Dissertations / Theses on the topic 'Équation de Cahn-Hilliard'

L'objet de ce mémoire est de rendre compte de travaux portant sur les phases spatialement modulées ou phases lamellaires, leur thermodynamique (diagramme de phases, profi l des interfaces) et la dynamique des transitions de phase qui les font apparaître. En particulier, je me suis intéressé aux non-linéarités de cette dynamique de transition de phase particulière en me basant sur les modèles de Swift-Hohenberg, Cahn-Hilliard et Oono, d'après les noms de leurs auteurs.

Cette thèse est une étude théorique d’un système d’équations de Cahn-Hilliard/Allen-Cahn couplées qui représente un mélange binaire en séparation de phase. Le but principal de l’étude est le comportement asymptotique des solutions en termes d’attracteurs exponentiels/globaux. Pour cette raison, l’existence et l’unicité de la solution sont étudiées tout d’abord. Une des principales applications de ce modèle d’équations est la cristallographie.Dans la première partie de la thèse, on examine le modèle proposé avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial : on réussit à trouver un attracteur exponentiel et par conséquence un attracteur global de dimension finie. Une non linéarité singulière de type logarithmique est ensuite prise dans la deuxième partie, cette fonction étant approchée par une suite de fonctions régulières et l’existence d’un attracteur global est démontrée sous des conditions au bord de type Dirichlet.Enfin, dans la dernière partie, le système est couplé avec une équation pour la température: suivant la loi de Fourrier premièrement, puis la loi de type III de la thermo-élasticité. Dans les deux cas, la dynamique de l’équation est étudiée et un attracteur exponentiel est trouvé malgré la difficulté créée par l’équation hyperbolique dans le deuxième cas
This thesis is a theoretical study of a coupled system of equations of Cahn-Hilliard and Allen-Cahn that represents phase separation of binary alloys. The main goal of this study is to investigate the asymptotic behavior of the solution in terms of exponential/global attractors. For this reason, the existence and unicity of the solution are first studied. One of the most important applications of this proposed model of equations is crystallography. In the first part of the thesis, the system is studied with boundary conditions of Dirichlet type and a regular nonlinearity (a polynomial). There, we prove the existence of an exponential attractor that leads to the existence of a global attractor of finite dimension. Then, a singular nonlinearity (a logarithmic potential) is considered in the second part. This function is approximated by a sequence of regular ones and a global attractor is found.At the end, the system of equations is coupled with temperature: with the Fourrier law in the first case, then with the type III law (in the context of thermoelasticity) in the second case. The dynamics of the equations are studied and the existence of an exponential attractor is obtained

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de modèles en séparation de phase qui tiennent compte d'effets d'anisotropie. Ceci est pertinent, par exemple, pour l'évolution de cristaux dans leur matrice liquide pour lesquels ces effets d'anisotropie sont très forts. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne certains modèles de séparation de phase qui, en particulier, décrivent la formation de motifs dendritiques. D'abord, on étudie les équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn qui prennent en compte les effets d'anisotropie forts en dimension un avec des conditions de type Neumann sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial. En particulier, ces modèles contiennent un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore. Ensuite, on étudie ces modèles avec des conditions de type périodique (respectivement, Dirichlet) sur le bord pour l'équation de Cahn-Hilliard (respectivement, d'Allen-Cahn) mais en dimension spatiales plus élevées. Finalement, on étudie la dynamique des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn visqueux avec des conditions de type Neumann et Dirichlet respectivement sur le bord et une non linéarité régulière et en plus, la présence de simulations numériques qui montrent les effets du terme de viscosité sur l'anisotropie et l'isotropie dans l'équation de Cahn-Hilliard. Dans le dernier chapitre, on étudie le comportement en temps long en termes d'attracteurs de dimension finie, d'une classe d'équations doublement non linéaires de type Allen-Cahn avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité singulière
This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of models in phase separation which take into account the anisotropic effects. This is relevant, for example, for the development of crystals in their liquid matrix for which the effects of anisotropy are very strong. We study the existence, uniqueness and the regularity of the solution of Cahn-Hilliard and Alen-Cahn equations and the asymptotic behavior in terms of the existence of a global attractor with finite fractal dimension. The first part of the thesis concerns some models in phase separation which, in particular, describe the formation of dendritic patterns. We start by study- ing the anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations in one space dimension both associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In particular, these two models contain an additional term called Willmore regularization. Furthermore, we study these two models with Periodic (respectively, Dirichlet) boundary conditions for the Cahn-Hilliard (respectively, Allen-Cahn) equation but in higher space dimensions. Finally, we study the dynamics of the viscous Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions respectively and a regular nonlinearity in the presence of the Willmore regularization term and we also give some numerical simulations which show the effects of the viscosity term on the anisotropic and isotropic Cahn-Hilliard equations. In the last chapter, we study the long time behavior, in terms of finite dimensional attractors, of a class of doubly nonlinear Allen-Cahn equations with Dirichlet boundary conditions and singular potentials

Dans ce travail, nous nous intéressons au comportement pour les grands temps des équations d'évolution dissipatives. Nous examinons plus particulièrement l'existence d'ensembles attractifs tels les attracteurs et les variétés inertielles. Dans la première partie, nous décrivons une nouvelle méthode de construction de variété inertielle pour une équation parabolique non linéaire. Nous obtenons un théorème d'existence nécessitant les mêmes hypothèses que les autres méthodes. Notre méthode est basée sur la résolution d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique (l'équation de Sacker) telle que le graphe de sa solution soit une variété positivement invariante. La deuxième partie est consacrée à l'existence de variétés inertielles approchées (VIA) qui sont un substitut aux variétés inertielles lorsque l'on ne sait pas si celles-ci existent. On montre dans deux cas (équations de réaction-diffusion et de Cahn-Hilliard) l'existence d'une famille infinie de VIA telle que l'ordre d'approximation soit de plus en plus grand. Notre méthode est générale et peut être adaptée à d'autres équations. Enfin dans la troisième partie. Nous étudions une perturbation singulière de l'équation de Cahn-Hilliard en dimension 1 obtenue en ajoutant une dérivée seconde en temps dont le coefficient ɛ est petit. Nous montrons l'existence d'un attracteur pour l'équation perturbée. De plus, la semi-distance de Haussdorf de cet attracteur à l'attracteur de l'équation de Cahn-Hilliard tend vers zéro lorsque ɛ tend vers zéro
In this work, we consider the long time behaviour of dissipative evolution equations. More precisely we study the existence of attracting sets such as attactors and inertial manifolds. In the first part, we describe a general method to construct inertial manifolds for a nonlinear parabolic equation. We obtain an existence theorem under the same type of assumptions as the methods that already exist. Our method is based on the resolution of a hyperbolic partial differentiai equation (the Sacker's equation) such that the graph of its solution is a positively invariant manifold. The second part is devoted to the existence of approximate inertial manifolds. These are substitute to inertial manifolds when their existence is not known. We prove in two cases (the reaction diffusion equation and the Cahn-Hilliard equation) the existence of an infinite family of approximate inertial manifolds with increasing order of approximation. Our method is general and can be applied to other equations. Finally, in the third part, we study a singular perturbation of the Cahn-Hilliard equation in space dimension one obtained by adding a second order derivative intime whose coefficient E is small. We prove the existence of attractors for the perturbed equation. Moreover, the Haussdorf semi distance from these attractors to the attractor of the unperturbed equation converges to zero when E goes to zero

Dans cette thèse, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutionsd'équation de type Cahn-Hilliard ainsi que son comportement asymptotiqueen termes d'existence de l'attracteur global et d'un attracteur exponentiel. Cetteéquation est considérée dans un domaine borné et régulier pour différents types denonlinéarités et de conditions au bord.D'abord, on étudie l'équation avec des conditions de type Dirichlet sur le bord etune nonlinéarité régulière. Après, on considère une perturbation du problème et ondémontre l'existence d'une famille robuste d'attracteurs exponentiels lorsque ε tendvers 0.Ensuite, on étudie l'équation avec des conditions dynamiques sur le bord. On considèretout d'abord une nonlinéarité régulière et on donne une étude théorique etnumérique. Après, on illustre ces résultats par des simulations numériques en dimensiondeux d'espace qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres.On termine par une étude du modèle considéré avec une nonlinéarité singulière quel'on approche par des fonctions régulières et on introduit une notion de solutionappropriée
This thesis is devoted to the study of the existence, uniqueness andregularity of solutions for a Cahn-Hilliard type equation, as well as the asymptoticbehavior in terms of existence of the global attractor and of an exponential attractor.This equation is considered in a bounded and smooth domain under variousassumptions on the nonlinear terms and with different boundary conditions.We start by studying the equation with Dirichlet boundary conditions and a regularnonlinearity. Then, we consider a perturbation of the problem and we prove theexistence of a robust family of exponential attractors as ε tends to 0.For the equation endowed with dynamic boundary conditions, we first consider aregular nonlinearity and we treat the theoretical and numerical analysis. Then, weillustrate the results by numerical simulations in two space dimension which allow usto study the influence of different parameters. Finally, we treat the problem consideredwith a singular nonlinearity which is approximated by regular functions andwe give a suitable notion of solutions

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de quelques généralisations de l'équation de Cahn-Hilliard. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution de ces modèles ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne des modèles appliqués à la retouche d'images. D'abord, on étudie la dynamique de l'équation de Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité régulière de type polynomial et on propose un schéma numérique avec une méthode de seuil efficace pour le problème de la retouche et très rapide en terme de temps de convergence. Ensuite, on étudie ce modèle avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité singulière de type logarithmique et on donne des simulations numériques avec seuil qui confirment que les résultats obtenus avec une nonlinéarité de type logarithmique sont meilleurs que ceux obtenus avec une nonlinéarité de type polynomial. Finalement, on propose un modèle basé sur le système de Cahn-Hilliard pour la retouche d'images colorées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à des applications en biologie et en chimie. On étudie la convergence de la solution d'une généralisation de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme de prolifération, associée à des conditions aux limites de type Neumann et une nonlinéarité régulière. Dans ce cas, on démontre que soit la solution explose en temps fini soit elle existe globalement en temps. Par ailleurs, on donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. On termine par l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme source et une nonlinéarité régulière. Dans cette étude, on considère le modèle à la fois avec des conditions aux limites de type Neumann et de type Dirichlet
This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of some generalizations of the Cahn-Hilliard equation. We study the well-possedness of these models, as well as the asymptotic behavior in terms of the existence of finite-dimenstional (in the sense of the fractal dimension) attractors. The first part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in image inpainting. We start by the study of the dynamics of the Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard equation with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. We give numerical simulations with a fast numerical scheme with threshold which is sufficient to obtain good inpainting results. Furthermore, we study this model with Neumann boundary conditions and a logarithmic nonlinearity and we also give numerical simulations which confirm that the results obtained with a logarithmic nonlinearity are better than the ones obtained with a polynomial nonlinearity. Finally, we propose a model based on the Cahn-Hilliard system which has applications in color image inpainting. The second part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in biology and chemistry. We study the convergence of the solution of a Cahn-Hilliard equation with a proliferation term and associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In that case, we prove that the solutions blow up in finite time or exist globally in time. Furthermore, we give numericial simulations which confirm the theoritical results. We end with the study of the Cahn-Hilliard equation with a mass source and a regular nonlinearity. In this study, we consider both Neumann and Dirichlet boundary conditions

Les travaux présentés dans cette thèse sont relatifs au comportement asymptotique (quand t →∞ ) d'équations aux dérivées partielles dissipatives et s'articulent essentiellement autour de deux thèmes : attracteurs et variétés inertielles. Dans la première partie, nous étudions les attracteurs associés à une classe assez générale de systèmes de réaction-diffusion (comprenant des systèmes possédant une région invariante). Nous considérons successivement le cas dissipatif et le cas partiellement dissipatif- plus complexe- où certains coefficients de diffusion sont nuls. Nous montrons l'existence d'attracteurs universels de dimension fractale finie et nous obtenons des estimations de cette dimension. Notre étude repose notamment sur des généralisations d'une classe d'inégalités fonctionnelles collectives dues à Lieb et Thirring, qui sont présentées en fin de partie. La deuxième partie est consacrée aux variétés inertielles et à leur approximation. L'existence de variétés inertielles pour des systèmes de réaction-diffusion partiellement dissipatifs est établie. Nous étudions ensuite des questions liées aux variétés inertielles approximatives. Pour des équations de réaction-diffusion, nous construisons plusieurs variétés inertielles approximatives ; en particulier, ces variétés existent en grandes dimensions d'espace, par opposition aux variétés inertielles "exactes". Une méthode de construction de variétés successives approximant de mieux en mieux les orbites est ensuite présentée dans le cas de l'équation de Cahn-Hilliard. Enfin, nous étudions des schémas numériques nouveaux permettant l'intégration sur un long intervalle de temps des équations aux dérivées partielles et qui découlent du concept de variété inertielle approximative. Les travaux de la troisième partie portent sur des problèmes issus de la théorie de la combustion. Nous nous intéressons aux propriétés qualitatives d'un modèle monodimensionnel stationnaire de flamme laminaire. Nous étudions aussi les attracteurs associés à un modèle bidimensionnel en fluide incompressible
The works presented in this thesis concern the asymptotic behaviour (as t →∞ ) of dissipative partial differential equations and are mainly dealing with two topics: attractors and inertial manifolds. In the first part, we study the attractors associated with a rather general class of reaction­ diffusion systems (including systems with an invariant region). We consider both the dissipative case and the partly dissipative case- more complex - where some diffusion coefficients are equal to zero. We prove the existence of universal attractors with finite fractal dimension and we derive estimates of this dimension. Our work relies in particular on generalizations of a class of collective functional inequalities due to Lieb and Thirring which are presented at the end of part one. The second part is devoted to inertial manifolds and their approximation. The existence of inertial manifolds for partly dissipative reaction-diffusion systems is established. We then address several questions related to approximate inertial manifolds. For reaction-diffusion equations, we show that such manifolds exist in high space dimension - as opposed to "exact" inertial manifolds. Then a method for constructing manifolds providing better and better order approximations to the solutions is presented in the case of the Cahn-Hilliard equation. Lastly, we propose numerical schemes well adapted to the long term integration of partial differential equations and stemming from the study of approximate inertial manifolds. The third part deals with problems borrowed from the theory of combustion. We study the qualitative properties of a one-dimensional stationary model for laminar flames. We also investigate the attractors associated with a two-dimensional model in incompressible fluid

Dans la premiere partie de la these, on etablit un nouveau modele pour l'etude des ecoulements diphasiques base sur la theorie de cahn et hilliard pour la description d'une interface diffuse et sur les principes fondamentaux de la mecanique des fluides. Ce modele est ensuite valide par la mise en place d'une methode numerique qui permet de verifier que le modele propose est pertinent dans des cas physiques varies. On peut par exemple retrouver des resultats experimentaux concernant la decomposition spinodale sous cisaillement qui rendent compte du couplage entre la thermodynamique et l'hydrodynamique. Dans une seconde partie, on mene l'etude theorique du modele. En particulier on s'interesse aux problemes d'existence et d'unicite de solutions, ainsi qu'aux proprietes de stabilite et de stabilite asymptotique de certaines solutions particulieres. Certains resultats prennent en compte le caractere eventuellement degenere du terme de diffusion dans l'equation de cahn-hilliard ou encore la singularite logarithmique du potentiel de cahn-hilliard. Toute l'etude est menee dans le cadre d'un ecoulement de cisaillement dans un canal, le dernier chapitre etant consacre au comportement du systeme a grand cisaillement.

Dans cette thèse, nous étudions d’un point de vue numérique des équations de Cahn-Hilliard non isotrope et non isotherme modélisées d'après une approche de Gurtin. Concernant l'équation de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotrope, dont la structure est proche d'un flot de gradient, nous proposons une discrétisation en espace par éléments finis mixtes, et en même temps par le schéma d'Euler implicite. Nous établissons la stabilité du schéma semi-discrétisé en espace et du schéma complètement discrétisé pour une non linéarité polynômiale. Nous établissons également, pour ces mêmes schémas, des estimations d'erreurs optimales en norme H1 et en norme L2. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques en dimension un et deux d'espace, qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres. Concernant le modèle de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotherme, pour lequel il n'existe pas de résultat d'existence locale, nous proposons un schéma totalement discrétisé qui se révèle stable en pratique. Des simulations numériques en dimension un d'espace permettent d'observer des comportements asymptotiques proches du cas isotherme
This thesis is devoted to the numerical study of the Cahn-Hilliard non isotropic and non isothermal equations, modeled by an approach of Gurtin. Concerning the Cahn-Hilliard-Gurtin non isotropic equation, whose structure is close to a gradient flow, we propose a discretization by mixed finite elements in space, and by the implicit Euler scheme in time. We prove the stability of the space semi discrete scheme and of the fully discrete scheme for a polynomial non linearity. We also prove, for these schemes, optimal error estimates in H1 norm and L2 norm. These results are illustrated by numerical simulations in one and two space dimension, which allow to study the influence of different parameters. Concerning the Cahn-Hilliard-Gurtin non isothermal model, for which there is no result of local existence, we propose a fully discrete scheme which is stable in practice. Numerical simulations in one space dimension show an asymptotic behaviour close to the isothermal case

Dans ce travail, nous nous intéressons au comportement pour les grands temps des équations d'évolution dissipatives. Plus précisément, nous nous intéressons à l'existence d'ensembles attracteurs et à l'étude de leur dépendance par rapport à un paramètre. Dans la première partie, on compare l'attracteur global (dépendant d'un paramètre réel strictement positif ε) d'un problème de Cahn-Hilliard posé sur un domaine borné en dimension 2, mince autour d'un cercle avec l'attracteur d'un problème de Cahn-Hilliard limite (quand ε=0). Nous donnons des résultats de continuité des attracteurs dans la distance de Hausdorff. En outre, nous donnons des estimations de la distance de Hausdorff entre les attracteurs du problème en 2 dimensions et l'attracteur du problème limite, quand ε est petit. Dans la seconde partie, on étudie une equation de Schrödinger non linéaire faiblement amortie en dimension 2. On montre que le comportement pour des grands temps des solutions est décrit par un attracteur global.

L'une des principales difficultés rencontrées en simulation numérique directe des écoulements diphasiques en général et des écoulements liquide-vapeur avec changement de phase en particulier, est le suivi des interfaces. L'idée développée dans ce travail consiste à ne pas modéliser une interface liquide-vapeur comme une surface de discontinuité mais comme une zone volumique a travers laquelle les grandeurs physiques varient continument. La théorie du second gradient permet d'obtenir des équations d'évolution du fluide dans l'ensemble d'un système : phases et interfaces. Cela signifie que la résolution d'un seul système d'équations aux dérivées partielles est nécessaire pour résoudre l'ensemble du problème diphasique, les interfaces et leur évolution faisant partie de la solution de ce seul système. On montre dans ce travail qu'il est possible d'épaissir artificiellement une interface sans changer sa tension interfaciale et la chaleur latente de changement d'état. Cela signifie qu'il est possible de suivre l'ensemble des interfaces d'un système diphasique liquide-vapeur avec changement de phase sur un maillage dont la taille est imposée par la plus petite échelle de Kolmogorov des phases par exemple. L'épaississement artificiel d'une zone interfaciale s'obtient en modifiant le comportement thermodynamique du fluide a l'intérieur de la binodale. On montre que cette modification n'a pas d'influence sur la dynamique d'une interface. En revanche, on montre que bien que l'épaisseur d'une interface et sa tension interfaciale varient en fonction du flux de masse et du flux thermique conductif qui la traversent, le changement de thermodynamique nécessaire à l'épaississement d'une interface amplifie de manière importante ces variations. Cela signifie en particulier qu'il faut être prudent dans la manière de choisir l'épaississement artificiel d'une interface si l'on ne souhaite pas trop faire varier sa tension interfaciale dans des problèmes dynamiques.

Cette thèse porte sur le développement, l'analyse et la mise en oeuvre de nouvelles méthodes bi-grilles en éléments finis pour des équations de réaction-diffusion de type champs de phase (Allen-Cahn, Cahn-Hilliard) ainsi que leur couplage avec les équations de Navier-Stokes 2D incompressible. La présence d'un petit paramètre (largeur de l'interface) dans les modèles à interface diffuse demande à utiliser des schémas temporels implicites et coûteux tandis que ceux semi implicites sont rapides mais limités en stabilité. Les nouveaux schémas introduits ici reposent sur l'utilisation conjointe de deux espaces d'éléments finis, un grossier VH et un fin Vh, de plus grande dimension, permettant de décomposer la solution en partie principale portant les composantes bas modeset en une partie fluctuante portant les modes élevés. L'approche bi-grilles proposée consiste à appliquer les schémas stables (coûteux) sur VH (prédiction) et à effectuer une correction sur Vh à l'aide d'un schéma linéaire dont les composantes modes élevés sont stabilisées. Un gain important en temps CPU est obtenu au prix d'une faible perte de consistance. Dans ce contexte, de nouvelles méthodes numériques sont proposées pour les modèles de champs de phase et leur couplage fluide. Nous donnons des résultats de stabilité et validons l'approche sur des bancs d'essais
This thesis deals with the development, the analysis and the implementation of new bi-grid schemes in finite elements, when applied to phase-field models such as Allen-Cahn (AC) and Cahn-Hilliard (CH) equations but also their coupling with 2D incompressible Navier-Stokes equations. Due to the presence of a small parameter, namely the length of the diffuse interface, and in order to recover the intrinsic properties of the solution, (costly) implicit time schemes must be used; semi-implicit time schemes are fast but suffer from a hard time step limitation. The new schemes introduced in the present work are based on the use of two FEM spaces, one coarse VH and one fine Vh, of larger dimension. This allows to decompose the solution into a main part (containing only low mode components) and a fluctuant part capturing the high mode ones. The bi-grid approach consists then in applying as a prediction an unconditional stable scheme (costly) to VH and to update the solution in Vh by using a high mode stabilized linear scheme. A gain in CPU time is obtained while the consistency is not deteriorated. This approach is extended to NSE and to coupled models (AC/NSE) and (CH/NSE). Stability results are given, the numerical simulations are validated on reference benchmarks

L'objectif de notre recherche est d'étudier l'existence d'attracteurs de dimension finie pour trois modèles d'équations aux dérivées partielles non linéaires : Navier-Stokes, Cahn-Hilliard et Cahn-Hilliard visqueux. En outre, nous étudions ces modèles dans les cas autonome et non autonome. Dans le but de définir les attracteurs pour chaque modèle nous avons démontré l’existence et l’unicité de la solution, puis l’existence d’un ensemble borné absorbant. Nous avons démontré également l'existence d’un attracteur global et d'attracteurs exponentiels dans le cas autonome, ainsi que les attracteurs exponentiels, uniforme, rétrograde et exponentiels rétrogrades dans le cas non autonome. Par ailleurs, nous avons démontré que pour les deux derniers modèles, l'attracteur pullback est unique et de dimension finie. L'existence d'un paramètre ε, dans le modèle de Cahn-Hilliard visqueux, nous a conduit à construire une famille robuste d'attracteurs exponentiels en étudiant la limite ε tend vers zéro
The aim of our research is to study the existence of finite-dimensional attractors associated with three nonlinear models of partial differential equations : Navier-Stokes, Cahn-Hilliard and viscous Cahn-Hilliard. Furthermore, we study these models both in the autonomous and non-autonomous cases. In order to define the attractors for each model we have proved the existence and uniqueness of the solution and then the existence of a bounded absorbing set. We have also proved the existence of global and exponentials attractors in the autonomous case, as well as exponential, uniform, pullback and pullback exponential attractors in the non-autonomous one. In addition we have shown that for the last two models, the pullback attractor is unique and with finite dimension. The existence of a parameter ε in the viscous Cahn-Hilliard model has led us to define a robust family of exponential attractors by studying the limit ε goes to zero

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques
This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results

Ce manuscrit de thèse porte sur l'analyse numérique de schémas volumes finis pour la discrétisation de deux systèmes particuliers d'équations. Dans un premier temps nous étudions l'équation de Cahn-Hilliard associée à des conditions aux limites dynamiques dont l'une des principales difficultés est que cette condition aux limites est une équation parabolique, non linéaire, posée sur le bord et couplée avec l'intérieur du domaine. Nous proposons une discrétisation de type volumes finis en espace qui permet de coupler naturellement l'équation dans le domaine et celle sur sa frontière par un terme de flux et qui s'adapte facilement à la géométrie courbe du domaine. Nous montrons l'existence et la convergence des solutions discrètes vers une solution faible du système. Dans un second temps nous étudions la stabilité Inf-Sup du problème de Stokes pour un schéma volumes finis de type dualité discrète (DDFV). Nous donnons une analyse complète de la stabilité Inf-Sup inconditionnelle dans certains cas et de la stabilité de codimension 1 dans le cas de maillages cartésiens. Nous mettons également en place une méthode numérique permettant de calculer la constante Inf-Sup associée à ce schéma pour un maillage donné. On peut ainsi observer le comportement stable ou instable selon les cas en fonction de la géométrie des maillages. Dans une dernière partie nous proposons un schéma DDFV pour un modèle couplé Cahn-Hilliard/Stokes ce qui nécessite l'introduction de nouveaux opérateurs discrets. Nous démontrons la décroissance de l'énergie au niveau discret ainsi que l'existence d'une solution au problème discret. L'ensemble de ces travaux est validé par de nombreux résultats numériques
This manuscript is devoted to the numerical analysis of finite-volume schemes for the discretization of two particular equations. First, we study the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions whose one of the main difficulties is that this boundary condition is a non-linear parabolic equation on the boundary coupled with the interior of the domain. We propose a spatial finite-volume discretization which is well adapted to the coupling of the dynamics in the domain and those on the boundary by the flux term. Moreover this kind of scheme accounts naturally for the non-flat geometry of the boundary. We prove the existence and the convergence of the discrete solutions towards a weak solution of the system. Second, we study the Inf-Sup stability of the discrete duality finite volume (DDFV) scheme for the Stokes problem. We give a complete analysis of the unconditional Inf-Sup stability in some cases and of codimension 1 Inf-Sup stability for Cartesian meshes. We also implement a numerical method which allows us to compute the Inf-Sup constant associated with this scheme for a given mesh. Thus, we can observe the stable or unstable behaviour that can occur depending on the geometry of the meshes. In a last part we propose a DDFV scheme for a Cahn-Hilliard/Stokes phase field model that required the introduction of new discrete operators. We prove the dissipation of the energy in the discrete case and the existence of a solution to the discrete problem. All these research results are validated by extensive numerical results

Le but de cette thèse est de développer et d’analyser les méthodes Hybrides d’Ordre Élevé (HHO: Hybrid High-Order, en anglais) pour des problèmes d’interfaces. Nous nous intéressons à deux types d’interfaces (i) les interfaces diffuses, et (ii) les interfaces traitées comme frontières internes du domaine computationnel. La première moitié de ce manuscrit est consacrée aux interfaces diffuses, et plus précisément aux célèbres équations de Cahn–Hilliard qui modélisent le processus de séparation de phase par lequel les deux composants d’un fluide binaire se séparent pour former des domaines purs en chaque composant. Dans la deuxième moitié, nous considérons des modèles à dimension hybride pour la simulation d’écoulements de Darcy et de transports passifs en milieu poreux fracturé, dans lequel la fracture est considérée comme un hyperplan (d’où le terme hybride) qui traverse le domaine computationnel
The purpose of this Ph.D. thesis is to design and analyse Hybrid High-Order (HHO) methods on some interface problems. By interface, we mean (i) diffuse interface, and (ii) interface as an immersed boundary. The first half of this manuscrit is dedicated to diffuse interface, more precisely we consider the so called Cahn–Hilliard problem that models the process of phase separation, by which the two components of a binary fluid spontaneously separate and form domains pure in each component. In the second half, we deal with the interface as an immersed boundary and consider a hybrid dimensional model for the simulation of Darcy flows and passive transport in fractured porous media, in which the fracture is considered as an hyperplane that crosses our domain of interest