Dissertations / Theses on the topic 'Équation de forme finale'

Les équations de Navier-Stokes linéarisées sont utilisées dans l’industrie aéronautique pour l’optimisation de forme aérodynamique, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Deux axes ont été suivis pour accélérer et rendre plus robuste la résolution de ces équations. Le premier est l’amélioration de la méthode itérative de résolution de systèmes linéaires utilisée, et le deuxième la formulation du schéma numérique conduisant à ce système linéaire. Dans cette première partie, l’extension de l’algorithme GMRES avec déflation spectrale à des systèmes à plusieurs seconds membres a été testée sur des cas tests industriels. L’amélioration du préconditionnement de la méthode GMRES par l’utilisation d'une méthode de Schwarz additive avec préconditionneur ILU(k) a permis une accélération du temps de résolution allant jusqu’à un facteur dix, ainsi que la convergence de cas jusqu’alors impossibles à résoudre. La deuxième partie présente d’abord un travail sur la stabilisation SUPG du schéma élément fini utilisé. La forme proposée de la matrice de stabilisation, dite complète, a donné des résultats encourageants en non-linéaire qui ne se sont pas transposés en linéarisé. Une étude sur les conditions aux limites de Dirichlet clôt cette partie. Une méthode algébrique d’imposition de conditions non homogènes sur des variables non triviales du calcul, qui a permis l’application industrielle à l’aéroacoustique, y est détaillée. De plus, la preuve est apportée que le caractère transparent d’une condition de Dirichlet homogène sur toutes les variables s’explique par le schéma SUPG
The linearized Navier-Stokes equations are solved at Dassault Aviation within numerical simulations for aerodynamic shape optimisation, flutter calculations and aeroacoustics. In order to improve the robustness and efficiency of the Navier-Stokes solver, this thesis followed two complementary paths. The first is work on the iterative methods used to solve linear systems, and the second is the improvement of the numerical scheme underlying these linear systems. In the first part, the extension to multiple right-hand sides of the GMRES algorithm with spectral deflation was tested on industrial test cases. The use of the ILU(k) preconditioner within an additive Schwarz method led to a reduction of the time needed to solve the systems with GMRES by a factor ten. It also enabled the convergence of some numerically very difficult cases which could not be solved by the software available before this thesis. The second part of the manuscript begins with work on the SUPG method used to stabilise the finite element scheme. A new way of computing the stabilisation matrix gave promising results on non-linear cases, which were however not observed for linear cases. A study on Dirichlet boundary conditions concludes this part. An algebraic method to impose non homogeneous Dirichlet boundary conditions on non-trivial variables is introduced. It enables the use, in an industrial context, of linearized Navier-Stokes for aeroacoustics. Moreover, the transparent behaviour of a homogeneous Dirichlet boundary conditions on all variables is proved to be due to the SUPG stabilisation

L'apprentissage est le processus par lequel un systeme (naturel ou non) acquiert de nouvelles connaissances. L'apprentissage automatique (machine learning) a pour objectif de creer des systemes artificiels ayant cette capacite d'apprendre, c'est-a-dire capable de traiter de nouvelles donnees sans avoir a programmer explicitement ce traitement. Plus precisement, il s'agit de definir des modeles theoriques d'apprentissage formalisant les idees intuitives que l'on a de l'apprentissage naturel, puis de prouver l'apprenabilite de classes de concepts dans de tels modeles. L'objet de cette these est double. Dans un premier temps, nous proposons un nouveau modele theorique d'apprentissage appele modele pacs. Ce modele est base sur le modele pac propose par valiant. Il a pour originalite de favoriser l'utilisation d'exemples simples par rapport a la cible lors de la phase d'apprentissage. Cet assouplissement du modele pac permet de montrer l'apprenabilite de classes non prouvees apprenables dans le modele de valiant (classe des formules dnf, classe des langages k-reversibles). Ensuite, nous presentons la conception et l'implantation d'une bibliotheque generique, appelee , pour la creation d'applications d'experimentations de modeles et d'algorithmes d'apprentissage dans des contextes particuliers (tels que celui des langages reguliers ou encore des formules booleennes). De telles applications devraient permettre aux chercheurs de confirmer ou d'infirmer des idees intuitives ou bien encore de decouvrir de nouvelles proprietes et ce, de maniere empirique. Nous presentons un exemple d'application, construite au moyen de la librairie pour l'etude d'algorithmes d'inference grammaticale (c'est-a-dire dans le contexte particulier des langages reguliers).

Les circuits intégrés des puces électroniques sont gravés sur des films minces semi-conducteurs fabriqués par hétéro-épitaxie. Nous nous intéressons aux instabilités morphologiques qui peuvent apparaître au cours de la croissance de ces films.

Du point de vue de la modélisation, les problèmes rencontrés en croissance cristalline sont essentiellement des problèmes de mouvement d'interfaces. Nous abordons le cas particulier du mouvement par courbure moyenne, ainsi que son approximation par la méthode de champ de phase via l'équation d'Allen-Cahn. La discrétisation par éléments finis que nous proposons permet de couvrir de nombreuses variantes de l'équation : conservation du volume, termes de forçage, anisotropie.

Nous menons ensuite l'étude numérique d'un modèle variationnel de l'instabilité de Grinfeld. Celui-ci combine croissance cristalline et interactions élastiques, en couplant une équation d'Allen-Cahn à un système d'élasticité linéarisée pour le film. Une extension du modèle permet de prendre en compte le comportement élastique du substrat.

Nous proposons, par ailleurs, un modèle de champ de phase pour l'étude de l'instabilité liée à la mise en paquet de marches en surface du film. L'étude numérique de ce modèle s'appuie sur un algorithme inspiré des techniques de recuit simulé. Celui-ci permet d'envisager la méthode de champ de phase comme un outil d'optimisation globale.

J'ai principalement étudié la classification des champs de vecteurs holomorphes Z , ayant une singularité isolée en (0,0) de type noeud-col, sous l'action des changements de coordonnées holomorphes locaux. On montre comment celle-ci se réduit à l'étude de deux équations homologiques, une pour la classification du feuilletage sous-jacent et l'autre pour la classification du flot à feuilletage fixé. On complète ainsi les invariants fonctionnels dégagés par Martinet/Ramis pour les feuilletages. Les invariants de classification expriment les obstructions à l'existence d'une fonction holomorphe F solution d'une équation du type Z(F)=G . En intégrant le second membre selon des chemins tangents à Z , on localise ces obstructions dans la non-nullité de certaines intégrales le long de cycles asymptotiques. Cette approche géométrique se distingue des méthodes utilisées par Meshcheryakova/Voronin pour obtenir indépendament et à la même époque un résultat similaire, en particulier puisqu'elle permet de donner une représentation intégrale "naturelle" aux invariants de Martinet/Ramis. En estimant ces quantités on dégage finalement de nombreuses classes explicites de champs (et d'équations différentielles) mutuellement non conjugué(e)s, alors que dans d'autre cas on peut donner des formes normales.

Cette thèse fait l'objet du développement d'un outil d'aide a la conception de forme optimale. Il s'agit de la méthode d'analyse de sensibilité analytique locale. Celle-ci consiste à évaluer la sensibilité (dérivée partielle) d'un champ (déplacements, contraintes,. . . ) solution d'un problème aux limites elliptique. Cette sensibilité sera ensuite utilisée pour le calcul du gradient du critère d'optimisation. L'approche analytique de la méthodologie a été d'abord précisée en confrontant celle-ci a une méthode (analytique) d'analyse de sensibilité globale, dans le cas des problèmes de Dirichlet, de Neumann et mixte. Elle a été ensuite confirmée sur un certain nombre d'applications (mécaniques) simples disposant de solutions analytiques. La mise en œuvre numérique de ces dernières applications par la méthode des éléments finis et/ou la méthode des éléments de frontière a été réalisée avec beaucoup de succès. Ce travail se distingue aussi par une étude orientée vers deux applications, a caractère plus général, et dont l'intérêt industriel est considérable. La première application vise l'optimisation du comportement homogénéise des structures composites a renforts unidirectionnels. Pour ce faire, un couplage de l'outil propose a la technique d'homogénéisation a été réalisé en écrivant l'analyse de sensibilité locale des problèmes cellulaires associes au composite. Sa mise en œuvre numérique (lansdru, logiciel d'analyse de sensibilité locale des composites a renforts unidirectionnels implante dans la bibliothèque éléments finis modulef) a conduit a des résultats d'optimisation très intéressants. La seconde application rentre dans le cadre de l'optimisation des gammes de forgeage. En effet, l'analyse de sensibilité locale du problème de forgeage évolutif et fortement non linéaire (comportement viscoplastique, frottement non linéaire, contact bilatéral, contact unilatéral,. . . Etc. ) a été proposée. Les résultats numériques de sensibilité obtenus par lasl, logiciel d'analyse de sensibilité locale implante dans forge2, sont très satisfaisants.

Dans ce travail, nous nous interessons a l'etude des problemes de minimisation et de maximisation de la premiere valeur propre #1 de l'operateur differentiel auto-adjoint ly = #2#i#=#0(-1)#iq#i(x)y#(#i#)#(#i#), defini sur l#2(o, l), lorsque les coefficients q#i (i = 0, 1, 2) sont soumis a des conditions de type: q#i#l##i#(#o#,#l#) = c#i. #i et c#i (i = 0, 1, 2) sont des constantes positives donnees et #i 1 (i = 0, 1, 2). Nous caracterisons les solutions optimales q#i, ainsi que les functions propres associees a #1 optimale. Nous montrons en outre que ce type de problemes est reduit, en general, a la recherche de la premiere valeur propre d'une equation differentielle non-lineaire en y. Nous etudions ensuite le probleme de lagrange qui consiste a trouver la forme de la colonne la plus puissante ayant une longueur et un volume unites et une section droite circulaire. La difficulte majeure dans ce probleme est la possibilite de rencontrer une valeur propre multiple a l'optimum. Cette multiplicite est source de nombreuses difficultes a savoir la perte de la frechet differentiabilite. Dans la derniere partie de la notre travail, nous etudions les problemes de minimisation et de maximisation de la fonctionnelle (v) = #2(v) - #1(v) ou #1(v) resp. #2(v) designe la premiere resp. Deuxieme valeur propre de l'equation de schrodinger: -y + v(x)y + y = 0, y#|## = 0. On suppose que est un ouvert borne de r#n et que le potentiel v satisfait aux conditions suivantes: o v (#x) h x et v#l# = 1. H, m et sont des reels positifs donnes. Nous montrons que tout potentiel v optimal est infiniment differentiable dans tout ouvert o tel que 0 < v (#x) < h pour tout x o. Nous montrons aussi que la deuxieme valeur propre de l'equation de schrodinger associee a un potentiel minimisant est toujours simple

Dans cette thèse, on considère M, une sous-variété C R de CN, passant par 0 et on donne des conditions suffisantes, liées à la forme de Levi en 0, pour que toutes fonction C R sur ω, un voisinage ouvert de 0 dans M, soit la restriction à ω d’une fonction holomorphe au voisinage de 0 dans CN. La méthode utilisée consiste en la construction de disques analytiques dont le bord est sur M et qui contiennent un voisinage de 0 dans CN, d’abord dans un cas modèle puis dans la cas général par approximations
In this thesis, we consider M, a CR submanifold of ₵N, which passes through 0, and, we give sufficient conditions, related to the Levi form at the origin, so that each C R function on ω, an open neighborhood of 0 in M, is the restriction to ω of a holomorphic function defined on an open neighborhood of 0 in ₵N. The method used is to construct analytic discs whose boundaries lie on M and which contain a neighborhood of 0 in ₵N, first in a model case, then in the general case by approximations

L'optimisation de forme topologique permet d'obtenir une grande variété de formes possibles. Ces domaines, qui peuvent être complexes, sont généralement représentés implicitement par une fonction courbe de niveaux: la densité de matière dans le cas de l'optimisation topologique par homogénéisation, une fonction courbe de niveaux dans le cas de la méthode des level-sets et le gradient topologique donné par l'expression de l'asymptotique topologique. Le dernier cas, objet de cette thèse, présente une propriété fondamentale: la positivité du gradient topologique est une condition nécessaire et même suffisante d'optimalité. Plus précisément, soit Omega un domaine borné et j(Omega) = J(u_Omega), un critère qui dépend de Omega via la solution d'un problème d'équations aux dérivées partielles noté u_Omega. Dans la plupart des cas, la variation j(Omega - B(x, epsilon)) - j(Omega) admet un développement asymptotique (par rapport à epsilon) qui s'écrit sous la forme: f(epsilon)g(x)+o(f(epsilon)), où f(epsilon) est une fonction positive qui tend vers 0 avec epsilon. Ainsi, pour minimiser le critère, il faut créer des trous là où la fonction $g$, appelée gradient topologique, est négative. De telles formules asymptotiques ont été déjà établies pour divers problèmes. Dans cette thèse, les principaux points abordés sont: l'insertion d'une inhomogénéité dans le domaine, le cas d'opérateurs différentiels dont le symbole est non homogène (Helmholtz, Maxwell), trou de forme quelconque et le cas d'un trou sur le bord du domaine. Les résultats obtenues sont validés par des tests numériques comme par exemple l'optimisation des guides d'onde.

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants concernant l'application de méthodes stochastiques à des problèmes issus de la dynamique moléculaire. Dans la première partie, nous présentons des travaux liés à l'interprétation probabiliste de l'équation de Poisson-Boltzmann qui intervient dans la description du potentiel électrostatique d'un système moléculaire. Après avoir introduit l'équation de Poisson-Boltzmann et les principaux outils mathématiques utilisés, nous nous intéressons à l'équation linéaire parabolique de Poisson-Boltzmann. Avant d'énoncer le résultat principal de la thèse, nous étendons des résultats d'existence et unicité des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous donnons ensuite une interprétation probabiliste de l'équation non-linéaire de Poisson-Boltzmann sous la forme de la solution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Enfin, dans une seconde partie prospective, nous commençons l'étude d'une méthode proposée par Paul Malliavin de détection des variables lentes et rapides d'une dynamique moléculaire.

L'étude du nombre de points rationnels d'une courbe définie sur un corps fini se divise naturellement en deux cas : lorsque le genre est petit (typiquement g<=50), et lorsqu'il tend vers l'infini. Nous consacrons une partie de cette thèse à chacun de ces cas. Dans la première partie de notre étude nous expliquons comment calculer l'équation de n'importe quel revêtement abélien d'une courbe définie sur un corps fini. Nous utilisons pour cela la théorie explicite du corps de classe fournie par les extensions de Kummer et d'Artin-Schreier-Witt. Nous détaillons également un algorithme pour la recherche de bonnes courbes, dont l'implémentation fournit de nouveaux records de nombre de points sur les corps finis d'ordres 2 et 3. Nous étudions dans la seconde partie une formule de trace d'opérateurs de Hecke sur des formes modulaires quaternioniques, et montrons que les courbes de Shimura associées forment naturellement des suites récursives de courbes asymptotiquement optimales sur une extension quadratique du corps de base. Nous prouvons également qu'alors la contribution essentielle en points rationnels est fournie par les points supersinguliers
The study of the number of rational points of a curve defined over a finite field naturally falls into two cases: when the genus is small (typically g<=50), and when it tends to infinity. We devote one part of this thesis to each of these cases. In the first part of our study, we explain how to compute the equation of any abelian covering of a curve defined over a finite field. For this we use explicit class field theory provided by Kummer and Artin-Schreier-Witt extensions. We also detail an algorithm for the search of good curves, whose implementation provides new records of number of points over the finite fields of order 2 and 3. In the second part, we study a trace formula of Hecke operators on quaternionic modular forms, and we show that the associated Shimura curves of the form naturally form recursive sequences of asymptotically optimal curves over a quadratic extension of the base field. Moreover, we then prove that the essential contribution to the rational points is provided by supersingular points

Les symétries géométriques en usage en physique nucléaire sont assez peu variées, essentiellement la symétrie de l’ellipsoïde triaxial. On propose donc une méthode rigoureuse permettant d’étudier l’évolution et la possibilité de l’existence de symétries nouvelles dont la symétrie tétraédrique. Le formalisme de l’équation de SCHRÖDINGER est replacé dans le cadre des espaces de RIEMANN. Ce formalisme est utilisé dans le contexte du noyau de l’atome où l’on applique la théorie du champ moyen alliée à l’approximation adiabatique. Le noyau est le siège de deux catégories de mouvements adiabatiquement séparés, le mouvement rapide des nucléons dans le champ moyen, et le mouvement collectif modifiant lentement le champ moyen. Le second est régi par une équation de SCHRÖDINGER collective qui prend place dans un espace dont la métrique est donnée par le tenseur de masse. L’étude de la géométrie du noyau est alors calculable à l’aide de deux grands programmes développés dans le cadre de la thèse
The geometrical symmetries used in nuclear physics are not very diversified, essentially the symmetry of the triaxial ellipsoid. One proposes therefore a rigourous method allowing to study the temporal evolution and the possibility of the existence of new symmetries among them the tetrahedral symmetry. The formalism of SCHRÖDINGER equation is reformulated in the framework of RIEMANN’s spaces. This formalism is used in the context of the atomic nucleus where one applies the mean-field theory combined with the adiabatic approximation. The nucleus is the terrain of two types of motions adiabatically separated, the quick motion of the nucleons in the mean-field and the collective motion modifying slowly the meanfield. The second one is governed by a collective SCHRÖDINGER equation written down in a space whose metric is given by the mass tensor. The study of the nucleus geometry is then computable with the help of two big programs developped within the thesis

Dans ce mémoire, nous présentons une stratégie basée sur une approche hybridedans le domaine temporel, couplant une méthode de résolution des équations de Maxwelldans le domaine 3D (FDTD) avec une méthode de résolution des équations de ligne detransmission, afin de pouvoir simuler des problèmes électromagnétiques de grande échelle. Lemémoire donne les éléments d’hybridation pour deux cadres d’utilisation de cette approche :une approche multi-domaine et une approche multi-résolution ou d’échelle.L’approche multi-domaine est une extension de la méthode FDTD 3D à plusieurs sousdomainesreliés par des structures filaires sur lesquelles on résout une équation de lignes detransmission par un formalisme FDTD 1D. La difficulté est d’abord d’avoir une définitionimplicite du champ électromagnétique dans la théorie des lignes de transmission, et d’autrepart de prendre en compte les effets du sol sur les courants induits au niveau des lignes etsur les champs électromagnétiques.L’approche multi-résolution ou d’échelle est conçue pour étendre les capacités de la méthodeFDTD au traitement du routage de câbles complexes ayant une section plus petite quela taille de la cellule. Ce mémoire présente différentes techniques pour évaluer les paramètresde la ligne, basées sur la résolution d’un problème de Laplace 2D, ainsi qu’une méthode decouplage champs/câbles basée sur le courant de mode commun.L’ensemble de ce travail nous a permis de proposer une méthode numérique efficace pourcalculer les effets électromagnétiques induits par une source (type onde plane ou dipolaire)sur des sites de grande dimension, composés de plusieurs bâtiments reliés entre eux par unréseau de câbles. Dans ce cadre une application à la foudre a été réalisée
In this thesis, we present a strategy based on a hybrid approach in the timedomain, by coupling 3D method (FDTD) with a multi-conductors transmission line (MTL)method, in order to simulate complex large scale electromagnetic problems. This reportgives the theoretical and numerical elements for coupling these approaches for two kindof problems, which are the multi domains approach and the multi scale approach. Themultiple domains approach is an extension of the classical FDTD method taking into accountseveral 3D subdomains, interconnected by a wire network, on which a 1D transmission lineformalism is used. The main issues are, on one hand to have an implicit expression ofthe electromagnetic field in the transmission line approach, and on the other hand to beable to take into account the ground effects on the induced currents, on the transmissionline parameters and on the electromagnetic field. The multi scale approach is developed toextend the capabilities of FDTD to deal with complex cables routing. We assume that thecross section of the cables are smallest than the cell size, and in these problems, the 1Dtransmission line problem is physically included in the 3D global computational domain.The work done in this thesis leaded to a new field to transmission line coupling based onthe common mode current, and an evaluation of the transmission. line parameters basedon a Laplace equation resolution in 2D. In this work, we have elaborated and proposedefficient numerical strategies for the computation of electromagnetic induced effects on largeand complex sites, composed of several interconnected distant buildings. An application tolightning problems have been done

Cette thèse porte sur l'étude du problème inverse de détection d'obstacle/objet par des méthodes d'optimisation. Ce problème consiste à localiser un objet inconnu oméga situé à l'intérieur d'un domaine borné connu Oméga à l'aide de mesures de bord et plus précisément de données de Cauchy sur une partie Gammaobs de thetaOmega. Nous étudions les cas scalaires et vectoriels pour ce problème en considérant les équations de Laplace et de Stokes. Dans tous les cas, nous nous appuyons sur une résultat d'identifiabilité qui assure qu'il existe un unique obstacle/objet qui correspond à la mesure de bord considérée. La stratégie utilisée dans ce travail est de réduire le problème inverse à la minimisation d'une fonctionnelle coût: la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Cette approche est fréquemment utilisée et permet notamment d'utiliser des méthodes d'optimisation pour des implémentations numériques. Cependant, afin de bien définir la fonctionnelle, cette méthode nécessite de connaître une mesure sur tout le bord extérieur thetaOmega. Ce dernier point nous conduit à étudier le problème de complétion de données qui consiste à retrouver les conditions de bord sur une région inaccessible, i.e. sur thetaOmega\Gammaobs, à partir des données de Cauchy sur la région accessible Gammaobs. Ce problème inverse est également étudié en minimisant une fonctionnelle de type Kohn-Vogelius. La caractère mal posé de ce problème nous amène à régulariser la fonctionnelle via une régularisation de Tikhonov. Nous obtenons plusieurs propriétés théoriques comme des propriétés de convergence, en particulier lorsque les données sont bruitées. En tenant compte de ces résultats théoriques, nous reconstruisons numériquement les données de bord en mettant en oeuvre un algorithme de gradient afin de minimiser la fonctionnelle régularisée. Nous étudions ensuite le problème de détection d'obstacle lorsque seule une mesure de bord partielle est disponible. Nous considérons alors les conditions de bord inaccessibles et l'objet inconnu comme les variables de la fonctionnelle et ainsi, en utilisant des méthodes d'optimisation de forme géométrique, en particulier le gradient de forme de la fonctionnelle de Kohn-Vogelius, nous obtenons la reconstruction numérique de l'inclusion inconnue. Enfin, nous considérons, dans le cas vectoriel bi-dimensionnel, un nouveau degré de liberté en étudiant le cas où le nombre d'objets est inconnu. Ainsi, nous utilisons l'optimisation de forme topologique afin de minimiser la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Nous obtenons le développement asymptotique topologique de la solution des équations de Stokes 2D et caractérisons le gradient topologique de cette fonctionnelle. Nous déterminons alors numériquement le nombre d'obstacles ainsi que leur position. De plus, nous proposons un algorithme qui combine les méthodes d'optimisation de forme topologique et géométrique afin de déterminer numériquement le nombre d'obstacles, leur position ainsi que leur forme
This PhD thesis is dedicated to the study of the inverse problem of obstacle/object detection using optimization methods. This problem consists in localizing an unknown object omega inside a known bounded domain omega by means of boundary measurements and more precisely by a given Cauchy pair on a part Gammaobs of thetaOmega. We cover the scalar and vector scenarios for this problem considering both the Laplace and the Stokes equations. For both cases, we rely on identifiability result which ensures that there is a unique obstacle/object which corresponds to the considered boundary measurements. The strategy used in this work is to reduce the inverse problem into the minimization of a cost-type functional: the Kohn-Vogelius functional. This kind of approach is widely used and permits to use optimization tools for numerical implementations. However, in order to well-define the functional, this approach needs to assume the knowledge of a measurement on the whole exterior boundary thetaOmega. This last point leads us to first study the data completion problem which consists in recovering the boundary conditions on an inaccessible region, i.e. on thetaOmega\Gammaobs, from the Cauchy data on the accessible region Gammaobs. This inverse problem is also studied through the minimization of a Kohn-Vogelius type functional. The ill-posedness of this problem enforces us to regularize the functional via a Tikhonov regularization. We obtain several theoretical properties as convergence properties, in particular when data is corrupted by noise. Based on these theoretical results, we reconstruct numerically the boundary data by implementing a gradient algorithm in order to minimize the regularized functional. Then we study the obstacle detection problem when only partial boundary measurements are available. We consider the inaccessible boundary conditions and the unknown object as the variables of the functional and then, using geometrical shape optimization tools, in particular the shape gradient of the Kohn-Vogelius functional, we perform the numerical reconstruction of the unknown inclusion. Finally, we consider, into the two dimensional vector case, a new degree of freedom by studying the case when the number of objects is unknown. Hence, we use the topological shape optimization in order to minimize the Kohn-Vogelius functional. We obtain the topological asymptotic expansion of the solution of the 2D Stokes equations and characterize the topological gradient for this functional. Then we determine numerically the number and location of the obstacles. Additionally, we propose a blending algorithm which combines the topological and geometrical shape optimization methods in order to determine numerically the number, location and shape of the objects

La modélisation de certains matériaux solides nécessite la prise en compte des effets de changement de phase. Dans ce travail, un modèle d'un matériau solide présentant ce phénomène est proposé. Le changement de phase y est décrit par des variables internes qui représentent les proportions de phase. A partir de leur définition et du fait que ces variables ne sont pas indépendantes de la déformation macroscopique, le modèle considéré rentre dans le cadre des matériaux standards généralisés avec des variables d'état liées. Une extension de la méthode des deux potentiels en présence des liaisons internes est proposée. Par souci de clarté, la présentation est donnée suivant le formalisme des multiplicateurs de Lagrange. Les équations d'état sont écrites en fonction du lagrangien associé. L'évolution des variables internes irréversibles est obtenue par les lois complémentaires. La possibilité de considérer le changement de phase réversible ou irréversible est discutée d'une manière générale. Le problème de la stabilité du matériau est aussi examiné et met en lumière l'important rôle de l'énergie d'interaction entre les phases. Comme applications, le modèle en question est d'abord utilisé pour décrire le comportement des matériaux à mémoire de forme, ensuite il est appliqué comme un modèle d'endommagement fragile partiel quand l'endommagement est interprété comme étant un changement de phase irréversible. Enfin, un programme de calcul par éléments finis est écrit afin de simuler ce comportement.

Dans cette thèse on étudie la régularité de problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz) ou paraboliques (équation de la chaleur) avec donnée mesure dans divers cadres géométriques. Ainsi, on considère pour les seconds membres des masses de Dirac en un point, sur une ligne infinie, semi-infinie ou finie, et également sur une courbe régulière. Les solutions de ces problèmes étant singulières sur la fracture (modélisée par la masse de Dirac dans le second membre), on étudie la régularité dans des espaces de Sobolev avec poids. Dans le cas d'une fracture droite, on utilise une technique classique qui consiste à appliquer une transformée de Fourier ou de Mellin à l'équation de Laplace. Ceci nous amène à étudier l'équation de Helmholtz en 2D. Pour ce dernier, on montre des estimations uniformes qui permettent ensuite de prendre la transformée inverse et d'obtenir le résultat de régularité attendu. De même, la transformée de Laplace transforme l'équation de la chaleur dans la même équation de Helmholtz en 2D. Dans le cas d'une fracture courbe régulière, grâce aux résultats de [D'angelo:2012], en utilisant un argument de localisation et un recouvrement dyadique, on obtient une régularité améliorée de la solution toujours dans les espaces de Sobolev avec poids
In this thesis, we study the regularity of elliptic problems (Laplace, Helmholtz) or parabolic problems (heat equation) with measure data in different geometric frames. Thus, we consider for the second members, Dirac masses at a point, on a line, on a half-line, or on a bounded segment, and also on a regular curve. As the solutions of these problems are singular on the fracture (modeled by Dirac mass in the second member), we study their regularity in weighted Sobolev spaces. In the case of a straight fracture, using Fourier or Mellin technique reduces the problem in dimension three to a Helmholtz problem in dimension two. For the latter, we prove uniform estimates, which are then used to apply the inverse transform and to obtain the expected regularity result. Similarly, the Laplace transformation transforms the heat equation into the same Helmholtz equation in 2D. In the case of a smooth curve fracture, thanks to the results of [D'angelo:2012], using a localization argument and a dyadic recovery we get an improved smoothness of the solution always in weighted Sobolev spaces

L'objectif de cette thèse est, d'une part, de fournir des méthodes de planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes, et d'autre part, d'étudier la contrôlabilité spectrale pour les équations de Schrödinger linéarisées. Nous avons apporté une double contribution au problème de la planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes. Fondé sur la géométrie sous-riemannienne, nous avons conçu un nouvel algorithme qui résout complètement le problème dans un cadre général. Nous avons également proposé une implémentation numérique de la méthode de continuation qui fournit des solutions satisfaisantes au problème de la planification du roulement sur le plan, un exemple classique de systèmes non-holonomes à deux entrées. Nous avons donné des conditions nécessaires et suffisantes de contrôlabilité spectrale en temps fini des équations de Schrödinger linéarisées en dimension 2 et 3. Leur généricité par rapport au domaine a été étudiée par une technique originale basée sur les équations intégrales.

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants concernant l'application de méthodes stochastiques à des problèmes issus de la dynamique moléculaire. Dans la première partie, nous présentons des travaux liés à l'interprétation probabiliste de l'équation de Poisson-Boltzmann qui intervient dans la description du potentiel électrostatique d'un système moléculaire. Après avoir introduit l'équation de Poisson-Boltzmann et les principaux outils mathématiques utilisés, nous nous intéressons à l'équation linéaire parabolique de Poisson-Boltzmann. Avant d’énoncer le résultat principal de la thèse, nous étendons des résultats d'existence et unicité des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous donnons ensuite une interprétation probabiliste de l'équation non-linéaire de Poisson-Boltzmann sous la forme de la solution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Enfin, dans une seconde partie prospective, nous commençons l'étude d'une méthode proposée par Paul Malliavin de détection des variables lentes et rapides d'une dynamique moléculaire
This thesis presents two independent research topics. Both are related to the application of stochastic problems to molecular dynamics. In the first part, we present a work related to the probabilistic interpretation of the Poisson-Boltzmann equation. This equation describes the electrostatic potential of a molecular system. After an introduction to the Poisson-Boltzmann equation, we focus on the parabolic and linear equation. After extending an existence and uniqueness result for backward stochastic differential equations, we establish a probabilistic interpretation of the nonlinear Poisson-Boltzmann equation with backward stochastic differential equations. Finally, in a more prospective second part, we initiate a study of a slow and fast variables detection method due to Paul Malliavin

La première partie de cette thèse présente le cadre des équations différen- tielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on présente et on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelle démonstration de la version formelle du théorème de Kolmogorov et du théorème de Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et témoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.

Simulation des ecoulements de convection naturelle laminaire d'un fluide incompressible confine dans une cavite parallelepipedique. Les equations de navier-stokes sont ecrites en formulation vecteurs potentiel-rotationnel

Dans ce mémoire, nous présentons une stratégie basée sur une approche hybride dans le domaine temporel, couplant une méthode de résolution des équations de Maxwell dans le domaine 3D (FDTD) avec une méthode de résolution des équations de ligne de transmission, afin de pouvoir simuler des problèmes électromagnétiques de grande échelle. Le mémoire donne les éléments d'hybridation pour deux cadres d'utilisation de cette approche : une approche multi-domaine et une approche multi-résolution ou d'échelle. L'approche multi-domaine est une extension de la méthode FDTD 3D à plusieurs sousdomaines reliés par des structures filaires sur lesquelles on résout une équation de lignes de transmission par un formalisme FDTD 1D. La difficulté est d'abord d'avoir une définition implicite du champ électromagnétique dans la théorie des lignes de transmission, et d'autre part de prendre en compte les effets du sol sur les courants induits au niveau des lignes et sur les champs électromagnétiques. L'approche multi-résolution ou d'échelle est conçue pour étendre les capacités de la méthode FDTD au traitement du routage de câbles complexes ayant une section plus petite que la taille de la cellule. Ce mémoire présente différentes techniques pour évaluer les paramètres de la ligne, basées sur la résolution d'un problème de Laplace 2D, ainsi qu'une méthode de couplage champs/câbles basée sur le courant de mode commun. L'ensemble de ce travail nous a permis de proposer une méthode numérique efficace pour calculer les effets électromagnétiques induits par une source (type onde plane ou dipolaire) sur des sites de grande dimension, composés de plusieurs bâtiments reliés entre eux par un réseau de câbles. Dans ce cadre une application à la foudre a été réalisée.

Dans cette thèse, nous calculons la forme d’un objet immergé d’aire donnée qui minimise la résistance de vague. Le corps, considéré lisse, avance à vitesse constante sous la surface libre d’un fluide qui est supposé parfait et incompressible. La résistance de vague est la traînée, c’est-à-dire la composante horizontale de la force exercée par le fluide sur l’obstacle. Nous utilisons les équations de Neumann-Kelvin 2D, qui s’obtiennent en linéarisant les équations d’Euler irrotationnelles avec surface libre. Le problème de Neumann-Kelvin est formulé comme une équation intégrale de frontière basée sur une solution fondamentale qui intègre la condition linéarisée à la surface libre. Nous utilisons une méthode de descente de gradient pour trouver un minimiseur local du problème de résistance de vague. Un gradient par rapport à la forme est calculé par la méthode de variation de frontières. Nous utilisons une approche level-set pour calculer la résistance de vague et gérer les déplacements de la frontière de l’obstacle. Nous obtenons une grande variété de formes optimales selon la profondeur de l’objet et sa vitesse
In this thesis, we compute the shape of a fully immersed object with a given area which minimises the wave resistance. The smooth body moves at a constant speed under the free surface of a fluid which is assumed to be inviscid and incompressible. The wave resistance is the drag, i.e. the horizontal component of the force exerted by the fluid on the obstacle. We work with the 2D Neumann-Kelvin equations, which are obtained by linearising the irrotational Euler equations with a free surface. The Neumann-Kelvin problem is formulated as a boundary integral equation based on a fundamental solution which handles the linearised free surface condition. We use a gradient descent method to find a local minimiser of the wave resistance problem. A gradient with respect to the shape is calculated by a boundary variation method. We use a level-set approach to calculate the wave-making resistance and to deal with the displacements of the boundary of the obstacle. We obtain a great variety of optimal shapes depending on the depth of the object and its velocity

La segmentation en objets d'une image consiste à extraire de l'image des régions d'intérêt suivant un critère défini. Nous segmentons l'image par un algorithme de contours actifs dans le cadre d'une approche variationnelle. Partant d'un contour initial quelconque, le contour actif évolue, suivant une équation aux dérivées partielles. L'équation d'évolution du contour actif est déduite de la dérivation du critère. Au vu de la dépendance du critère à la région considérée, la dérivation du critère par rapport à la région n'est pas aisée. Nous utilisons des outils de dérivation empruntés à l'optimisation de domaine: les gradients de forme.
La contribution de cette thèse réside dans l'élaboration et l'étude de différents descripteurs de région. Pour chaque critère, nous calculons la dérivée du critère à l'aide des gradients de forme, et en déduisons l'équation d'évolution du contour actif.
Le premier descripteur définit un a priori géométrique sans contrainte paramétrique: il minimise la distance du contour actif à un contour de référence. Nous l'avons appliqué à la déformation de courbe, la segmentation et le suivi de cible.
Le deuxième descripteur caractérise le mouvement de l'objet par un modèle de mouvement. Le critère associé définit conjointement une région et son mouvement sur plusieurs images consécutives. Nous avons appliqué ce critère à l'estimation et la segmentation conjointe du mouvement et au suivi d'objets en mouvement.

Cette thèse se propose d'obtenir des résultats statistiques sur les zéros non-triviaux de fonctions L. Dans le cas des fonctions L de formes modulaires, on prouve qu'une proportion positive explicite de zéros non-triviaux se situe sur la droite critique. Afin d'arriver à ce résultat, il nous faut préalablement étendre un théorème sur les problèmes de convolution avec décalage additif en moyenne de manière à déterminer le comportement asymptotique du second moment intégral ramolli d'une fonction L de forme modulaire au voisinage de la droite critique. Une autre partie de cette thèse, indépendante de la précédente, est consacrée à l'étude du plus petit zéro non-trivial d'une famille de fonctions L. Ces résultats sont en particulier appliqués aux fonctions L de puissance symétrique.

Dans cette thèse, nous implémentons les équations de Saint Venant (SV), ou de Shallow Water, sur des grilles non structurées afin de simuler des écoulements de surface libre sur des bathymétries irrégulières, incluant inondation et d'autres phénomènes complexes qui se produisent généralement dans des applications hydrodynamiques. En particulier, nous voudrions simuler avec précision les tsunamis, la propagation d'onde à grande échelle jusqu'à l'inondation très localisé. À cette fin, nous utilisons deux méthodes qui sont comparées en profondeur le long du manuscrit: la méthode des volumes finis, très populaire dans la communauté hydrodynamique et hydraulique et une technique plus récente appelée Distribution du Résidu appartenant à la classe des schémas upwind multidimensionnels. Pour améliorer la résolution de certaines caractéristiques de l'écoulement telles que le développement du déferlement et les inondations à petite échelle, nous utilisons une adaptation de maillage dynamique basée sur une redistribution des noeuds de maillage, aussi appelé adaptation de type r (r signifiant "relocalisation"). La combinaison appropriée de cette méthode avec le solveur SV est généralement appelée Méthode de Maillage Mobile. Parmi les nombreux algorithmes de maillage mobile disponibles, nous proposons une forme Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) des équation SV qui permettent de faire évoluer les variables de flux d'une maille à l'autre de manière élégante. Dans ce contexte, nous soulignons les principales contributions de la thèse: Nous montrons l'importance de conserver toutes les propriétés standards d'un solveur Eulérien SWE tel que la préservation du lac au repos et la conservation de la masse également sur des maillages en mouvement. Notre couplage ALE est comparé à l'approche de rezoning, avec une légère augmentation de la performance globale de l'algorithme en termes de précision et de temps CPU. Nous étendons l'approche ALE sur la sphère afin d'inclure l'effet de la courbure terrestre dans la dynamique de propagation des ondes à grande échelle du tsunami. La simulation du tsunami 2011 de Tohoku-Honsu devrait prouver que la méthode de maillage mobile étudiée dans la thèse, bien que simple, pourrait être un bon candidat pour réduire le coût de calcul des simulations de tsunami
In this thesis we implement the Shallow Water equations (SWEs) on unstructured grids in order to simulate free surface flow over irregular bathymetries, wetting/drying and other complex phenomena that typically occurs in hydrodynamic applications. In particular we would to accurately simulate tsunami events, from large scale wave propagation up to localized runup. To this aim we use two methods that are extensively compared along the manuscript: the Finite Volume method, which is very popular in the hydrodynamics and hydraulic community and a more recent technique called Residual Distribution which belongs to the class of multidimensional upwind schemes. To enhance the resolution of important flow feature such as bore development or small scale flooding, we use a dynamic mesh adaptation based on a redistribution of mesh nodes or r-adaptation (r stands for "relocation"). The proper combination of this method with the flow solver is usually referred to as Moving Mesh Method. Among the many different moving mesh algorithms available we propose an Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) form of the SWEs which elegantly permit to evolve the flow variables from one mesh to the updated one