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Dissertations / Theses on the topic 'Équation de Gross-Pitaevskii'
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Mennuni, Pierre. "Ondes progressives de l’équation de Gross–Pitaevskii non locale : analyse et simulations." Thesis, Lille 1, 2019. http://www.theses.fr/2019LIL1I068/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non locale avec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienne apparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou la condensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii fait l’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans le cas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation de Gross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premier chapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans le cas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présente un comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite, nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressives non triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuve est basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et le principe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisante en dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthode de gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin de calculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans ces deux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interaction non localeThis thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform
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de, Laire André. "Quelques problèmes liés à la dynamique des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00658356.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz, qui présentent d'importantes applications en physique. L'équation de Gross-Pitaevskii modélise des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluidité et de la condensation de Bose-Einstein, tandis que l'équation de Landau-Lifshitz décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Lorsqu'on modélise la matière à très basse température, on fait l'hypothèse que l'interaction des particules est ponctuelle. L'équation de Gross-Pitaevskii classique s'en déduit alors en prenant comme interaction une masse de Dirac. Cependant, différents types de potentiels non locaux probablement plus réalistes ont aussi été proposés par des physiciens pour modéliser des interactions plus générales. Dans un premier temps, on s'intéressera à donner des conditions suffisantes couvrant une variété assez large d'interactions non locales et telles que le problème de Cauchy associé soit globalement bien posé avec des conditions non nulles à l'infini. Par la suite, on étudiera les ondes progressives de ce modèle non local et on donnera des conditions telles que l'on puisse déterminer les vitesses pour lesquelles il n'existe pas de solution non constante d'énergie finie. Concernant l'équation de Landau-Lifshitz, on s'intéressera aussi aux ondes progressives d'énergie finie. On montrera la non existence d'ondes progressives non constantes d'énergie petite en dimensions deux, trois et quatre, sous l'hypothèse que l'énergie soit inférieure au moment dans le cas de la dimension deux. En outre, on donnera aussi dans le cas bidimensionnel la description d'une courbe minimisante qui pourrait donner une approche variationnelle pour construire des solutions de l'équation de Landau-Lifshitz. Finalement, on décrira le comportement à l'infini des ondes progressives d'énergie finie.
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Anton, Ramona. "Équation de Schrödinger non-linéaire dans un domaine à bord." Paris 11, 2006. http://www.theses.fr/2006PA112197.
Full text
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Gravejat, Philippe. "Quelques contributions à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock." Habilitation à diriger des recherches, Université Paris Dauphine - Paris IX, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00706916.
Full textAbstract:
Ce mémoire présente plusieurs contributions quant à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock. Au sujet de l'équation de Gross-Pitaevskii, l'analyse commence par la construction variationnelle des ondes progressives minimisantes. La preuve de la stabilité orbitale du soliton noir en dimension un, et la description de la limite transsonique des ondes progressives minimisantes vers les états fondamentaux de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili en dimension deux, viennent compléter cette construction. L'analyse s'achève par la dérivation rigoureuse du régime ondes longues vers l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un. Quant au modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock, il s'agit de construire les états fondamentaux du modèle réduit, puis de préciser le processus de renormalisation de leur charge, lequel autorise le calcul d'un développement asymptotique de la densité de charges du vide polarisé, qui est cohérent avec les développements perturbatifs de l'électrodynamique quantique.
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Mohamad, Haidar. "Sur l'équation de Gross-Pitaevskii uni-dimensionnelle et quelques généralisations du flot par courbure binormale." Thesis, Paris 6, 2014. http://www.theses.fr/2014PA066176.
Full textAbstract:
Ce travail est une contribution à l'étude des équations de Schrödinger non-linéaires (NLS) en dimension un d'espace. De telles équations interviennent notamment comme modèles dans plusieurs domaines de la physique mathématique, tels l'optique non-linéaire, la superfluidité, la supraconductivité et la condensation de Bose-Einstein.Cette thèse contient trois thèmes connexes inclus dans les chapitres 2, 3 et 4. Dans la première partie (chapitre 2), on s'intéresse à la construction des solutions en multi-solitons de l'équation de Gross-Pitaevskii (NLS défocalisante avec non-linéarité cubique), comme une superposition approximative des ondes progressives (solitons). Cette partie contient également une description détaillée des interactions entre les solitons. Ces résultats sont obtenus en exploitant l'intégrabilité de l'équation de Gross-Pitaevskii et son système de Marchenko associé.La deuxième partie (chapitre 4) clarifie les relations entre la formulation classique et la formulation dite hydrodynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette dernière a un sens lorsque la solution ne s'annule jamais dans le domaine spatial. La dernière partie (chapitre 3) est consacrée à l'étude du problème de Cauchy d'une famille d'équations aux dérivées partielles quasi-linéaires qui généralise l'équation du flot par courbure binormal d'une courbe dans l'espace euclidien de dimension trois. Cette dernière est liée formellement à NLS par la transformation de Hasimoto. Dans notre généralisation, la vitesse d'un point de la courbe est toujours dirigée dans la direction du vecteur binormal, mais son amplitude peut dépendre de l'abscisse curviligne ainsi de la position dans l'espace. Notre approche pour prouver l'existence est le suivant: schéma semi-discret (discret en espace et continu en temps), obtention de bornes sur les problèmes discrets et argument par compacité. Un théorème de comparaison entraîne l'unicitéThis work is a contribution to the study of nonlinear Schrödinger equations (NLS) in the one-dimensional space. Such equations arise in many physical fields, including nonlinear optics and Bose-Einstein condensation. The thesis contains three connected themes included in chapters 2, 3 and 4. The first part (chapter 2) constructs multi-soliton solutions of the Gross-Pitaevskii (or defocussing NLS) equation, as an approximate superposition of traveling waves (solitons). This part contains also a detailed description of the interactions between solitons. These results are obtained by exploiting the integrability of the the Gross-Pitaevskii equation and its associated Marchenko system. The second part (chapter 4) clarifies the relations between the classical formulation and the so-called hydrodynamical formulation that only has a meaning when the solution does not vanish anywhere in the spatial domain The last part (chapter 3) of this thesis concerns existence and uniqueness results for a family of quasi-linear partial differential equations that generalize the equation of the binormal curvature flow for a curve in the three-dimensional space. The latter equation is in connection to the focussing cubic NLS by Hasimoto transformation. In our generalization, the velocity of a point on the curve is still directed along the binormal vector (so that in particular the length of the curve is preserved) but the magnitude of the speed is allowed to depend both on the curvilinear parameter and on the position in space. Existence is proven using spatial discretization together with some a priori bounds on the approximate solutions. Uniqueness follows from a comparison theorem
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Rouffort, Clément. "Théorie de champ-moyen et dynamique des systèmes quantiques sur réseau." Thesis, Rennes 1, 2018. http://www.theses.fr/2018REN1S074/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de l'approximation de champ-moyen des gaz de bosons. En physique quantique une telle approximation est vue comme la première approche permettant d'expliquer le comportement collectif apparaissant dans les systèmes quantiques à grand nombre de particules et illustre des phénomènes fondamentaux comme la condensation de Bose-Einstein et la superfluidité. Dans cette thèse, l'exactitude de l'approximation de champ-moyen est obtenue de manière générale comme seule conséquence de principes de symétries et de renormalisations d'échelles. Nous recouvrons l'essentiel des résultats déjà connus sur le sujet et de nouveaux sont prouvés, particulièrement pour les systèmes quantiques sur réseau, incluant le modèle de Bose-Hubbard. D'autre part, notre étude établit un lien entre les équations aux hiérarchies de Gross-Pitaevskii et de Hartree, issues des méthodes BBGKY de la physique statistique, et certaines équations de transport ou de Liouville dans des espaces de dimension infinie. Résultant de cela, les propriétés d'unicité pour de telles équations aux hiérarchies sont prouvées en toute généralité utilisant seulement les caractéristiques génériques de problèmes aux valeurs initiales liés à de telles équations. Egalement, de nouveaux résultats de caractères bien posés et un contre-exemple à l'unicité d'une hiérarchie de Gross-Pitaevskii sont prouvés. L’originalité de nos travaux réside dans l'utilisation d'équations de Liouville et de puissantes techniques de transport étendues à des espaces fonctionnels de dimension infinie et jointes aux mesures de Wigner, ainsi qu'à une approche utilisant les outils de la seconde quantification. Notre contribution peut être vue comme l'aboutissement d'idées initiées par Z. Ammari, F. Nier et Q. Liard autour de la théorie de champ-moyenThis thesis is dedicated to the mathematical study of the mean-field approximation of Bose gases. In quantum physics such approximation is regarded as the primary approach explaining the collective behavior appearing in large quantum systems and reflecting fundamental phenomena as the Bose-Einstein condensation and superfluidity. In this thesis, the accuracy of the mean-field approximation is proved in full generality as a consequence only of scaling and symmetry principles. Essentially all the known results in the subject are recovered and new ones are proved specifically for quantum lattice systems including the Bose-Hubbard model. On the other hand, our study sets a bridge between the Gross-Pitaevskii and Hartree hierarchies related to the BBGKY method of statistical physics with certain transport or Liouville's equations in infinite dimensional spaces. As an outcome, the uniqueness property for these hierarchies is proved in full generality using only generic features of some related initial value problems. Again, several new well-posedness results as well as a counterexample to uniqueness for the Gross-Pitaevskii hierarchy equation are proved. The originality in our works lies in the use of Liouville's equations and powerful transport techniques extended to infinite dimensional functional spaces together with Wigner probability measures and a second quantization approach. Our contributions can be regarded as the culmination of the ideas initiated by Z. Ammari, F. Nier and Q. Liard in the mean-field theory
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Duboscq, Romain. "Analyse et simulation d'équations de Schrödinger déterministes et stochastiques. Applications aux condensats de Bose-Einstein en rotation." Thesis, Université de Lorraine, 2013. http://www.theses.fr/2013LORR0198/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions différents aspects mathématiques et numériques des équations de Gross-Pitaevskii et de Schrödinger non linéaire. Nous commençons (chapitre 1) par introduire différents modèles à partir des systèmes physiques que sont les condensats de Bose-Einstein et les impulsions lumineuses dans les fibres optiques. Cette modélisation conduit aux équations aux dérivées partielles stochastiques suivantes : l'équation de Gross-Pitaevskii stochastique et l'équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Ensuite, dans le second chapitre, nous nous intéressons au problème de l'existence et l'unicité d'une solution de ces équations. On montre notamment que le problème de Cauchy a une solution pour l'équation de Gross-Pitaevskii stochastique avec rotation grâce à la construction de la solution associée au problème. Nous abordons ensuite dans le troisième chapitre le problème du calcul des états stationnaires pour l'équation de Gross-Pitaevskii. Nous développons une méthode pseudo-spectrale de discrétisation du Continuous Normalized Gradient Flow, associée à une résolution itérative préconditionnée des sous-espaces de Krylov. Le quatrième chapitre concerne l'étude de schémas pseudo-spectraux pour la dynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii et de Schrödinger non linéaire. On procède à une étude numérique de ces schémas (schéma de splitting de Lie et de Strang, ainsi qu'un schéma de relaxation). De plus, on analyse le schéma de Lie dans le cadre de l'équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Finalement, nous présentons, dans le cinquième chapitre, une boîte à outils Matlab (GPELab) développée dans le but de fournir les méthodes numériques que nous avons étudiéesThe aim of this Thesis is to study various mathematical and numerical aspects related to the Gross-Pitaevskii and nonlinear Schrödinger equations. We begin (chapter 1) by introducing a few models starting from the physics of Bose-Einstein condensates and optical fibers. This naturally leads to introducing a stochastic Gross-Pitaevskii equation and a nonlinear Schrödinger equation with random dispersion. Next, in the second chapter, we analyze the existence and uniqueness problem for these two equations. We prove that the Cauchy problem admits a solution for the stochastic Gross-Pitaevskii equation with a rotational term by constructing the solution associated with the linear. The third chapter is concerned with the computation of stationary states for the Gross-Pitaevskii equation. We develop a pseudo-spectral approximation scheme for the Continuous Normalized Gradient Flow formulation, combined with preconditioned Krylov subspace methods. This original approach leads to the robust and efficient computation of ground states for fast rotations and strong nonlinearities. In the fourth chapter, we consider some pseudo-spectral schemes for computing the dynamics of the Gross-Pitaevskii and nonlinear Schrödinger equations. These schemes (the Lie's and Strang's splitting schemes and the relaxation scheme) are numerically studied. Moreover, we proceed to a rigorous numerical analysis of the Lie scheme for the associated stochastic PDEs. Finally, we present in the fifth chapter a Matlab toolbox (called GPELab) that provides computational solutions based on the schemes previously introduced in the Thesis
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Duboscq, Romain. "Analyse et simulation d'équations de Schrödinger déterministes et stochastiques. Applications aux condensats de Bose-Einstein en rotation." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2013. http://www.theses.fr/2013LORR0198.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions différents aspects mathématiques et numériques des équations de Gross-Pitaevskii et de Schrödinger non linéaire. Nous commençons (chapitre 1) par introduire différents modèles à partir des systèmes physiques que sont les condensats de Bose-Einstein et les impulsions lumineuses dans les fibres optiques. Cette modélisation conduit aux équations aux dérivées partielles stochastiques suivantes : l'équation de Gross-Pitaevskii stochastique et l'équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Ensuite, dans le second chapitre, nous nous intéressons au problème de l'existence et l'unicité d'une solution de ces équations. On montre notamment que le problème de Cauchy a une solution pour l'équation de Gross-Pitaevskii stochastique avec rotation grâce à la construction de la solution associée au problème. Nous abordons ensuite dans le troisième chapitre le problème du calcul des états stationnaires pour l'équation de Gross-Pitaevskii. Nous développons une méthode pseudo-spectrale de discrétisation du Continuous Normalized Gradient Flow, associée à une résolution itérative préconditionnée des sous-espaces de Krylov. Le quatrième chapitre concerne l'étude de schémas pseudo-spectraux pour la dynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii et de Schrödinger non linéaire. On procède à une étude numérique de ces schémas (schéma de splitting de Lie et de Strang, ainsi qu'un schéma de relaxation). De plus, on analyse le schéma de Lie dans le cadre de l'équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Finalement, nous présentons, dans le cinquième chapitre, une boîte à outils Matlab (GPELab) développée dans le but de fournir les méthodes numériques que nous avons étudiéesThe aim of this Thesis is to study various mathematical and numerical aspects related to the Gross-Pitaevskii and nonlinear Schrödinger equations. We begin (chapter 1) by introducing a few models starting from the physics of Bose-Einstein condensates and optical fibers. This naturally leads to introducing a stochastic Gross-Pitaevskii equation and a nonlinear Schrödinger equation with random dispersion. Next, in the second chapter, we analyze the existence and uniqueness problem for these two equations. We prove that the Cauchy problem admits a solution for the stochastic Gross-Pitaevskii equation with a rotational term by constructing the solution associated with the linear. The third chapter is concerned with the computation of stationary states for the Gross-Pitaevskii equation. We develop a pseudo-spectral approximation scheme for the Continuous Normalized Gradient Flow formulation, combined with preconditioned Krylov subspace methods. This original approach leads to the robust and efficient computation of ground states for fast rotations and strong nonlinearities. In the fourth chapter, we consider some pseudo-spectral schemes for computing the dynamics of the Gross-Pitaevskii and nonlinear Schrödinger equations. These schemes (the Lie's and Strang's splitting schemes and the relaxation scheme) are numerically studied. Moreover, we proceed to a rigorous numerical analysis of the Lie scheme for the associated stochastic PDEs. Finally, we present in the fifth chapter a Matlab toolbox (called GPELab) that provides computational solutions based on the schemes previously introduced in the Thesis
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Wang, Yipeng. "Estimation d’erreur a posteriori pour des calculs de structure électronique par des méthodes ab initio et son application pour diminuer le coût de calcul." Electronic Thesis or Diss., Sorbonne université, 2023. http://www.theses.fr/2023SORUS656.
Full textAbstract:
La thèse porte sur l'analyse des erreurs dans le calcul de la structure électronique. L'objectif à long terme est, d'une part, de dériver un estimateur d'erreur a posteriori calculable pour les méthodes ab initio et, d'autre part, de proposer une stratégie de coût de calcul quasi-optimale pour le calcul numérique de ces méthodes basée sur l'estimation d'erreur a posteriori et la séparation des sources d'erreur de discrétisation et d'itération.Dans la première partie de la thèse, nous introduisons une nouvelle analyse de bien posé pour la méthode de cluster couplé à référence unique basée sur l'inversibilité de la dérivée CC. Sous l'hypothèse minimale que la fonction propre recherchée est normalisable de façon intermédiaire et que la valeur propre associée est isolée et non dégénérée, nous prouvons que les équations CC continues (en dimension infinie) sont toujours bien posées localement. Sous les mêmes hypothèses minimales et à condition que la discrétisation soit suffisamment fine, nous prouvons que les équations CC discrètes sont localement bien posées, et nous dérivons des estimations d'erreur basées sur les résidus avec des constantes positives garanties.La deuxième partie de la thèse se concentre sur l'application de l'estimation d'erreur a posteriori pour construire un chemin quasi-optimal lors de l'approximation de la solution d'EDP. Nous appliquons d'abord une méthode probabiliste pour explorer un chemin optimal pour la résolution numérique de problèmes elliptiques linéaires et non linéaires en minimisant le coût de calcul. Sur la base de l'analyse de ces chemins optimaux, nous proposons deux stratégies quasi-optimales pour atteindre une précision donnée, basées sur la décomposition des sources d'erreur de l'estimateur d'erreur. Enfin, nous validons la faisabilité de ces stratégies quasi-optimales en les appliquant à l'approximation numérique du problème des valeurs propres, c'est-à-dire l'équation de Gross-PitaevskiiThe thesis is concerned with the error analysis of electronic structure calculation. The long term goal is to, in one hand, derive computable a posteriori error estimator for ab initio methods and, in the other hand, propose near-optimal computational cost strategy for the numerical calculation of those methods based on the a posteriori error estimation and the separation of the discretization and iteration error sources.In the first part of the thesis, we introduce a new well-posedness analysis for the single reference coupled cluster method based on the invertibility of the CC derivative. Under the minimal assumption that the sought-after eigenfunction is intermediately normalisable and the associated eigenvalue is isolated and non-degenerate, we prove that the continuous (infinite-dimensional) CC equations are always locally well-posed. Under the same minimal assumptions and provided that the discretization is fine enough, we prove that the discrete Full-CC equations are locally well-posed, and we derive residual-based error estimates with guaranteed positive constants.The second part of the thesis focus on the application of a posteriori error estimation to construct near-optimal path when approximating the solution of PDEs. We firstly apply a probabilistic method to explore an optimal path that minimizes the cost for the numerical resolution of linear and nonlinear elliptic source problems. Based on the analysis of those optimal paths, we propose two near-optimal strategies to achieve a given accuracy based on the error sources decomposition of the error estimator. Finally, we validate the feasibility of those near-optimal strategies by applying them to the numerical approximation of a nonlinear eigenvalue problem, i.e., the Gross-Pitaevskii equation
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Congy, Thibault. "Fluctuations non-linéaires dans les gaz quantiques à deux composantes." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2017. http://www.theses.fr/2017SACLS323/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est dédiée à l'étude des fluctuations non-linéaires dans les condensats de Bose-Einstein à deux composantes. On présente dans le premier chapitre la dynamique de champ moyen des condensats à deux composantes et les différents phénomènes typiques associés au degré de liberté spinoriel. Dans ce même chapitre, on montre que la dynamique des excitations se sépare en deux modes distincts : un mode dit de densité correspondant au mouvement global des atomes à l'intérieur du condensat et un mode dit de polarisation correspondant à la dynamique relative entre les deux espèces constituant le condensat. Ce calcul est généralisé dans le deuxième chapitre où l'on montre que le mode de polarisation persiste en présence d'un couplage cohérent entre les deux composantes. En particulier on analyse la stabilité modulationnelle du mode en déterminant, à l'aide d'une analyse multi-échelle, la dynamique des excitations non-linéaires. On montre alors que les excitations de polarisation, au contraire des excitations de densité, souffrent d'une instabilité de Benjamin-Feir. Cette instabilité est stabilisée aux grandes impulsions par une résonance onde longue - onde courte. Enfin dans le dernier chapitre, on dérive de façon non-perturbative la dynamique de polarisation proche de la limite de Manakov, dynamique quise révèle être régie par une équation de Landau-Lifshitz sans dissipation. Les équations de Landau-Lifshitz appartiennent à une hiérarchie d'équations intégrables (hiérarchie Ablowitz-Kaup-Newell-Segur) et on étudie les solutions à une phase à l'aide de la méthode d'intégration finite-gap ; on détermine notamment à l'aide de cette méthode un nouveau type de soliton pour les condensats à deux composantes. Finalement, profitant de l'intégrabilité du système, on résout le problème de Riemann à l'aide de la théorie de modulation de Whitham et on montre que les condensats à deux composantes peuvent propager des ondes de raréfaction ainsi que des ondes de choc dispersives ; on décrit notamment la modulation de ces ondes de choc par la propagation d'ondes simples et d'ondes de contact d'invariants de RiemannThis thesis is devoted to the study of nonlinear fluctuations in two-component Bose-Einstein condensates. In the first chapter we derive the mean field dynamics of two-component condensates and we present the distinctive phenomena associated to the spinorial degree of freedom. In the same chapter, we show that the dynamics of the excitations is divided in two distinct modes: a so-called density mode which corresponds to the global motion of the atoms, and a so-called polarization mode which corresponds to the relative motion between the two species composing the condensate. The computation is generalized in the second chapter in which we demonstrate that the polarization mode remains in presence of a coherent coupling between the two components. In particular we study the modulational stability of the mode and we determine through a multi-scaling analysis the dynamics of non-linear excitations. We show that the excitations of polarization undergo a Benjamin-Feir instability contrary to the density excitations. This instability is then stabilized in the short wavelength regime by a long wave - short wave resonance. Finally in the last chapter, we derive in a non-perturbative way the polarisation dynamics close the Manakov limit.In this limit, the dynamics proves to be governed by a Landau-Lifshitz equation without dissipation. Landau-Lifshitz equations belong to a hierarchy of integrable equations (Ablowitz-Kaup-Newell-Segur hierarchy) and we derive the single-phase solutions thanks to the finite-gap method; in particular we identify a new type of soliton for the two-component Bose-Einstein condensates. Finally, taking advantage of the integrability of the system, we solve the Riemann problem thanks to the Whitham modulation theory and we show that the two-component condensates can propagate rarefaction waves as well as dispersive shockwaves; we describe the modulation of the shockwaves by the propagation of simple waves and contact waves of Riemann invariants
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Dusson, Geneviève. "Estimation d'erreur pour des problèmes aux valeurs propres linéaires et non-linéaires issus du calcul de structure électronique." Thesis, Paris 6, 2017. http://www.theses.fr/2017PA066238/document.
Full textAbstract:
L'objectif de cette thèse est de fournir des bornes d'erreur pour des problèmes aux valeurs propres linéaires et non linéaires issus du calcul de structure électronique, en particulier celui de l'état fondamental avec la théorie de la fonctionnelle de la densité. Ces bornes d'erreur reposent principalement sur des estimations a posteriori. D'abord, nous étudions un phénomène de compensation d'erreur de discrétisation pour un problème linéaire aux valeurs propres, grâce à une analyse a priori de l'erreur sur l'énergie. Ensuite, nous présentons une analyse a posteriori pour le problème du laplacien aux valeurs propres discrétisé par une large classe d'éléments finis. Les bornes d'erreur proposées pour les valeurs propres simples et leurs vecteurs propres associés sont garanties, calculables et efficaces. Nous nous concentrons alors sur des problèmes aux valeurs propres non linéaires. Nous proposons des bornes d'erreur pour l'équation de Gross-Pitaevskii, valables sous des hypothèses vérifiables numériquement, et pouvant être séparées en deux composantes venant respectivement de la discrétisation et de l'algorithme itératif utilisé pour résoudre le problème non linéaire aux valeurs propres. L'équilibrage de ces composantes d'erreur permet d'optimiser les ressources numériques. Enfin, nous présentons une méthode de post-traitement pour le problème de Kohn-Sham discrétisé en ondes planes, améliorant la précision des résultats à un faible coût de calcul. Les solutions post-traitées peuvent être utilisées soit comme solutions plus précises du problème, soit pour calculer une estimation de l'erreur de discrétisation, qui n'est plus garantie, mais néanmoins proche de l'erreurThe objective of this thesis is to provide error bounds for linear and nonlinear eigenvalue problems arising from electronic structure calculation. We focus on ground-state calculations based on Density Functional Theory, including Kohn-Sham models. Our bounds mostly rely on a posteriori error analysis. More precisely, we start by studying a phenomenon of discretization error cancellation for a simple linear eigenvalue problem, for which analytical solutions are available. The mathematical study is based on an a priori analysis for the energy error. Then, we present an a posteriori analysis for the Laplace eigenvalue problem discretized with finite elements. For simple eigenvalues of the Laplace operator and their corresponding eigenvectors , we provide guaranteed, fully computable and efficient error bounds. Thereafter, we focus on nonlinear eigenvalue problems. First, we provide an a posteriori analysis for the Gross-Pitaevskii equation. The error bounds are valid under assumptions that can be numerically checked, and can be separated in two components coming respectively from the discretization and the iterative algorithm used to solve the nonlinear eigenvalue problem. Balancing these error components allows to optimize the computational resources. Second, we present a post-processing method for the Kohn-Sham problem, which improves the accuracy of planewave computations of ground state orbitals at a low computational cost. The post-processed solutions can be used either as a more precise solution of the problem, or used for computing an estimation of the discretization error. This estimation is not guaranteed, but in practice close to the real error
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Gravejat, Philippe. "Ondes progressives pour les équations de Gross-Pitaevskii." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00218296.
Full textAbstract:
Ce mémoire de thèse porte sur les ondes progressives pour l'équation de Gross-Pitaevskii, et les ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili.L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'analyse des condensats de Bose-Einstein, de la supraconductivité, de la superfluidité ou de l'optique non linéaire. Les équations de Kadomtsev-Petviashvili décrivent l'évolution d'ondes dispersives, faiblement non linéaires, et des ondes sonores dans les matériaux anti-ferromagnétiques.
On s'intéresse ici aux propriétés d'existence et au comportement asymptotique de ces ondes. On montre la non-existence des ondes progressives supersoniques, non constantes, d'énergie finie, pour
l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension supérieure ou égale à deux, puis celle des ondes progressives soniques, non constantes, d'énergie finie, en dimension deux. On décrit ensuite le comportement asymptotique des ondes progressives subsoniques, d'énergie finie, pour l'équation de Gross-Pitaevskii, puis celui des ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure ou égale à deux.
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Jannin, Raphaël. "Interférométrie atomique avec un condensat de Bose-Eintein : effet des interactions internes." Thesis, Paris 6, 2015. http://www.theses.fr/2015PA066358/document.
Full textAbstract:
Le travail réalisé dans le cadre de cette thèse s'articule en deux volets. Le premier porte sur l'étude de l'effet des interactions entre atomes au sein d'un interféromètre atomique, dont la source est un condensat de Bose-Eintein. Nous présentons un modèle analytiquepermettant d'obtenir des expressions simples pour le déphasage induit par celles-ci. Ce modèle est comparé à des simulations numériques résolvant les équations de Gross-Pitaevskii couplées, et présente un excellent accord. Le second concerne la conception et la construction d'un nouveau dispositif expérimental visant à obtenir un condensat de Bose-Einteindans le but de réaliser des mesures de haute précision par interférométrie atomiqueThe work performed during this thesis comprises two orientations. The first one is the study of the effect of interactions between atoms in an atom interferometer which source of atoms is a Bose-Einstein condensate. We present an analytical model allowing to obtain simple expressions for the phase shift induced by them. This model is compared to numerical simulations solving the coupled Gross-Pitaevskii equations and presents a good agreement. The second one is the design and construction of a new experimental set-up for the production of a Bose-Einstein condensate to perform high precision measurements with the use of atom interferometry
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Squizzato, Davide. "Exploring Kardar-Parisi-Zhang universality class : from the dynamics of exciton-polariton condensates to stochastic interface growth with temporally correlated noise." Thesis, Université Grenoble Alpes (ComUE), 2019. http://www.theses.fr/2019GREAY043.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions des réalisations de l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) dans deux systèmes physiques différents. Le premier est un condensat hors équilibre d’Exciton-Polaritons, des excitations quasi-particulaires issues de l'interaction entre photons confinés et excitons. Un lien entre la dynamique de la phase du condensât et la dynamique KPZ avait été établi dans la littérature. En utilisant un modèle et des paramètres proches des configurations expérimentales réelles, nous montrons que des propriétés universelles KPZ sont observables dans des systèmes expérimentaux actuels à une dimension, et nous étendant cette analyse en examinant les propriétés dépendantes de la géométrie. De plus, nous généralisons cette correspondance pour des systèmes inhomogènes, dans lesquels le confinement, le désordre et les phonons activés thermiquement sont pris en compte. Les deuxièmes systèmes physiques que nous étudions sont des surfaces de croissance classiques dont la dynamique microscopique implique des corrélations temporelles dans le temps. Ces phénomènes sont décrits par une équation de KPZ dans laquelle le bruit est corrélé temporellement. Cette corrélation brise l'une des symétries principales de l'équation de KPZ et conduit possiblement à un nouveau point fixe. En utilisant la technique du groupe de renormalisation non perturbartive (NPRG), nous étudions des systèmes corrélés temporellement à court et à long terme dans une et deux dimensions. Dans le cas unidimensionnel, nous montrons que le point fixe pur KPZ persiste dans le cas à court terme et dans celui à long terme jusqu’à une valeur critique de l’exposant de corrélation. Ceci clarifie un débat de longue date sur les effets d'une corrélation temporelle infinitésimale dans l’équation de KPZ. En deux dimensions, nous trouvons une image similaire. Aucun autre résultat, à l'exception d'un calcul perturbatif à une boucle, n'existait dans la littérature pour deux dimensionsIn this thesis we study the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation in two different physical systems. The first is an out-of-equilibrium condensate of Exciton-Polaritons, which are quasi-particle excitations stemming from the interaction between confined photons and excitons. A mapping between the dynamics of the phase of the condensate and the KPZ dynamics was predicted in the literature. By using a model and parameters close to real experimental setups, we show that in excitons polaritons the distributions of the phase of the condensate follows the law predicted by KPZ equation and that KPZ universal properties are indeed observable in actual experimental systems in one dimension. Furthermore we generalize the mapping to inhomogeneous systems, in which confinement, disorder and thermally activated phonons are taken into account. The second physical systems we investigate are classical growing surfaces whose underlining microscopic dynamics involves temporal correlations in time. These phenomena are described by a KPZ equation wherethe noise is temporally correlated. This correlation breaks one of the founding symmetry of KPZ equation and leads to a possible new fixed point. Using non-perturbartive renormalization group (NPRG) technique we study both short and long range temporally correlated systems in one and two dimensions. In the one-dimensional case we show that the pure KPZ fixed point persists both in the short range and in the long range, up to a critical value of the correlation exponent. This clarifies a long lasting debate on the effects of infinitesimal time correlation inKPZ equation. In two dimensions we find a similar picture. No other results, except for a one-loop perturbative calculation existed in the literature for two dimensions
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Nguyên, Thùy Liên. "Quelques problèmes variationnels issus de la théorie des ondes non-linéaires." Toulouse 3, 2011. http://thesesups.ups-tlse.fr/1386/.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur l'étude des solutions spéciales (de type onde progressive et onde stationnaire) pour des équations aux dérivées partielles dispersives non-linéaires dans R^N. Les problèmes considérés ont une structure variationnelle, les solutions sont des points critiques de certaines fonctionnelles. Nous démontrons l'existence des points critiques en utilisant des méthodes de minimisation. Une des principales difficultés vient du manque de compacité. Pour y remédier, on utilise quelques raffinements récents du principe de concentration-compacité de P. -L. Lions. Dans la première partie du mémoire on montre l'existence des solutions d'énergie minimale pour des équations elliptiques quasi-linéaires dans R^N. Nous généralisons les résultats de Brézis et Lieb dans le cas du Laplacien, ainsi que les résultats de Jeanjean et Squassina dans le cas du p-Laplacien. Dans la seconde partie on montre l'existence des ondes progressives subsoniques d'énergie finie pour un système de Gross-Pitaevskii-Schrödinger qui modélise le mouvement d'une impureté non chargée dans un condensat de Bose-Einstein. Les résultats obtenus sont valables en dimension trois et quatre d'espaceThis thesis focuses on the study of special solutions (traveling wave and standing wave type) for nonlinear dispersive partial differential equations in R^N. The considered problems have a variational structure, the solutions are critical points of some functionals. We demonstrate the existence of critical points using minimization methods. One of the main difficulties comes from the lack of compactness. To overcome this, we use some recent improvements of P. -L. Lions concentration-compactness principle. In the first part of the dissertation, we show the existence of the least energy solutions to quasi-linear elliptic equations in R^N. We generalize the results of Brézis and Lieb in the case of the Laplacian, and the results of Jeanjean and Squassina in the case of the p-Laplacian. In the second part, we show the existence of subsonic travelling waves of finite energy for a Gross-Pitaevskii-Schrödinger system which models the motion of a non charged impurity in a Bose-Einstein condensate. The obtained results are valid in three and four dimensional space
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Alama, Bronsard Yvonne. "Schémas numériques pour les équations dispersives non linéaires : analyse à faible régularité, cadre aléatoire et préservation de symétries." Electronic Thesis or Diss., Sorbonne université, 2024. http://www.theses.fr/2024SORUS065.
Full textAbstract:
Le travail présenté dans cette thèse relève du domaine de l'analyse numérique et s'appuie sur des outils issus de l'étude des équations aux dérivées partielles (EDP). Nous nous concentrons sur les discrétisations temporelles des équations dispersives non linéaires. L'objectif est de réduire les hypothèses de régularité nécessaires lors de la conception et de l'analyse des méthodes numériques, afin de traiter les dynamiques à faible régularité.La partie I de la thèse introduit de nouveaux schémas à faible régularité, adaptés à des domaines bornés génériques. Le chapitre 2 présente des résultats de convergence au premier et au second ordre pour l'approximation de l'équation de Gross-Pitaevskii, lorsque la donnée initiale et le potentiel sont peu réguliers. Le chapitre 3 généralise la construction de ces schémas aux ordres supérieurs, et pour une classe générale d'équations d'évolution non linéaires.La partie II est constituée du chapitre 4, qui génère des constructions d'ordre élevé dans le cadre de conditions initiales aléatoires.Finalement, la partie III se consacre à l'étude en temps long d'équations dispersives, et de leurs invariants, en considérant des schémas préservant leur structure. Elle débute avec le chapitre 5, qui introduit un nouvel intégrateur symétrique pour l'équation de Schrödinger non linéaire, et démontre des résultats de convergence à des taux fractionnaires, en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Par la suite, le chapitre 6 étend cette construction symétrique aux ordres supérieurs et pour la résolution numérique d'une classe générale d'équations dispersives. Des simulations numériques montrent que ces nouveaux schémas symétriques présentent d'excellentes propriétés de préservation de la structure.Les extensions aux ordres supérieurs développées aux chapitres 3, 4, et 6 se fondent sur de nouvelles techniques d'arbres décorés, inspirées par le champ des EDP stochastiques singulières, via la théorie des structures de régularitéThe work presented in this thesis belongs to the field of numerical analysis, and builds on tools stemming from the study of partial differential equations (PDEs). We focus on time discretizations to nonlinear dispersive equations. The aim is to reduce the smoothness assumptions on the design and analysis of numerical methods, in order to treat low-regularity dynamics.Part I of the thesis develops novel low-regularity schemes, suited for general bounded domains. Chapter 2 presents first and second order convergence results for the Gross-Pitaevskii equation, when both the initial data and the potential are non-smooth. Chapter 3 generalizes the construction of these schemes to higher order and to a general class of nonlinear evolution equations with potentials.Part II of the thesis consists of Chapter 4, which considers higher-order constructions for randomized initial conditions. Part III of the thesis considers the long-time properties and invariants of the equation, and deals with structure-preserving schemes. We first introduce in Chapter 5 a novel symmetric time integrator for the nonlinear Schr ̈odinger equation. We give fractional convergence rates as a function of the Sobolev regularity of the initial data. Chapter 6 extends the latter work by constructing higher order symmetric integrators for a general class of dispersive equations. All these new symmetric schemes exhibit excellent structure preservation and convergence properties, which are witnessed in numerical experiments.The higher order extensions of Chapters 3, 4, 6 follow new techniques based on decorated tree series, inspired by singular stochastic PDEs via the theory of Regularity Structures
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Laire-Peirano, André de. "Quelques problèmes liés à la dynamique des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz." Paris 6, 2011. http://www.theses.fr/2011PA066513.
Full textAbstract:
La motivation de cette thèse est de modéliser quelques problèmes biologiques avec des systèmes et des équations de réaction-diffusion. La thèse est divisée en trois sections: 1. Systèmes de réaction-diffusion et modélisation. Cette section contient deux chapitres concernant la modélisation de problèmes de Biologie cellulaire et moléculaire. Dans le premier on étudie un modèle de calcium dans des épines dendritiques, qui sont des structures microscopiques dans des neurones. Dans le deuxième,on analyse un modèle d'infection virale et réponse immunitaire. 2. Equations et systèmes de réaction-diffusion sur des variétés. Dans cette section on considère que la dynamique de réaction-diffusion est dans des domaines courbes. Dans le troisième chapitre on aborde l'effet de la croissance du domaine dans la stabilité des motifs (patterns). Dans le quatrième chapitre on étend la notion de fronts progressifs (travelling waves) pour des variétés Riemanniennes complètes. Motivés par un problème de Biologie du développement, dans le cinquième chapitre on étudie des fronts progressifs généralisés (au sens du chapitre 4) sur la droite réelle. Dans le sixième chapitre on attaque le même problème du chapitre précédent, mais le domaine est désormais la sphère de dimension 2. 3. Equations elliptiques et valeurs propres sur la sphère. Les résultats du chapitre 6 dépendent de l'existence des solutions stationnaires non-triviales au problème parabolique nonlinéaire. Dans le septième chapitre on étudie l'existence des solutions non-triviales au problème elliptique sur la sphère de dimension 1, ainsi que des solutions axis-symétriques non-triviales sur la sphère de dimension n.
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Pacherie, Eliot. "Sur l'existence et la non dégénérescence d'ondes progressives dans l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension deux." Thesis, Université Côte d'Azur, 2020. http://www.theses.fr/2020COAZ4067.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons aux ondes progressives dans l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension 2, avec une condition non triviale à l'infini. Cette équation a fait l'objet d'une étude intensive, que ce soit en physique ou en mathématiques. Il s'agit d'un modèle pour les condensats de Bose Einstein, et décrit entre autres le comportement de superfluides.Nous regardons des questions liées au programme de recherche de Jones-Roberts, notamment sur l'existence et l'unicité d'une onde progressive qui est un minimiseur globale de l'énergie à moment fixé. Ces questions ont été abordées dans des travaux précédents en utilisant des méthodes variationnelles. On construit ici, par des méthodes perturbatives et pour des petites vitesses, une branche d'onde progressive régulière par rapport à la vitesse, qui est constituée de deux vortex éloignés l'un de l'autre. Grâce aux propriétés connues sur les vortex, on peut en déduire des propriétés qualitatives satisfaisantes sur cette branche, qui sont meilleurs que ce que l'on peut obtenir par des constructions variationnelles.Ensuite, on s'intéresse à des propriétés de stabilité sur cette branche. On montre tout d'abord des résultats de coercivité, en améliorant pour cela les résultats de coercivité connus sur les vortex. On en déduit en particulier le noyau de l'opérateur linéarisé, un résultat de stabilité spectrale, ainsi que des résultats d'unicités locales dans l'espace d'énergie. On inverse aussi l'opérateur linéarisé près d'une onde progressive dans des espaces adaptés. Ces résultats sont une étape cruciale pour la compréhension de la stabilité de la branche, et pour démontrer l'unicité du minimiseur de l'énergie. Ces résultats peuvent aussi servir à comprendre l'interaction entre plusieurs ondes progressives dans un même milieuIn this thesis, we focus on the study of travelling waves in the Gross-Pitaevskii equation in dimension 2, with the condition a non-trivial condition at infinity. This equation has been studied extensively, both in physical and mathematical works. It is a model for Bose-Einstein condensates, and describes the behavior of superfluids.We are interested in problems related to the research program of Jones-Roberts, in particular about the existence and unicity of a travelling wave, that minimize the energy at fixed momentum. These questions have been studied, in previous mathematical works over the last decades, using variational methods. We construct here, using perturbative methods and for small speeds, a branch of travelling waves, smooth with respect to the speed, which behaves like two vortices far from each other. Using known properties of the vortices, we can deduce good qualitative properties on this branch, that are better than the ones obtained using variational methods. This description gives a uniqueness result in a small class of functions.Then, we study stability properties of this branch. First, we show coercivity results, improving for that the known coercivity results on the vortices. In particular, we deduce the kernel of the linearized operator, which is the first of this kind on travelling waves in this equation. We also have a result about spectral stability, and a local uniqueness result in the energy space. We also are able to invert the linearized operator near a travelling wave in adapted spaces. These results are a key step for the understanding of the stability of the branch, and to show the unicity of the minimizer of the energy. These results are also a first step in understanding the interaction between several travelling waves
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Liennard, Thomas. "Construction d'un montage de condensation de Bose--Einstein de rubidium et étude théorique d'un superfluide en rotation dans un anneau." Phd thesis, Université Paris-Nord - Paris XIII, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00667804.
Full textAbstract:
Cette thèse décrit la construction d'une nouvelle expérience de condensation de Bose-Einstein visant à obtenir un condensat de rubidium 87 et à le confiner dans un piège en anneau. Une première partie est consacrée à la description du montage. Le design de l'enceinte à vide est présenté, ainsi que le système laser qui comporte une nouvelle source basée sur le doublement de fréquence d'un laser télécom. Le refroidissement des atomes dans ce montage se fait en deux parties. Un piège magnéto optique 3D est chargé par un piège magnéto-optique 2D dans une première partie de l'enceinte, puis les atomes sont transférés dans une petite cellule de verre dans laquelle a lieu le refroidissement évaporatif et la condensation. L'étape de transfert est assurée par le transport mécanique des bobines qui génèrent le champ magnétique de piégeage, et qui sont montées sur une platine de translation motorisée. Le piège final est un piège magnétique quadrupolaire bouché par un faisceau laser à 532~nm. Le montage permet d'obtenir $2\times 10^5$ atomes de rubidium dans un condensat pur en une trentaine de secondes. La seconde partie traite de l'étude théorique d'un superfluide dans un anneau 2D au moyen de simulations numériques. On y calcule d'abord la vitesse critique de rotation par l'étude du spectre des excitations de Bogolyubov du superfluide dans l'anneau, puis on utilise une simulation de l'équation de Gross-Pitaevskii pour étudier l'établissement d'un courant permanent au moyen d'un potentiel en rotation, et la stabilité d'un tel courant en présence d'une barrière de potentiel.
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Rougerie, Nicolas. "La théorie de Gross-Pitaevskii pour un condensat de Bose-Einstein en rotation : vortex et transitions de phase." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00547404.
Full textAbstract:
Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.
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Tarquini, Émilien. "Étude de modèles mathématiques pour les suprafluides et la condensation dans un gaz." Amiens, 2009. http://www.theses.fr/2009AMIE0117.
Full textAbstract:
Ce mémoire de thèse porte sur l'existence, la non-existence et l'étude des propriétés qualitatives des solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii soumise ou non à un potentiel, ainsi que celles de différents systèmes faisant intervenir l'équation de Gross-Pitaevskii. L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'étude de la suprafluidité, les condensats de Bose-Einstein, la supraconductivité ou encore l'optique non linéaire. On s'intéresse dans un premier temps aux ondes progressives solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii, et en particulier à l'existence d'une borne inférieure de l'énergie qui lui est associée. Ensuite on considère l'équation de Gross-Pitaevskii soumise à un potentiel répulsif. Pour cette équation, qui modélise l'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle immobile, on étudie les ondes solitaires pour lesquelles on démontre l'existence d'une borne universelle optimale, des résultats d'existence et de non-existence. Nous étudions aussi le comportement asymptotique à l'infini des ondes d'énergie finie. Dans la troisième partie, on s'intéresse à différents systèmes faisant intervenir l'équation de Gross-Pitaevskii. En particulier divers résultats d'existence et non-existence pour les ondes solitaires (et leurs généralisations) sont prouvésThis PhD thesis is devoted to the existence, non-existence and to the study of qualitative properties of solutions of the Gross-Pitaevskii equation in the presence of a potential or not, as well as those of different systems involving the Gross-Pitaevskii equation. The Gross-Pitaevskii equation is a model for studying the superfluidity, the Bose-Einstein condensates, the superconductivity, or the non-linear optics. First we focus on traveling wave solutions of the Gross-Pitaevskii equation, and in particular we prove the existence of a lower bound of the energy associated with it. Then we consider the Gross-Pitaevskii equation submitted to a repulsive potential. For this equation, which models the flow of a fluid around a stationary obstacle, we study solitary waves and we demonstrate the existence of a sharp universal bound, as well as some existence and non-existence results. We also study the asymptotic behavior at infinity of finite energy solutions. In the third part, we study different systems involving the Gross-Pitaevskii equation. In particular, we obtain various results about the existence and the non-existence for solitary waves and their generalizations
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Royo-Letelier, Jimena. "Etude de modèles mathématiques des condensats de Bose-Einstein pour différents types de pièges et d'interactions." Versailles-St Quentin en Yvelines, 2013. http://www.theses.fr/2013VERS0028.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur l’étude mathématique de modèles théoriques des condensats de Bose-Einstein. On considère la fonctionnelle d’énergie de Gross-Pitaevskii pour différents types de piégeages et d'interactions. On étudie des modèles de condensats à deux dimensions définis sur tout l'espace, en rotation et à plusieurs composants, ainsi qu'un modèle décrivant une particule chargée dans un milieu périodique bidimensionnel avec champ magnétique. Les outils mathématiques utilisés sont les équations aux dérivées partielles, l'analyse non linéaire, la théorie géométrique de la mesure, la théorie spectrale et l'analyse semi-classique. Les résultats principaux vont dans quatre directions. Le premier résultat établit la non existence de vortex dans la zone de faible densité d'un condensat en rotation sous-critique. Le deuxième résultat montre la brisure de symétrie et de la ségrégation d'un condensat a deux composants dans le régime de fort couplage et faible interaction. On résout aussi un problème de partition optimale spectrale associée à un opérateur de Schrôdinger dans le plan. On introduit un nouveau modèle de minimisation du périmètre pour l'étude d'un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et forte interaction. Le troisième résultat concerne la I-convergence de la fonctionnelle d'énergie d'un condensat a deux composants dans ce dernier régime. Le dernier résultat traite du spectre d'un opérateur de Schrödinger périodique magnétique dans un réseau de kagomeThis PhD thesis is devoted to the mathematical study of theoretical models for Bose-Einstein condensates. We consider the Gross-Pitaevskii functional for several types of trapping potentials and interactions. We analyze models for two-dimensional condensates defined over all R2, under rotation and with several components. We also analyze a model for a charged particle in a two-dimensional periodic media under magnetic field. The mathematical tools employed are partial differential equations, nonlinear analysis, geometric measure theory, spectral theory and semi-classical analysis. They are four main results. The first one establishes the non existence of vortex in the low density zone of a condensate under subcritical rotation. The second result proves the segregation and the symmetry breaking of a two components condensate in the strongly coupled and weakly interacting regime. We also solve an optimal partition problem associated with a Schrödinger operator in R2. We introduce a new minimal perimeter model for the study of two components condensate in the strongly coupled and strongly interacting regime. The third result is about the I-convergence of the energy functional of a two-component condensate in this last regime. The last result concerns the spectrum of a magnetic periodical Schrödinger operator on the kagome lattice
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Vergez, Guillaume. "Méthodes numériques avec des éléments finis adaptatifs pour la simulation de condensats de Bose-Einstein." Thesis, Normandie, 2017. http://www.theses.fr/2017NORMR014/document.
Full textAbstract:
Le phénomène de condensation d’un gaz de bosons lorsqu’il est refroidi à zéro degrés Kelvin futdécrit par Einstein en 1925 en s’appuyant sur des travaux de Bose. Depuis lors, de nombreux physiciens,mathématiciens et numériciens se sont intéressés au condensat de Bose-Einstein et à son caractère superfluide. Nous proposons dans cette étude des méthodes numériques ainsi qu’un code informatique pour la simulation d’un condensat de Bose-Einstein en rotation. Le principal modèle mathématique décrivant ce phénomène physique est une équation de Schrödinger présentant une non-linéarité cubique,découverte en 1961 : l’équation de Gross-Pitaevskii (GP). En nous appuyant sur le logiciel FreeFem++,nous nous servons d’une discrétisation spatiale en éléments-finis pour résoudre numériquement cette équation. Une méthode d’adaptation du maillage à la solution et l’utilisation d’éléments-finis d’ordre deux nous permet de résoudre finement le problème et d’explorer des configurations complexes en deux ou trois dimensions d’espace. Pour sa version stationnaire, nous avons développé une méthode de gradient de Sobolev ou une méthode de point intérieur implémentée dans la librairie Ipopt. Pour sa version instationnaire, nous utilisons une méthode de Time-Splitting combinée à un schéma de Crank-Nicolson ou une méthode de relaxation. Afin d’étudier la stabilité dynamique et thermodynamique d’un état stationnaire, le modèle de Bogoliubov-de Gennes propose une linéarisation de l’équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état. Nous avons élaboré une méthode permettant de résoudre ce système aux valeurs et vecteurs propres, basée sur un algorithme de Newton ainsi que sur la méthode d’Arnoldi implémentée dans la librairie ArpackThe phenomenon of condensation of a boson gas when cooled to zero degrees Kelvin was described by Einstein in 1925 based on work by Bose. Since then, many physicists, mathematicians and digitizers have been interested in the Bose-Einstein condensate and its superfluidity. We propose in this study numerical methods as well as a computer code for the simulation of a rotating Bose-Einstein condensate.The main mathematical model describing this phenomenon is a Schrödinger equation with a cubic nonlinearity, discovered in 1961: the Gross-Pitaevskii (GP) equation. By using the software FreeFem++ and a finite elements spatial discretization we solve this equation numerically. The mesh adaptation to the solution and the use of finite elements of order two allow us to solve the problem finely and to explore complex configurations in two or three dimensions of space. For its stationary version, we have developed a Sobolev gradient method or an internal point method implemented in the Ipopt library. .For its unsteady version, we use a Time-Splitting method combined with a Crank-Nicolson scheme ora relaxation method. In order to study the dynamic and thermodynamic stability of a stationary state,the Bogoliubov-de Gennes model proposes a linearization of the Gross-Pitaevskii equation around this state. We have developed a method to solve this eigenvalues and eigenvector system, based on a Newton algorithm as well as the Arnoldi method implemented in the Arpack library
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Krstulovic, Giorgio. "Galerkin-truncated dynamics of ideal fluids and superfluids : cascades, thermalization and dissipative effects." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00505813.
Full textAbstract:
Cette thèse regroupe des études portant sur la dynamique de relaxation de différents systèmes conservatifs ayant tous une troncature de Galerkin sur les modes de Fourier. On montre que, de façon très générale, ces systèmes relaxent lentement vers l'équilibre thermodynamique avec une thermalisation partielle à petite échelle qui induit une dissipation effective à grande échelle, tout en conservant les invariants globaux. La première partie de ce travail est consacrée à l'étude de la viscosité effective dans l'équation d'Euler incompressible tronquée. L'utilisation des méthodes de Monte-Carlo et de la théorie EDQNM permet la construction d'un modèle à deux fluides de ce système. Cette étude est ensuite généralisée au cas des écoulements hélicitaires. La dynamique de relaxation des écoulements décrits par les équations de la magnétohydrodynamique et des fluides compressibles tronqués est finalement caractérisée. Dans une deuxième partie, nous généralisons l'étude de la thermalisation au cas de l'équation de Gross-Pitaevski tronquée. On trouve que des effets existant dans les superfluides à température finie, comme la friction mutuelle et le ''counterflow'', sont naturellement présents dans ce modèle. On propose ainsi l'équation de Gross-Pitaevskii tronquée comme un modèle simple et riche de la dynamique superfluide à température finie. La radiation produite par le mouvement de vortex ponctuels décrits par l'équation de Gross-Pitevskii 2D est finalement caractérisée analytiquement et numériquement.