Academic literature on the topic 'Equation maitresse de Lindblad'

In this paper, we proposed the exactly solvable model of non-Markovian dynamics of open quantum systems. This model describes open quantum systems with memory and periodic sequence of kicks by environment. To describe these systems, the Lindblad equation for quantum observable is generalized by taking into account power-law fading memory. Dynamics of open quantum systems with power-law memory are considered. The proposed generalized Lindblad equations describe non-Markovian quantum dynamics. The quantum dynamics with power-law memory are described by using integrations and differentiation of non-integer orders, as well as fractional calculus. An example of a quantum oscillator with linear friction and power-law memory is considered. In this paper, discrete-time quantum maps with memory, which are derived from generalized Lindblad equations without any approximations, are suggested. These maps exactly correspond to the generalized Lindblad equations, which are fractional differential equations with the Caputo derivatives of non-integer orders and periodic sequence of kicks that are represented by the Dirac delta-functions. The solution of these equations for coordinates and momenta are derived. The solutions of the generalized Lindblad equations for coordinate and momentum operators are obtained for open quantum systems with memory and kicks. Using these solutions, linear and nonlinear quantum discrete-time maps are derived.

A general comment is made on the existence of various baths in quantum thermodynamics, and a brief explanation is presented about the concept of weak invariants. Then, the isoenergetic process is studied for a spin in a magnetic field that slowly varies in time. In the Markovian approximation, the corresponding Lindbladian operators are constructed without recourse to detailed information about the coupling of the subsystem with the environment called the energy bath. The entropy production rate under the resulting Lindblad equation is shown to be positive. The leading-order expressions of the power output and work done along the isoenergetic process are obtained.

The quantum damped harmonic oscillator is described by the master equation with usual Lindblad form. The equation has been solved completely by us in arXiv: 0710.2724 [quant-ph]. To construct the general solution a few facts of representation theory based on the Lie algebra su(1,1) were used. In this paper we treat a general model described by a master equation with generalized Lindblad form. Then we examine the algebraic structure related to some Lie algebras and construct the interesting approximate solution.

ABSTRACT The conventional approach to orbit trapping at Lindblad resonances via a pendulum equation fails when the parent of the trapped orbits is too circular. The problem is explained and resolved in the context of the Torus Mapper and a realistic Galaxy model. Tori are computed for orbits trapped at both the inner and outer Lindblad resonances of our Galaxy. At the outer Lindblad resonance, orbits are quasi-periodic and can be accurately fitted by torus mapping. At the inner Lindblad resonance, orbits are significantly chaotic although far from ergodic, and each orbit explores a small range of tori obtained by torus mapping.

Pendant ces trois ans, nous nous sommes intéressés à quelques sujets choisis en optique et en électrodynamique quantiques. Le fil rouge de nos interrogations est la fonction d’onde du photon. Les expériences d’optique et d’électrodynamique quantique peuvent-elles être décrites de manière simple, dans l’espace des positions, à l’aide d’une fonction d’onde décrivant le ou les photon(s) impliqués dans l’expérience ? Ce n’est pas entièrement évident :la description usuelle des photons se fait dans l’espace réciproque des vecteurs d’onde. Mais ces expériences gagnent à être décrites par la mécanique ondulatoire en représentation position, comme cela est fait dans les manuels de mécanique quantique pour des situations impliquant des particules massives. De surcroît, une expérience récente[1] a conduit à l’observation de trajectoires de photons uniques à travers un interféromètre à deux fentes d’Young.Pour essayer de décrire formellement ces trajectoires, il est naturel de formuler une mécanique ondulatoire pour les photons. Nous avons donc examiné en détail la construction formelle de la fonction d’onde du photon, un objet qui est resté peu étudié jusqu’aux années 1990. Nous avons également étudié les propriétés de la fonction d’onde du photon en présence de sources, et considéré pour ce faire divers systèmes quantiques ouverts (en interaction). Nous avons vu qu’il existe, en principe, une infinité de possibilités pour le choix de la fonction d’onde du photon.Nous avons mis en évidence un certain nombre de critères sur la base desquels il apparaît que seuls trois choix parmi tous ceux possibles sont intéressants, l’un d’entre eux ramenant à un objet introduit par Glauber [2] pour étudier la détection de la lumière et les corrélations du champ électromagnétique. Nous avons également vu qu’en l’absence de sources l’équation quantique de propagation des photons est formellement identique aux équations de Maxwell.À bas nombre de photons, le formalisme de la fonction d’onde peut se révéler très pratique. Nous avons adapté l’approche aux systèmes en interaction, en nous intéressant dans un premier temps à l’électrodynamique quantique1en cavité [3], en particulier aux expériences réalisées par le groupe de Serge Haroche [4]. Nous avons proposé un modèle simple pour la description des photons dans les cavités d’électrodynamique. À l’aide de ce modèle, et de la fonction d’onde du photon, nous avons étudié la propagation des photons s’échappant de la cavité. Nous avons également construit l’équation maîtresse de Lindblad sans introduire de sauts quantiques non unitaires (voir également [5]). Nous nous sommes enfin intéressés à la question de l’évolution spatiotemporelle d’un photon émis lors d’une désexcitation d’un électron atomique. Après avoir étudié soigneusement la dynamique de la désexcitation de l’électron, notamment aux temps très courts [6, 7], nous nous sommes attachés à décrire, aussi rigoureusement que possible, le champ électromagnétique émis. Celui-ci, de manière surprenante, n’évolue pas causalement. Si cela n’est pas entièrement inattendu au vu du théorème de Hegerfeldt, qui stipule [8] que la causalité est exclue pour les systèmes décrits par un Hamiltonien dont le spectre est borné inférieurement, nous avons identifié [9] deux autres sources de non-causalité, l’une, prédite qualitativement par Shirokov [10], et l’autre, entièrement nouvelle à notre connaissance, et dont la compréhension reste à affiner
During these three years we focused on several topics in quantum otpics and quantum electrodynamics. A central theme in our investigations is that of the photon wave function. Can quantum optics and quantum electrodynamics experiments be described simply, in position space, with the help of a wave function describing the photon(s) featured in the experiment ? The answer to that question is not quite obvious: the usual description of photons takes place in the reciprocal space of wave vectors. But these experiments call for a wave mechanical description in the position representation, as is done in quantum mechanics textbooks in situations featuring massive particles. Moreover, in a recent experiment [1], single photon trajectories through a Young two-slit setup have been observed. In order to try and describe these trajectories formally, it is natural to build a wave mechanical formalism for photons. We therefore studied in detail the formal construction of the photon wave function, an object which was little studied until the 1990s. We also studied the properties of the photon wave function in the presence of sources.To do that, we considered several open (interacting) quantum systems. We saw that there exists in principle an infinite number of possibilities when defining the photon wave function. We emphasised several criteria on the basis of which it appears that only three choices for the wave function are interesting. One of them coincides with an object introduced and used by Glauber [2] to study light detection andthe correlations of the electromagnetic field in the quantum regime. We also saw that, in the absence of sources, the propagation equation for a single photon is formally equivalent to Maxwell’s equations. At low photon numbers, the wave function formalism can be very useful. We adapted it to interacting systems,first, to cavity quantum electrodynamics (QED) [3], in particular to the experiments carried out by Serge Haroche’s group [4]. We proposed a simple model to describe photons in QED cavities. With this model, and with the helpof the photon wave function, we studied the propagation of photons escaping a cavity. We also constructed the Lindblad master equation without introducing nonunitary quantum jumps (also see [5]). We finally investigated the spacetime evolution of a photon which is emitted during the decay of an atomic electron. After having carefully studied the dynamics of the electronic decay, especially at very short times [6, 7], we set out to describe the emitted electromagnetic field as rigorously as possible. This emitted field, surprisingly, does not evolve causally. Though this is not entirely unexpected in view of Hegerfeldt’s theorem, which states [8] that causality is impossible for quantum systems which are described by a Hamiltonian with a spectrum which is bounded by below, we identified [9] two other sources of non causality. One of them was predicted qualitatively by Shirokov [10], while the other one, which is completely new as far as we can tell, is still to be better understood

On etudie la contrôlabilité des systèmes quantiques dans deux contextes différents: le cadre standard fermé, dans lequel un système quantique est considéré comme isolé et le problème de contrôle est formulé sur l'équation de Schrödinger; le cadre ouvert qui décrit un système quantique en interaction avec un plus grand, dont seuls les paramètres qualitatifs sont connus, au moyen de l'équation de Lindblad sur les états.Dans le contexte des systèmes fermés on se focalise sur la classe intéressante des systèmes spin-boson, qui décrivent l'interaction entre un système quantique à deux niveaux et un nombre fini de modes distingués d'un champ bosonique. On considère deux exemples prototypiques, le modèle de Rabi et le modèle de Jaynes-Cummings qui sont encore très populaires dans plusieurs domaines de la physique quantique. Notamment, dans le contexte de la Cavity Quantum Electro Dynamics (C-QED), ils fournissent une description précise de la dynamique d'un atome à deux niveaux dans une cavité micro-onde en résonance, comme dans les expériences récentes de S. Haroche. Nous étudions les propriétés de contrôlabilité de ces modèles avec deux types différents d'opérateurs de contrôle agissant sur la partie bosonique, correspondant respectivement – dans l'application à la C-QED – à un champ électrique et magnétique externe. On passe en revue quelques résultats récents et prouvons la contrôlabilité approximative du modèle de Jaynes-Cummings avec ces contrôles. Ce résultat est basé sur une analyse spectrale exploitant les non-résonances du spectre. En ce qui concerne la relation entre l'Hamiltonien de Rabi et Jaynes-Cummings nous traitons dans un cadre rigoureux l'approximation appelée d'onde tournante. On formule le problème comme une limite adiabatique dans lequel la fréquence de detuning et le paramètre de force d'interaction tombent à zero, ce cas est connu sous le nom de régime de weak-coupling. On prouve que, sous certaines hypothèses sur le rapport entre le detuning et le couplage, la dynamique de Jaynes-Cumming et Rabi montrent le même comportement, plus précisément les opérateurs d'évolution qu'ils génèrent sont proches à la norme.Dans le cadre des systèmes quantiques ouverts nous étudions la contrôlabilité de l'équation de Lindblad. Nous considérons un contrôle agissant adiabatiquement sur la partie interne du système, que nous voyons comme un degré de liberté qui peut être utilisé pour contraster l'action de l'environnement. L'action adiabatique du contrôle est choisie pour produire une transition robuste. On prouve, dans le cas prototype d'un système à deux niveaux, que le système approche un ensemble de points d'équilibre déterminés par l'environnement, plus précisément les paramètres qui spécifient l'opérateur de Lindblad. Sur cet ensemble, le système peut être piloté adiabatiquement en choisissant un contrôle approprié. L'analyse est fondée sur l'application de méthodes de perturbation géométrique singulière
We investigate the controllability of quantum systems in two differentsettings: the standard 'closed' setting, in which a quantum system is seen as isolated, the control problem is formulated on the Schroedinger equation; the open setting that describes a quantum system in interaction with a larger one, of which just qualitative parameters are known, by means of the Lindblad equation on states.In the context of closed systems we focus our attention to an interesting class ofmodels, namely the spin-boson models. The latter describe the interaction between a 2-level quantum system and finitely many distinguished modes of a bosonic field. We discuss two prototypical examples, the Rabi model and the Jaynes-Cummings model, which despite their age are still very popular in several fields of quantum physics. Notably, in the context of cavity Quantum Electro Dynamics (C-QED) they provide an approximate yet accurate description of the dynamics of a 2-level atom in a resonant microwave cavity, as in recent experiments of S. Haroche. We investigate the controllability properties of these models, analyzing two different types of control operators acting on the bosonic part, corresponding -in the application to cavity QED- to an external electric and magnetic field, respectively. We review some recent results and prove the approximate controllability of the Jaynes-Cummings model with these controls. This result is based on a spectral analysis exploiting the non-resonances of the spectrum. As far as the relation between the Rabi andthe Jaynes-Cummings Hamiltonians concerns, we treat the so called rotating waveapproximation in a rigorous framework. We formulate the problem as an adiabaticlimit in which the detuning frequency and the interaction strength parameter goes to zero, known as the weak-coupling regime. We prove that, under certain hypothesis on the ratio between the detuning and the coupling, the Jaynes-Cumming and the Rabi dynamics exhibit the same behaviour, more precisely the evolution operators they generate are close in norm.In the framework of open quantum systems we investigate the controllability ofthe Lindblad equation. We consider a control acting adiabatically on the internal part of the system, which we see as a degree of freedom that can be used to contrast the action of the environment. The adiabatic action of the control is chosen to produce a robust transition. We prove, in the prototype case of a two-level system, that the system approach a set of equilibrium points determined by the environment, i.e. the parameters that specify the Lindblad operator. On that set the system can be adiabatically steered choosing a suitable control. The analysis is based on the application of geometrical singular perturbation methods

In the theory of open quantum systems, a quantum Markovian master equation, the Lindblad equation, reveals the most general form for the generators of a quantum dynamical semigroup. In this thesis, we present the derivation of the Lindblad equation and several examples of Lindblad equations with their analytic and numerical solutions. The graphs of the numerical solutions illuminate the dynamics and the stabilization as time increases. The corresponding von Neumann entropies are also presented as graphs. Moreover, to illustrate the difference between the dynamics of open and isolated systems, we prove two theorems about the conditions for stabilization of the solutions of the von Neumann equation which describes the dynamics of the density matrix of open quantum systems. It shows that the von Neumann equation is not satisfied for modelling dynamics in the cognitive contextin general. Instead, we use the Lindblad equation to model the mental dynamics of the players in the game of the 2-player prisoner’s dilemma to explain the irrational behaviors of the players. The stabilizing solution will lead the mental dynamics to an equilibrium state, which is regarded as the termination of the comparison process for a decision maker. The resulting pure strategy is selected probabilistically by performing a quantum measurement. We also discuss two important concepts, quantum decoherence and quantum Darwinism. Finally, we mention a classical Neural Network Master Equation introduced by Cowan and plan our further works on an analogous version for the quantum neural network by using the Lindblad equation.

Questo lavoro di tesi nasce con lo scopo di fornire una inquadratura generale del campo di studi relativo ad i sistemi quantistici aperti. Esattamente come avviene nel caso della termodinamica, questo tipo di approfondimento vuole tenere conto delle interazioni che un qualunque sistema quantistico può sviluppare con l'ambiente esterno. La prima parte del lavoro intende introdurre il lettore all'argomento; in queste prime sezioni si trattano anche alcuni argomenti più concettuali di rilevanza prettamente fisica, come ad esempio il fenomeno dell'entanglement o del quantum eraser. La seconda parte presenta un approccio geometrico, allo scopo di chiarire come vengono a modificarsi in questo nuovo contesto le strutture geometriche entro cui si sviluppa il sistema quantistico interagente, intendendo con ciò sia le orbite unitarie, sia gli spazi formati dagli stati puri e dagli stati misti. Infine, la parte finale della tesi sviluppa questi argomenti in due circostanze applicative, relative all'insieme delle matrici densità rispettivamente di dimensione due e tre. Nello specifico, queste due trattazioni analizzano specialmente le problematiche relative all'evoluzione temporale aperta , ossia quel tipo di evoluzione osservabile esclusivamente in caso di interazione del sistema quantistico con un ambiente esterno, e che per questo si discosta dalle usuali evoluzioni unitarie descrivendo invece una traiettoria che permette il passaggio dall'una all'altra di queste orbite.

O objetivo deste trabalho é explorar um modelo para medidas quânticas de duração finita baseado na equação de Lindblad, com a análise de um sistema de 2 níveis acoplado a um reservatório térmico que ocasiona decoerência. A interação entre o sistema e o dispositivo de medida é markoviana, justificando o uso da equação de Lindblad para obter a dinâmica do processo de medida. Para analisar a influência do ambiente/reservatório térmico não-markoviano, cuja definição não inclui o aparato de medida, foi utilizada a abordagem de Redfield para a interação entre o sistema e o ambiente. Na teoria híbrida aqui exposta, para efetuar o traço parcial dos graus de liberdade do ambiente foi desenvolvido um método analítico baseado na álgebra de super-operadores e no uso dos super-operadores de Nakajima-Zwanzig. Foi verificado que medidas de duração finita sobre o sistema aberto de 2 níveis podem proteger o estado inicial dos efeitos do ambiente, desde que o observável medido não comute com a interação. Quando o observável medido comuta com a interação sistema-ambiente, a medida de duração finita acelera a decoerência induzida pelo ambiente. A validade das previsões analíticas foi testada comparando os resultados com uma abordagem numérica exata. Quando o acoplamento entre o sistema e o aparato de medida excede a faixa de validade da aproximação analítica, o estado inicial ainda é protegido pela medida de duração finita, como indicam os cálculos numéricos exatos.
The aim of this work is to explore a model for finite-time measurement based on the Lindblad equation, with analysis of a system consisting of a 2-level system coupled to a thermal reservoir. We assume a Markovian measuring device and, therefore, use a Lindbladian description for the measurement dynamics. For studying the case of noise produced by a non-Markovian environment, whose definition does not include the measuring apparatus, we use the Redfield approach to the interaction between system and environment. In the present hybrid theory, to trace out the environmental degrees of freedom, we introduce an analytic method based on superoperator algebra and Nakajima-Zwanzig superoperators. We show that measurements of finite duration performed on an open two-state system can protect the initial state from a phase-noisy environment, provided the measured observable does not commute with the perturbing interaction. When the measured observable commutes with the environmental interaction, the finite-duration measurement accelerates the rate of decoherence induced by the phase noise. We have tested the validity of the analytical predictions against an exact numerical approach. When the coupling between the system and the measuring apparatus increases beyond the range of validity of the analytical approximation, the initial state is still protected by the finite-time measurement, according with the exact numerical calculations.

Orientador: Prof. Dr. Gabriel Teixeira Landi
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Física, Santo André, 2018.
Em sistemas microscópicos, grandezas como calor e trabalho devem ser tratadas como variáveis aleatórias. Neste trabalho foram estudados os fluxos de calor e de partículas entre dois sistemas unidimensionais fermiônicos A eB, inicialmente preparados separadamente em equilíbrio térmico com reservatórios de calor e partículas preparados a diferentes temperaturas e diferentes potenciais químicos. Calculando a evolução da matriz densidade, foram analisadas as implicações da presença de um ruído de dephasing no sistema, tais como a termalização, a produção de entropia e a evolução da informação mútua como uma forma de analisar a correlação entre os sistemas. Além disso, foi estudado também uma forma do teorema de flutuação do calor no caso onde há fluxo de partículas.
In microscopic systems, heat and work must be treated as random variables. In this work I studied the fluxes of heat and particles between two unidimentional fermionic systems A and B, initially prepared in thermal equilibrium with a reservoir of particles and heat, kept at diferent temperatures and chemical potentials. Computing the evolution of the density matrix, the implications of the presence of a dephasing noise in the system were analyzed, such as thermalization, entropy production and the evolution of mutual information as a way to analyze the correlation between the systems. Moreover, a shape for fluctuation theorems of the heat in the case where there is also a ?ux of particles and its validity was also studied.

Some physical systems exhibit topological properties in the form of topological invariants— features of the system that remain constant unless the system undergoessignificant changes i.e. changes that require closing the energy gap of the Hamiltonian.This work studies one example of a system with topological properties — a Kitaevchain. Here, this model is studied when it is coupled to an environment. We studythe effect of the coupling on the topology of the system and attempt to find signaturesof topological phases in the dynamics of the system. By using the Lindblad equationdefined in the formalism of third quantization, we study the time evolution of thesystem numerically by using the Euler method. We find that the dynamics of theentanglement spectrum of half of the chain is different in the topological and trivialphases: if the system undergoes a quench from trivial to topological phase, the entanglementspectrum exhibits crossings as the system evolves in time. We also studythe topological phases when disorder is added to the system. We test the stabilityof the topological phases of the system against disorder and find that the topologicalphases are not affected by a weak disorder. Moreover, by studying the statistics of theminimum entanglement spectrum gap, we find that, in general, a stronger disordermakes the crossings less likely to appear in the topological phase and more likely toappear in the trivial phase.
Det finns fysiska system som visar topologiska egenskaper i form av topologiska invarianter,som ändras inte så länge systemet genomgår ändringar som inte stängerHamiltonianens energigap. I det här arbetet undersöker vi ett exempel av ett systemmed topologiska egenskaper — en Kitaev kedja. Denna modell är studerat närden är kopplad till en omgivning. Vi undersöker kopplingens påverkan på systemetstopologi och vi försöker hitta tecken på topologiska faser i systemets dynamik. Vianvänder Lindblads ekvation definierat i tredje kvantiserings formalism för att studerasystemets tidsutveckling numeriskt, genom att använda Eulers metod. Vi upptäckeratt det finns skillnader i tidsutveckling av kvantsammanflätningsspektrumav häften av kedjan som beror på systems topologiska fas. Om systemet genomgåren kvantsläckning från den triviala till den topologiska fasen, kommer det finnas korsningari kvantsammanflätningensspektrum som uppstår under dess tidsutveckling.Dessutom studerar vi de topologiska faserna när det finns oordning i systemet. Viundersöker topologiska fasernas stabilitet mot oordning och upptäcker att en svagoordning påverkar inte de topologika faserna. Dessutom, genom att studera den minstakvantsammanflätningsspektrumsgap upptäcker vi att en starkare oordning ledertill kvantsammanflätningsspektrumskorsningar att vara mindre sannolika i den topologiskafasen och mer sannolika i den triviala fasen.

L'objectif de cette thèse est de contribuer à la compréhension des phénomènes de mouvement de l'électron induits par le spin. Ces phénomènes aparaissent lorsqu'un électron se déplace à travers un environnement (partiellement) magnétique, de telle sorte que son moment magnétique (spin) peut interagir avec l'environnement. La nature quantique pure du spin nécessite des modèles de transport qui traitent des effets comme la cohérence quantique, l'intrication (corrélation) et la dissipation quantique. Sur le niveau méso- et macroscopique, il n'est pas encore clair dans quelles circonstances ces effets quantiques du spin peut transparaitre. Le but de ce travail est, d'une part, de dériver des nouveaux modèles de transport de spin à partir des principes de base et, d'autre part, de développer des algorithmes numériques qui permettent de trouver une solution de ces modèles. Cette thèse se compose de quatre parties. La première partie introductive contient un aperçu des concepts fondamentaux liés au transport polarisé en spin, tels que la magnéto-résistance géante (GMR), le couple de transfert de spin dans les multi-couches magnétiques et le caractère matriciel des équations de transport qui prennent en compte la cohérence de spin. L'accent est mis sur la modélisation du couple de transfert de spin, qui représente l'intersection de ces concepts. En particulier, nous considérons pour sa description le modèle diffusif de Zhang-Levy-Fert (ZLF) qui se compose de l'équation de Landau-Lifshitz et d'une équation de diffusion matricielle pour le spin. Un schéma de différences finies est développé pour résoudre numériquement ce système non-linéaire dans des structures multi-couches. Le modèle est testé par comparaison des résultats obtenus aux données expérimentales récentes. Les parties deux et trois forment le noyau thématique de cette thèse. Dans la deuxième partie nous proposons une équation de Boltzmann matricielle qui permet la description de la cohérence de spin sur le niveau cinétique. La nouveauté est un opérateur de collision dans lequel les taux de transition de la quantité de mouvement sont modélisés par une matrice 2x2 hermitienne; par conséquent, les libre parcours moyens des électrons spin-up et spin-down sont représentés par les valeurs propres de cette matrice de scattering. Après une dérivation formelle de l'équation de Vlasov matricielle à partir de l'équation de Wigner, l'équation cinétique qui suit est étudiée en ce qui concerne l'existence, l'unicité et la positivé d'une solution. En outre, le nouveau opérateur de collision est étudié rigoureusement et la limite de diffusion tc -> 0, correspondant à l'annulation de la moyenne de temps de scattering, est effectué. Les équations de drift-diffusion matricielle qui sont obtenues représentent une amélioration par rapport au modèle traité dans la première partie. Ce dernier est obtenu dans la limite ou la différence entre les deux valeurs propres de la matrice de scattering va disparaître. La troisième partie est consacrée à l'obtention de l'opérateur de collision matricielle introduit auparavant, à partir des principes quantiques. Pour cela, nous augmentons l'équation de von Neumann d'un système composite par un terme dissipatif qui fait tendre l'opérateur de densité totale vers l'approximation de Born. En vertu de la prémisse que la relaxation est le processus dominant, on obtient une hiérarchie d'équations non-Markoviennes. Celles-ci découlent d'une expansion de l'opérateur de densité en termes de tr, le temps de relaxation. Dans la limite de Born-Markov, tr -> 0, l'équation de Lindblad est récupérée. Elle a la même structure que l'opérateur de collision proposé dans la deuxième partie. Cependant, l'équation de Lindblad est encore une équation microscopique; donc la prochaine étape serait de procéder à la limite semi-classique du résultat obtenu. Dans la quatrième partie nous procédons à une étude numérique d'un modèle quantique-diffusif de spin qui décrit le transport dans un gaz d'électrons bidimensionnel avec un couplage spin-orbite de Rashba. Ce modèle suppose que les électrons sont dans un état d'équilibre quantique sous la forme d'un opérateur de Maxwell. Nous présentons deux discrétisations espace-temps du modèle couplé par l'équation de Poisson. Dans une première étape on applique une discrétisation en temps et on montre que les systèmes sont bien définis. Ceux-ci sont basés sur un formalisme fonctionnel pour traiter les relations non-locales entre les densités de spin. Nous utilisons ensuite des discrétisations espace-temps pour simuler la dynamique dans une géométrie typique d'un transistor. Les approximations différences finies sont du premier ordre en temps et du second ordre en espace. Les fonctionnelles discrètes sont minimisée à l'aide d'un algorithme du gradient conjugué et la méthode de Newton est appliquée afin de trouver les minima dans la direction désirée
The aim of this thesis is to contribute to the understanding of spin-induced phenomena in electron motion. These phenomena arise when electrons move through a (partially) magnetic environment, in such a way that its magnetic moment (spin) may interact with the surroundings. The pure quantum nature of the spin requires transport models that deal with effects like quantum coherence, entanglement (correlation) and quantum dissipation. On the meso- and macroscopic level it is not yet clear under which circumstances these quantum effects may transpire. The purpose of this work is, on the one hand, to derive novel spin transport models from basic principles and, on the other hand, to develop numerical algorithms that allow for a solution of these new and other existing model equations. The thesis consists of four parts. The first part has introductory character; it comprises an overview of fundamental spin-related concepts in electronic transport such as the giant-magneto-resistance (GMR) effect, the spin-transfer torque in metallic magnetic multilayers and the matrix-character of transport equations that take spin-coherent electron states into account. Special emphasis is placed on the modeling of the spin-transfer torque which represents the intersection of these concepts. In particular, we consider the diffusive Zhang-Levy-Fert (ZLF) model, an exchange-torque model that consists of the Landau-Lifshitz equation and a heuristic matrix spin-diffusion equation. A finite difference scheme based on Strang operator splitting is developed that enables a numerical, self-consistent solution of this non-linear system within multilayer structures. Finally, the model is tested by comparison of numerical results to recent experimental data. Parts two and three are the thematic core of this thesis. In part two we propose a matrix-Boltzmann equation that allows for the description of spin-coherent electron transport on a kinetic level. The novelty here is a linear collision operator in which the transition rates from momentum k to momentum k' are modeled by a 2x2 Hermitian matrix; hence the mean-free paths of spin-up and spin-down electrons are represented by the eigenvalues of this scattering matrix. After a formal derivation of the matrix-Vlasov equation as the semi-classical limit of the one-electron Wigner equation, the ensuing kinetic equation is studied with regard to existence, uniqueness and positive semi-definiteness of a solution. Furthermore, the new collision operator is investigated rigorously and the diffusion limit tc -> 0 of the mean scattering time is performed. The obtained matrix drift-diffusion equations are an improvement over the heuristic spin-diffusive model treated in part one. The latter is obtained in the limit of identical eigenvalues of the scattering matrix. Part three is dedicated to a first step towards the derivation of the matrix collision operator, introduced in part two, from first principles. For this, we augment the von Neumann equation of a composite quantum system by a dissipative term that relaxes the total state operator towards the Born approximation. Under the premise that the relaxation is the dominant process we obtain a hierarchy of non-Markovian master equations. The latter arises from an expansion of the total state operator in powers of the relaxation time tr. In the Born-Markov limit tr -> 0 the Lindblad master equation is recovered. It has the same structure as the collision operator proposed in part two heuristically. However, the Lindblad equation is still a microscopic equation; thus the next step would be to carry out the semi-classical limit of the result obtained. In part four we perform a numerical study of a quantum-diffusive, two-component spin model of the transport in a two-dimensional electron gas with Rashba spin-orbit coupling. This model assumes the electrons to be in a quantum equilibrium state in the form of a Maxwellian operator. We present two space-time discretizations of the model which also comprise the Poisson equation. In a first step pure time discretization is applied in order to prove the well-posedness of the two schemes, both of which are based on a functional formalism to treat the non-local relations between spin densities via the chemical potentials. We then use fully space-time discrete schemes to simulate the dynamics in a typical transistor geometry. Finite difference approximations applied in these schemes are first order in time and second order in space. The discrete functionals introduced are minimized with the help of a conjugate gradient-based algorithm in which the Newton method is applied to find the desired line minima

Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.