Dissertations / Theses: 'Equation de Schrödinger non-linéaire'

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Mouzaoui, Lounès. "Régimes asymptotiques pour l'équation de Schrödinger non linéaire non locale." Thesis, Montpellier 2, 2013. http://www.theses.fr/2013MON20241/document.

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Abstract:

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques régimes asymptotiques de l'équation de Schrödinger semi-classique, en présence d'une non-linéarité non-locale de type Hartree. Elle comporte 3 parties, sous forme de 4 chapitres et une annexe. L'objet de la première partie, constituée du premier et deuxième chapitre, est l'étude du comportement asymptotique du modèle précédent pour un noyau singulier autour de l'origine, pour une condition initiale asymptotiquement de type WKB, en régime faiblement non-linéaire. Dans le premier chapitre nous montrons que sous certaines conditions de régularité sur la condition initiale, la solution est encore de type WKB à l'ordre principal, un résultat que nous obtenons dans le cadre fonctionnel de l'algèbre de Wiener. Nous donnons une preuve alternative au résultat précédent dans le cas particulier de l'équation de Schrödinger-Poisson dans le cadre fonctionnel d'espace de Sobolev rescalé, où la considération de correcteurs est nécessaire pour construire une solution approchée et pouvoir décrire la solution à l'ordre principal. La deuxième partie de cette thèse, objet du troisième chapitre, est consacrée à l'étude de la propagation de paquets d'onde pour un système couplé d'équations de Hartree en régime semi-classique, en présence de potentiels extérieurs sous-quadratiques. Nous décrivons analytiquement et numériquement le comportement asymptotique à l'ordre principal des fonctions d'onde solution du système, lorsqu'elles sont soumises à une condition initiale en forme de paquets d'onde, pour différentes tailles de non-linéarité. La dernière partie est constituée du quatrième chapitre et de l'annexe. Dans le quatrième chapitre nous considérons le problème de Cauchy de l'équation de Hartree avec noyau homogène ou dont la transformée de Fourier est dans un espace de Lebesgue, dans le cadre fonctionnel de l'algèbre de Wiener. Nous montrons quelques résultats sur le caractère bien posé du problème pour les noyaux considérés, dans des espaces faisant intervenir l'algèbre de Wiener. Nous concluons par une annexe dans laquelle nous considérons le problème de Cauchy de l'équation de Schrödinger-Poisson, en présence d'un potentiel extérieur indépendant du temps, dans les espaces de Sobolev pondérés. Nous étendons des résultats déjà obtenus sur l'existence de solutions globales dans les espaces de Sobolev sans poids lorsque le potentiel extérieur est nul, en montrant l'existence de solutions globales en temps dans les espaces de Sobolev pondérés pour toute régularité
This thesis is devoted to the study of some asymptotic regimes of the semi-classical Schrödinger equation, in the presence of a nonlocal nonlinearity of Hartree-type . The purpose of the first part, consisting of the first and second chapter is the study of the asymptotic behavior of the previous model with a singular kernel around the origin for an initial data asymptotically of WKB-type, in a weakly nonlinear regime. In the first chapter we show that under some regularity conditions on the initial data, the solution still is of WKB-type at leading order, a result that we get in the functional framework of the Wiener algebra . We give an alternative proof to the previous result in the particular case of the Schrödinger-Poisson equation in the functional framework of rescaled Sobolev space, where the consideration of correctors is necessary to construct an approximate solution to describe the solution at leading order.The second part of this thesis, the subject of the third chapter is devoted to the study the propagation of wave packets for a coupled system of Hartree equations in a semi-classical regime , in the presence of sub-quadratic external potentials. We describe analytically and numerically the asymptotic behavior of the leading order of the wave functions solution of the system, for an initial data in the form of wave packets for different sizes of nonlinearity.The final part consists of the fourth chapter and appendix.In the fourth chapter we consider the Cauchy problem of the Hartree equation with a homogeneous kernel or of Fourier transform in a Lebesgue space, in the functional framework of the Wiener algebra. We show some results on the well-posedness of the problem for the considered kernels, in spaces involving the Wiener algebra.We conclude with an appendix in which we consider the Cauchy problem for the Schrödinger-Poisson equation in the presence of a time independent external potential in the weighted Sobolev spaces. We extend the results already obtained on the existence of global solutions in Sobolev spaces without weight when the external potential is reduced to zero, by showing the existence of global solutions in time in the weighted Sobolev spaces for all regularity

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Caudrelier, Vincent. "Equation de Schrödinger non-linéaire et impuretés dans les systèmes intégrables." Phd thesis, Chambéry, 2005. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00009612.

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Abstract:

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de physique théorique appelé systèmes intégrables, qui mêle fructueusement physique et mathématiques et se caractérise par la possibilité d'obtenir des résultats exacts (i.e. non perturbatifs) guidant les prédictions physiques qui en découlent.
Dans ce contexte, l'équation de Schrödinger non-linéaire (à 1+1 dimensions) est un système privilégié. On la retrouve comme modèle de phénomènes variés tant classiques (optique non-linéaire, mécanique des fluides...) que quantiques (gaz ultra-froids, condensation de Bose-Einstein...). En outre, elle a contribué à la mise au point de techniques de résolution des systèmes intégrables : méthode de diffusion inverse, ansatz de Bethe, identification et utilisation de symétries (groupes quantiques, Yangiens). En utilisant ce système à la fois comme support de test et comme modèle de prédiction, mon travail de thèse tourne autour de deux points principaux :
- Inclusion de degrés de liberté bosoniques et fermioniques.
- Inclusion d'un bord ou d'une impureté.
Dans un premier temps, j'ai étudié une version « supersymétrique » de cette équation pour laquelle j'ai montré la validité de tous les résultats d'intégrabilité, de symétrie et de résolution explicite classiques et quantiques connus pour la version scalaire originelle. La question de l'inclusion d'un bord a été traitée d'un autre point de vue. L'idée est de partir d'une algèbre de symétrie caractéristique des systèmes intégrables avec bord, l'algèbre de réflexion, et de construire un Hamiltonien général intégrable et possédant cette algèbre comme structure de symétrie. Un cas particulier de l'Hamiltonien intégrable obtenu n'est autre que l'Hamiltonien de Schrödinger non-linéaire en présence d'un bord. Un autre cas particulier est l'Hamiltonien de Sutherland en présence d'un bord pour lequel la symétrie n'était pas connue.
Le problème de l'inclusion d'une impureté dans un système intégrable a constitué la plus grosse partie de mon travail. J'ai pu montrer qu'il est possible de préserver l'intégrabilité d'un système avec interaction lorsqu'on introduit un défaut qui transmet et réfléchit (une impureté) grâce à une nouvelle structure algébrique, l'algèbre de Réflexion-Transmission, appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cela permet de trouver la forme explicite du champ, de calculer de façon exacte les éléments de la matrice de diffusion et les fonctions de corrélation à N points et d'identifier la symétrie du problème.
Suite à ce travail, les équations exactes qui régissent le spectre d'énergie d'un gaz de particules en interaction de contact et en présence d'une impureté contrôlée par quatre paramètres ont été établies. Ces résultats ouvrent des perspectives d'applications en physique de la matière condensée.

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Bégout, Pascal. "Quelques propriétés qualitatives de l'équation de Schrödinger non-linéaire." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2001. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007378.

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Abstract:

Les travaux présentés dans cette thèse concerne l'équation de Schrödinger avec puissance simple comme non-linéarité. Dans une première partie, on étudie des solutions globales en temps possédant un état de diffusion dans un espace de Sobolev à poids. Puisque le groupe de Schrödinger n'est pas une isométrie sur cet espace, on cherche à savoir si de telles solutions convergent vers leur état de diffusion. La réciproque est également étudiée. Dans une deuxième partie, on montre que la vitesse maximale de décroissance en temps des solutions est celle des solutions du problème linéaire associé. Une troisième partie traite de conditions suffisantes et de conditions nécessaires pour l'existence globale en temps de solutions dans le cas surcritique. Dans une quatrième partie, on simplifie la démonstration du résultat de Kenji Nakanishi qui montre que dans le cas dissipatif et sous des hypothèses adéquates sur la non-linéarité, on peut établir une théorie de la diffusion dans l'espace d'énergie en petite dimension d'espace. La simplification consiste à ne pas utiliser les espaces de Besov, puisque le résultat se produit dans l'espace d'énergie. Dans une dernière partie, on regarde la régularité de certaines solutions auto-similaires.

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Anton, Ramona. "Équation de Schrödinger non-linéaire dans un domaine à bord." Paris 11, 2006. http://www.theses.fr/2006PA112197.

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Hari, Lysianne. "Propagation non-linéaire de paquets d'onde." Thesis, Cergy-Pontoise, 2014. http://www.theses.fr/2014CERG0726/document.

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Abstract:

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude, dans la limite semi-classique, de systèmes d'équations de Schrödinger non-linéaires couplées. Selon le potentiel considéré, le système peut, ou non, présenterun couplage linéaire, en plus de celui induit par le terme non-linéaire. Dans ce manuscrit, c'est la propagation d'états cohérents -états localisés dans l'espace des phases, et que l'on va faire vivre dans un niveau d'énergie donné - qui va nous intéresser.Dans le cadre linéaire, plusieurs situations ont été étudiées, certaines préservant l'adiabaticité,et d'autres la brisant, faisant apparaître des transitions entre les niveaux d'énergie.Le rôle de la non-linéarité et l'interaction de ses effets avec un éventuel couplage linéaire sur ces phénomènes est une questionimportante pour comprendre des systèmes qui entrent en jeu dans des problèmes très actuels en physique quantique.Dans un premier temps, le potentiel pris en compte aura des valeurs propres bien séparées par un trou spectral,et nous montrerons un théorème adiabatique pour une non-linéarité qui présente un exposant critique pour le paramètre semi-classique devant la non-linéarité. Un point de vue équivalent est de considérer des données petites de l'ordre d'une puissance positive du paramètre semi-classique.Il s'agit d'un résultat analogue à celui de Carles et Fermanian-Kammerer mais dans un cadre sur-critique L^2.Dans un deuxième temps, nous considèrerons, pour le cas unidimensionnel, un potentiel explicite de taille 2 X 2,qui présente un croisement évité :les deux valeurs propres sont séparées par un paramètre delta - paramètre adiabatique -qui va tendre vers zéro lorsque le paramètre semi-classique va tendre vers zéro. Nous montrerons alors que des transitions entre les modes ont lieu.Il s'agit ici d'une version non-linéaire des travaux d'Hagedorn et Joyeoù une telle transition est démontrée pour des systèmes linéaires
This thesis is devoted to the study of coupled nonlinear Schrödinger equations in the semi-classical limit.Depending on the potential we consider, the system can present a linear coupling, in addition to the nonlinear one.We will focus on the propagation of coherent states that will be polarized along a given eigenvector of the potential.In the linear setting, several situations have been analyzed; some of them lead to adiabatic theorems whereas the others implytransitions between energy levels. When one adds a nonlinearity, understanding nonlinear effects onthe propagation and the competition between them and the linear coupling becomes a very interesting issue.We first consider a potential with eigenvalues that present a spectral gap and will prove an adiabatic theoremfor a critical nonlinearity in the semi-classical sense. This is a L^2-supercritical result,similar to the one proved by Carles and Fermanian-Kammerer for the one-dimensional case, which is L^2-subcritical.The second part of the thesis deals with an explicit 2 X 2 potential that presents an avoided crossing point :the minimal gap between its eigenvalues becomes smaller as the semiclassical parameter tends to zero. We will prove that this system exhibits transitions between the modes. This result is a nonlinear version of the study performed by Hagedorn and Joye in the linear case

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Di, Cosmo Jonathan. "Nonlinear Schrödinger equation and Schrödinger-Poisson system in the semiclassical limit." Doctoral thesis, Universite Libre de Bruxelles, 2011. http://hdl.handle.net/2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/209863.

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Abstract:

The nonlinear Schrödinger equation appears in different fields of physics, for example in the theory of Bose-Einstein condensates or in wave propagation models. From a mathematical point of view, the study of this equation is interesting and delicate, notably because it can have a very rich set of solutions with various behaviours.

In this thesis, we have been interested in standing waves, which satisfy an elliptic partial differential equation. When this equation is seen as a singularly perturbed problem, its solutions concentrate, in the sense that they converge uniformly to zero outside some concentration set, while they remain positive on this set.

We have obtained three kind of new results. Firstly, under symmetry assumptions, we have found solutions concentrating on a sphere. Secondly, we have obtained the same type of solutions for the Schrödinger-Poisson system. The method consists in applying the mountain pass theorem to a penalized problem. Thirdly, we have proved the existence of solutions of the nonlinear Schrödinger equation concentrating at a local maximum of the potential. These solutions are found by a more general minimax principle. Our results are characterized by very weak assumptions on the potential./

L'équation de Schrödinger non-linéaire apparaît dans différents domaines de la physique, par exemple dans la théorie des condensats de Bose-Einstein ou dans des modèles de propagation d'ondes. D'un point de vue mathématique, l'étude de cette équation est intéressante et délicate, notamment parce qu'elle peut posséder un ensemble très riche de solutions avec des comportements variés.

Dans cette thèse ,nous nous sommes intéressés aux ondes stationnaires, qui satisfont une équation aux dérivées partielles elliptique. Lorsque cette équation est vue comme un problème de perturbations singulières, ses solutions se concentrent, dans le sens où elles tendent uniformément vers zéro en dehors d'un certain ensemble de concentration, tout en restant positives sur cet ensemble.

Nous avons obtenu trois types de résultats nouveaux. Premièrement, sous des hypothèses de symétrie, nous avons trouvé des solutions qui se concentrent sur une sphère. Deuxièmement, nous avons obtenu le même type de solutions pour le système de Schrödinger-Poisson. La méthode consiste à appliquer le théorème du col à un problème pénalisé. Troisièmement, nous avons démontré l'existence de solutions de l'équation de Schrödinger non-linéaire qui se concentrent en un maximum local du potentiel. Ces solutions sont obtenues par un principe de minimax plus général. Nos résultats se caractérisent par des hypothèses très faibles sur le potentiel.
Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques
info:eu-repo/semantics/nonPublished

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Thomann, Laurent. "Instabilité des équations de Schrödinger." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00265284.

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Abstract:

Dans cette thèse on s'est intéressé à différents phénomènes d'instabilités pour des équations de Schrödinger non-linéaires.
Dans la première partie on met en évidence un mécanisme de décohérence de phase pour l'équation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phénomène géométrique est dû à la présence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une méthode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R^{3}.
Dans la deuxième partie, on obtient un résultat d'instabilité géométrique pour NLS cubique posée sur une surface riemannienne possédant une géodésique périodique, stable et non-dégénérée. Avec une méthode WKB, on construit des quasimodes non-linéaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchées pour des temps pour lesquels l'instabilité se produit. On généralise ainsi des travaux de Burq-Gérard-Tzvetkov pour la sphère.
Enfin, dans la dernière partie on considère des équations sur-critiques sur une variété de dimension d. Grâce à une optique géométrique non-linéaire dans un cadre analytique on peut montrer un mécanisme de perte de dérivées dans les espaces de Sobolev, et une instabilité dans l'espace d'énergie.

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Catoire, Fabrice. "Equation de Schrödinger non-linéaire dans le tore plat générique et le tore de révolution." Paris 11, 2010. http://www.theses.fr/2010PA112370.

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Abstract:

La première partie étudie, pour une non-linéarité cubique (p = 4) le cas du tore plat générique. La platitude du tore fait que l’on considère des séries de Fourier, l’étude consistant alors à compter les valeurs propres du Laplacien. Ce comptage peut se faire de plusieurs façons, Son argument s’adapte parfaitement en dimension d _ 3 : si d est pair on prouve que s0 = (d / 2)=2 et si d est impair, on a alors une perte ie s0 _ (d / 2)=2 + 1=(d + 1). En dimension 2, on préfère s’intéresser au côté géométrique de la question puisque la question du comptage des valeurs propres se ramène à un comptage de points à coordonnées entières sur, ou entre, certaines surfaces. La deuxième partie étudie le cas du tore de révolution. Ici, après avoir décomposé dans une direction en série de Fourier, on décompose dans l’autre direction, en série de Hermite. On établit alors que contrairement aux exponentielles trigonométriques du tore plat, les fonctions propres ont de grandes normes Lq.

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Oru, Frédéric. "Rôle des oscillations dans quelques problèmes d'analyse non-linéaire." Cachan, Ecole normale supérieure, 1998. http://www.theses.fr/1998DENS0018.

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Abstract:

Dans ce travail, nous étudions le rôle joue par la présence d'oscillations dans trois questions d'analyse non-linéaire. Dans une première partie, nous présentons une version précisée des inégalités de Sobolev, équilibrée pour des données fortement oscillantes. Ces nouvelles inégalités font intervenir la norme d'un espace de Besov d'indice négatif, laquelle fournit une mesure du caractère oscillatoire des fonctions. La seconde partie concerne l'équation de Navier-stokes. Nous montrons d'une part que l'operateur bilinéaire associe a la formulation Mild, malgré toutes les cancellations qu'il contient, n'est pas continu dans l'espace des fonctions continues en temps a valeurs dans l#3(r#3), justifiant ainsi l'alternative proposée par Kato pour résoudre l'équation de Navier-stokes dans cet espace. D'autre part, nous démontrons une propriété de stabilité par passage à la limite faible pour les équations de Navier-stokes. Dans la dernière partie, nous généralisons un théorème de t. Cazenave et f. Weissler concernant l'existence de solutions auto similaires pour une équation de Schrödinger non-linéaire.

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Mirrahimi, Mazyar. "Estimation et contrôle non-linéaire : application à quelques systèmes quantiques et classiques." Habilitation à diriger des recherches, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00844394.

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Abstract:

Ce manuscrit se décompose en deux parties principales, associées à deux types d'applications assez différentes. Dans la première partie qui comprend les deux premiers chapitres, je m'intéresse à des systèmes issus de problèmes de contrôle et d'estimation en physique quantique; dans la deuxième partie (troisième chapitre du manuscrit), j'étudie la propagation d'ondes électriques le long des fils classiques dans un réseau de lignes de transmission et je considère certains problèmes d'estimation de paramètres. Dans le premier chapitre nous étudions le problème de la planification de trajectoires pour des systèmes quantiques fermés modélisés par des équations de Schrödinger bilinéaire. Nous démontrons alors des résultats de la stabilisation approchée pour le cas d'une boite quantique infinie ainsi que pour le cas d'un potentiel décroissant. Dans les deux cas, le manque de pré-compacité des trajectoires dans des espaces fonctionnels appropriés nous oblige à proposer des méthodes de Lyapunov qui évitent des phénomènes de perte de masse à l'infini. Dans le deuxième chapitre nous étudions le problème de stabilisation de systèmes quantiques en observation. Cette observation nécessite l'ouverture du système à son environnement. Les modèles pertinents pour l'évolution de ce type de systèmes sont des modèles stochastiques basés sur des trajectoires de Monte-Carlo quantiques. Nous étudions alors certains problèmes de stabilisation qui parviennent de vraies expériences physiques. Enfin, dans le chapitre 3 nous considérons le problème d'estimation de paramètres pour un réseau de fils de câblage électrique. Dans ce but, nous étudions deux approches : l'approche temporelle et l'approche fréquentielle. Dans l'approche temporelle, nous considérons le réseau le plus simple qui consiste d'une seule ligne de transmission et nous proposons un algorithme d'identification pour l'équation d'onde associé qui est basé sur l'application des observateurs asymptotiques. Dans l'approche fréquentielle, nous considérons un réseau plus compliqué de la forme étoile. Nous proposons alors des résultats d'identifiabilité basés sur des techniques de l'inverse scattering.

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Pawilowski, Boris. "Limite de champ moyen pour des modèles discrets et équation de Schrödinger non linéaire discrète." Thesis, Rennes 1, 2015. http://www.theses.fr/2015REN1S163.

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Abstract:

Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets
In a serie of works Z. Ammari and F. Nier developed methods to study the dynamics of bosonic mean field for general quantum states which can present correlations. They obtained formulas to describe the dynamics of the correlations, or more generally reduced density matrices with an arbitrary order. This topic was widely developed these last years. N.J. Mauser was one of contributors, as well as on the notion of Wigner measure which is the key of the analysis developed by Z. Ammari and F. Nier. Generally, the mean field asymptotic is admitted is a good approximation of the N-body problem when N exceed about ten. It concerns the asymptotics of the reduced density matrices for one particle which does not describe the dynamics of the correlations. An objective is to test the validity of the mean field dynamics for reduced density matrices for 2 particles. For numerical tests, the discrete models which were not really handled in detail in the previous works of Z. Ammari and F. Nier seem adapted well. The thesis will thus include several steps: adapt the previous results from Z. Ammari and F. Nier to discrete models , develop numerical methods, for simple but relevant systems, allowing to validate the approximation of mean field and the formulas for the dynamics of the correlations. About numerics, symplectic numerical scheme are used, developed specifically these last years for the discretization of the hamiltonian equations. A last possible step concerns the combination of both asymptotics, that is mean field and approximation of the continuous models by the discrete models

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Mur, Anthony. "Quelques problèmes de minimisation en relation avec les équations de Schrödinger." Electronic Thesis or Diss., Toulouse 3, 2023. http://www.theses.fr/2023TOU30274.

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Abstract:

Dans cette thèse, on étudie quelques problèmes de minimisation issus de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère les estimations de Strichartz associées à l'équation de Schrödinger avec des puissances fractionnaires du Laplacien dans l'espace euclidien. On montre l'existence des fonctions optimales pour ces inégalités pour toutes les valeurs possibles des paramètres. La preuve utilise un théorème général de décomposition de profils. Dans la deuxième partie de la thèse, on considère des équations de Schrödinger non linéaires avec des conditions non nulles à l'infini dans l'espace euclidien bidimensionnel. On travaille avec des non-linéarités générales. Tous nos résultats sont valables dans le cas modèle de l'équation de Gross-Pitaevskii. Les équations étudiées sont hamiltoniennes, les quantités conservées sont l'énergie et le moment. On donne d'abord une définition mathématique rigoureuse du moment. On montre ensuite que pour toute valeur possible dollar p dollar du moment il existe des fonctions qui minimisent l'énergie lorsque la valeur du moment est fixée et est égale à dollar p dollar. Ces fonctions sont lisses et sont des ondes progressives de l'équation. Leurs vitesses sont les multiplicateurs de Lagrange associés au problème de minimisation. On montre que pour chaque dollar p dollar il existe une valeur critique de la période dollar lambda ( p ) dollar telle que tous les minimiseurs avec une période inférieure à dollar lambda ( p ) dollar doivent être unidimensionnels, et que les minimiseurs avec des périodes supérieures à dollar lambda ( p ) dollar dépendent effectivement des deux variables spatiales. On étudie également le problème unidimensionnel correspondant et on trouve toutes les ondes progressives d'énergie finie. Dans certains cas (comme, par exemple, dans le cas de l'équation de Gross-Pitaevskii), les minimisateurs de l'énergie à moment constant constituent l'ensemble des ondes progressives. On construit des exemples de non-linéarités lisses pour lesquelles l'équation admet des ondes progressives qui ne sont pas des minimisateurs
In this thesis we study several minimization problems arising in the theory of partial differential equations. We consider Strichartz estimates associated to the Schrödinger equation involving fractional powers of the Laplacian in the Euclidean space. Using a general profile decomposition theorem, we prove the existence of optimal functions for these inequalities for the whole range of parameters. In the second part of the thesis we consider periodic nonlinear Schrödinger equations in the plane with non-zero conditions at infinity. We work with general nonlinearities, including the model case of the Gross-Pitaevskii equation. The equation is Hamiltonian, the conserved quantities are the energy and the momentum. We give a rigorous mathematical definition of the momentum, then for any possible value dollar p dolla of the momentum we prove the existence of traveling waves that minimize the energy when the momentum is equal to dollar p dollar. We show that for each dollar p dollar there exists a critical length of the period dollar lambda ( p ) dollar such that all minimizers with period smaller than dollar lambda ( p ) dollar must be one-dimensional, while minimizers with period greater than dollar lambda ( p ) dollar are truly two-dimensional. We also investigate the corresponding one-dimensional problem and we find all finite-energy traveling waves. Minimizers are always traveling waves, and in some cases they constitute the whole set of traveling-waves (this occurs, for instance, in the case of Gross-Pitaevskii nonlinearity). We construct examples of smooth nonlinearities for which the equation admits traveling waves that are not minimizers

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Destyl, Edes. "Modélisation et analyse de systèmes d'équations de Schrödinger non linéaires." Thesis, Antilles, 2018. http://www.theses.fr/2018ANTI0283/document.

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Abstract:

Les travaux de cette thèse portent sur la modélisation et l’étude numérique dessystèmes couplés de deux équations de Schrödinger non linéaires. Dans un premiertemps, nous considérons un système de deux équations de Schrödinger non linéairesPT −symétrique qui modélise des phénomèmes de fibre optique biréfringent. Lecomportement de la solution est étudié dans certains espaces comme l’espace de SobolevH1. De plus, l’étude numérique du modèle est faite afin de valider les résultatsanalytiques et, montre clairement le comportement qualitatif de la solution dansles espaces choisis. Pour ce même modèle en dimension supérieure, des conditionssuffisantes sont établies pour que la solution explose en temps fini pour certainesnon linéarités et pour le cas général de la non linéarité focalisante, nous faisonsl’étude numérique du modéle et nous présentons certains cas d’explosion de la solutionen temps fini et aussi des solutions du modèle qui existent tout le temps.D’autre part, nous adressons un nouveau modèle d’équations discrètes de Schrödingernon linéaires PT -symétrique. Un tel modèle décrit la dynamique d’une chaînede pendules faiblement couplés près d’une résonance entre une force paramétriqueet la fréquence linéaire des pendules. En vue d’étudier la stabilité des pendules, desconditions suffisantes ont été établies sur les paramètres du modèle pour que la solutiond’équilibre zéro soit linéairement et non linéairement stable. Des expériencesnumériques sont présentées pour valider les résultats analytiques et pour caractériserla déstabilisation de la chaîne de pendules couplés dans la région d’instabilité
The works of this thesis concern the modeling and the numerical study of thesystems of two coupled nonlinear Schrödinger equations. At first, we considered aparity-time-symmetric system of the two coupled nonlinear Schrödinger (NLS) equationsthat modeled phenomenons in birefringent nonlinear optical fiber. We studythe behavior of the solution in some spaces like the Sobolev space H1. And we studythe numerical aspect of the model which clearly shows the behavior of the solutionin the chosen space. For the same model in higher dimension, we establish sufficientconditions for the initial conditions to blow up in finite time for some nonlinearityand for others we do the numerical study of the model and we present some casesof blowing up of the solution in finite time and also of the solutions of the modelthat exist all the time. On the other hand, we address a new model of discrete nonlinearSchrödinger equations PT -symmetric. A such model describes dynamics inthe chain of weakly coupled pendula pairs near the resonance between the parametricallydriven force and the linear frequency of each pendulum. In order to studythe stability of the pendulums, we establish sufficient conditions on the parametersof the model so that the equilibrium solution is stable. Numerical experiments arepresented to validate the analytical results and to characterize the unstabilizationof the coupled pendulum chain in the region of instability

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Nathanson, Ekaterina Sergeyevna. "Path integration with non-positive distributions and applications to the Schrödinger equation." Diss., University of Iowa, 2014. https://ir.uiowa.edu/etd/1370.

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Abstract:

In 1948, Richard Feynman published the first paper on his new approach to non-relativistic quantum mechanics. Before Feynman's work there were two mathematical formulations of quantum mechanics. Schrödinger's formulation was based on PDE (the Schrödinger equation) and states representation by wave functions, so it was in the framework of analysis and differential equations. The other formulation was Heisenberg's matrix algebra. Initially, they were thought to be competing. The proponents of one claimed that the other was “ wrong. ” Within a couple of years, John von Neumann had proved that they are equivalent. Although Feynman's theory was not fundamentally new, it nonetheless offered an entirely fresh and different perspective: via a precise formulation of Bohr's correspondence principle, it made quantum mechanics similar to classical mechanics in a precise sense. In addition, Feynman's approach made it possible to explain physical experiments, and, via diagrams, link them directly to computations. What resulted was a very powerful device for computing energies and scattering amplitudes - the famous Feynman's diagrams. In his formulation, Feynman aimed at representing the solution to the non-relativistic Schrödinger equation in the form of an “ average ” over histories or paths of a particle. This solution is commonly known as the Feynman path integral. It plays an important role in the theory but appears as a postulate based on intuition coming from physics rather than a justified mathematical object. This is why Feynman's vision has caught the attention of many mathematicians as well as physicists. The papers of Gelfand, Cameron, and Nelson are among the first, and more substantial, attempts to supply Feynman's theory with a rigorous mathematical foundation. These attempts were followed by many others, but unfortunately all of them were not quite satisfactory. The difficulty comes from a need to define a measure on an infinite-dimensional space of continuous functions that represent all possible paths of a particle. This Feynman's measure has to produce an integral with the properties requested by Feynman. In particular, the expression for the Feynman measure has to involve the non-absolutely integrable Fresnel integrands. The non-absolute integrability of the Fresnel integrands makes the measure fail to be positive and to have the countably additive property. Thus, a well-defined measure in the case of the Feynman path integral does not exist. Extensive research has been done on the methods of relating the Feynman path integral to the integral with respect to the Wiener measure. The method of analytic continuation in mass defines the Feynman path integral as a certain limit of the Wiener integrals. Unfortunately, this method can be used as definition for only almost all values of the mass parameter in the Schrödinger equation. For physicists, this is not a satisfactory result and needs to be improved. In this work we examine those questions which originally led to the Feynman path integral. By now we know that Feynman's “ dream ” cannot be realized as a positive and countably additive measure on the path-space. Here, we offer a new way out by modifying Feynman's question, and thereby achieving a solution to the Schrödinger equation via a different kind of averages in the path-space. We give our version of the question that Feynman “ should have asked ” in order to realize the elusive path integral. In our formulation, we get a Feynman path integral as a limit of linear functionals, as opposed to the more familiar inductive limits of positive measures, traditionally used for constructing the Wiener measure, and related Gaussian families. We adapt here an approach pioneered by Patrick Muldowney. In it, Muldowney suggested a Henstock integration technique in order to deal with the non-absolute integrability of the kind of Fresnel integrals which we need in our solution to Feynman's question. By applying Henstock's theory to Fresnel integrals, we construct a complex-valued “ probability distribution functions ” on the path-space. Then we use this “ probability ” distribution function to define the Feynman path integral as an inductive limit. This establishes a mathematically rigorous Feynman limit, and at the same time, preserves Feynman's intuitive idea in resulting functional. In addition, our definition, and our solution, do not place any restrictions on any of the parameters in the Schrödinger equation, and have a potential to offer useful computational experiments, and other theoretical insights.

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Pham, Chi-Tuong. "Stabilité et dynamique d'écoulements de fluides parfaits barotropes autour d'un obstacle en présence de dispersion." Paris 6, 2003. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006825.

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Vinçotte, Antoine. "Propagation non-linéaire d'impulsions laser ultra-courtes dans les milieux transparents." Phd thesis, Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00134895.

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Abstract:

Nous présentons différents aspects de la propagation d'impulsions laser ultra-courtes
dans les milieux transparents. Tout d'abord, après avoir établi les équations de propagation
à partir des équations de Maxwell, nous rappelons les principaux phénomènes physiques auxquels
sont soumises les impulsions ultra-courtes et de forte puissance se propageant dans un milieu transparent.
Celles-ci subissent de l'auto-focalisation causée par la réponse Kerr du milieu. Cette auto-focalisation
est stoppée par la création d'un plasma produit par l'ionisation photonique des molécules du milieu.
La propagation de l'onde laser génère aussi un supercontinuum par auto-modulation de phase. Enfin,
on rappelle les principaux résultats concernant la filamentation simple ou multiple de l'onde provenant
des inhomogénéités du faisceau et qui a lieu lorsque la puissance initiale du laser est supérieure
au seuil d'auto-focalisation. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à l'influence de
non-linéarités optiques d'ordre élevé sur la propagation de l'onde et sur la figure de
filamentation créée. Dans une troisième partie, afin de contrôler la filamentation multiple,
nous analysons la propagation de faisceaux particuliers: les impulsions optiques femtosecondes avec gradient
fort et les vortex. Nous justifions les propriétés de robustesse de ces derniers type d'objets
optiques. Enfin, nous examinons la filamentation multiple d'impulsions ultra-courtes à travers une
chambre à brouillard, et dans les cellules d'éthanol dopées à la coumarine, pour différentes
configurations du faisceau.

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Maris, Mihai. "Sur quelques problèmes elliptiques non-linéaires." Paris 11, 2001. http://www.theses.fr/2001PA112247.

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Abstract:

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'étude des solutions particulières de certaines équations aux dérivées partielles dispersives issues de la physique, comme par exemple l'équation de Schrödinger, l'équation de Benney-Luke ou l'équation de Benjamin-Ono. Les solutions étudiées sont de type ondes stationnaires (intuitivement, il s'agit d'un profil qui tourne périodiquement en temps) ou ondes progressives (i. E. Un profil qui se déplace à vitesse constante dans une certaine direction de l'espace). Ceci nous conduit à des problèmes elliptiques non-linéaires dans l'espace tout entier. Des solutions de type onde progressive ou bien onde stationnaire pour les équations considérées ont été observées dans les expérimentations ou dans les calculs numériques. Dans certains cas, elles semblent jouer un rôle important dans la dynamique générale des équations d'évolution correspondantes. Dans le premier chapitre on démontre la régularité et on trouve le taux algébrique optimal de décroissance à l'infini des ondes solitaires des équations de Benney-Luke et de Benjamin-Ono. .
In this thesis we study particular solutions for some nonlinear dispersive partial differential equations which appear in physics, such the nonlinear Schrödinger equation, the Benney-Luke equation or the Benjamin-Ono equation. We are particularly interested in the stationary waves and in the travelling waves of these equations. This gives nonlinear elliptic problems in the whole space. Solitary and travelling waves for the considered equations have been observed in experiments and in numerical simulations. In some cases, these solutions seem to play an important role in the general dynamics of the corresponding evolution equations. In the first chapter we prove the analyticity and we find the optimal algebraic decay rate at infinity of solitary waves to the Benney-Luke equation and to the generalized Benjamin-Ono equation. The second chapter is devoted to the proof of existence of stationary solutions for a nonlinear Schrödinger equation with potential in one dimension which describes the flow of a fluid past an obstacle. .

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Nguyen, Tien Vinh. "Construction of dynamics with strongly interacting for non-linear dispersive PDE (Partial differential equation)." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2019. http://www.theses.fr/2019SACLX024/document.

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Abstract:

Cette thèse est consacrée à l’étude des propriétés dynamiques des solutions de type soliton d'équations aux dérivées partielles (EDP) dispersives non linéaires. `A travers des exemples-type de telles équations, l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS), l'équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) et le système de Schrödinger, on traite du comportement des solutions convergeant en temps grand vers des sommes de solitons (multi-solitons). Dans un premier temps, nous montrons que dans une configuration symétrique, avec des interactions fortes, le comportement de séparation des solitons logarithmique en temps est universel à la fois dans le cas sous-critique et sur-critique pour (NLS). Ensuite, en adaptant les techniques précédentes à l'équation (gKdV), nous prouvons un résultat similaire de l'existence de multi-solitons avec distance relative logarithmique; pour (gKdV), les solitons sont répulsifs dans le cas sous-critique et attractifs dans le cas sur-critique. Finalement, nous identifions un nouveau régime de distance logarithmique où les solitons sont non-symétriques pour le système de Schrödinger non-intégrable; une telle solution n'existe pas dans le cas intégrable pour le système et pour (NLS)
This thesis deals with long time dynamics of soliton solutions for nonlinear dispersive partial differential equation (PDE). Through typical examples of such equations, the nonlinear Schrödinger equation (NLS), the generalized Korteweg-de Vries equation (gKdV) and the coupled system of Schrödinger, we study the behavior of solutions, when time goes to infinity, towards sums of solitons (multi-solitons). First, we show that in the symmetric setting, with strong interactions, the behavior of logarithmic separation in time between solitons is universal in both subcritical and supercritical case. Next, adapting previous techniques to (gKdV) equation, we prove a similar result of existence of multi-solitons with logarithmic relative distance; for (gKdV), the solitons are repulsive in the subcritical case and attractive in the supercritical case. Finally, we identify a new logarithmic regime where the solitons are non-symmetric for the non-integrable coupled system of Schrödinger; such solution does not exist in the integrable case for the system and for (NLS)

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Boulenger, Thomas. "Explosion des solutions de Schrödinger de masse critique sur une variété riemannienne." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00922988.

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Abstract:

Ce travail cherche a comprendre comment l'ajout d'une géométrie non euclidienne dans un problème de Schrödinger non linéaire influe sur l'existence et l'unicité des solutions explosives de masse critique. On s'inspire pour beaucoup des travaux de Merle et Raphaël sur la méthode de modulation des paramètres d'invariance géométrique pour une EDP qui possède de bonnes lois de conservations. On s'appuie ici plus particulièrement sur un article de Raphaël et Szeftel qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution de masse critique en dimension 2 pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel d'inhomogénéité devant la non-linéarité, et qui explose par ailleurs au maximum de l'inhomogénéité. Dans un premier temps, il s'agit de reprendre la méthode dans son ensemble afin de l'adapter à des cas où le Laplacien n'est plus plat, et est remplacé par un opérateur de type Laplace-Beltrami ou Laplacien généralisé. Ayant mis en avant le rôle de la courbure au point d'explosion, en termes de conditions sur les dérivées de termes métriques, on reprend dans un deuxième temps l'étude dans le cas plus général d'une variété riemannienne. Grâce à un ansatz sur la solution qui intègre maintenant la transformation induite par la métrique, on est capable d'énoncer un résultat d'existence et d'unicité en termes de conditions géométriques sur la variété elle même. Par soucis de simplicité, on se limite néanmoins au rôle local de la métrique, en la supposant globalement définie dans une certaine carte, et asymptotiquement équivalente a la métrique euclidienne.

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Nabti, Abderrazak. "Non linear, non-local evolution equations : theory and application." Thesis, La Rochelle, 2015. http://www.theses.fr/2015LAROS032.

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Abstract:

Cette thèse concerne l’étude qualitative (existence locale, existence globale, explosion en temps fini) de quelques équations de Schrödinger non-linéaires non-locales. Dans le cas où les solutions explosent en temps fini, l’estimation du temps maximal d’existence des solutions sera présentée. Le chapitre 1 concerne l’étude d’une équation de Schrödinger non-linéaire sur RN. On s’intéresse à l’existence locale d’une solution pour toute condition initiale donnée dans L2(RN). De plus, on montre que la norme-L2 de la solution explose en temps fini T < 1. Les démonstrations reposent essentiellement sur le théorème de point fixe de Banach et les estimations de Strichartz, et aussi sur le choix convenable de la fonction test dans la formulation faible du problème. Dans le chapitre 2, on considère une équation de Schrödinger non-linéaire non-locale en temps, et on démontre que les solutions de notre problème explosent en temps fini ; ensuite on obtient des conditions nécessaires d’existence globale. Finalement, on obtient une borne inférieure du temps maximal d’existence de la solution. Le chapitre 3 porte sur la non-existence de solutions d’une équation de Schrödinger non-linéaire posée dans RN. Dans un premier temps, sous certaines conditions sur la donnée initiale, on montre qu’il n’existe pas de solution faible globale ; puis on donne une estimation du temps maximal d’existence de la solution. Enfin, on établit des conditions d’existence locale, ou globale de l’équation considérée. En plus, on généralise les résultats précédents au cas d’un système 2 _ 2. Le dernier chapitre traite une équation de Schrödinger non-linéaire non-locale en temps sur le groupe de Heisenberg H. En utilisant la méthode de la fonction test, on démontre que l’équation n’admet pas de solution faible globale. De plus, on obtient, sous certaines conditions sur les données initiales, une estimation inférieure du temps maximal d’existence de la solution
Our objective in this thesis is to study the existence of local solutions, existence global and blow up of solutions at a finite time to some nonlinear nonlocal Schrödinger equations. In the case when a solution blows-up at a finite time T < 1, we obtain an upper estimate of the life span of solutions. In the first chapter, we consider a nonlinear Schrödinger equation on RN. We first prove local existence of solution for any initial condition in L2 space. Then we prove nonexistence of a nontrivial global weak solution. Furthermore, we prove that the L2-norm of the local intime L2-solution blows up at a finite time. The second chapter is dedicated to study an initial value problem for the nonlocal intime nonlinear Schrödinger equation. Using the test function method, we derive a blow-up result. Then based on integral inequalities, we estimate the life span of blowing-up solutions. In the chapter 3, we prove nonexistence result of a space higher-order nonlinear Schrödinger equation. Then, we obtain an upper bound of the life span of solutions. Furthermore, the necessary conditions for the existence of local or global solutions are provided. Next, we extend our results to the 2 _ 2-system. Our method of proof rests on a judicious choice of the test function in the weak formulation of the equation. Finally, we consider a nonlinear nonlocal in time Schrödinger equation on the Heisenberg group. We prove nonexistence of non-trivial global weak solution of our problem. Furthermore, we give an upper bound of the life span of blowing up solutions

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Gallo, Clément. "Propriétés qualitatives d'ondes solitaires : solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives." Paris 11, 2005. http://www.theses.fr/2005PA112213.

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Abstract:

Cette thèse porte sur les solutions non nulles à l'infini de certaines équations non linéaires dispersives. On y établit des résultats d'existence de dark solitons pour des équations de Schrödinget non linéaires et pour des systèmes d'équations de Schrödinger couplées, en dimension 1. On étudie la stabilité linéaire d'un type particulier de dark solitons des équations de Schrödinger non linéaires en dimension 1: les black solitons. On établit des résultats d'existence globale pour le problème de Cauchy associé à l'équation de Schrödinger, linéaire puis non linéaire, dans les espaces de Zhidkov sur R^n. On considère aussi ce même problème de Cauchy dans l'espace affine phi+H^1, pour une fonction phi (non nulle à l'infini) régulière et d'énergie finie. On étudie le problème de Cauchy pour des équations non linéaires dispersives de type Korteweg-de Vries ou Benjamin-Ono, sur les espaces de Zhidkov X^s(R)
This PhD thesis is concerned with non-zero at infinity solutions of some nonlinear dispersive equations. We establish existence results for dark solitons of nonlinear Schrödinger equations and of system of two coupled nonlinear Schrödinger equations, in dimension 1. We study the linear stability of a special kind of dark solitons of nonlinear Schrödinger equations: the black solitons. We study the Cauchy problem for the linear and for the nonlinear Schrödinger equations on the Zhidkov spaces X^k(R^n). We also consider the same initial value problem on the affine space phi+H^1, where phi is a (non -zero at infinity) regular function with finite energy. We finally study the Cauchy problem for nonlinear dispersive equations which look like the Koiteweg-de Vries or the Benjamin-Ono equations, on the Zhidkov spaces X^s(R)

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Mejri, Youssef. "Problèmes inverses pour l’équation de Schrödinger." Thesis, Aix-Marseille, 2017. http://www.theses.fr/2017AIXM0506/document.

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Abstract:

Les travaux de recherche présentés dans cette thèse sont consacrés à l’étude de la stabilité dans divers problèmes inverses associés à l’équation de Schrödinger magnétique. Dans la première partie, on s’intéresse à un problème inverse concernant l’équation de Schrödinger autonome posée dans un domaine cylindrique non borné, avec potentiel magnétique périodique. On démontre à l’aide d’une construction de solutions particulières, dites solutions de type "optique géométrique", que le champ magnétique induit par le potentiel périodique est déterminé de façon stable à partir une infinité d’observations latérales de la solution, contenues dans l’opérateur de Dirichlet-Neumann. La deuxième partie de la thèse porte sur le même type de problèmes inverses mais associés à l’équation de Schrödinger magnétique non autonome. Dans un premier temps, on montre l’existence d’une unique solution régulière de cette équation dans un domaine borné ou non. Ensuite, on s’intéresse au problème inverse de la détermination simultanée des potentiels magnétique et électrique dans un domaine borné, à partir d’un nombre fini d’observations latérales de la solution. Enfin, on prouve que dans un domaine cylindrique infini, le potentiel magnétique peut être reconstruit de façon Lipschitz stable à partir d’un nombre fini d’observations de type Neumann
This thesis, is devoted to the study of inverse problems related to the Schrödinger equation. The first partof the thesis is devoted to study the boundary inverse problem of determining the alignedmagnetic field appearing in the magnetic Schrödinger equation in a periodic quantum cylindricalwaveguide. From the Dirichlet-to-Neumann map of the magnetic Schrödinger equation,we prove a Hölder stability estimate with respect to the Dirichlet-to-Neumann map, by meansof the geometrical optics solutions of the magnetic Schrödinger equation.The second part of this thesis deals with the inverse problem of determining the magnetic field and the electricpotential appearing in the magnetic Schrödinger equation, from the knowledge of a finitenumber of lateral observations of the solution

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Frisquet, Benoit. "Ondes scélérates complexes dans les fibres optiques." Thesis, Dijon, 2016. http://www.theses.fr/2016DIJOS056/document.

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Abstract:

Ce manuscrit de thèse présente l’étude d’instabilités non-linéaires et la génération d’ondes scélérates complexes liées à la propagation de la lumière dans des fibres optiques standards des télécommunications optiques. Un rappel est tout d’abord présenté sur les phénomènes physiques linéaires et non-linéaires impliqués et qui peuvent présenter une analogie directe avec le domaine de l’hydrodynamique. Les différentes formes d’ondes scélérates liées au processus d’instabilité de modulation, aussi appelées « breathers », sont alors présentées, elles sont obtenues par la résolution de l’équation de Schrödinger non-linéaire. À partir de ces solutions exactes, divers systèmes expérimentaux sont alors conçus par simulation numérique à partir de deux méthodes d’excitation d’ondes scélérates. La première est une génération exacte à partir des solutions analytiques en effectuant une mise en forme spectrale en intensité et en phase d’un peigne de fréquence optique. La seconde méthode est basée sur des conditions initiales approchées avec des ondes continues modulées sinusoïdalement. Les mesures expérimentales réalisées avec ces deux méthodes démontrent parfaitement la génération d’ondes scélérates complexes (solutions d’ordre supérieur du système) issues de la superposition non-linéaire ou collisions de « breathers » de premier ordre. Enfin, nous avons également étudié un système non-linéaire équivalent au modèle de Manakov, qui fait intervenir la propagation de deux ondes distinctes avec des polarisations orthogonales dans une fibre optique. L’analyse de stabilité et des simulations numériques de ce système multi-variable mettent en évidence un nouveau régime d’instabilité de modulation vectorielle ainsi que de nouvelles solutions d’ondes scélérates noires et couplées en polarisation. Un nouveau système expérimental mis en place a permis de confirmer ces prédictions théoriques avec un excellent accord quantitatif
This manuscript presents the generation of complex rogue waves related to nonlinear instabilities occurring through the propagation of light in standard optical fibers. Linear and nonlinear physical phenomena involved are first listed, in particular some of them by analogy with the field of hydrodynamics. The different forms of rogue waves induced by the modulation instability process are then presented. They are also known as "breathers", and they are obtained by solving the nonlinear Schrödinger equation. From these exact solutions, various experimental systems were designed by means of numerical simulations based on two rogue-wave excitation methods. The first one is an exact generation of mathematical solutions based on the spectral shaping of an optical frequency comb. The second method uses approximate initial conditions with a simple sinusoidal modulation of continuous waves. For both cases, experimental measurements demonstrate the generation of complex rogue waves (i.e., higher-order solutions of the system) arising from the nonlinear superposition or collision of first-order breathers. Finally, we also studied a nonlinear fiber system equivalent to the Manakov model, which involves the propagation of two distinct waves with orthogonal polarizations. The stability analysis and numerical simulations of this multi-component system highlight a novel regime of vector modulation instability and the existence of coupled dark rogue-wave solutions. A new experimental system setup was conceived and theoretical predictions are confirmed with an excellent quantitative agreement

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Mohamad, Haidar. "Sur l'équation de Gross-Pitaevskii uni-dimensionnelle et quelques généralisations du flot par courbure binormale." Thesis, Paris 6, 2014. http://www.theses.fr/2014PA066176.

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Abstract:

Ce travail est une contribution à l'étude des équations de Schrödinger non-linéaires (NLS) en dimension un d'espace. De telles équations interviennent notamment comme modèles dans plusieurs domaines de la physique mathématique, tels l'optique non-linéaire, la superfluidité, la supraconductivité et la condensation de Bose-Einstein.Cette thèse contient trois thèmes connexes inclus dans les chapitres 2, 3 et 4. Dans la première partie (chapitre 2), on s'intéresse à la construction des solutions en multi-solitons de l'équation de Gross-Pitaevskii (NLS défocalisante avec non-linéarité cubique), comme une superposition approximative des ondes progressives (solitons). Cette partie contient également une description détaillée des interactions entre les solitons. Ces résultats sont obtenus en exploitant l'intégrabilité de l'équation de Gross-Pitaevskii et son système de Marchenko associé.La deuxième partie (chapitre 4) clarifie les relations entre la formulation classique et la formulation dite hydrodynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette dernière a un sens lorsque la solution ne s'annule jamais dans le domaine spatial. La dernière partie (chapitre 3) est consacrée à l'étude du problème de Cauchy d'une famille d'équations aux dérivées partielles quasi-linéaires qui généralise l'équation du flot par courbure binormal d'une courbe dans l'espace euclidien de dimension trois. Cette dernière est liée formellement à NLS par la transformation de Hasimoto. Dans notre généralisation, la vitesse d'un point de la courbe est toujours dirigée dans la direction du vecteur binormal, mais son amplitude peut dépendre de l'abscisse curviligne ainsi de la position dans l'espace. Notre approche pour prouver l'existence est le suivant: schéma semi-discret (discret en espace et continu en temps), obtention de bornes sur les problèmes discrets et argument par compacité. Un théorème de comparaison entraîne l'unicité
This work is a contribution to the study of nonlinear Schrödinger equations (NLS) in the one-dimensional space. Such equations arise in many physical fields, including nonlinear optics and Bose-Einstein condensation. The thesis contains three connected themes included in chapters 2, 3 and 4. The first part (chapter 2) constructs multi-soliton solutions of the Gross-Pitaevskii (or defocussing NLS) equation, as an approximate superposition of traveling waves (solitons). This part contains also a detailed description of the interactions between solitons. These results are obtained by exploiting the integrability of the the Gross-Pitaevskii equation and its associated Marchenko system. The second part (chapter 4) clarifies the relations between the classical formulation and the so-called hydrodynamical formulation that only has a meaning when the solution does not vanish anywhere in the spatial domain The last part (chapter 3) of this thesis concerns existence and uniqueness results for a family of quasi-linear partial differential equations that generalize the equation of the binormal curvature flow for a curve in the three-dimensional space. The latter equation is in connection to the focussing cubic NLS by Hasimoto transformation. In our generalization, the velocity of a point on the curve is still directed along the binormal vector (so that in particular the length of the curve is preserved) but the magnitude of the speed is allowed to depend both on the curvilinear parameter and on the position in space. Existence is proven using spatial discretization together with some a priori bounds on the approximate solutions. Uniqueness follows from a comparison theorem

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Le, Coz Stefan. "Existence, stabilité et instabilité d'ondes stationnaires pour quelques équations de Klein-Gordon et Schrödinger non linéaires." Phd thesis, Université de Franche-Comté, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00239293.

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Abstract:

Cette thèse porte sur l'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de Schrödinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales : l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires.

L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.

Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des
ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.

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Ortoleva, Cecilia Maria. "Asymptotic properties of the dynamics near stationary solutions for some nonlinear Schrödinger équations." Phd thesis, Université Paris-Est, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00825627.

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Abstract:

The present thesis is devoted to the investigation of certain aspects of the large time behavior of the solutions of two nonlinear Schrödinger equations in dimension three in some suitable perturbative regimes. The first model consist in a Schrödinger equation with a concentrated nonlinearity obtained considering a {point} (or contact) interaction with strength $alpha$, which consists of a singular perturbation of the Laplacian described by a self adjoint operator $H_{alpha}$, and letting the strength $alpha$ depend on the wave function: $ifrac{du}{dt}= H_alpha u$, $alpha=alpha(u)$.It is well-known that the elements of the domain of a point interaction in three dimensions can be written as the sum of a regular function and a function that exhibits a singularity proportional to $|x - x_0|^{-1}$, where $x_0$is the location of the point interaction. If $q$ is the so-called charge of the domain element $u$, i.e. the coefficient of itssingular part, then, in order to introduce a nonlinearity, we let the strength $alpha$ depend on $u$ according to the law $alpha=-nu|q|^sigma$, with $nu > 0$. This characterizes the model as a focusing NLS with concentrated nonlinearity of power type. In particular, we study orbital and asymptotic stability of standing waves for such a model. We prove the existence of standing waves of the form $u (t)=e^{iomega t}Phi_{omega}$, which are orbitally stable in the range $sigma in (0,1)$, and orbitally unstable for $sigma geq 1.$ Moreover, we show that for $sigma in(0,frac{1}{sqrt 2}) cup left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right)$ every standing wave is asymptotically stable, in the following sense. Choosing an initial data close to the stationary state in the energy norm, and belonging to a natural weighted $L^p$ space which allows dispersive stimates, the following resolution holds: $u(t) =e^{iomega_{infty} t +il(t)} Phi_{omega_{infty}}+U_t*psi_{infty} +r_{infty}$, where $U_t$ is the free Schrödinger propagator,$omega_{infty} > 0$ and $psi_{infty}$, $r_{infty} inL^2(R^3)$ with $| r_{infty} |_{L^2} = O(t^{-p}) quadtextrm{as} ;; t right arrow +infty$, $p = frac{5}{4}$,$frac{1}{4}$ depending on $sigma in (0, 1/sqrt{2})$, $sigma in (1/sqrt{2}, 1)$, respectively, and finally $l(t)$ is a logarithmic increasing function that appears when $sigma in (frac{1}{sqrt{2}},sigma^*)$, for a certain $sigma^* in left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right]$. Notice that in the present model the admitted nonlinearities for which asymptotic stability of solitons is proved, are subcritical in the sense that it does not give rise to blow up, regardless of the chosen initial data. The second model is the energy critical focusing nonlinear Schrödinger equation $i frac{du}{dt}=-Delta u-|u|^4 u$. In this case we prove, for any $nu$ and $alpha_0$ sufficiently small, the existence of radial finite energy solutions of the form$u(t,x)=e^{ialpha(t)}lambda^{1/2}(t)W(lambda(t)x)+e^{iDeltat}zeta^*+o_{dot H^1} (1)$ as $tright arrow +infty$, where$alpha(t)=alpha_0ln t$, $lambda(t)=t^{nu}$,$W(x)=(1+frac13|x|^2)^{-1/2}$ is the ground state and $zeta^*$is arbitrarily small in $dot H^1$

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Zhang, Qidi. "Existence en temps grand et croissance des normes Sobolev pour des solutions d'équations de Klein-Gordon semi-linéaires et de Schrödinger linéaires sur certaines variétés." Phd thesis, Université Paris-Nord - Paris XIII, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00566524.

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Abstract:

Au cours des années récentes, plusieurs auteurs ont prouvé des résultats d'existence en temps grand pour des solutions d'équations de Klein-Gordon non-linéaires sur certaines variétés compactes, telles les sphères, lorsque les données initiales sont assez régulières et assez petites, et qu'un certain paramètre de masse évite un sous-ensemble de mesure nulle de la droite réelle. L'une des hypothèses fondamentales dans ces travaux est une propriété de séparation des valeurs propres du laplacien sur les variétés considérées. L'objet des deux premiers articles constituant cette thèse est d'examiner quels résultats peuvent être obtenus lorsqu'une telle hypothèse de séparation n'est plus vérifiée. Nous étudions le cas d'un opérateur de Klein-Gordon associé à l'oscillateur harmonique sur l'espace euclidien, et celui de l'opérateur de Klein-Gordon usuel sur le tore. Nous obtenons, par des méthodes de formes normales, des solutions existant sur des intervalles plus longs que ceux fournis par la théorie locale. Le dernier article de cette thèse s'intéresse au problème de l'estimation en temps grand des normes Sobolev de solutions d'une équation de Schrödinger linéaire sur le tore, à potentiel dépendant du temps. Nous prouvons des bornes logarithmiques, lorsque le potentiel est Gevrey, généralisant des résultats antérieurs de Bourgain et Wang.

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Sun, Ruoci. "Comportement en grand temps et intégrabilité de certaines équations dispersives sur l'espace de Hardy Long time behavior of the NLS-Szegö equation Traveling waves of the quintic focusing NLS-Szegö equation Complete integrability of the Benjamin-Ono equation on the multi-soliton manifolds." Thesis, université Paris-Saclay, 2020. http://www.theses.fr/2020UPASS111.

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Abstract:

On s'intéresse dans cette thèse à trois modèles d'équations hamiltoniennes dispersives non linéaires : l'équation de Schrödinger cubique défocalisante sur le cercle, filtrée par le projecteur de Szegö, qui enlève tous les modes de Fourier strictement négatifs (NLS--Szegö cubique), l'équation de Schrödinger quintique focalisante filtrée par le projecteur de Szegö sur la droite (NLS--Szegö quintique) et l'équation de Benjamin--Ono (BO) sur la droite. Comme pour les deux modèles précédents, l'équation de BO peut encore s'écrire sous la forme d'une équation de Schrödinger quadratique filtrée par le projecteur de Szegö. Ces trois modèles nous donnent l'occasion d'étudier les propriétés qualitatives de certaines ondes progressives, le phénomène de croissance des normes de Sobolev, le phénomène de diffusion non linéaire et certaines propriétés d'intégrabilité de systèmes dynamiques hamiltoniens. Le but de cette thèse est de comprendre l'influence des opérateurs de Szegö (non locaux) sur les équations de type Schrödinger, et d'adapter les outils liés à l'espace de Hardy sur le cercle et sur la droite. On applique aussi la méthode de forme normale de Birkhoff, l'argument de concentration--compacité, qui est précisé à travers le théorème de d'ecomposition en profils, et la transformée spectrale inverse pour résoudre ces problèmes. Dans le troisième modèle, la théorie de l'intégrabilité permet de faire le lien avec certains aspects algébriques et géométriques
We are interested in three non linear dispersive Hamiltonian equations: the defocusing cubic Schrödinger equation filtered by the Szegö projector on the torus that cancels every negative Fourier modes, leading to the cubic NLS--Szegö equation on the torus; the focusing quintic Schrödinger equation, which is filtered by the Szegö projector on the line, leading to the quintic NLS--Szegö equation on the line and the Benjamin--Ono (BO) equation on the line. Similarly to the other two models, the BO equation on the line can be written as a quadratic Schrödinger-type equation that is filtered by the Szegö projector on the line. These three models allow us to study their qualitative properties of some traveling waves, the phenomenon of the growth of Sobolev norms, the phenomenon of non linear scattering and some properties about the complete integrability of Hamiltonian dynamical systems. The goal of this thesis is to investigate the influence of the Szegö projector on some one-dimensional Schrödinger-type equations and to adapt the tools of the Hardy space on the torus and on the line. We also use the Birkhoff normal form transform, the concentration--compactness argument, refined as the profile decomposition theorem, and the inverse spectral transform in order to solve these problems. In the third model, the integrability theory allows to establish the connection with some algebraic and geometric aspects

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Thomas, Roland. "L'instabilité modulationnelle en présence de vent et d'un courant cisaillé uniforme." Phd thesis, Aix-Marseille Université, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00716089.

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Abstract:

Cette thèse étudie l'influence du vent sur l'instabilité modulationnelle. Une première partie unifie les travaux de Segur et al. qui intègrent la dissipation et ceux de Leblanc qui prennent en compte le vent. Une équation non linéaire de Schrödinger est établie avec un terme additionnel linéaire résultant de la compétition entre le vent et la dissipation. La dissipation est traduite par le modèle de Lundgren et l'effet du vent se manifeste par l'intermédiaire de la pression atmosphérique selon le modèle de Miles. La profondeur est finie. Une étude de stabilité de l'onde de Stokes est détaillée, et des simulations numériques sont menées pour illustrer les résultats. Des expérimentations sont menées pour apporter une validation qualitative à ces travaux. Cette première partie a été validée par une publication au Journal of Fluid Mechanics~(2010). La deuxième partie étudie l'influence du vent sur l'instabilité modulationnelle par l'intermédiaire de la vorticité qu'il crée en surface. Le modèle est simplifié par l'hypothèse d'un écoulement unidirectionnel et d'une vorticité constante. La profondeur est encore supposée finie. Une équation non linéaire de Schrödinger est établie, qui prend en compte cette vorticité constante. La stabilité de l'onde de Stokes est alors étudiée en détail (diagramme d'instabilité en fonction de la vorticité et de la profondeur, bande d'instabilité, taux d'instabilité, etc.). Il est démontré qu'une vorticité négative, au delà d'un certain seuil, supprime l'instabilité modulationnelle indépendamment de la profondeur. Cette deuxième partie a été soumise pour publication au journal Physics of Fluids.

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Fu, Ying. "Identification de dynamique pour les systèmes bilinéaires et non-linéaires en présence d'incertitudes." Thesis, Paris Sciences et Lettres (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016PSLED054/document.

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Abstract:

Dans le cadre du contrôle quantique bilinéaire, cette thèse étudie la possibilité de retrouver l'Hamiltonien et/ou le moment dipolaire à l'aide de mesures d'observables pour un ensemble grand de contrôles. Si l'implémentation du contrôle fait intervenir des bruits alors les mesures prennent la forme de distributions de probabilité. Nous montrons qu'il y a toujours unicité (à des phases près) des Hamiltoniens de du moment dipolaire retrouvés. Plusieurs modèles de bruit sont étudiés: bruit discrète constant additif et multiplicatif ainsi qu'un modèle de bruit dans les phases sous forme de processus Gaussien. Les résultats théoriques sont illustrés par des implémentations numériques
The problem of recovering the Hamiltonian and dipole moment, termed inversion, is considered in a bilinear quantum control framework. The process uses as inputs some measurable quantities (observables) for each admissible control. If the implementation of the control is noisy the data available is only in the form of probability laws of the measured observable. Nevertheless it is proved that the inversion process still has unique solutions (up to phase factors). Several models of noise are considered including the discrete noise model, the multiplicative amplitude noise model and a Gaussian process phase model. Both theoretical and numerical results are established

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Mirrahimi, Mazyar. "Dynamique et contrôle des systèmes quantiques." Phd thesis, École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2005. http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00001610.

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Abstract:

Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.

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Colin, Thierry. "Problème de Cauchy et effets régularisants pour des équations aux dérivées partielles dispersives." Cachan, Ecole normale supérieure, 1993. http://www.theses.fr/1993DENS0003.

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Dans la première partie, on traite une équation de Schrödinger non linéaire et non locale qui intervient en physique des plasmas: problème de Cauchy local et global, ondes stationnaires et leur stabilité. Dans la deuxième partie, on étudie le problème de Cauchy local pour une classe d'équations dispersives en utilisant des effets régularisant globaux. Dans la troisième partie, on démontre des effets régularisant pour des équations dispersives grâce a une transformée de Wigner généralisée. Ceci fournit de nouvelles estimations

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Klein, Pauline. "Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités." Phd thesis, Université Henri Poincaré - Nancy I, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00560706.

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Abstract:

La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.

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Toenger, Shanti. "Linear and Nonlinear Rogue Waves in Optical Systems." Thesis, Besançon, 2016. http://www.theses.fr/2016BESA2029/document.

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Abstract:

Ces travaux de thèse présentent l’étude des différentes classes d’effets linéaires et non-linéaires en optiquequi génèrent des événements extrêmes dont les propriétés sont analogues à celles des « vagues scélérates » destructrices qui apparaissent à la surface des océans. La thèse commence avec un bref aperçu de l’analogie physique entre la localisation d’onde dans les systèmes hydrodynamique et les systèmes optique, pour lesquels nous décrivons les mécanismes de génération de vagues scélérates linéaire et non-linéaire. Nous présentons ensuite quelques résultats numérique et expérimentaux de la génération de vagues scélérates dans un système optique linéaire dans le cas d’une propagation spatiale d’un champ optique qui présenteune phase aléatoire, où nous interprétons les résultats obtenus en terme de caustiques optiques localisées.Nous considérons ensuite les vagues scélérates obtenues dans des systèmes non-linéaires qui présentent une instabilité de modulation décrite par l’équation de Schrödinger non-linéaire (ESNL). Nous présentons une étude numérique détaillée comparant les caractéristiques spatio-temporelles des structures localisées obtenues dans les simulation numérique avec les différentes solutions analytiques obtenues à partir de l’ESNL.Deux études expérimentales d’instabilités de modulation sont ensuite effectuées. Dans la première, nous présentons des résultats expérimentaux qui étudient les propriétés d’instabilité de modulation en utilisant un système d’agrandissement temporel par lentille temporelle; dans la deuxième, nous rapportons des résultats expérimentaux sur les propriétés des instabilités de modulation dans le domaine fréquentiel en utilisant une technique de mesure spectrale en temps-réel. Cette dernière étude examine l’effet sur la bande spectrale et surla stabilité d’un faible champ perturbateur. Tous les résultats expérimentaux sont comparés avec la simulation d’ESNL et abordés en termes des propriétés qualitatives d’instabilité de modulation. Dans toutes ces études,différentes propriétés statistiques sont analysées en rapport avec l’apparition des vagues scélérates
This thesis describes the study of several different classes of linear and nonlinear effects in optics that generatelarge amplitude extreme events with properties analogous to the destructive “rogue waves” on the surface of theocean. The thesis begins with a brief overview of the analogous physics of wave localisation in hydrodynamicand optical systems, where we describe linear and nonlinear rogue wave generating mechanisms in bothcases. We then present numerical and experimental results for rogue wave generation in a linear opticalsystem consisting of free space propagation of a spatial optical field with random phase. Computed statisticsbetween experiment and modelling are in good agreement, and we interpret the results obtained in termsof the properties of localised optical caustics. We then consider rogue waves in the nonlinear system ofmodulation instability described by the Nonlinear Schrodinger Equation (NLSE), and a detailed numericalstudy is presented comparing the spatio-temporal characteristics of localised structures seen from numericalsimulations with different known analytic solutions to the NLSE. Two experimental studies of modulationinstability are then reported. In the first, we present experimental results studying the properties of modulationinstability using a time-lens magnifier system; in the second, we report experimental results studying thefrequency-domain properties of modulation instability using real-time spectral measurements. The latter studyexamines the effect of a weak seed field on spectral bandwidth and stability. All experimental results arecompared with the NLSE simulations and discussed in terms of the qualitative properties of modulationinstability, in order to gain new insights into the complex dynamics associated with nonlinear pulse propagation.In all of these studies, different statistical properties are analised in relation to the emergence of rogue waves

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Witwit, Mohammed R. M. "Perburbation and non-perburbation numerical calculations to compute energy eigenvalues for the Schrödinger equation with various types of potential." Thesis, University of Hull, 1989. http://hydra.hull.ac.uk/resources/hull:12766.

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Abstract:

The present work is concerned with methods of finding the energy eigenvalues of the one-particle Schrödinger equation for various model potentials in one, two, three and N-dimensional space. One major theme of this thesis is the study of diverent Rayleigh-Schrödinger perturbation series which are encountered in non-relativistic quantum mechanics and on the behaviour of the series coefficients E(n) in the energy expansion E(λ):E(O)+∑ E(n)λⁿ. Several perturbative techniques are used. Hypervirial and Hellmann-Feynman theorems with renormalised constants are used to obtain perturbation series for large numbers of potentials. Pade approximant methods are applied to various problems and also an inner product method with a renormalised constant is used to calculate energy eigenvalues with very high accuracy. The non-perturbative methods which are used to calculate energy eigenvalues include finite difference and power series methods. Expectation values are determined by an approach based on eigenvalue calculations, without the explicit use of wave functions. The first chapter provides a glance back into history and a preview of the problems and ideas to be investigated. Chapter two deals with one dimensional problems, including the calculation of the energy eigenvalues for quasi-bound states for some types of perturbation (λx²ⁿ⁺¹). Chapter three is concerned with two, three and N-dimensional problems. Chapter four deals with non-polynomial potentials in one and three dimensions. The final chapter is devoted to a variety of eigenvalue problems. Most of the energy eigenvalues are computed by more than one method with double precision accuracy, and the agreement between the results serves to illustrate the accuracy of the methods.

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Dannawi, Ihab. "Contributions aux équations d'évolutions non locales en espace-temps." Thesis, La Rochelle, 2015. http://www.theses.fr/2015LAROS007/document.

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Abstract:

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps
In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term

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Mauger, Sarah. "Couplage entre auto-focalisation et diffusion Brillouin stimulée pour une impulsion laser nanoseconde dans la silice." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00638962.

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Abstract:

Dans le cadre des études sur l'endommagement laser liées au projet Mégajoule, nous analysons le couplage entre l'auto-focalisation induite par effet Kerr et la rétrodiffusion Brillouin stimulée pour des impulsions de durée nanoseconde se propageant dans des échantillons de silice. L'influence de la puissance d'entrée, des modulations de phase ou d'amplitude ainsi que la forme spatiale du faisceau sur la dynamique de filamentation est discutée. Nous montrons qu'une modulation d'amplitude appropriée divisant l'impulsion incidente en train d'impulsions de l'ordre de la dizaine de picosecondes supprime l'effet Brillouin pour toute puissance incidente mais réduit notablement la puissance laser disponible. A l'inverse, des impulsions modulées en phase avec une largeur spectrale comparable peuvent subir de la filamentation multiple et une auto-focalisation à distance plus courte causées par des instabilités modulationnelles. Nous démontrons cependant l'existence d'une largeur spectrale critique à partir de laquelle la rétrodiffusion peut être radicalement inhibée par une modulation de phase, même pour des fortes puissances. Cette observation reste valide pour des faisceaux de forme carrée avec des profils spatiaux plus larges, qui s'auto-focalisent beaucoup plus rapidement et se brisent en filaments multiples sur de courtes distances. L'inclusion de la génération de plasma pour limiter la croissance des ondes pompe et Stokes est finalement abordée.

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Badreddine, Rana. "On a DNLS equation related to the Calogero-Sutherland-Moser Hamiltonian system." Electronic Thesis or Diss., université Paris-Saclay, 2024. http://www.theses.fr/2024UPASM008.

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Abstract:

Il s'agit d'étudier une EDP obtenue par A. Abanov et al (J. Phys. A, 2009) à partir de la limite hydrodynamique du système hamiltonien de Calogero-Sutherland-Moser. On obtient ainsi une équation intégrable de type Schrödinger non linéaire sur l'espace de Hardy qui se trouve posséder une paire de Lax sur la droite et sur le cercle. Le but de cette thèse est d'utiliser la structure d'intégrabilité afin d'établir que l'équation est globalement bien-posée sur le cercle en allant jusqu'à l'espace de régularité critique. En second lieu, on s'intéresse à l'existence de solutions particulières sur le tore. Ainsi, on caractérise les ondes progressives de cette équation, ainsi qu'une classe de solutions s'écrivant sous la forme de fractions rationnelles et qui sont définies spectralement à partir de l'opérateur de Lax. En troisième lieu, on étudie la limite à faible-dispersion (semi-classique) de cette équation sur la droite et on caractérise ses solutions grâce à une formule explicite
This thesis is devoted to a PDE obtained by A. Abanov et al (J. Phys. A, 2009) from the hydrodynamic limit of the Calogero-Sutherland Hamiltonian system. A nonlinear integrable Schrödinger-type equation on the Hardy space is obtained and has a Lax pair structure on the line and on the circle. The goal of this thesis is to establish, by using the integrability structure of this PDE, some global well-posedness results on the circle, extending down to the critical regularity space. Secondly, we investigate the existence of particular solutions. Thus, we characterize the traveling waves and finite gap potentials of this equation on the circle. Thirdly, we study the zero-dispersion (or semiclassical) limit of this equation on the line and characterize its solutions using an explicit formula

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Demiquel, Antoine. "Control of nonlinear modulated waves in flexible mechanical metamaterials." Electronic Thesis or Diss., Le Mans, 2024. https://cyberdoc-int.univ-lemans.fr/Theses/2024/2024LEMA1015.pdf.

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Abstract:

Ce travail est consacré à l'étude des ondes modulées se propageant le long de métamatériaux mécaniques flexibles nonlinéaires (FlexMM). Ces structures sont des matériaux architecturés constitués d'éléments souples très déformables connectés à des éléments plus rigides. Leur capacité à subir de grandes déformations locales favorise l'apparition de phénomènes d'ondes non linéaires. En utilisant une approche par éléments discrets, nous formulons des équations discrètes non linéaires qui décrivent les déplacements longitudinaux et rotationnels de chaque cellule unitaire et leur couplage mutuel. Une analyse multi-échelles est employée afin d'obtenir une équation de Schrödinger non linéaire (NLS) effective décrivant les ondes modulées pour le degré de liberté rotationnel du FlexMM. En nous appuyant sur l'équation NLS, nous identifions divers types de phénomènes d'ondes non linéaires dans le FlexMM. En particulier, nous avons observé que des ondes planes faiblement non linéaires peuvent être modulationellement stables ou instables en fonction des paramètres du système et de l'excitation utilisée. De plus, nous avons trouvé que les FlexMMs supportent des solitons-enveloppe vectoriels où le degré de liberté rotationnel des unités peut prendre la forme de solitons dits "bright" ou "dark" et, en raison du couplage, le degré de liberté de déplacement longitudinal présente un comportement de type "kink". Enfin, nous abordons le phénomène de "catastrophe de gradient", qui prédit l'émergence de structures similaires aux solitons de Peregrine dans la limite semi-classique de l'équation NLS, dans la structure FlexMM. Grâce à nos prédictions analytiques et à l'utilisation de simulations numériques, nous pouvons déterminer les conditions requises et les valeurs des paramètres physiques pour observer ces phénomènes dans les FlexMMs
This work is dedicated to the investigation of modulated waves propagating along nonlinear flexible mechanical metamaterials (FlexMM). These structures are architected materials consisting of highly deformable soft elements connected to stiffer ones. Their capacity to undergo large local deformations promotes the occurrence of nonlinear wave phenomena. Using a lump element approach, we formulate nonlinear discrete equations that describe the longitudinal land rotational displacements of each unit cell and their mutual coupling. A multiple scales analysis is employed in order to derive an effective nonlinear Schrödinger (NLS) equation describing envelope waves for the rotational degree of freedom of FlexMM. Leveraging on the NLS equation we identify various type of nonlinear waves phenomena in FlexMM. In particular we observed that weakly nonlinear plane waves can be modulationally stable or unstable depending of the system and excitation parameters. Moreover we have found that the FlexMMs support envelope vector solitons where the units rotational degree of freedom might take the form of bright or dark soliton and due to coupling, the longitudinal displacement degree of freedom has a kink-like behavior. Finally, we address the phenomenon of "gradient catastrophe", which predicts the emergence of Peregrine soliton-like structures in the semiclassical limit of the NLS equation, in FlexMM. Through our analytical predictions and by using numerical simulations, we can determine the required conditions and the values of the physical parameters in order to observe these phenomena in FlexMMs

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Klein, Pauline. "Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités." Electronic Thesis or Diss., Nancy 1, 2010. http://www.theses.fr/2010NAN10098.

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Abstract:

L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale de la physique, qui fait intervenir une fonction appelée potentiel, linéaire ou non linéaire, pouvant prendre différentes expressions selon le contexte physique. Pour résoudre numériquement cette équation, il faut se restreindre à un domaine borné en espace, en précisant sur la frontière de ce domaine de calcul des conditions aux limites artificielles (CLA) appropriées. En dimension un et pour un potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue. L'objectif de cette thèse est de généraliser ces résultats en construisant des CLA approchées dans le cas d'un potentiel, linéaire ou non linéaire. A cette fin, nous proposons une recherche détaillée de méthodes permettant de tenir compte du potentiel, sans distinction selon ses propriétés mathématiques. Cette construction repose sur l'analyse microlocale et les règles du calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels. Les CLA obtenues se prêtent alors à une discrétisation et une implémentation numérique effective à l'aide d'un schéma de Crank-Nicolson suivi d'une méthode éléments finis linéaires. Dans ce travail, nous avons élaboré des familles de CLA pour l'équation en dimension un ou deux d'espace avec un potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que pour le problème stationnaire en dimension un. Dans chaque cas, de nombreuses simulations numériques ont été effectuées afin de comparer l'efficacité des conditions aux limites proposées par rapport aux autres méthodes existantes, ainsi que pour comparer entre elles les différentes familles de conditions aux limites construites suivant différentes stratégies
The Schrödinger equation is a fundamental equation involved in many physical domains. It deals with a linear or nonlinear function called potential, which can appear under various different expressions depending on the physical context. In order to solve the equation numerically, one has to restrict to a bounded spatial domain, and to add appropriate artificial boundary conditions (ABC) on the boundary of the computational domain. For the free-potential equation in one dimension, the exact boundary condition is known. The aim of this thesis is to generalize these results thanks to the construction of approximate ABC in the case of a linear or nonlinear potential. To this end, we propose a detailed research of methods taking the potential into account in the artifical boundary condition, without considering the mathematical properties of the considered potential. The construction of these CLA relies on microlocal analysis and the rules of symbolic calculus associated to pseudodifferential operators. These approximate boundary conditions can then be discretized and numerically computed, using a Crank-Nicolson scheme and a linear finite element method. In this work, we have derived families of ABCs for the Schrödinger equation in dimension one and two, with a linear or nonlinear potential, and for the stationary one-dimensional problem. In each case, many numerical simulations have been implemented in order to compare the efficiency of the new boundary conditions with respect to existing methods, and also in order to compare with one another the different families of boundary conditions developed following different strategies

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Bienaimé, Pierre-Yves. "Existence locale et effet régularisant précisés pour des équations de type Schrödinger." Nantes, 2014. https://archive.bu.univ-nantes.fr/pollux/show/show?id=2a707556-7e43-4293-a4ef-d92c9427fd70.

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Abstract:

Dans cette thèse, on considère le problème de Cauchy dans les espaces de Sobolev habituels et dans des espaces de Sobolev à poids pour des équations non linéaires de la forme [Formule non transposable] : Ces équations sont de la forme des équations de Schrödinger. Nous étudions l’existence locale et l’effet régularisant vérifié par les solutions, pour cela nous suivons une méthode employée par C. E. Kenig, G. Ponce et L. Vega, et nous généralisons et précisons certains de leurs résultats. La non linéarité est un fonction régulière nulle à l’ordre 2 en 0 et l’opérateur [Formule non transposable] : Cet opérateur généralise le Laplacien mais n’est plus elliptique. Dans le cas où F est nulle à l’ordre 3 en 0, nous prouvons l’existence locale, l’unicité ainsi qu’un effet régularisant pour une donnée initiale dans [Formule non transposable] : Dans le cas où F est nulle à l’ordre 2 en 0, nous prouvons le même résultat mais pour une donnée initiale dans des espaces de Sobolev à poids. Le plan de démonstration reprend celui de C. E. KENIG, G. PO?CE et L. VEGA
In this paper, we consider the Cauchy problem in the usual Sobolev spaces for some nonlinear equations of the form [Formule non transposable] : that is, equations which are of Schrödinger type. We study the local existence and the smoothing effect of the solutions, following C. E. Kenig, G. Ponce and L. Vega, and extend some of their results. The nonlinearity F is a smooth function which vanishes to the 3rd order at 0 and the operator L has the form [Formule non transposable] : It extends the Laplace operator but is not elliptic in general. We prove the local existence, the uniqueness and the smoothing effect given any [Formule non transposable] : The proof follows the same plan as that of C. E. Kenig, G. Ponce and L. Vega, Inventiones Matematicae, 1998. We improve the estimates by using the paradifferential calculus of J. -M. Bony

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Nguyên, Thùy Liên. "Quelques problèmes variationnels issus de la théorie des ondes non-linéaires." Toulouse 3, 2011. http://thesesups.ups-tlse.fr/1386/.

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Abstract:

Cette thèse porte sur l'étude des solutions spéciales (de type onde progressive et onde stationnaire) pour des équations aux dérivées partielles dispersives non-linéaires dans R^N. Les problèmes considérés ont une structure variationnelle, les solutions sont des points critiques de certaines fonctionnelles. Nous démontrons l'existence des points critiques en utilisant des méthodes de minimisation. Une des principales difficultés vient du manque de compacité. Pour y remédier, on utilise quelques raffinements récents du principe de concentration-compacité de P. -L. Lions. Dans la première partie du mémoire on montre l'existence des solutions d'énergie minimale pour des équations elliptiques quasi-linéaires dans R^N. Nous généralisons les résultats de Brézis et Lieb dans le cas du Laplacien, ainsi que les résultats de Jeanjean et Squassina dans le cas du p-Laplacien. Dans la seconde partie on montre l'existence des ondes progressives subsoniques d'énergie finie pour un système de Gross-Pitaevskii-Schrödinger qui modélise le mouvement d'une impureté non chargée dans un condensat de Bose-Einstein. Les résultats obtenus sont valables en dimension trois et quatre d'espace
This thesis focuses on the study of special solutions (traveling wave and standing wave type) for nonlinear dispersive partial differential equations in R^N. The considered problems have a variational structure, the solutions are critical points of some functionals. We demonstrate the existence of critical points using minimization methods. One of the main difficulties comes from the lack of compactness. To overcome this, we use some recent improvements of P. -L. Lions concentration-compactness principle. In the first part of the dissertation, we show the existence of the least energy solutions to quasi-linear elliptic equations in R^N. We generalize the results of Brézis and Lieb in the case of the Laplacian, and the results of Jeanjean and Squassina in the case of the p-Laplacian. In the second part, we show the existence of subsonic travelling waves of finite energy for a Gross-Pitaevskii-Schrödinger system which models the motion of a non charged impurity in a Bose-Einstein condensate. The obtained results are valid in three and four dimensional space

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T'Joen, Laurent. "Effets régularisants et existence locale pour les équations non-linéaires de Schrödinger et des plaques à coefficients variables." Paris 11, 2001. http://www.theses.fr/2001PA112264.

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Wetzel, Benjamin. "Etudes expérimentales et numériques des instabilités non-linéaires et des vagues scélérates optiques." Phd thesis, Université de Franche-Comté, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01002680.

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Abstract:

Ces travaux de thèse rapportent l'étude des instabilités non-linéaires et des évènements extrêmesse développant lors de la propagation guidée d'un champ électromagnétique au sein de fibresoptiques. Après un succinct rappel des divers processus linéaires et non-linéaires menant à lagénération de super continuum optique, nous montrons que le spectre de celui-ci peut présenterde larges fluctuations, incluant la formation d'événements extrêmes, dont les propriétés statistiqueset l'analogie avec les vagues scélérates hydrodynamiques sont abordées en détail. Nous présentonsune preuve de principe de l'application de ces fluctuations spectrales à la génération de nombres etde marches aléatoires et identifions le phénomène d'instabilité de modulation, ayant lieu lors de laphase initiale d'expansion spectrale du super continuum, comme principale contribution à la formationd'événements extrêmes. Ce mécanisme est étudié numériquement et analytiquement, en considérantune catégorie de solutions exactes de l'équation de Schrödinger non-linéaire présentant descaractéristiques de localisations singulières. Les résultats obtenus sont vérifiés expérimentalement,notamment grâce à un système de caractérisation spectrale en temps réel et à l'utilisation conjointede métriques statistiques innovantes (ex : cartographie de corrélations spectrales). L'excellent accordentre simulations et expériences a permis de valider les prédictions théoriques et d'accéder àune meilleure compréhension des dynamiques complexes inhérentes à la propagation non-linéaired'impulsions optiques.

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Vidmar, Rodrigo. "Formulação hidrodinâmica para a equação de Schrödinger não-linear e não-local em condensados de Bose-Einstein." reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFRGS, 2017. http://hdl.handle.net/10183/163724.

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Abstract:

Será explorada a versão hidrodinâmica da equação de Schrödinger não-linear e não-local, descrevendo condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Tais sistemas têm despertado interesse tendo em vista a busca da realização da condensação de Bose-Einstein sem necessidade de um potencial externo confinante e nos quais as interações atômicas locais não são suficientes. Para obter a descrição hidrodinâmica, a transformação de Madelung para a função de onda será utilizada, reduzindo o problema a uma equação da continuidade e a uma equação de transporte de momentum. Esta última é similar à equação de Euler em fluidos ideais, porém contendo um potencial quântico efetivo e um termo não local, o qual advém da interação atômica. Tais equações de fluido traduzem, respectivamente, a conservação da probabilidade e do momentum total. O método hidrodinâmico permitirá o estudo de excitações elementares, entre os quais os modos de Bogoliubov, segundo uma abordagem macroscópica.
The hydrodynamic version of the Schrödinger equation nonlinear and nonlocal will be explored, describing Bose-Einstein condensates with long-range self-interactions. Such systems have aroused interest with a view to pursuing the realization of Bose-Einstein condensation without an external confining potential and in which local atomic interactions are not enough. For the hydrodynamic description, the eikonal decomposition of the wave function is used, reducing the problem to one equation of continuity and to a transport of momentum equation. The latter is similar to the Euler equation in ideal fluid but containing an effective quantum potential and a nonlocal term, which comes from the atomic interaction. Such fluid equations translate, respectively, conservation of probability and total momentum. The hydrodynamic method will allow the study of elementary excitations, including Bogoliubov modes according to a macroscopic approach.

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Schwinte, Valentin. "Autour de l'équation du plus bas niveau de Landau." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2024. http://www.theses.fr/2024LORR0078.

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Abstract:

Cette thèse a pour objet l'étude de l'équation du plus bas niveau de Landau, dans plusieurs contextes pertinents en physique et provient des modèles pour les condensats de Bose-Einstein. Nous nous penchons spécifiquement sur trois aspects liés à l'équation. Le premier est l'étude d'une classe de solutions appelées ondes stationnaires, à travers la minimisation d'une fonctionnelle énergie. Nous montrons notamment que la gaussienne est l'unique minimiseur global à symétries près pour un certain paramètre, à l'aide d'algèbre linéaire et bilinéaire. Le deuxième point concerne la conjecture de réseau d'Abrikosov. Nous investiguons l'équation avec ajout de conditions périodiques, et la linéarisons autour des réseaux. Nous aboutirons à la stabilité du réseau hexagonal. Le troisième et dernier aspect porte sur les ondes progressives pour l'équation couplée du plus bas niveau de Landau. Nous classifions de telles solutions ayant un nombre fini de zéros, et en déduisons l'existence de solutions dont les normes de Sobolev croissent
The aim of this thesis is to study the Lowest Landau Level equation, in several contexts relevant to physics and originating from models for Bose-Einstein condensates. In particular, we investigate three aspects of the equation. The first is the study of a class of solutions called stationary waves, through the minimization of an energy functional. In particular, we show that the Gaussian is the only global minimizer up to symmetries for a certain parameter, using linear and bilinear algebra tools. The second point concerns the Abrikosov lattice conjecture. We investigate the equation with the addition of periodic conditions, and linearize it around lattices. This results in the stability of the hexagonal lattice. The third and final aspect concerns progressive waves for the coupled Lowest Landau Level equation. We classify such solutions with a finite number of zeros, and deduce the existence of solutions with growing Sobolev norms

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Johansson, Karoline. "Propagation of singularities for pseudo-differential operators and generalized Schrödinger propagators." Licentiate thesis, Linnaeus University, School of Computer Science, Physics and Mathematics, 2010. http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:lnu:diva-2447.

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Abstract:

In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations. They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators.

In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators.

The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation.

Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985).

In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take B as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x₀, ξ₀) such that no localization of the distribution at x₀, belongs to FB in the direction ξ₀. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols.

I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer.

I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna.

Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen.

Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se Hörmander (1985).

I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter B vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x₀, ξ₀) så att ingen lokalisering av distributionen kring x₀, tillhör FB i riktningen ξ₀. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.

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Kopylov, Nikita. "Magnus-based geometric integrators for dynamical systems with time-dependent potentials." Doctoral thesis, Universitat Politècnica de València, 2019. http://hdl.handle.net/10251/118798.

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Abstract:

[ES] Esta tesis trata sobre la integración numérica de sistemas hamiltonianos con potenciales explícitamente dependientes del tiempo. Los problemas de este tipo son comunes en la física matemática, porque provienen de la mecánica cuántica, clásica y celestial. La meta de la tesis es construir integradores para unos problemas relevantes no autónomos: la ecuación de Schrödinger, que es el fundamento de la mecánica cuántica; las ecuaciones de Hill y de onda, que describen sistemas oscilatorios; el problema de Kepler con la masa variante en el tiempo. El Capítulo 1 describe la motivación y los objetivos de la obra en el contexto histórico de la integración numérica. En el Capítulo 2 se introducen los conceptos esenciales y unas herramientas fundamentales utilizadas a lo largo de la tesis. El diseño de los integradores propuestos se basa en los métodos de composición y escisión y en el desarrollo de Magnus. En el Capítulo 3 se describe el primero. Su idea principal consta de una recombinación de unos integradores sencillos para obtener la solución del problema. El concepto importante de las condiciones de orden se describe en ese capítulo. En el Capítulo 4 se hace un resumen de las álgebras de Lie y del desarrollo de Magnus que son las herramientas algebraicas que permiten expresar la solución de ecuaciones diferenciales dependientes del tiempo. La ecuación lineal de Schrödinger con potencial dependiente del tiempo está examinada en el Capítulo 5. Dado su estructura particular, nuevos métodos casi sin conmutadores, basados en el desarrollo de Magnus, son construidos. Su eficiencia es demostrada en unos experimentos numéricos con el modelo de Walker-Preston de una molécula dentro de un campo electromagnético. En el Capítulo 6, se diseñan los métodos de Magnus-escisión para las ecuaciones de onda y de Hill. Su eficiencia está demostrada en los experimentos numéricos con varios sistemas oscilatorios: con la ecuación de Mathieu, la ec. de Hill matricial, las ecuaciones de onda y de Klein-Gordon-Fock. El Capítulo 7 explica cómo el enfoque algebraico y el desarrollo de Magnus pueden generalizarse a los problemas no lineales. El ejemplo utilizado es el problema de Kepler con masa decreciente. El Capítulo 8 concluye la tesis, reseña los resultados y traza las posibles direcciones de la investigación futura.
[CAT] Aquesta tesi tracta de la integració numèrica de sistemes hamiltonians amb potencials explícitament dependents del temps. Els problemes d'aquest tipus són comuns en la física matemàtica, perquè provenen de la mecànica quàntica, clàssica i celest. L'objectiu de la tesi és construir integradors per a uns problemes rellevants no autònoms: l'equació de Schrödinger, que és el fonament de la mecànica quàntica; les equacions de Hill i d'ona, que descriuen sistemes oscil·latoris; el problema de Kepler amb la massa variant en el temps. El Capítol 1 descriu la motivació i els objectius de l'obra en el context històric de la integració numèrica. En Capítol 2 s'introdueixen els conceptes essencials i unes ferramentes fonamentals utilitzades al llarg de la tesi. El disseny dels integradors proposats es basa en els mètodes de composició i escissió i en el desenvolupament de Magnus. En el Capítol 3, es descriu el primer. La seua idea principal consta d'una recombinació d'uns integradors senzills per a obtenir la solució del problema. El concepte important de les condicions d'orde es descriu en eixe capítol. El Capítol 4 fa un resum de les àlgebres de Lie i del desenvolupament de Magnus que són les ferramentes algebraiques que permeten expressar la solució d'equacions diferencials dependents del temps. L'equació lineal de Schrödinger amb potencial dependent del temps està examinada en el Capítol 5. Donat la seua estructura particular, nous mètodes quasi sense commutadors, basats en el desenvolupament de Magnus, són construïts. La seua eficiència és demostrada en uns experiments numèrics amb el model de Walker-Preston d'una molècula dins d'un camp electromagnètic. En el Capítol 6 es dissenyen els mètodes de Magnus-escissió per a les equacions d'onda i de Hill. El seu rendiment està demostrat en els experiments numèrics amb diversos sistemes oscil·latoris: amb l'equació de Mathieu, l'ec. de Hill matricial, les equacions d'onda i de Klein-Gordon-Fock. El Capítol 7 explica com l'enfocament algebraic i el desenvolupament de Magnus poden generalitzar-se als problemes no lineals. L'exemple utilitzat és el problema de Kepler amb massa decreixent. El Capítol 8 conclou la tesi, ressenya els resultats i traça les possibles direccions de la investigació futura.
[EN] The present thesis addresses the numerical integration of Hamiltonian systems with explicitly time-dependent potentials. These problems are common in mathematical physics because they come from quantum, classical and celestial mechanics. The goal of the thesis is to construct integrators for several import ant non-autonomous problems: the Schrödinger equation, which is the cornerstone of quantum mechanics; the Hill and the wave equations, that describe oscillating systems; the Kepler problem with time-variant mass. Chapter 1 describes the motivation and the aims of the work in the historical context of numerical integration. In Chapter 2 essential concepts and some fundamental tools used throughout the thesis are introduced. The design of the proposed integrators is based on the composition and splitting methods and the Magnus expansion. In Chapter 3, the former is described. Their main idea is to recombine some simpler integrators to obtain the solution. The salient concept of order conditions is described in that chapter. Chapter 4 summarises Lie algebras and the Magnus expansion ¿ algebraic tools that help to express the solution of time-dependent differential equations. The linear Schrödinger equation with time-dependent potential is considered in Chapter 5. Given its particular structure, new, Magnus-based quasi-commutator-free integrators are build. Their efficiency is shown in numerical experiments with the Walker-Preston model of a molecule in an electromagnetic field. In Chapter 6, Magnus-splitting methods for the wave and the Hill equations are designed. Their performance is demonstrated in numerical experiments with various oscillatory systems: the Mathieu equation, the matrix Hill eq., the wave and the Klein-Gordon-Fock eq. Chapter 7 shows how the algebraic approach and the Magnus expansion can be generalised to non-linear problems. The example used is the Kepler problem with decreasing mass. The thesis is concluded by Chapter 8, in which the results are reviewed and possible directions of future work are outlined.
Kopylov, N. (2019). Magnus-based geometric integrators for dynamical systems with time-dependent potentials [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/118798
TESIS

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Rolle, Jérémie. "Étude de la dynamique plasma dans la filamentation laser induite dans les verres de silice en présence de rétrodiffusion Brillouin stimulée et dans les cristaux de KDP." Thesis, Paris 11, 2014. http://www.theses.fr/2014PA112195/document.

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Abstract:

Dans cette thèse, nous étudions l’influence d’un plasma non-stationnaire produit par des impulsions laser en régime d’auto-focalisation. Cette auto-focalisation est couplée à des non-linéarités Brillouin pour des impulsions nanosecondes dans les verres de silice. Elle excite différents canaux d’ionisation dans les cristaux de KDP irradiées par des impulsions femtosecondes. Tout d’abord, nous dérivons les équations de propagation des ondes optiques laser et Stokes sujettes à la filamentation due à l’effet Kerr, la rétrodiffusion Brillouin et à la génération de plasma. Dans une deuxième partie, nous présentons des résultats numériques sur la propagation non-linéaire de faisceaux LIL. Ceux-ci révèlent l’importance de la distribution temporelle de l’impulsion pompe dans la compétition entre auto-compression Kerr et la rétrodiffusion Brillouin stimulée. Ces simulations préliminaires permettent de valider le système anti-Brillouin opté pour le LMJ sur la base de faisceaux millimétriques.Dans une troisième partie, nous présentons des résultats théoriques et numériques sur la filamentation d’impulsions nanosecondes opérant dans l’ultraviolet et l’infrarouge. L’influence d’un plasma inertiel sur la dynamique de couplage de deux ondes en contre-propagation est examinée. Dans une configuration à une onde, une analyse variationnelle reproduit les caractéristiques globales d’un équilibre quasi-stationnaire entre auto-compression Kerr et défocalisation plasma. Toutefois, cet équilibre cesse pour faire place à des instabilités modulationnelles induites par rétroaction du plasma sur l’onde de pompe. Nous montrons que des modulations de phase supprimant la rétrodiffusion Brillouin permettent d’inhiber ces instabilités plasma. La robustesse de ces modulations de phase est testée en présence d’un bruit aléatoire dans le profil de l’impulsion laser.Enfin, nous étudions numériquement la dynamique non-linéaire d’impulsions femtosecondes se propageant dans la silice et le KDP. Premièrement, nous montrons que la présence de défauts impliquant moins de photons pour exciter un électron de la bande de valence à la bande de conduction promeut des intensités de filamentation plus élevées. Ensuite, nous comparons la dynamique de filamentation dans la silice avec celle dans un cristal KDP. Le modèle d’ionisation pour le KDP prend en compte la présence de défauts et la dynamique électrons-trous. Nous montrons que la dynamique de propagation dans la silice et le KDP présente des analogies remarquables pour des rapports de puissance incidente sur puissance critique équivalents.La conclusion nous permet de résumer les résultats originaux obtenus dans le cadre de cette thèse et d’en discuter des développements ultérieurs possibles
In this thesis, we study the role of an inertial plasma reponse produced by laser pulses in self-focusing regime. Self-focusing is coupled with Brillouin nonlinearities for nanosecond pulses in silica glasses. For femtosecond pulses propagating in KDP crystals, self-focusing excites various ionization chanels. First of all, we derive the propagation equations for the pump and Stokes waves, subjected to filamentation due to optical Kerr effect, stimulated Brillouin scattering and plasma generation. In the second part, we present numerical results on the nonlinear propagation of LIL laser beams. These results show that temporal distribution of the pump pulse play a key role in the competition between self-focusing and stimulated Brillouin scattering. These preliminary results valide the anti-Brillouin system opted on the MegaJoule laser (LMJ) on the basis of milimetric-size laser beam.In a third part, we present numerical and theoretical results on the filamentation in fused silica of nanosecond light pulses operating in ultraviolet and infrared range. Emphasis is put on the action of a dynamical plasma reponse on two counterpropagating waves. For a single wave, we develop a variational analysis which reproduces global propagation features for a quasistationary balance between self-focusing and plasma defocusing. However, such a quasistionary balance ceases to clean up modulational instabilites induced by plasma retroaction on the pump wave. We show that phase modulations supress both simulated Brillouin scattering and plasma instabilities. The robustness of phase modulations is evaluated in presence of random fluctuations in the input pump pulse profile.Finally, we study numerically the nonlinear propagation of femtosecond pulses in fused silica and KDP. First, we show that the presence of defects involving less photons for exciting electrons from the valence band to the conduction band promotes higher filamentation intensity levels. Then, we compare the filamentation dynamic in silica and KDP crystal. The ionization model for KDP crystal takes into account the presence of defects and the electron-hole dynamics. We show that the propagation dynamics in silica and KDP are almost identical at equivalent ratios of input power over the critical power self-focusing.The summary of this thesis recalls the original results obtained and discusses the possibility of future developments

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Galicher, Hervé. "Analyse mathématique de modèles en nanophysique." Paris 6, 2009. http://www.theses.fr/2009PA066641.

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Abstract:

Cette thèse se compose de trois parties. Dans une première partie on étudie un problème spectral associé à l'équation de Schrödinger indépendante du temps en trois dimensions et à plusieurs particules : la caractérisation des états excités d'une molécule en termes de recherche de points critiques sur une variété. L'approximation utilisée est l'approximation MCSCF. Le problème spectral est transformé en un problème de géodésiques et d'étude d'indice de Morse de points critiques. On met en œuvre un algorithme pour le traitement numérique de ce problème et on met en évidence l'amélioration des résultats obtenus par rapport aux algorithmes existants. Dans une deuxième partie, on étudie l'équation de Schrödinger dépendante du temps à une particule en une dimension. Des potentiels non triviaux en espace et ou en temps sont appliqués. On résout alors exactement le problème des conditions aux limites transparentes dans le cadre continu ou discret. On donne des formules fermées originales sous forme d'algorithme possédant un nombre d'itérations fini ou bien via des représentations intégrales sur des fonctions spéciales. Le cas des potentiels harmonique, électrostatique dépendant du temps, semi-périodique sont ainsi résolus. On étudie de manière formelle sans donner de formule fermée la forme prise par l'opérateur de Dirichlet-to-Neuman dans le cas d'un potentiel encore plus compliqué. Cette partie est complétée par des apports divers d'analyse sur les fonctions spéciales et certaines équations intégrales. Dans une troisième partie on étudie des propriétés et des algorithmes de résolutions numériques d'une équation des film fin à frontière libre posée sur une variété avec bords.

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Dissertations / Theses on the topic 'Equation de Schrödinger non-linéaire'

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