Academic literature on the topic 'Espace BV'

Cette thèse a pour sujet l'étude de quelques équations aux dérivées partielles singulières ou dégénérées, sous contraintes. Sont aussi traitées des équations dites pénalisées qui remplacent la contrainte par un terme qui asymptotiquement tend vers la contrainte, ceci permettant une approximation numériquement plus souple de l'équation aux dérivées partielles avec contrainte. La première partie de cette thèse a fait l'objet d'un article accepté pour publication aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Elle traite de l'approximation de la première valeur propre du l-Laplacien. Dans la deuxième partie, les résultats obtenus pour un problème d'obstacle sur Wa1•P, p» 1 généralisent le cas p =2, traité par Adams et Lenhart. On obtient donc l'existence et l'unicité d'une solution au problème posé. La dernière partie qui fait l'objet d'un article en préparation, traite un problème d'obstacle sur W/ 1, ce qui nécessite l'introduction de l'espace BV. Les méthodes employées sont celles du calcul des variations, la théorie des fonctions à dérivées mesurées, la topologie vague, la topologie étroite des mesures, la convexité, la théorie de la dualité, l'approximation<br>This thesis deals with some singular and degenerated partial differential equations with constraint. We also consider some equations, called penalized equations, where the constraint is replaced with a term tending asymptotically towards the constraint. This allows us to obtain a more flexible numerical approximation of the initial partial differential equation with constraint. The first part of this thesis, which deals with the approximation of the first eigenvalue of the l-Laplacian operator, has been accepted for publication in the journal Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Ln the second part, our results about the obstacle problem on Wa1,p, p» 1, generalize Adams and Lenhart's results obtained for the case p =2. Namely, we prave existence and uniqueness of a solution of the considered obstacle problem. The last part, which is the subject of a forthcoming paper, deals with an obstacle prablem on wa1, 1, which leads us to intraduce the space BV. The employed methods come from variational calculus, the theory of measured derivatives functions, vague topology, measure tight topology, convexity, duality theory, approximation and so on

Cette thèse est décomposée en deux parties. La première est consacrée à l'étude de la restauration d'image et la seconde partie est consacrée à l'étude d'un modèle de Frenkel-Kontorova par des méthodes issues du calcul variationnel et des équations aux dérivées partielles. Au chapitre 1, nous présentons les questions essentielles que nous traiterons dans cette thèse, puis on fait des rappels sur les définitions et quelques propriétés d'espace des fonctions à variations bornées BV , l'espace d'Orlicz et le modèle de Frenkel-Kontorova. Au chapitre 2, nous montrons que les problèmes de minimisation non convexe (restauration d'image) contenant des termes de régularisation sous-linéaires sont mal posés. Au chapitre 3, nous étudions un modèle de restauration avec un terme de régularisation à croissance non standard, proposé par Blomgren et al. : le module du gradient est élevé a une puissance qui dépend elle même du gradient. On montre qu'elle est semi-continue inférieurement pour la topologie faible d'un certain espace d'Orlicz-Sobolev qui lui est associé, ce qui permet un résultat d'existence de la solution. Au chapitre 4, nous étudions un modèle de Frenkel-Kontorova, dont on montre l'existence d'au moins une solution de type travelling wave, u.

Dans cette thèse, nous traitons deux problèmes différents, en utilisant le concept de variation totale. Le premier problème est la classification des vascularites dans l'angiographie du fond d'œil, et a pour but de faciliter le travail des ophtalmologistes pour diagnostiquer ce type de maladies auto-immunes. Il vise aussi à identifier sur les angiographies les éléments permettant de diagnostiquer la sclérose en plaques. A partir de certains résultats du premier problème, un second problème a pu être abordé, consistant à développer une nouvelle métrique de congestion d'espace aérien. Cette métrique permet de quantifier la complexité de gestion du trafic aérien dans une zone donnée et s'avère très utile dans les processus d'optimisation du système de gestion du trafic aérien (Air Trafic Management, ATM). Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons les notions requises pour résoudre ces deux problèmes. Tout d'abord nous présentons le principe de variation totale, ainsi que la manière dont il est utilisé dans nos méthodes. Ensuite, nous détaillons le fonctionnement des machines à vecteurs supports (Support Vector Machines, SVM), qui sont des algorithmes d'apprentissage automatique utilisés pour la classification et la régression. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous présentons d'abord un état de l'art des méthodes de segmentation et de mesure des vaisseaux sanguins dans les images rétiniennes, étape importante de notre méthode. Ensuite, nous décrivons notre méthode de classification des images rétiniennes. Pour commencer, nous détectons les régions pathologiques dans les images des patients malades en nous basant sur la norme BV calculée à chaque point le long de l'axe central des vaisseaux. Ensuite, pour classer les images, nous introduisons une stratégie d'extraction des caractéristiques pathologiques pour générer un ensemble de vecteurs de caractéristiques pathologiques qui représente l'ensemble d'images d'origine pour le SVM. Les images sont alors classées en utilisant des méthodes standard de classification par SVM. Enfin, la troisième partie décrit deux applications de la variation totale dans le domaine de l'ATM. Dans la première application, en partant des idées développées dans la deuxième partie, nous introduisons une méthode d'extraction des flux principaux d'avions de l'espace aérien. En nous basant sur les algorithmes utilisés dans la deuxième partie, nous avons développé un indicateur de complexité de l'espace aérien utilisable au niveau macroscopique. Cet indicateur est ensuite comparé à la métrique de densité habituelle, qui consiste simplement à compter le nombre d'avions dans un secteur de l'espace aérien. La seconde application se base sur un modèle par systèmes dynamiques du trafic aérien. Nous proposons une nouvelle métrique de complexité du trafic basée sur le calcul de la norme locale de variation totale vectorielle de la déviation relative du champ de vecteurs. Le but est de réduire la complexité. Trois scénarios de trafic différents sont étudiés pour évaluer la qualité de la méthode proposée<br>In this thesis, we deal with two different problems using Total Variation concept. The first problem concerns the classification of vasculitis in multiple sclerosis fundus angiography, aiming to help ophthalmologists to diagnose such autoimmune diseases. It also aims at determining potential angiography details in intermediate uveitis in order to help diagnosing multiple sclerosis. The second problem aims at developing new airspace congestion metric, which is an important index that is used for improving Air Traffic Management (ATM) capacity. In the first part of this thesis, we provide preliminary knowledge required to solve the above-mentioned problems. First, we present an overview of the Total Variation and express how it is used in our methods. Then, we present a tutorial on Support Vector Machines (SVMs) which is a learning algorithm used for classification and regression. In the second part of this thesis, we first provide a review of methods for segmentation and measurement of blood vessel in retinal image that is an important step in our method. Then, we present our proposed method for classification of retinal images. First, we detect the diseased region in the pathological images based on the computation of BV norm at each point along the centerline of the blood vessels. Then, to classify the images, we introduce a feature extraction strategy to generate a set of feature vectors that represents the input image set for the SVMs. After that, a standard SVM classifier is applied in order to classify the images. Finally, in the third part of this thesis, we address two applications of TV in the ATM domain. In the first application, based on the ideas developed in the second part, we introduce a methodology to extract the main air traffic flows in the airspace. Moreover, we develop a new airspace complexity indicator which can be used to organize air traffic at macroscopic level. This indicator is then compared to the regular density metric which is computed just by counting the number of aircraft in the airspace sector. The second application is based on a dynamical system model of air traffic. We propose a method for developing a new traffic complexity metric by computing the local vectorial total variation norm of the relative deviation vector field. Its aim is to reduce complexity. Three different traffic situations are investigated to evaluate the fitness of the proposed method

Cette thèse est consacrée dans un premier temps à l'élaboration d'un modèle variationnel dedébruitage d'ordre deux, faisant intervenir l'espace BV 2 des fonctions à hessien borné. Nous nous inspirons ici directement du célèbre modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF), remplaçant la minimisation de la variation totale de la fonction par la minimisation de la variation totale seconde, c'est à dire la variation totale de ses dérivées. Le but est ici d'obtenir un modèle aussi performant que le modèle ROF, permettant de plus de résoudre le problème de l'effet staircasing que celui-ci engendre. Le modèle que nous étudions ici semble efficace, entraînant toutefois l'apparition d'un léger effet de flou. C'est afin de réduire cet effet que nous introduisons finalement un modèle mixte, permettant d'obtenir des solutions à la fois non constantes par morceaux et sans effet de flou au niveau des détails. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au problème d'extraction de texture. Un modèle reconnu comme étant l'un des plus performants est le modèle T V -L1, qui consiste simplement à remplacer dans le modèle ROF la norme L2 du terme d'attache aux données par la norme L1. Nous proposons ici une méthode originale permettant de résoudre ce problème utilisant des méthodes de Lagrangien augmenté. Pour les mêmes raisons que dans le cas du débruitage, nous introduisons également le modèle T V 2-L1, consistant encore une fois à remplacer la variation totale par la variation totale seconde. Un modèle d'extraction de texture mixte est enfin très brièvement introduit. Ce manuscrit est ponctué d'un vaste chapitre dédié aux tests numériques.

Cette thèse est consacrée dans un premier temps à l’élaboration d’un modèle variationnel dedébruitage d’ordre deux, faisant intervenir l’espace BV 2 des fonctions à hessien borné. Nous nous inspirons ici directement du célèbre modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF), remplaçant la minimisation de la variation totale de la fonction par la minimisation de la variation totale seconde, c’est à dire la variation totale de ses dérivées. Le but est ici d’obtenir un modèle aussi performant que le modèle ROF, permettant de plus de résoudre le problème de l’effet staircasing que celui-ci engendre. Le modèle que nous étudions ici semble efficace, entraînant toutefois l’apparition d’un léger effet de flou. C’est afin de réduire cet effet que nous introduisons finalement un modèle mixte, permettant d’obtenir des solutions à la fois non constantes par morceaux et sans effet de flou au niveau des détails. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au problème d’extraction de texture. Un modèle reconnu comme étant l’un des plus performants est le modèle T V -L1, qui consiste simplement à remplacer dans le modèle ROF la norme L2 du terme d’attache aux données par la norme L1. Nous proposons ici une méthode originale permettant de résoudre ce problème utilisant des méthodes de Lagrangien augmenté. Pour les mêmes raisons que dans le cas du débruitage, nous introduisons également le modèle T V 2-L1, consistant encore une fois à remplacer la variation totale par la variation totale seconde. Un modèle d’extraction de texture mixte est enfin très brièvement introduit. Ce manuscrit est ponctué d’un vaste chapitre dédié aux tests numériques<br>This thesis is devoted in a first part to the elaboration of a second order variational modelfor image denoising, using the BV 2 space of bounded hessian functions. We here take a leaf out of the well known Rudin, Osher and Fatemi (ROF) model, where we replace the minimization of the total variation of the function with the minimization of the second order total variation of the function, that is to say the total variation of its partial derivatives. The goal is to get a competitive model with no staircasing effect that generates the ROF model anymore. The model we study seems to be efficient, but generates a blurry effect. In order to deal with it, we introduce a mixed model that permits to get solutions with no staircasing and without blurry effect on details. In a second part, we take an interset to the texture extraction problem. A model known as one of the most efficient is the T V -L1 model. It just consits in replacing the L2 norm of the fitting data term with the L1 norm.We propose here an original way to solve this problem by the use of augmented Lagrangian methods. For the same reason than for the denoising case, we also take an interest to the T V 2-L1 model, replacing again the total variation of the function by the second order total variation. A mixed model for texture extraction is finally briefly introduced. This manuscript ends with a huge chapter of numerical tests

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes permettant de décomposer une image en deux parties: l'une contenant les structures (ou objets) de l'image et l'autre les textures. Le point de départ de ces travaux est le modèle proposé par Yves Meyer en 1999 puis les travaux de Jean-François Aujol pour les aspects algorithmiques.<br />Après une étude théorique de ces approches, nous proposons une extension au cas des images bruitées nous permettant d'obtenir alors une décomposition en trois composantes: structures + textures + bruit.<br />Par ailleurs, nous proposons une méthode spécifique en vue d'évaluer les résultats obtenus à partir des différents alggorithmes. <br />Enfin, nous présentons quelques applications des ces méthodes de décomposition d'image, notamment un algorithme de détection de réseaux routiers en imagerie aérienne ou satellitaire. Cet algorithme combine décomposition d'image, détection d'alignements par la théorie de la Gestalt et modèle déformable.

Cette thèse a pour sujet l'étude de quelques équations aux dérivées partielles singulières ou dégénérées, sous contraintes. Sont aussi traitées des équations dites pénalisées qui remplacent la contrainte par un terme qui asymptotiquement tend vers la contrainte, ceci permettant une approximation numériquement plus souple de l'équation aux dérivées partielles avec contrainte. <br />La première partie de cette thèse a fait l'objet d'un article accepté pour publication aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. <br />Elle traite de l'approximation de la première valeur propre du 1-Laplacien. <br /> Dans la deuxième partie, les résultats obtenus pour un problème d'obstacle sur $W_p^{0, 1}$, $p> 1$ généralisent le cas $p=2$, traité par Adams et Lenhart. On obtient donc l'existence et l'unicité d'une solution au problème posé. <br />La dernière partie qui fait l'objet d'un article en préparation, traite un problème d'obstacle sur $W_1^{0, 1}$, ce qui nécessite l'introduction de l'espace $BV$. <br /> Les méthodes employées sont celles du calcul des variations, la théorie des fonctions à dérivées mesurées, la topologie vague, la topologie étroite des mesures, la convexité, la théorie de la dualité, l'approximation....

Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.<br /><br />L'objectif des deux premières parties de cette thèse <br /> est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.<br />La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.<br />La seconde composante, v, contient l'information texture.<br />La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.<br />Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques <br />adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.<br />Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.<br />Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.<br /><br /><br />Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons <br />spécifiquement à la composante texturée.<br />Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.

Dans cette thèse, nous étudions certaines régularisations conservatives et non dispersives pour des lois de conservation. Ces régularisations sont obtenues en s’inspirant de celle du système de Saint-Venant introduite par Clamond et Dutykh. Nous étudions également la régularité, dans des espaces BV généralisés, des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires. Dans la première partie, nous obtenons et étudions une régularisation appropriée de l’équation de Burgers inviscide, ainsi que sa généralisation aux lois de conservation scalaires. Nous prouvons que cette généralisation est localement bien posée pour les solutions régulières. Nous montrons aussi l’existence globale des solutions qui satisfont une inégalité d’Oleinik pour des flux uniformément convexes. Lorsque le paramètre de régularisation ``l’’ tend vers zéro, nous prouvons que ces solutions convergent, pour une sous-suite, vers les solutions de la loi de conservation scalaire originale, au moins pour un petit intervalle de temps.Nous généralisons également les équations Saint-Venant régularisées afin d’obtenir une régularisation du système d’Euler barotrope, ainsi qu’une régularisation du système de Saint-Venant avec fond variable. Nous montrons que ces deux systèmes sont bien posés localement dans Hs, avec s≥2. Dans la deuxième partie, nous démontrons un effet régularisant, sur les conditions initiales, des lois de conservation scalaires pour un flux lipschitzien strictement convexe, ainsi que pour des équations scalaires avec un terme source linéaire. Dans certains cas, nous donnons une borne de l’effet régularisant. Enfin, nous prouvons l’existence globale des solutions entropiques d’une classe de système triangulaire ayant une équation de transport dans BV^s x L^∞ où s &gt; 1/3<br>In this thesis, we study some non-dispersive conservative regularisations for the scalar conservation laws and also for the barotropic Euler system. Those regularisations are obtained inspired by a regularised Saint-Venant system introduced by Clamond and Dutykh in 2017. We also study the regularity, in generalised BV spaces, of the entropy solutions of some nonlinear hyperbolic equations. In the first part, we obtain and study a suitable regularisation of the inviscid Burgers equation, as well as its generalisation to scalar conservation laws. We prove that this regularisation is locally well-posedness for smooth solutions. We also prove the global existence of solutions that satisfy a one-sided Oleinik inequality for uniformly convex fluxes. When the regularising parameter ``l’’ goes to zero, we prove that the solutions converge, up to a subsequence, to the solutions of the original scalar conservation law, at least for a short time. We also generalise the regularised Saint-Venant equations to obtain a regularisation of the barotropic Euler system, and the Saint-Venant system with uneven bottom. We prove that both systems are locally well-posed in Hs, with s ≥ 2. In the second part, we prove a regularising effect, on the initial data, of scalar conservation laws with Lipschitz strictly convex flux, and of scalar equations with a linear source term. For some cases, we give a limit of the regularising effect.Finally, we prove the global existence of entropy solutions of a class of triangular systems involving a transport equation in BV^s x L^∞ where s &gt; 1/3