität. Die zugrunde liegenden PDE-Modelle und Lösungszugänge werden erläutert. Insbesondere betrachten wir hier Newton-artige Algorithmen, Gradientenmethoden, Multi-Parameter Regularisierung and den evolutionären Algorithmus CMAES. Abschließend werden Ergebnisse einer numerischen Studie präsentiert. Im Abschnitt 4 konzentrieren wir uns auf die Identifikation von verteilten Parametern in hyperelastischen Materialmodellen. Das nichtlineare Elastizitätsproblem wird detailiert erläutert und verschiedene Materialmodelle werden diskutiert (linear elastisches St.-Venant-Kirchhoff Material und nichtlineare Neo-Hooke, Mooney-Rivlin und Modified-Fung Materialien. Zur Lösung des resultierenden Parameteridentifikationsproblems werden Lösungsansätze aus der optimalen Steuerung in Form eines Newton-Lagrange SQP Algorithmus verwendet. Die Resultate einer numerischen Studie werden präsentiert, basierend auf einem zweidimensionales Testproblem mit einer sogenannten Cook-Mebran. Abschließend wird im Abschnitt 5 die Verwendung adaptiver FEM für die Lösung von Parameteridentifikationsproblems kurz erörtert<br>The dissertation is focussed on parameter identification problems arising in the context of structural mechanics. At this, we consider the identification of material parameters - which typically represent the properties of an underlying material - from given measured displacements and forces of a loaded test body. In mathematical terms such problems denote identification problems as a special case of general inverse problems. The dissertation is organized as follows. After the introductive section 1, section 2 is devoted to a survey of optimization and regularization methods for the stable solution of nonlinear inverse problems. In section 3 we consider the identification of scalar and piecewise constant parameters in linear elliptic differential equations and examine two test problems, namely the identification of diffusion and reaction parameters in a generalized linear elliptic differential equation of second order and the identification of the Lame constants in the linearized elasticity model. The underlying PDE models are introduced and solution approaches are discussed in detail. At this, we consider Newton-type algorithms, gradient methods, multi-parameter regularization, and the evolutionary algorithm CMAES. Consequently, numerical studies for a two-dimensional test problem are presented. In section 4 we point out the identification of distributed material parameters in hyperelastic deformation models. The nonlinear elasticity boundary value problem for large deformations is introduced. We discuss several material laws for linear elastic (St.-Venant-Kirchhoff) materials and nonlinear Neo-Hooke, Mooney-Rivlin, and Modified-Fung materials. For the solution of the corresponding parameter identification problem, we focus on an optimal control solution approach and introduce a regularized Newton-Lagrange SQP method. The Newton-Lagrange algorithm is demonstrated within a numerical study. Therefore, a simplified two-dimensional Cook membrane test problem is solved. Additionally, in section 5 the application of adaptive methods for the solution of parameter identification problems is discussed briefly
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Pester, Cornelia. "A posteriori error estimation for non-linear eigenvalue problems for differential operators of second order with focus on 3D vertex singularities." Doctoral thesis, Berlin Logos-Verl, 2006. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?id=2806614&prov=M&dok_var=1&dok_ext=htm.
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15
Winkler, Gunter. "Control constrained optimal control problems in non-convex three dimensional polyhedral domains." Doctoral thesis, Universitätsbibliothek Chemnitz, 2008. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200800626.
Full textAbstract:
The work selects a specific issue from the numerical analysis of
optimal control problems. We investigate a linear-quadratic optimal
control problem based on a partial differential equation on
3-dimensional non-convex domains. Based on efficient solution methods
for the partial differential equation an algorithm known from control
theory is applied. Now the main objectives are to prove that there is
no degradation in efficiency and to verify the result by numerical
experiments.
We describe a solution method which has second order convergence,
although the intermediate control approximations are piecewise
constant functions. This superconvergence property is gained from a
special projection operator which generates a piecewise constant
approximation that has a supercloseness property, from a sufficiently
graded mesh which compensates the singularities introduced by the
non-convex domain, and from a discretization condition which
eliminates some pathological cases.
Both isotropic and anisotropic discretizations are investigated and
similar superconvergence properties are proven.
A model problem is presented and important results from the regularity
theory of solutions to partial differential equation in non-convex
domains have been collected in the first chapters. Then a collection
of statements from the finite element analysis and corresponding
numerical solution strategies is given. Here we show newly developed
tools regarding error estimates and projections into finite element
spaces. These tools are necessary to achieve the main results. Known
fundamental statements from control theory are applied to the given
model problems and certain conditions on the discretization are
defined. Then we describe the implementation used to solve the model
problems and present all computed results.
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Pütter, Rudolf. "Knotenmengen und Symmetrieeigenschaften von Lösungen einer Klasse semilinearer elliptischer Differentialgleichungen." Bonn : [s.n.], 1989. http://catalog.hathitrust.org/api/volumes/oclc/20436863.html.
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17
Bartholomäus, Lukas [Verfasser]. "Nichtlineare partielle Differentialgleichungen vom gemischten elliptisch-hyperbolischen Typ / Lukas Bartholomäus." Ulm : Universität Ulm, 2017. http://d-nb.info/1139050524/34.
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18
Achatz, Stefan. "Adaptive finite Dünngitter-Elemente höherer Ordnung für elliptische partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten." [S.l. : s.n.], 2003. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=967546184.
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19
Wolf, Jörg. "Regularität schwacher Lösungen nichtlinearer elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen mit Entartung." Doctoral thesis, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II, 2002. http://dx.doi.org/10.18452/14792.
Full textAbstract:
In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir schwache Lösungen, die zu einem geeigneten Sobolevraum gehören, q-elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen auf deren Regularität für den Fall 1<br>In the present work we study the regularity of weak solution to q-elliptic and parabolic systems partial differential equations in appropriate Sobolev spaces in case 1
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Wolf, Jörg. "Regularität schwacher Lösungen nichtlinearer elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen mit Entartung der Fall 1 [p[2 /." [S.l. : s.n.], 2002. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=966135091.
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21
Schreittmiller, Robert. "Zur Approximation der Lösungen elliptischer Systeme partieller Differentialgleichungen mittels finiter Elemente und H-Matrizen." [S.l.] : [s.n.], 2006. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=980690218.
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22
Michel, Christian Verfasser], and Sergej [Akademischer Betreuer] [Rjasanow. "Schnelle Randelementmethode für die Behandlung von Inhomogenitäten bei elliptischen partiellen Differentialgleichungen / Christian Michel ; Betreuer: Sergej Rjasanow." Saarbrücken : Saarländische Universitäts- und Landesbibliothek, 2017. http://d-nb.info/1136607978/34.
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23
Knees, Dorothee. "Regularity results for quasilinear elliptic systems of power-law growth in nonsmooth domains boundary, transmission and crack problems /." [S.l. : s.n.], 2005. http://www.bsz-bw.de/cgi-bin/xvms.cgi?SWB11730040.
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Heinz, Sebastian. "Preservation of quasiconvexity and quasimonotonicity in polynomial approximation of variational problems." Doctoral thesis, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II, 2008. http://dx.doi.org/10.18452/15808.
Full textAbstract:
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit drei Klassen ausgewählter nichtlinearer Probleme, die Forschungsgegenstand der angewandten Mathematik sind. Diese Probleme behandeln die Minimierung von Integralen in der Variationsrechnung (Kapitel 3), das Lösen partieller Differentialgleichungen (Kapitel 4) und das Lösen nichtlinearer Optimierungsaufgaben (Kapitel 5). Mit deren Hilfe lassen sich unterschiedlichste Phänomene der Natur- und Ingenieurwissenschaften sowie der Ökonomie mathematisch modellieren. Als konkretes Beispiel werden mathematische Modelle der Theorie elastischer Festkörper betrachtet. Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, ein gegebenes nichtlineares Problem durch polynomiale Probleme zu approximieren. Um dieses Ziel zu erreichen, beschäftigt sich ein großer Teil der vorliegenden Arbeit mit der polynomialen Approximation von nichtlinearen Funktionen. Den Ausgangspunkt dafür bildet der Weierstraßsche Approximationssatz. Auf der Basis dieses bekannten Satzes und eigener Sätze wird als Hauptresultat der vorliegenden Arbeit gezeigt, dass im Übergang von einer gegebenen Funktion zum approximierenden Polynom wesentliche Eigenschaften der gegebenen Funktion erhalten werden können. Die wichtigsten Eigenschaften, für die dies bisher nicht bekannt war, sind: Quasikonvexität im Sinne der Variationsrechnung, Quasimonotonie im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen sowie Quasikonvexität im Sinne der nichtlinearen Optimierung (Theoreme 3.16, 4.10 und 5.5). Schließlich wird gezeigt, dass die zu den untersuchten Klassen gehörenden nichtlinearen Probleme durch polynomiale Probleme approximiert werden können (Theoreme 3.26, 4.16 und 5.8). Die dieser Approximation zugrunde liegende Konvergenz garantiert sowohl eine Approximation im Parameterraum als auch eine Approximation im Lösungsraum. Für letztere werden die Konzepte der Gamma-Konvergenz (Epi-Konvergenz) und der G-Konvergenz verwendet.<br>In this thesis, we are concerned with three classes of non-linear problems that appear naturally in various fields of science, engineering and economics. In order to cover many different applications, we study problems in the calculus of variation (Chapter 3), partial differential equations (Chapter 4) as well as non-linear programming problems (Chapter 5). As an example of possible applications, we consider models of non-linear elasticity theory. The aim of this thesis is to approximate a given non-linear problem by polynomial problems. In order to achieve the desired polynomial approximation of problems, a large part of this thesis is dedicated to the polynomial approximation of non-linear functions. The Weierstraß approximation theorem forms the starting point. Based on this well-known theorem, we prove theorems that eventually lead to our main result: A given non-linear function can be approximated by polynomials so that essential properties of the function are preserved. This result is new for three properties that are important in the context of the considered non-linear problems. These properties are: quasiconvexity in the sense of the calculus of variation, quasimonotonicity in the context of partial differential equations and quasiconvexity in the sense of non-linear programming (Theorems 3.16, 4.10 and 5.5). Finally, we show the following: Every non-linear problem that belongs to one of the three considered classes of problems can be approximated by polynomial problems (Theorems 3.26, 4.16 and 5.8). The underlying convergence guarantees both the approximation in the parameter space and the approximation in the solution space. In this context, we use the concepts of Gamma-convergence (epi-convergence) and of G-convergence.
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Bringmann, Philipp. "Adaptive least-squares finite element method with optimal convergence rates." Doctoral thesis, Humboldt-Universität zu Berlin, 2021. http://dx.doi.org/10.18452/22350.
Full textAbstract:
Die Least-Squares Finite-Elemente-Methoden (LSFEMn) basieren auf der Minimierung des Least-Squares-Funktionals, das aus quadrierten Normen der Residuen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung besteht. Dieses Funktional liefert einen a posteriori Fehlerschätzer und ermöglicht die adaptive Verfeinerung des zugrundeliegenden Netzes. Aus zwei Gründen versagen die gängigen Methoden zum Beweis optimaler Konvergenzraten, wie sie in Carstensen, Feischl, Page und Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014) zusammengefasst werden. Erstens scheinen fehlende Vorfaktoren proportional zur Netzweite den Beweis einer schrittweisen Reduktion der Least-Squares-Schätzerterme zu verhindern. Zweitens kontrolliert das Least-Squares-Funktional den Fehler der Fluss- beziehungsweise Spannungsvariablen in der H(div)-Norm, wodurch ein Datenapproximationsfehler der rechten Seite f auftritt. Diese Schwierigkeiten führten zu einem zweifachen Paradigmenwechsel in der Konvergenzanalyse adaptiver LSFEMn in Carstensen und Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) für das 2D-Poisson-Modellproblem mit Diskretisierung niedrigster Ordnung und homogenen Dirichlet-Randdaten. Ein neuartiger expliziter residuenbasierter Fehlerschätzer ermöglicht den Beweis der Reduktionseigenschaft. Durch separiertes Markieren im adaptiven Algorithmus wird zudem der Datenapproximationsfehler reduziert.
Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Techniken auf die drei linearen Modellprobleme das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen und das lineare Elastizitätsproblem. Die Axiome der Adaptivität mit separiertem Markieren nach Carstensen und Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) werden in drei Raumdimensionen nachgewiesen. Die Analysis umfasst Diskretisierungen mit beliebigem Polynomgrad sowie inhomogene Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Abschließend bestätigen numerische Experimente mit dem h-adaptiven Algorithmus die theoretisch bewiesenen optimalen Konvergenzraten.<br>The least-squares finite element methods (LSFEMs) base on the minimisation of the least-squares functional consisting of the squared norms of the residuals of first-order systems of partial differential equations. This functional provides a reliable and efficient built-in a posteriori error estimator and allows for adaptive mesh-refinement. The established convergence analysis with rates for adaptive algorithms, as summarised in the axiomatic framework by Carstensen, Feischl, Page, and Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014), fails for two reasons. First, the least-squares estimator lacks prefactors in terms of the mesh-size, what seemingly prevents a reduction under mesh-refinement. Second, the first-order divergence LSFEMs measure the flux or stress errors in the H(div) norm and, thus, involve a data resolution error of the right-hand side f. These difficulties led to a twofold paradigm shift in the convergence analysis with rates for adaptive LSFEMs in Carstensen and Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) for the lowest-order discretisation of the 2D Poisson model problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions. Accordingly, some novel explicit residual-based a posteriori error estimator accomplishes the reduction property. Furthermore, a separate marking strategy in the adaptive algorithm ensures the sufficient data resolution.
This thesis presents the generalisation of these techniques to three linear model problems, namely, the Poisson problem, the Stokes equations, and the linear elasticity problem. It verifies the axioms of adaptivity with separate marking by Carstensen and Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) in three spatial dimensions. The analysis covers discretisations with arbitrary polynomial degree and inhomogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. Numerical experiments confirm the theoretically proven optimal convergence rates of the h-adaptive algorithm.
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Pörner, Frank. "Regularization Methods for Ill-Posed Optimal Control Problems." Doctoral thesis, 2018. https://doi.org/10.25972/WUP-978-3-95826-087-0.
Full textAbstract:
This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional<br>Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Lösungsverfahren für schlecht gestellte Steuerungsprobleme. Die Nebenbedingungen sind in der Form von elliptischen partiellen Differentialgleichungen, sowie Ungleichungsrestriktionen für die Steuerung und den zugehörigen Zustand gegeben. Das Zielfunktional besteht aus einem Tracking-Type-Term ohne zusätzliche \(L^2\)-Regularisierungsterme. Dies führt dazu, dass das Optimalsteuerungsproblem schlecht gestellt ist, was die numerische Berechnung einer Lösung erschwert. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. In diesem Fall ist der zugehörige Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung linear und das Zielfunktional linear-quadratisch. Um die zusätzlichen Steuerungsrestriktionen zu behandeln, betrachten wir ein iteratives Verfahren welches auf einer Regularisierung mit Bregman-Abständen basiert. Für eine spezielle Wahl des Regularisierungsfunktionals vereinfacht sich dieses Verfahren zu dem Proximal-Point-Verfahren. Die Analyse des Verfahrens zeigt, dass es ein effizientes und gut geeignetes Verfahren ist, um schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme zu lösen. Mithilfe einer Regularitätsannahme werden Konvergenzraten für den Regularisierungsfehler hergeleitet. Diese Regularitätsannahme ist eine Kombination einer Source-Condition sowie einer struktuellen Annahme an die aktiven Mengen. Wenn zusätzlich Zustandsrestriktionen vorhanden sind, wird zur Lösung eine Kombination aus dem Augmented Lagrange Ansatz sowie einer Tikhonov-Regularisierung angewendet. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet nicht-lineare partielle Differentialgleichungen. Dies erhöht die Komplexität des Optimalsteuerungsproblem signifikant, da der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung nun nicht-linear ist. Zur Lösung wird eine Tikhonov-Regularisierung betrachtet. Mithilfe einer geeigneten Bedingung zweiter Ordnung wird dieses Verfahren analysiert. Auch hier werden Konvergenzraten mithilfe einer Regularitätsannahme bestimmt. Anschließend werden diese Methoden auf ein Funktional mit einem zusätzlichen \(L^1\)-Term angewendet<br>Ill-posed optimization problems appear in a wide range of mathematical applications, and their numerical solution requires the use of appropriate regularization techniques. In order to understand these techniques, a thorough analysis is inevitable. The main subject of this book are quadratic optimal control problems subject to elliptic linear or semi-linear partial differential equations. Depending on the structure of the differential equation, different regularization techniques are employed, and their analysis leads to novel results such as rate of convergence estimates
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Winkler, Ralf. "Schwache Randwertprobleme von Systemen elliptischen Charakters auf konischen Gebieten." Doctoral thesis, 2008. https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bvb:20-opus-34544.
Full textAbstract:
In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zunächst unbeschränkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschränkter und nur von den Winkelvariablen abhängiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform genüge einer Gårdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevräumen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abhängige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zurückgeführt wird. Unter Anwendung des Residuenkalküls gewinnen wir eine Darstellung der Lösung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singulärfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschränkten Kegelgebieten unter Formulierung in gewöhnlichen, nicht-gewichteten Sobolevräumen angewendet. Die für Regularitätsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imaginärteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt<br>In the present PhD thesis we investigate systems of linear partial elliptic equations in weak formulation on conical domains. For an unbounded cone, first, we study the case of bounded and radially constant coefficient functions. The so defined bilinear form is supposed to satisfy a (local) Gårding inequality. In weighted Sobolev spaces we study questions of existence and uniqueness of solutions. In this context the problem is Fourier-transformed onto a set of smaller problems, represented by Fredholm operators T(·) that holomorphically depend on a complex parameter. Via the residual theorem we yield a decomposition of the solution into a regular part and a finite sum of singular functions. Using cut-off techniques we are able to transfer the preceeding results onto the case of weak formulated linear elliptic systems on bounded cones under restriction to usual, non weighted Sobolev spaces. In the last chapter, the eigenvalues of T with minimal positive imaginary part, which are responsible for regularity properties, are numeriaclly determined for the example of the plane Elastic Equations
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Wurst, Jan-Eric. "Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization." Doctoral thesis, 2015. https://doi.org/10.25972/WUP-978-3-95826-025-2.
Full textAbstract:
Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) für linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschränkungen können die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise für numerische Lösungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale Lösungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung berücksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, während Elemente höherer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die Lösung glatt ist. Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zunächst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gelöst, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um für beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularität von Lösungen behandelt, weil sie entscheidend für die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade für Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface berühren, können eine neue L2- und L∞-Fehlerabschätzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage für eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu lösen. Zudem wird die herkömmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen übertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularität in abzählbar normierten Räumen für die Variablen des gekoppelten Optimalitätssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer völlig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung lösen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilitätssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen über Funktionen mit möglichen Singularitäten in Elementen höherer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gelöst, dass die Steuerung an den Integrationspunkten überwacht wird. Die Zulässigkeit an diesen Punkten wird durch einen Glättungsschritt garantiert. In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Glättungsschritt als auch a-posteriori Schranken für den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies führt zu einem adaptiven Lösungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der Lösung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird für die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen<br>This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth. The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems. Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system. The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement
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Plura, Olgierd [Verfasser]. "Anisotrope elliptische partielle Differentialgleichungen / vorgelegt von Olgierd Plura." 2008. http://d-nb.info/990249395/34.
Full text
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Winkler, Gunter. "Control constrained optimal control problems in non-convex three dimensional polyhedral domains." Doctoral thesis, 2007. https://monarch.qucosa.de/id/qucosa%3A18908.
Full textAbstract:
The work selects a specific issue from the numerical analysis of
optimal control problems. We investigate a linear-quadratic optimal
control problem based on a partial differential equation on
3-dimensional non-convex domains. Based on efficient solution methods
for the partial differential equation an algorithm known from control
theory is applied. Now the main objectives are to prove that there is
no degradation in efficiency and to verify the result by numerical
experiments.
We describe a solution method which has second order convergence,
although the intermediate control approximations are piecewise
constant functions. This superconvergence property is gained from a
special projection operator which generates a piecewise constant
approximation that has a supercloseness property, from a sufficiently
graded mesh which compensates the singularities introduced by the
non-convex domain, and from a discretization condition which
eliminates some pathological cases.
Both isotropic and anisotropic discretizations are investigated and
similar superconvergence properties are proven.
A model problem is presented and important results from the regularity
theory of solutions to partial differential equation in non-convex
domains have been collected in the first chapters. Then a collection
of statements from the finite element analysis and corresponding
numerical solution strategies is given. Here we show newly developed
tools regarding error estimates and projections into finite element
spaces. These tools are necessary to achieve the main results. Known
fundamental statements from control theory are applied to the given
model problems and certain conditions on the discretization are
defined. Then we describe the implementation used to solve the model
problems and present all computed results.
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Charton, Jean Mathias [Verfasser]. "Eine Linienmethode zur approximativen Lösung inverser Probleme für elliptische Differentialgleichungen / vorgelegt von Jean Mathias Charton." 2004. http://d-nb.info/972556427/34.
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Achatz, Stefan [Verfasser]. "Adaptive finite Dünngitter-Elemente höherer Ordnung für elliptische partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten / Stefan Achatz." 2003. http://d-nb.info/967546184/34.
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Wolf, Jörg [Verfasser]. "Regularität schwacher Lösungen nichtlinearer elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen mit Entartung : der Fall 1 ." 2002. http://d-nb.info/966135091/34.
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Schreittmiller, Robert [Verfasser]. "Zur Approximation der Lösungen elliptischer Systeme partieller Differentialgleichungen mittels finiter Elemente und H- Matrizen / Robert Schreittmiller." 2006. http://d-nb.info/980690218/34.
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